例题精选七

例2 设总体X服从几何分布，P{X=x}=(1-p)x-1p, x=1, 2，其中p为未知参数，0<p<1，设X1, X2, …, Xn为X的一个样本， 求参数p的最大似然估计量。 【解】设x1, x2, …, xn是相应于样本X1, X2, …, Xn的一个样本值，似然函数为
L( p) p(1 p ) xi 1 p n (1 p) i1
解之得 p 1 1
2 , 1
n
(1 1 2 ) 1
1
，
以 A1 X, A2
1 n 2 Xi 代替1, 2，得 n i1
1 n 2 Xi n i 1 ˆ 1 X ˆ p , n X
X ，(n取正整数)。 1 n 2 Xi n i 1 1 X X
所以 4 X 不是 的无偏估计量。
2
例 9、设总体 X 的概率密度为
1 (1 )/ , 0 x 1, x f ( x; ) 其他， 0,
其中 0 未知， X 1 , X 2 , , X n 是来自总体 X 的样本,
ˆ (1)验证的最大似然估计量是
的分布函数为 (2) 统计量
1 e 2 n ( z ) , z , Fmin ( z ) 1 (1 FX (( z )) n 0, z ,
的密度函数为 (3) 统计量
2ne 2 n ( z ) , z , ( z) f min ( z ) Fmin 0, z ,
例题精选-7
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2013-12
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而 E( X )
2


x 2 f ( x, )dx
1 x2 x2 2 1 1 dx dx ， 2(1 ) 0 2 3 6 6

D( X ) E ( X 2 ) E 2 ( X )

得 2E ( X )
2
1 n 1 ˆ = 2X 1 。 ，用 X 代替 E(X), 其中 X X i ，得 的矩估计量为 2 n i 1 2
2 2
(2) E ( 4 X ) 4 E ( X ) 4[ D ( X ) E ( X )] 4[
D( X ) E 2 ( X )] , n
ˆ) 因为 E(




zfˆ ( z )dz
2nze
0
2 n ( z )
dx
1 ， 2n
不是 的无偏估计量。 所以
例 8、设总体 X 的概率密度为
1 0 x , 2 , 1 f ( x; ) , x 1, 2(1 ) 0, 其他，
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《概率论与数理统计》例题精选-7
例1 设总体X服从二项分布b(n, p)，其中n, p为未知参数，X1, X2, …, Xn 为X的一个样本， 求n, p的矩估计量。 【解】因有两个未知参数，所以需要用一, 二阶原点矩，由二项分布知，
1 E(X) np, 2 2 2 2 2 E(X ) D(X) (E(X)) np (1 p ) n p ,
6x ( x), 0 x , f ( x) 3 其他， 0，
其中 X1, X2, …, Xn 是取自总体 X 的简单随机样本， (1)求 的矩估计量 ； (2)求 的方差 D ( ) 。




【解】 (1) E(X) xf ( x)dx
例题精选-7 1/13 2013-12
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1 1 1, x1 , x2 , , xn , L( ) 2 2 其他, 0,
由于L()是常值函数，所以只要满足
min( x1 , x2 , , xn ) ， max( x1 , x2 , , xn ) ，
ˆ 1 (2 ˆ ) 1 (2 x).
(3)由本章习题第 3 题知二项分布 b(m,)的参数的最大似然估计为
ˆ x / m.
由最大似然估计的不变性得=3-1 的最大似然估计值为
ˆ 3 ˆ 1
例 5、设总体 X 的概率密度为
3x 1. m
ˆ e 1/ˆ 。 U
ˆ x， (2)已知的最大似然估计值为
P( X 2) 1 P{ X 2} 1 (2 )
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例题精选-7
2013-12
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具有单调反函数。由最大似然估计的不变性得 P{ X 2} 的最大似然估计值为
0



0
6 x2
3
( x)dx

2
, 2E(X) ，以 X 代替 E(X) ，则得
的矩估计量为 2X 。

2

(2)由已知，有 E(X ) x f ( x)dx
2 0



0
6 x3
3
( x)dx
3 2 ，则 10
D(X)=E(X )-(E(X))
的总体的样本，未知，求 U e
1/
的最大似然估计值。
(2)设 X1，X2，…，Xn 是来自正态总体 N(，1)的样本，未知，求=P{X>2}的最大似然估 计值。 (3)设 x1，x2，…，xn 是来自总体 b(m,)的样本值，又 值。 【解】(1)先求的最大似然估计值，似然函数为
x )
i 1 i
n
1
>0，
n
ln L( ) n ln ( 1) ln( xi ) ，
i 1
令
d ln L( ) n n ln xi d i 1
0 ，得的最大似然估计值为 ˆ
n
lnx
i 1
n
i
U e1/ 具有单凋反函数，故由最大似然估计的不变性知 U 的最大似然估计值为
例题精选-7 4/13 2013-12
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作为 的估计量，讨论 是否具有无偏性。 (3) 如果用
【解】(1) 由题设，总体X的分布函数为
x
F( x)


1 e 2( x ) , x , f (t )dt 0, x ,
； (1) 求参数的最大似然估计量 是否具有无偏性； (2) 讨论
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例题精选-7
2013-12
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不是 的无偏估计量，修正它，并由此指出的一个无偏量估计 。 (3) 若
【解】(1) 似然函数为
L( )
i 1
n
n 2( x ) 2e i , x1 , x2 , , xn , f (xi ; ) i 1 0, 其他,
2e 2( x )， x ， f ( x; ) x ， 0，
例7、设总体X的概率密度为
mi n{X ,X , , X } 其中>0为未知参数，从总体中抽取样本X1, X2, …, Xn，记 1 2 n
(1)求总体 X 的分布函数 F(x)；
的分布函数 F ( x) ； (2)求统计量
ˆ 是的无偏估计量。 (2)证明
【解】(1)似然函数为
2 2
2
20
，所以
4 2 D( ) D(2X) 4D(X) D(X)= 。 n 5n
例6、设总体X的概率密度为
2e 2( x )， x ， f ( x; ) x ， 0，
其中>0为未知参数，从总体中抽取样本X1, X2, …, Xn，其观察值为 x1, x2, …, xn，
1 (1 ) ，求的最大似然估计 3
L( )
i 1
n
n 1 x , 0 x1 , x2 , , xn 1, f ( xi ; ) i 1 i ， 0, 其他，
n
当 0 x1 , x2 , , xn 1 时， L( ) (
故 E ( 4 X ) 4[
2 2
2
1 1 1 1 1 1 5 ( )2 2 ， 3 6 6 2 4 12 12 48
D( X ) 3n 1 2 3n 1 3n 5 E 2 ( X )] 2, n 3n n 12n
ˆ) 因为 E(




zfˆ ( z )dz
2nze
2 n ( z )
dx
1 ， 2n
不是 的无偏估计量。 所以
(3) 取

1 是的无偏估计量。 1 ) E( ) 1 ， ， 则 E( ) E( 于是即 2n 2n 2n
其中参数 (0< <1)未知, X 1 , X 2 X n 是来自总体 X 的简单随机样本, X 是样本均值
ˆ； (1)求参数 的矩估计量
(2)判断 4 X 是否为 的无偏估计量,并说明理由。
2
2
【解】(1) E ( X )


xf ( x, )dx
1 1 1 x x dx dx (1 ) . 0 2 2(1 ) 4 4 2 4
ˆ min( x1 , x2 , , xn ) ，
于是 的最大似然估计量为
ˆ min(X1 , X 2 , ,X n ) ，
(2) 设总体X的分布函数为F(x)，
x
F( x)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

1 e 2( x ) , x , f (t )dt 0, x ,
n
1 e 2 n ( z ) , z , Fmin ( z ) 1 (1 FX (( z )) 0, z , 2ne 2 n ( z ) , z , f min ( z ) Fmin ( z ) 0, z ,
n
当x1, x2, …, xn 时，L()>0，取对数，得
ln L( ) n ln 2 2 xi 2n ，
i 1
因为
d ln L( ) 2n 0 ，所以 L() 单调增加，因此 越大，L()越大。 d
但 x1, x2, …, xn，故取 的最大似然估计值为
所以 max( x1 , x2 , , xn )
1 2
1 2
1 1 =g(X1, X2, …, Xn)， min( x1 , x2 , , xn ) 的任何统计量 2 2
都是的最大似然估计量。 例 4、(1)设 X1，X2，…，Xn 是来自概率密度为
x 1 , 0 x 1, f ( x: ) 其他， 0,
i 1
n
xi n
n
， ln L( p ) n ln p (
x n) ln(1 p) ，
i 1 i
n
n d ln L( p) n 1 1 ˆ ，于是 ( xi n) 0 ，解得 p dp p 1 p i 1 x
ˆ p的最大似然估计值为 p
1 1 ˆ 。 ， p的最大似然估计量为 p x X
注意 几何分布E(X)=1/p，由矩估计(1/p)=X，即p的最大似然估计与矩估计相同。 例3 设总体X服从均匀分布，其密度函数为
1 1 1, x , f ( x) 2 2 0, 其他,
其中 为未知参数，X1, X2,…, Xn是X的一个样本，x1, x2, …, xn为样本值， 求 的最大似然估计量。 【解】似然函数为