中考数学 二次函数综合试题含答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在平面直角坐标系中有抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2和y ＝a （x ﹣h ）2，抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2经过原点，与x 轴正半轴交于点A ，与其对称轴交于点B ；点P 是抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2上一动点，且点P 在x 轴下方，过点P 作x 轴的垂线交抛物线y ＝a （x ﹣h ）2于点D ，过点D 作PD 的垂线交抛物线y ＝a （x ﹣h ）2于点D ′（不与点D 重合），连接PD ′，设点P 的横坐标为m ：

（1）①直接写出a 的值；

②直接写出抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2的函数表达式的一般式；

（2）当抛物线y ＝a （x ﹣h ）2经过原点时，设△PDD ′与△OAB 重叠部分图形周长为L ： ①

求PD DD

'的值； ②直接写出L 与m 之间的函数关系式；

（3）当h 为何值时，存在点P ，使以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形？直接写出h 的值．

【答案】（1）①

12；②y ＝212

x ﹣2x ； （2）①1； ②L ＝2(22)(02)21(221)4(24)2m m m m π⎧+<⎪⎨-++<<⎪⎩

； （3）h ＝±3 【解析】

【分析】

（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中计算即可；②y ＝

212x ﹣2x ； （2）将（0，0）代入y ＝a （x ﹣h ）2中，可求得a ＝12，y ＝12

x 2，待定系数法求OB 、AB 的解析式，由点P 的横坐标为m ，即可表示出相应线段求解；

（3）以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形，DD ′＝OA ，可知点D 的纵坐标为2，再由AD ＝OA ＝4即可求出h 的值．

【详解】

解：（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中，

得：0＝a （0﹣2）2﹣2，

解得：a ＝12； ②y ＝212x ﹣2x ；． （2）∵抛物线y ＝a （x ﹣h ）2经过原点，a ＝

12； ∴y ＝12

x 2， ∴A （4，0），B （2，﹣2），

易得：直线OB 解析式为：y ＝﹣x ，直线AB 解析式为：y ＝x ﹣4

如图1，

222111,2,,,(,0),(,),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭， ①221122,222PD m m m m DD m '⎛⎫=--== ⎪⎝⎭

PD 2m 1DD 2m

'∴== ②如图1，当0＜m ≤2时，L ＝OE +EF +OF ＝2(22)m m m m ++=+，

当2＜m ＜4时，如图2，设PD ′交x 轴于G ，交AB 于H ，PD 交x 轴于E ，交AB 于F ，

则222111,2,,,(,0),(,4),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛

⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭，

2211(4)23422PF m m m m m ⎛⎫=---=

-+- ⎪⎝⎭

， 2222322m m 22,PG m 22m FH PH PF ==

=-+-=-+ ∵DD ′∥EG EG PE DD PD '∴=，即：EG •PD ＝PE •DD ′，得：EG •（2m ）＝（2m ﹣12

m 2）•2m ∴EG ＝2m ﹣

12m 2，EF ＝4﹣m ∴L ＝EG +EF +FH +GH ＝EG +EF +PG

221224222m m m m m ⎛⎫=-+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭

221m (221)m 42

+=-+++ 2(22)m(0m 2)21m (221)m 4(2m 4)2L ⎧+<⎪∴=⎨+-+++<<⎪⎩

； （3）如图3，

∵OADD ′为菱形

∴AD ＝AO ＝DD ′＝4，

∴PD ＝2，

23PA =23h ∴=±【点睛】

本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，抛物线的平移等，解题时要注意考虑分段函数表示方法．

2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .

（1）求二次函数的表达式；

（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.

【答案】（1）二次函数的解析式为233642y x x =-

-+；（2）当23x =-时，ADE ∆的面积取得最大值

503；（3）P 点的坐标为()1,1-，(1,11-，(1,219--. 【解析】

分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；

（2）根据函数解析式设出点D 坐标，过点D 作DG ⊥x 轴，交AE 于点F ，表示△ADE 的面积，运用二次函数分析最值即可；

（3）设出点P 坐标，分PA =PE ，PA =AE ，PE =AE 三种情况讨论分析即可．

详解：（1）∵二次函数y =ax 2+bx +c 经过点A （﹣4，0）、B （2，0），C （0，6）， ∴16404206a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩

， 解得：34326a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩

， 所以二次函数的解析式为：y =233642

x x --+； （2）由A （﹣4，0），E （0，﹣2），可求AE 所在直线解析式为y =122

x --，