2021年中考数学一轮复习基础考点及题型-专题21平行四边形(含解析)

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2021年中考数学一轮专题训练：多边形与平行四边形(含答案)

2021中考数学一轮专题训练：多边形与平行四边形一、选择题（本大题共10道小题）1. 正九边形的一个内角的度数是()A.108°B.120°C.135°D.140°2. 如图，▱ABCD中，AB=2，AD=4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是 ()A.EH=HGB.四边形EFGH是平行四边形C.AC⊥BDD.△ABO的面积是△EFO的面积的2倍3. 四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是()A.AD∥BCB.OA=OC，OB=ODC.AD∥BC，AB=DCD.AC⊥BD4. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝22，CD＝2，点P在四边形ABCD的边上．若P到BD的距离为32，则点P的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 45. 一个正多边形的每个外角不可能等于()A．30°B．50°C．40°D．60°6. 如图，在ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为A．12 B．15 C．18 D．217. 把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是()A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形8. 若多边形的一个顶点处的所有对角线把多边形分成了11个三角形，则经过这一点的对角线的条数是()A．8 B．9 C．10 D．119. （2020·泰安）如图，四边形ABCD 是一张平行四边形纸片，其高AG ﹦2cm ，底边BC ﹦6cm ，∠B ﹦45°，沿虚线EF 将纸片剪成两个全等的梯形．若∠BEF ﹦30°，则AF 的长为（） A ．1cmB ．63 cmC ．（2 3 —3）cmD ．（2— 3 ）cmA BCDEFG10. 如图，正方形ABCD 中，点E.F 分别在边CD ，AD 上，BE 与CF 交于点G ．若BC=4，DE=AF=1，则GF 的长为A ．135B ．125C ．195D ．165二、填空题（本大题共7道小题）11.若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是________．12.如图，在四边形ABCD 中，若∠A ＋∠B ＋∠C ＝260°，则∠D 的度数为________．13. 如图，若A 表示四边形，B 表示正多边形，则阴影部分表示________．14.（2020·牡丹江）如图，在四边形ABCD 中，AD//BC ，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件__________________，使四边形ABCD 是平行四边形（填一个即可）.15. 如图，在▱ABCD 中，过对角线BD 上一点P 作EF ∥BC ，GH ∥AB ，且CG=2BG ，S △BPG =1，则S ▱AEPH = .16. （2020·株洲）如图所示，点D 、E 分别是ABC 的边AB 、AC 的中点，连接BE ，过点C 做//CF BE ，交DE 的延长线于点F ，若3EF ，则DE 的长为________．C17. 如图，ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 是AB 的中点，△BEO的周长是8，则△BCD 的周长为__________．三、解答题（本大题共4道小题）18. ABC 的三条中线分别为AD 、BE 、CF ，H为BC 边外一点，且BHCF 为平行四边形，求证：AD EH ∥．ABCDE FH19. （2020·泰安）（12分）若△ABC 和△AED 均为等腰三角形，且∠BAC ﹦∠EAD﹦90°．（1）如图（1），点B 是DE 的中点，判断四边形BEAC 的形状，并说明理由；（2）如图（2），若点G 是EC 的中点，连接GB 并延长至点F ，使CF ﹦CD ．求证：①EB ﹦DC ，②∠EBG ﹦∠BFC ．GFABCDEABCDE20. 在平行四边形ABCD 的对角线BD 上取一点E ，使13BE DE =，连接AE 并延长与DC 的延长线交于F ，则2CF AB =．图1CAEDBF21. （2020·乐山）点P 是平行四边形ABCD 的对角线AC 所在直线上的一个动点（点P 不与点A 、C 重合），分别过点A 、C 向直线BP 作垂线，垂足分别为点E 、F ．点O 为AC 的中点．（1）如图1，当点P 与点O 重合时，线段OE 和OF 的关系是________；（第23题）图（1）图（2）（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30°时，试探究线段CF、AE、OE之间的关系．2021中考数学一轮专题训练：多边形与平行四边形-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】D[解析]正九边形内角和=180°×(9-2)=1260°，则每个内角的度数==140°.故选D.2. 【答案】B[解析]∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，在▱ABCD 中，AB=2，AD=4，∴EH=AD=2，HG=CD=AB=1，∴EH≠HG，故选项A错误;∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，∴EH=AD=BC=FG，EH∥AD∥BC∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确;由题目中的条件，无法判断AC 和BD 是否垂直，故选项C 错误; ∵点E ，F 分别为OA 和OB 的中点， ∴EF=AB ，EF ∥AB ，∴△OEF ∽△OAB ，∴=2=，即△ABO 的面积是△EFO 的面积的4倍，故选项D 错误.故选B .3. 【答案】B [解析]∵OA=OC ，OB=OD ，∴四边形ABCD 是平行四边形.故选B .4. 【答案】B【解析】本题考查了直角三角形中的点到直线的距离. 解题思路：如解图，分别过点A 和C 作AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F.⎭⎬⎫∠BAD ＝90° AB ＝AD ⇒⎭⎪⎬⎪⎫∠ADB ＝45° AD ＝22⇒AE ＝2＞32⇒AB 、AD 上各有一点到BD 的距离为32.同理，得CF ＝1＜32⇒AB 、AD 上没有点到BD 的距离为32.5. 【答案】B[解析] 设正多边形的边数为n ，则当30°n ＝360°时，n ＝12，故A可能；当50°n ＝360°时，n ＝365，不是整数，故B 不可能；当40°n ＝360°时，n＝9，故C可能；当60°n＝360°时，n＝6，故D可能．6. 【答案】C【解析】由折叠可得，∠ACD=∠ACE=90°，∴∠BAC=90°，又∵∠B=60°，∴∠ACB=30°，∴BC=2AB=6，∴AD=6，由折叠可得，∠E=∠D=∠B=60°，∴∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴△ADE的周长为6×3=18，故选C．7. 【答案】A[解析] 剪去一个角的方法有三种：经过两个顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条．所以一个n 边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或(n＋1)边形或(n－1)边形．8. 【答案】C[解析] 设多边形有n条边，则n－2＝11，解得n＝13.故这个多边形是十三边形．故经过这一点的对角线的条数是13－3＝10.9. 【答案】D【解析】本题考查了图形全等的概念、平行四边形的性质以及解直角三角形，过点F作FH⊥BC，垂足为H.E CFHA B DG设AF=x ，因为四边形ABCD 是一张平行四边形纸片，所以AD=BC.因为沿虚线EF 将纸片剪成两个全等的梯形，所以BE=DF ，所以AF=EC=x ．因为AG 是BC 边上的高，FH ⊥BC ，所以GH=AF=x .因为∠B=45°，AG=2，所以BG=2，则HE=6-2-2x =4-2x . 因为tan ∠BEF=HF HE ，所以HE=tan HFBEF ∠3=2 3 ，则4-2x =2 3 ，解得x =2- 3 ，因此本题选D ．10. 【答案】A【解析】正方形ABCD 中，∵BC=4， ∴BC=CD=AD=4，∠BCE=∠CDF=90°， ∵AF=DE=1，∴DF=CE=3，∴BE=CF=5，在△BCE 和△CDF 中，BC CD BCE CDF CE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△CDF(SAS)，∴∠CBE=∠DCF ， ∵∠CBE+∠CEB=∠ECG+∠CEB=90°=∠CGE ， cos ∠CBE=cos ∠ECG=BC CGBE CE=， ∴453CG =，CG=125，∴GF=CF ﹣CG=5﹣125=135，故选A ．二、填空题（本大题共7道小题）11. 【答案】6【解析】设这个多边形的边数为n ，则内角和为(n －2)·180°，外角和为360°，则根据题意有：(n －2)·180°＝2×360°，解得n ＝6.12. 【答案】100°13. 【答案】正方形14. 【答案】AD=BC【解析】当添加条件AD=BC 时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD 是平行四边形.15. 【答案】4[解析]由“平行四边形的对角线把平行四边形分成两个全等的三角形”可推出▱AEPH 的面积等于▱PGCF 的面积. ∵CG=2BG ，∴BG ∶BC=1∶3，BG ∶PF=1∶2. ∵△BPG ∽△BDC ，且相似比为1∶3， ∴S △BDC =9S △BPG =9.∵△BPG ∽△PDF ，且相似比为1∶2， ∴S △PDF =4S △BPG =4. ∴S ▱AEPH =S ▱PGCF =9-1-4=4.16. 【答案】32【解析】先证明DE 为ABC 的中位线，得到四边形BCFE 为平行四边形，求出BC=EF=3，根据中位线定理即可求解．∵D、E分别是ABC的边AB、AC的中点，∴DE为ABC的中位线，∴DE∥BC，12DE BC=，∵//CF BE，∴四边形BCFE为平行四边形，∴BC=EF=3，∴1322 DE BC==．故答案为：3 217. 【答案】16【解析】∵ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴BO=DO=12BD，BD=2OB，∴O为BD中点，∵点E是AB的中点，∴AB=2BE，BC=2OE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∴CD=2BE．∵△BEO的周长为8，∴OB+OE+BE=8，∴BD+BC+CD=2OB+2OE+2BE=2(OB+OE+BE)=16，∴△BCD的周长是16，故答案为16．三、解答题（本大题共4道小题）18. 【答案】此题解法很多，仅供两种解法参考．方法一：连结DE 、DH ．（如图1） ∵四边形BHCF 为平行四边形 ∴CH BF AF ==且CH AF ∥ 由中位线可得12DE AB AF == ∴CH DE =∴四边形DECH 为平行四边形 ∴DH CE ∥且DH CE AE == ∴四边形DHEA 为平行四边形 ∴AD EH ∥图1HFED CBA方法二：连结DE ．（如图2）通过中位线和平行四边的性质可得DE HC =，AB DE HC ∥∥∴AED ECH ∠=∠ 又∵AE EC = 显然ADE EHC ∆∆≌ ∴DAE HEC ∠=∠ ∴AD EH ∥ABCD EFH图219. 【答案】（1）证明：四边形BEAC 是平行四边形．理由如下：∵△EAD 为等腰三角形且∠EAD ﹦90°， ∴∠E ﹦45°． ∵B 是DE 的中点， ∴AB ⊥DE ． ∴∠BAE ﹦45°．∵△ABC 为等腰三角形且∠BAC ﹦90°， ∴∠CBA ﹦45°． ∴∠BAE ﹦∠CBA ． ∴BC ∥EA ．又∵AB ⊥DE ，∴∠EBA ﹦∠BAC ﹦90°． ∴BE ∥AC ．∴四边形BEAC 是平行四边形．（2）证明：①∵△AED 和△ABC 为等腰三角形， ∴AE ﹦AD ，AB ﹦AC ． ∵∠EAD ﹦∠BAC ﹦90°，∴∠EAD ＋∠DAB ﹦∠BAC ＋∠DAB ．即∠EAB ﹦∠DAC ． ∴△AEB ≌△ADC ． ∴EB ﹦DC ．②延长FG 至点H ，使GH ﹦FG ． ∵G 是EC 中点，∴EG ﹦CG ．又∠EGH ﹦∠FGC ， ∴△EHG ≌△CFG ， ∴∠BFC ﹦∠H ，CF ﹦EH ．又∵CF ﹦CD ， ∴BE ﹦CF ． ∴BE ﹦EH ． ∴∠EBG ﹦∠H ． ∴∠EBG ﹦∠BFC ．AB CDEEDCBA FGH20. 【答案】法1：如图2，取BD 之中点O ，由O 引OM AF ∥交DF 于M ，再由C 引CG FE ∥交图（1）图（2）BD 于G ．图2FBD E ACMOG∵AB CD =，ABE CDG ∠=∠，BAE DCG ∠=∠， ∴ABE CDG ∆∆≌，BE DG =，则O 为EG 的中点， ∴EO OG =．又∵13DG BE DE ==， ∴13EO OG DE ==，即G 、O 是DE 的三等分点． ∵CG OM AF ∥∥，∴C 、M 是DF 的三等分点，有2CF CD =．而CD AB =，∴2CF AB =．法2：如图3，连接AC 交BD 于O ，则O 为AC 、BD 的中点，取AF 的中点R ，连接AC 交BD 于O ，则O 为AC 、BD 的中点，取AF 的中点R ，连接OR ，则12OR CF =∥．图3FBD E ACRO∵OR CD AB ∥∥，∴ABE ROE ∠=∠，BAE ORE ∠=∠．又∵BE OE OD +=，11()33BE DE OE OD ==+，由此可得12BE OD =，13OE DE =， ∴BE OE =，ABE ROE ∆∆≌， ∴AB OR =．即12AB OR CF ==，∴2CF AB =．法3：如图1，∵AB DF ∥， ∴13AB BE DF DE ==，即3DF AB =．又∵AB CD =，∴3CF DF CD AB AB =-=-，即2CF AB =．21. 【答案】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ；∵AE ⊥BP ，CF ⊥BP ，∴∠AEO ＝∠CFO ＝90°； ∵∠AOE ＝∠COF ， ∴△AOE ≌△COF （AAS ），∴OE ＝OF ；（2）补全图形如图所示，OE ＝OF 仍然成立，证明如下：延长EO交CF于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠EAO＝∠GCO；∵点O为AC的中点，∴AO＝CO；又∵∠AOE＝∠COG，∴△AOE≌△COG，∴OE＝OG；∵∠GFE＝90°，∴OF＝12EG＝OE；（3）当点P在线段OA的延长线上时，线段CF、AE、OE之间的关系为OE＝CF＋AE，证明如下：延长EO交FC的延长线于点H，如图所示，由（2）可知△AOE≌△COH，∴AE＝CH，OE＝OH；又∵∠OEF＝30°，∠HFE＝90°，∴HF＝12EH＝OE，∴OE＝CF＋CH＝CF＋AE．。

2021年中考数学复习知识点：平行四边形考点解析

2021年中考数学复习知识点：平行四边形考点解析
还有一个月的时间同学们将要迎来____中考，现阶段最重要的学习任务就是对知识的巩固复习，为大家整理总结了____中考数学的一些有关于平行四边形的知识，希望能对大家的复习有所帮助。

1、平行四边形的概念
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。

2、平行四边形的性质
(1)平行四边形的邻角互补，对角相等。

(2)平行四边形的对边平行且相等。

推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

(3)平行四边形的对角线互相平分。

(4)若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。

3、平行四边形的判定
(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
(2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
(3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
(4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
(5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4、两条平行线的距离
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

平行线间的距离处处相等。

5、平行四边形的面积S平行四边形=底边长_高=ah。

2021年中考复习专题几何第02讲平行四边形(解析版)A4

第02讲平行四边形知识图谱平行四边形知识精讲一．新定义问题四边形有关的新定义一般更偏向于几何综合，结合题目中给出的新定义，探究题目中图形的角度、线段关系，但有时也经常放在坐标系中，注意坐标和线段长度的转化．二．拼接问题注意拼接过程中的相应的线段角度关系的转化，一般与全等三角形综合考查．三．与全等综合问题1．四边形是有三角形组合而成，这一节主要考察结合四边形的性质，证明三角形相等，进而得到对应边、对应角相等．2．熟记一些常见的模型如“弦图模型、手拉手模型”等是提升图形分析速度的基础．四．动点问题动点问题分析的一般方法：1．确定图形中的定点、动点；2．分析运动原因；3．分析运动过程，确定动点的运动轨迹；4．寻找临界情况并计算.三点剖析一．考点：1．新定义问题；2．拼接问题；3．与全等综合问题；4．动点问题．二．重难点：1．新定义问题；2．拼接问题；3．与全等综合问题；4．动点问题．三．易错点：题意理解错误，动点问题过程分析、临界位置寻找错误等．题模精讲题模一：新定义问题例1.1.1如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．猜想结论：（要求用文字语言叙述）写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长．例 1.1.2（1）定义：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．如图1，四边形ABCD为凹四边形．（2）性质探究：请完成凹四边形一个性质的证明．已知：如图2，四边形ABCD是凹四边形．求证：∠BCD=∠B+∠A+∠D．（3）性质应用：如图3，在凹四边形ABCD中，∠BAD的角平分线与∠BCD的角平分线交于点E，若∠ADC=140°，∠AEC=102°，则∠B= °．（4）类比学习：如图4，在凹四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，顺次连接各边中点得到四边形EFGH．若AB=AD，CB=CD，则四边形EFGH是．（填写序号即可）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形．例 1.1.3类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度数．（2）在探究“等对角四边形”性质时：①小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD 成立．请你证明此结论；②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．（3）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线AC 的长．∠=∠=∠=∠，例1.1.4如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若1234则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且BC=．(其中矩形就是长方形)AB=，84（1）在图2、图3中，点E，F分别在BC，CD边上．试利用正方形网格在图上做出矩形ABCD的反射四边形EFGH．（2）求图2，图3中反射四边形EFGH的周长．（3）如图4，请你猜想矩形ABCD 的反射四边形的周长是否为定值？并给出证明．题模二：拼接问题例1.2.1 将正方形纸片以适当的方式折叠一次，沿折痕剪开后得到两块小纸片，用这两块小纸片拼接成一个新的多边形（不重叠、无缝隙），给出以下结论： ①可以拼成等腰直角三角形； ②可以拼成对角互补的四边形； ③可以拼成五边形； ④可以拼成六边形．其中所有正确结论的序号是________________．例1.2.2 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，五个正方形的边长都为1，将这五个正方形分割为四部分，再拼接为一个大正方形．小明研究发现：如图2，拼接的大正方形的边长为5，“日”字形的对角线长都为5，五个正方形被两条互相垂直的线段AB ，CD 分割为四部分，将这四部分图形分别标号，以CD 为一边画大正方形，把这四部分图形分别移入正方形内，就解决问题．请你参考小明的画法，完成下列问题：（1）如图3，边长分别为a ，b 的两个正方形被两条互相垂直的线段AB ，CD 分割为四部分图形，现将这四部分图形拼接成一个大正方形，请画出拼接示意图；（2）如图4，一个八角形纸板有个个角都是直角，所有的边都相等，将这个纸板沿虚线分割为八部分，再拼接成一个正方形，如图5所示，画出拼接示意图；若拼接后的正方形的面积为842 ，则八角形纸板的边长为__________.1 23 41 23 4图1图2图3图4A BCDA B CD M N P QG EFFEEHHGF例1.2.3 如图，在菱形纸片ABCD 中，4cm AB =，120ABC ∠=︒，按下列步骤进行裁剪和拼图：第一步：如图1，在线段AD 上任意取一点E ，沿EB ，EC 剪下一个三角形纸片EBC （余下部分不再使用）；第二步：如图2，沿三角形EBC 的中位线GH 将纸片剪成两部分，并在线段GH 上任意取一点M ，线段BC 上任意取一点N ，沿MN 将梯形纸片GBCH 剪成两部分；第三步：如图3，将MN 左侧纸片绕G 点按顺时针方向旋转180︒，使线段GB 与GE 重合，将MN 右侧纸片绕H 点按逆时针方向旋转180︒，使线段HC 与HE 重合，再与三角形纸片EGH 拼成一个与三角形纸片EBC 面积相等的四边形纸片．（注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠）（1）请你在图3中画出拼接成的四边形（2）直接写出拼成的四边形纸片周长的最小值为________cm ，最大值为________cm.题模三：与全等综合问题图 1ACBDE③F① ②③② ①图2A③Ca D ① ②Bb图3图4图5ABCDEMNHG 图1EC图2BE MNHG C图3例1.3.1 在正方形ABCD 中，点E 是对角线AC 的中点，点F 在边CD 上，连接DE 、AF ，点G 在线段AF 上（1）如图①，若DG 是△ADFD 的中线，DG=2.5，DF=3，连接EG ，求EG 的长；（2）如图②，若DG ⊥AF 交AC 于点H ，点F 是CD 的中点，连接FH ，求证：∠CFH=∠AFD ；（3）如图③，若DG ⊥AF 交AC 于点H ，点F 是CD 上的动点，连接EG ．当点F 在边CD 上（不含端点）运动时，∠EGH 的大小是否发生改变？若不改变，求出∠EGH 的度数；若发生改变，请说明理由．例1.3.2 在学习了正方形后，数学小组的同学对正方形进行了探究，发现：（1）如图1，在正方形ABCD 中，点E 为BC 边上任意一点（点E 不与B 、C 重合），点F 在线段AE 上，过点F 的直线MN ⊥AE ，分别交AB 、CD 于点M 、N ．此时，有结论AE=MN ，请进行证明；（2）如图2：当点F 为AE 中点时，其他条件不变，连接正方形的对角线BD ，MN 与BD 交于点G ，连接BF ，此时有结论：BF=FG ，请利用图2做出证明．（3）如图3：当点E 为直线BC 上的动点时，如果（2）中的其他条件不变，直线MN 分别交直线AB 、CD 于点M 、N ，请你直接写出线段AE 与MN 之间的数量关系、线段BF 与FG 之间的数量关系．例1.3.3 如图，在菱形ABCD 中，,M N 分别是边,AB BC 的中点，MP AB ⊥交边CD 于点P ，连接,NM NP .(1)若60B ∠=，这时点P 与点C 重合，则NMP ∠=___度； (2)求证：NM NP =；(3)当NPC 为等腰三角形时，求B ∠的度数。

中考数学一轮复习平行四边形知识点及练习题附解析

中考数学一轮复习平行四边形知识点及练习题附解析一、解答题1．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若5AE =，3OE =，求线段CE 的长．2．综合与探究如图1,在ABC ∆中,ACB ∠为锐角,点D 为射线BC 上一点,连接AD ,以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ,解答下列问题:（1）研究发现:如果AB AC =,90BAC ∠=︒①如图2,当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合）,线段CF 、BD 之间的数量关系为______,位置关系为_______．②如图3,当点D 在线段BC 的延长线上时,①中的结论是否仍成立并说明理由．（2）拓展发现:如果AB AC ≠,点D 在线段BC 上,点F 在ABC ∆的外部,则当ACB =∠_______时,CF BD ⊥．3．已知，在△ABC 中，∠BAC =90°，∠ABC =45°，D 为直线BC 上一动点（不与点B ，C 重合），以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BC 与CF 的位置关系是，BC 、CF 、CD 三条线段之间的数量关系为；（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC 与CF 的位置关系BC ，CD ，CF 三条线段之间的数量关系并证明；（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变．若正方形ADEF 的对角线AE ，DF 相交于点O ，OC =132，DB =5，则△ABC 的面积为．（直接写出答案）4．已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交于BE 的延长线于点F ，且AF=DC ，连接CF ．（1）求证：D 是BC 的中点；（2）如果AB=AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．5．社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：如图1，90MON ∠=，点A 为边OM 上一定点，点B 为边ON 上一动点，以AB 为一边在∠MON 的内部作正方形ABCD ，过点C 作CF OM ⊥，垂足为点F （在点O 、A 之间），交BD 与点E ，试探究AEF ∆的周长与OA 的长度之间的等量关系该兴趣小组进行了如下探索：（动手操作，归纳发现）（1）通过测量图1、2、3中线段AE 、AF 、EF 和OA 的长，他们猜想AEF ∆的周长是OA 长的_____倍．请你完善这个猜想（推理探索，尝试证明）为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后续探索过程：（2）如图4，过点C 作CG ON ⊥，垂足为点G则90CGB ∠=90GCB CBG ∴∠+∠=又四边形ABCD 正方形，AB BC =，90ABC ∠=则90CBG ABO ∠+∠=GCB ABO ∴∠=∠在CBE ∆与ABE ∆中，（类比探究，拓展延伸）（3）如图5，当点F 在线段OA 的延长线上时，直接写出线段AE 、EF 、AF 与OA 长度之间的等量关系为．6．我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论.（发现与证明．．）ABCD 中，AB BC ≠，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D . 结论1：'AB C ∆与ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形；结论2：'B D AC .试证明以上结论.（应用与探究）在ABCD 中，已知2BC =，45B ∠=，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D .若以A 、C 、D 、'B 为顶点的四边形是正方形，求AC 的长.（要求画出图形）7．直线1234,,,,l l l l 是同一平面内的一组平行线．(1)如图1．正方形ABCD 的4个顶点都在这些平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离都是1，其中点A ，点C 分别在直线1l 和4l 上，求正方形的面积；(2)如图2，正方形ABCD 的4个顶点分别在四条平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离依次为123h h h ，，．①求证：13h h =；②设正方形ABCD 的面积为S ，求证222211 2 2 S h h h h =++．8．感知：如图①，在正方形ABCD 中，E 是AB 一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE ＝，求证：CE CF ＝；拓展：在图①中，若G 在AD ，且45GCE ∠︒＝，则GE BE GD +＝成立吗？为什么？运用：如图②在四边形ABCD 中，()//AD BC BC AD ＞，90A B ∠∠︒＝＝，16AB BC ＝＝，E 是AB 上一点，且45DCE ∠︒＝，4BE ＝，求DE 的长．9．如图，等腰直角三角形OAB 的三个定点分别为(0,0)O 、(0,3)A 、(3,0)B -，过A 作y 轴的垂线1l .点C 在x 轴上以每秒3的速度从原点出发向右运动，点D 在1l 上以每秒332+的速度同时从点A 出发向右运动，当四边形ABCD 为平行四边形时C 、D 同时停止运动，设运动时间为t .当C 、D 停止运动时，将△OAB 沿y 轴向右翻折得到△1OAB ，1AB 与CD 相交于点E ，P 为x 轴上另一动点.(1)求直线AB 的解析式，并求出t 的值.(2)当PE+PD 取得最小值时，求222PD PE PD PE ++⋅的值.(3)设P 的运动速度为1，若P 从B 点出发向右运动，运动时间为x ，请用含x 的代数式表示△PAE 的面积.10．如图①，在等腰Rt ABC 中，90BAC ∠=，点E 在AC 上(且不与点A 、C 重合)，在ABC 的外部作等腰Rt CED ，使90CED ∠=，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．()1请直接写出线段AF ，AE 的数量关系；()2①将CED 绕点C 逆时针旋转，当点E 在线段BC 上时，如图②，连接AE ，请判断线段AF ，AE 的数量关系，并证明你的结论；②若25AB =，2CE =，在图②的基础上将CED 绕点C 继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD 为菱形时，直接写出线段AE 的长度．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）见解析；（211【分析】（1）根据题意先证明四边形ABCD 是平行四边形，再由AB=AD 可得平行四边形ABCD 是菱形；（2）根据菱形的性质得出OA 的长，根据直角三角形斜边中线定理得出OE=12AC ，在Rt ACE ∆应用勾股定理即可解答．【详解】（1）证明：∵AB CD ∥，∴OAB DCA ∠=∠，∵AC 为DAB ∠的平分线，∴OAB DAC ∠=∠，∴DCA DAC ∠=∠，∴CD AD AB ==，∵AB CD ∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AD AB =，∴ABCD 是菱形；（2）∵四边形ABCD 是菱形∴AO CO =∵CE AB ⊥∴90AEC ∠=︒∴26AC OE ==在Rt ACE ∆中，2211CE AC AE =-=故答案为（2）11．【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．2．（1）①=CF BD ，CF BD ⊥；②当点D 在BC 的延长线上时①中结论仍成立，详见解析；（2）45︒【分析】（1）①结论:CF 与BD 位置关系是垂直、数量关系是相等; 只要证明△BAD ≌△CAF,即可解决问题；②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．证明方法类似;（2）过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G,理由（1）中的结论即可解决问题．【详解】解:（1）①相等（或=CF BD ）,互相重直（或CF BD ⊥）理由如下:∵AB=AC,∠BAC=90︒,∴∠ABC=∠ACB=45︒,∵∠BAC=∠DAF,∴∠BAD=∠CAF,在△BAD 和△CAF 中,BA CA BAD CAF DA FA ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ , ∴△BAD ≌△CAF （SAS ）,∴BD=CF,∠ABD=∠ACF=45︒,∵∠ACB=45︒,∴∠FCB=90︒,∴CF ⊥BD,CF=BD,故答案为CF ⊥BD,CF=BD ．②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．理由:由正方形ADEF 得 AD=AF,∠DAF=90︒．∵∠BAC=90︒,∴∠DAF=∠BAC,∴∠DAB=∠FAC,又AB=AC,∴△DAB ≌△FAC （SAS ）,∴CF=BD,∠ACF=∠ABD,∵∠BAC=90︒,AB=AC,∴∠ABC=45︒,∴∠ACF=45︒,∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90︒．即 CF ⊥BD ．（2）结论:当∠ACB=45︒时,CF ⊥BD ．理由:过点A作AG⊥AC交BC于点G,∴AC=AG,由（1）可知:△GAD≌△CAF,∴∠ACF=∠AGD=45︒,∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90︒,即CF⊥BD．故答案为45︒．【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,学会添加辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题．3．（1）BC⊥CF，CF+CD=BC；（2）CF⊥BC，CF﹣CD=BC，证明详见解析；（3）494．【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF=BD，据此即可证得；（2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF﹣CD=BC；（3）先证明△BAD≌△CAF，进而得出△FCD是直角三角形，根据直角三角形斜边上中线的性质即可得到DF的长，再求出CD，BC即可解决问题．【详解】（1）如图1中，∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，∴∠BAD =∠CAF ，∵在△BAD 和△CAF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAF （SAS ），∴BD =CF ，∠ABD =∠ACF =45°，∴∠FCB =∠ACF +∠ACB =90°，即CF ⊥BC ，∵BD +CD =BC ，∴CF +CD =BC ；故答案为：CF ⊥BC ，CF +CD =BC ．（2）结论：CF ⊥BC ，CF ﹣CD =BC ．理由：如图2中，∵∠BAC =90°，∠ABC =45°，∴∠ACB =∠ABC =45°，∴AB =AC ，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD =AF ，∠DAF =90°，∵∠BAD =90°+∠DAC ，∠CAF =90°+∠DAC ，∴∠BAD =∠CAF ，∵在△BAD 和△CAF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAF （SAS ），∴BD =CF ，∠ABD =∠ACF =45°，∴∠FCB =∠ACF +∠ACB =90°，即CF ⊥BC ，∴BC +CD =CF ，∴CF ﹣CD =BC ；（3）如图3中，∵∠BAC =90°，∠ABC =45°，∴∠ACB =∠ABC =45°，∴AB =AC ，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD =AF ，∠DAF =90°，∵∠BAD =90°﹣∠BAF ，∠CAF =90°﹣∠BAF ，∴∠BAD =∠CAF ，∵在△BAD 和△CAF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAF （SAS ），∴∠ACF =∠ABD ，BD =CF =5，∵∠ABC =45°，∴∠ABD =135°，∴∠ACF =∠ABD =135°，∴∠FCD =135°﹣45°=90°，∴△FCD 是直角三角形．∵OD =OF ，∴DF =2OC =13，∴Rt △CDF 中，CD 2222135DF CF -=-12，∴BC =DC ﹣BD =12﹣5=7，∴AB =AC =722， ∴S △ABC 1272492224=⨯=．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，判断出△BAD ≌△CAF 是解本题的关键．4．（1）见详解；（2）四边形ADCF 是矩形；证明见详解．【分析】（1）可证△AFE ≌△DBE ，得出AF=BD ，进而根据AF=DC ，得出D 是BC 中点的结论；（2）若AB=AC ，则△ABC 是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知AD ⊥BC ；而AF 与DC 平行且相等，故四边形ADCF 是平行四边形，又AD ⊥BC ，则四边形ADCF 是矩形．【详解】（1）证明：∵E 是AD 的中点，∴AE=DE ．∵AF ∥BC ，∴∠FAE=∠BDE ，∠AFE=∠DBE ．在△AFE 和△DBE 中，FAE BDE AFE DBE AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFE ≌△DBE （AAS ）．∴AF=BD ．∵AF=DC ，∴BD=DC ．即：D 是BC 的中点．（2）解：四边形ADCF 是矩形；证明：∵AF=DC ，AF ∥DC ，∴四边形ADCF 是平行四边形．∵AB=AC ，BD=DC ，∴AD ⊥BC 即∠ADC=90°．∴平行四边形ADCF 是矩形．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识综合运用．解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，以及全等三角形的判定和性质进行证明．5．（1）2；（2）证明见解析过程；（3）AE+EF-AF=2OA ．【分析】（1）通过测量可得；（2）过点C 作CG ⊥ON ，垂足为点G ，由AAS 可证△ABO ≌△BCG ，可得BG=AO ，BO=CG ，由SAS 可证△ABE ≌△CBE ，可得AE=CE ，由线段的和差关系可得结论；（3）过点C 作CG ⊥ON ，垂足为点G ，由AAS 可证△ABO ≌△BCG ，可得BG=AO ，BO=CG ，由SAS 可证△ABE ≌△CBE ，可得AE=CE ，可得结论．【详解】解：（1）△AEF 的周长是OA 长的2倍，故答案为：2；（2）如图4，过点C 作CG ⊥ON ，垂足为点G ，则∠CGB=90°，∴∠GCB+∠CBG=90°，又∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=90°，∠DBC=∠DBA=45°，则∠CBG+∠ABO=90°，∴∠GCB=∠ABO ，在△BCG 与△ABO 中，GCB ABO GCB AOB BC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCG ≌△ABO （AAS ），∴BG=AO ，CG=BO ，∵∠AOB=90°=∠CGB=∠CFO ，∴四边形CGOF 是矩形，∴CF=GO ，CG=OF=OB ，在△ABE 和△CBE 中，BE BE ABE CBE AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBE （SAS ），∴AE=CE ，∴△AEF 的周长=AE+EF+AF=CE+EF+AF=CF+AF=GO+AF=BG+BO+AF=2AO ；（3）如图5，过点C 作CG ⊥ON 于点G ，则∠CGB=90°，∴∠GCB+∠CBG=90°，又∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=90°，∠DBC=∠DBA=45°，则∠CBG+∠ABO=90°，∴∠GCB=∠ABO ，在△BCG 与△ABO 中GCB ABO GCB AOB BC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCG ≌△ABO （AAS ），∴BG=AO ，BO=CG ，∵∠AOB=90°=∠CGB=∠CFO ，∴四边形CGOF 是矩形，∴CF=GO ，CG=OF=OB ，在△ABE 和△CBE 中，BE BE ABE CBE AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBE （SAS ），∴AE=CE ，∴AE+EF-AF=EF+CE-AF=NB+BO-（OF-AO ）=OA+OB-（OB-OA ）=2OA ．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．6．【发现与证明．．】结论1：见解析，结论2：见解析；【应用与探究】AC 2或2. 【分析】【发现与证明．．】由平行四边形的性质得出∠EAC=∠ACB ，由翻折的性质得出∠ACB=∠ACB ′，证出∠EAC=∠ACB ′，得出AE=CE ；得出DE=B ′E ，证出∠CB′D=∠B′DA=12（180°-∠B′ED），由∠AEC=∠B′ED，得出∠ACB′=∠CB′D，即可得出B′D∥AC；【应用与探究】：分两种情况：①由正方形的性质得出∠CAB′=90°，得出∠BAC=90°，再由三角函数即可求出AC；②由正方形的性质和已知条件得出AC=BC=2．【详解】【发现与证明．．】:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC,AD∥BC，∴∠EAC=∠ACB，∵△ABC≌△AB′C，∴∠ACB=∠ACB′,BC=B′C，∴∠EAC=∠ACB′，∴AE=CE，即△ACE是等腰三角形；∴DE=B′E，∴∠CB′D=∠B′DA=12(180°−∠B′ED)，∵∠AEC=∠B′ED，∴∠ACB′=∠CB′D，∴B′D∥AC；【应用与探究】:分两种情况：①如图1所示：∵四边形ACDB′是正方形，∴∠CAB′=90°，∴∠BAC=90°，∵∠B=45°，∴AC=222BC ；②如图2所示：AC=BC=2；综上所述：AC2或2.【点睛】本题考查平行四边形的性质, 正方形的性质, 翻折变换（折叠问题）.【发现与证明．．】对于结论1，要证明三角形是等腰三角形，只需要证明它的两条边相等，而在同一个三角形内要证明两条线段相等只需要证明它们所对应的角相等（即用等角对等边证明）.结论2：要证明两条线段平行，本题用到了内错角相等，两直线平行.所以解决【发现与证明．．】的关键是根据已知条件找到对应角之间的关系. 【应用与探究】折叠时，因为正方形的四个角都是直角，所以对应线段之间存在共线情况，所以分BA 和AB’共线和BC 和B’C 两种情况讨论，能根据题意画出两种情况对应的图形，是解题关键.7．（1）9或5；（2）①见解析，②见解析【分析】（1）分两种情况：①如图1-1，得出正方形ABCD 的边长为3，求出正方形ABCD 的面积为9；②如图1-2，过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，则EF ⊥l 4，证明△ABE ≌△BCF （AAS ），得出AE=BF=2由勾股定理求出AB=225AE BE +=，即可得出答案；（2）①过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，作DM ⊥l 4于M ，证明△ABE ≌△BCF （AAS ），得出AE=BF ，同理△CDM ≌△BCF （AAS ），得出△ABE ≌△CDM （AAS ），得出BE=DM 即可； ②由①得出AE=BF=h 2+h 3=h 2+h 1，得出正方形ABCD 的面积S=AB 2=AE 2+BE 2，即可得到答案.【详解】解：（1）①如图，当点B D ，分别在14,l l 上时，面积为：339⨯=；②如图，当点B D ，分别在23,l l 上时，过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，则EF ⊥l 4，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，∵∠CBF+∠BCF=90°，∴∠ABE=∠BCF ，在△ABE 和△BCF 中90ABE BCF AEB BFC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△BCF （AAS ），∴AE=BF=2，∴AB=2222215AE BE +=+=，∴正方形ABCD 的面积=AB 2=5；综上所述，正方形ABCD 的面积为9或5；（2）①证明：过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，作DM ⊥l 4于M ，如图所示：则EF ⊥l 4，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，∵∠CBF+∠BCF=90°，∴∠ABE=∠BCF ，在△ABE 和△BCF 中，90ABE BCF AEB BFC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△BCF （AAS ），∴AE=BF ，同理△CDM ≌△BCF （AAS ），∴△ABE ≌△CDM （AAS ），∴BE=DM ，即h 1=h 3．②解：由①得：AE=BF=h 2+h 3=h 2+h 1，∵正方形ABCD 的面积：S=AB 2=AE 2+BE 2，∴S=（h 2+h 1）2+h 12=2h 12+2h 1h 2+h 22．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．8．（1）见解析；（2）GE=BE+GD 成立，理由见解析；（3）685【分析】（1）利用已知条件，可证出△BCE ≌△DCF (SAS )，即可得到CE=CF ；（2）借助（1）的结论得出∠BCE =∠DCF ，再通过角的计算得出∠GCF =∠GCE ，由SAS 可得△ECG ≌△FCG ，则EG=GF ，从而得出GE=DF+GD=BE+GD ；（3）过C 作CG ⊥AD ，交AD 延长线于G ，先证四边形ABCG 是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)，再设DE =x ，利用（1）、（2）的结论，在Rt △AED 中利用勾股定理构造方程即可求出DE ．【详解】（1）证明：如图①，在正方形ABCD 中，BC=CD ，∠B =∠ADC =90°，∴∠CDF=90°，即∠B =∠CDF =90°，在△BCE 和△DCF 中，BC DC B CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△DCF (SAS )，∴CE=CF ；（2）解：如图①，GE=BE+GD 成立，理由如下：由（1）得△BCE ≌△DCF ，∴∠BCE=∠DCF ，∴∠ECD +∠ECB=∠ECD +∠FCD ，即∠ECF =∠BCD =90°，又∵∠GCE =45°，∴∠GCF =∠ECF −∠ECG =45°，则∠GCF=∠GCE ，在△GEC 和△GFC 中，CE CF GCE GCF GC GC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GEC ≌△GFC (SAS )，∴EG=GF ，∴GE=DF+GD=BE+GD ；（3）解：如图②，过C 作CG ⊥AD 于G ，∴∠CGA=90°，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =∠B =90°，∴四边形ABCG 为矩形，又∵AB=BC ，∴四边形ABCG 为正方形，∴AG =BC=AB =16，∵∠DCE =45°，由（1）和（2）的结论可得：ED=BE+DG ，设DE=x ，∵4BE ＝，∴AE =12，DG=x −4，∴AD =AG −DG =20−x在Rt △AED 中，由勾股定理得：DE 2=AD 2+AE 2，即x 2=(20−x )2+122 解得：685=x ，即685=DE ．【点睛】本题是一道几何综合题，内容主要涉及全等三角形的判定与性质和勾股定理的应用，重点考查学生的数学学习能力，是一道好题．9．（1）2t =；（2）222=24PD PE PD PE ++⋅-； (3)①当06x ≤≤时，S △PAE ②当6x ≥时, S △PAE 【解析】【分析】（1）设直线AB 为3y kx =+，把B(-3,0)代入，求得k ，确定解析式；再设设t 秒后构成平行四边形，根据题意列出方程，求出t 即可；（2）过E 作关于x 轴对于点E ',连接EE′交x 轴于点P ,则此时PE+PD 最小.由（1）得到当t=2时，有C 0），D(3+,3)，再根据AB ∥CD ，求出直线CD 和AB 1的解析式，确定E 的坐标；然后再通过乘法公式和线段运算，即可完成解答.（3）根据（1）可以判断有06x ≤≤和6x ≥两种情况，然后分类讨论即可.【详解】（1）解：设直线AB 为3y kx =+，把B(-3,0)代入得：033k =-+∴1k =∴3y x由题意得：设t 秒后构成平行四边形，则 33332t t ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭解之得：2t =，（2）如图:过E 作关于x 轴对于点E ',连接EE′交x 轴于点P ,则此时PE+PD 最小.由（1）t=2得：∴C 30），D(33,3)∵AB ∥CD∴设CD 为1y x b =+把C 30）代入得b 1=3∴CD 为：y x 3=-易得1AB 为：3y x =-+ ∴33y x y x ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩解之得：E(332+33- ∴22222233332()32433PD PE PD PE PD PE E D '⎛-+++⋅=+==++=- ⎝⎭⎝⎭ (3)①当06x ≤≤时S △PAE =S △PAB1-S △PEB1=133(6)(33)(6)3224x x ⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭②当6x ≥时：S △PAE =S △PAB1-S △PEB1=133(6)(33)(6)32x x ⎛⎫--+--= ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题是一次函数的综合题型，主要考查了用待定系数求一次函数的关系式，点的坐标的确定，动点问题等知识点.解题的关键是扎实的基本功和面对难题的自信. 10．（1）证明见解析；（2）①AF 2AE =②42或22.【分析】 ()1如图①中，结论：AF 2AE =，只要证明AEF 是等腰直角三角形即可； ()2①如图②中，结论：AF 2AE =，连接EF ，DF 交BC 于K ，先证明EKF ≌EDA 再证明AEF 是等腰直角三角形即可；②分两种情形a 、如图③中，当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形.b 、如图④中当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形.分别求解即可.【详解】()1如图①中，结论：AF 2AE =．理由：四边形ABFD 是平行四边形，AB DF ∴=，AB AC =，AC DF ∴=，DE EC =，AE EF ∴=，DEC AEF 90∠∠==，AEF ∴是等腰直角三角形，AF 2AE ∴=．故答案为AF 2AE =．()2①如图②中，结论：AF 2AE =．理由：连接EF ，DF 交BC 于K ．四边形ABFD 是平行四边形，AB//DF ∴，DKE ABC 45∠∠∴==，EKF 180DKE 135∠∠∴=-=，EK ED =，ADE 180EDC 18045135∠∠=-=-=，EKF ADE ∠∠∴=，DKC C ∠∠=，DK DC ∴=，DF AB AC ==，KF AD ∴=，在EKF 和EDA 中，EK ED EKF ADE KF AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， EKF ∴≌EDA ，EF EA ∴=，KEF AED ∠∠=，FEA BED 90∠∠∴==，AEF ∴是等腰直角三角形，AF 2AE ∴=．②如图③中，当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形，设AE 交CD 于H ，易知EH DH CH 2===22AH (25)(2)32=-=，AE AH EH 42=+=，=时，四边形ABFD是菱形，易知如图④中当AD AC=-=-=，AE AH EH32222综上所述，满足条件的AE的长为4222【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点，属于中考常考题型．。

中考数学一轮复习平行四边形知识点总结含答案

中考数学一轮复习平行四边形知识点总结含答案一、选择题1．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形连接AC交EF 于G，下列结论: ①BE＝DF，②∠DAF＝15°，③AC⊥EF，④BE+DF＝EF，⑤EC＝FG；其中正确结论有( )个A．2 B．3 C．4 D．52．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连结BE分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①OG＝12AB；②与△EGD全等的三角形共有5个；③S四边形ODGF＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．其中正确的是（）A．①④B．①③④C．①②③D．②③④3．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上的一点，且AB=AE，过点A作AF⊥BE，垂足为F，交BD于点G，点H在AD上，且EH∥AF.若正方形ABCD的边长为2，下列结论：①OE=OG；②EH=BE；③AH=222-，其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个4．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，DC的中点，P为对角线AC上的一个动点，则下列线段的长等于BP EP+最小值的是( )A．AB B．CE C．AC D．AF5．如图，把正方形ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为,MN再过点B折叠纸片，使点A格在MN上的点F处，折痕为,BE若AB长为2,则EN的长为(（）A．233-B．322-C．22D．236．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠CBF为（）A．75°B．60°C．55°D．45°7．如图：点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形，且菱形AECF的周长为20，BD为24，则四边形ABCD的面积为（）A．24 B．36 C．72 D．1448．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H.给出如下几个结论：①△AED≌△DFB：②GC平分∠BGD；③S四边形BCDG＝34CG2；④∠BGE的大小为定值．其中正确的结论个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，在菱形ABCD中，AB=AC=1，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠FHC=∠B；③△ADO ≌△ACH ；④=3ABCD S 菱形；其中正确的结论个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E 且AB AE =，延长AB 与DE 的延长线相交于点F ，连接AC 、CF .下列结论：①ABC EAD △≌△；②ABE △是等边三角形；③BF AD =；④BEF ABC S S =△△；⑤CEF ABE S S =△△；其中正确的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题11．如图，在正方形ABCD 中，点,E F 将对角线AC 三等分，且6AC =．点P 在正方形的边上，则满足5PE PF +=的点P 的个数是________个．12．如图，四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝48°，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，则∠DHO ＝_____度．13．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，∠A ＝120°，E 是AB 的中点，点F 在平行四边形ABCD 的边上，若△AEF 为等腰三角形，则EF 的长为_____．14．如图，四边形纸片ABCD 中，AB BC =, 90ABC ADC ∠=∠=︒．若该纸片的面积为10 cm 2，则对角线BD =______cm ．15．如图，直线1l ，2l 分别经过点(1,0)和(4,0)且平行于y 轴．OABC 的顶点A ，C 分别在直线1l 和2l 上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为_________．16．如图，▱ABCD 中，∠DAB ＝30°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD 上的一动点，则2PB+ PD 的最小值等于______.17．如图，已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点M 是AC 边上任意一点，连接MB ，以MB 、MC 为邻边作平行四边形MCNB ，连接MN ，则MN 的最小值是______18．如图，四边形ABCP 是边长为4的正方形，点E 在边CP 上，PE =1；作EF ∥BC ，分别交AC 、AB 于点G 、F ，M 、N 分别是AG 、BE 的中点，则MN 的长是_________．19．在平行四边形 ABCD 中，AE 平分∠BAD 交边 BC 于 E，DF 平分∠ADC 交边 BC 于 F，若AD=11，EF=5，则 AB= ___．20．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=OB，E为AC上一点，BE平分∠ABO，EF⊥BC于点F，∠CAD=45°，EF交BD于点P，BP=5，则BC的长为_______．三、解答题21．如图，在Rt ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动．同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：AE＝DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由．22．在一次数学探究活动中，小明对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结⊥，则论：如图1，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC BD 2222+=+．AB CD AD BC（1）请帮助小明证明这一结论；（2）根据小明的探究，老师又给出了如下的问题：如图2，分别以Rt ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE .已知4AC =，5AB =，求GE 的长，请你帮助小明解决这一问题．23．如图1，在正方形ABCD 中，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，AM 、AN 分别交BD 于点P 、Q ，连接CQ 、MQ ．且CQ MQ =．（1）求证：QAB QMC ∠=∠（2）求证：90AQM ∠=︒（3）如图2，连接MN ，当2BM =，3CN =，求AMN 的面积图1 图224．已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交于BE 的延长线于点F ，且AF=DC ，连接CF ．（1）求证：D 是BC 的中点；（2）如果AB=AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．25．如图，在正方形ABCD 中，点M 是BC 边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.（1）在如图（1）的AB 边上求作一点N ，连接CN ，使CN AM =；（2）在如图（2）的AD 边上求作一点Q ，连接CQ ，使CQ AM .26．如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，过点E 作EF ∥AB 交PQ 于F ，连接BF ．（1）求证：四边形BFEP 为菱形；（2）当E 在AD 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随着移动．①当点Q 与点C 重合时，（如图2），求菱形BFEP 的边长；②如果限定P 、Q 分别在线段BA 、BC 上移动，直接写出菱形BFEP 面积的变化范围．27．矩形ABCD 中，AB =3，BC =4．点E ，F 在对角线AC 上，点M ，N 分别在边AD ，BC 上．（1）如图1，若AE =CF =1，M ，N 分别是AD ，BC 的中点．求证：四边形EMFN 为矩形．（2）如图2，若AE =CF =0.5，02AM CN x x ==<<（），且四边形EMFN 为矩形，求x 的值．28．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是AC 的一点，连接EB ，过点A 做AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 与BD 相交于点F ．（1）猜想：如图（1）线段OE 与线段OF 的数量关系为；（2）拓展：如图（2），若点E 在AC 的延长线上，AM ⊥BE 于点M ，AM 、DB 的延长线相交于点F ，其他条件不变，（1）的结论还成立吗？如果成立，请仅就图（2）给出证明；如果不成立，请说明理由．29．如图，等腰直角三角形OAB 的三个定点分别为(0,0)O 、(0,3)A 、(3,0)B -，过A 作y 轴的垂线1l .点C 在x 轴上以每秒3的速度从原点出发向右运动，点D 在1l 上以每秒332+的速度同时从点A 出发向右运动，当四边形ABCD 为平行四边形时C 、D 同时停止运动，设运动时间为t .当C 、D 停止运动时，将△OAB 沿y 轴向右翻折得到△1OAB ，1AB 与CD 相交于点E ，P 为x 轴上另一动点.(1)求直线AB 的解析式，并求出t 的值.(2)当PE+PD 取得最小值时，求222PD PE PD PE ++⋅的值.(3)设P 的运动速度为1，若P 从B 点出发向右运动，运动时间为x ，请用含x 的代数式表示△PAE 的面积.30．如图，ABCD 中，60ABC ∠=︒，连结BD ，E 是BC 边上一点，连结AE 交BD 于点F ．（1）如图1，连结AC ，若6AB AE ==，:5:2BC CE =，求ACE △的面积；（2）如图2，延长AE 至点G ，连结AG 、DG ，点H 在BD 上，且BF DH =，AF AH =，过A 作AM DG ⊥于点M ．若180ABG ADG ∠+∠=︒，求证：3BG GD +=．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据已知条件易证△ABE ≌△ADF ，根据全等三角形的性质即可判定①②；由正方形的性质就可以得出EC=FC ，就可以得出AC 垂直平分EF ，即可判定③；设EC=FC=x ，由勾股定理和三角函数计算后即可判定④⑤．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=AD ，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF 等边三角形，∴AE=EF=AF ，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，AE AF AB AD ⎧⎨⎩＝＝ , Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），∴BE=DF （故①正确）．∠BAE=∠DAF ，∴∠DAF+∠DAF=30°，即∠DAF=15°（故②正确），∵BC=CD ，∴BC-BE=CD-DF ，即CE=CF ，∵AE=AF ，∴AC 垂直平分EF ．（故③正确）．设EC=FC=x ，由勾股定理，得:,2EF CG FG x ===, ∴EC ≠FG （⑤错误）在Rt △AEG 中，sin 60sin 602sin 60AG AE EF CG ︒︒︒===⨯=,2AC ∴=,2x AB +∴=,BE x ∴==,BE DF x ∴+=-≠，（故④错误），综上所述，正确的结论为①②③，共3个，故选B ．【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题的关键．2．A解析：A【分析】由AAS 证明△ABG ≌△DEG ，得出AG=DG ，证出OG 是△ACD 的中位线，得出OG=12CD=12AB ，①正确；先证明四边形ABDE 是平行四边形，证出△ABD 、△BCD 是等边三角形，得出AB=BD=AD ，因此OD=AG ，得出四边形ABDE 是菱形，④正确；由菱形的性质得得出△ABG ≌△BDG ≌△DEG ，由SAS 证明△ABG ≌△DCO ，得出△ABO ≌△BCO ≌△CDO ≌△AOD ≌△ABG ≌△BDG ≌△DEG ，得出②不正确；证出OG 是△ABD 的中位线，得出OG ∥AB ，OG=12AB ，得出△GOD ∽△ABD ，△ABF ∽△OGF ，由相似三角形的性质和面积关系得出S 四边形ODGF =S △ABF ；③不正确；即可得出结果．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，AB ∥CD ，OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD ，∴∠BAG ＝∠EDG ，△ABO ≌△BCO ≌△CDO ≌△AOD ，∵CD ＝DE ，∴AB ＝DE ，在△ABG 和△DEG 中，BAG EDG AGB DGE AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABG ≌△DEG （AAS ），∴AG ＝DG ，∴OG 是△ACD 的中位线，∴OG ＝12CD ＝12AB ， ∴①正确；∵AB∥CE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD、△BCD是等边三角形，∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，④正确；∴AD⊥BE，由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，在△ABG和△DCO中，OD AGODC BAG60 AB DC ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ABG≌△DCO（SAS），∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，∴②不正确；∵OB＝OD，AG＝DG，∴OG是△ABD的中位线，∴OG∥AB，OG＝12 AB，∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，∴△GOD的面积＝14△ABD的面积，△ABF的面积＝△OGF的面积的4倍，AF：OF＝2：1，∴△AFG的面积＝△OGF的面积的2倍，又∵△GOD的面积＝△AOG的面积＝△BOG的面积，∴S四边形ODGF＝S△ABF；③不正确；正确的是①④．故选A．【点睛】本题考查菱形的判定与性质, 全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，熟练掌握性质，能通过性质推理出图中线段、角之间的关系是解题关键.3．D解析：D【分析】根据正方形的性质及全等三角形的判定与性质即可分别求证判断.【详解】在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOG=∠BOE，AC⊥BD∵AF⊥BE，∴∠EAF+∠BEO=∠BEO+∠OBE=90°，∴∠OAG=∠OBE，∴△OAG≌△OBE，故OE=OG，①正确；∵AB=AE,∴∠ABE=∠AEB，∵EH∥AF∴HE⊥BE，∴∠AEF+∠AEH=∠ABE+∠CBE,∴∠AEH=∠CBE又∵AE=AB=CB,∠HAE=∠ECB=45°，∴△AEH≌△CBE，∴EH=BE，②正确；∵△AEH≌△CBE,AC=22+=2222∴AH=CE=AC-AE=22-2，③正确.故选D【点睛】此题主要考查正方形的性质与线段的证明，解题的关键是熟知正方形的性质定理及全等三角形的判定与性质.4．D解析：D【解析】【分析】+的最小值连接DP，当点D，P，E在同一直线上时，由△PCF≌△PCB可得DP=BP,BP EP+最小值等于线段AF的长.为DE长，依据△ADF≌△DCE，AF=DE,即可得到BP EP【详解】解：如图，连接DP，∵PC=PC, ∠PCD=∠PCB=45°∴△PCF≌△PCB∴BP=DP∴BP+PE =DP+PE+的最小值为DE长，∴当点D，P，E在同一直线上时，BP EP又∵AB=CD，∠ADF=∠ECD，DF=EC，∴△ADF≌△DCE∴AF=DE，+最小值等于线段AF的长，∴BP EP故选：D．【点睛】本题考查的是轴对称，最短路线问题，根据题意作出A关于BD的对称点C是解答此题的关键．5．A解析：A【分析】根据翻转变换的性质求出BM 、BF ，根据勾股定理计算求出FM 的值；再在Rt △NEF 中，运用勾股定理列方程求解，即可得到EN 的长．【详解】∵四边形ABCD 为正方形，AB=2，过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，∴FB=AB=2，BM=12BC=1，BF=BA=2，∠BMF=90°，则在Rt △BMF 中，FM ==∴2FN MN FM =-=-设AE=FE=x ，则EN=1x -，∵Rt △EFN 中，222NE NF EF +=，∴()(22212x x -+=，解得：4x =-∴EN=13x -=．故选：A ．【点睛】本题考查了翻转变换的性质、勾股定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．6．A解析：A【分析】根据正方形的性质及等边三角形的性质求出∠ABE=15°，∠BAC=45°，再求∠BFC ，进而得出∠CBF ．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，又∵△ADE 是等边三角形，∴AE=AD=DE ，∠DAE=60°，∴AB=AE ，∴∠ABE=∠AEB ，∠BAE=90°+60°=150°，∴∠ABE=（180°-150°）÷2=15°，又∵∠BAC=45°，∴∠BFC=45°+15°=60°．∴∠BFA=180°-60°=120°，∴∠CBF=180°-∠BCA-∠BFC=180°-45°-60=75°，故选：A．【点睛】本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，解本题的关键是求出∠ABE=15°．7．C解析：C【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF，再求出BO＝OD，证明四边形ABCD是菱形，根据菱形的四条边都相等求出边长AE，根据菱形的对角线互相平分求出OE，然后利用勾股定理列式求出AO，再求出AC，最后根据四边形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．【详解】解：如图，连接AC交BD于点O，∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF，又∵点E、F为线段BD的两个三等分点，∴BE＝FD，∴BO＝OD，∵AO＝OC，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形；∵四边形AECF为菱形，且周长为20，∴AE＝5，∵BD＝24，点E、F为线段BD的两个三等分点，∴EF＝8，OE＝12EF＝12×8＝4，由勾股定理得，AO22AE OE-2254-3，∴AC＝2AO＝2×3＝6，∴S四边形ABCD＝12BD•AC＝12×24×6＝72；故选：C．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理以及利用菱形对角线求面积的方法，熟记菱形的性质与判定方法是解题的关键．8．D解析：D【分析】①先证明△ABD为等边三角形,根据“SAS”证明△AED≌△DFB;②证明∠BGE＝60︒＝∠BCD,从而得点B、C、D、G四点共圆,因此∠BGC＝∠DGC＝60︒;③过点C作CM⊥GB于M,CN⊥GD于N.证明△CBM≌△CDN,所以S四边形BCDG＝S四边形CMGN,易求后者的面积;④∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60︒,故为定值.【详解】解：①∵ABCD为菱形,∴AB＝AD,∵AB＝BD,∴△ABD为等边三角形,∴∠A＝∠BDF＝60︒又∵AE＝DF,AD＝BD,∴△AED≌△DFB（SAS）,故本选项正确;②∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60︒＝∠BCD,即∠BGD+∠BCD＝180︒,∴点B、C、D、G四点共圆,∴∠BGC＝∠BDC＝60︒,∠DGC＝∠DBC＝60︒,∴∠BGC＝∠DGC＝60︒,故本选项正确;③过点C作CM⊥GB于M,CN⊥GD于N（如图）,则△CBM≌△CDN（AAS）,∴S四边形BCDG＝S四边形CMGNS四边形CMGN＝2S△CMG,∵∠CGM＝60︒,∴GM＝12CG,CM3∴S四边形CMGN＝2S△CMG＝2×12×12332,故本选项正确;④∵∠BG E＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60︒,为定值,故本选项正确;综上所述,正确的结论有①②③④,故选：D.【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定、等边三角形的判定与性质,解决本题的关键是掌握菱形的性质．9．B解析：B【分析】根据菱形的性质，利用SAS证明即可判断①；根据△ABF≌△CAE得到∠BAF=∠ACE，再利用外角的性质以及菱形内角度数即可判断②；通过说明∠CAH≠∠DAO，判断△ADO≌△ACH不成立，可判断③；再利用菱形边长即可求出菱形面积，可判断④.【详解】解：∵在菱形ABCD中，AB=AC=1，∴△ABC为等边三角形，∴∠B=∠CAE=60°，又∵AE=BF，∴△ABF≌△CAE（SAS），故①正确；∴∠BAF=∠ACE，∴∠FHC=∠ACE+∠HAC=∠BAF+∠HAC=60°，故②正确；∵∠B=∠CAE=60°，则在△ADO和△ACH中，∠OAD=60°=∠CAB，∴∠CAH≠60°，即∠CAH≠∠DAO，∴△ADO≌△ACH不成立，故③错误；∵AB=AC=1，过点A作AG⊥BC，垂足为G，∴∠BAG=30°，BG=12，∴∴菱形ABCD的面积为：BC AG⨯=1=故正确的结论有2个，故选B.【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，菱形的性质和面积，等边三角形的判定和性质，外角的性质，解题的关键是利用菱形的性质证明全等.10．B解析：B【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义得出∠BAE =∠BEA ，得出AB =BE =AE ，得出②正确；由△ABE 是等边三角形得出∠ABE =∠EAD =60°，由SAS 证明△ABC ≌△EAD ，得出①正确；由S △AEC =S △DEC ，S △ABE =S △CEF 得出⑤正确；③和④不正确．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC ，∴∠EAD =∠AEB ，又∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE =∠DAE ，∴∠BAE =∠BEA ，∴AB =BE ，∵AB =AE ，∴△ABE 是等边三角形；②正确；∴∠ABE =∠EAD =60°，在△ABC 和△EAD 中，AB AE ABE EAD BC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△EAD （SAS ）；①正确；∵△FCD 与△ABC 等底（AB =CD ）等高（AB 与CD 间的距离相等），∴S △FCD =S △ABC ，又∵△AEC 与△DEC 同底等高，∴S △AEC =S △DEC ，∴S △ABE =S △CEF ；⑤正确．若AD 与BF 相等，则BF =BC ，题中未限定这一条件，∴③不一定正确；若S △BEF =S △ACD ；则S △BEF =S △ABC ，则AB =BF ，∴BF =BE ，题中未限定这一条件，∴④不一定正确；正确的有①②⑤．故选：B ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积关系；此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析．二、填空题11．8个【分析】作点F 关于BC 的对称点M ，连接FM 交BC 于点N ，连接EM ，交BC 于点H ，可得点H 到点E 和点F 的距离之和最小，可求最小值，即可求解．【详解】如图，作点F 关于BC 的对称点M ，连接FM 交BC 于点N ，连接EM ，交BC 于点H ， ∵点E ，F 将对角线AC 三等分，且AC ＝6，∴EC ＝4，FC ＝2＝AE ，∵点M 与点F 关于BC 对称，∴CF ＝CM ＝2，∠ACB ＝∠BCM ＝45°，∴∠ACM ＝90°，∴EM则在线段BC 存在点H 到点E 和点F 的距离之和最小为5，在点H 右侧，当点P 与点C 重合时，则PE ＋PF ＝4＋2＝6，∴点P 在CH 上时，PE ＋PF ≤6，在点H 左侧，当点P 与点B 重合时，∵FN ⊥BC ，∠ABC ＝90°，∴FN ∥AB ，∴△CFN ∽△CAB ， ∴FN CN CF 1===AB CB CA 3，∵AB ＝BC ＝2AC ＝∴FN ＝13AB ，CN＝13BC＝2，∴BN＝BC－CN＝22，BF＝22FN+BN=2+8=10，∵AB＝BC，CF＝AE，∠BAE＝∠BCF，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴BE＝BF＝10，∴PE＋PF＝210，∴点P在BH上时，25＜PE＋PF＜210，∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE＋PF＝5，同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE＋PF＝5．即共有8个点P满足PE＋PF＝5，故答案为8．【点睛】本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点H，使点H到点E和点F的距离之和最小是本题的关键．12．24【分析】由菱形的性质可得OD＝OB，∠COD＝90°，由直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，可得OH＝12BD＝OB，可得∠OHB＝∠OBH，由余角的性质可得∠DHO＝∠DCO，即可求解．【详解】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，∠COD＝90°，∠DAB＝∠DCB＝48°，∵DH⊥AB，∴OH＝12BD＝OB，∴∠OHB＝∠OBH，又∵AB∥CD，∴∠OBH＝∠ODC，在Rt △COD 中，∠ODC +∠DCO ＝90°，在Rt △DHB 中，∠DHO +∠OHB ＝90°，∴∠DHO ＝∠DCO ＝12∠DCB ＝24°，故答案为：24．【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，余角的性质，是几何综合题，判断出OH 是BD 的一半，和∠DHO ＝∠DCO 是解决本题的关键．13．33或3或572 【分析】△AEF 为等腰三角形，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和30°直角三角形性质、平行四边形的性质可求解．【详解】解：当AE AF =时，如图，过点A 作AH EF ⊥于H ，E 是AB 的中点，132AE AB ∴==， =AE AF ，AH EF ⊥，120A ∠=︒，30AEF AFE ∴∠=∠=︒，FH EH =，1322AH AE ∴==，333EH AH ==， 233EF EH ∴==，当AF EF =时，如图2，过点A 作AN CD ⊥于N ，过点F 作FM AB ⊥于M ，图2在平行四边形ABCD 中，6AB =，4BC =，120A ∠=︒，4AD BC ∴==，60ADC ∠=︒，30DAN ∴∠=︒，122DN AD ∴==，323AN DN ==， //AB CD ，AN CD ⊥，FM AB ⊥，23AN MF ∴==，AF EF =，FM AB ⊥，32AM ME ∴==， 229571242EF ME MF ∴=+=+=；当3AE EF ==时，如图3，图33EF ∴=，综上所述：EF 的长为33或3或57．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．14．25【分析】作BE ⊥AD 于E ，BF ⊥CD 于F ，则四边形BEDF 是矩形，证明△ABE ≌△CBF （AAS ），得出BE=BF ，△ABE 的面积=△CBF 的面积，则四边形BEDF 是正方形，四边形ABCD 的面积=正方形BEDF 的面积，求出BE=10，即可求得BD 的长．【详解】解：作BE ⊥AD 交DA 延长线于E ，BF ⊥CD 于F ，如图所示：则∠BEA=∠BFC=90°，∵∠ADC=90°，∴四边形BEDF 是矩形，∴∠EBF=90°，∵∠ABC=90°，∴∠EBF=∠ABC=90°，∴∠ABE=∠CBF ，在△ABE 和△CBF 中，BEA BFC ABE CBF AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBF （AAS ），∴BE=BF ，△ABE 的面积=△CBF 的面积，∴四边形BEDF 是正方形，四边形ABCD 的面积=正方形BEDF 的面积，∴BE=DE ，BE 2=10 cm 2，∴(cm)，∴．故答案为：【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．15．5【分析】过点B 作BD ⊥l 2，交直线l 2于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴，交x 轴于点E ．则OABC 是平行四边形，所以OA=BC ，又由平行四边形的性质可推得∠OAF=∠BCD ，则可证明△OAF ≌△BCD ，所以OE 的长固定不变，当BE 最小时，OB 取得最小值，从而可求．【详解】解：过点B 作BD ⊥l 2，交直线x=4于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴，交x 轴于点E ，直线l 1与OC 交于点M ，与x 轴交于点F ，直线l 2与AB 交于点N ．∵四边形OABC 是平行四边形，∴∠OAB=∠BCO ，OC ∥AB ，OA=BC ，∵直线l 1与直线l 2均垂直于x 轴，∴AM ∥CN ，∴四边形ANCM 是平行四边形，∴∠MAN=∠NCM ，∴∠OAF=∠BCD ，∵∠OFA=∠BDC=90°，∴∠FOA=∠DBC ，在△OAF 和△BCD 中，FOA DBC OA BCOAF BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△OAF ≌△BCD （ASA ），∴BD=OF=1，∴OE=4+1=5，∴OB=22OE BE +．由于OE 的长不变，所以当BE 最小时（即B 点在x 轴上），OB 取得最小值，最小值为OB=OE=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 16．6【分析】过点P 作PE ⊥AD 交AD 的延长线于点E ，根据四边形ABCD 是平行四边形，得到 AB ∥CD ，推出PE=12PD ，由此得到当PB+PE 最小时2PB+ PD 有最小值，此时P 、B 、E 三点在同一条直线上，利用∠DAB ＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE 的最小值=12AB=3，得到2PB+ PD 的最小值等于6.【详解】过点P 作PE ⊥AD 交AD 的延长线于点E ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，∴∠EDC=∠DAB ＝30°，∴PE=12PD ， ∵2PB+ PD=2（PB+12PD ）=2(PB+PE)， ∴当PB+PE 最小时2PB+ PD 有最小值，此时P 、B 、E 三点在同一条直线上，∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∴PB+PE的最小值=12AB=3，∴2PB+ PD的最小值等于6，故答案为：6.【点睛】此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键.17．120 13【分析】设MN与BC交于点O，连接AO，过点O作OH⊥AC于H点，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求AO和OH长，若MN最小，则MO最小即可，而O点到AC的最短距离为OH 长，所以MN最小值是2OH．【详解】解：设MN与BC交于点O，连接AO，过点O作OH⊥AC于H点，∵四边形MCNB是平行四边形，∴O为BC中点，MN＝2MO．∵AB＝AC＝13，BC＝10，∴AO⊥BC．在Rt△AOC中，利用勾股定理可得AO2222135AC CO-=-12．利用面积法：AO×CO＝AC×OH，即12×5＝13×OH，解得OH＝60 13．当MO最小时，则MN就最小，O点到AC的最短距离为OH长，所以当M点与H点重合时，MO最小值为OH长是60 13．所以此时MN 最小值为2OH ＝12013．故答案为：12013．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短、勾股定理、等腰三角形的性质，解题的关键是分析出点到某线段的垂线段最短，由此进行转化线段，动中找静．18．5【分析】先判断四边形BCEF 的形状，再连接FM FC 、，利用正方形的性质得出AFG 是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质得出12MN FC =即可．【详解】∵四边形ABCP 是边长为4的正方形，//EF BC ，∴四边形BCEF 是矩形， ∵1PE =，∴3CE =，连接FM FC 、，如图所示：∵四边形ABCP 是正方形，∴=45BAC ∠ ，AFG 是等腰直角三角形，∵M 是AG 的中点，即有AM MG = ，∴FM AG ⊥，FMC 是直角三角形，又∵N 是FC 中点，12MN FC =， ∵225FC BF BC =+=∴ 2.5MN =，故答案为：2.5 ．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在于合理作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解．19．8或3【分析】根据AE 和DF 是否相交分类讨论，分别画出对应的图形，根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边即可得出结论．【详解】解：①当AE和DF相交时，如下图所示∵四边形ABCD为平行四边形，AD=11，EF=5，∴BC=AD=11，AD∥BC，AB=CD∴∠DAE=∠BEA，∠ADF=∠CFD∵AE 平分∠BAD，DF 平分∠ADC∴∠DAE=∠BAE，∠ADF=∠CDF∴∠BEA=∠BAE，∠CFD=∠CDF∴BE=AB，CF=CD∴BE=AB= CD= CF∵BE＋CF=BC＋EF∴2AB=11＋5解得：AB=8；②当AE和DF不相交时，如下图所示∵四边形ABCD为平行四边形，AD=11，EF=5，∴BC=AD=11，AD∥BC，AB=CD∴∠DAE=∠BEA，∠ADF=∠CFD∵AE 平分∠BAD，DF 平分∠ADC∴∠DAE=∠BAE，∠ADF=∠CDF∴∠BEA=∠BAE，∠CFD=∠CDF∴BE=AB，CF=CD∴BE=AB= CD= CF∵BE＋CF＋EF =BC∴2AB＋5=11解得：AB=3综上所述：AB=8或3故答案为：8或3．【点睛】此题考查的是平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等腰三角形的性质，掌握平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边是解决此题的关键．20．4【分析】过点E 作EM ∥AD ，由△ABO 是等腰三角形，根据三线合一可知点E 是AO 的中点，可证得EM=12AD=12BC ，根据已知可求得∠CEF=∠ECF=45°，从而得∠BEF=45°，△BEF 为等腰直角三角形，可得BF=EF=FC=12BC ，因此可证明△BFP ≌△MEP （AAS ），则EP=FP=12FC ，在Rt △BFP 中，利用勾股定理可求得x ，即得答案．【详解】过点E 作EM ∥AD ，交BD 于M ，设EM=x ，∵AB=OB ，BE 平分∠ABO ，∴△ABO 是等腰三角形，点E 是AO 的中点，BE ⊥AO ，∠BEO=90°，∴EM 是△AOD 的中位线，又∵ABCD 是平行四边形，∴BC=AD=2EM=2x ，∵EF ⊥BC ， ∠CAD=45°，AD ∥BC ，∴∠BCA=∠CAD=45°，∠EFC=90°，∴△EFC 为等腰直角三角形，∴EF=FC ，∠FEC=45°，∴∠BEF=90°-∠FEC=45°，则△BEF 为等腰直角三角形，∴BF=EF=FC=12BC=x ， ∵EM ∥BF ，∴∠EMP=∠FBP ，∠PEM=∠PFB=90°，EM=BF ，则△BFP ≌△MEP （ASA ），∴EP=FP=12EF=12FC=12x ， ∴在Rt △BFP 中，222BP BF PF =+，即：2221()2x x =+，解得：2x =，∴BC=2x =4，故答案为：4．【点睛】考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三线合一的应用，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理求三角形边长，熟记图形的性质定理是解题的关键．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）能，10；（3）152，理由见解析；【分析】（1）利用题中所给的关系式，列出CD，DF，AE的式子，即可证明．（2）由题意知，四边形AEFD是平行四边形，令AD=DF，求解即可得出t值．（3）由题意可知，当DE∥BC时，△DEF为直角三角形，利用AD+CD=AC的等量关系，代入式子求值即可．【详解】（1）由题意知：三角形CFD是直角三角形∵∠B＝90°，∠A＝60°∴∠C=30°，CD=2DF，又∵由题意知CD=4t，AE=2t，∴CD=2AE∴AE=DF．（2）能，理由如下；由（1）知AE=DF又∵DF⊥BC，∠B＝90°∴AE∥DF∴四边形AEFD是平行四边形．当AD=DF时，平行四边形AEFD是菱形∵AC＝60cm，DF=12CD，CD=4t，∴AD=60-4t，DF=2t，∴60-4t=2t∴t=10．（3）当t 为152时，△DEF 为直角三角形，理由如下；由题意知：四边形AEFD 是平行四边形，DF ⊥BC ，AE ∥DF ，∴当DE ∥BC 时，DF ⊥DE∴∠FDE=∠DEA=90°在△AED 中，∵∠DEA=90°，∠A ＝60°，AE=2t∴AD=4t ，又∵AC ＝60cm ，CD=4t ，∴AD+CD=AC ，8t=60，∴t=152．即t=152时，∠FDE=∠DEA=90°，△DEF 为直角三角形．【点睛】本题主要考查了三角形、平行四边形及菱形的性质，正确掌握三角形、平行四边形及菱形的性质是解题的关键．22．（1）证明见解析；（2）73．【分析】（1）由题意根据勾股定理分别表示出2222,AB CD AD BC ++进行分析求证即可；（2）根据题意连接CG 、BE ，证明△GAB ≌△CAE ，进而得BG ⊥CE ，再根据（1）的结论进行分析即可求出答案．【详解】解：（1）∵AC ⊥BD ，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得，222222AD BC AO DO BO CO +=+++，222222AB CD AO BO CO DO +=+++，∴2222AD BC AB CD +=+；（2）连接CG 、BE ，如图2，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC ，即∠GAB=∠CAE ，在△GAB 和△CAE 中，AG AC GAB CAE AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GAB ≌△CAE （SAS ），∴∠ABG=∠AEC ，又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE ⊥BG ，由（1）得，2222CG BE CB GE +=+，∵AC=4，AB=5，∴BC=3，，，∴222273GE CG BE CB =+-=，∴【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，熟练并正确理解全等三角形的判定和性质以及灵活运用勾股定理是解题的关键．23．（1）见解析（2）见解析（3）15【分析】（1）根据四边形ABCD 是正方形，得到∠QBA ＝∠QBC ，进而可得△QBA ≌ △QBC ，∠QAB ＝∠QCB ，再根据CQ ＝MQ ，得到∠QCB ＝∠QMC ，即可求证；（2）根据∠QAB ＝∠QMC ，∠QMC ＋∠QMB ＝180°，得到∠QAB ＋∠QMB ＝180°，在四边形QABM 中，∠QAB ＋∠QMB ＋∠ABM ＋∠AQM ＝360°可得∠ABM ＋∠AQM ＝180°，再根据∠ABM ＝90°即可求解；（3）设正方形ABCD 的边长为a ，延长ND 至点H ，使DH ＝BM ＝2，证得△ADH ≌△ABM ，得到∠DAH ＝∠BAM ，且AH ＝AM ，由（2）知，△QAM 是等腰直角三角形，易得∠NAM ＝∠NAH ，进而得到△NAM ≌ △NAH ，在Rt △MNC 中，利用勾股定理得到6a =，即可求解．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形∴∠QBA ＝∠QBC在△QBA 和△QBC 中BA BC QBA QBC QB QB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△QBA ≌ △QBC （SAS ）∴∠QAB ＝∠QCB又∵CQ ＝MQ∴∠QCB ＝∠QMC∴∠QAB ＝∠QMC （2）∵∠QAB ＝∠QMC又∵∠QMC ＋∠QMB ＝180°∴∠QAB ＋∠QMB ＝180°在四边形QABM 中∠QAB ＋∠QMB ＋∠ABM ＋∠AQM ＝360°∴∠ABM ＋∠AQM ＝180°而∠ABM ＝90°∴∠AQM ＝90°（3）设正方形ABCD 的边长为a ，则2MC a =-，3ND a =-延长ND 至点H ，使DH ＝BM ＝2易证△ADH ≌ △ABM∴∠DAH ＝∠BAM ，且AH ＝AM由（2）知，△QAM 是等腰直角三角形∴∠QAM ＝45°∴∠DAN ＋∠BAM ＝45°∴∠DAN ＋∠DAH ＝45°即∠NAH ＝45°∴∠NAM ＝∠NAH∴△NAM ≌ △NAH （SAS ）∴NM ＝NH ＝()321a a -+=-在Rt △MNC 中，222MN MC NC =+∴()()222123a a -=-+∴6a = ∴11651522AMN AHN S S AD NH ==⋅=⨯⨯=【点睛】此题主要考查正方形的性质、全等三角形的判断和性质、四边形的内角和、等腰直角三角形的性质及勾股定理，灵活运用性质是解题关键．24．（1）见详解；（2）四边形ADCF 是矩形；证明见详解．【分析】（1）可证△AFE ≌△DBE ，得出AF=BD ，进而根据AF=DC ，得出D 是BC 中点的结论；（2）若AB=AC ，则△ABC 是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知AD ⊥BC ；而AF 与DC 平行且相等，故四边形ADCF 是平行四边形，又AD ⊥BC ，则四边形ADCF 是矩形．【详解】（1）证明：∵E 是AD 的中点，∴AE=DE ．∵AF ∥BC ，∴∠FAE=∠BDE ，∠AFE=∠DBE ．在△AFE 和△DBE 中，FAE BDE AFE DBE AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFE ≌△DBE （AAS ）．∴AF=BD ．∵AF=DC ，∴BD=DC ．即：D 是BC 的中点．（2）解：四边形ADCF 是矩形；证明：∵AF=DC ，AF ∥DC ，∴四边形ADCF 是平行四边形．∵AB=AC ，BD=DC ，∴AD ⊥BC 即∠ADC=90°．。

中考数学一轮复习平行四边形知识点及练习题含答案

中考数学一轮复习平行四边形知识点及练习题含答案一、选择题1．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE，分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论：①OG＝12AB；②图中与△EGD 全等的三角形共有5个；③以点A、B、D、E为项点的四边形是菱形；④ S四边形ODGF＝ S△ABF．其中正确的结论是（）A．①③B．①③④C．①②③D．②②④2．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点(点P不与点B、D重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③仅有当∠DAP＝45°或67.5°时，△APD是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP：⑤22PD＝EC．其中有正确有()个．A．2 B．3 C．4 D．53．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，连接BC′，E为BC′的中点，连接CE,则CE的最大值为( ).A5B21C．212+D．512+4．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC =28.8．其中正确结论的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．15．如图，在ABC ，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，点P 为斜边AB 上一动点，过点P 作PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，连结EF ，则线段EF 的最小值为（）A ．1.2B ．2.4C ．2.5D ．4.86．如图，点E 在正方形ABCD 外，连接AE BE DE ，，，过点A 作AE 的垂线交DE 于F ，若210AE AF BF ===，，则下列结论不正确的是( )A ．AFD AEB ∆≅∆B ．点B 到直线AE 的距离为2C ．EB ED ⊥ D ．16AFD AFB S S ∆∆+=+7．如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线分别与EF 的延长线交于点H 、G ，则( )A ．AHE BGE ∠>∠B ．AHE BGE ∠=∠C ．AHE BGE ∠<∠D ．AHE ∠与BGE ∠的大小关系不确定8．线段AB上有一动点C（不与A，B重合），分别以AC，BC为边向上作等边△ACM和等边△BCN，点D是MN的中点，连结AD，BD，在点C的运动过程中，有下列结论：①△ABD可能为直角三角形；②△ABD可能为等腰三角形；③△CMN可能为等边三角形；④若AB=6，则AD+BD的最小值为37. 其中正确的是（）A．②③B．①②③④C．①③④D．②③④9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的长的最小值是( )A．2.5 B．2.4 C．2.2 D．210．如图，矩形ABCD和矩形CEFG，AB＝1，BC＝CG＝2，CE＝4，点P在边GF上，点Q 在边CE上，且PF＝CQ，连结AC和PQ，M，N分别是AC，PQ的中点，则MN的长为（）A．3 B．6 C．372D．17二、填空题11．在平行四边形ABCD 中， BC边上的高为4 ，AB=5 ，25AC ，则平行四边形ABCD 的周长等于______________ ．12．如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A，B两点，“九曲桥”的每一段与AC平行或BD平行，若AB＝100m，∠A＝∠B＝60°，则此“九曲桥”的总长度为_____．13．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，3AB =，2AC =，则BD 的长为_______________．14．如图，四边形ABCD ，四边形EBFG ，四边形HMPN 均是正方形，点E 、F 、P 、N 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，点H 、G 、M 在AC 上，阴影部分的面积依次记为1S ，2S ，则12:S S 等于__________．15．如图，以Rt ABC 的斜边AB 为一边，在AB 的右侧作正方形ABED ，正方形对角线交于点O ，连接CO ，如果AC=4，CO=62，那么BC=______．16．如图，在正方形ABCD 中，点,E F 将对角线AC 三等分，且6AC =．点P 在正方形的边上，则满足5PE PF +=的点P 的个数是________个．17．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，E 为BC 边上一动点，作EF ⊥AE ，且EF ＝AE ．连接DF ，AF ．当DF ⊥EF 时，△ADF 的面积为_____．18．如图，▱ABCD 中，∠DAB ＝30°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD 上的一动点，则2PB+ PD 的最小值等于______.19．如图，有一张长方形纸片ABCD ，4AB =，3AD =．先将长方形纸片ABCD 折叠，使边AD 落在边AB 上，点D 落在点E 处，折痕为AF ；再将AEF ∆沿EF 翻折，AF 与BC 相交于点G ，则FG 的长为___________．20．如图，在四边形ABCD 中， //,5,18,AD BC AD BC E ==是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动;点Q 同时以每秒3个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动，当运动时间为t 秒时，以点,,,P Q E D 为顶点的四边形是平行四边形，则t 的值等于_______．三、解答题21．如图，在Rt ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/s 的速度向点A 匀速运动．同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是ts （0＜t≤15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ．（1）求证：AE ＝DF ；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由；（3）当t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由．22．如图1，在正方形ABCD 中，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，AM 、AN 分别交BD 于点P 、Q ，连接CQ 、MQ ．且CQ MQ =．（1）求证：QAB QMC ∠=∠（2）求证：90AQM ∠=︒（3）如图2，连接MN ，当2BM =，3CN =，求AMN 的面积图1 图223．如图，点A 、F 、C 、D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB =DE ，∠A =∠D ，AF =DC ．（1）求证：四边形BCEF 是平行四边形；（2）若∠DEF =90°，DE =8，EF =6，当AF 为时，四边形BCEF 是菱形．24．已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交于BE 的延长线于点F ，且AF=DC ，连接CF ．（1）求证：D 是BC 的中点；（2）如果AB=AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．25．如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，AE =AD ，作DF ⊥AE 于点F ．（1）求证：AB ＝AF ；（2）连BF 并延长交DE 于G ．①EG ＝DG ；②若EG ＝1，求矩形ABCD 的面积．26．如图，在平面直角坐标系中，已知▱OABC 的顶点A （10，0）、C （2，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上由点B 向点C 运动．（1）求点B 的坐标；（2）若点P 运动速度为每秒2个单位长度，点P 运动的时间为t 秒，当四边形PCDA 是平行四边形时，求t 的值；（3）当△ODP 是等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．27．（解决问题）如图1，在ABC ∆中，10AB AC ==，CG AB ⊥于点G ．点P 是BC 边上任意一点，过点P 作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为点E ，点F ．（1）若3PE =，5PF =，则ABP ∆的面积是______，CG =______．（2）猜想线段PE ，PF ，CG 的数量关系，并说明理由．（3）（变式探究）如图2，在ABC ∆中，若10AB AC BC ===，点P 是ABC ∆内任意一点，且PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，垂足分别为点E ，点F ，点G ，求PE PF PG ++的值．（4）（拓展延伸）如图3，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C '处，点P 为折痕EF 上的任意一点，过点P 作PG BE ⊥，PH BC ⊥，垂足分别为点G ，点H ．若8AD =，3CF =，直接写出PG PH +的值．28．已知正方形ABCD 与正方形（点C 、E 、F 、G 按顺时针排列），是的中点，连接，.（1）如图1，点E 在上，点在的延长线上，求证：DM =ME ，DM ⊥.ME简析：由是的中点，AD ∥EF ，不妨延长EM 交AD 于点N ，从而构造出一对全等的三角形，即 ≌ .由全等三角形性质，易证△DNE 是三角形,进而得出结论.（2）如图2，在DC 的延长线上，点在上，（1）中结论是否成立？若成立,请证明你的结论；若不成立，请说明理由.（3）当AB=5，CE=3时，正方形的顶点C 、E 、F 、G 按顺时针排列.若点E 在直线CD 上，则DM= ;若点E 在直线BC 上，则DM= .29．如图，四边形ABCD 为正方形.在边AD 上取一点E ，连接BE ，使60AEB ∠=︒.（1）利用尺规作图（保留作图痕迹）：分别以点B 、C 为圆心，BC 长为半径作弧交正方形内部于点T ，连接BT 并延长交边AD 于点E ，则60AEB ∠=︒；（2）在前面的条件下，取BE 中点M ，过点M 的直线分别交边AB 、CD 于点P 、Q . ①当PQ BE ⊥时，求证：2BP AP =；②当PQ BE =时，延长BE ，CD 交于N 点，猜想NQ 与MQ 的数量关系，并说明理由.30．点E 在正方形ABCD 的边BC 上，点F 在AE 上，连接FB ，FD ，∠ABF=∠AFB ．（1）如图1，求证：∠AFD=∠ADF ；（2）如图2，过点F 作垂线交AB 于G ，交DC 的延长线于H ，求证：DH=2 AG ；（3）在（2）的条件下，若EF=2，CH=3，求EC 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】由AAS 证明△ABG ≌△DEG ，得出AG=DG ，证出OG 是△ACD 的中位线，得出OG=12 CD=12AB ，①正确；先证明四边形ABDE 是平行四边形，证出△ABD 、△BCD 是等边三角形，得出AB=BD=AD ，因此OD=AG ，得出四边形ABDE 是菱形，③正确；由菱形的性质得得出△ABG ≌△BDG ≌△DEG ，由SAS 证明△ABG ≌△DCO ，得出△ABO ≌△BCO ≌△CDO ≌△AOD ≌△ABG ≌△BDG ≌△DEG ，得出②不正确；证出OG 是△ABD 的中位线，得出OG//AB ，OG=12AB ，得出△GOD ∽△ABD ，△ABF ∽△OGF ，由相似三角形的性质和面积关系得出S 四边形ODGF =S △ABF ；④不正确；即可得出结果.【详解】解：四边形ABCD 是菱形，,//,,,,AB BC CD DA AB CD OA OC OB OD AC BDBAG EDG ABO BCO CDO AOD CD DEAB DE∴=====⊥∴∠=∠∆≅∆≅∆=∴=在△ABG 和△DEG 中，BAG EDG AGB DGE AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABG ≌△DEG （AAS ），∴.AG=DG ，∴OG 是△ACD 的中位线，∴OG=12CD=12AB ，①正确； ∵AB//CE ，AB=DE ，∴四边形ABDE 是平行四边形，∴∠BCD=∠BAD=60°，∴△ABD 、△BCD 是等边三角形，∴AB=BD=AD ，∠ODC=60°，∴OD=AG ，四边形ABDE 是菱形，③正确；∴AD ⊥BE ，由菱形的性质得：△ABG ≌△BDG ≌△DEG ，在△ABG 和△DCO 中，60OD AG ODC BAG AB DC ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴△ABG ≌△DCO∴△ABO ≌△BCO ≌△CDO ≌△AOD ≌△ABG ≌△BDG ≌△DEG ，则②不正确。

中考数学一轮复习平行四边形(讲义及答案)含答案

中考数学一轮复习平行四边形(讲义及答案)含答案一、解答题1．如图，平行四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=， G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ．（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2） ①当AE 的长为多少时，四边形CEDF 是矩形；②当AE = cm 时，四边形CEDF 是菱形，（直接写出答案，不需要说明理由）．2．已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交于BE 的延长线于点F ，且AF=DC ，连接CF ．（1）求证：D 是BC 的中点；（2）如果AB=AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．3．如图所示，四边形ABCD 是正方形， M 是AB 延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动(点E 不与点A B 、重合)，另一直角边与CBM ∠的平分线BF 相交于点F ．(1)求证: ADE FEM ∠=∠;(2)如图(1)，当点E 在AB 边的中点位置时，猜想DE 与EF 的数量关系，并证明你的猜想;(3)如图(2)，当点E 在AB 边(除两端点)上的任意位置时，猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系，并证明你的猜想．4．我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论.（发现与证明．．）ABCD 中，AB BC ≠，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D . 结论1：'AB C ∆与ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形；结论2：'B D AC .试证明以上结论.（应用与探究）在ABCD 中，已知2BC =，45B ∠=，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D .若以A 、C 、D 、'B 为顶点的四边形是正方形，求AC 的长.（要求画出图形）5．直线1234,,,,l l l l 是同一平面内的一组平行线．(1)如图1．正方形ABCD 的4个顶点都在这些平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离都是1，其中点A ，点C 分别在直线1l 和4l 上，求正方形的面积；(2)如图2，正方形ABCD 的4个顶点分别在四条平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离依次为123h h h ，，．①求证：13h h =；②设正方形ABCD 的面积为S ，求证222211 2 2 S h h h h =++．6．（解决问题）如图1，在ABC ∆中，10AB AC ==，CG AB ⊥于点G ．点P 是BC 边上任意一点，过点P 作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为点E ，点F ．（1）若3PE =，5PF =，则ABP ∆的面积是______，CG =______．（2）猜想线段PE ，PF ，CG 的数量关系，并说明理由．（3）（变式探究）如图2，在ABC ∆中，若10AB AC BC ===，点P 是ABC ∆内任意一点，且PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，垂足分别为点E ，点F ，点G ，求PE PF PG ++的值．（4）（拓展延伸）如图3，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C '处，点P 为折痕EF 上的任意一点，过点P 作PG BE ⊥，PH BC ⊥，垂足分别为点G ，点H ．若8AD =，3CF =，直接写出PG PH +的值．7．如图，ABC ADC ∆≅∆，90,ABC ADC AB BC ︒∠=∠==，点F 在边AB 上，点E 在边AD 的延长线上，且,DE BF BG CF =⊥，垂足为H ，BH 的延长线交AC 于点G .（1）若10AB =，求四边形AECF 的面积；（2）若CG CB =，求证：2BG FH CE +=.8．在正方形AMFN 中，以AM 为BC 边上的高作等边三角形ABC ，将AB 绕点A 逆时针旋转90°至点D ，D 点恰好落在NF 上，连接BD ，AC 与BD 交于点E ，连接CD ，(1)如图1，求证：△AMC ≌△AND ；(2)如图1，若3，求AE 的长；(3)如图2,将△CDF 绕点D 顺时针旋转α（090α<<）,点C,F 的对应点分别为1C 、1F ，连接1AF 、1BC ，点G 是1BC 的中点,连接AG ，试探索1AG AF 是否为定值，若是定值，则求出该值；若不是，请说明理由.9．如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG如图放置，连接AG，AE．（1）求证：AG AE=（2）过点F作FP AE⊥于P，交AB、AD于M、N，交AE、AG于P、Q，交BC于H，．求证：NH=FM10．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF，GH分别交边AB、CD，AD、BC于点E、F、G、H．（1）观察发现：如图①，若四边形ABCD是正方形，且EF⊥GH，易知S△BOE＝S△AOG，又因为S△AOB＝14S四边形ABCD，所以S四边形AEOG＝S正方形ABCD；（2）类比探究：如图②，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOG＝14S矩形ABCD，若AB＝a，AD＝b，BE＝m，求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）；（3）拓展迁移：如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且S四边形AEOG＝14S▱ABCD，若AB＝3，AD＝5，BE＝1，则AG＝．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）证明见解析；（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形；②2【分析】（1）证明△FCG ≌△EDG （ASA ），得到FG=EG 即可得到结论；（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形.过A 作AM ⊥BC 于M ，求出BM=1.5，根据平行四边形的性质得到∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，求出DE=1.5=BM ，证明△MBA ≌△EDC(SAS)，得到∠CED=∠AMB=90°，推出四边形CEDF 是矩形；②根据四边形CEDFCEDF 是菱形，得到CD ⊥EF ，DG=CG=1212CD=1.5，求出∠DEG=30°，得到DE=2DG=3，即可求出AE=AD-DE=5-3=2.【详解】（1）证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ CF ∥ED ，∴ ∠FCG ＝∠EDG ，∵ G 是CD 的中点，∴ CG ＝DG ，在△FCG 和△EDG 中，FCG EDG CG DG CGF DGE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ △FCG ≌△EDG （ASA ），∴ FG ＝EG ，∵ CG ＝DG ，∴ 四边形CEDF 是平行四边形；（2）解：①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形，理由是：过A 作AM ⊥BC 于M ，∵∠B=60°，∴∠BAM=30°，∵AB=3，∴BM=1.5，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，∵AE=3.5，∴DE=1.5=BM ，在△MBA 和△EDC 中，BM DE B CDE AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MBA ≌△EDC(SAS)，∴∠CED=∠AMB=90°，∵四边形CEDF 是平行四边形，∴四边形CEDF 是矩形；②∵四边形CEDFCEDF 是菱形，∴CD ⊥EF ，DG=CG=1212CD=1.5，∵∠CDE=∠B=60∘∠B=60∘，∴∠DEG=30°，∴DE=2DG=3，∴AE=AD-DE=5-3=2，故答案为：2.【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定定理，菱形的性质定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，三角形全等的判定及性质定理，熟练掌握各定理并运用解答问题是解题的关键.2．（1）见详解；（2）四边形ADCF 是矩形；证明见详解．【分析】（1）可证△AFE ≌△DBE ，得出AF=BD ，进而根据AF=DC ，得出D 是BC 中点的结论；（2）若AB=AC ，则△ABC 是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知AD ⊥BC ；而AF 与DC 平行且相等，故四边形ADCF 是平行四边形，又AD ⊥BC ，则四边形ADCF 是矩形．【详解】（1）证明：∵E 是AD 的中点，∴AE=DE ．∵AF ∥BC ，∴∠FAE=∠BDE ，∠AFE=∠DBE ．在△AFE 和△DBE 中，FAE BDE AFE DBE AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFE ≌△DBE （AAS ）．∴AF=BD ．∵AF=DC ，∴BD=DC ．即：D 是BC 的中点．（2）解：四边形ADCF 是矩形；证明：∵AF=DC ，AF ∥DC ，∴四边形ADCF 是平行四边形．∵AB=AC ，BD=DC ，∴AD ⊥BC 即∠ADC=90°．∴平行四边形ADCF 是矩形．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识综合运用．解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，以及全等三角形的判定和性质进行证明．3．（1）详见解析；（2）DE EF =，理由详见解析；（3）DE EF =，理由详见解析【分析】（1）根据90,90AED FEB ADE AED ∠+∠=︒∠+∠=︒，等量代换即可证明；（2）DE=EF ，连接NE ，在DA 边上截取DN=EB ，证出△DNE ≌△EBF 即可得出答案；（3）在DA 边上截取DN EB =，连接NE ，证出()DNE EBF ASA ≌即可得出答案．【详解】(1)证明:∵90DAB DEF ∠=∠=︒，∴90,90AED FEB ADE AED ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴ADE FEM ∠=∠;(2) ;DE EF =理由如下:如图，取AD 的中点N ，连接NE ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AD AB = ，∵,N E 分别为,AD AB 中点 ∴11,22AN DN AD AE EB AB ====， ∴,DN BE AN AE == 又∵90A ∠=︒∴45ANE ∠=︒∴180135DNE ANE ∠=︒-∠=︒，又∵90CBM ∠=︒，BF 平分CBM ∠∴45,135CBF EBF ∠=︒∠=︒．∴DNE EBF ∠=∠在DNE △和EBF △中ADE FEB DN EBDNE EBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()DNE EBF ASA ≌，∴DE EF =(3) DE EF =.理由如下:如图，在DA 边上截取DN EB =，连接NE ，∵四边形ABCD 是正方形， DN EB =，∴AN AE =，∴AEN △为等腰直角三角形，∵45ANE ∠=︒∴18045135DNE ∠=︒-︒=︒，∵BF 平分CBM ∠， AN AE =，∴9045135EBF ∠=︒+︒=︒，∴DNE EBF ∠=∠，在DNE △和EBF △中ADE FEB DN EBDNE EBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()DNE EBF ASA ≌，∴DE EF =．【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键就是求证△DNE ≌△EBF ．4．【发现与证明．．】结论1：见解析，结论2：见解析；【应用与探究】AC 2或2. 【分析】【发现与证明．．】由平行四边形的性质得出∠EAC=∠ACB ，由翻折的性质得出∠ACB=∠ACB ′，证出∠EAC=∠ACB ′，得出AE=CE ；得出DE=B ′E ，证出∠CB′D=∠B′DA=12（180°-∠B′ED），由∠AEC=∠B′ED，得出∠ACB′=∠CB′D，即可得出B′D∥AC；【应用与探究】：分两种情况：①由正方形的性质得出∠CAB′=90°，得出∠BAC=90°，再由三角函数即可求出AC；②由正方形的性质和已知条件得出AC=BC=2．【详解】【发现与证明．．】:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC,AD∥BC，∴∠EAC=∠ACB，∵△ABC≌△AB′C，∴∠ACB=∠ACB′,BC=B′C，∴∠EAC=∠ACB′，∴AE=CE，即△ACE是等腰三角形；∴DE=B′E，∴∠CB′D=∠B′DA=12(180°−∠B′ED)，∵∠AEC=∠B′ED，∴∠ACB′=∠CB′D，∴B′D∥AC；【应用与探究】:分两种情况：①如图1所示：∵四边形ACDB′是正方形，∴∠CAB′=90°，∴∠BAC=90°，∵∠B=45°，∴AC=222BC ；②如图2所示：AC=BC=2；综上所述：AC2或2.【点睛】本题考查平行四边形的性质, 正方形的性质, 翻折变换（折叠问题）.【发现与证明．．】对于结论1，要证明三角形是等腰三角形，只需要证明它的两条边相等，而在同一个三角形内要证明两条线段相等只需要证明它们所对应的角相等（即用等角对等边证明）.结论2：要证明两条线段平行，本题用到了内错角相等，两直线平行.所以解决【发现与证明．．】的关键是根据已知条件找到对应角之间的关系. 【应用与探究】折叠时，因为正方形的四个角都是直角，所以对应线段之间存在共线情况，所以分BA 和AB’共线和BC 和B’C 两种情况讨论，能根据题意画出两种情况对应的图形，是解题关键.5．（1）9或5；（2）①见解析，②见解析【分析】（1）分两种情况：①如图1-1，得出正方形ABCD 的边长为3，求出正方形ABCD 的面积为9；②如图1-2，过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，则EF ⊥l 4，证明△ABE ≌△BCF （AAS ），得出AE=BF=2由勾股定理求出AB=225AE BE +=，即可得出答案；（2）①过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，作DM ⊥l 4于M ，证明△ABE ≌△BCF （AAS ），得出AE=BF ，同理△CDM ≌△BCF （AAS ），得出△ABE ≌△CDM （AAS ），得出BE=DM 即可； ②由①得出AE=BF=h 2+h 3=h 2+h 1，得出正方形ABCD 的面积S=AB 2=AE 2+BE 2，即可得到答案.【详解】解：（1）①如图，当点B D ，分别在14,l l 上时，面积为：339⨯=；②如图，当点B D ，分别在23,l l 上时，过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，则EF ⊥l 4，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，∵∠CBF+∠BCF=90°，∴∠ABE=∠BCF ，在△ABE 和△BCF 中90ABE BCF AEB BFC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△BCF （AAS ），∴AE=BF=2，∴AB=2222215AE BE +=+=，∴正方形ABCD 的面积=AB 2=5；综上所述，正方形ABCD 的面积为9或5；（2）①证明：过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，作DM ⊥l 4于M ，如图所示：则EF ⊥l 4，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，∵∠CBF+∠BCF=90°，∴∠ABE=∠BCF ，在△ABE 和△BCF 中，90ABE BCF AEB BFC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△BCF （AAS ），∴AE=BF ，同理△CDM ≌△BCF （AAS ），∴△ABE ≌△CDM （AAS ），∴BE=DM ，即h 1=h 3．②解：由①得：AE=BF=h 2+h 3=h 2+h 1，∵正方形ABCD 的面积：S=AB 2=AE 2+BE 2，∴S=（h 2+h 1）2+h 12=2h 12+2h 1h 2+h 22．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．6．（1）15，8；（2）PE PF CG +=，见解析；（3）534）4【分析】解决问题（1）只需运用面积法：ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+，即可解决问题；（2）解法同（1）；（3）连接PA 、PB 、PC ，作AM BC ⊥于M ，由等边三角形的性质得出152BM BC ==，由勾股定理得出2253AM AB BM =-=，得出ABC ∆的面积12532BC AM =⨯=，由ABC ∆的面积BCP =∆的面积ACP +∆的面积APB +∆的面积1111()2532222BC PE AC PF AB PG AB PE PF PG =⨯+⨯+⨯=++=，即可得出答案；（4）过点E 作EQ BC ⊥，垂足为Q ，易证BE BF =，过点E 作EQ BF ⊥，垂足为Q ，由解决问题（1）可得PG PH EQ +=，易证EQ DC =，BF DF =，只需求出BF 即可．【详解】解：（1）∵PE AB ⊥，10AB =，3PE =，∴ABP ∆的面积111031522AB PE =⨯=⨯⨯=， ∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CG AB ⊥，且ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+，∴AB CG AB PE AC PF ⋅=⋅+⋅，∵AB AC =，∴358CG PE PF =+=+=.故答案为：15，8.（2）∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CG AB ⊥，且ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+，∴AB CG AB PE AC PF ⋅=⋅+⋅，∵AB AC =，∴CG PE PF =+.（3）连接PA 、PB 、PC ，作AM BC ⊥于M ，如图2所示：∵10AB AC BC ===，∴ABC ∆是等边三角形，∵AM BC ⊥，∴152BM BC ==， ∴222210553AM AB BM =-=-=，∴ABC ∆的面积11105325322BC AM =⨯=⨯⨯=， ∵PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，∴ABC ∆的面积BCP =∆的面积ACP +∆的面积APB +∆的面积111222BC PE AC PF AB PG =⨯+⨯+⨯1()2AB PE PF PG =++ 253=，∴22535310PE PF PG ⨯++==. （4）过点E 作EQ BC ⊥，垂足为Q ，如图3所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC =，90C ADC ∠=∠=︒，∵8AD =，3CF =，∴5BF BC CF AD CF =-=-=，由折叠可得：5DF BF ==，BEF DEF ∠=∠，∵90C ∠=︒，∴2222534DC DF FC =-=-=，∵EQ BC ⊥，90C ADC ∠=∠=︒，∴90EQC C ADC ∠=︒=∠=∠，∴四边形EQCD 是矩形，∴4EQ DC ==，∵//AD BC ，∴DEF EFB ∠=∠，∵BEF DEF ∠=∠，∴BEF EFB ∠=∠，∴BE BF =，由解决问题（1）可得：PG PH EQ +=，∴4PG PH +=，即PG PH +的值为4.【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、平行线的性质与判定、等边三角形的性质、勾股定理等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．7．(1)100；(2)见解析.【分析】(1)先证明四边形ABCD 是正方形，再根据已知条件证明△BCF ≌△DCE ，即可得到四边形AECF 的面积=正方形ABCD 的面积；(2) 延长BG 交AD 于点M ，作AN ⊥MN ，连接FG ，先证明四边形BCEM 是平行四边形，得到BM=CE ，证明△BCF ≌△GCF ，得到BF=GF ，∠FGC=∠FBC=90︒，由AN ⊥MN ，得GM=2MN ，根据∠BAC=45︒，BC ∥AD 得到AM=BF ，再证△BFH ≌△AMN,得到GM=2FH ，由此得到结论.【详解】(1)∵9,0ABC AB BC ︒∠==，∴△ABC 是等腰直角三角形，∵ABC ADC ∆≅∆，∴AB=AD=BC=DC ，∴四边形ABCD 是菱形，∵90ABC ADC ︒∠=∠=，∴四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD=90ABC ADC ︒∠=∠=，∴∠CDE=90ABC ADC ︒∠=∠=，∵BF=DE,BC=DC ，∴△BCF ≌△DCE ，∴四边形AECF 的面积=S 正方形ABCD =AB 2=102=100.(2)延长BG 交AD 于点M ，作AN ⊥MN ，连接FG,∵△BCF ≌△DCE ，∴∠BCF=∠DCE ，∴∠FCE=∠BCD=90︒,∵BG ⊥CF ，∴∠FHM=∠FCE=90︒,∴BM ∥CE,∵BC ∥AD,∴四边形BCEM 是平行四边形，∴BM=CE.∵CG CB =，BG ⊥CF ，∴∠BCH=∠GCH,∠CBM=∠CGB,∴△BCF ≌△GCF,∴BF=GF,∠FGC=∠FBC=90︒,∵∠BAC=45︒，∴∠AFG=∠BAC=45︒，∴FG=AG,∵BC ∥AD,∴∠CBM=∠AMB,∴∠AGM=∠CGB=∠CBM=∠AMB,∴AM=AG,∵AN ⊥MN ，∴GM=2MN,∵∠BAD=∠ANM=90︒,∴∠ABM+∠AMN=∠MAN+∠AMN=90︒,∴∠ABM=∠MAN,∵AM=AG=FG=BF,∠BHF=∠ANM=90︒,∴△BFH ≌△AMN,∴FH=MN,∴GM=2FH,∵BG+GM=CE,∴2BG FH CE +=.【点睛】此题是四边形的综合题，考查正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解题中注意综合思想的方法积累.8．（1）见解析；（2）AE ＝33）（3）122AG AF =，理由见解析. 【分析】（1）运用四边形AMFN 是正方形得到判断△AMC,△AND 是Rt △，进一步说明△ABC 是等边三角形，在结合旋转的性质，即可证明.（2）过E 作EG ⊥AB 于G,在BC 找一点H ，连接DH,使BH=HD ，设AG ＝x ，则AE=2x 3x ，得到△GBE 是等腰直角三角形和∠DHF=30°，再结合直角三角形的性质，判定Rt △AMC ≌Rt △AND ，最后通过计算求得AE 的长；（3）延长F 1G 到M,延长BA 交11F C 的延长线于N,使得1GM FG =，可得GMB ∆≌11GFC ∆，从而得到111BM FC DF == 1BMG GFN ∠=，可知BM ∥1F N , 再根据题意证明ABM ∆≌1ADF ∆，进一步说明1AMF ∆是等腰直角三角形，然后再使用勾股定理求解即可.【详解】（1）证明：∵四边形AMFN 是正方形，∴AM=AN ∠AMC=∠N=90°∴△AMC,△AND 是Rt △∵△ABC 是等边三角形∴AB=AC∵旋转后AB=AD∴AC=AD∴Rt △AMC ≌Rt △AND(HL)（2）过E 作EG ⊥AB 于G,在BC 找一点H ，连接DH,使BH=HD ，设AG ＝x则AE=2x 3x易得△GBE 是等腰直角三角形∴BG=EG 3x∴AB=BC=31)x易得∠DHF=30°∴HD=2DF=3，HF=3∴BF=BH+HF=233∵Rt △AMC ≌Rt △AND(HL)∴易得3∴BC=BF-CF=233333=+∴(31)33x =∴3x =∴AE ＝223x=（3）12AG AF =；理由：如图2中,延长F 1G 到M,延长BA 交11F C 的延长线于N,使得1GM FG =,则GMB ∆≌11GFC ∆,∴111BM FC DF == 1BMG GFN ∠=, ∴BM ∥1F N ,∴MBA N ∠=∠∵0190NAO OF D ∠=∠= 1AON DOF ∠=∠∴1N ADF ∠=∠∴1ABM ADF ∠=∠,∵AB AD = ∴ABM ∆≌1ADF ∆（SAS ）∴1AM AF = 1MAB DAF ∠=∠∴0190MAF BAD ∠=∠=∴1AMF ∆是等腰直角三角形∴1AG MF ⊥ 1AG GF =∴12AF∴122AG AF = 【点睛】本题考查正方形的性质、三角形全等、以及勾股定理等知识点，综合性强，难度较大，但解答的关键是正确做出辅助线.9．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据正方形的性质证得BG=DE ，利用SAS 可证明ABG ≌ADE ，再利用全等的性质即可得到结论；（2）过M 作MK ⊥BC 于K ，延长EF 交AB 于T ，根据ASA 可证明MHK △≌AED ，得到AE=MH ，再利用AAS 证明TNF △≌DAE △，得到NF=AE ，从而证得MH=NF ，即可得到结论．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 与四边形CEFG 均为正方形，∴AB=AD=BC=CD ，CG=CE ，∠ABG=∠ADE=90°，∴BC －GC=CD －EC ，即BG=DE ，∴ABG ≌ADE ，∴AG=AE ；（2）过M 作MK ⊥BC 于K ，则四边形MKCD 为矩形，∴∠MKH=∠ADE=90°，MK=CD ，∠AMK=90°，∴MK=AD ，∠AMP+∠HMK=90°，又∵FP AE ，∴∠EAD+∠AMP=90°，∴∠HMK=∠EAD ，∴MHK △≌AED ，∴MH=AE ，延长EF 交AB 于T ，则四边形TBGF 为矩形，∴FT=BG ，∠FTN=∠ADE=90°，∵ABG ≌ADE ，∴DE=BG ，∴FT=DE ，∵FP ⊥AE ，∠DAB=90°，∴∠N+∠NAP=∠DAE+∠NAP=90°，∴∠N=∠DAE ，∴TNF △≌DAE △，∴FN=AE ，∴FN=MH ，∴FN－FH=MH－FH，∴NH=FM．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，及全等三角形的判定与性质，熟练掌握各性质、判定定理是解题的关键．10．（1）14；（2）mbAGa；（3）53【分析】（1）如图①，根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论；（2）如图②，过O作ON⊥AD于N，OM⊥AB于M，根据图形的面积得到14mb＝14AG•a，于是得到结论；（3）如图③，同理：过O作QM⊥AB，PN⊥AD，先根据平行四边形面积可得OM和ON 的比，同理可得S△BOE＝S△AOG，根据面积公式可计算AG的长．【详解】解：（1）如图①，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OC，∠OAG＝∠EBO＝45°，∠AOB＝90°，∵EF⊥GH，∴∠EOG＝90°，∴∠BOE＝∠AOG（SAS），∴△BOE≌△AOG，∴S△BOE＝S△AOG，又∵S△AOB＝14S四边形ABCD，∴S四边形AEOG＝14S正方形ABCD，故答案为：14．（2）解：如图②，过O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∴S△AOB＝S△AOD＝14S矩形ABCD，∵S四边形AEOG＝14S矩形ABCD，∴S△AOB＝S四边形AEOG，∴S△BOE＝S△AOG，∵S△BOE＝12BE•OM＝14mb，S△AOG＝12AG•ON＝14AG•a，∴mb＝AG•a，∴AG＝mba；（3）如图③，过O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∵S△AOB＝S△AOD＝14S▱ABCD，S四边形AEOG＝14S▱ABCD，∴S△AOB＝S四边形AEOG，∴S△BOE＝S△AOG，∵S△BOE＝12BE•OM＝12OM，S△AOG＝12AG•ON，∴OM＝AG•ON，∵S▱ABCD＝3×2OM＝5×2 ON，∴53 OMON，∴AG＝53；【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形、矩形、平行四边形的性质及三角形、四边形的面积问题，认真阅读材料，理解并证明S△BOE＝S△AOG是解决问题的关键．。

2021年九年级中考数学一轮复习：多边形与平行四边形(含答案)

2021中考数学一轮复习：多边形与平行四边形一、选择题1. 如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B为()A. 66°B. 104°C. 114°D. 124°2. 如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是A．180°B．360°C．540°D．720°3. 如图，在ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为A．12 B．15 C．18 D．214. 一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为()A．7 B．7或8C．8或9 D．7或8或95. 若多边形的一个顶点处的所有对角线把多边形分成了11个三角形，则经过这一点的对角线的条数是()A．8 B．9 C．10 D．116. 若在n边形内部任意取一点P，将点P与各顶点连接起来，可以把n边形分成n个三角形，利用这个事实，可以探索到n边形的内角和为()A．180°×n B．180°×n－180°C．180°×n＋180°D．180°×n－360°7. (2020自贡)如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连结DF、EF．若∠EFD＝90°，则AE长为（）A．2 B．C．D．8. （2020•遂宁）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（）A．B．C．D．二、填空题9. 如图，在四边形ABCD中，AD=BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形.10. 若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则该多边形的边数是________ __．11. 如图，在四边形ABCD中，若∠A＋∠B＋∠C＝260°，则∠D的度数为________．12. 如图所示，在▱ABCD中，∠C＝40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为__________．13.（2020·牡丹江）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件__________________，使四边形ABCD是平行四边形（填一个即可）.14. 如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1＝20°，则∠2的度数为________．15. 如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为________．16. 如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，△BEO 的周长是8，则△BCD的周长为__________．A BC三、解答题 17. （2020·淮安）如图，在□ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、AD 上，AC 与EF 相交于点O ，且AO=CO ．（1）求证∶△AOF ≌△COE ；（2）连接AE 、CF ，则四边形AECF_______________（填"是"或"不是"）平行四边形．18. 如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，ADE ∆和BCE ∆都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，证明四边形PQMN 为平行四边形且PQ PN =．QEP NMDCBA19. （2020·扬州）如图，▱ABCD的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作EF ⊥AC ，分别交AB 、DC 于点E 、F ，连接AF 、CE .（1）若OE =32，求EF 的长；（2）判新四边形AECF 的形状，并说明理由.20. （2020·贵阳）（10分）如图，四边形ABCD 是矩形，E 是BC 边上一点，点F在BC 的延长线上，且CF ＝BE ．（1）求证：四边形AEFD 是平行四边形；（2）连接ED ，若∠AED ＝90°，AB ＝4，BE ＝2，求四边形AEFD 的面积．21. 如图①，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，AD ＝6cm ，BD ＝8cm ，∠DBC＝90°，现将△AEF 沿BD 的方向匀速平移，速度为2cm/s ，同时，点G 从点D 出发，沿DC 的方向匀速移动，速度为2cm/s.当△AEF 停止移动时，点G 也停止运动，连接AD ，AG ，EG ，过点E 作EH ⊥CD 于点H ，如图②所示，设△AEF 的移动时间为t (s)(0＜t ＜4)． (1)当t ＝1时，求EH 的长度； (2)若EG ⊥AG ，求证：EG 2＝AE ·HG ； (3)设△AGD 的面积为y (cm 2)，当t 为何值时，y 可取得最大值，并求y 的最大值．2021中考数学一轮复习：多边形与平行四边形-答案一、选择题1. 【答案】C 【解析】设∠ACD ＝x ，∠B ＝y ，则根据题意可列方程组⎩⎨⎧x ＋y ＋44°＝180°180°－y －（44°－x ）＝44°，解得y ＝114°.2. 【答案】C【解析】黑色正五边形的内角和为：(5–2)×180°=540°，故选C ．3. 【答案】C【解析】由折叠可得，∠ACD=∠ACE=90°，∴∠BAC=90°，又∵∠B=60°，∴∠ACB=30°，∴BC=2AB=6，∴AD=6，由折叠可得，∠E=∠D=∠B=60°，∴∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴△ADE的周长为6×3=18，故选C．4. 【答案】D[解析] 设内角和为1080°的多边形的边数为n，则(n－2)×180°＝1080°，解得n＝8.则原多边形的边数为7或8或9.故选D.5. 【答案】C[解析] 设多边形有n条边，则n－2＝11，解得n＝13.故这个多边形是十三边形．故经过这一点的对角线的条数是13－3＝10.6. 【答案】D7. 【答案】B【解析】本题考查了平行四边形、全等三角形、勾股定理、一元二次方程等知识．解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x．∵四边形ABCD是平行四边形，∴DQ∥BC，∴∠Q＝∠BEF，∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE，∴△QFA≌△EFB（AAS），∴AQ＝BE＝x，∵∠EFD＝90°，∴DF⊥QE，∴DQ＝DE＝x+2，∵AE⊥BC，BC∥AD，∴AE⊥AD，∴∠AEB＝∠EAD＝90°，∵AE2＝DE2﹣AD2＝AB2﹣BE2，∴（x+2）2﹣4＝6﹣x2，整理得：2x2+4x﹣6＝0，解得x＝1或﹣3（舍弃），∴BE＝1，∴AE，因此本题选B．8. 【答案】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBG，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD+DG＝3k，∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，∴＝＝＝，故选：C．二、填空题9. 【答案】答案不唯一，如AD∥BC或AB=CD或∠A+∠B=180°等10. 【答案】5【解析】∵多边形的内角和与外角和的总和为900°，多边形的外角和是360°，∴多边形的内角和是900﹣360=540°，∴多边形的边数是：540°÷180°+2=3+2=5．故答案为：5．11. 【答案】100°12. 【答案】50°【解析】在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∴∠FBA ＝∠C＝40°，∵FD⊥AD，∴∠ADF＝90°，∵AD∥BC，∴∠F＝∠ADF＝90°，∴∠BEF＝180°－90°－40°＝50°.13. 【答案】AD=BC【解析】当添加条件AD=BC时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD是平行四边形.14. 【答案】110°【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠CAB＝∠1＝20°，∵BE ⊥AB交对角线AC于点E，∴∠ABE＝90°，∴∠2＝∠CAB＋∠ABE＝20°＋90°＝110°.15. 【答案】36°【解析】∵在▱ABCD中，∠D＝∠B＝52°，∴∠AEF＝∠DAE ＋∠D＝20°＋52°＝72°，∴∠AED＝180°－∠AEF＝108°，由折叠的性质得，∠AED′＝∠AED＝108°，∴∠FED′＝∠AED′－∠AEF＝108°－72°＝36°.16. 【答案】16【解析】∵ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∴BO=DO=12BD ，BD=2OB ，∴O 为BD 中点，∵点E 是AB 的中点，∴AB=2BE ，BC=2OE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，∴CD=2BE ． ∵△BEO 的周长为8，∴OB+OE+BE=8，∴BD+BC+CD=2OB+2OE+2BE=2(OB+OE+BE)=16， ∴△BCD 的周长是16，故答案为16．三、解答题17. 【答案】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠FAO=∠ECO ，在△AOF 和△COE 中 FAO ECO AO COAOF COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AOF 和△COE （ASA ）．（2）由（1）△AOF 和△COE ， ∴OF=OE ，又∵OA=OC ，∴四边形AEOF 为平行四边形．18. 【答案】如图，连结AC 、BD ．∵PQ 为ABC ∆的中位线∴PQ AC ∥且12PQ AC =同理MN AC ∥且12MN AC =∴MN PQ ∥且MN PQ =∴四边形PQMN 为平行四边形．在AEC ∆和DEB ∆中AE DE =，EC EB =,60AED CEB ∠=︒=∠ 即AEC DEB ∠=∠ ∴AEC DEB ∆∆≌ ∴AC BD =∴1122PQ AC BD PN ===.QEP NMD CBA19. 【答案】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO =CO ，AB ∥DC ，∴∠OAE =∠OCF ，∵EF ⊥AC ，∴∠AOE =∠COF =90°，在△AEO 和△CFO 中，∠OAE ＝∠OCF ，AO ＝CO ，∠AOE ＝∠COF ，∴△AEO ≌△CFO ，∴OE =OF ，又OE =32，∴OE =OF =32，∴EF = OE +OF =3；（2）四边形AECF 是菱形，证明：由（1）得OE =OF ，又∵AO =CO ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵EF ⊥AC ，∴四边形AECF 是菱形．解：（1）证明：∵∠四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∵BE ＝CF ，∴BE+EC ＝EC+EF ，即BC ＝EF ，∴AD ＝EF ，∴四边形AEFD 是平行四边形；（2）解：连接DE ，如图，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，在R t △ABE 中，AE 2， ∵AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠EAD ，∵∠B ＝∠AED ＝90°，∴△ABE ∽△DEA ， ∴AE ：AD ＝BE ：AE ，∴AD 10，∴四边形AEFD 的面积＝AB×AD＝2×10＝20．21. 【答案】(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，又∠DBC ＝90°， ∴∠ADB ＝90°，又AD ＝6cm ，BD ＝8cm ，由勾股定理得，AB ＝AD 2＋BD 2＝10cm ，当t ＝1时，EB ＝2cm ，则DE ＝8－2＝6cm ， ∵EH ⊥CD ，∠DBC ＝90°， ∴△DEH ∽△DCB ， ∴DE DC ＝EH BC ，即610＝EH 6，解得EH ＝3.6cm ；(2)∵∠CDB ＝∠AEF ， ∴AE ∥CD ，∴∠AEG ＝∠EGH ，又EG ⊥AG ，EH ⊥CD ， ∴△AGE ∽△EHG ， ∴EG HG ＝AE EG ， ∴EG 2＝AE ·HG ；(3)由(1)得，△DEH ∽△DCB ，∴DE CD ＝EHBC ，即8－2t 10＝EH 6，解得，EH ＝24－6t5，∴y ＝12×DG ×EH ＝－6t 2＋24t 5＝－65t 2＋245t ＝－65(t －2)2＋245，∴当t ＝2时，y 的最大值为245.。

中考数学一轮复习平行四边形知识点及练习题附解析

中考数学一轮复习平行四边形知识点及练习题附解析一、选择题1．如图，正方形ABCD 的对角线相交于O 点，BE 平分∠ABO 交AO 于E 点，CF ⊥BE 于F 点，交BO 于G 点，连接EG 、OF ，下列四个结论：①CE=CB ；②AE=2OE ；③OF=12CG ,其中正确的结论只有( )A ．①②③B ．②③C ．①③D ．①②2．如图，菱形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，DE BC ⊥于点E ，连接OE ，若50BCD ∠=︒，则OED ∠的度数是（）A ．35°B ．30°C ．25°D ．20°3．点E 是正方形ABCD 对角线AC 上，且EC=2AE ，Rt △FEG 的两条直角边EF 、EG 分别交BC 、DC 于M 、N 两点，若正方形ABCD 的边长为a ，则四边形EMCN 的面积（）A ．23a 2B ．14a 2C ．59a 2D ．49a 2 4．如图，菱形ABCD 的边，8AB =，60B ∠=,P 是AB 上一点，3BP =，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点'A ．当'CA 的长度最小时，'C Q 的长为（）A ．5B ．7C ．8D ．1325．如图，边长为8的正方形ABCD 的对角线交于点O ，点,E F 分别在边,CD DA 上（CE DE <），且90,,EOF OE BC ︒∠=的延长线交于点 ,,G OF CD 的延长线交于点,H E 恰为OG 的中点．下列结论：①OCE ODF ∆∆≌；②OG OH =； ③210GH =．其中，正确结论的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．如图，正方形ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BD 、CE 交于点H ，BE 、AH 交于点G ，则下列结论：①AG ⊥BE ；②BE:BC=5:2；③S △BHE =S △CHD ；④∠AHB=∠EHD ．其中正确的个数是A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，正方形ABCD 的边长为1，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，依此下去，第n 个正方形的面积为（）A ．2n ﹣1B ．2n ﹣1C ．2）nD ．2n8．已知，如图，在菱形ABCD 中．（1）分别以C ，D 为圆心，大于12CD 长为半径作弧，两弧分别交于点E ，F ；（2）作直线EF ，且直线EF 恰好经过点A ，且与边CD 交于点M ；（3）连接BM ．根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误．．的是（）A ．∠ABC =60°B ．如果AB =2，那么BM =4C ．BC =2CMD ．2ABM ADM S S =△△ 9．如图，正方形ABCD 的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH ，则线段GH 的长为（）A ．2.8B ．22C ．2.4D ．3.510．如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则折痕MN 的长是（）A ．53cmB ．55cmC ．46cmD ．45cm二、填空题11．在平行四边形ABCD 中，30,23,2A AD BD ∠=︒==，则平行四边形ABCD 的面积等于_____．12．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，对角线长为1cm ，过点O 任作一条直线分别交AD ，BC 于E ，F ，则阴影部分的面积是_____．13．如图，直线1l ，2l 分别经过点(1,0)和(4,0)且平行于y 轴．OABC 的顶点A ，C分别在直线1l 和2l 上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为_________．14．如图，菱形ABCD 的边长是4，60ABC ∠=︒，点E ，F 分别是AB ，BC 边上的动点（不与点A ，B ，C 重合），且BE BF =，若//EG BC ，//FG AB ，EG 与FG 相交于点G ，当ADG 为等腰三角形时，BE 的长为________．15．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，以BC 为一边作正方形BDEC 设正方形的对称中心为O ，连接AO ，则AO ＝_____．16．如图，在矩形ABCD 中，16AB =，18BC =，点E 在边AB 上，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把EBF △沿EF 折叠，点B 落在点B '处．若3AE =，当CDB '是以DB '为腰的等腰三角形时，线段DB '的长为__________．17．如图，正方形ABCD 面积为1，延长DA 至点G ，使得AG AD =，以DG 为边在正方形另一侧作菱形DGFE ，其中45EFG ︒∠=，依次延长, , AB BC CD 类似以上操作再作三个形状大小都相同的菱形，形成风车状图形，依次连结点, , , ,F H M N 则四边形FHMN 的面积为___________．18．如图，四边形ABCP 是边长为4的正方形，点E 在边CP 上，PE =1；作EF ∥BC ，分别交AC 、AB 于点G 、F ，M 、N 分别是AG 、BE 的中点，则MN 的长是_________．19．已知：如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为点D ，BE AC ⊥，垂足为点E ，M 为AB 边的中点，连结ME 、MD 、ED ，设4AB =，30DAC ∠=︒则EM =______；EDM 的面积为______，20．如图，有一张长方形纸片ABCD ，4AB =，3AD =．先将长方形纸片ABCD 折叠，使边AD 落在边AB 上，点D 落在点E 处，折痕为AF ；再将AEF ∆沿EF 翻折，AF 与BC 相交于点G ，则FG 的长为___________．三、解答题21．已知，四边形ABCD 是正方形，点E 是正方形ABCD 所在平面内一动点（不与点D 重合），AB ＝AE ，过点B 作DE 的垂线交DE 所在直线于F ，连接CF ．提出问题：当点E 运动时，线段CF 与线段DE 之间的数量关系是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点E 的一个特殊位置：当点E 与点B 重合（如图①）时，点F 与点B 也重合．用等式表示线段CF 与线段DE 之间的数量关系：；（2）然后考察点E 的一般位置，分两种情况：情况1：当点E 是正方形ABCD 内部一点（如图②）时；情况2：当点E 是正方形ABCD 外部一点（如图③）时．在情况1或情况2下，线段CF 与线段DE 之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；拓展问题：（3）连接AF ，用等式表示线段AF 、CF 、DF 三者之间的数量关系：．22．在数学的学习中，有很多典型的基本图形．（1）如图①，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为D 、E ．试说明ABD CAE ≌；（2）如图②，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、A 、F 在同一条直线上，BD DF ⊥，3AD =，4BD =．则菱形AEFC 面积为______．（3）如图③，分别以Rt ABC 的直角边AC 、AB 向外作正方形ACDE 和正方形ABFG ，连接EG ，AH 是ABC 的高，延长HA 交EG 于点I ，若6AB =，8AC =，求AI 的长度．23．在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在边AD （含端点）上，落点记为E ，这时折痕与边BC 或者边CD （含端点）交于点F （如图1和图2），然后展开铺平，连接BE ，EF ．（1）操作发现：①在矩形ABCD 中，任意折叠所得的△BEF 是一个三角形；②当折痕经过点A 时，BE 与AE 的数量关系为．（2）深入探究：在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝23．①当△BEF 是等边三角形时，求出BF 的长；②△BEF 的面积是否存在最大值，若存在，求出此时EF 的长；若不存在，请说明理由．24．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC ，AD 于点E ，F ，连接BF ．（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE ＝OF ；（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF 的形状，并证明你的结论；（3）若AB ＝1，BC 5BF ＝DF ，求旋转角度α的大小．25．如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，AD BC ∥，连接AC ，点P 、E 分别在AB 、CD 上，连接PE ，PE 与AC 交于点F ，连接PC ，D ∠=BAC ∠，DAE AEP ∠=∠．（1）判断四边形PBCE 的形状，并说明理由；（2）求证：CP AE =；（3）当P 为AB 的中点时，四边形APCE 是什么特殊四边形？请说明理由．26．已知：在矩形ABCD 中，点F 为AD 中点,点E 为AB 边上一点，连接CE 、EF 、CF ，EF 平分∠AEC ．(1)如图1，求证：CF ⊥EF;(2)如图2，延长CE 、DA 交于点K, 过点F 作FG ∥AB 交CE 于点G 若，点H 为FG 上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE, 求证：CH=FK;(3)如图3, 过点H 作HN ⊥CH 交AB 于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK 长.27．如图，在四边形OABC 是边长为4的正方形点P 为OA 边上任意一点（与点O A 、不重合），连接CP ，过点P 作PM CP ⊥，且PM CP =，过点M 作MN AO ∥，交BO 于点,N 联结BM CN 、，设OP x =.（1）当1x =时，点M 的坐标为（，）（2）设CNMB S y =四形边，求出y 与x 的函数关系式，写出函数的自变量的取值范围. （3）在x 轴正半轴上存在点Q ，使得QMN 是等腰三角形，请直接写出不少于4个符合条件的点Q 的坐标（用x 的式子表示）28．问题背景若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角的和是180°，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点．如图1，四边形ABCD 中，BC 是一条对角线，AB AC =，DB DC =，则点A 与点D 关于BC 互为顶针点；若再满足180A D +=︒∠∠，则点A 与点D 关于BC 互为勾股顶针点．初步思考(1)如图2，在ABC 中，AB AC =，30ABC ∠=︒，D 、E 为ABC 外两点，EB EC =，45EBC ∠=︒，DBC △为等边三角形．①点A 与点______关于BC 互为顶针点；②点D 与点______关于BC 互为勾股顶针点，并说明理由．实践操作(2)在长方形ABCD 中，8AB =，10AD =．①如图3，点E 在AB 边上，点F 在AD 边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E 、F ，使得点E 与点C 关于BF 互为勾股顶针点．(不写作法，保留作图痕迹)思维探究②如图4，点E 是直线AB 上的动点，点P 是平面内一点，点E 与点C 关于BP 互为勾股顶针点，直线CP 与直线AD 交于点F ．在点E 运动过程中，线段BE 与线段AF 的长度是否会相等？若相等，请直接写出AE 的长；若不相等，请说明理由．29．阅读下列材料，并解决问题：如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，点D 为AC 边上的动点（不与A 、C 重合），以AD ，BD 为边构造ADBE ，求对角线DE 的最小值及此时AD AC的值是多少．在解决这个问题时，小红画出了一个以AD ，BD 为边的ADBE （如图2），设平行四边形对角线的交点为O ，则有AO BO =．于是得出当OD AC ⊥时，OD 最短，此时DE 取最小值，得出DE 的最小值为6．参考小红的做法，解决以下问题：（1）继续完成阅读材料中的问题：当DE 的长度最小时，AD AC =_______；（2）如图3，延长DA 到点F ，使AF DA =．以DF ，DB 为边作FDBE ，求对角线DE 的最小值及此时AD AC的值．30．如图，已知正方形ABCD 与正方形CEFG 如图放置，连接AG ，AE ．（1）求证：AG AE =（2）过点F 作FP AE ⊥于P ，交AB 、AD 于M 、N ，交AE 、AG 于P 、Q ，交BC 于H ，．求证：NH =FM【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据正方形对角性质可得∠CEB=∠CBE，CE=CB；根据等腰直角三角形性质，证△ECG≌△BCG，可得2OE；根据直角三角形性质得OF=12BE=12CG.【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABO=∠ACO=∠CBO=45°，AB=BC，OA=OB=OC，BD⊥AC，∵BE平分∠ABO，∴∠OBE=12∠ABO=22.5°，∴∠CBE=∠CBO+∠EBO=67.5°，在△BCE中，∠CEB=180°-∠BCO-∠CBE=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠CEB=∠CBE，∴CE=CB；故①正确；∵OA=OB，AE=BG，∴OE=OG，∵∠AOB=90°，∴△OEG是等腰直角三角形，∴2OE，∵∠ECG=∠BCG，EC=BC，CG=CG，∴△ECG≌△BCG，∴BG=EG，∴OE ；故②正确；∵∠AOB=90°，EF=BF ，∵BE=CG ，∴OF=12BE=12CG ．故③正确．故正确的结论有①②③．故选A ．【点睛】运用了正方形的性质、等腰三角形的性质、等腰梯形的判定、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．2．C解析：C【解析】【分析】根据直角三角形的斜边中线性质可得OE BE OD ==，根据菱形性质可得1652DBE ABC ︒∠=∠=，从而得到OEB ∠度数，再依据90OED OEB ︒∠=-∠即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，50BCD ︒∠=，∵O 为BD 中点，1652DBE ABC ︒∠=∠=． DE BC ⊥，∴在 Rt BDE ∆中，OE BE OD ==，65OEB OBE ︒∴∠=∠=．906525OED ︒︒︒∴∠=-=．故选：C ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，解决这类问题的方法是四边形转化为三角形．3．D解析：D【解析】【分析】根据题意过E 作EK 垂直于直线CD ，垂足为K ，再过E 作EL 垂直于直线BC ，垂足为L ，只要证明ENK ELM ∆≅∆,则可计算EKCL ENCM S S =四边形.【详解】解：根据题意过E 作EK 垂直于直线CD ，垂足为K ，再过E 作EL 垂直于直线BC ，垂足为L.四边形ABCD 为正方形∴EL=EK,EK CD EL BC ⊥⊥∴90ELM EKN ︒∠=∠=90BCD ︒∠=90KEL ︒∴∠= FEG 为直角三角形90KEM LEM KEM NEK ︒∴∠+∠=∠+∠=LEM NEK ∴∠=∠ENK ELM ∴∆≅∆2224()39EKCL ENCM S Sa a ∴===四边形故选D.【点睛】本题主要考查正方形的性质，关键在于根据题意做辅助线. 4．B解析：B【解析】【分析】作CH AB ⊥于H ，如图，根据菱形的性质可判断ABC ∆为等边三角形，则3432CH AB ==4AH BH ==，再利用7CP =勾股定理计算出，再根据折叠的性质得点'A 在以点P 为圆心，PA 为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点'A 在PC 上时，'CA 的值最小，然后证明CQ CP =即可．【详解】解：作CH AB ⊥于H ，如图，菱形ABCD 的边8AB =，60B ∠=，ABC ∆∴为等边三角形，3432CH AB ∴==，4AH BH ==， 3PB =，1HP ∴=，在Rt CHP ∆中，32(43)17CP =+=，梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点'A ，∴点'A 在以点P 为圆心，PA 为半径的弧上，∴当点'A 在PC 上时，'CA 的值最小，APQ CPQ ∴∠=∠，而//CD AB ，APQ CQP ∴∠=∠，CQP CPQ ∴∠=∠，7CQ CP ∴==.故选：B ．【点睛】考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了折叠的性质．解决本题的关键是确定A′在PC 上时CA′的长度最小．5．C解析：C【分析】①直接利用角边角判定定理判断即可；②证明ODH OCG ∆≅∆即可；③在Rt CGH ∆中求解即可判断此答案错误．【详解】解：①∵四边形ABCD 是正方形，,AC BD 是对角线，∴OD OC =，45ODF OCE ∠=∠=︒，90DOC ∠=︒，∵90EOF ∠=︒，∴DOC DOE EOF DOE ∠-∠=∠-∠，即：EOC DOF ∠=∠，在ODF ∆和OCE ∆中，∵ODF OCE OD OC DOF COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ODF OCE ∆≅∆，故①正确；②∵45ODF OCE ∠=∠=︒，∴90=90=135ODF OCE ∠+︒∠+︒︒，即：ODH OCG ∠=∠，在ODH ∆和OCG ∆中，∵GOC DOH OD OC ODH OCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ODH OCG ∆≅∆，∴OH OG =，故②正确；③过点O 作OM CD ⊥于点M ，∵OM CD ⊥，∴在等腰Rt OCD ∆中，118422OM CD ==⨯=, 在Rt ECG ∆和Rt EMO ∆中 ∵OME GCE OEM GEC OE GE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴4CG OM ==，由②中知：ODH OCG ∆≅∆，∴DH CG =，∴=4DH CG =，∴8412CH CD DH =+=+=，∴在Rt CGH ∆中，由勾股定理得：GH =，故③错误；综上所述：只有两个正确，故选：C ．【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形的四条边都相等，正方形的每条对角线平分每组对角．6．D解析：D【分析】首先根据正方形的性质证得△BAE≌△CDE，推出∠ABE＝∠DCE，再证△ADH≌△CDH，求得∠HAD＝∠HCD，推出∠ABE＝∠HAD:求出∠ABE+∠BAG＝90°;最后在△AGE中根据三角形的内角和是180°求得∠AGE＝90°即可得到①正确；因为点E是AD边的中点，求出AB= 2AE，5即可求得5，故②正确；根据 AD ∥BC，求出S△BDE=S△CDE，推出 S△BDE﹣S△DEH=S△CDE﹣S△DEH，即；S△BHE=S△CHD，故③正确；由∠AHD＝∠CHD，得到邻补角和对顶角相等得到∠AHB＝∠EHD，故④正确【详解】∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，∴AE=DE，AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，在△BAE和△CDE中∵AE DEBAE CDE AB CDA=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAE≌△CDE（SAS），∴∠ABE=∠DCE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，∵在△ADH和△CDH中，AD CD ADH CDH DH DH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADH ≌△CDH （SAS ）， ∴∠HAD=∠HCD ，∵∠ABE=∠DCE∴∠ABE=∠HAD ，∵∠BAD=∠BAH+∠DAH=90°，∴∠ABE+∠BAH=90°，∴∠AGB=180°-90°=90°，∴AG ⊥BE ，故①正确；∵点E 是AD 边的中点，∴AB= 2AE ，∴∴，故②正确；∵AD ∥BC ，∴S △BDE =S △CDE ，∴S △BDE ﹣S △DEH =S △CDE ﹣S △DEH ，即；S △BHE =S △CHD ，故③正确；∵△ADH ≌△CDH ，∴∠AHD=∠CHD ，∴∠AHB=∠CHB ，∵∠BHC=∠DHE ，∴∠AHB=∠EHD ，故④正确；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质，解题的关键是熟练掌握其性质. 7．B解析：B【解析】【分析】先求出第一个正方形面积、第二个正方形面积、第三个正方形面积，…探究规律后，即可解决问题．【详解】第一个正方形的面积为1=20，）2=2=21，第三个正方形的边长为22，…第n 个正方形的面积为2n ﹣1，故选B ．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，正方形的性质，根据前后正方形边长之间的关系找到S n 的规律是解题的关键．8．B解析：B【分析】连接AC ，根据线段重直平分线的性质及菱形的性质即可判断A 选项正确；根据线段垂直平分线的性质及菱形的性质求出∠BAM=90°，利用三角函数求出AM ，即可利用勾股定理求出BM ，由此判断B 选项；根据线段垂直平分的性质和菱形的性质可得BC=2CM ，由此判断C 选项；利用同底等高的性质证明△ABM 的面积=△ABC 的面积=△ACD 的面积，再利用线段垂直平分线的性质即可判断D 选项．【详解】如图，连接AC ，由题意知：EF 垂直平分CD ，∴AC=CD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=AB=BC=CD ，∴AC=AD=CD=AB=BC ，∴△ABC 和△ACD 都是等边三角形，∴∠BAC=∠CAD=∠ABC=60°，故A 正确；∵AM 垂直平分CD ，∴∠CAM=∠DAM=30°，∴∠BAM=90°，∴S △ABM =S △ABC =S △ABD =2S △ADM ，故D 项正确；∵AB=2，∴AC=CD=2，∴AM=AC ·cos30°=233， ∴22AB AM +()222+37B 项错误；由AM 垂直平分CD 可得CM=12CD ，又∵BC=CD ，∴CM=12BC，即BC=2CM，故C项正确；故选：B．【点睛】本题考查线段垂直平分线的作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定及性质，菱形的性质，三角函数，勾股定理，是一道综合题，掌握知识点是解题关键．9．B解析：B【分析】延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE=BE-BG=2，HE=CH-CE=2，∠HEG=90°，从而由勾股定理可得GH的长．【详解】解：如图，延长BG交CH于点E，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=CD=10，∵AG=8，BG=6，∴AG2+BG2=AB2，∴∠AGB=90°，∴∠1+∠2=90°，又∵∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，同理：∠4=∠6，在△ABG和△CDH中，AB＝CD＝10AG＝CH＝8BG＝DH＝6∴△ABG≌△CDH（SSS），∴∠1=∠5，∠2=∠6，∴∠2=∠4，在△ABG和△BCE中，∵∠1＝∠3，AB＝BC，∠2＝∠4，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE=AG=8，CE=BG=6，∠BEC=∠AGB=90°，∴GE=BE －BG=8－6=2，同理可得HE=2，在Rt △GHE 中， 22222222GH GE HE =+=+=,故选：B ．【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE 为直角三角形且能够求出两条直角边的长是解题的关键．10．D解析：D【分析】连接DE ，因为点D 是中点，所以CE 等于4，根据勾股定理可以求出DE 的长，过点M 作MG ⊥CD 于点G ，则由题意可知MG ＝BC ＝CD ，证明△MNG ≌△DEC ，可以得到DE =MN ，即可解决本题．【详解】解：如图，连接DE ．由题意，在Rt △DCE 中，CE ＝4cm ，CD ＝8cm ，由勾股定理得：DE 22CE CD +2248+45．过点M 作MG ⊥CD 于点G ，则由题意可知MG ＝BC ＝CD ．连接DE ，交MG 于点I ．由折叠可知，DE ⊥MN ，∴∠NMG +MIE ＝90°，∵∠DIG +∠EDC ＝90°，∠MIE ＝∠DIG （对顶角相等），∴∠NMG ＝∠EDC ．在△MNG 与△DEC 中，90NMG EDC MG CDMGN DCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴△MNG ≌△DEC （ASA ）．∴MN ＝DE ＝45．故选D ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠以及全等三角形，能够合理的作出辅助线并找出全等的条件是解决本题的关键．二、填空题11．43或23 【分析】分情况讨论作出图形，通过解直角三角形得到平行四边形的底和高的长度，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．【详解】解：过D 作DE AB ⊥于E ，在Rt ADE △中，30A ∠=︒，23AD =， 132DE AD ∴==，332AE AD ==，在Rt BDE △中，2BD =，22222(3)1BE BD DE ∴=-=-=，如图1，4AB ∴=，∴平行四边形ABCD 的面积4343AB DE ==⨯=，如图2，2AB =，∴平行四边形ABCD 的面积2323AB DE ==⨯=，如图3，过B 作BE AD ⊥于E ，在Rt ABE △中，设AE x =，则23DE x =，30A ∠=︒，3BE x =，在Rt BDE △中，2BD =， 22232()(23)3x x ∴=+-， 3x ∴=，23x =（不合题意舍去），1BE ∴=，∴平行四边形ABCD 的面积12323AD BE ==⨯=，如图4，当AD BD ⊥时，平行四边形ABCD 的面积43AD BD ==，故答案为：43或23．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积公式的运用、30度角的直角三角形的性质，根据题意作出图形是解题的关键．12．218cm 【分析】根据正方形的性质可以证明△AEO ≌CFO ，就可以得出S △AEO =S △CFO ，就可以求出△AOD 面积等于正方形面积的14，根据正方形的面积就可以求出结论．【详解】解：如图：∵正方形ABCD 的对角线相交于点O ，∴△AEO 与△CFO 关于O 点成中心对称，∴△AEO ≌CFO ，∴S △AEO ＝S △CFO ，∴S △AOD ＝S △DEO +S △CFO ，∵对角线长为1cm ，∴S 正方形ABCD ＝1112⨯⨯＝12cm 2，∴S △AOD ＝18cm 2， ∴阴影部分的面积为18cm 2．故答案为：18cm 2．【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用正方形的面积及三角形的面积公式的运用，在解答时证明△AEO ≌CFO 是关键．13．5【分析】过点B 作BD ⊥l 2，交直线l 2于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴，交x 轴于点E ．则OABC 是平行四边形，所以OA=BC ，又由平行四边形的性质可推得∠OAF=∠BCD ，则可证明△OAF ≌△BCD ，所以OE 的长固定不变，当BE 最小时，OB 取得最小值，从而可求．【详解】解：过点B 作BD ⊥l 2，交直线x=4于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴，交x 轴于点E ，直线l 1与OC 交于点M ，与x 轴交于点F ，直线l 2与AB 交于点N ．∵四边形OABC 是平行四边形，∴∠OAB=∠BCO ，OC ∥AB ，OA=BC ，∵直线l 1与直线l 2均垂直于x 轴，∴AM ∥CN ，∴四边形ANCM 是平行四边形，∴∠MAN=∠NCM ，∴∠OAF=∠BCD ，∵∠OFA=∠BDC=90°，∴∠FOA=∠DBC ，在△OAF 和△BCD 中，FOA DBC OA BCOAF BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△OAF ≌△BCD （ASA ），∴BD=OF=1，∴OE=4+1=5，∴．由于OE 的长不变，所以当BE 最小时（即B 点在x 轴上），OB 取得最小值，最小值为OB=OE=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．14．83或4433-【分析】连接AC交BD于O，由菱形的性质可得AB=BC=4，∠ABD=30°，AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，可证四边形BEGF是菱形，可得∠ABG=30°，可得点B，点G，点D三点共线，由直角三角形性质可求BD=43，AC=4，分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．【详解】如图，连接AC交BD于O，∵菱形ABCD的边长是4，∠ABC=60°，∴AB=BC=4，∠ABD=30°，AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，∵EG∥BC，FG∥AB，∴四边形BEGF是平行四边形，又∵BE=BF，∴四边形BEGF是菱形，∴∠ABG=30°，∴点B，点G，点D三点共线，∵AC⊥BD，∠ABD=30°，∴AO=12AB=2，22224223AB AO--=∴BD=3AC=4，同理可求3BE，即3，若AD=DG'=4时，∴BG'=BD-DG'=434-， ∴BE'4344343-==-；若AG''=G''D 时，过点G''作G''H ⊥AD 于H ，∴AH=HD=2，∵∠ADB=30°，G''H ⊥AD ，∴DG''=2HG''，∵222HD HG''DG''+=，解得：HG''23=，DG''=2HG''43=， ∴BG''=BD-DG''=438343-=， ∴BE''=83，综上所述：BE 为83或434-．【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．15．72；【分析】连接AO 、BO 、CO ，过O 作FO ⊥AO ，交AB 的延长线于F ，判定△AOC ≌△FOB （ASA ），即可得出AO=FO ，FB=AC=6，进而得到AF=8+6=14，∠FAO=45°，根据AO=AF×cos45°进行计算即可．【详解】解：连接AO 、BO 、CO ，过O 作FO ⊥AO ，交AB 的延长线于F ，∵O 是正方形DBCE 的对称中心，∴BO=CO ，∠BOC=90°，∵FO ⊥AO ，∴∠AOF=90°，∴∠BOC=∠AOF ，即∠AOC+∠BOA=∠FBO+∠BOA ，∴∠AOC=∠FBO ，∵∠BAC=90°，∴在四边形ABOC 中，∠ACO+∠ABO=180°，∵∠FBO+∠ABO=180°，∴∠ACO=∠FBO ，在△AOC 和△FOB 中，AOC FOB AO FOACO FBO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AOC ≌△FOB （ASA ），∴AO=FO ，FB=FC=6，∴AF=8+6=14，∠FAO=∠OFA=45°，∴AO=AF×cos45°=14×22=72．故答案为72．【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质．本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算．16．16或10【分析】等腰三角形一般分情况讨论：（1）当DB'=DC=16；（2）当B'D=B'C 时，作辅助线，构建平行四边形AGHD 和直角三角形EGB'，计算EG 和B'G 的长，根据勾股定理可得B'D 的长；【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴DC=AB=16，AD=BC=18．分两种情况讨论：（1）如图2，当DB'=DC=16时，即△CDB'是以DB'为腰的等腰三角形（2）如图3，当B'D=B'C 时，过点B'作GH ∥AD ，分别交AB 与CD 于点G 、H ．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠A=90°又GH∥AD，∴四边形AGHD是平行四边形，又∠A=90°，∴四边形AGHD是矩形，∴AG=DH，∠GHD=90°，即B'H⊥CD，又B'D=B'C，∴DH＝HC＝18CD=，AG=DH=8，3∵AE=3，∴BE=EB'=AB-AE=16-3=13，EG=AG-AE=8-3=5，在Rt△EGB'中，由勾股定理得：GB′2213512，∴B'H=GH×GB'=18-12=6，在Rt△B'HD中，由勾股定理得：B′D22+=6810综上，DB'的长为16或10．故答案为： 16或10【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形一般需要分类讨论．17．1382+【分析】如图所示，延长CD交FN于点P，过N作NK⊥CD于点K，延长FE交CD于点Q，交NS于点R，首先利用正方形性质结合题意求出AD=CD=AG=DQ=1，然后进一步根据菱形性质得出DE=EF=DG=2，再后通过证明四边形NKQR是矩形得出22221382FN FR NR=+=+NS交ML于点Z，利用全等三角形性质与判定证明四边形FHMN为正方形，最后进一步求解即可.【详解】如图所示，延长CD交FN于点P，过N作NK⊥CD于点K，延长FE交CD于点Q，交NS于点R，∵ABCD为正方形，∴∠CDG=∠GDK=90°，∵正方形ABCD面积为1，∴AD=CD=AG=DQ=1，∴DG=CT=2，∵四边形DEFG为菱形，∴DE=EF=DG=2，同理可得：CT=TN=2，∵∠EFG=45°，∴∠EDG=∠SCT=∠NTK=45°，∵FE∥DG，CT∥SN，DG⊥CT，∴∠FQP=∠FRN=∠DQE=∠NKT=90°，∴2FQ=FE+EQ=22+∵∠NKT=∠KQR=∠FRN=90°，∴四边形NKQR是矩形，∴2，∴FR=FQ+QR=222=，+，NR=KQ=DK−2121∴2221382FN FR NR=+=+再延长NS交ML于点Z，易证得：△NMZ≅△FNR(SAS)，∴FN=MN，∠NFR=∠MNZ，∵∠NFR+∠FNR=90°，∴∠MNZ+∠FNR=90°，即∠FNM=90°，同理可得：∠NFH=∠FHM=90°，∴四边形FHMN为正方形，∴正方形FHMN的面积=21382FN=+故答案为：1382+【点睛】本题主要考查了正方形和矩形性质与判定及与全等三角形性质与判定的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.18．5【分析】先判断四边形BCEF 的形状，再连接FM FC 、，利用正方形的性质得出AFG 是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质得出12MN FC =即可．【详解】∵四边形ABCP 是边长为4的正方形，//EF BC ，∴四边形BCEF 是矩形，∵1PE =，∴3CE =，连接FM FC 、，如图所示：∵四边形ABCP 是正方形，∴=45BAC ∠ ，AFG 是等腰直角三角形，∵M 是AG 的中点，即有AM MG = ，∴FM AG ⊥，FMC 是直角三角形，又∵N 是FC 中点，12MN FC =， ∵225FC BF BC =+=∴ 2.5MN =，故答案为：2.5 ．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在于合理作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解．19．23【分析】根据EM 是Rt ABE △斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出EM 的长；根据已知条件推导出DME 是等边三角形，且边长为2，进一步计算即可得解．【详解】解：∵AD BC ⊥，M 为AB 边的中点，4AB =∴在Rt ABD △中，114222DM AM AB ===⨯= 同理，在Rt ABE △中，114222EM AM AB ===⨯= ∴MDA MAD ∠=∠，MEA MAE ∠=∠∵2BME MEA MAE MAE ∠=∠+∠=∠，2BMD MDA MAD MAD ∠=∠+∠=∠ ∴DME BME BMD ∠=∠-∠22MAE MAD =∠-∠()2MAE MAD =∠-∠2DAC =∠60=︒∵=DM EM∴DME 是等边三角形，且边长为2∴122EDM S =⨯=故答案是：2【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的外角定理、角的和差以及等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是进行推理论证的前提．20【解析】【分析】根据折叠的性质可得∠DAF=∠BAF=45°，再由矩形性质可得FC=ED=1，然后由勾股定理求出FG 即可．【详解】由折叠的性质可知，∠DAF=∠BAF=45°，∴AE=AD=3，EB=AB-AD=1，∵四边形EFCB 为矩形，∴FC=BE=1，∵AB ∥FC ，∴∠GFC=∠DAF=45°，∴GC=FC=1，∴FG ===．【点睛】本题考查了折叠变换，矩形的性质是一种对称变换，理解折叠前后图形的大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解决此题的关键．三、解答题21．（1）DE CF ；（2）在情况1与情况2下都相同，详见解析；（3）AF ＋CF ＝DF 或|AF －CF |【分析】（1）易证△BCD 是等腰直角三角形，得出CB ，即可得出结果；（2）情况1：过点C 作CG ⊥CF ，交DF 于G ，设BC 交DF 于P ，由ASA 证得△CDG ≌△CBF ，得出DG=FB ，CG=CF ，则△GCF 是等腰直角三角形，CF ，连接BE ，设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠DEA=∠ADE=90°-α，求出∠DAE=2α，则∠EAB=90°-2α，∠BEA=∠ABE=12（180°-∠EAB ）=45°+α，∠CBE=45°-α，推出∠FBE=45°，得出△BEF 是等腰直角三角形，则EF=BF ，推出EF=DG ，DE=FG ，得出CF ；情况2：过点C 作CG ⊥CF 交DF 延长线于G ，连接BE ，设CD 交BF 于P ，由ASA 证得△CDG ≌△CBF ，得出DG=FB ，CG=CF ，则△GCF 是等腰直角三角形，得CF ，设∠CDG=α，则∠CBF=α，证明△BEF 是等腰直角三角形，得出EF=BF ，推出DE=FG ，得出CF ；（3）①当F 在BC 的右侧时，作HD ⊥DF 交FA 延长线于H ，由（2）得△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，由SSS 证得△ABF ≌△AEF ，得出∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则△HDF 是等腰直角三角形，得DF ，DH=DF ，∵∠HDF=∠ADC=90°，由SAS 证得△HDA ≌△FDC ，得CF=HA ，即可得出；②当F 在AB 的下方时，作DH ⊥DE ，交FC 延长线于H ，在DF 上取点N ，使CN=CD ，连接BN ，证明△BFN 是等腰直角三角形，得BF=NF ，由SSS 证得△CNF ≌△CBF ，得∠NFC=∠BFC=12∠BFD=45°，则△DFH 是等腰直角三角形，得，DF=DH ，由SAS证得△ADF ≌△CDH ，得出CH=AF ，即可得出DF ；③当F 在DC 的上方时，连接BE ，作HD ⊥DF ，交AF 于H ，由（2）得△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，由SSS 证得△ABF ≌△AEF ，得∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则△HDF 是等腰直角三角形，得出DF ，DH=DF ，由SAS 证得△ADC ≌△HDF ，得出AH=CF ，即可得出；④当F 在AD 左侧时，作HD ⊥DF 交AF 的延长线于H ，连接BE ，设AD 交BF 于P ，证明△BFE 是等腰直角三角形，得EF=BF ，由SSS 证得△ABF ≌△AEF ，得∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则∠DFH=∠EFA=45°，△HDF 是等腰直角三角形，得DH=DF ，，由SAS 证得△HDA ≌△FDC ，得出AF=CF ，即可得出DF ．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴CD=CB ，∠BCD=90°，∴△BCD 是等腰直角三角形，∴DB=2CB ，当点E 、F 与点B 重合时，则DE=2CF ，故答案为：DE=2CF ；（2）在情况1或情况2下，线段CF 与线段DE 之间的数量关系与（1）中结论相同；理由如下：情况1：∵四边形ABCD 是正方形，∴CD=CB=AD=AB=AE ，∠BCD=∠DAB=∠ABC=90°，过点C 作CG ⊥CF ，交DF 于G ，如图②所示：则∠BCD=∠GCF=90°，∴∠DCG=∠BCF ，设BC 交DF 于P ， ∵BF ⊥DE ，∴∠BFD=∠BCD=90°，∵∠DPC=∠FPB ，∴∠CDP=∠FBP ，在△CDG 和△CBF 中，DCG BCF CD CBCDG CBF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△CDG ≌△CBF （ASA ），∴DG=FB ，CG=CF ，∴△GCF 是等腰直角三角形，∴2，连接BE ，设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠ADE=90°-α，∵AD=AE ，∴∠DEA=∠ADE=90°-α，∴∠DAE=180°-2（90°-α）=2α，∴∠EAB=90°-2α，∵AB=AE ，∴∠BEA=∠ABE=1 2（180°-∠EAB）=12（180°-90°+2α）=45°+α，∴∠CBE=90°-（45°+α）=45°-α，∴∠FBE=∠CBE+∠CBF=45°-α+α=45°，∵BF⊥DE，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF=BF，∴EF=DG，∴EF+EG=DG+EG，即DE=FG，∴DE=2CF；情况2：过点C作CG⊥CF交DF延长线于G，连接BE，设CD交BF于P，如图③所示：∵∠GCF=∠BCD=90°，∴∠DCG=∠BCF，∵∠FPD=∠BPC，∴∠FDP=∠PBC，在△CDG和△CBF中，DCG BCFCD CBCDG CBF∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△CDG≌△CBF（ASA），∴DG=FB，CG=CF，∴△GCF是等腰直角三角形，∴2，设∠CDG=α，则∠CBF=α，同理可知：∠DEA=∠ADE=90°-α，∠DAE=2α，∴∠E AB=90°+2α，∵AB=AE，∴∠BEA=∠ABE=45°-α，∴∠FEB=∠DEA-∠AEB=90°-α-（45°-α）=45°，∵BF ⊥DE ，∴△BEF 是等腰直角三角形，∴EF=BF ，∴EF=DG ，∴DE=FG ，∴DE=2CF ；（3）①当F 在BC 的右侧时，作HD ⊥DF 交FA 延长线于H ，如图④所示：由（2）得：△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，在△ABF 和△AEF 中，AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF ≌△AEF （SSS ）， ∴∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°， ∴△HDF 是等腰直角三角形，∴2，DH=DF ，∵∠HDF=∠ADC=90°，∴∠HDA=∠FDC ，在△HDA 和△FDC 中，DH DF HDA FDC DA DC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△HDA ≌△FDC （SAS ），∴CF=HA ，2，即2DF ；②当F 在AB 的下方时，作DH ⊥DE ，交FC 延长线于H ，在DF 上取点N ，使CN=CD ，连接BN ，如图⑤所示：。

中考数学一轮复习平行四边形知识归纳总结及解析

中考数学一轮复习平行四边形知识归纳总结及解析一、解答题1．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上的一点（不与点A ，D 重合），ABE ∆沿BE 折叠，得BEF ，点A 的对称点为点F ．（1）当AB AD =时，点F 会落在CE 上吗？请说明理由．（2）设()01AB m m AD=<<，且点F 恰好落在CE 上． ①求证：CF DE =．②若AE n AD=，用等式表示m n ，的关系． 2．如图正方形ABCD ，DE 与HG 相交于点O （O 不与D 、E 重合）．（1）如图（1），当90GOD ∠=︒，①求证：DE GH =；②求证：2GD EH DE +>；（2）如图（2），当45GOD ∠=︒，边长4AB =，5HG =，求DE 的长．3．如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，点B 坐标为（6，6），将正方形ABCO 绕点C 逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF ，ED 交线段AB 于点G ，ED 的延长线交线段OA 于点H ，连结CH 、CG ．（1）求证：CG 平分∠DCB ；（2）在正方形ABCO 绕点C 逆时针旋转的过程中，求线段HG 、OH 、BG 之间的数量关系；（3）连结BD 、DA 、AE 、EB ，在旋转的过程中，四边形AEBD 是否能在点G 满足一定的条件下成为矩形？若能，试求出直线DE 的解析式；若不能，请说明理由．4．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将ABE ∆沿BE 折叠，点A 的对应点为点G ．图1 图2（1）填空：如图1，当点G 恰好在BC 边上时，四边形ABGE 的形状是________；（2）如图2，当点G 在矩形ABCD 内部时，延长BG 交DC 边于点F ．①求证：BF AB DF =+． ②若3AD =，试探索线段DF 与FC 的数量关系． 5．已知在ABC 和ADE 中， 180ACB AED ∠+∠=︒，CA CB =，EA ED =，3AB =．（1）如图1，若90ACB ∠=︒，B 、A 、D 三点共线，连接CE ： ①若522CE =，求BD 长度； ②如图2，若点F 是BD 中点，连接CF ，EF ，求证：2CE EF =；（2）如图3，若点D 在线段BC 上，且2CAB EAD ∠=∠，试直接写出AED 面积的最小值．6．已知在平行四边形ABCD 中，AB BC ≠，将ABC 沿直线AC 翻折，点B 落在点尽处，AD 与CE 相交于点O ，联结DE ．（1）如图1，求证：//AC DE ；（2）如图2，如果90B ∠=︒，3AB =，6=BC ，求OAC 的面积；（3）如果30B ∠=︒，23AB =，当AED 是直角三角形时，求BC 的长．7．（解决问题）如图1，在ABC ∆中，10AB AC ==，CG AB ⊥于点G ．点P 是BC 边上任意一点，过点P 作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为点E ，点F ．（1）若3PE =，5PF =，则ABP ∆的面积是______，CG =______．（2）猜想线段PE ，PF ，CG 的数量关系，并说明理由．（3）（变式探究）如图2，在ABC ∆中，若10AB AC BC ===，点P 是ABC ∆内任意一点，且PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，垂足分别为点E ，点F ，点G ，求PE PF PG ++的值．（4）（拓展延伸）如图3，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C '处，点P 为折痕EF 上的任意一点，过点P 作PG BE ⊥，PH BC ⊥，垂足分别为点G ，点H ．若8AD =，3CF =，直接写出PG PH +的值．8．如图，锐角ABC ∆，AB AC =，点D 是边BC 上的一点，以AD 为边作ADE ∆，使AE AD =，EAD BAC ∠=∠．（1）过点E 作//EF DC 交AB 于点F ，连接CF （如图①）①请直接写出EAB ∠与DAC ∠的数量关系；②试判断四边形CDEF 的形状，并证明；（2）若60BAC ∠=，过点C 作//CF DE 交AB 于点F ，连接EF （如图②），那么（1）②中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．9．（1）问题探究：如图①，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E 是BC 的中点，AE 是∠BAD 的平分线，则线段AB ，AD ，DC 之间的等量关系为；（2）方法迁移：如图②，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AF 与DC 的延长线交于点F ，E 是BC 的中点，AE 是∠BAF 的平分线，试探究线段AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论；（3）联想拓展：如图③，AB ∥CF ，E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，∠EDF ＝∠BAE ，试探究线段AB ，DF ，CF 之间的数量关系，并证明你的结论．10．如图，在四边形OABC 是边长为4的正方形点P 为OA 边上任意一点（与点O A 、不重合），连接CP ，过点P 作PM CP ⊥，且PM CP =，过点M 作MN AO ∥，交BO 于点,N 联结BM CN 、，设OP x =.（1）当1x =时，点M 的坐标为（，）（2）设CNMB S y =四形边，求出y 与x 的函数关系式，写出函数的自变量的取值范围.（3）在x 轴正半轴上存在点Q ，使得QMN 是等腰三角形，请直接写出不少于4个符合条件的点Q 的坐标（用x 的式子表示）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）不会，理由见解析；（2）①见解析；②²²20m n n =+-【分析】（1）根据BEF BEA ≅得到BF BA =，根据三角形的三边关系得到BC BF BA >=，与已知矛盾；（2）①根据90BFC BFE ∠=∠=︒、DEC FCB ∠=∠和BF=CD ，利用AAS 证得BCF CED ≅，根据全等三角形的性质即可证明；②设1AD =，则可表示出AE 和AB ，然后根据等角对等边证得CE=CB ，然后在Rt CDE ∆中应用勾股定理即可求解．【详解】（1）由折叠知BEF BEA ≅ ，所以90BF BA BFE A =∠=∠=︒，．若点F 在CE 上，则90BFC ∠=︒，BC BF BA >=，与AB AD =矛盾，所以点F 不会落在CE 上．（2）①因为()01AB m m AD=<<，则AB AD < ，因为点F 落在CE 上，所以90BFC BFE ∠=∠=︒ ，所以BF BA CD == ．因为//AD BC ，所以DEC FCB ∠=∠ ，所以BCF CED ≅ ，所以CF DE =．②若AE n AD=，则AE nAD =．设1AD =，则AE n AB m ==，．因为//AD BC ，所以BEA EBC ∠=∠ ．因为BEF BEA ∠=∠ ，所以EBC BEC ∠=∠ ，所以1CE CB AD === ．在Rt CDE ∆中，11DE n CE CD m ===一，，，所以22211()n m -+= ，所以²²20m n n =+-．故答案为（1）不会，理由见解析；（2）①见解析；②²²20m n n =+-．【点睛】本题考查了三角形全等的性质和判定，和等边对等角，此题属于矩形的折叠问题类综合题，熟练掌握三角形全等的性质，和做出示意图是本题的关键．2．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）DE =．【分析】（1）过点D 作//DM GH 交BC 延长线于点M ，连接EH ，①由正方形的性质可得//AD BC ，AD CD =，90A ADC DCM ∠=∠=∠=︒，即可证明四边形DGHM 是平行四边形，可得DM=GH ，由90GOD ∠=︒可得∠EDM=90°，根据直角三角形两锐角互余的性质可得12∠=∠，利用ASA 可证明△ADE≌△CDM，可得DE=DM ，即可证明DE=GH ；②由①得DM=DE ，根据勾股定理可得，利用三角形三边关系即可得结论；（2）过点D 作DN//GH 交BC 于点N ，作ADM CDN ∠=∠，DM 交BA 延长线于点M ，可证明四边形GHND 为平行四边形，可得DN HG =，GD HN =，根据勾股定理可求出CN 的长，利用AAS 可证明ADM CDN ∆∆≌，可得AM NC =，DM DN =，根据平行线的性质∠EDN=45°，根据角的和差故选可得∠MDE=∠EDN ，利用SAS 可证明MDE NDE ∆∆≌，即可证明AE CN EN +=，设AE x =，利用勾股定理可求出x 的值，进而利用勾股定理求出DE 的值即可得答案．【详解】（1）如图（1），过点D 作//DM GH 交BC 延长线于点M ，连接EH ，EM ， ①∵四边形ABCD 为正方形，∴//AD BC ，AD CD =，90A ADC DCM ∠=∠=∠=︒∴四边形DGHM 为平行四边形，∴DM=GH ，GD HM =，∵90GOD ∠=︒，∴90EDM EOH ∠=∠=︒，∴290EDC ∠+∠=︒，∵90ADC ∠=︒，∴190EDC ∠+∠=︒，∴12∠=∠，在ADE ∆和CDM ∆中12A DCM AD DC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ADE CDM ∆∆≌，∴DE DM =，∴DE GH =．②在DEM ∆中，∠EDM=90°，∴222DE DM EM +=，∵DE DM =，∴222DE EM =， ∴2EM DE =，在EHM ∆中，HM EH EM +>，∵GD HM =， ∴2GD EH GH +≥．（2）如图（2），过点D 作DN//GH 交BC 于点N ，则四边形GHND 为平行四边形， ∴DN HG =，GD HN =，∵90C ∠=︒，4CD AB ==，25HG DN == ∴222CN DN DC =-=，∴422BN BC CN =-=-=，作ADM CDN ∠=∠，DM 交BA 延长线于点M ，在ADM ∆和CDN ∆中90C MAD CDN ADM DC AD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADM CDN ∆∆≌，∴AM NC =，DM DN =，∵45GOD EOH ∠=∠=︒，∴45EDN ∠=︒，∴45ADE CDN ∠+∠=︒，∴45ADE ADN MDE ∠+∠=︒=∠，在MDE ∆和NDE ∆中MD ND MDE EDN DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴MDE NDE ∆∆≌，∴EM EN =，即AE AM AE CN EN +=+=，设AE x =，则BE=4-x ，在Rt BEN ∆中，2222(2)x x +=+，解得：43x =， ∴2222441043DE AD AE ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理，并正确作出辅助线是解题关键．3．（1）见解析；（2） HG ＝OH +BG ；（3）能成矩形，y 3342x =-．【分析】（1）根据旋转和正方形的性质可得出CD ＝CB ，∠CDG ＝∠CBG ＝90，根据全等直角三角形的判定定理（HL ）即可证出Rt △CDG ≌Rt △CBG ，即∠DCG ＝∠BCG ，由此即可得出CG 平分∠DCB ；（2）由（1）的Rt △CDG ≌Rt △CBG 可得出BG ＝DG ，根据全等直角三角形的判定定理（HL ）即可证出Rt △CHO ≌Rt △CHD ，即OH ＝HD ，再根据线段间的关系即可得出HG ＝HD +DG ＝OH +BG ；（3）根据（2）的结论即可找出当G 点为AB 中点时，四边形AEBD 为矩形，再根据正方形的性质以及点B 的坐标可得出点G 的坐标，设H 点的坐标为（x ，0），由此可得出HO ＝x ，根据勾股定理即可求出x 的值，即可得出点H 的坐标，结合点H 、G 的坐标利用待定系数法即可求出直线DE 的解析式．【详解】（1）∵正方形ABCO 绕点C 旋转得到正方形CDEF ，∴CD ＝CB ，∠CDG ＝∠CBG ＝90°．在Rt △CDG 和Rt △CBG 中，∵CG CG CD CB=⎧⎨=⎩，∴Rt △CDG ≌Rt △CBG （HL ），∴∠DCG ＝∠BCG ，即CG 平分∠DCB ．（2）由（1）证得：Rt △CDG ≌Rt △CBG ，∴BG ＝DG ．在Rt △CHO 和Rt △CHD 中，∵CH CH CO CD =⎧⎨=⎩，∴Rt △CHO ≌Rt △CHD （HL ），∴OH ＝HD ，∴HG ＝HD +DG ＝OH +BG ．（3）假设四边形AEBD 可为矩形．当G 点为AB 中点时，四边形AEBD 为矩形，如图所示．∵G 点为AB 中点，∴BG ＝GA 12=AB ，由（2）证得：BG ＝DG ，则BG ＝GA ＝DG 12=AB 12=DE ＝GE ，又AB ＝DE ，∴四边形AEBD 为矩形，∴AG ＝EG ＝BG ＝DG ．∵AG 12=AB ＝3，∴G 点的坐标为（6，3）．设H 点的坐标为（x ，0），则HO ＝x ，∴HD ＝x ，DG ＝3．在Rt △HGA 中，HG ＝x +3，GA ＝3，HA ＝6﹣x ，由勾股定理得：（x +3）2＝32+（6﹣x ）2，解得：x ＝2，∴H 点的坐标为（2，0）．设直线DE 的解析式为：y ＝kx +b （k ≠0），将点H （2，0）、G （6，3）代入y ＝kx +b 中，得：2063k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：3432k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线DE 的解析式为：y 3342x =-．故四边形AEBD 能为矩形，此时直线DE 的解析式为：y 3342x =-．【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定及性质、待定系数法求函数解析式以及勾股定理．解题的关键是：（1）证出Rt △CDG ≌Rt △CBG ；（2）找出BG ＝DG 、OH ＝HD ；（3）求出点H 、G 的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边和角是关键．4．（1）四边形ABGE 的形状是正方形；（2）①详见解析；②DF=3CF【分析】（1）由四边形ABCD 是矩形，可得90A ABC ︒∠=∠=，由折叠得：90BGE A ︒∠=∠=，根据三个内角是直角可判断四边形ABGE 为矩形，由折叠得：AB=BG ，根据一组邻边相等的矩形是正方形可判断矩形ABGE 为正方形；（2）①如图，连结EF ，在矩形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC ，∠A=∠C=∠D=90°，由△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，可得BG=AB ，EG=AE=ED ，∠A=∠BGE=90°，故∠EGF=∠D=90°，由HL 可判断Rt △EGF ≌Rt △EDF ，得到DF=FG ，问题得证；②设AB=DC=a ，则AD=BC=3a ，另设CF=x ，则DF=DC-CF=a-x ，由①得BF=AB+DF =2a-x ，在Rt △BCF 中，由勾股定理得：BF 2=BC 2+CF 2，代入数据运算可得：x=14a ，即CF=14a ，DF=a-x=34a ，进而可得DF 与CF 关系．【详解】（1）四边形ABGE 的形状是正方形．理由是：∵四边形ABCD 是矩形，∴90A ABC ︒∠=∠=，由折叠得：90BGE A ︒∠=∠=，∴四边形ABGE 为矩形，由折叠得：AB=BG ，∴矩形ABGE 为正方形；故答案为：正方形．（2）①如图，连结EF ，在矩形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC ，∠A=∠C=∠D=90°，∵E 是AD 的中点，∴AE=DE ，∵△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，∴BG=AB ，EG=AE=ED ，∠A=∠BGE=90°，∴∠EGF=∠D=90°，Rt △EGF 和Rt △EDF 中，EG ED EF EF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △EGF ≌Rt △EDF （HL ），∴DF=FG ，∴BF=BG+GF=AB+DF ；②不妨假设AB=DC=a ，则3，另设CF=x ，则DF=DC-CF=a-x ，由①得BF=AB+DF=a+a-x=2a-x ，在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF2=BC2+CF2，即(2a-x)2=(3a)2+x2，整理得：x=14a，∴CF=14a，DF=a-x=34a，∴DF=3CF．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，正方形的判定，三角形全等的判定，勾股定理等内容，根据图形作出辅助线找出线段的等量关系列出方程是解题的关键．5．（1）①7；②证明见解析；（2）93，理由见解析【分析】（1）①如图1中，延长BC交DE的延长线于T，过点T作TH⊥BD于H，设BD=2x．证明△BDT是等腰直角三角形，四边形ACTE是矩形，进而利用勾股定理构建方程求解即可；②如图2中，延长BC交DE的延长线于T，连接TF，进而利用全等三角形的性质证明△CEF是等腰直角三角形即可解决问题；（2）如图3中，根据题意设∠EAD=x，则∠BAC=2x．证明△ABC是等边三角形，再根据垂线段最短即可解决问题．【详解】解：（1）①如图1中，延长BC交DE的延长线于T，过点T作TH⊥BD于H，设BD=2x．∵∠ACB=90°，∠ACB+∠AED=180°，∴∠AED=90°，∵CA=CB，EA=ED，∴∠B=∠D=45°，∴∠BTD=90°，∵∠TCA=∠CTE=∠TEA=90°，∴四边形ACTE是矩形，∴22 EC AT==∵TH⊥BD，∴BH=HD=x ，∴TH=HB=HD=x ，∵AB=3，∴AH=x-3，在Rt △ATH 中，则有22252(())23x x =-+，解得：72x =或12-（不符合题意舍弃）， ∴BD=2x=7．②证明：如图2中，延长BC 交DE 的延长线于T ，连接TF ．∵∠B=∠D=45°，∴TB=TD ，∵∠BTD=90°，BF=DF ，∴TF ⊥BD ，∠FTE=∠BTF=45°，∴TF=BF ，∠BFT=90°，∵四边形ACTE 是矩形，∴TE=AC ，∴AC=BC ，∴BC=TE ，∵∠B=∠FTE=45°，∴△FBC ≌△FTE （SAS ），∴FC=EF ，∠BFC=∠TFE ，∴∠CFE=∠BFT=90°，∴△CFE 是等腰直角三角形，∴2EF ．（2）如图3中，设∠EAD=x ，则∠BAC=2x ．∵EA=ED ，∴∠EAD=∠EDA=x ，∴2x+∠AED=180°，∵∠ACB+∠AED=180°，∴∠ACB=2x ，∵CB=CA ，∴∠B=∠CAB=2x ，∴∠C=∠B=∠CAB ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠CAB=60°，∠EAD=30°，当AD ⊥BC 时，△ADE 的面积最小，∵AB=BC=AC=3， ∴322AD =， ∴S △ADE 的最小值13239324==．【点睛】本题属于三角形综合题，考查等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．6．（1）见解析；（2）928；（3）4或6 【分析】（1）由折叠的性质得ACB ACE ∠=∠，BC EC =，由平行四边形的性质得AD BC =，//AD BC ．则EC AD =，ACB CAD ∠=∠，得ACE CAD ∠=∠，证出OA OC =，则OD OE =，由等腰三角形的性质得ODE OED ∠=∠，证出CAD ACE OED ODE ∠=∠=∠=∠，即可得出结论；（2）证四边形ABCD 是矩形，则90CDO ∠=︒，3==CD AB 6AD BC ==OA OC x ==，则6OD x ，在Rt OCD ∆中，由勾股定理得出方程，求出36OA =，由三角形面积公式即可得出答案；（3）分两种情况：90EAD ∠=︒或90AED ∠=︒，需要画出图形分类讨论，根据含30角的直角三角形的性质，即可得到BC 的长．【详解】解：（1）证明：由折叠的性质得：ABC ∆≅△AEC ∆，ACB ACE ∴∠=∠，BC EC =，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，//AD BC ．EC AD ∴=，ACB CAD ∠=∠，ACE CAD ∴∠=∠，OA OC ∴=，OD OE ∴=，ODE OED ∴∠=∠，AOC DOE ∠=∠，CAD ACE OED ODE ∴∠=∠=∠=∠，//AC DE ∴；（2）平行四边形ABCD 中，90B ∠=︒，∴四边形ABCD 是矩形，90CDO ∴∠=︒，==CD AB AD BC ==由（1）得：OA OC =，设OA OC x ==，则OD x =，在Rt OCD ∆中，由勾股定理得：222)x x +=，解得：4x =，OA ∴=，OAC ∴∆的面积1122OA CD =⨯=；（3）分两种情况：①如图3，当90EAD ∠=︒时，延长EA 交BC 于G ，AD BC =，BC EC =，AD EC ∴=，//AD BC ，90EAD ∠=︒，90EGC ∴∠=︒，30B ∠=︒，AB =30AEC ∴∠=︒，1122GC EC BC ∴==，G ∴是BC 的中点，在Rt ABG ∆中，33BG AB ==， 26BC BG ∴==；②如图4，当90AED ∠=︒时AD BC =，BC EC =，AD EC ∴=，由折叠的性质得：AE AB =，AE CD ∴=，在ACE ∆和CAD ∆中，AE CD CE AD AC CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ACE CAD SSS ∴∆≅∆，ECA DAC ∴∠=∠，OA OC ∴=，OE OD ∴=，OED ODE ∴∠=∠，AED CDE ∴∠=∠，90AED ∠=︒，90CDE ，//AE CD ∴，又//AB CD ，B ∴，A ，E 在同一直线上，90BAC EAC ∴∠=∠=︒，Rt ABC ∆中，30B ∠=︒，23AB =32AC AB ∴==，24BC AC ==；综上所述，当AED ∆是直角三角形时，BC 的长为4或6．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质是解题的关键．7．（1）15，8；（2）PE PF CG +=，见解析；（3）534）4【分析】解决问题（1）只需运用面积法：ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+，即可解决问题；（2）解法同（1）；（3）连接PA 、PB 、PC ，作AM BC ⊥于M ，由等边三角形的性质得出152BM BC ==，由勾股定理得出2253AM AB BM =-=ABC ∆的面积12532BC AM =⨯=ABC ∆的面积BCP =∆的面积ACP +∆的面积APB +∆的面积1111()2532222BC PE AC PF AB PG AB PE PF PG =⨯+⨯+⨯=++=，即可得出答案；（4）过点E 作EQ BC ⊥，垂足为Q ，易证BE BF =，过点E 作EQ BF ⊥，垂足为Q ，由解决问题（1）可得PG PH EQ +=，易证EQ DC =，BF DF =，只需求出BF 即可．【详解】解：（1）∵PE AB ⊥，10AB =，3PE =，∴ABP ∆的面积111031522AB PE =⨯=⨯⨯=， ∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CG AB ⊥，且ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+，∴AB CG AB PE AC PF ⋅=⋅+⋅，∵AB AC =，∴358CG PE PF =+=+=.故答案为：15，8.（2）∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CG AB ⊥，且ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+，∴AB CG AB PE AC PF ⋅=⋅+⋅，∴CG PE PF =+.（3）连接PA 、PB 、PC ，作AM BC ⊥于M ，如图2所示：∵10AB AC BC ===，∴ABC ∆是等边三角形，∵AM BC ⊥， ∴152BM BC ==， ∴222210553AM AB BM =-=-=，∴ABC ∆的面积11105325322BC AM =⨯=⨯⨯=， ∵PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，∴ABC ∆的面积BCP =∆的面积ACP +∆的面积APB +∆的面积111222BC PE AC PF AB PG =⨯+⨯+⨯1()2AB PE PF PG =++ 253=，∴22535310PE PF PG ⨯++==. （4）过点E 作EQ BC ⊥，垂足为Q ，如图3所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC =，90C ADC ∠=∠=︒，∵8AD =，3CF =，∴5BF BC CF AD CF =-=-=，由折叠可得：5DF BF ==，BEF DEF ∠=∠，∴4DC ===，∵EQ BC ⊥，90C ADC ∠=∠=︒，∴90EQC C ADC ∠=︒=∠=∠，∴四边形EQCD 是矩形，∴4EQ DC ==，∵//AD BC ，∴DEF EFB ∠=∠，∵BEF DEF ∠=∠，∴BEF EFB ∠=∠，∴BE BF =，由解决问题（1）可得：PG PH EQ +=，∴4PG PH +=，即PG PH +的值为4.【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、平行线的性质与判定、等边三角形的性质、勾股定理等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．8．（1）①EAB DAC ∠=∠； ② 平行四边形，证明见解析；（2）成立，证明见解析．【分析】（1）①根据EAD BAC ∠=∠，两角有公共角BAD ∠，可证EAB DAC ∠=∠；②连接EB ，证明△EAB ≌△DAC ，可得,ABE ACD EB CD ∠=∠=,再结合平行线的性质和等腰三角形的判定定理可得EF=DC ，由此可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形CDEF 为平行四边形．（2）根据60BAC ∠=︒，可证明△AED 和△ABC 为等边三角形，再根据ED ∥FC 结合等边三角形的性质，得出∠AFC=∠BDA ，求证△ABD ≌△CAF ，得出ED=CF ，进而求证四边形EDCF 是平行四边形．【详解】解：（1）①EAB DAC ∠=∠，理由如下：∵EAD BAC ∠=∠，EAD EAB BAD ∠=∠+∠，BAC BAD DAC ∠=∠+∠, ∴EAB BAD BAD DAC ∠+∠=∠+∠，∴EAB DAC ∠=∠；②证明：如下图，连接EB,在△EAB 和△DAC 中∵AE AD EAB DAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAB ≌△DAC （SAS ）∴,ABE ACD EB CD ∠=∠=,∵AB AC =，∴ABC ACD ∠=∠,∴ABE ABC ∠=∠，∵//EF DC ，∴EFB ABC ∠=∠,∴ABE EFB ∠=∠,∴EB EF =,∴DC EF =∴四边形CDEF 为平行四边形；（2）成立；理由如下：理由如下：∵60BAC ∠=︒，∴=60EAD BAC ∠=∠︒，∵AE=AD ，AB=AC ，∴△AED 和△ABC 为等边三角形，∴∠B=60°，∠ADE=60°，AD=ED,∵ED ∥FC ，∴∠EDB=∠FCB ，∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF ，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB ， ∴∠AFC=∠BDA ，在△ABD 和△CAF 中，60BDA AFC B BAC AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABD≌△CAF（AAS），∴AD=FC，∵AD=ED，∴ED=CF，又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，平行四边形的判定定理，平行线的性质．在做本题时可先以平行四边形的判定定理进行分析，在后两问中已知一组对边平行，所以只需证明这一组对边相等即可，一般证明线段相等就是证明相应的三角形全等．本题中是间接证明全等，在证明线段相等的过程中还应用到等腰三角形的判定定理（第（1）小题的第②问）和等边三角形的性质（第（2）小题），难度较大．9．（1）AD＝AB+DC；（2）AB＝AF+CF，证明详见解析；（3）AB＝DF+CF，证明详见解析．【分析】（1）结论：AD＝AB+DC．延长AE，DC交于点F，证明△ABE≌△FEC（AAS），即可推出AB＝CF，再证明DA＝DF，即可解决问题．（2）结论：AB＝AF+CF，如图②，延长AE交DF的延长线于点G，证明方法类似（1）．（3）结论；AB＝DF+CF．如图③，延长AE交CF的延长线于点G，证明方法类似（1）．【详解】解：（1）探究问题：结论：AD＝AB+DC．理由：如图①中，延长AE，DC交于点F，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠F，在△ABE和△FCE中，CE＝BE，∠BAF＝∠F，∠AEB＝∠FEC，∴△ABE≌△FEC（AAS），∴CF＝AB，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF＝∠FAD，∴∠FAD＝∠F，∴AD＝DF，∵DC+CF＝DF，∴DC+AB＝AD．故答案为AD＝AB+DC．（2）方法迁移：结论：AB＝AF+CF．证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE＝BE，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G．且BE＝CE，∠AEB＝∠GEC∴△AEB≌△GEC（AAS）∴AB＝GC∵AE是∠BAF的平分线∴∠BAG＝∠FAG，∵∠BAG∠G，∴∠FAG＝∠G，∴FA＝FG，∵CG＝CF+FG，∴AB＝AF+CF．（3）联想拓展：结论；AB＝DF+CF．证明：如图③，延长AE交CF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE＝BE，∵AB∥CF，∴∠BAE＝∠G，在△AEB和△GEC中，BAE G AEB GEC BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEB ≌△GEC ，∴AB ＝GC ，∵∠EDF ＝∠BAE ，∴∠FDG ＝∠G ，∴FD ＝FG ，∴AB ＝DF+CF ．【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．10．（1）点M 的坐标为(51)，；（2）()44y x =-()04x <<；（3）()224160Q x x ++-，， ()234160Q x x +--，，()24160Q x x +-，，()25160(224)Q x x x --<<，【分析】（1）过点M 作ME OA ⊥，由“AAS ”可证COP PEM ∆≅∆，可得4CO PE ==，1OP ME ==，即可求点M 坐标；（2）由（1）可知COP PEM ∆≅∆,设OP=x ，则可得M 点坐标为（4+x ，x ），由直线OB 解析式可得N （x ，x ），即可知MN=4，由一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形即可证明四边形BCNM 是平行四边形，进而可求y 与x 的函数关系式；（3）首先画出符合要求的点Q 的图形，共分三种情况，第一种情况：当MN 为底边时，第二种情况：当M 为顶点MN 为腰时，第三种情况：当N 为顶点MN 为腰时，然后根据图形特征结合勾股定理求出各种情况点的坐标即可解答．【详解】解：（1）如图，过点M 作ME OA ⊥，90CPO MPE ∴∠+∠=︒，且90CPO PCO ∠+∠=︒PCO MPE ∴∠=∠，且CP PM =，90COP PEM ∠=∠=︒()COP PEM AAS ∴∆≅∆4CO PE ∴==，1OP ME ==5OE ∴=∴点M 坐标为(5,1)故答案为(5,1)（2）由（1）可知COP PEM ∆≅∆4CO PE ∴==，OP ME x ==∴点M 坐标为(4,)x x +四边形OABC 是边长为4的正方形，∴点(4,4)B∴直线BO 的解析式为：y x =//MN AO ，交BO 于点N ，∴点N 坐标为(,)x x4MN BC ∴==，且//BC MN∴四边形BCNM 是平行四边形4(4)y x ∴=- (04)x <<（3）在x 轴正半轴上存在点Q ，使得QMN ∆是等腰三角形，此时点Q 的坐标为：1(2,0)Q x +，22(416Q x x +--，0)，23(416Q x x ++-，240)(16Q x x +-，250)(16Q x x --，0)其中(04)x <<，理由：当（2）可知，(04)OP x x =<<，4MN PE ==，//MN x 轴，所以共分为以下几种请：第一种情况：当MN 为底边时，作MN 的垂直平分线，与x 轴的交点为1Q ，如图2所示111222PQ PE MN ===， 12OQ x ∴=+，第二种情况：如图3所示，当M 为顶点MN 为腰时，以M 为圆心，MN 的长为半径画弧交x 轴于点2Q 、3Q ，连接2MQ 、3MQ ，则234MQ MQ ==， 2222Q E MQ ME ∴=-， 222416OQ OE Q E x x ∴=-=+--，22(416Q x x ∴+--，0)，32Q E Q E =，233416OQ OE Q E x x =+=++-，23(416Q x x ∴++-，0)；第三种情况，当以N 为顶点、MN 为腰时，以N 为圆心，MN 长为半径画圆弧交x 轴正半轴于点4Q ，当022x <<时，如图4所示，则2224416PQ NQ NP x =-=-24416OQ OP PQ x x ∴=+=-，即24(16Q x x -0)．当22x =则4ON =，此时Q 点与O 点重合，舍去；当224x <<时，如图5，以N 为圆心，MN 为半径画弧，与x 轴的交点为4Q ，5Q ．4Q 的坐标为：24(16Q x x -0)．2516OQ x x =-25(16Q x x ∴-0)所以，综上所述，1(2,0)Q x +，22(416Q x x +-，0)，23(416Q x x ++-，240)(16Q x x +-250)(16Q x x -，0)使QMN ∆是等腰三角形．【点睛】本题考查四边形综合题，解题的关键是明确题意，画出相应的图象，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．。

中考数学一轮复习平行四边形知识点及练习题及解析

中考数学一轮复习平行四边形知识点及练习题及解析一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，30, 6, 63,BCD BC CD E ︒∠===是AD 边上的中点，F 是AB 边上的一动点，将AEF ∆沿EF 所在直线翻折得到A EF '∆,连接A C '，则A C '的最小值为( )A ．319B ．313C ．3193-D ．632．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°，AB=AD=10cm ，BC=8cm ，点P 从点A 出发，以每秒3cm 的速度沿折线A-B-C-D 方向运动，点Q 从点D 出发，以每秒2cm 的速度沿线段DC 方向向点C 运动、已知动点P ，Q 同时出发，当点Q 运动到点C 时，点P ，Q 停止运动，设运动时间为t 秒，在这个运动过程中，若△BPQ 的面积为20cm 2 ，则满足条件的t 的值有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠后点D 与B 重合.若原矩形的长宽之比为3:1,则AE BF的值为（）A ．12B ．13C ．34D ．454．如图，直角梯形ABCD 中AD ∥BC ，∠D ＝90°．∠A 的平分线交DC 于E ，EF ⊥AB 于F ．已知AD ＝3.5cm ，DC ＝4cm ，BC ＝6.5cm ．那么四边形BCEF 的周长是（）A ．10cmB ．11cmC ．11.5cmD ．12cm5．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AG BC ⊥于G ，作AH CD ⊥于H ，且45GAH ∠=︒，2AG =，3AH =，则平行四边形的面积是（）A ．62B ．122C ．6D ．126．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD ，以AB 、BC 、DC 为边向外作正方形，其面积分别为1S 、2S 、3S ，若1S =3，3S =8，则2S 的值为（）A ．22B ．24C ．44D ．487．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 的中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E ，F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE ，BO.若∠COB ＝60°，FO ＝FC ，则下列结论：①FB ⊥OC ，OM ＝CM ；②△EOB ≌△CMB ；③四边形EBFD 是菱形；④MB ∶OE ＝3∶2.其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，在边长为6的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，将ADE 沿AE 对折至AFE ，延长交BC 于点G ，连接AG.则BG 的长（）A ．1B ．2C 3D ．39．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的长的最小值是( )A．2.5 B．2.4 C．2.2 D．210．如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧，交边AD于点；②再分别以B，F为圆心画弧，两弧交于平行四边形ABCD内部的点G处；③连接AG并延长交BC于点E，连接BF，若BF＝3，AB＝2.5，则AE的长为（）A．2 B．4 C．8 D．5二、填空题11．如图所示，菱形ABCD，在边AB上有一动点E，过菱形对角线交点O作射线EO与CD 边交于点F，线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，得到四边形EGFH，点E 在运动过程中，有如下结论：①可以得到无数个平行四边形EGFH；②可以得到无数个矩形EGFH；③可以得到无数个菱形EGFH；④至少得到一个正方形EGFH．所有正确结论的序号是__．12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，P为边BC上一动点（P不与B、C 重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是__．13．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为_____．14．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，∠A ＝120°，E 是AB 的中点，点F 在平行四边形ABCD 的边上，若△AEF 为等腰三角形，则EF 的长为_____．15．在ABCD 中，5AD =，BAD ∠的平分线交CD 于点E ，∠ABC 的平分线交CD 于点F ，若线段EF=2，则AB 的长为__________．16．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为AD 的延长线上一点，且DE ＝DC ，点P 为边AD 上一动点，且PC ⊥PG ，PG ＝PC ，点F 为EG 的中点．当点P 从D 点运动到A 点时，则CF 的最小值为___________17．在平行四边形 ABCD 中，AE 平分∠BAD 交边 BC 于 E ，DF 平分∠ADC 交边 BC 于 F ，若 AD=11，EF=5，则 AB= ___．18．已知：如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为点D ，BE AC ⊥，垂足为点E ，M 为AB 边的中点，连结ME 、MD 、ED ，设4AB =，30DAC ∠=︒则EM =______；EDM 的面积为______，19．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以AC 为斜边作Rt △ADC ，若∠CAD ＝∠BAC ＝45°，则下列结论：①CD ∥EF ；②EF ＝DF ；③DE 平分∠CDF ；④∠DEC ＝30°；⑤AB 2CD ；其中正确的是_____（填序号）20．李刚和常明两人在数学活动课上进行折纸创编活动.李刚拿起一张准备好的长方形纸片对常明说:“我现在折叠纸片（图①），使点D 落在AB 边的点F 处，得折痕AE ，再折叠，使点C 落在AE 边的点G 处，此时折痕恰好经过点B ，如果AD=a ，那么AB 长是多少？”常明说；“简单，我会. AB 应该是_____”.常明回答完，又对李刚说：“你看我的创编（图②），与你一样折叠，可是第二次折叠时，折痕不经过点B ，而是经过了AB 边上的M 点，如果AD=a ，测得EC=3BM ，那么AB 长是多少？”李刚思考了一会，有点为难，聪明的你，你能帮忙解答吗？AB=_____.三、解答题21．如图，点E 为▱ABCD 的边AD 上的一点，连接EB 并延长，使BF ＝BE ，连接EC 并延长，使CG ＝CE ，连接FG ．H 为FG 的中点，连接DH ，AF ．（1）若∠BAE ＝70°，∠DCE ＝20°，求∠DEC 的度数；（2）求证：四边形AFHD 为平行四边形；（3）连接EH ，交BC 于点O ，若OC ＝OH ，求证：EF ⊥EG ．22．如图1，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，E 、H 分别为边BA 和边BC 延长线上的点，连接EH 交AD 、CD 于点F 、G ，且//EH AC .（1）求证：AEF CGH ∆≅∆（2）若ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，F 是AD 的中点，8AD =，求BE 的长：（3）在（2）的条件下，连接BD ，如图2，求证：22222()AC BD AB BC +=+23．社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：如图1，90MON ∠=，点A 为边OM 上一定点，点B 为边ON 上一动点，以AB 为一边在∠MON 的内部作正方形ABCD ，过点C 作CF OM ⊥，垂足为点F （在点O 、A 之间），交BD 与点E ，试探究AEF ∆的周长与OA 的长度之间的等量关系该兴趣小组进行了如下探索：（动手操作，归纳发现）（1）通过测量图1、2、3中线段AE 、AF 、EF 和OA 的长，他们猜想AEF ∆的周长是OA 长的_____倍．请你完善这个猜想（推理探索，尝试证明）为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后续探索过程：（2）如图4，过点C 作CG ON ⊥，垂足为点G则90CGB ∠=90GCB CBG ∴∠+∠= 又四边形ABCD 正方形，AB BC =，90ABC ∠=则90CBG ABO ∠+∠=GCB ABO ∴∠=∠在CBE ∆与ABE ∆中，（类比探究，拓展延伸）（3）如图5，当点F 在线段OA 的延长线上时，直接写出线段AE 、EF 、AF 与OA 长度之间的等量关系为．24．已知在ABC 和ADE 中， 180ACB AED ∠+∠=︒，CA CB =，EA ED =，3AB =．（1）如图1，若90ACB ∠=︒，B 、A 、D 三点共线，连接CE ： ①若522CE =，求BD 长度； ②如图2，若点F 是BD 中点，连接CF ，EF ，求证：2CE EF =；（2）如图3，若点D 在线段BC 上，且2CAB EAD ∠=∠，试直接写出AED 面积的最小值．25．如图，在平面直角坐标系中，已知▱OABC 的顶点A （10，0）、C （2，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上由点B 向点C 运动．（1）求点B 的坐标；（2）若点P 运动速度为每秒2个单位长度，点P 运动的时间为t 秒，当四边形PCDA 是平行四边形时，求t 的值；（3）当△ODP 是等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．26．如图，点A 的坐标为(6,6)-，AB x ⊥轴，垂足为B ，AC y ⊥轴，垂足为C ，点,D E 分别是射线BO 、OC 上的动点，且点D 不与点B 、O 重合，45DAE ︒∠=.（1）如图1，当点D 在线段BO 上时，求DOE ∆的周长；（2）如图2，当点D 在线段BO 的延长线上时，设ADE ∆的面积为1S ，DOE ∆的面积为2S ，请猜想1S 与2S 之间的等量关系，并证明你的猜想.27．已知：在矩形ABCD 中，点F 为AD 中点,点E 为AB 边上一点，连接CE 、EF 、CF ，EF 平分∠AEC ．(1)如图1，求证：CF ⊥EF;(2)如图2，延长CE 、DA 交于点K, 过点F 作FG ∥AB 交CE 于点G 若，点H 为FG 上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE, 求证：CH=FK;(3)如图3, 过点H 作HN ⊥CH 交AB 于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK 长.28．如图，在四边形OABC 是边长为4的正方形点P 为OA 边上任意一点（与点O A 、不重合），连接CP ，过点P 作PM CP ⊥，且PM CP =，过点M 作MN AO ∥，交BO 于点,N 联结BM CN 、，设OP x =.（1）当1x =时，点M 的坐标为（，）（2）设CNMB S y =四形边，求出y 与x 的函数关系式，写出函数的自变量的取值范围.（3）在x 轴正半轴上存在点Q ，使得QMN 是等腰三角形，请直接写出不少于4个符合条件的点Q 的坐标（用x 的式子表示）29．如图，四边形ABCD 为矩形，C 点在x 轴上，A 点在y 轴上，D(0，0)，B(3，4)，矩形ABCD 沿直线EF 折叠，点B 落在AD 边上的G 处，E 、F 分别在BC 、AB 边上且F(1，4)．(1)求G 点坐标(2)求直线EF 解析式(3)点N 在坐标轴上，直线EF 上是否存在点M ，使以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M 点坐标；若不存在，请说明理由30．问题背景若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角的和是180°，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点．如图1，四边形ABCD 中，BC 是一条对角线，AB AC =，DB DC =，则点A 与点D 关于BC 互为顶针点；若再满足180A D +=︒∠∠，则点A 与点D 关于BC 互为勾股顶针点．初步思考(1)如图2，在ABC 中，AB AC =，30ABC ∠=︒，D 、E 为ABC 外两点，EB EC =，45EBC ∠=︒，DBC △为等边三角形．①点A 与点______关于BC 互为顶针点；②点D 与点______关于BC 互为勾股顶针点，并说明理由．实践操作(2)在长方形ABCD 中，8AB =，10AD =．①如图3，点E 在AB 边上，点F 在AD 边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E 、F ，使得点E 与点C 关于BF 互为勾股顶针点．(不写作法，保留作图痕迹)思维探究②如图4，点E 是直线AB 上的动点，点P 是平面内一点，点E 与点C 关于BP 互为勾股顶针点，直线CP 与直线AD 交于点F ．在点E 运动过程中，线段BE 与线段AF 的长度是否会相等？若相等，请直接写出AE 的长；若不相等，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】如图，先作辅助线，首先根据垂直条件，求出线段ME 、DE 长度，然后运用勾股定理求出DE 的长度，再根据翻折的性质，当折线'EA ，'AC 与线段CE 重合时，线段'AC 长度最短，可以求出最小值.【详解】如图，连接EC,过点E 作EM ⊥CD 交CD 的延长线于点M.四边形ABCD 是平行四边形，6AD BC AD BC ∴==，，E 为AD 的中点，30BCD ∠=︒，330DE EA MDE BCD ∴==∠=∠=︒，，又 EM CD ⊥,1333222ME DE DM ∴===，， 3315363.22CM CD DM ∴=+=+= 根据勾股定理得： 22223153319.22CE ME CM ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭根据翻折的性质，可得'3EA EA ==,当折线'EA ，'AC 与线段CE 重合时，线段'AC 长度最短，此时'AC = 3193-. 【点睛】本题是平行四边形翻折问题，主要考查直角三角形勾股定理，根据题意作出辅助线是解题的关键.2．B解析：B【解析】【分析】过A 作AH ⊥DC ，由勾股定理求出DH 的长．然后分三种情况进行讨论：即①当点P 在线段AB 上，②当点P 在线段BC 上，③当点P 在线段CD 上，根据三种情况点的位置，可以确定t 的值．【详解】解：过A 作AH ⊥DC ，∴AH =BC =8cm ，DH =22AD AH - =10064-=6． i ）当P 在AB 上时，即1003t ≤≤时，如图，1110382022BPQ S BP BC t =⋅=-⨯=（），解得：53t =；ii ）当P 在BC 上时，即103＜t ≤6时，BP =3t -10，CQ =16-2t ，113101622022BPQ S BP CQ t t =⋅=-⨯-=（）（），化简得：3t 2-34t +100=0，△=-44＜0，∴方程无实数解．iii ）当P 在线段CD 上时，若点P 在线段CD 上，若点P 在Q 的右侧，即6≤t ≤345，则有PQ =34-5t ，13458202BPQ S t =-⨯=（），295t =＜6（舍去）；若点P 在Q 的左侧时，即3485t ≤＜，则有PQ =5t -34，15348202BPQ S t =-⨯=（）； t =7.8．综上所述：满足条件的t 存在，其值分别为153t =，t 2=7.8．故选B ．【点睛】本题是平行四边形中的动点问题，解决问题时，一定要变动为静，将其转化为常见的几何问题，再进行解答．3．D解析：D【分析】根据折叠的性质得到ED ′＝BE ，∠D ′EF ＝∠BEF ，根据平行线的性质得到∠D ′EF ＝∠EFB ，求得BE ＝BF ，设AD ′＝BC ′＝3x ，AB ＝x ，根据勾股定理得到BE ＝53x ，于是得到结论．【详解】如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠后点D 与B 重合，∴ED ′＝BE ，∠D ′EF ＝∠BEF ，∵AD ′∥BC ′，∴∠D ′EF ＝∠EFB ，∴∠BEF ＝∠EFB ，∴BE ＝BF ，∵原矩形的长宽之比为3：1，∴设AD′＝BC′＝3x，AB＝x，∴AE＝3x−ED′＝3x−BE，∵AE2＋AB2＝BE2，∴（3x−BE）2＋x2＝BE2，解得：BE＝53 x，∴BF＝BE＝53x，AE＝3x−BE=43x∴AEBF＝4335xx=45，故选：D．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．4．D解析：D【分析】根据角平分线性质得出AD=AF，根据勾股定理求出EF=DC，求出AB长，求出BE，即可求出答案．【详解】∵AE平分∠DAB，∠D=90°，EF⊥AB，∴AF=AD=3.5cm，EF=DE，∴DC=CE+DE=CE+EF=4cm，过A作AM⊥BC于M，则四边形AMCD是矩形，∴AM=DC=4cm，AD=CM=3.5cm，∵BC=6.5cm，∴BM=6.5cm-3.5cm=3cm ，在Rt △AMB 中，由勾股定理得：22435AB（cm ），∴BF=AB-AF=5cm-3.5cm=1.5cm ，∴四边形BCEF 的周长是BC+BF+CE+EF=6.5cm+1.5cm+CD=8cm+4cm=12cm ，故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质和判定，角平分线性质等知识点，能求出各个边的长度是解此题的关键． 5．A解析：A【分析】设B x ∠=，先根据平行四边形的性质可得,180,D B x BAD x AB CD ∠=∠=∠=︒-=，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得45x =︒，然后根据等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理可得AB =CD =，最后利用平行四边形的面积公式即可得．【详解】设B x ∠=，四边形ABCD 是平行四边形，,180180,D B x BAD B x AB CD ∴∠=∠=∠=︒-∠=︒-=，,AG BC AH CD ⊥⊥，9090,9090BAG B x DAH D x ∴∠=︒-∠=︒-∠=︒-∠=︒-，又180,45BAG DAH BAD GAH x GAH ∠+︒-∠+∠=∠∠=︒=，909100458x x x ︒-+︒-=∴︒+︒-，解得45x =︒，即45B ∠=︒，Rt ABG ∴是等腰直角三角形，2,BG AG AB ∴====CD ∴=，∴平行四边形ABCD 的面积是3AH CD ⋅=⨯=，故选：A ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的两锐角互余、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．6．C解析：C【分析】根据已知条件得到AB CD ＝，过A 作AE ∥CD 交BC 于E ，则∠AEB ＝∠DCB ，根据平行四边形的性质得到CE＝AD，AE＝CD＝22，由已知条件得到∠BAE＝90°，根据勾股定理得到BE＝22+，于是得到结论．AB AE【详解】∵S1＝3，S3＝8∴AB＝3，CD＝22过A作AE∥CD交BC于E则∠AEB＝∠DCB∵AD∥BC∴四边形AECD是平行四边形∴CE＝AD，AE＝CD＝22∵∠ABC+∠DCB＝90°∴∠AEB+∠ABC＝90°∴∠BAE＝90°+=∴BE3811∵BC＝2AD∴BC＝2BE＝211∴S2＝(21144=故选：C．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，能正确作辅助线构造直角三角形是解决此题的关键．7．C解析：C【解析】连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AC、BD互相平分，∵O为AC中点，∴BD也过O点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，在△OBF与△CBF中，FO FC BF BF OB BC⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△OBF≌△CBF（SSS），∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，∴FB⊥OC，OM=CM；∴①正确，∵∠OBC=60°，∴∠ABO=30°，∵△OBF≌△CBF，∴∠OBM=∠CBM=30°，∴∠ABO=∠OBF，∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，∵OA=OC，易证△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴OB⊥EF，∴四边形EBFD是菱形，∴③正确，∵△EOB≌△FOB≌△FCB，∴△EOB≌△CMB错误．∴②错误，∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°，∴33∵OE=OF ，∴MB ：OE=3：2，∴④正确；故选C ．点睛：本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及三角函数等的知识，会综合运用这些知识点解决问题是解题的关键.8．B解析：B【分析】首先证明AB=AF=AD ，然后再证明∠AFG=90°，接下来，依据HL 可证明△ABG ≌△AFG ，得到BG=FG ，再利用勾股定理得出GE 2=CG 2+CE 2，进而求出BG 即可．【详解】解：在正方形ABCD 中，AD=AB=BC=CD ，∠D=∠B=∠BCD=90°，∵将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，∴AD=AF ，DE=EF ，∠D=∠AFE=90°，∴AB=AF ，∠B=∠AFG=90°，又∵AG=AG ，在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，AG AG AB AF ⎧⎨⎩＝＝ ∴△ABG ≌△AFG （HL ）；∴BG=FG （全等三角形对应边相等），设BG=FG=x ，则GC=6-x ，∵E 为CD 的中点，∴CE=EF=DE=3，∴EG=3+x ，∴在Rt △CEG 中，32+（6-x ）2=（3+x ）2（勾股定理），解得x=2，∴BG=2，故选B ．【点睛】此题主要考查了勾股定理的综合应用、三角形全的判定和性质以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键．9．B解析：B【分析】连接CD ，利用勾股定理列式求出AB ，判断出四边形CFDE 是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CD ，再根据垂线段最短可得CD ⊥AB 时，线段EF 的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可.【详解】如图，连结CD .∵∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝22AC BC +＝5.∵DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，∠ACB ＝90°，∴四边形CFDE 是矩形，∴EF ＝CD .由垂线段最短可得CD ⊥AB 时，线段EF 的长最小，此时，S △ABC ＝12 BC ·AC ＝12AB ·CD ，即12×4×3＝12×5·CD ，解得CD ＝2.4，∴EF ＝2.4.故选B .【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CD ⊥AB 时，线段EF 的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．10．B解析：B【分析】连接EF ，先证AF =AB =BE ，得四边形ABEF 是菱形，据此知AE 与BF 互相垂直平分，继而得OB 的长，由勾股定理求得OA 的长，继而得出答案．【详解】由题意得：AF =AB ，AE 为∠BAD 的角平分线，则∠BAE =∠FAE ．又∵四边形ABCD 是平行四边形，则AD ∥BC ，∠BAE =∠FAE =∠BEA ，∴AF =AB =BE ．连接EF ，则四边形ABEF 是菱形，∴AE 与BF 互相垂直平分，设AE 与BF 相交于点O ，OB 2BF ==1.5．在Rt △AOB 中，OA 22222515AB OB =-=-=．．2，则AE =2OA =4．故选B ．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握菱形的性质与判定，平行四边形的性质，角平分线的尺规作图方法等．二、填空题11．①③④【分析】由“AAS”可证△AOE≌△COF，△AHO≌△CGO，可得OE=OF，HO=GO，可证四边形EGFH 是平行四边形，由EF⊥GH，可得四边形EGFH是菱形，可判断①③正确，若四边形ABCD 是正方形，由“ASA”可证△BOG≌△COF，可得OG=OF，可证四边形EGFH是正方形，可判断④正确，即可求解．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC，AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF，∵线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，∴GH过点O，GH⊥EF，∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO，∠AHO＝∠CGO，∴△AHO≌△CGO（AAS），∴HO＝GO，∴四边形EGFH是平行四边形，∵EF⊥GH，∴四边形EGFH是菱形，∵点E是AB上的一个动点，∴随着点E的移动可以得到无数个平行四边形EGFH，随着点E的移动可以得到无数个菱形EGFH，故①③正确；若四边形ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°，OB＝OC；∵EF⊥GH，∴∠GOF＝90°；∠BOG+∠BOF＝∠COF+∠BOF＝90°，∴∠BOG＝∠COF；在△BOG和△COF中，∵BOG COF BO COGBO FCO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BOG≌△COF（ASA）；∴OG＝OF，同理可得：EO＝OH，∴GH＝EF；∴四边形EGFH是正方形，∵点E是AB上的一个动点，∴至少得到一个正方形EGFH，故④正确，故答案为：①③④．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是关键．12．3013≤AM<6【分析】由勾股定理得BC=13从而得到点A到BC的距离, M为EF中点，所以AM=12EF，继而求得AM的范围．【详解】因为∠BAC=90°，AB=5，AC=12，所以由勾股定理得BC=13，则点A到BC的距离为AC512BC13AB⨯⨯==6013，所以AM的最小值为6013÷2=3013，因为M为EF中点，所以AM=12EF，当E越接近A，F越接近C时，EF越大，所以EF＜AC，则AM＜6，所以3013≤AM＜6，故答案为3013≤AM＜6.13．4【分析】根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF 是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF ＝AP ，则EF 的最小值即为AP 的最小值，根据垂线段最短，知：AP 的最小值即等于直角三角形ABC 斜边上的高．【详解】解：连接AP ，∵在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，∴AB 2+AC 2＝BC 2，即∠BAC ＝90°．又∵PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，∴四边形AEPF 是矩形，∴EF ＝AP ，∵AP 的最小值即为直角三角形ABC 斜边上的高，设斜边上的高为h ，则S △ABC =1122BC h AB AC ⋅=⋅ ∴1153422h ⨯⋅=⨯⨯ ∴h=2.4，∴EF 的最小值为2.4，故答案为：2.4．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质的应用，要能够把要求的线段的最小值转化为便于求的最小值得线段是解此题的关键．14．3357 【分析】△AEF 为等腰三角形，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和30°直角三角形性质、平行四边形的性质可求解．【详解】解：当AE AF =时，如图，过点A 作AH EF ⊥于H ，E 是AB 的中点， 132AE AB ∴==， =AE AF ，AH EF ⊥，120A ∠=︒，30AEF AFE ∴∠=∠=︒，FHEH =， 1322AH AE ∴==，3332EH AH ==， 233EF EH ∴==，当AF EF =时，如图2，过点A 作AN CD ⊥于N ，过点F 作FM AB ⊥于M ，图2在平行四边形ABCD 中，6AB =，4BC =，120A ∠=︒，4AD BC ∴==，60ADC ∠=︒，30DAN ∴∠=︒，122DN AD ∴==，323AN DN ==， //AB CD ，AN CD ⊥，FM AB ⊥，23AN MF ∴==，AF EF =，FM AB ⊥，32AM ME ∴==， 22957124EF ME MF ∴=+=+=；当3AE EF ==时，如图3，图33EF ∴=，综上所述：EF的长为33或3或572．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．15．8或12【分析】根据平行四边形的性质得到BC=AD=5，∠BAE=∠DEA，∠ABF=∠BFC，根据角平分线的性质得到DE=AD=5，CF=BC=5，即可求出答案.【详解】在ABCD中，AB∥CD，BC=AD=5，∴∠BAE=∠DEA，∠ABF=∠BFC，∵BAD的平分线交CD于点E，∴∠BAE=∠DAE，∴∠DAE=∠DEA，∴DE=AD=5，同理：CF=BC=5，∴AB=CD=DE+CF-EF=5+5-2=8或AB=DE+CF+EF=5+5+2=12，故答案为：8或12.【点睛】此题考查平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的等角对等边的判定，解题中注意分类思想的运用，避免漏解.16．2【分析】由正方形ABCD的边长为4，得出AB=BC=4，∠B=90°，得出AC=42P与D重合时，PC=ED=PA，即G与A重合，则EG的中点为D，即F与D重合，当点P从D点运动到A点时，则点F运动的路径为DF，由D是AE的中点，F是EG的中点，得出DF是△EAG 的中位线，证得∠FDA=45°，则F为正方形ABCD的对角线的交点，CF⊥DF，此时CF最小，此时CF=12AG=2【详解】解：连接FD∵正方形ABCD的边长为4，∴AB=BC=4，∠B=90°，∴AC=42，当P与D重合时，PC=ED=PA，即G与A重合，∴EG的中点为D，即F与D重合，当点P从D点运动到A点时，则点F运动的轨迹为DF，∵D是AE的中点，F是EG的中点，∴DF是△EAG的中位线，∴DF∥AG，∵∠CAG=90°，∠CAB=45°，∴∠BAG=45°，∴∠EAG=135°，∴∠EDF=135°，∴∠FDA=45°，∴F为正方形ABCD的对角线的交点，CF⊥DF，此时CF最小，此时CF=12AG=22；故答案为：22．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．17．8或3【分析】根据AE和DF是否相交分类讨论，分别画出对应的图形，根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边即可得出结论．【详解】解：①当AE和DF相交时，如下图所示∵四边形ABCD为平行四边形，AD=11，EF=5，∴BC=AD=11，AD∥BC，AB=CD∴∠DAE=∠BEA，∠ADF=∠CFD∵AE 平分∠BAD，DF 平分∠ADC∴∠DAE=∠BAE，∠ADF=∠CDF∴∠BEA=∠BAE，∠CFD=∠CDF∴BE=AB，CF=CD∴BE=AB= CD= CF∵BE＋CF=BC＋EF∴2AB=11＋5解得：AB=8；②当AE和DF不相交时，如下图所示∵四边形ABCD为平行四边形，AD=11，EF=5，∴BC=AD=11，AD∥BC，AB=CD∴∠DAE=∠BEA，∠ADF=∠CFD∵AE 平分∠BAD，DF 平分∠ADC∴∠DAE=∠BAE，∠ADF=∠CDF∴∠BEA=∠BAE，∠CFD=∠CDF∴BE=AB，CF=CD∴BE=AB= CD= CF∵BE＋CF＋EF =BC∴2AB＋5=11解得：AB=3综上所述：AB=8或3故答案为：8或3．【点睛】此题考查的是平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等腰三角形的性质，掌握平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边是解决此题的关键．18．23【分析】△斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可根据EM是Rt ABE求出EM的长；根据已知条件推导出DME是等边三角形，且边长为2，进一步计算即可得解．【详解】解：∵AD BC ⊥，M 为AB 边的中点，4AB =∴在Rt ABD △中，114222DM AM AB ===⨯= 同理，在Rt ABE △中，114222EM AM AB ===⨯= ∴MDA MAD ∠=∠，MEA MAE ∠=∠∵2BME MEA MAE MAE ∠=∠+∠=∠，2BMD MDA MAD MAD ∠=∠+∠=∠ ∴DME BME BMD ∠=∠-∠22MAE MAD =∠-∠()2MAE MAD =∠-∠2DAC =∠60=︒∵=DM EM∴DME 是等边三角形，且边长为2∴122EDM S =⨯=故答案是：2【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的外角定理、角的和差以及等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是进行推理论证的前提．19．①②③⑤【分析】根据三角形中位线定理得到EF ＝12AB ，EF ∥AB ，根据直角三角形的性质得到DF ＝12AC ，根据三角形内角和定理、勾股定理计算即可判断．【详解】∵E ，F 分别是BC ，AC 的中点，∴EF ＝12AB ，EF ∥AB ， ∵∠ADC ＝90°，∠CAD ＝45°，∴∠ACD ＝45°，∴∠BAC ＝∠ACD ，∴AB ∥CD ，∴EF ∥CD ，故①正确；∵∠ADC ＝90°，F 是AC 的中点，∴DF ＝CF=12AC ，∵AB=AC ，EF ＝12AB ， ∴EF ＝DF ，故②正确； ∵∠CAD=∠ACD=45°，点F 是AC 中点，∴△ACD 是等腰直角三角形，DF ⊥AC ，∠FDC=45°，∴∠DFC=90°，∵EF//AB ，∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°，∴∠EFD=∠EFC+∠DFC=135°，∴∠FED ＝∠FDE ＝22.5°，∵∠FDC ＝45°，∴∠CDE=∠FDC-∠FDE=22.5°，∴∠FDE=∠CDE ，∴DE 平分∠FDC ，故③正确；∵AB ＝AC ，∠CAB ＝45°，∴∠B ＝∠ACB ＝67.5°，∴∠DEC ＝∠FEC ﹣∠FED ＝45°，故④错误；∵△ACD 是等腰直角三角形，∴AC 2=2CD 2，∴CD ，∵AB=AC ，∴AB CD ，故⑤正确；故答案为：①②③⑤．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识．掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．20a 【分析】（1）根据折叠的性质可得出，四边形AFED 为正方形，CE=GE=BF ，AEB GBE ABE EBC ∠∠∠∠+=+，即AEB ABE ∠∠=，得出AB=AE ，继而可得解；（2）结合（1）可知，AE AM ==，因为EC=3BM ，所以有1BM 2FM =，求出BM ，继而可得解．【详解】解：（1）由折叠的性质可得，CE=GE=BF ，AEB GBE ABE EBC ∠∠∠∠+=+，即AEB ABE ∠∠=，∴AB=AE，∵AE==∴AB=．（2）结合（1）可知，AE AM==，∴FM a=-，∵EC=3BM，∴1 BM2FM=∴BM2a -=∴AB=+=．；12a．【点睛】本题是一道关于折叠的综合题目，主要考查折叠的性质，弄清题意，结合图形找出线段间的数量关系是解题的关键．三、解答题21．（1）50°；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；（2）由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC；证明BC是△EFG的中位线，得出BC∥FG，BC＝12FG，证出AD∥FH，AD∥FH，由平行四边形的判定方法即可得出结论；（3）连接EH，CH，根据三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质即可得到结论．【详解】明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，∵∠DCE＝20°，∵AB∥CD，∴∠CDE＝180°﹣∠BAE＝110°，∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，∵BF＝BE，CG＝CE，∴BC是△EFG的中位线，∴BC ∥FG ，BC ＝12FG ， ∵H 为FG 的中点，∴FH ＝12FG ， ∴BC ∥FH ，BC ＝FH ，∴AD ∥FH ，AD ∥FH ，∴四边形AFHD 是平行四边形；（3）连接EH ，CH ，∵CE ＝CG ，FH ＝HG ，∴CH ＝12EF ，CH ∥EF ， ∵EB ＝BF ＝12EF ， ∴BE ＝CH ，∴四边形EBHC 是平行四边形，∴OB ＝OC ，OE ＝OH ，∵OC ＝OH ，∴OE ＝OB ＝OC ＝12BC ， ∴△BCE 是直角三角形，∴∠FEG ＝90°，∴EF ⊥EG ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．22．（1）证明见解析；（2）62BE =（3）证明见解析．【分析】（1）根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质可证明∠E=∠CGH ，∠H=∠AFE ，再证明四边形ACGE 是平行四边形即可证明AE=CG ，由此可利用“AAS”可证明全等；（2）证明△AEF ≌△DGF （AAS ）可得△DGF ≌△CGH ，所以可得12AEDG CG CD ，再结合等腰直角三角形的性质即可求得CD ，由此可得结论；（3）利用等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质结合勾股定理分别把22AC BD +和22AB BC +用2CD 表示即可得出结论．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB//CD ，AD//BC ，∴∠E=∠EGD ，∠H=∠DFG ，∵∠CGH=∠EGD ，∠DFG=∠AFE ，∴∠E=∠CGH ，∠H=∠AFE ，∵//EH AC ，AB//CD ，∴四边形ACGE 是平行四边形，∴AE=CG ，∴△AEF ≌△CGH （AAS ）；（2）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB//CD ，AB=CD ，∴∠E=∠EGD ，∠D=∠EAF ，∵F 是AD 的中点，∴AF=FD ，∴△AEF ≌△DGF （AAS ）；由（1）得△AEF ≌△CGH （AAS ）；∴△DGF ≌△CGH, ∴12AE DG CG CD , ∵ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，8AD =， ∴242AB CD AD ,∴22AE =，∴62BE AB BE =+=；（3）如下图，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴CD=AB ，AD=BC ，AC=2OC ，BD=2OD ，∵ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，AC=CD ，∴222222244()AC BD AC OD AC OC CD ++++==2222222(2)446AC A OC CD AC D C CD C ++=++==，且222222223CD AD CD AC CD C AB BC D =+=+++=,∴22222()AC BD AB BC +=+【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质．（1）中解题关键是利用证明四边形ACGE 是平行四边形证明AE=CG ；（2）得出DG CG =是解题关键；（3）中能正确识图，完成线段之间的代换是解题关键．23．（1）2；（2）证明见解析过程；（3）AE+EF-AF=2OA ．【分析】（1）通过测量可得；（2）过点C 作CG ⊥ON ，垂足为点G ，由AAS 可证△ABO ≌△BCG ，可得BG=AO ，BO=CG ，由SAS 可证△ABE ≌△CBE ，可得AE=CE ，由线段的和差关系可得结论；（3）过点C 作CG ⊥ON ，垂足为点G ，由AAS 可证△ABO ≌△BCG ，可得BG=AO ，BO=CG ，由SAS 可证△ABE ≌△CBE ，可得AE=CE ，可得结论．【详解】解：（1）△AEF 的周长是OA 长的2倍，故答案为：2；（2）如图4，过点C 作CG ⊥ON ，垂足为点G ，则∠CGB=90°，∴∠GCB+∠CBG=90°，又∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=90°，∠DBC=∠DBA=45°，则∠CBG+∠ABO=90°，∴∠GCB=∠ABO ，在△BCG 与△ABO 中，GCB ABO GCB AOB BC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCG ≌△ABO （AAS ），∴BG=AO ，CG=BO ，∵∠AOB=90°=∠CGB=∠CFO ，∴四边形CGOF 是矩形，∴CF=GO ，CG=OF=OB ，在△ABE 和△CBE 中，BE BE ABE CBE AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBE （SAS ），∴AE=CE ，∴△AEF 的周长=AE+EF+AF=CE+EF+AF=CF+AF=GO+AF=BG+BO+AF=2AO ；（3）如图5，过点C 作CG ⊥ON 于点G ，则∠CGB=90°，∴∠GCB+∠CBG=90°，又∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=90°，∠DBC=∠DBA=45°，则∠CBG+∠ABO=90°，∴∠GCB=∠ABO ，在△BCG 与△ABO 中GCB ABO GCB AOB BC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCG ≌△ABO （AAS ），∴BG=AO ，BO=CG ，∵∠AOB=90°=∠CGB=∠CFO ，∴四边形CGOF 是矩形，∴CF=GO ，CG=OF=OB ，在△ABE 和△CBE 中，BE BE ABE CBE AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBE （SAS ），∴AE=CE ，∴AE+EF-AF=EF+CE-AF=NB+BO-（OF-AO ）=OA+OB-（OB-OA ）=2OA ．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．24．（1）①7；②证明见解析；（2）93，理由见解析【分析】（1）①如图1中，延长BC 交DE 的延长线于T ，过点T 作TH ⊥BD 于H ，设BD=2x ．证明△BDT 是等腰直角三角形，四边形ACTE 是矩形，进而利用勾股定理构建方程求解即可； ②如图2中，延长BC 交DE 的延长线于T ，连接TF ，进而利用全等三角形的性质证明△CEF 是等腰直角三角形即可解决问题；（2）如图3中，根据题意设∠EAD=x ，则∠BAC=2x ．证明△ABC 是等边三角形，再根据垂线段最短即可解决问题．【详解】解：（1）①如图1中，延长BC 交DE 的延长线于T ，过点T 作TH ⊥BD 于H ，设BD=2x ．∵∠ACB=90°，∠ACB+∠AED=180°，∴∠AED=90°，∵CA=CB ，EA=ED ，∴∠B=∠D=45°，∴∠BTD=90°，∵∠TCA=∠CTE=∠TEA=90°，∴四边形ACTE 是矩形，∴22EC AT ==∵TH ⊥BD ，。

中考数学一轮复习平行四边形知识点及练习题附解析

中考数学一轮复习平行四边形知识点及练习题附解析一、解答题1．已知，四边形ABCD 是正方形，点E 是正方形ABCD 所在平面内一动点（不与点D 重合），AB ＝AE ，过点B 作DE 的垂线交DE 所在直线于F ，连接CF ．提出问题：当点E 运动时，线段CF 与线段DE 之间的数量关系是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点E 的一个特殊位置：当点E 与点B 重合（如图①）时，点F 与点B 也重合．用等式表示线段CF 与线段DE 之间的数量关系：；（2）然后考察点E 的一般位置，分两种情况：情况1：当点E 是正方形ABCD 内部一点（如图②）时；情况2：当点E 是正方形ABCD 外部一点（如图③）时．在情况1或情况2下，线段CF 与线段DE 之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；拓展问题：（3）连接AF ，用等式表示线段AF 、CF 、DF 三者之间的数量关系：．2．如图，平行四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=， G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ．（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2） ①当AE 的长为多少时，四边形CEDF 是矩形；②当AE = cm 时，四边形CEDF 是菱形，（直接写出答案，不需要说明理由）．3．如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，EF 垂直平分BD ，分别交AB ，BC ，BD 于点E ，F ，G ，连接DE ，DF ．（1）求证：四边形BEDF 是菱形；（2）若15BDE ∠=︒，45C ∠=︒，2DE =，求CF 的长；（3）在（2）的条件下，求四边形BEDF 的面积．4．如下图1，在平面直角坐标系中xoy 中，将一个含30的直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，若点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒．（1）旋转操作：如下图2，将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30时，则点B 的坐标为．（2）问题探究：在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，如图3，在AB 边上的上方以AB 为边作等边ABC ，问：是否存在这样的点D ，使得以点A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形构成为菱形，若存在，请直接写出点D 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．（3）动点分析：在图3的基础上，过点O 作OP AB ⊥于点P ，如图4，若点F 是边OB 的中点，点M 是射线PF 上的一个动点，当OMB △为直角三角形时，求OM 的长．5．（1）如图①，在正方形ABCD 中，AEF ∆的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，求EAF ∠的度数；（2）如图②，在Rt ABD ∆中，90,BAD AD AB ︒∠==，点M ，N 是BD 边上的任意两点，且45MAN ︒∠=，将ABM ∆绕点A 逆时针旋转90度至ADH ∆位置，连接NH ，试判断MN ，ND ，DH 之间的数量关系，并说明理由；（3）在图①中，连接BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，若正方形ABCD 的边长为12，GF=6，BM= 32EG ，MN 的长．6．在矩形ABCD 中，连结AC ，点E 从点B 出发，以每秒1个单位的速度沿着B A →的路径运动，运动时间为t （秒）．以BE 为边在矩形ABCD 的内部作正方形BEHG ．（1）如图，当ABCD 为正方形且点H 在ABC ∆的内部，连结,AH CH ，求证：AH CH =；（2）经过点E 且把矩形ABCD 面积平分的直线有______条；（3）当9,12AB BC ==时，若直线AH 将矩形ABCD 的面积分成1：3两部分，求t 的值．7．如图，在Rt ABC ∆中，90,40,60B AC cm A ∠=︒=∠=︒，点D 从点C 出发沿CA 方向以4/cm 秒的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2/cm 秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个地点也随之停止运动.设点,D E 运动的时间是t 秒（010t <≤）.过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接,DE EF .（1）试问四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；（2）当t 为何值时，90FDE ∠=︒？请说明理由.8．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径。

2021年中考数学必刷压轴题专题：抛物线之平行四边形(含解析)-个人用心整理

中考数学抛物线压轴题之平行四边形1．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．2．如图，二次函数y＝﹣x2+x+2的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．点P是该函数图象上的动点，且位于第一象限，设点P的横坐标为x．（1）写出线段AC，BC的长度：AC＝，BC＝；（2）记△BCP的面积为S，求S关于x的函数表达式；（3）过点P作PH⊥BC，垂足为H，连结AH，AP，设AP与BC交于点K，探究：是否存在四边形ACPH为平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由，并求出的最大值．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点B（4，0），C（0，﹣2），对称轴为直线x＝1，与x轴的另一个交点为点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点M从点A出发，沿AC向点C运动，速度为1个单位长度/秒，同时点N从点B出发，沿BA向点A 运动，速度为2个单位长度/秒，当点M、N有一点到达终点时，运动停止，连接MN，设运动时间为t秒，当t为何值时，AMN的面积S最大，并求出S的最大值；（3）点P在x轴上，点Q在抛物线上，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由．4．如图，已知直线y＝﹣3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A和点C，对称轴为直线l：x＝﹣1，该抛物线与x轴的另一个交点为B．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上且位于第二象限，求△PBC的面积最大值及点P的坐标．（3）点M在此抛物线上，点N在对称轴上，以B、C、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由．5．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．6．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且=﹣2，（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．8．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=x﹣a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M，A的坐标；（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；（3）在抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a＞0）上是否存在点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，边长为1的正方形ABCD一边AD在x负半轴上，直线l：y=x+2经过点B（x，1）与x轴，y 轴分别交于点H，F，抛物线y=﹣x2+bx+c．（1）求A，D两点的坐标及抛物线经过A，D两点时的解析式；（2）当抛物线的顶点E（m，n）在直线l上运动时，连接EA，ED，试求△EAD的面积S与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）设抛物线与y轴交于G点，当顶点E在直线l上运动时，以A，C，E，G为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出E点坐标；若不能，请说明理由．11．已知抛物线：（1）求抛物线y1的顶点坐标．（2）将抛物线y1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y2，求抛物线y2的解析式．（3）如图，抛物线y2的顶点为P，x轴上有一动点M，在y1、y2这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E 处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t 为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．13．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．14．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M坐标；（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．16．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C；（1）求该抛物线的解析式；（2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D（3，﹣4）．（1）求直线BD和抛物线的解析式；（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP 是平行四边形时，试求动点P的坐标．18．综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A、C两点的坐标分别为（4，0），（﹣2，3），抛物线W经过O、A、C三点，D是抛物线W的顶点．（1）求抛物线W的解析式及顶点D的坐标；（2）将抛物线W和▱OABC一起先向右平移4个单位后，再向下平移m（0＜m＜3）个单位，得到抛物线W′和▱O′A′B′C′，在向下平移的过程中，设▱O′A′B′C′与▱OABC的重叠部分的面积为S，试探究：当m为何值时S有最大值，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W′的顶点为F，若点M是x轴上的动点，点N是抛物线W′上的动点，试判断是否存在这样的点M和点N，使得以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，抛物线与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0）．与y轴交于点C（0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N．交x轴于点E和F．（1）求抛物线的解析式；（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF=，求点Q的坐标；（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．解析1．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，∴B（0，4），当y＝0时，﹣x+4＝0，x＝6，∴C（6，0），把B（0，4）和C（6，0）代入抛物线y＝ax2+x+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；（2）如图1，过E作EG∥y轴，交直线BC于G，设E（m，﹣m2+m+4），则G（m，﹣m+4），∴EG＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣+4m，∴S△BEC＝EG•OC＝×6（﹣+4m）＝﹣2（m﹣3）2+18，∵﹣2＜0，∴S有最大值，此时E（3，8）；（3）y＝﹣x2+x+4＝﹣（x2﹣5x+﹣）+4＝﹣（x﹣）2+；对称轴是：x＝，∴A（﹣1，0）∵点Q是抛物线对称轴上的动点，∴Q的横坐标为，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形；①如图2，以AM为边时，由（2），可得点M的横坐标是3，∵点M在直线y＝﹣x+4上，∴点M的坐标是（3，2），又∵点A的坐标是（﹣1，0），点Q的横坐标为，根据M到Q的平移规律：可知：P的横坐标为﹣，∴P（﹣，﹣）；②如图3，以AM为边时，四边形AMPQ是平行四边形，由（2），可得点M的横坐标是3，∵A（﹣1，0），且Q的横坐标为，∴P的横坐标为，∴P（，﹣）；③以AM为对角线时，如图4，∵M到Q的平移规律可得P到A的平移规律，∴点P的坐标是（﹣，），综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是（﹣，﹣）或（，﹣）或（﹣，）．2．【解答】解：（1）二次函数y＝﹣x2+x+2，当x＝0时，y＝2，∴C（0，2），∴OC＝2，当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（4，0），∴OA＝1，OB＝4，由勾股定理得：AC＝＝，BC＝＝2；故答案为：，2；（4分）（2）∵B（4，0），C（0，2），∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+2，如图1，过P作PD∥y轴，交直线BC于D，设P（x，﹣x2+x+2），则D（x，﹣x+2），∴PD＝（﹣x2+x+2）﹣（﹣x+2）＝﹣x2+2x，有S＝PD•OB＝×4（﹣+2x）＝﹣x2+4x（0＜x＜4）；（6分）（3）不存在，如图2，∵AC2+BC2＝＝25＝AB2，∴△ABC为直角三角形，即AC⊥BC，∵PH⊥BC，∴AC∥PH，要使四边形ACPH为平行四边形，只需满足PH＝AC＝，（10分）∴S＝BC•PH＝×2×＝5，∵而S＝﹣x2﹣4x＝﹣（x﹣2）2+4≤4，所以不存在四边形ACPH为平行四边形，∵AC∥PH，∴△AKC∽△PHK，∴＝＝＝S≤；∴的最大值是．（12分）（说明：写出不存在给1分，其他说明过程酌情给分）3．【解答】解：（1）依题意，将B（4，0），C（0，﹣2），对称轴为直线x＝1，代入抛物线解析式，得，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2）∵对称轴为直线x＝1，B（4，0）．∴A（﹣2，0），则AB＝6，当点N运动t秒时，BN＝2t，则AN＝6﹣2t，如图1，过点M作MD⊥x轴于点D．∵OA＝OC＝2，∴△OAC是等腰直角三角形，∴∠OAC＝45°．又∵DM⊥OA，∴△DAM是等腰直角三角形，AD＝DM，当点M运动t秒时，AM＝t，∴MD2+AD2＝AM2＝t2，∴DM＝t，∴，∴由二次函数的图象及性质可知，当时，S最大值为；（3）存在，理由如下：①当四边形CBQP为平行四边形时，CB与PQ平行且相等，∵B（4，0），C（0，﹣2），∴y B﹣y C＝y Q﹣y P＝2，x B﹣x C＝x Q﹣x P＝4，∵y P＝0，∴y Q＝2，将y＝2代入，得 x1＝1+，x2＝1﹣，∴当x Q＝1+时，x P＝﹣3+；当x Q＝1﹣时，x P＝﹣3﹣，∴P1（﹣3+，0），P2（﹣3﹣，0）；②当四边形CQPB为平行四边形时，BP与CQ平行且相等，∵y P＝y B＝0，∴y Q＝y C＝﹣2，将y＝﹣2代入，得 x1＝0（舍去），x2＝2，∴x Q＝2时，∴x P﹣x B＝x Q﹣x C＝2，∴x P＝6，∴P3（6，0）；③当四边形CQBP为平行四边形时，BP与CQ平行且相等，由②知，x Q＝2，∴x B﹣x P＝x Q﹣x C＝2，∴x P＝2，∴P4（2，0）；综上所述，存在满足条件的点P有4个，分别是P1（﹣3+，0），P2（﹣3﹣，0），P3（6，0），P4（2，0）．4．【解答】解：（1）直线y＝﹣3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，当y＝0时，﹣3x+3＝0，解得x＝1，则A点坐标为（1，0）；当x＝0时，y＝3，则C点坐标为（0，3）；抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，则B点坐标为（﹣3，0）；把C（0，3）代入y＝a（x﹣1）（x+3）得3＝﹣3a，解得a＝﹣1，则此抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）（x+3）＝﹣x2﹣2x+3；（2）设P（x，﹣x2﹣2x+3），如图1，过P作PM∥y轴，交BC于点M，设直线BC的关系式为：y＝mx+n，把B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝mx+n得，解得，∴直线BC的关系式为y＝x+3，∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，∴△PBC的面积＝S△PBM+S△PCM＝＝×3（﹣x2﹣3x）＝﹣+，∵﹣＜0，∴当x＝﹣时，△PBC的面积有最大值是，∴P点坐标为（﹣，）；（3）①当以BC为对角线，如图2，∵四边形BMCN为平行四边形，∵C点（0，3），N点横坐标为﹣1，B点横坐标为﹣3，∴M点横坐标为﹣2，∴M点纵坐标为y＝﹣4+4+3＝3，∴M点坐标为（﹣2，3）；②当以BC为边时，如图3，∵四边形BCNM为平行四边形，∵C点（0，3），B（﹣3，0），N点横坐标为﹣1，∴M点横坐标为﹣4，∴M点纵坐标为y＝﹣16+8+3＝﹣5，∴M点坐标为（﹣4，﹣5）；同理可知如图4，存在四边形BCMN为平行四边形，可得M的横坐标为2，当x＝2时，y＝﹣4﹣4+3＝﹣5，∴M点坐标为（﹣4，﹣5）或（2，﹣5）．综上所述，M点坐标为（﹣2，3）或（﹣4，﹣5）或（2，﹣5）．5.解：（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．抛物线的对称轴是：直线x=1．（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b．把B（3，0），C（0，3）分别代入得：解得：．所以直线BC的函数关系式为：y=﹣x+3．当x=1时，y=﹣1+3=2，∴E（1，2）．当x=m时，y=﹣m+3，∴P（m，﹣m+3）．在y=﹣x2+2x+3中，当x=1时，y=4．∴D（1，4）当x=m时，y=﹣m2+2m+3，∴F（m，﹣m2+2m+3）∴线段DE=4﹣2=2，线段PF=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m∵PF∥DE，∴当PF=ED时，四边形PEDF为平行四边形．由﹣m2+3m=2，解得：m1=2，m2=1（不合题意，舍去）．因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得：OB=OM+MB=3．∵S=S△BPF+S△CPF即S=PF•BM+PF•OM=PF•（BM+OM）=PF•OB．∴S=×3（﹣m2+3m）=﹣m2+m（0≤m≤3）．方法二：（3）∵B（3，0），C（0，3），D（1，4），∴，∴，∵∠DEC=∠COB=90°，∴△DEC∽△COB，∴∠DCE=∠CBO，∴∠DCE+∠OCB=90°，∴DC⊥BC，∴△BCD的外接圆圆心M为BD中点，∴M X==2，M Y==2，∴△BCD的外接圆圆心M（2，2）．6．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】方法一：解：（1）∵顶点A的横坐标为x=﹣=1，且顶点A在y=x﹣5上，∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4，∴A（1，﹣4）．（2）△ABD是直角三角形．将A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，∴y=x2﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3∴C（﹣1，0），D（3，0），BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．（3）存在．由题意知：直线y=x﹣5交y轴于点E（0，﹣5），交x轴于点F（5，0）∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形∴BD∥l，即PA∥BD则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G．设P（x1，x1﹣5），则G（1，x1﹣5）则PG=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|PA=BD=3由勾股定理得：（1﹣x1）2+（1﹣x1）2=18，x12﹣2x1﹣8=0，x1=﹣2或4∴P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1），存在点P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形．方法二：（1）略．（2）把A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，得c=3，∴y=x2﹣2x+3=（x﹣3）（x+1），∴D（3，0），B（0，﹣3），A（1，﹣4），K BD==1，K AB==﹣1，∴K BD•K AB=﹣1，∴AB⊥BD，即△ABD为直角三角形．（3）略．（4）∵，解得：x1=1（舍），x2=2，∴G（2，﹣3），∵A（1，﹣4），B（0，﹣3），D（3，0），∴GA==，BD==3，AB==，∴S△BDG==4．7．已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且=﹣2，（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．【解答】解：（1）由题意可得：α，β是方程﹣mx2+4x+2m=0的两根，由根与系数的关系可得，α+β=，αβ=﹣2，∵=﹣2，∴=﹣2，即=﹣2，解得：m=1，故抛物线解析式为：y=﹣x2+4x+2；（2）存在x轴上的点M，y轴上的点N，使得四边形DNME的周长最小，∵y=﹣x2+4x+2=﹣（x﹣2）2+6，∴抛物线的对称轴l为x=2，顶点D的坐标为：（2，6），又∵抛物线与y轴交点C的坐标为：（0，2），点E与点C关于l对称，∴E点坐标为：（4，2），作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′，则D′的坐标为；（﹣2，6），E′坐标为：（4，﹣2），连接D′E′，交x轴于M，交y轴于N，此时，四边形DNME的周长最小为：D′E′+DE，如图1所示：延长E′E，′D交于一点F，在Rt△D′E′F中，D′F=6，E′F=8，则D′E′===10，设对称轴l与CE交于点G，在Rt△DGE中，DG=4，EG=2，∴DE===2，∴四边形DNME的周长最小值为：10+2；（3）如图2，P为抛物线上的点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则△PHQ≌△DGE，∴PH=DG=4，∴|y|=4，∴当y=4时，﹣x2+4x+2=4，解得：x1=2+，x2=2﹣，当y=﹣4时，﹣x2+4x+2=﹣4，解得：x3=2+，x4=2﹣，故P点的坐标为；（2﹣，4），（2+，4），（2﹣，﹣4），（2+，﹣4）．8．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=x﹣a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M，A的坐标；（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；（3）在抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a＞0）上是否存在点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得，，整理得2x2+5x﹣4a=0．∵△=25+32a＞0，解得a＞﹣．∵a≠0，∴a＞﹣且a≠0．令x=0，得y=a，∴A（0，a）．由y=﹣（x+1）2+1+a得，M（﹣1，1+a）．（2）设直线MA的解析式为y=kx+b（k≠0），∵A（0，a），M（﹣1，1+a），∴，解得，∴直线MA的解析式为y=﹣x+a，联立得，，解得，∴N（，﹣）．∵点P是点N关于y轴的对称点，∴P（﹣，﹣）．代入y=﹣x2﹣2x+a得，﹣=﹣a2+a+a，解得a=或a=0（舍去）．∴A（0，），C（0，﹣），M（﹣1，），|AC|=，∴S△PCD=S△PAC﹣S△ADC=|AC|•|x p|﹣|AC|•|x0|=••（3﹣1）=；（3）①当点P在y轴左侧时，∵四边形APCN是平行四边形，∴AC与PN互相平分，N（，﹣），∴P（﹣，）；代入y=﹣x2﹣2x+a得，=﹣a2+a+a，解得a=，∴P1（﹣，）．②当点P在y轴右侧时，∵四边形ACPN是平行四边形，∴NP∥AC且NP=AC，∵N（，﹣），A（0，a），C（0，﹣a），∴P（，﹣）．代入y=﹣x2﹣2x+a得，﹣=﹣a2﹣a+a，解得a=，∴P2（，﹣）．综上所述，当点P1（﹣，）和P2（，﹣）时，A、C、P、N能构成平行四边形．9．边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）方法一：过点E作EG⊥x轴于G点．∵四边形OABC是边长为2的正方形，D是OA的中点，∴OA=OC=2，OD=1，∠AOC=∠DGE=90°．∵∠CDE=90°，∴∠ODC+∠GDE=90°．∵∠ODC+∠OCD=90°，∴∠OCD=∠GDE．在△OCD和△GED中，∴△ODC≌△GED （AAS），∴EG=OD=1，DG=OC=2．∴点E的坐标为（3，1）．∵抛物线的对称轴为直线AB即直线x=2，∴可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+k，将C、E点的坐标代入解析式，得．解得，抛物线的解析式为y=（x﹣2）2+；方法二：过点E作EG⊥x轴于G点．DE⊥DC⇒∠CDO+∠EDH=90°，EG⊥x轴⇒∠DEH+∠EDH=90°，∴∠CDO=∠DEH，DC=DE，∴△ODC≌△GED⇒DG=OC=2，EG=OD=1，∴E（3，1），∴9a+3b+2=0，∵﹣=2，抛物线的解析式为y=（x﹣2）2+；（2）方法一：①若△DFP∽△COD，则∠PDF=∠DCO，∴PD∥OC，∴∠PDO=∠OCP=∠AOC=90°，∴四边形PDOC是矩形，∴PC=OD=1，∴t=1；②若△PFD∽△COD，则∠DPF=∠DCO，=．∴∠PCF=90°﹣∠DCO=90﹣∠DPF=∠PDF．∴PC=PD，∴DF=CD．∵CD2=OD2+OC2=22+12=5，∴CD=，∴DF=．∵=，∴PC=PD=×=，t=，综上所述：t=1或t=时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似；方法二：过点F作x轴的垂线，分别交BC，OA于G，H，PF⊥CD⇒∠PFG+∠DFH=90°，GH⊥OA⇒∠FDH+∠DFH=90°，∴∠PFG=∠FDH⇒△PFG∽△FDH⇒，∵PF⊥CD⇒K PF×K CD=﹣1，∴l CD：y=﹣2x+2，∴F（m，﹣2m+2），P（t，2），∴，∴m=，∴F（，﹣），∴=，∴以P，F，D为顶点的三角形与△COD相似，①，∴，∴t=，②，∴，∴t=1，综上所述：t=1或t=时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似；方法三：若以P，F，D为顶点的三角形与△COD相似，则∠OCD=∠PDF或∠ODC=∠PDF，①∠OCD=∠PDF⇒PD∥OC，∴CP=OD=1，∴t=1，②∠ODC=∠PDF，作OO′⊥CD交CD于H，∴K OO′×K CD=﹣1，∴l CD：y=﹣2x+2，∴H（m，﹣2m+2），∴﹣2×=﹣1，∴m=，∴H（，），∵H为OO′中点，∴O′（，），∴l O′D：y=，令y=2，∴x=，即P（，2），∴t=．（3）存在，四边形MDEN是平行四边形时，M1（2，1），N1（4，2）；四边形MNDE是平行四边形时，M2（2，3），N2（0，2）；四边形NDME是平行四边形时，M3（2，），N3（2，）．10．如图，边长为1的正方形ABCD一边AD在x负半轴上，直线l：y=x+2经过点B（x，1）与x轴，y 轴分别交于点H，F，抛物线y=﹣x2+bx+c．（1）求A，D两点的坐标及抛物线经过A，D两点时的解析式；（2）当抛物线的顶点E（m，n）在直线l上运动时，连接EA，ED，试求△EAD的面积S与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）设抛物线与y轴交于G点，当顶点E在直线l上运动时，以A，C，E，G为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出E点坐标；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）∵直线l：y=x+2经过点B（x，1），∴1=x+2，解得x=﹣2，∴B（﹣2，1），∴A（﹣2，0），D（﹣3，0），∵抛物线经过A，D两点，∴，解得，∴抛物线经过A，D两点时的解析式为y=﹣x2﹣5x﹣6；（2）∵点E（m，n）在直线l上，∴n=m+2，∴S=×1×[±（m+2）]=±（m+1），即S=m+1（m＞﹣4）或S=﹣m﹣1（m＜﹣4）；（3）如图，若以A，C，E，G为顶点的四边形能成为平行四边形，则AC=EG，AC∥EG，作EH∥y轴交过G点平行于x轴的直线相交于H，则EH⊥GH，△EHG≌△CDA，∴GH=AD=1，∴E的横坐标为±1，∵点E在直线l上，∴y=×（﹣1）+2=，或y=×1+2=当AC为对角线时，有E和G的横坐标之和等于A和C的横坐标之和，故可求得E（﹣5，﹣1/2）∴E（﹣1，）；（1，）或（﹣5，﹣1/2）；由于E为抛物线的顶点，G为抛物线与y轴的交点，故将其坐标代入y=﹣x2+bx+c，检验可知当E取（1，）或（﹣5，﹣1/2）时，与此时的A、C、E构成平行四边形的G点并不是y轴与抛物线的交点，与前提相矛盾；综上，满足题意的E的坐标为（﹣1，）．11．已知抛物线：（1）求抛物线y1的顶点坐标．（2）将抛物线y1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y2，求抛物线y2的解析式．（3）如图，抛物线y2的顶点为P，x轴上有一动点M，在y1、y2这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）依题意把抛物线：y1=﹣x2+2x=﹣（x2﹣4x）=﹣[（x﹣2）2﹣4]=﹣（x﹣2）2+2，故抛物线y1的顶点坐标为：（2，2）；（2）∵抛物线y1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到y2=﹣（x﹣4）2+3，整理得y2=﹣x2+4x﹣5；（3）符合条件的N点存在．如图：作PA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B，∴∠PAO=∠MBN=90°，若四边形OPMN为符合条件的平行四边形，则OP∥MN，且OP=MN，∴∠POA=∠BMN，在△POA和△NMB中∴△POA≌△NMB（AAS），∴PA=BN，∵点P的坐标为（4，3），∴NB=PA=3，∵点N在抛物线y1、y2上，且P点为y1、y2的最高点∴符合条件的N点只能在x轴下方，①点N在抛物线y1上，则有：﹣x2+2x=﹣3解得：x1=2﹣，x2=2+，②点N在抛物线y2上，则有：﹣（x﹣4）2+3=﹣3解得：x3=4﹣2或x4=4+2故符合条件的N点有四个：N1（2﹣，﹣3），N2（4﹣2，﹣3），N3（2+，﹣3），N4（4+2，﹣3）．12．如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E 处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t 为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．【解答】方法一：解：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．由题意，△BDC≌△EDC．∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD．由勾股定理易得EO=6．∴AE=10﹣6=4，设AD=x，则BD=ED=8﹣x，由勾股定理，得x2+42=（8﹣x）2，解得，x=3，∴AD=3．∵抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），O（0，0）∴，解得∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x．（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，∴∠DEA=∠OCE，由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t．当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，∴=，即=，解得t=．当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，∴=，即=，解得t=．∴当t=或时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似．（3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：①EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点；则：M（4，）；而平行四边形的对角线互相平分，那么线段MN必被EC中点（4，3）平分，则N（4，﹣）；②EC为平行四边形的边，则EC MN，设N（4，m），则M（4﹣8，m+6）或M（4+8，m﹣6）；将M（﹣4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣38，此时 N（4，﹣38）、M（﹣4，﹣32）；将M（12，m﹣6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣26，此时 N（4，﹣26）、M（12，﹣32）；综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为：①M1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38）；②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；③M3（4，），N3（4，﹣）．方法二：（1）略．（2）∵E（0，6），C（8，0），∴l EC：y=﹣x+6，∵，EP=2t，∴P x=t，∴P（t，﹣t+6），Q（8﹣t，0），∵△PQC∽△ADE，且∠ECO=∠AED，∴PQ⊥OC或PQ⊥PC．当PQ⊥OC时，Px=Qx，即t=8﹣t，∴t1=，当PQ⊥PC时，K PQ•K PC=﹣1，∴t2=．（3）M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形．设N（4，t），C（8，0），E（0，6），∴，∴M1（4，6﹣t），同理M2（﹣4，t+6），M3（12，t﹣6），∴﹣t，∴t=﹣，﹣×（﹣4）2+（﹣4）=t+6，∴t=﹣38，﹣×122+×12=t﹣6，∴t=﹣26，综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为：①M1（4，），N1（4，﹣）；②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；③M3（﹣4，﹣32），N3（4，﹣38）．13．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．【解答】解：（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，，解得，故抛物线为y=﹣x2+2x+3又设直线为y=kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，解得故直线AC为y=x+1；（2）如图1，作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），故直线DN′的函数关系式为y=﹣x+，当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，则m=﹣×=；（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），∵点E在直线AC上，设E（x，x+1），①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，。

2020-2021中考数学压轴题之平行四边形(中考题型整理,突破提升)附答案

2020-2021中考数学压轴题之平行四边形(中考题型整理,突破提升)附答案一、平行四边形1．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．（1）①猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图3、4），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb （a≠b，k＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图4为例简要说明理由．（3）在第（2）题图4中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k=12，求BE2+DG2的值．【答案】（1）①BG⊥DE，BG=DE；②BG⊥DE，证明见解析；（2）BG⊥DE，证明见解析；（3）16.25．【解析】分析：（1）①根据正方形的性质，显然三角形BCG顺时针旋转90°即可得到三角形DCE，从而判断两条直线之间的关系；②结合正方形的性质，根据SAS仍然能够判定△BCG≌△DCE，从而证明结论；（2）根据两条对应边的比相等，且夹角相等可以判定上述两个三角形相似，从而可以得到（1）中的位置关系仍然成立；（3）连接BE、DG．根据勾股定理即可把BE2+DG2转换为两个矩形的长、宽平方和．详解：（1）①BG⊥DE，BG=DE；②∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE，∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHG=90°，∴BG⊥DE．（2）∵AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb，∴BC CG b==，DC CE a又∵∠BCG=∠DCE，∴△BCG∽△DCE，∴∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHG=90°，∴BG⊥DE．（3）连接BE、DG．根据题意，得AB=3，BC=2，CE=1.5，CG=1，∵BG⊥DE，∠BCD=∠ECG=90°∴BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25．点睛：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理．2．如图1，正方形ABCD的一边AB在直尺一边所在直线MN上，点O是对角线AC、BD 的交点，过点O作OE⊥MN于点E．（1）如图1，线段AB与OE之间的数量关系为．（请直接填结论）（2）保证点A始终在直线MN上，正方形ABCD绕点A旋转θ（0＜θ＜90°），过点 B作BF⊥MN于点F．①如图2，当点O、B两点均在直线MN右侧时，试猜想线段AF、BF与OE之间存在怎样的数量关系？请说明理由．②如图3，当点O、B两点分别在直线MN两侧时，此时①中结论是否依然成立呢？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明．③当正方形ABCD绕点A旋转到如图4的位置时，线段AF、BF与OE之间的数量关系为．（请直接填结论）【答案】（1）AB=2OE；（2）①AF+BF=2OE,证明见解析;②AF﹣BF=2OE 证明见解析;③BF ﹣AF=2OE，【解析】试题分析：（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；（2）①过点B作BH⊥OE于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；②过点B作BH⊥OE交OE的延长线于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；③同②的方法可证．试题解析：（1）∵AC，BD是正方形的对角线，∴OA=OC=OB，∠BAD=∠ABC=90°，∵OE⊥AB，∴OE=12 AB，∴AB=2OE，（2）①AF+BF=2OE证明：如图2，过点B作BH⊥OE于点H ∴∠BHE=∠BHO=90°∵OE⊥MN，BF⊥MN∴∠BFE=∠OEF=90°∴四边形EFBH为矩形∴BF=EH，EF=BH∵四边形ABCD为正方形∴OA=OB，∠AOB=90°∴∠AOE+∠HOB=∠OBH+∠HOB=90°∴∠AOE=∠OBH∴△AEO≌△OHB（AAS）∴AE=OH，OE=BH∴AF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OE．②AF﹣BF=2OE证明：如图3，延长OE，过点B作BH⊥OE于点H ∴∠EHB=90°∵OE⊥MN，BF⊥MN∴∠AEO=∠HEF=∠BFE=90°∴四边形HBFE为矩形∴BF=HE，EF=BH∵四边形ABCD是正方形∴OA=OB，∠AOB=90°∴∠AOE+∠BOH=∠OBH+∠BOH∴∠AOE=∠OBH∴△AOE≌△OBH（AAS）∴AE=OH，OE=BH，∴AF﹣BF=AE+EF﹣HE=OH﹣HE+OE=OE+OE=2OE③BF﹣AF=2OE，如图4，作OG⊥BF于G，则四边形EFGO是矩形，∴EF=GO，GF=EO，∠GOE=90°，∴∠AOE+∠AOG=90°．在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，∴∠AOG+∠BOG=90°，∴∠AOE=∠BOG．∵OG⊥BF，OE⊥AE，∴∠AEO=∠BGO=90°．∴△AOE≌△BOG（AAS），∴OE=OG，AE=BG，∵AE﹣EF=AF，EF=OG=OE，AE=BG=AF+EF=OE+AF，∴BF﹣AF=BG+GF﹣（AE﹣EF）=AE+OE﹣AE+EF=OE+OE=2OE，∴BF﹣AF=2OE．3．在图1中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上．操作示例当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连结FG和CG，裁掉△FAG和△CGB 并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．思考发现小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上．连结CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH （如图1），过点F作FM⊥AE于点M（图略），利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．实践探究（1）正方形FGCH的面积是；（用含a， b的式子表示）（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2—图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．联想拓展小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．当b＞a时（如图5），能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图5中画出剪拼成的正方形的示意图；若不能，简要说明理由．【答案】（1）a2+b2；（2）见解析；联想拓展：能剪拼成正方形.见解析．【解析】分析：实践探究：根据正方形FGCH的面积=BG2+BC2进而得出答案；应采用类比的方法，注意无论等腰直角三角形的大小如何变化，BG永远等于等腰直角三角形斜边的一半．注意当b=a时，也可直接沿正方形的对角线分割．详解：实践探究：正方形的面积是：BG2+BC2=a2+b2；剪拼方法如图2-图4；联想拓展：能，剪拼方法如图5（图中BG=DH=b）．．点睛：本题考查了几何变换综合，培养学生的推理论证能力和动手操作能力；运用类比方法作图时，应根据范例抓住作图的关键：作的线段的长度与某条线段的比值永远相等，旋转的三角形，连接的点都应是相同的．4．操作：如图，边长为2的正方形ABCD，点P在射线BC上，将△ABP沿AP向右翻折，得到△AEP，DE所在直线与AP所在直线交于点F．探究：（1）如图1，当点P在线段BC上时，①若∠BAP=30°，求∠AFE的度数；②若点E 恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置？并求出此时∠AFD 的度数．归纳：（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数是否会发生变化？试证明你的结论；猜想：（3）如图2，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数是否会发生变化？试在图中画出图形，并直接写出结论．【答案】（1）①45°；②BC的中点，45°；（2）不会发生变化，证明参见解析；（3）不会发生变化，作图参见解析.【解析】试题分析：（1）当点P在线段BC上时，①由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求出∠DAE度数，在三角形AFD中，利用内角和定理求出所求角度数即可；②由E为DF中点，得到P为BC中点，如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，得到AF 垂直平分BE，进而得到三角形BOP与三角形EOG全等，利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=1，得到P为BC中点，进而求出所求角度数即可；（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数不会发生变化，作AG⊥DF于点G，如图1（a）所示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出∠1+∠2的度数，即为∠FAG度数，即可求出∠F度数；（3）作出相应图形，如图2所示，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数不会发生变化，理由为：作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，设∠DAG=∠EAG=α，根据∠FAE为∠BAE一半求出所求角度数即可．试题解析：（1）①当点P在线段BC上时，∵∠EAP=∠BAP=30°，∴∠DAE=90°﹣30°×2=30°，在△ADE中，AD=AE，∠DAE=30°，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣30°）÷2=75°，在△AFD中，∠FAD=30°+30°=60°，∠ADF=75°，∴∠AFE=180°﹣60°﹣75°=45°；②点E为DF 的中点时，P也为BC的中点，理由如下：如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，∵EG∥AD，DE=EF，∴EG=AD=1，∵AB=AE，∴点A在线段BE的垂直平分线上，同理可得点P在线段BE的垂直平分线上，∴AF垂直平分线段BE，∴OB=OE，∵GE∥BP，∴∠OBP=∠OEG，∠OPB=∠OGE，∴△BOP≌△EOG，∴BP=EG=1，即P为BC的中点，∴∠DAF=90°﹣∠BAF，∠ADF=45°+∠BAF，∴∠AFD=180°﹣∠DAF﹣∠ADF=45°；（2）∠AFD的度数不会发生变化，作AG⊥DF于点G，如图1（a）所示，在△ADE中，AD=AE，AG⊥DE，∵AG平分∠DAE，即∠2=∠DAG，且∠1=∠BAP，∴∠1+∠2=×90°=45°，即∠FAG=45°，则∠AFD=90°﹣45°=45°；（3）如图2所示，∠AFE的大小不会发生变化，∠AFE=45°，作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，设∠DAG=∠EAG=α，∴∠BAE=90°+2α，∴∠FAE=∠BAE=45°+α，∴∠FAG=∠FAE﹣∠EAG=45°，在Rt△AFG中，∠AFE=90°﹣45°=45°．考点：1.正方形的性质；2.折叠性质；3.全等三角形的判定与性质.5．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP的长为62或233.【解析】【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE；（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K，∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，∵△EFK是直角三角形，∴OF=12EK=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H，∵|CF﹣AE|=2，3AE=CK，∴FK=2，在Rt△EFK中，tan∠3∴∠FEK=30°，∠EKF=60°，∴EK=2FK=4，OF=12EK=2，∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2，在Rt△PHF中，PH=12PF=1，3OH=23∴()2212362+-=如图4中，点P 在线段OC 上，当PO=PF 时，∠POF=∠PFO=30°，∴∠BOP=90°，∴OP=33OE=233，综上所述：OP 的长为62-或233. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.6．已知矩形纸片OBCD 的边OB 在x 轴上，OD 在y 轴上，点C 在第一象限，且86OB OD ==，.现将纸片折叠，折痕为EF （点E ，F 是折痕与矩形的边的交点），点P 为点D 的对应点，再将纸片还原。

中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义21 平行四边形(学生版)

专题21 平行四边形考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一平行四边形平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”平行四边形的性质：1、平行四边形对边平行且相等；几何描述：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD,AD=BC; AB∥CD,AD∥BC2、平行四边形对角相等、邻角互补；几何描述：∵四边形ABCD是平行四边形∴∠1=∠3，∠2=∠4，∠1+∠4=180°…（还有那组角互补？）3、平行四边形对角线互相平分；几何描述：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AO=OC=12AC,BO=OD=12BD4、平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心。

平行线的性质：1、平行线间的距离都相等；2、两条平行线间的任何平行线段都相等；3、等底等高的平行四边形面积相等。

平行四边形的判定定理（基础）：1、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

2、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。

4、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

平行四边形的面积公式：面积=底×高【考查题型汇总】考查题型一利用平行四边形的性质解题1．（2019·海南中考真题）如图，在ABCD 中，将ADC ∆沿AC 折叠后，点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处．若=60B ︒∠，=3AB ，则ADE ∆的周长为（）A ．12B ．15C ．18D ．212．（2018·山东中考模拟）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（）A ．①，②B ．①，④C ．③，④D ．②，③3．（2018·陕西师大附中中考模拟）如图，平行四边形ABCD 的周长是26，对角线AC 与BD 交于O ，AC ⊥AB ，E 是BC 的中点，△AOD 的周长比△AOB 的周长多3，则AE 的长度为（）A ．3B ．4C ．5D ．84．（2013·湖北中考真题）如图，平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且AB=5，△OCD 的周长为23，则平行四边形ABCD 的两条对角线的和是（）A ．18B ．28C ．36D ．465．（2019·山东中考模拟）如图，将▱ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点E 处，交BC 于点F ，若ABD 48∠=，CFD 40∠=，则E ∠为( )A ．102B ．112C ．122D ．92考查题型二平行四边形的判定1．（2018·上海中考模拟）如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，延长CE ，BA 交于点F ，连接AC ，DF ．（1）求证：四边形ACDF 是平行四边形；（2）当CF 平分∠BCD 时，写出BC 与CD 的数量关系，并说明理由．2．（2019·甘肃中考模拟）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD 边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．3．（2018·柳州市龙城中学中考模拟）如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE＝BF．（1）求证：四边形ABFE是平行四边形（2）若∠BEF＝∠DAE，AE＝3，BE＝4，求EF的长．考查题型三平行四边形性质与判定的综合1．（2019·洞口县第九中学中考模拟）如图，在ABC中，过点C作CD//AB，E是AC的中点，连接DE 并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．()1求证：四边形AFCD是平行四边形．()2若GB3=，BC6=，3=，求AB的长．BF22．（2018·黑龙江中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．3．（2018·江苏省如皋市外国语学校中考模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DF，连接CE、AF．（1）证明：AF=CE；（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．考查题型四平行四边形与全等三角形综合问题1．（2019·广西中考模拟）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．（1）求证：△ABC≌△DFE；（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．2．（2019·江苏中考模拟）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE 于O．求证：AD与BE互相平分．3．（2018·肇庆第四中学中考模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1=∠2.求证：（1）BE=DF；（2）AF∥CE.知识点二三角形中位线三角形中位概念：连接三角形两边重点的线段叫做三角形中位线。

2021年河南省数学中考第一轮基础知识过关第5章第1节平行四边形

第五章四边形第一节平行四边形【知识点分析】考点一平行四边形1．平行四边形的概念两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．1．多边形的概念在同一平面内，不在同一直线上的n(n≥3)条线段首尾顺次连接组成的图形，叫做n边形．2．多边形的性质内角和定理：n边形的内角和等于⑥ ；外角和定理：任意多边形的外角和为⑦ ；对角线条数：过n(n≥3)边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，n边形共有对角线⑧ 条．3．正n边形的性质(n≥3，且为整数)(1)正n边形的各边相等，各角⑨ ；(2)当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形；(3)当n为奇数时，是轴对称图形，有n条对称轴；(4)正n边形每个内角的度数为（n－2）·180°n，每一个外角都等于⑩ ．注意：每条边都相等的多边形不一定是正多边形，因为它们的内角不一定都相等，如菱形；每个内角都相等的多边形也不一定是正多边形，因为它们的边不一定相等，如矩形．【经典例题及练习】题型一平行四边形的性质例1(2020郑州模拟)如图，在▱ABCD中，AE平分∥BAD，CD＝9，BC＝5，BE＝3，则AE的长是()A．5 3B．310 C．4 5D．5 5题目解析：平行四边形的性质＋角平分线→∥ADE为等腰三角形→得DE的长→求得CE的长→由勾股定理逆定理可得∥BEC＝90°→∥EBA＝90°→勾股定理求AE 的长．方法技巧：利用平行四边形性质计算的技巧与平行四边形有关的计算通常利用平行四边形的性质获得角与线段之间的关系，还可从以下方面入手：(1)平行＋角平分线→等腰三角形．(2)对边平行→相等的角→相似(全等)三角形．(3)对角线的交点＋一边的中点→三角形的中位线．(4)过对角线的交点＋垂直→垂直平分线、等腰三角形．【变式训练1】1．(2020聊城一模)如图，▱ABCD的周长为32，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝14，则∥DOE的周长为()A．14B．15C．18D．212．(2020广州一模)如图，在▱ABCD中，∥BAC＝90°，AB＝8，BD＝20，则BC 的长为()A．10 B．413 C．12 D．2343．如图，在▱ABCD中，过点A作AG∥BC于G，作AH∥CD于H，且∥BCD＝135°，AG＝3，AH＝2.则▱ABCD的面积是()A ．6 2B ．12 2C ．6D ．124．(2020天津一模)如图，▱ABCO 中的顶点O ，A ，C 的坐标分别为(0，0)，(2，3)，(m ，0)，则顶点B 的坐标为( )A ．(3，2＋m )B ．(3＋m ，2)C ．(2，3＋m )D ．(2＋m ，3) 题型二平行四边形的判定例2 (2020郑州一检)如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，添加下列条件后仍不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( )A ．AD ∥BC ，AO ＝COB ．AD ＝BC ，AO ＝OC C ．AD ＝BC ，CD ＝AB D ．S ∥AOD ＝S ∥COD ＝S ∥BOC 方法技巧：平行四边形的判定方法 (1)已知一组对边相等⎩⎨⎧证另一组对边相等证这组对边平行.(2)已知一组对边平行⎩⎨⎧证另一组对边平行证这组对边相等.(3)已知一组对角相等→证另一组对角相等． (4)若图中出现对角线→证对角线互相平分．【变式训练2】5．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，BO ＝DO ，点E ，F 分别在AO ，CO 上，且BE ∥DF ，AE ＝CF .求证：四边形ABCD 为平行四边形．证明：∥BE∥DF，∥∥BEO＝∥DFO，∥BO＝DO，∥BOE＝∥DOF，∥∥BEO∥∥DFO(ASA)，∥EO＝FO.∥AE＝CF，∥AE＋EO＝CF＋FO，即AO＝CO，又∥BO＝DO，∥四边形ABCD为平行四边形．6. 如图，在四边形ABCD中，∥BAC＝∥ACD＝90°，AB＝12CD，点E是CD的中点．(1)求证：四边形ABCE是平行四边形；(2)若AC＝4，AD＝42，求四边形ABCE的面积．（1）证明：∥∥BAC＝∥ACD＝90°，∥AB∥EC．∥点E是CD的中点，∥EC＝12CD．∥AB＝12CD，∥AB＝EC，∥四边形ABCE是平行四边形．（2）解：在Rt∥ACD中，CD＝AD2－AC2＝4，∥AB＝12CD，∥AB＝2，∥S平行四边形ABCE＝AB·AC＝2×4＝8.【真题解析】1．(2014河南第7题，3分)如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB∥AC．若AB＝4，AC＝6，则BD的长是()A．8 B．9 C．10 D．112．(2015河南第7题，3分)如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∥BAD的平分线AG交BC于点E.若BF＝6，AB＝5，则AE的长为()A．4 B．6 C．8 D．103．(2016河南第10题，3分)如图，在▱ABCD中，BE∥AB交对角线AC于点E，若∥1＝20°，则∥2的度数为．4．(2017河南备用卷第12题)如图，在▱ABCD中，若BA＝BD，∥BAD＝50°，则∥CBD的度数为．5．(2012河南备用卷第20题节选)如图，在∥ABC中，AC＝3 2，AB＝4，∥CAB ＝45°，过点C作直线l∥AB，点P是射线AC上一动点(不与点A，C重合)，直线BP与直线l相交于点D．设PA＝m，当m为何值时，以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？解：∥当四边形ABCD是平行四边形时，AC与BD互相平分，∥AP ＝12AC ，则m ＝12×3 2＝3 22，∥当m 的值为3 22时，以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形．【各地题型】 1．(2020临沂)如图，P 是面积为S 的▱ABCD 内任意一点，∥PAD 的面积为S 1，∥PBC 的面积为S 2，则( )A ．S 1＋S 2＞S 2B ．S 1＋S 2＜S2C ．S 1＋S 2＝S2 D ．S 1＋S 2的大小与P 点位置有关2．(2020金华)如图，平移图形M ，与图形N 可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是．3．(2019柳州)平行四边形的其中一个判定定理是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．请你证明这个判定定理．已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：如图，连接AC ， ∥AB ＝CD ，AD ＝BC ，AC ＝CA ， ∥∥ABC ∥∥CDA ， ∥∥BAC ＝∥DCA ， ∥ACB ＝∥CAD ， ∥AB ∥CD ，BC ∥AD ，∥四边形ABCD 是平行四边形．。

中考数学一轮复习平行四边形知识点总结含答案

中考数学一轮复习平行四边形知识点总结含答案一、选择题1．如图，正方形ABCD 的边长为定值，E 是边CD 上的动点（不与点C ，D 重合），AE 交对角线BD 于点F ， FG AE ⊥交BC 于点G ，GH BD ⊥于点H ，连结AG 交BD 于点N ．现给出下列命题：① AF FG =；②DF DE =；③FH 的长度为定值；④GE BG DE =+；⑤222BN DF NF +=．真命题有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AB ＝4，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是线段BO 上一动点，F 是射线DC 上一动点，若∠AEF ＝120°，则线段EF 的长度的整数值的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE 的长为( )A ．3B ．32C ．2或3D ．3或324．如图，在ABC ，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，点P 为斜边AB 上一动点，过点P 作PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，连结EF ，则线段EF 的最小值为（）A ．1.2B ．2.4C ．2.5D ．4.85．如图，正方形纸片ABCD ，P 为正方形AD 边上的一点(不与点A ，点D 重合)．将正方形纸片折叠，使点B 落在点P 处，点C 落在点G 处，PG 交DC 于点H ，折痕为EF ，连接,,BP BH BH 交EF 于点M ，连接PM ．下列结论：①BE PE =；②BP EF =；③PB 平分APG ∠；④PH AP HC =+；⑤MH MF =，其中正确结论的个数是( )A ．5B ．4C ．3D ．26．如图，在矩形ABCD 中，1,2AD AC AE =平分BAD ∠交CD 于点E ，给出以下结论：①ADE ∆为等腰直角三角形；②BOC ∆为等边三角形；③70DOE ︒∠=；④3;EOC EAC ∠=∠⑤OE 是ACD ∆的中位线．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个7．如图，在ABCD中，AD=2AB，CE AB⊥，垂足E在线段AB上，F、G分别是AD、CE的中点，连接FG，EF、CD的延长线交于点H，则下列结论：①12DCF BCD∠=∠；②EF CF=：③2BEC CEFS S=；④3DFE AEF∠=∠.其中，正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．线段AB上有一动点C（不与A，B重合），分别以AC，BC为边向上作等边△ACM和等边△BCN，点D是MN的中点，连结AD，BD，在点C的运动过程中，有下列结论：①△ABD可能为直角三角形；②△ABD可能为等腰三角形；③△CMN可能为等边三角形；④若AB=6，则AD+BD的最小值为37. 其中正确的是（）A．②③B．①②③④C．①③④D．②③④9．如图，直角梯形ABCD中AD∥BC，∠D＝90°．∠A的平分线交DC于E，EF⊥AB于F．已知AD＝3.5cm，DC＝4cm，BC＝6.5cm．那么四边形BCEF的周长是（）A ．10cmB ．11cmC ．11.5cmD ．12cm10．如图，点,,A B E 在同一条直线上，正方形ABCD 、正方形BEFC 的边长分别为23,、H 为线段DF 的中点，则BH 的长为（）A ．21B ．26C ．33D ．29 二、填空题11．如图，动点E F 、分别在正方形ABCD 的边AD BC 、上，AE CF =，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连接BG ，若4AB =，则线段BG 长的最小值为_________．12．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ＝OB ，点E ，F 分别是OA ，OD 的中点，连接EF ，EM ⊥BC 于点M ，EM 交BD 于点N ，若∠CEF ＝45°，FN ＝5，则线段BC 的长为_____．13．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，P 为边BC 上一动点（P 不与B 、C 重合），PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的取值范围是__．14．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 、F 分别在边AD 、BC 上．将该纸片沿EF 折叠，使点A 的对应点G 落在边DC 上，折痕EF 与AG 交于点Q ，点K 为GH 的中点，则随着折痕EF 位置的变化，△GQK 周长的最小值为____．15．如图，有一张矩形纸条ABCD ，AB ＝10cm ，BC ＝3cm ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，CN ＝1cm ．现将四边形BCNM 沿MN 折叠，使点B ，C 分别落在点B '，C '上．在点M 从点A 运动到点B 的过程中，若边MB '与边CD 交于点E ，则点E 相应运动的路径长为_____cm ．16．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ⊥AB ，AC 与BD 相交于点O ，在同一平面内将△ABC 沿AC 翻折，得到△AB’C ，若四边形ABCD 的面积为24cm 2，则翻折后重叠部分（即S △ACE ) 的面积为________cm 2．17．如图，矩形ABCD 的面积为36，BE 平分ABD ∠，交AD 于E ，沿BE 将ABE ∆折叠，点A 的对应点刚好落在矩形两条对角线的交点F 处．则ABE ∆的面积为________．18．如图，正方形ABCD 面积为1，延长DA 至点G ，使得AG AD =，以DG 为边在正方形另一侧作菱形DGFE ，其中45EFG ︒∠=，依次延长, , AB BC CD 类似以上操作再作三个形状大小都相同的菱形，形成风车状图形，依次连结点, , , ,F H M N 则四边形FHMN 的面积为___________．19．如图，菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，若将菱形绕点O 以每秒45︒的速度逆时针旋转，则第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为__________．20．如图，矩形纸片ABCD ，AB =5，BC =3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP =OF ，则AF 的值为______．三、解答题21．已知，四边形ABCD 是正方形，点E 是正方形ABCD 所在平面内一动点（不与点D 重合），AB ＝AE ，过点B 作DE 的垂线交DE 所在直线于F ，连接CF ．提出问题：当点E运动时，线段CF与线段DE之间的数量关系是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点E的一个特殊位置：当点E与点B重合（如图①）时，点F与点B也重合．用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系：；（2）然后考察点E的一般位置，分两种情况：情况1：当点E是正方形ABCD内部一点（如图②）时；情况2：当点E是正方形ABCD外部一点（如图③）时．在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；拓展问题：（3）连接AF，用等式表示线段AF、CF、DF三者之间的数量关系：．22．如图，矩形OBCD中，OB＝5，OD＝3，以O为原点建立平面直角坐标系，点B，点D分别在x轴，y轴上，点C在第一象限内，若平面内有一动点P，且满足S△POB＝13S矩形OBCD，问：（1）当点P在矩形的对角线OC上，求点P的坐标；（2）当点P到O，B两点的距离之和PO+PB取最小值时，求点P的坐标．23．如图，平行四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=， G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ．（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2） ①当AE 的长为多少时，四边形CEDF 是矩形；②当AE = cm 时，四边形CEDF 是菱形，（直接写出答案，不需要说明理由）．24．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC ，AD 于点E ，F ，连接BF ．（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE ＝OF ；（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF 的形状，并证明你的结论；（3）若AB ＝1，BC 5BF ＝DF ，求旋转角度α的大小．25．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径。

中考数学一轮复习平行四边形知识点总结含答案

中考数学一轮复习平行四边形知识点总结含答案一、解答题1．如图，点E 为▱ABCD 的边AD 上的一点，连接EB 并延长，使BF ＝BE ，连接EC 并延长，使CG ＝CE ，连接FG ．H 为FG 的中点，连接DH ，AF ．（1）若∠BAE ＝70°，∠DCE ＝20°，求∠DEC 的度数；（2）求证：四边形AFHD 为平行四边形；（3）连接EH ，交BC 于点O ，若OC ＝OH ，求证：EF ⊥EG ．2．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30C ∠=︒，12AC cm =，点E 从点A 出发沿AB 以每秒1cm 的速度向点B 运动，同时点D 从点C 出发沿CA 以每秒2cm 的速度向点A 运动，运动时间为t 秒（06t <<），过点D 作DF BC ⊥于点F ．（1）试用含t 的式子表示AE 、AD 、DF 的长；（2）如图①，连接EF ，求证四边形AEFD 是平行四边形；（3）如图②，连接DE ，当t 为何值时，四边形EBFD 是矩形？并说明理由． 3．在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在边AD （含端点）上，落点记为E ，这时折痕与边BC 或者边CD （含端点）交于点F （如图1和图2），然后展开铺平，连接BE ，EF ．（1）操作发现：①在矩形ABCD 中，任意折叠所得的△BEF 是一个三角形； ②当折痕经过点A 时，BE 与AE 的数量关系为．（2）深入探究：在矩形ABCD 中，AB 3BC ＝3 ①当△BEF 是等边三角形时，求出BF 的长；②△BEF 的面积是否存在最大值，若存在，求出此时EF 的长；若不存在，请说明理由．4．如图，M 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点.过M 作BD 的垂线交AD 于E ，连BE ，取BE 中点O ．（1）如图1，连AO MO 、，试证明90AOM ︒∠=；（2）如图2，连接AM AO 、，并延长AO 交对角线BD 于点N ，试探究线段DM MN NB 、、之间的数量关系并证明；（3）如图3,延长对角线BD 至Q 延长DB 至P ,连,CP CQ 若2,9PB PQ ==,且135PCQ ︒∠=，则PC．（直接写出结果）5．如图平行四边形ABCD ，E ，F 分别是AD ，BC 上的点，且AE ＝CF ，EF 与AC 交于点O ．（1）如图①．求证：OE ＝OF ；（2）如图②，将平行四边形ABCD （纸片沿直线EF 折叠，点A 落在A 1处，点B 落在点B 1处，设FB 交CD 于点G ．A 1B 分别交CD ，DE 于点H ，P ．请在折叠后的图形中找一条线段，使它与EP 相等，并加以证明；（3）如图③，若△ABO 是等边三角形，AB ＝4，点F 在BC 边上，且BF ＝4．则CFOF＝（直接填结果）．6．类比等腰三角形的定义，我们定义：有三条边相等的凸四边形叫做“准等边四边形”．（1）已知：如图1，在“准等边四边形”ABCD 中，BC ≠AB ，BD ⊥CD ，AB =3，BD =4，求BC 的长；（2）在探究性质时，小明发现一个结论：对角线互相垂直的“准等边四边形”是菱形．请你判断此结论是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例；（3）如图2，在△ABC 中，AB =AC=2，∠BAC =90°．在AB 的垂直平分线上是否存在点P ，使得以A ，B ，C ，P 为顶点的四边形为“准等边四边形”．若存在，请求出该“准等边四边形”的面积；若不存在，请说明理由．7．已知正方形ABCD 与正方形（点C 、E 、F 、G 按顺时针排列），是的中点，连接，.（1）如图1，点E 在上，点在的延长线上，求证：DM =ME ，DM ⊥.ME简析：由是的中点，AD ∥EF ，不妨延长EM 交AD 于点N ，从而构造出一对全等的三角形，即 ≌ .由全等三角形性质，易证△DNE 是三角形,进而得出结论. （2）如图2，在DC 的延长线上，点在上，（1）中结论是否成立？若成立,请证明你的结论；若不成立，请说明理由.（3）当AB=5，CE=3时，正方形的顶点C 、E 、F 、G 按顺时针排列.若点E 在直线CD 上，则DM= ;若点E 在直线BC 上，则DM= . 8．阅读下列材料，并解决问题：如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，点D 为AC 边上的动点（不与A 、C 重合），以AD ，BD 为边构造ADBE ，求对角线DE 的最小值及此时ADAC的值是多少．在解决这个问题时，小红画出了一个以AD ，BD 为边的ADBE （如图2），设平行四边形对角线的交点为O ，则有AO BO =．于是得出当OD AC ⊥时，OD 最短，此时DE 取最小值，得出DE 的最小值为6．参考小红的做法，解决以下问题：（1）继续完成阅读材料中的问题：当DE 的长度最小时，ADAC=_______；（2）如图3，延长DA 到点F ，使AF DA =．以DF ，DB 为边作FDBE ，求对角线DE 的最小值及此时ADAC的值．9．已知：如图，在ABC 中，直线PQ 垂直平分AC ，与边AB 交于点E ，连接CE ，过点C 作//CF BA 交PQ 于点F ，连接AF ． (1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)若8AC =，AE=5，则求菱形AECF 的面积．10．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF，GH分别交边AB、CD，AD、BC于点E、F、G、H．（1）观察发现：如图①，若四边形ABCD是正方形，且EF⊥GH，易知S△BOE＝S△AOG，又因为S△AOB＝14S四边形ABCD，所以S四边形AEOG＝S正方形ABCD；（2）类比探究：如图②，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOG＝14S矩形ABCD，若AB＝a，AD＝b，BE＝m，求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）；（3）拓展迁移：如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且S四边形AEOG＝14S▱ABCD，若AB＝3，AD＝5，BE＝1，则AG＝．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）50°；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；（2）由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC；证明BC是△EFG的中位线，得出BC∥FG，BC＝12FG，证出AD∥FH，AD∥FH，由平行四边形的判定方法即可得出结论；（3）连接EH，CH，根据三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质即可得到结论．【详解】明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，∵∠DCE＝20°，∵AB∥CD，∴∠CDE＝180°﹣∠BAE＝110°，∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，∵BF＝BE，CG＝CE，∴BC是△EFG的中位线，∴BC∥FG，BC＝12 FG，∵H为FG的中点，∴FH＝12 FG，∴BC∥FH，BC＝FH，∴AD∥FH，AD∥FH，∴四边形AFHD是平行四边形；（3）连接EH，CH，∵CE＝CG，FH＝HG，∴CH＝12EF，CH∥EF，∵EB＝BF＝12 EF，∴BE＝CH，∴四边形EBHC是平行四边形，∴OB＝OC，OE＝OH，∵OC＝OH，∴OE＝OB＝OC＝12 BC，∴△BCE是直角三角形，∴∠FEG＝90°，∴EF⊥EG．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 2．（1）AE t =；122AD t =-；DF t =；（2）证明见解析；（3）3t =；理由见解析．【分析】（1）根据题意用含t 的式子表示AE 、CD ，结合图形表示出AD ，根据直角三角形的性质表示出DF ；（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；（3）根据矩形的定义列出方程，解方程即可．【详解】解：（1）由题意得，AE t =，2CD t =，则122AD AC CD t =-=-，∵DF BC ⊥，30C ∠=︒，∴12DF CD t == （2）∵90ABC ∠=︒，DF BC ⊥，∴AB DF ，∵AE t =，DF t =，∴AE DF =， ∴四边形AEFD 是平行四边形；（3）当3t =时，四边形EBFD 是矩形，理由如下：∵90ABC ∠=︒，30C ∠=︒， ∴162BC AC cm ==， ∵BE DF ∥，∴BE DF =时，四边形EBFD 是平行四边形，即6t t -=，解得，3t =，∵90ABC ∠=︒，∴四边形EBFD 是矩形， ∴3t =时，四边形EBFD 是矩形．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定，掌握平行四边形、矩形的判定定理是解题的关键． 3．（1）①等腰；②2BE =；（2）①2；②存在，3512【分析】（1）①由折叠的性质得EF＝BF，即可得出结论；②当折痕经过点A时，由折叠的性质得AF垂直平分BE，由线段垂直平分线的性质得AE＝BE，证出ABE是等腰直角三角形，即可得出BE AE；（2）①由等边三角形的性质得BF＝BE，∠EBF＝60°，则∠ABE＝30°，由直角三角形的性质得BE＝2AE，AB，则AE＝1，BE＝2，得BF＝2即可；②当点F在边BC上时，得S△BEF≤12S矩形ABCD，即当点F与点C重合时S△BEF最大，由折叠的性质得CE＝CB＝EF＝当点F在边CD上时，过点F作FH∥BC交AB于点H，交BE于点K，则S△EKF＝1 2KF•AH≤12HF•AH＝12S矩形AHFD，S△BKF＝12KF•BH≤12HF•BH＝12S矩形BCFH，得S△BEF≤12S矩形ABCD ＝3，即当点F为CD的中点时，BEF的面积最大，此时，DF＝12CD＝2，点E与点A重合，由勾股定理求出EF即可．【详解】解：（1）①由折叠的性质得：EF＝BF，∴BEF是等腰三角形；故答案为：等腰；②当折痕经过点A时，由折叠的性质得：AF垂直平分BE，∴AE＝BE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠A＝90°，∴ABE是等腰直角三角形，∴BE；故答案为：BE；（2）①当BEF是等边三角形时，BF＝BE，∠EBF＝60°，∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，∵∠A＝90°，∴BE＝2AE，AB∴AE＝1，BE＝2，∴BF＝2；②存在，理由如下：∵矩形ABCD中，CD＝AB BC＝∴矩形ABCD的面积＝AB×BC6，第一种情况：当点F在边BC上时，如图1所示：此时可得：S△BEF≤12S矩形ABCD，即当点F与点C重合时S△BEF最大，此时S△BEF＝3，由折叠的性质得：CE＝CB＝23，即EF＝23；第二种情况：当点F在边CD上时，过点F作FH∥BC交AB于点H，交BE于点K，如图2所示：∵S△EKF＝12KF•AH≤12HF•AH＝12S矩形AHFD，S△BKF＝12KF•BH≤12HF•BH＝12S矩形BCFH，∴S△BEF＝S△EKF+S△BKF≤12S矩形ABCD＝3，即当点F为CD的中点时，BEF的面积最大，此时，DF＝12CD＝32，点E与点A重合，BEF的面积为3，∴EF22AD DF+＝512；综上所述，BEF的面积存在最大值，此时EF的长为351．【点睛】此题考查的是矩形与折叠问题，此题难度较大，掌握矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的性质和勾股定理是解决此题的关键．4．（1）见解析；（2）222MN BN DM=+，理由见解析；（3）32【分析】（1）由直角三角形的性质得AO=MO=12BE=BO=EO，得∠ABO=∠BAO，∠OBM=∠OMB，证出∠AOM=∠AOE+∠MOE=2∠ABO+2∠MBO=2∠ABD=90°即可；（2）在AD 上方作AF ⊥AN ，使AF=AN ，连接DF 、MF ，证△ABN ≌△ADF （SAS ），得BN=DF ，∠DAF=∠ABN=45°，则∠FDM=90°，证△NAM ≌△FAM （SAS ），得MN=MF ，在Rt △FDM 中，由勾股定理得FM 2=DM 2+FD 2，进而得出结论；（3）作P 关于直线CQ 的对称点E ，连接PE 、BE 、CE 、QE ，则△PCQ ≌△ECQ ，∠ECQ=∠PCQ=135°，EQ=PQ=9，得∠PCE=90°，则∠BCE=∠DCP ，△PCE 是等腰直角三角形，得PE ，证△BCE ≌△DCP （SAS ），得∠CBE=∠CDB=∠CBD=45°，则∠EBQ=∠PBE=90°，由勾股定理求出BE=PE=6，即可得出PC 的长．【详解】解：（1）证明：四边形ABCD 是正方形，90ABC BAD ∴∠=∠=︒，45ABD ADB ∠=∠=︒， ME BD ⊥， 90BME ∴∠=︒， O 是BE 的中点，12AO MO BE BO EO ∴====，ABO BAO ∴∠=∠，OBM OMB ∠=∠，22290AOM AOE MOE ABO MBO ABD ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒；（2）222MN BN DM =+，理由如下：在AD 上方作AF AN ⊥，使AF AN =，连接DF 、MF ，如图2所示：则90NAF ∠=︒，四边形ABCD 是正方形，AB AD ∴=，90BAD NAF ∠=∠=︒，BAN DAF ∴∠=∠，45NAM ∠=︒， 45FAM NAM ∴∠=︒=∠，在ABN ∆和ADF ∆中，AB AD BAN DAF AN AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABN ADF SAS ∴∆≅∆，BN DF ∴=，45DAF ABN ∠=∠=︒，90FDM ADB ADF ∴∠=∠+∠=︒， 45NAM ∠=︒， 45FAM NAM ∴∠=︒=∠，在NAM ∆和FAM ∆中，AN AF NAM FAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()NAM FAM SAS ∴∆≅∆，MN MF ∴=，在Rt FDM ∆中，222FM DM FD =+，即222MN BN DM =+；（3）作P 关于直线CQ 的对称点E ，连接PE 、BE 、CE 、QE ，如图3所示：则PCQ ECQ ∆≅∆，135ECQ PCQ ∠=∠=︒，9EQ PQ ==，36090PCE PCQ ECQ ∴∠=︒-∠-∠=︒，BCE DCP ∴∠=∠，PCE ∆是等腰直角三角形，2CE CP ∴==，在BCE ∆和DCP ∆中，BC DC BCE DCP CE CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCE DCP SAS ∴∆≅∆，45CBE CDB CBD ∴∠=∠=∠=︒，90EBQ ∴∠=︒，90PBE ∴∠=︒，2PB =，9PQ =，7BQ PQ PB ∴=-=，22229742BE EQ BQ ∴=--=22222(42)6PE PB BE ∴++，232PC ∴==；故答案为：32【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的判定、勾股定理、轴对称的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．5．（1）见解析；（2）FG=EP ，理由见解析；（32【分析】（1）证△ODE ≌△OFB （ASA ），即可得出OE=OF ；（2）连AC ，由（1）可知OE=OF ，OB=OD ，证△AOE ≌△COF （SAS ），得AE=CF ，由折叠性质得AE=A 1E=CF ，∠A 1=∠BAD=∠BCD ，∠B=∠B 1，则∠D=∠B 1，证△A 1PE ≌△CGF （AAS ），即可得出FG=EP ；（3）作OH ⊥BC 于H ，证四边形ABCD 是矩形，则∠ABC=90°，得∠OBC=30°，求出AC=8，由勾股定理得BC=43CF=3，由等腰三角形的性质得BH=CH=12BC=3HF=423-，OH=12OB=2，由勾股定理得OF=2622，进而得出答案．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∴∠ODE=∠OBF ，∠OED=∠OFB ，∵AE=CF ，∴AD-AE=BC-CF ，即DE=BF ，在△ODE 和△OFB 中， ODE OBF DE BFOED OFB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ODE ≌△OFB （ASA ），∴OE=OF ；（2）FG=EP ，理由如下：连AC ，如图②所示：由（1）可知：OE=OF ，OB=OD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC 过点O ，OA=OC ，∠BAD=∠BCD ，∠D=∠B ，在△AOE 和△COF 中，OA OC AOE COF OE OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△COF （SAS ），∴AE=CF ，由折叠性质得：AE=A 1E=CF ，∠A 1=∠BAD=∠BCD ，∠B=∠B 1，∴∠D=∠B 1，∵∠A 1PE=∠DPH ，∠PHD=∠B 1HG ，∴∠DPH=∠B 1GH ，∵∠B 1GH=∠CGF ，∴∠A 1PE=∠CGF ，在△A 1PE 和△CGF 中，111A PE CGF A FCG A E CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△A 1PE ≌△CGF （AAS ），∴FG=EP ；（3）作OH ⊥BC 于H ，如图③所示：∵△AOB 是等边三角形，∴∠ABO=∠AOB=∠BAO=60°，OA=OB=AB=4，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，OB=OD ，∴AC=BD ，∴四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∵AB=OB=BF=4，∴AC=BD=2OB=8，由勾股定理得：BC=2222=84AC AB --=43，∴CF=43-4， ∵OB=OC ，OH ⊥BC ，∴BH=CH=12BC=23， ∴HF=4-23，OH=12OB=2，在Rt △OHF 中，由勾股定理得：OF=22OH HF +=()222423+-=2622-，∴434226222CF OF -===-，故答案为：2．【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．6．（1）5；（2）正确，证明详见解析；（3）存在，有四种情况，面积分别是：71+2，313+22，33+22 【分析】（1）根据勾股定理计算BC 的长度,（2）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形判断,（3）有四种情况，作辅助线，将四边形分成两个三角形和一个四边形或两个三角形，相加可得结论.【详解】（1）∵BD ⊥CD∴∠BDC =90°，BC >CD∵在“准等边四边形”ABCD 中，BC ≠AB ，∴AB =AD =CD =3,∵BD=4，∴BC =225CD BD +=, （2）正确．如图所示：∵AB =AD∴ΔABD 是等腰三角形．∵AC ⊥BD ．∴AC 垂直平分BD ．∴BC =CD∴CD =AB =AD =BC∴四边形 ABCD 是菱形．（3）存在四种情况，如图2，四边形ABPC 是“准等边四边形”,过C 作CF PE ⊥于F ，则∠CFE=90,∵EP 是AB 的垂直平分线，∴90AEF A ==∠∠ ,∴四边形AEFC 是矩形，在Rt ABC 中，2,2AB AC BC === , ∴22CF AE BE ===, ∵2AB PC ==∴2262PF PC CF =-= ∴BEP CFP AEFC S S S S =++四边形ABPC 矩形1262126222222222⎛⎫=⨯⨯++⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪⎭33+= 如图4，四边形ABPC 是“准等边四边形”,∵2AP BP AC AB ==== , ∴ABP △是等边三角形， ∴2313(2)221422ABP ABC S S S =+=⨯+⨯⨯=+四边形ACBP ; 如图5，四边形ABPC 是“准等边四边形”,∵2AB BP BC === ,PE 是AB 的垂直平分线，∴,PD AB ⊥ E 是AB 的中点，∴1222BE AB == , ∴2222214222PE PB BE ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭∴ACBP 11417222122APB ABC S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=+四边形如图6，四边形ABPC 是“准等边四边形”,过P 作PF AC ⊥于F ，连接AP ，∵2AB AC PB ===∴6PE = ∴16123122222APB APC ABPC S SS +=+=⨯+=四边形【点睛】本题考查了四边形综合题，矩形和菱形的判定和性质，“准等边四边形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形和矩形解题，学会用分类讨论的思想解决问题，难度较大，属于中考压轴题.7．（1）等腰直角；（2）结论仍成立，见解析；（3）2或42，17.【分析】（1）结论：DM ⊥EM ，DM=EM ．只要证明△AMH ≌△FME ，推出MH=ME ，AH=EF=EC ，推出DH=DE ，因为∠EDH=90°，可得DM ⊥EM ，DM=ME ；（2）结论不变，证明方法类似；（3）分两种情形画出图形，理由勾股定理以及等腰直角三角形的性质解决问题即可；【详解】解：（1） △AMN ≌ △FME ,等腰直角.如图1中，延长EM 交AD 于H ．∵四边形ABCD 是正方形，四边形EFGC 是正方形，∴0ADE DEF 90∠=∠=，AD CD =，∴//AD EF ，∴MAH MFE ∠=∠，∵AM MF =，AMH FME ∠=∠，∴△AMH ≌△FME ，∴MH ME =，AH EF EC ==，∴DH DE =，∵0EDH 90∠=，∴DM ⊥EM ，DM=ME ．（2）结论仍成立.如图，延长EM 交DA 的延长线于点H,∵四边形ABCD 与四边形CEFG 都是正方形,∴0ADE DEF 90∠=∠=，AD CD =,∴AD ∥EF,∴MAH MFE ∠=∠.∵AM FM =，AMH FME ∠=∠,∴△AMF ≌△FME(ASA), …∴MH ME =，AH FE=CE =,∴DH DE =.在△DHE 中，DH DE =，0EDH 90∠=,MH ME =,∴=DM EM ，DM ⊥EM.（3）①当E 点在CD 边上，如图1所示，由（1）的结论可得三角形DME 为等腰直角三角形，则DM的长为DE 2,此时DE EC DC 532=-=-=,所以DM = ②当E 点在CD 的延长线上时，如图2所示，由（2）的结论可得三角形DME 为等腰直角三角形，则DM，此时DE DC CE 538=+=+=，所以DM = ； ③当E 点在BC 上是，如图三所示，同（1）、（2）理可得到三角形DME 为等腰直角三角形，证明如下：∵四边形ABCD 与四边形CEFG 都是正方形, 且点E 在BC 上∴AB//EF ，∴HAM EFM ∠=∠，∵M 为AF 中点，∴AM=MF∵在三角形AHM 与三角形EFM 中：HAM EFM AM MFAMH EMF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△AMH ≌△FME(ASA),∴MH ME =，AH FE=CE =,∴DH DE =.∵在三角形AHD 与三角形DCE 中：090AD DC DAH DCE AH EF =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩， ∴△AHD ≌△DCE(SAS),∴ADH CDE ∠=∠,∵∠ADC=∠ADH+∠HDC=90°，∴∠HDE=∠CDE+∠HDC=90°,∵在△DHE 中，DH DE =，0EDH 90∠=,MH ME =,∴三角形DME 为等腰直角三角形，则DM的长为DE 2，此时在直角三角形DCE中DE ==，所以【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质，灵活运用相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键．8．（1）12；（2）13ADAC=．【分析】（1）易证四边形CDEB是矩形，由条件“四边形ADBE是平行四边形可得AD＝EB＝DC，从而得到ADAC的值．（2）由题可知当DE AC⊥时，DE最短，可以证到四边形DCBE是矩形．从而可以得到各边关系从而求出ADAC的值．【详解】解：（1）∵四边形ADBE是平行四边形，∴AD∥BE，AD＝BE．∵DE⊥AC，∠ACB＝90°，∴∠ADE＝∠C＝90°．∴DE∥BC．∵DC∥BE，DE∥BC，∠C＝90°，∴四边形DCBE是矩形．∴EB＝DC．∴AD＝DC．∴ADAC=＝12．故答案为：12．（2）如图，由题可知当DE AC ⊥时，DE 最短．最小值是6．∵四边形FDBE 是平行四边形，∴//DF BE ，DF BE =．∵DE AC ⊥，90C ∠=︒，∴90ADE C ∠=∠=︒．∴//DE BC ．∴四边形CDEB 是平行四边形，又∵90C ∠=︒，∴四边形CDEB 是矩形．∴BE CD =，6DE BC ==．∴DF CD =．∵AF AD =，∴2DC DF AD ==．∴3AC AD DC AD =+=． ∴13AD AC =．【点睛】本题考查了平行线之间的距离、平行线的判定、矩形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，具有一定的综合性；本题还考查了阅读能力，体现了自主探究与合作交流相结合的新课程理念，是一道好题．9．（1）答案见解析；（2）24【分析】(1) 首先利用ASA 证明△CDF ≌△ADE ，进而得到AE=CF ，于是得四边形AECF 是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得到结论；(2)首先利用勾股定理求出DE 的长，再利用对角线乘积的一半求出菱形的面积.【详解】（1）∵CF// AB ，∴∠DCF= ∠DAE ，∵PQ 垂直平分AC ，∴CD= AD ，在△CDF 和△ADE 中，DCF DAE CD ADCDF ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△CDF ≌△ADE ，∴CF=AE,∵CF ∥AE ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵PQ 垂直平分AC ，∴AE=CE ，∴四边形AECF 是菱形；（2）∵四边形AECF 是菱形，∴△ADE 是直角三角形，∵AD=142AC ，AE=5 ， ∴3==，∴EF= 2DE=6， ∴菱形AECF 的面积为11862422AC EF ⋅=⨯⨯=. 【点睛】此题考查菱形的判定及性质定理，三角形全等的判定定理，线段垂直平分线的性质定理，勾股定理，正确掌握菱形的判定及性质定理是解题的关键.10．（1）14；（2）mb AG a =；（3）53 【分析】（1）如图①，根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论；（2）如图②，过O 作ON ⊥AD 于N ，OM ⊥AB 于M ，根据图形的面积得到14mb ＝14AG •a ，于是得到结论；（3）如图③，同理：过O 作QM ⊥AB ，PN ⊥AD ，先根据平行四边形面积可得OM 和ON的比，同理可得S△BOE＝S△AOG，根据面积公式可计算AG的长．【详解】解：（1）如图①，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OC，∠OAG＝∠EBO＝45°，∠AOB＝90°，∵EF⊥GH，∴∠EOG＝90°，∴∠BOE＝∠AOG（SAS），∴△BOE≌△AOG，∴S△BOE＝S△AOG，又∵S△AOB＝14S四边形ABCD，∴S四边形AEOG＝14S正方形ABCD，故答案为：14．（2）解：如图②，过O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∴S△AOB＝S△AOD＝14S矩形ABCD，∵S四边形AEOG＝14S矩形ABCD，∴S△AOB＝S四边形AEOG，∴S△BOE＝S△AOG，∵S△BOE＝12BE•OM＝14mb，S△AOG＝12AG•ON＝14AG•a，∴mb＝AG•a，∴AG＝mba；（3）如图③，过O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∵S△AOB＝S△AOD＝14S▱ABCD，S四边形AEOG＝14S▱ABCD，∴S△AOB＝S四边形AEOG，∴S△BOE＝S△AOG，∵S△BOE＝12BE•OM＝12OM，S△AOG＝12AG•ON，∴OM＝AG•ON，∵S▱ABCD＝3×2OM＝5×2 ON，∴53 OMON，∴AG＝53；【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形、矩形、平行四边形的性质及三角形、四边形的面积问题，认真阅读材料，理解并证明S△BOE＝S△AOG是解决问题的关键．。

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2021年中考数学一轮复习基础考点及题型-专题21 平行四边形
考点总结
【思维导图】
【知识要点】
知识点一平行四边形
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”
平行四边形的性质：
1、平行四边形对边平行且相等；
几何描述：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD,AD=BC; AB∥CD,AD∥BC
2、平行四边形对角相等、邻角互补；
几何描述：∵四边形ABCD是平行四边形∴∠1=∠3，∠2=∠4，∠1+∠4=180°…（还有那组角互补？）3、平行四边形对角线互相平分；
几何描述：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AO=OC=12AC,BO=OD=12BD
4、平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心。

平行线的性质：
1、平行线间的距离都相等；
2、两条平行线间的任何平行线段都相等；
3、等底等高的平行四边形面积相等。

平行四边形的判定定理（基础）：
1、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

2、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。

4、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

平行四边形的面积公式：面积=底×高
【考查题型汇总】
考查题型一利用平行四边形的性质解题
1．（2019·海南中考真题）如图，在ABCD 中，将ADC ∆沿AC 折叠后，点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处．若=60B ︒∠，=3AB ，则ADE ∆的周长为（）
A ．12
B ．15
C ．18
D ．21
【答案】C
【详解】
由折叠可得，90ACD ACE ︒∠=∠=， 90BAC ︒∴∠=，
又60B ︒∠=，
30ACB ︒∴∠=，
26BC AB ∴==，
6AD ∴=，
由折叠可得，60E D B ︒∠=∠=∠=，
60DAE ︒∴∠=，
ADE ∴∆是等边三角形，
ADE ∴∆的周长为6318⨯=，
故选：C ．
2. （2020•四川省甘孜州真题）如图，在ABCD 中，过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ，若40EAD ∠=︒，则BCE ∠的度数为____．
【答案】50°
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质得出∠B =∠EAD =40°，由角的互余关系得出∠BCE =90°
-∠B 即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，
∴∠B =∠EAD =40°，
∵CE ⊥AB ，
∴∠BCE =90°-∠B =50°；
故答案为：50°．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形的内角和；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠B 的度数是解决问题的关键．
3．（2018·陕西师大附中中考模拟）如图，平行四边形ABCD 的周长是26，对角线AC 与BD 交于O ，AC ⊥AB ，
E是BC的中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3，则AE 的长度为（）
A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】B
【详解】
解：∵ABCD的周长为26cm，
∴AB+AD=13cm，OB=OD，
∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，
∴（OA+OB+AD）﹣（OA+OD+AB）=AD﹣AB=3cm，
∴AB=5cm，AD=8cm.
∴BC=AD=8cm.
∵AC⊥AB，E是BC中点，
∴AE=1
2
BC=4cm；
故选：B.
4．（2013·湖北中考真题）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=5，△OCD的周长为23，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是
A．18 B．28 C．36 D．46
【答案】C
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5.
∵△OCD的周长为23，∴OD+OC=23﹣5=18.
∵BD=2DO，AC=2OC，
∴平行四边形ABCD 的两条对角线的和=BD+AC=2（DO+OC ）=36.
故选C.
5．（2019·山东中考模拟）如图，将▱ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点E 处，交BC 于点F ，若ABD 48∠=，CFD 40∠=，则E ∠为( )
A ．102
B ．112
C ．122
D ．92
【答案】B
【详解】
AD //BC ，
ADB DBC ∠∠∴=，
由折叠可得ADB BDF ∠∠=，
DBC BDF ∠∠∴=，
又DFC 40∠=，
DBC BDF ADB 20∠∠∠∴===，
又ABD 48∠=，
ABD ∴中，A 1802048112∠=--=，
E A 112∠∠∴==，
故选B ．
考查题型二平行四边形的判定
1．（2018·上海中考模拟）如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，延长CE ，BA 交于点F ，连接AC ，DF ．
（1）求证：四边形ACDF 是平行四边形；
（2）当CF 平分∠BCD 时，写出BC 与CD 的数量关系，并说明理由．。

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