恒成立问题基本题型及解题方法

恒成立问题基本题型

一 转化为二次函数，利用分类讨论思想解题

例1． 已知函数f(x)=x 2-2ax+4在区间[-1，2] 上都不小于2，求a 的值。

解：由函数f(x)=x 2-2ax+4的对称轴为x=a

所以必须考察a 与-1，2的大小，显然要进行三种分类讨论

1．当a ≥2时f(x)在[-1，2]上是减函数此时

m in )(x f = f(2)=4-4a+42≥ 即a 2

3≤ 结合a ≥2，所以a 的解集为φ 2．当a 1-≤ 时 f(x)在[-1，2]上是增函数， m in )(x f = f(-1)=1+2a+42≥结合a 1-≤ 即123-≤≤-

a 3．当-1

综上1，2，3满足条件的a 的范围为：22

3≤≤-

a 二 确定主元，构造函数，利用单调性解题

例2．对于满足0≤a ≤4的所有实数a 求使不等式x 2+ax>4x+a-3都成立的x 的取值范围。 解：不等式变形为x 2+(x-1)a-4x+3>0

设f(a)= (x-1)a+x 2-4x+3，则其是关于a 的一个一次函数：是单调函数

结合题意有⎩⎨⎧>>0)0(0)4(f f 即 得1-x 三 利用不等式性质解题

例3．若关于x 的不等式|x-2|+|x+3|≥a 恒成立，试求a 的范围 解：由题意知只须min )32(++-≤x x a 由5)3(232=+--≥++-x x x x 所以 5≤a

四 构造新函数，利用导数求最值：

例4．已知)1lg(2

1)(+=x x f )2lg()(t x x g +=若当]1,0[∈x 时)()(x g x f ≤在[0，1]恒成立，求实数t 的取值范围。

解：)()(x g x f ≤在[0，1] 上恒成立，即021≤--+t x x 在[0，1]上恒成立 令t x x x F --+=21)( 则须F(x)在[0，1]上的最大值小于或等于0

所以 1

21412121)('++-=-+=x x x x F 又]1,0[∈x 所以0)('

所以)0(max )(F x F = 即01)0()(≤-=≤t F x F 得 1≥t

{

0340122>+->-x x x

（说明：若将恒成立改成有解，即)()(x g x f ≤在[0，1]上有解，则应F(x)min 0≤。）

五 分离参变量，变换成函数问题

例5 已知二次函数1)(2++=x ax x f 对[]2,0∈x 恒有0)(>x f ，求a 的取值范围。 解： 对[]2,0∈x 恒有0)(>x f 即012>++x ax 变形为)1(2+->x ax

当0=x 时对任意的a 都满足0)(>x f 只须考虑0≠x 的情况

2)

1(x x a +->即21

1x x a -->

要满足题意只要保证a 比右边的最大值大。 现求21

1

x x --在(]2,0∈x 上的最大值。令21

1

≥∴=t x t

41)21()(22++-=--=t t t t g （21

≥t ）

43)21()(max -==g t g 所以43

->a

又1)(2++=x ax x f 是二次函数0≠∴a 所以43

->a 且0≠a

六 利用数形结合解题

例6：不等式)4(x x ax -≤在]3,0[∈x 内恒成立，求实数a 的取值范围。 解：画出两个函数ax y =和)4(x x y -=

如图

知当3=x 时3=y ，33

=a

当 ]3,0[∈x 时总有)4(x x ax -≤33

≤a