自动控制原理 第五章 第四讲 对数频率稳定判据

Γϕ 。
开环对数频率稳定性判据
设开环系统正实部的极点数为 P ，闭环系统稳定 充要条件是 的充要条件是：
ω c 为截止频率
ϕ (ωc ) ≠ ( 2k + 1)π ; k = 0,±1,±2, L ，且 L(ω ) > 0 时
所有频率范围内对数相频曲线 Γ ϕ 穿越( 2k + 1)π 所有频率范围内对数相频曲线 满足： 线的次数 N = N + − N − 满足：
•例3 已知系统开环传递函数为 例
G( s) = K (T2 s + 1) ⋅ ω n
2 2 2 2
s(T1 s + 1)(T3 s + 1) ( s + 2ζω n s + ω n )
,1 > T1 > T2 > T3 >
1
ωn
试绘出开环对数渐近幅频曲线。 试绘出开环对数渐近幅频曲线。
•例4 已知最小相角系统开环对数渐近幅频曲线，求开 例 已知最小相角系统开环对数渐近幅频曲线， 环传递函数。 环传递函数。
3、 闭环系统的频域指标和时域指标的转换
时域
σ % , tr , ts , t p , td
e ss
两种指标 有运算关系 见下页
频域
开环 γ 闭环 ω b
h
Mr
ωc
ωr
ωx
(1)二阶系统频域指标与时域指标的关系 (1)二阶系统频域指标与时域指标的关系 ① 谐振峰值 ② 谐振频率 ③ 带宽频率 ④ 截止频率 ⑤ 相位裕度 ⑥ 超调量 ⑦ 调节时间
− 20 ×υ = −20dB / dec
3 在 ω ≥ ω min 的频段，系统开环对数幅频 的频段，
渐近线表现为分段折线 分段折线， 渐近线表现为分段折线，且每两个相邻转折 频率之间为直线，在每个转折频率点 转折频率点处 斜率发生 频率之间为直线，在每个转折频率点处，斜率发生 变化，变化数值取决于转折频率处对应的典型环节 变化，变化数值取决于转折频率处对应的典型环节 的种类： 的种类： 典型环节 斜率变化 dB / （ ） 一阶惯性 -20 一阶微分 +20 振荡环节 -40 二阶微分 +40
K (1 + G( s) = s(1 +
L(ω c ) = 20 lg ω c
s
ω2
) s
s
ω1
)(1 +
ω3
2
)
1 ωc + 0 K ω 2 1 ωc ω 1
c 2 c 1
2
=0 + 0 ⋅ 0+1
3
ωb
ω
R ( jω )
输入 信号
N ( jω )
பைடு நூலகம்
噪 声
ω
0
ωM
ω1
ωn
稳定裕度较高， 2）为使系统稳定裕度较高，希望系统开环对数幅频特性 为使系统稳定裕度较高 处斜率为-20dB/dec, dB/dec,但要求系统有较强的从 在 ω c 处斜率为-20dB/dec,但要求系统有较强的从 噪声中辨识信号的能力， 处斜率小于 噪声中辨识信号的能力，又希望 ω c 处斜率小于 40dB/dec dB/dec。 -40dB/dec。
) +1
ωn
ω 转折频率： 转折频率： n
将转折频率按从小 的顺序排列， 轴上。 将转折频率按从小到大的顺序排列，标于 ω 轴上。
2 记 ω min 为最小转折频率，称 ω < ω min 的 为最小转折频率，
频率范围为低频段 低频段。 频率范围为低频段。
− 低频段渐近线为一直线，斜率为： 低频段渐近线为一直线，斜率为： 20×υ dB/ dec 直线
P − 2N = 0
N + 为 L (ω ) > 0 时从下向上穿越 ( 2 k + 1)π 线的次数； 线的次数； N − 为 L (ω ) > 0 时从上向下穿越 ( 2 k + 1)π 线的次数。 线的次数。
5.4 稳定裕度
对于大的K值 系统是不稳定的。当增益 减少到一定值 对于大的 值，系统是不稳定的。当增益K减少到一定值 通过（ ， ） 系统临界稳定； 的轨迹通过 时，G (jω) 的轨迹通过（-1，0j）点，系统临界稳定；当 K继续减少时，系统是稳定的。 继续减少时，系统是稳定的。 继续减少时 稳定裕度就是用来度量G 的轨迹对（ ， ）点的靠 稳定裕度就是用来度量 (jω) 的轨迹对（-1，0j）点的靠 近程度，用来表明系统的相对稳定性 相对稳定性。 近程度，用来表明系统的相对稳定性。 稳定裕度常用相角裕度γ(ωc) 和幅值裕度
实际系统中，相角裕度为 度 实际系统中，相角裕度为45度左 右，开环对数幅频特性在中频区斜率 应为-20dB/dec，中频区应占据一定 应为 ， 的频率范围，保证参数变化时， 的频率范围，保证参数变化时，相角 裕度变化不大， 裕度变化不大，高频区系统幅频特性 迅速衰减，削弱噪声影响。 迅速衰减，削弱噪声影响。
ω K ω ω ω c ω
= 1
ω 2ω c K= ω1
5.3 对数频率稳定判据
截止频率 A（ωc）=|G（j ωc）H（j ωc）|=1 （ （ （ L（ωc）=20lgA（ωc）=0 （ （ 图上: 在Bode图上 图上
截止频率
对数相频曲线 Γ的确定（三种情况）： ϕ
① 开环系统无虚轴极点时，为 ϕ (ω ) 曲线； 开环系统无虚轴极点时， 曲线；
2
σ % = e
第五章
线形系统频率响应法
第四讲 5.3 对数频率稳定判据 5.4 稳定裕度 5.5 闭环频率特性
复习第三讲的主要内容： 复习第三讲的主要内容：
奈氏稳定判据 –P:在右半平面开环特征根数 在右半平面开环特征根数; 在右半平面开环特征根数 –Z:在右半平面闭环特征根数 在右半平面闭环特征根数; 在右半平面闭环特征根数 –N: 在[G]平面，ω从0→∞， 幅相曲线 平面， →∞， 平面 →∞ 穿过（-1，j0) 点左侧负实轴的次数。 穿过（ ， 左侧负实轴的次数。 负实轴的次数 穿越时： 穿越时： 由上向下为正穿越N 由上向下为正穿越 + 由下向上为负穿越N 由下向上为负穿越 —, 1 N± = 未穿透为半次穿越, 未穿透为半次穿越
另外还需确定直线上的一点 确定方法有： 另外还需确定直线上的一点，确定方法有：
ω υ 2）由已知 K = 10 ， = 1， min = 2 ，则 ω < 2 的 频段内， 频段内，直线斜率为 ：
得该点对数幅频值： 取ω0 = 1，得该点对数幅频值： L (1) = 20 lg | K |= 20 dB 这样确定低频段直线； 这样确定低频段直线；
r
ω
ωc
G(jωc)H(jωc)
h（dB）
讨论： 讨论： 1）h>1即h（dB）>0：增益裕度为正值。 ） ） ：增益裕度为正值。 2）h<1即h（dB）<0：增益裕度为负值。 ） ） ：增益裕度为负值。
2. γ = 180 0 + ∠G ( jω c ) H ( jω c )
其中， 为系统截止频率。 其中， ωc为系统截止频率。 A（w）= （ ） 图上： 在Bode图上： 图上 定义的含义： 定义的含义：如果系统对频率 为截止频率的信号的相角滞后再 增大γ度 增大 度，则系统处于临界稳定 状态。 状态。 讨论： 讨论：
dec
2. 开环对数相频特性曲线的绘制（ 开环对数相频特性曲线的绘制（ 相频特性曲线的绘制
）
1) 将系统开环传递函数中各典型环节的相角列 并写成求和形式 求和形式； 出，并写成求和形式； 的几个代表点，计算对应点的相角值 对应点的相角值， 2) 取 ω 的几个代表点，计算对应点的相角值， 并将所求各点值描于相角坐标系中， 并将所求各点值描于相角坐标系中，然后用 光滑曲线将各点连接 将各点连接， 光滑曲线将各点连接，即可得到对数相频特 性曲线。 性曲线。
}
同时成立！ 同时成立！
h
j G(jωx)
=1
G(jωx) -1 γ
ωx
∠G(jωc) – γ = –180o
1 0
ωc
幅值裕度 h=
1
G(jωx)
G(jω)
∠G(jωc)
hdB = −20 lg G( jωx )
相角裕度
γ =180o +∠G(jωc) ∠
稳定裕度的定义续1 稳定裕度的定义续
1. h =
当幅频性| 下降到0.707 j0） 当幅频性| Ф（jω）|下降到0.707 | Ф（j0）|时，对 应的频率ωb称为带宽频率。 应的频率ω 称为带宽频率。 频率范围ω∈[0, 称为系统带宽。 频率范围ω∈[0, ωb ]称为系统带宽。 ω∈
带宽
2、 系统带宽的选择
复现输入信号， 1）为使系统能准确复现输入信号，要求有较大的带宽；然而带宽过大不利于 为使系统能准确复现输入信号 要求有较大的带宽； 拟制噪声扰动信号； 拟制噪声扰动信号；
h 来衡量。 来衡量。
稳定裕度的定义
点时， 若z=p-2N中p=0,则G(jω)过(-1,j0)点时， 则 过 点时 系统临界稳定 见下图： 临界稳定， 系统临界稳定，见下图：
j -1 G(jω) 1 0
特点： 特点： G(jω)曲线过 曲线过(-1,j0)点时， 点时， 曲线过 点时
G(jω) =1 ∠ G(jω) = -180o
(o)(dB)
截止频率
ωc ωg 0
ω h(dB)
γ -180
1）γ>0即：相位裕度量值为正值。 ） 相位裕度量值为正值。 2）γ<0即：相位裕度量值为负值。 ） 相位裕度量值为负值。
3. 判断系统稳定性的方法 由相角裕度、 由相角裕度、幅值裕度的定义可知 当： γ>0 h>1即h（dB）>0 时系统是稳定的 即 （ ） 其中： 其中： 1. h =
Mr = 1 2ς 1 − ς 2 0≤ς ≤ 2 ≈ 0 . 707 2
ω r = ω n 1 − 2ς
2
ω b = ω n 1 − 2ς 2 + (1 − 2ς 2 ) 2 + 1
ωc = ωn
γ = arctg
( 4ς 4 + 1 − 2ς
2ς 4ς
−
4
2
+ 1 − 2ς
2
ζ≈γ/100
πς
1− ς
1 G ( jω g ) H ( jω g )
2. γ = 180 0 + ∠G ( jω c ) H ( jω c )
结论：为了得到满意的性能： 结论：为了得到满意的性能： γ：300~600 ： h：≥6dB
5.5 闭环频率特性
1、闭环频率特性性能指标 谐振峰值M 系统闭环频率特性幅值的最大值。 谐振峰值Mr：系统闭环频率特性幅值的最大值。 系统带宽和带宽频率： 为系统的闭环率特性， 系统带宽和带宽频率：设Ф（jω）为系统的闭环率特性，
1 ② 开环系统存在积分环节 υ 时，需在 ϕ(ω) 曲线 s ω较小且 L(ω) > 0 点处向上补作 υ×90o 的虚垂线， 较小且 点处向上补作 的虚垂线，
与 ϕ(ω) 一起构成 Γ ϕ ；
1 ③ 存在等幅振荡环节 (s2 +ω 2)l 时，需从 φ(ωn+ ) n
−
点
起向上补作 起向上补作 l × 180 o 的虚垂线至 φ(ωn ) 处，与 ϕ(ω) 的虚垂线至 一起构成
1 G ( jω g ) H ( jω g )
G(jωg)H(jωg)
j
其中， 为穿越频率。 其中，ωg为穿越频率。 定义的含义： 定义的含义：如果系统的开环 传递系数增大到原来的h倍 传递系数增大到原来的 倍， 则系统处于临界稳定状态。 则系统处于临界稳定状态。 对数坐标下: 对数坐标下
-1
ωg
0
奈氏判据 Z=P-2N； ； Z=0时稳定。 时稳定。 时稳定
N = N+ − N−
2
、开环对数幅相频率特性曲线
1. 开环对数幅频渐近特性曲线的绘制（L(ω )） 开环对数幅频渐近特性曲线的绘制（ 幅频渐近特性曲线的绘制
将系统开环传递函数分解为几个典型环节 典型环节的 1) 将系统开环传递函数分解为几个典型环节的 组合形式，主要有： 组合形式，主要有：
K •比例积分： υ 比例积分： 比例积分 s
•振荡环节： s 振荡环节
(
1 ) 2 + 2ζ ( s
1 •一阶惯性： 一阶惯性 ( Ts + 1 •二阶微分：ω 二阶微分： n 二阶微分 •一阶微分： + 1 一阶微分： 一阶微分 Ts
1 转折频率： 转折频率： T
ωn s
ωn s 2 ) + 2ζ ( ) + 1
dB
L (ω )
Φ ( jω )
如果输入信号的带 宽为： 宽为： ~ ω M ， 0 噪声信号带宽为： 噪声信号带宽为： ω1 ~ ω n 则系统带宽取 ω 为： b = (5 ~ 10)ω， M 且使ω 1 ~ ω n 处于 0 ~ ω b 外。
0 0.707 Φ ( j 0) − 3
带宽
Φ ( j 0)