苏教版高中数学选修1-1圆锥曲线

圆锥曲线

一、考纲要求

1.掌握直角坐标系中的曲线与方程的关系和轨迹的概念，能够根据所给条件，选择适当的直角坐标系求曲线的方程，并画出方程所表示的曲线.

2.掌握圆锥曲线的标准方程及其几何性质，并根据并给的条件画圆锥曲线，了解圆锥曲线的一些实际应用.

3.理解坐标变换的意义，掌握利用坐标轴平移化简圆锥曲线方程的方法.

4.了解用坐标法研究几何问题的思想，初步掌握利用方程研究曲线性质的方法.

二、知识结构

1.方程的曲线

在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：

(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.

点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P

0(x

,y

)在曲线C上f(x

,y

)=0；

点P

0(x

,y

)不在曲线C上f(x

,y

)≠0

两条曲线的交点若曲线C

1，C

2

的方程分别为f

1

(x,y)=0,f

2

(x,y)=0,则

点P

0(x

,y

)是C

1

，C

2

的交点

方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.

2.圆

圆的定义

点集：｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径.

圆的方程

(1)标准方程

圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是

(x-a)2+(y-b)2=r2

圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是

x2+y2=r2

(2)一般方程

当D2+E2-4F＞0时，一元二次方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0

叫做圆的一般方程，圆心为(-,-，半径是.配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为

(x+)2+(y+)2=

当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点

(-,-);

当D2+E2-4F＜0时，方程不表示任何图形.

点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x

0,y

)，则

｜MC｜＜r点M在圆C内，

｜MC｜=r点M在圆C上，

｜MC｜＞r点M在圆C内，

其中｜MC｜=.

(3)直线和圆的位置关系

①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系

直线与圆相交

直线与圆相切

直线与圆相离 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法

(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 与半径r 的大小关系来判定. 3.椭圆、双曲线和抛物线

4.平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之比是一个常数e(e ＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.

其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率. 当0＜e ＜1时，轨迹为椭圆 当e=1时，轨迹为抛物线 当e ＞1时，轨迹为双曲线 5.坐标变换

坐标变换 在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做 坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.

坐标轴的平移 坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫 做坐标轴的平移，简称移轴.

坐标轴的平移公式 设平面内任意一点M ，它在原坐标系xOy 中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ′O ′y ′中的坐标是(x ′,y ′).设新坐标系的原点O ′在原坐标系xOy 中的坐标是(h,k)，则

(1) 或 (2)

公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式.

中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程

(一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点

说明在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简 .特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标.

例1如果实数x、y满足等式(x-2)2+y2＝３，求y/x的最大值.

解：此题有多种解法，但用待定参数，转化为求曲线的交点问题可使解题过程更为简捷. 设＝k，则y=kx.要使k的值最大，只须直线y＝kx在第一象限与圆相切，而圆心(2，0)到直线y=kx的距离为.

，解得k＝(-舍去).

(二)充要条件

说明充分条件、必要条件、充要条件是高考考查的重要内容.要掌握好这几种条件，关键在于要对命题之间的关系很清楚.

例2直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的( )

A.一条直线不相交

B.两条直线不相交

C.任意一条直线都不相交

D.无数条直线不相交

解：把“直线与平面平行”作为甲命题，在四个选项中选出一个是甲命题的充要条件的命题。因为直线与平面平行的定义是直线与平面无交点，而A、B、D三个选项都不能保证此条件，只有C能保证，故选C

(三)圆的标准方程和一般方程

说明求圆的方程主要是求出其圆心与半径.还要掌握一般方程与标准方程的互化，以及圆与其他曲线之间的关系，特别是圆与直线之间的关系.

例3圆A：(x+1)2+(y+1)2=1，

圆B：(x-1)2+(y-1)2=4，则有两圆的公切线有( )

A.1条

B.2条

C.3条

D.4条

解：要判断两圆公切线的条数，只需要判断出此两圆的位置关系，而不必求出其切线方程 .

∵A圆圆心是C

1(-1,-1)，B圆圆心是C

2

(1，1)，∴｜C

1

C

2

｜＝2，r

1

＝1，r

2

＝2.

r 1+r

2

＞｜C

1

C

2

｜即圆A与圆B相离，则此两圆有4条公切线.故选D.

(四)椭圆及其标准方程，焦点、焦距，椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、长袖、短轴、