2020届天一大联考海南省高三年级第三次模拟考试数学试题(带答案解析)
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2020届天一大联考海南省高三年级第三次模拟考试
数学试题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．已知复数 满足 ，则 （）
A． B． C． D．
3．函数 的图象的一条对称轴方程为（）
A． B． C． D．
4．已知函数， ，则“ ”是“ 单调递增”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
7．A
【解析】
【分析】
设 ，求出 ， 的值，由最小二乘法得出回归方程，代入 ，即可得出答案.
（1）估计样本中闪存芯片的数据传输速度的中位数.
（2）估计样本中闪存芯片的使用寿命的平均数.（每组数据以中间值为代表）
（3）规定数据传输速度不低于 为优，使用寿命不低于10万次为优，且两项指标均为优的闪存芯片为 级产品，仅有一项为优的为 级产品，没有优的为 级产品.现已知样本中有45件 级产品，用样本中不同级别产品的频率代替每件产品为相应级别的概率，从这一批产品中任意抽取4件，求其中至少有2件 级产品的概率.
【详解】
若 单调递增，则 且 ，解得
因为“ ”与“ ”没有包含的关系，所以充分性和必要性都不成立.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了判断既不充分也不必要条件，属于中档题.
5．A
【解析】
【分析】
设第 天织布的尺数为 ，根据等比数列的定义判断 为等比数列，再由求和公式求解即可.
【详解】
设第 天织布的尺数为 ，则 是公比为2的等比数列，所以 ，解得 ，所以 .
A．5B．4C．1D．0
8．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 在双曲线上，且 垂直于 轴.若直线 的方程为 ， 的面积为6，则 （）
A． B．1C． D．
9．设 ， ， 为实数且 ，则下列不等式一定成立的是（）
A． B．
C． D．
10．已知向量 ， ， ，则下列结论正确的有（）
A． B．若 ∥ ，则
故选：A
【点睛】
本题主要考查了等比数列的概念以及性质，属于中档题.
6．A
【解析】
【分析】
根据已知中函数的解析式，可得函数f（x）为偶函数，可排除C,D，由 得到答案．
【详解】
故 则 是偶函数，排除C、D，又当
故选：A.
【点睛】
本题主要考查函数的图象特征，函数的奇偶性的判断，结合排除特值与极限判断是常见方法，属于基础题．
【详解】
由 ，得 ，所以 .
故选：B
【点睛】
本题主要考查复数的模以及基本运算，属于基础题.
3．D
【解析】
【分析】
利用正弦函数的性质求解即可.
【详解】
令 ，得 ，取 ，得 .
故选：D
【点睛】
本题主要考查了求正弦型函数的对称轴，属于基础题.
4．D
【解析】
【分析】
由分段函数的单调性结合充分条件，必要条件的定义，即可得出答案.
20．如图，已知三棱柱 中，平面 平面 ， ， .
（1）证明： ；
（2）设 ， ，求二面角 的余弦值.
21．已知椭圆 的离心率 ，直线 与 相交于 ， 两点，当 时，
（1）求椭圆 的标准方程.
（2）在椭圆 上是否存在点 ，使得当 时， 的平分线总是平行于 轴？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
A． B．
C． D．
7．2020年初，新型冠状病毒（ ）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：
周数（x）
1
2
3
4
5
治愈人数（y）
2
17
36
93
142
由表格可得 关于 的二次回归方程为 ，则此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差）为（）
（1）请给出一个 的通项公式，使得 既是等差数列也是“ 数列”，并说明理由；
（2）根据你给出的通项公式，设 的前 项和为 ，求满足 的正整数 的最小值.
18． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的取值范围.
19．手机等数码产品中的存储器核心部件是闪存芯片，闪存芯片有两个独立的性能指标：数据传输速度和使用寿命，数据传输速度的单位是 ，使用寿命指的是完全擦写的次数（单位：万次）.某闪存芯片制造厂为了解产品情况，从一批闪存芯片中随机抽取了100件作为样本进行性能测试，测试数据经过整理得到如下的频率分布直方图（每个分组区间均为左闭右开），其中 ， ， 成等差数列且 .
22．已知函数 ， .
（1）若 ，证明：当 时 ，当 时 ；
（2）若 是 的极大值点，求 的值.
ຫໍສະໝຸດ Baidu参考答案
1．C
【解析】
【分析】
化简集合，再求交集即可.
【详解】
， 或 ， .
故选：C
【点睛】
本题考查不等式的解法和集合的运算，属于基础题.
2．B
【解析】
【分析】
由复数的运算化简 ，再由模长公式即可得出答案.
C． 的最大值为2D． 的最大值为3
11．如图，四棱锥 中，平面 底面 ， 是等边三角形，底面 是菱形，且 ， 为棱 的中点， 为菱形 的中心，下列结论正确的有（）
A．直线 与平面 平行B．直线 与直线 垂直
C．线段 与线段 长度相等D． 与 所成角的余弦值为
12．已知函数 ，其中 ， ，则下列选项中的条件使得 仅有一个零点的有（）
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”其意思为：“有一女子很会织布，每天织的布都是前一天的2倍，5天共织布5尺.问：每天分别织多少布？”则上述问题中，该女子第3天织布的尺数为（）
A． B． C． D．
6．函数 的图象的大致形状是（）
15．已知圆 的圆心是抛物线 的焦点 ，过点 的直线交该抛物线的准线于点 ，与该抛物线的一个交点为 ，且 ，则 __________.
16．三棱锥 中， ，且平面 平面 ，则 __________；若球 与该三棱锥除 以外的5条棱均相切，则球 的半径为__________.
17．对于由正整数构成的数列 ，若对任意 ， “且 ， 也是 中的项，则称 为 数列”.设数列 |满足 ， ..
A． 为奇函数B．
C． ， D． ，
13．某地 ， ， 三所学校分别有教师72，144，216人.当地教育部门组织教研活动，计划用分层抽样的方法从这三所学校的教师中抽取若干人组成领导小组，若从学校 抽取8名教师，则学校 和 共抽取的教师人数为__________.
14． 的展开式中常数项的系数为_____________．
数学试题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．已知复数 满足 ，则 （）
A． B． C． D．
3．函数 的图象的一条对称轴方程为（）
A． B． C． D．
4．已知函数， ，则“ ”是“ 单调递增”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
7．A
【解析】
【分析】
设 ，求出 ， 的值，由最小二乘法得出回归方程，代入 ，即可得出答案.
（1）估计样本中闪存芯片的数据传输速度的中位数.
（2）估计样本中闪存芯片的使用寿命的平均数.（每组数据以中间值为代表）
（3）规定数据传输速度不低于 为优，使用寿命不低于10万次为优，且两项指标均为优的闪存芯片为 级产品，仅有一项为优的为 级产品，没有优的为 级产品.现已知样本中有45件 级产品，用样本中不同级别产品的频率代替每件产品为相应级别的概率，从这一批产品中任意抽取4件，求其中至少有2件 级产品的概率.
【详解】
若 单调递增，则 且 ，解得
因为“ ”与“ ”没有包含的关系，所以充分性和必要性都不成立.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了判断既不充分也不必要条件，属于中档题.
5．A
【解析】
【分析】
设第 天织布的尺数为 ，根据等比数列的定义判断 为等比数列，再由求和公式求解即可.
【详解】
设第 天织布的尺数为 ，则 是公比为2的等比数列，所以 ，解得 ，所以 .
A．5B．4C．1D．0
8．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 在双曲线上，且 垂直于 轴.若直线 的方程为 ， 的面积为6，则 （）
A． B．1C． D．
9．设 ， ， 为实数且 ，则下列不等式一定成立的是（）
A． B．
C． D．
10．已知向量 ， ， ，则下列结论正确的有（）
A． B．若 ∥ ，则
故选：A
【点睛】
本题主要考查了等比数列的概念以及性质，属于中档题.
6．A
【解析】
【分析】
根据已知中函数的解析式，可得函数f（x）为偶函数，可排除C,D，由 得到答案．
【详解】
故 则 是偶函数，排除C、D，又当
故选：A.
【点睛】
本题主要考查函数的图象特征，函数的奇偶性的判断，结合排除特值与极限判断是常见方法，属于基础题．
【详解】
由 ，得 ，所以 .
故选：B
【点睛】
本题主要考查复数的模以及基本运算，属于基础题.
3．D
【解析】
【分析】
利用正弦函数的性质求解即可.
【详解】
令 ，得 ，取 ，得 .
故选：D
【点睛】
本题主要考查了求正弦型函数的对称轴，属于基础题.
4．D
【解析】
【分析】
由分段函数的单调性结合充分条件，必要条件的定义，即可得出答案.
20．如图，已知三棱柱 中，平面 平面 ， ， .
（1）证明： ；
（2）设 ， ，求二面角 的余弦值.
21．已知椭圆 的离心率 ，直线 与 相交于 ， 两点，当 时，
（1）求椭圆 的标准方程.
（2）在椭圆 上是否存在点 ，使得当 时， 的平分线总是平行于 轴？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
A． B．
C． D．
7．2020年初，新型冠状病毒（ ）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：
周数（x）
1
2
3
4
5
治愈人数（y）
2
17
36
93
142
由表格可得 关于 的二次回归方程为 ，则此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差）为（）
（1）请给出一个 的通项公式，使得 既是等差数列也是“ 数列”，并说明理由；
（2）根据你给出的通项公式，设 的前 项和为 ，求满足 的正整数 的最小值.
18． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的取值范围.
19．手机等数码产品中的存储器核心部件是闪存芯片，闪存芯片有两个独立的性能指标：数据传输速度和使用寿命，数据传输速度的单位是 ，使用寿命指的是完全擦写的次数（单位：万次）.某闪存芯片制造厂为了解产品情况，从一批闪存芯片中随机抽取了100件作为样本进行性能测试，测试数据经过整理得到如下的频率分布直方图（每个分组区间均为左闭右开），其中 ， ， 成等差数列且 .
22．已知函数 ， .
（1）若 ，证明：当 时 ，当 时 ；
（2）若 是 的极大值点，求 的值.
ຫໍສະໝຸດ Baidu参考答案
1．C
【解析】
【分析】
化简集合，再求交集即可.
【详解】
， 或 ， .
故选：C
【点睛】
本题考查不等式的解法和集合的运算，属于基础题.
2．B
【解析】
【分析】
由复数的运算化简 ，再由模长公式即可得出答案.
C． 的最大值为2D． 的最大值为3
11．如图，四棱锥 中，平面 底面 ， 是等边三角形，底面 是菱形，且 ， 为棱 的中点， 为菱形 的中心，下列结论正确的有（）
A．直线 与平面 平行B．直线 与直线 垂直
C．线段 与线段 长度相等D． 与 所成角的余弦值为
12．已知函数 ，其中 ， ，则下列选项中的条件使得 仅有一个零点的有（）
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”其意思为：“有一女子很会织布，每天织的布都是前一天的2倍，5天共织布5尺.问：每天分别织多少布？”则上述问题中，该女子第3天织布的尺数为（）
A． B． C． D．
6．函数 的图象的大致形状是（）
15．已知圆 的圆心是抛物线 的焦点 ，过点 的直线交该抛物线的准线于点 ，与该抛物线的一个交点为 ，且 ，则 __________.
16．三棱锥 中， ，且平面 平面 ，则 __________；若球 与该三棱锥除 以外的5条棱均相切，则球 的半径为__________.
17．对于由正整数构成的数列 ，若对任意 ， “且 ， 也是 中的项，则称 为 数列”.设数列 |满足 ， ..
A． 为奇函数B．
C． ， D． ，
13．某地 ， ， 三所学校分别有教师72，144，216人.当地教育部门组织教研活动，计划用分层抽样的方法从这三所学校的教师中抽取若干人组成领导小组，若从学校 抽取8名教师，则学校 和 共抽取的教师人数为__________.
14． 的展开式中常数项的系数为_____________．