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2024广东省广州市天河区中考一模数学试题含答案解析

2024广东省广州市天河区中考一模数学试题含答案解析

2024届初三毕业班综合测试数学本试卷共三大越25小题，共4页，满分120分．考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上，再用2B 铅笔把考号的对应数字涂黑．2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上．3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中．只有一个是正确的）1. 如图，数轴上点A 所表示的数的相反数为（ ）A. 3−B. 3C. 13−D. 13【答案】A【解析】【分析】通过识图可得点A 所表示的数为3，然后结合相反数的概念求解．【详解】解：由图可得，点A 所表示的数为3，∴数轴上点A 所表示的数的相反数为-3，故选：A ．【点睛】本题考查了数轴上的点击相反数的概念，准确识图，理解相反数的定义是解题关键． 2. 据国家统计局公布，2023年第一季度，全国居民人均可支配收入10870元．数据10870用科学记数法表示为（ ）A. 41.08710×B. 410.8710×C. 310.8710×D. 31.08710× 【答案】A【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数的一般形式为10n a ×，其中110a ≤<，n 等于原数的整数位数减1，即可得到答案．【详解】解：用科学记数法表示较大的数的一般形式为10n a ×，其中110a ≤<，n 等于原数的整数位数减1，∴410870 1.08710=×，故答案选：A ．【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．3. 下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（ ）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了常见的几何体的三视图，熟知常见几何体的三视图是解题的关键．【详解】解：A 、俯视图是三角形，主视图是长方形，左视图是长方形，中间有一条竖直实线，不符合题意；B 、俯视图是一个圆，左视图和主视图都是等腰三角形，不符合题意；C 、俯视图是一个圆，左视图和主视图都是长方形，不符合题意；D 、主视图，俯视图，左视图都是圆，符合题意；故选：D ．4. 下列运算正确的是（ ）A. ()2211m m −=−B. ()3326m m =C. 734m m m ÷=D. 257m m m +=【答案】C【解析】【分析】根据幂的运算法则，完全平方公式处理．【详解】解：A. ()22121m m m −=−+，原运算错误，本选项不合题意；B. ()3328m m =，原运算错误，本选项不合题意；C. 734m m m ÷=，符合运算法则，本选项符合题意；D. 25m m +，不能进一步运算化简，原运算错误，本选项不合题意；故选：C ．【点睛】本题考查乘法公式在整式乘法中的运用，幂的运算法则，掌握相关法则和公式是解题的关键． 5. 一组数据：3，4，4，4，5，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（ ）A. 众数B. 中位数C. 平均数D. 方差【答案】D【解析】【分析】根据众数、中位数、平均数及方差可直接进行排除选项．【详解】解：由题意得： 原中位数为4，原众数为4，原平均数为3444545x ++++==，原方差为()()()()()2222223444444454255S −+−+−+−+− =； 去掉一个数据4后的中位数为4442+=，众数为4，平均数为344544x +++==，方差为()()()()2222234444454142S −+−+−+− =；∴统计量发生变化的是方差；故选D ．【点睛】本题主要考查平均数、众数、众数及方差，熟练掌握求一组数据的平均数、众数、众数及方差是解题的关键．6. 某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x 吨，则所列方程正确的是（ ） A 75505x x =− B. 75505x x =− C. 75505x x =+ D. 75505x x =+ 【答案】B【解析】【分析】根据“大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同”即可列出方程．【详解】解：设有大货车每辆运输x 吨，则小货车每辆运输()5x −吨，则75505x x =−． 故选B【点睛】本题考查分式方程应用，理解题意准确找到等量关系是解题的关键．.的7. 下列四个函数图象中，当x <0时，函数值y 随自变量x 的增大而减小的是（ ）A. B. C. D.A. 55.5mB. 【答案】D【解析】【详解】A 、根据函数的图象可知y 随x 的增大而增大，故本选项不符合题意；B 、根据函数的图象可知在第二象限内y 随x 的增大而减增大，故本选项不符合题意；C 、根据函数的图象可知，当x ＜0时，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，故本选项不符合题意；D 、根据函数的图象可知，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小；故本选项符合题意．故选 D ．【点睛】本题考查了函数的图象，函数的增减性，熟练掌握各函数的性质是解题的关键.8. 如图，小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度，将测角仪CD 竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为1.5m ，测得教学楼的顶部A 处的仰角为30 ，则教学楼的高度是( )54m C. 19.5m D. 18m【答案】C【解析】 【分析】过D 作DE AB ⊥交AB 于E ，得到DE ，在Rt ADE △中，tan 30AE DE=o ，求出AE ，从而求出AB 【详解】过D 作DE AB ⊥交AB 于E ，DE BC ==Rt ADE △中，tan 30AE DE =o18m AE ∴= 18 1.519.5m AB ∴=+=在故选C【点睛】本题主要考查解直角三角形，能够构造出直角三角形是本题解题关键9. 如图，O 是ABC 的外接圆，且AB AC =，30BAC ∠=°，在 AB 上取点D （不与点A ，B 重合），连接BD ，AD ，则BAD ABD ∠+∠的度数是（ ）A. 60°B. 105°C. 75°D. 72°【答案】C【解析】 【分析】连接CD ，根据题意，得,BAD BCD ABD ACD ∠=∠∠=∠，结合AB AC =，30BAC ∠=°，得到180752−=°∠∠=°BAC ACB ，计算BAD ABD ∠+∠即可，本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，等腰三角形的性质是解题的关键．【详解】连接CD ，根据题意，得,BAD BCD ABD ACD ∠=∠∠=∠， ∵AB AC =，30BAC ∠=°， ∴180752−=°∠∠=°BAC ACB ， ∴75BAD ABD BCD ACD ACB ∠+∠=∠+∠=∠=°,故选C ．．10. 如图，M 是ABC 三条角平分线的交点，过M 作DE AM ⊥，分别交AB 、AC 于点D 、E 两点，设BD a =，DE b =，CE c =，关于x 的方程()210ax b x c +++=的根的情况是（ ）A. 一定有两个相等的实数根B. 一定有两个不相等的实数根C. 有两个实数根，但无法确定是否相等D. 没有实数根【答案】B【解析】 【分析】M 是ABC 三条角平分线的交点，过M 作DE AM ⊥，则得出BDM MEC BMC ∠=∠=∠，即可得出DBM MBC ∽，再求出BMC MEC ∽，DBM EMC ∽，即可得出：214ac b =，即可求解． 【详解】AM 平分BAC ∠，DE AM ⊥， ADM AEM ∴∠=∠，1122MDME DE b ===， 1902BDM MEC BAC ∴∠=∠=°+∠， 1902BMC BAC ∴∠=°+∠， BDM MEC BMC ∴∠=∠=∠，M 是ABC 的内角平分线的交点，∴DBM MBC ∽，同理可得出：BMC MEC ∽，∴DBM EMC ∽， ∴BD MD ME CE=， BD EC MD ME ∴⋅=⋅，即：214ac b =， ∴222(1)421210b ac b b b b ∆=+−=++−=+>，∴关于x 的方程2(1)0ax b x c +++=的根的情况是：一定有两个不相等的实数根．故选：B ．【点睛】此题主要考查了根的判别式，相似三角形的判定与性质，根据已知得出BDM MEC BMC ∠=∠=∠是解题关键．二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11. 方程420x +=的解为______．【答案】2x =−【解析】【分析】根据解方程的基本步骤解答即可，本题考查了解方程的基本步骤，熟练掌握步骤是解题的关键．【详解】420x +=，24x =−，解得2x =−，故答案为：2x =−．12. 因式分解：x 2﹣3x=_____．【答案】x （x ﹣3）【解析】【详解】试题分析：提取公因式x 即可，即x 2﹣3x=x （x ﹣3）． 考点：因式分解.13. 现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》人物卡片,正面朝下放置在桌面上,从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回,洗匀后再抽.通过多次试验后,发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为____.【答案】15【解析】【详解】因为通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3，则这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数=0.3×50=15(张).所以估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为15张．故答案为15.14. 已知()1,1P x ，()2,1Q x 两点都在抛物线231y x x =−+上，那么12x x +=________．【答案】3【解析】【分析】根据题意可得点P 和点Q 关于抛物线的对称轴对称，求出函数的对称轴即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得：抛物线的对称轴为直线：33222b x a −=−=−=， ∵()1,1P x ，()2,1Q x ， ∴12322x x +=， ∴123x x +=． 故答案为：3．【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意，找到P 、Q 两点关于对称轴对称求解． 15. 如图，平面直角坐标系中，A 与x 轴相切于点B ，作直径BC ，函数()200yx x=>的图象经过点C ，D 为y 轴上任意一点，则ACD 的面积为_______．【答案】5【解析】【分析】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，切线的性质；根据反比例函数系数k 的几何意义可得20OB BC ⋅=，由切线的性质可得BC x ⊥轴，再根据三角形的面积公式列式求解即可．【详解】解：∵点C 在函数()200y x x=>的图象上， ∴20OB BC ⋅=，∵A 与x 轴相切于点B ，∴BC x ⊥轴，∴BC y ∥轴， ∴111205244ACD S AC OB BC OB =???， 故答案为：5．16. 如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，点E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，且90AFE ∠=°．（1）当5BF =时，tan FEC ∠=______； （2）当AED ∠最大时，DE 的长为_______．【答案】 ①.65 ②. 103##133 【解析】【分析】（1）证明90AFB EFC FEC ∠=°−∠=∠，利用tan tan AFB FEC ∠=∠计算即可； （2）当BC 与O 相切时，AFD ∠的值最大，此时， AED ∠也最大，利用三角形相似计算即可．【详解】（1）∵矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，∴90,90ABF FCE °°∠=∠=∵90AFE ∠=°，∴90AFB EFC FEC ∠=°−∠=∠，∴6tan tan 5AB AFB FEC BF ∠=∠==， 故答案为：65． （2）如图，取AE 的中点O ，连接,,OD OF DF ．∵矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，∴90ADE ∠=°，∵90AFE ∠=°，∴A 、D 、E 、F 四点共圆，∴AED AFD ∠=，∴当BC 与O 相切时，AFD ∠的值最大，此时， AED ∠也最大，∴OF BC ⊥，∵矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，∴90ADE ABF ∠=∠=°，∴OF AB EC ， ∴EO CF OA BF =， ∴142BF CF BC ===， ∵90AFE ∠=°，∵矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，∴90,90ABF FCE °°∠=∠=∵90AFE ∠=°，∴90AFB EFC FEC ∠=°−∠=∠，∴AFB FEC ∽△△， ∴BF AB EC FC =， ∴464EC =， ∴83EC =， ∴810633DE CD EC =−=−=， 故答案为：103． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正切函数，三角形相似的判定和性质，切线的性质，四点共圆，圆周角定理，熟练掌握正切函数，切线性质，四点共圆是解题的关键．三、解答题（本大题有9小题，共7分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）17. 解不等式：6327x x −>−．【答案】1x −＞【解析】【分析】按照解不等式的基本步骤解答即可．本题考查了解不等式，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键．【详解】6327x x −−＞，移项，得6237x x −−＞合并同类项，得44x −＞，系数化为1，得1x −＞．18. 如图，四边形ABCD 中，AB DC =，AB DC ，E ，F 是对角线AC 上两点，且AE CF =．求证：ABE CDF △≌△．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据AB DC 得BAE DCF ∠=∠，证明即可．【详解】∵AB DC ，∴BAE DCF ∠=∠，在ABE 和CDF 中AB DC BAE DCF AE CF = ∠=∠ =∴ABE CDF △≌△．19. 为打造书香文化，培养阅读习惯，某中学计划在各班建设图书角，并开展主题为“我最喜欢阅读的书篇”的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A ：科技类，B ：文学类，C ：政史类，D ：艺术类，E ：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分同学进行了问卷调查．根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．根据图中信息，请回答下列问题：（1）填空：参与本次问卷调查活动的学生人数是______；（2）甲同学从A ，B ，C 三类书籍中随机选择一种，乙同学从B ，C ，D 三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．【答案】（1）50 （2）29【解析】【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量后，计算解答．（2）利用画树状图计算即可．本题考查了条形统计图、扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，准确画树状图是解题的关键．【小问1详解】∵4?8%50÷=(人)，故答案为：50．【小问2详解】画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中抽到相同类有2种可能的结果，∴相同的概率为：29． 20. 已知关于x 的函数()31111m m y x m m m +=+≠−++图象经过点()1,A m n −． （1）用含m 的代数式表示n ；（2）当m =k y x=的图象也经过点A ，求k 的值． 【答案】（1）1nm =+ （2）4【解析】【分析】（1）把点的坐标代入解析式，化简计算即可；（2）当m =)1A +，代入解析式，计算即可． 本题本题考查了反比例函数与点的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．【小问1详解】 解：根据题意，得()()213111111m m m n m m m m m ++=×−+==++++． 【小问2详解】解：当m =时，此时点)1A −+，故)11514k =+=−=． 21. 如图，在ABC 中，90ABC ∠=°，60A ∠=°，3AB =．（1）尺规作图：在BC 上找一点P ，作P 与AC ，AB 都相切，与AC 的切点为Q ；（保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，连接BQ ，求sin CBQ ∠的值．【答案】（1）见解析 （2）1sin 2CBQ ∠= 【解析】【分析】（1）结合切线的判定与性质，作BAC ∠的平分线，交BC 于点P ，以点P 为圆心，PB 的长为半径画圆即可．（2）由题意可得Rt Rt ABP AQP △≌△，则AB AQ =，可得ABQ 为等边三角形，即60ABQ ∠=°，则30CBQ ∠=°，进而可得答案．【小问1详解】解：如图，作BAC ∠的平分线，交BC 于点P ，以点P 为圆心，PB 的长为半径画圆，交AC 于点Q ， 则P 即为所求．；【小问2详解】解：由（1）可得，BP PQ =，PQ AC ⊥，90AQP ∴∠=°，AP AP = ，()Rt Rt HL ABP AQP ∴ ≌，AB AQ ∴=，60BAC ∠=° ，ABQ ∴ 为等边三角形，60ABQ ∴∠=°，30CBQ ∴∠=°，1sin sin 302CBQ ∴∠=°=． 【点睛】本题考查作图—复杂作图、切线的判定与性质、等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．22. 如图是气象台某天发布的某地区气象信息，预报了次日0时至8时气温随着时间变化情况，其中0时至5时的图象满足一次函数关系式y kx b =+，5时至8时的图象满足函数关系式21660y x x =−+−．请根据图中信息，解答下列问题：（1）填空：次日0时到8时的最低气温是______；（2）求一次函数y kx b =+解析式； （3）某种植物在气温0℃以下持续时间超过4小时，即遭到霜冻灾害，需采取预防措施．请判断次日是否的需要采取防霜措施，并说明理由．【答案】（1）5−℃（2）835y x =−+ （3）需要采取防霜措施，见解析【解析】【分析】（1）根据题意，当5x =时，函数最小值，代入解析式21660y x x =−+−计算即可．（2）把()()0,3,5,5−分别代入y kx b =+中，计算即可； （3）令0y kx b =+=，216600y x x =−+−=，计算交点坐标的横坐标的差，对照标准判断即可． 本题考查了待定系数法，图象信息识读，图象与x 轴交点坐标的计算，熟练掌握待定系数法，交点坐标的计算是解题的关键．【小问1详解】根据题意，当5x =时，函数有最小值，代入解析式21660y x x =−+−得，2580605y =−+−=−，故答案为：5−℃．【小问2详解】把()()0,3,5,5−分别代入y kx b =+中， 得553k b b +=− = ， 解得853k b =− = ， ∴835y x =−+． 【小问3详解】 令0835y x =−+=， 解得158x =； 令216600y x x =−+−=，解得126,10x x ==（舍去）， 故()156 4.125h 8−=， ∵4.1254＞∴遭到霜冻灾害，故需要采取防霜措施．23. 在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图MN 为一凸透镜，F 是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛AB ，透过透镜后呈的像为CD ．光路图如图所示：经过焦点的光线AE ，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线AO 汇聚于C 点．（1）若焦距4OF =，物距6OB =．小蜡烛高度1AB =，求蜡烛的像CD 的长度；（2）设OB x OF =，AB y CD=，求y 关于x 的函数关系式，并通过计算说明当物距大于2倍焦距时，呈缩小的像．【答案】（1）2米 （2）1y x =−，说明见解析【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，平行四边形的性质与判定；（1）先证明ABF EOF ∽，利用相似三角形的性质得到2OE =，再证明四边形OECD 是平行四边形，可得2CD OE ==米；（2）由（1）得ABF EOF ∽，2CD OE ==，则AB OB OF CD OF −=，据此可得1y x =−，当2OB OF>，即2x >时，11y x =−>，据此可得结论． 【小问1详解】解：由题意得，AB OE ∥，∴ABF EOF ∽， ∴AB BF OE OF =，即1644OE −=， ∴2OE =，∵OE CD CE OD ∥，∥，的∴四边形OECD 是平行四边形，∴2CD OE ==米，∴蜡烛的像CD 的长度为2米；【小问2详解】解：由（1）得ABF EOF ∽，2CD OE == ∴AB BF OE OF =，即AB OB OF CD OF−=， ∴1y x =−， 当2OB OF >，即2x >时，11y x =−>， ∴1AB CD>，即AB CD >， ∴物高大于像高，即呈缩小的像．24. 矩形ABCD 中，4AB =，8BC =．（1）如图1，矩形的对角线AC ，BD 相交于点O ．①求证：A ，B ，C ，D 四个点在以O 为圆心的同一个圆上；②在O 的劣弧AD 上取一点E ，使得AE AB =，连接DE ，求AED △的面积．（2）如图2，点P 是该矩形的边AD 上一动点，若四边形ABCP 与四边形GHCP 关于直线PC 对称，连接GD ，HD ，求GDH 面积的最小值．【答案】（1）①见解析；②485（2）8【解析】【分析】（1）①根据矩形的性质，得到90ABC ∠=°，得到点A ，B ，C 在以O 为圆心，OA 为半径的圆上，根据矩形的性质，得OA OB OC OD ===，判定点D 在以O 为圆心的同一个圆上，继而得到四点共圆；②过点E 作在EG AD ⊥于点D ，根据AE AB =，得到ADE ADB ∠=∠，结合4AE AB ==，8BC =，得到1tan tan 2AB EG ADE ADB BC GD ∠=∠===，设2EG x GD x ==，，则82AG AD GD x =−=−，利用勾股定理计算x ，利用面积公式解答即可．（2）根据折叠的性质，得到8,4,90CB CH BA HG CHG ====∠=°，根据CH CD DH ≤+，得到4DH CH CD −=≥，当点C ，D ，H 三点共线时，4DH =最小，此时GDH 面积的为1144822GH DH ×=××=，最小． 【小问1详解】①∵矩形ABCD ，∴90ABC ∠=°，OA OB OC OD ===，∴点A ，B ，C 在以O 为圆心，OA 为半径的圆上，∵OA OB OC OD ===，∴点D 在以O 为圆心的同一个圆上，故A ，B ，C ，D 四个点在以O 为圆心的同一个圆上；②如图，过点E 作在EG AD ⊥于点D ，∵AE AB =，∴ADE ADB ∠=∠，∵4AE AB ==，8BC =， ∴1tan tan 2AB EG ADE ADB BC GD ∠=∠===， 设2EG x GD x ==，，则82AG AD GD x =−=−， ∴()228216x x −+=， 解得12,45x x ==（舍去）， ∴AED △的面积112488255××=． 【小问2详解】根据折叠的性质，得到8,4,90CB CH BA HG CHG ====∠=°， ∵CH CD DH ≤+，∴4DH CH CD −=≥，∴当点C ，D ，H 三点共线时，4DH =最小，此时GDH 面积的为1144822GH DH ×=××=，最小．【点睛】本题考查了矩形的性质，构造辅助圆，正切函数，勾股定理，三角形不等式，熟练掌握正切函数，辅助圆，勾股定理，三角形不等式是解题的关键．25. 已知抛物线()21:1C y a x h =−−，直线()2:1l y k x h =−−，其中02a ≤＜，0k >． （1）求证：直线l 与抛物线C 至少有一个交点；（2）若抛物线C 与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点，其中12x x <，且121033x x <+<，求当1a =时，抛物线C 存在两个横坐标为整数的顶点；（3）若在直线l 下方的抛物线C 上至少存在两个横坐标为整数的点，求k 的取值范围．【答案】（1）见解析 （2）()()1,1,2,1−−（3）4k ＞【解析】【分析】（1）联立()()211y a x h y k x h =−− =−− ，解方程，判断方程的解得个数即可解答；（2）根据1a =时，()21:1C y x h =−−，结合抛物线C 与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点，结合12x x <，则12,11x h x h ==+−，且121033x x <+<，求得11124h <<，确定h 的整数解有1,2两个，得证．（3）根据题意，得当2x h =+时，21y y ＞恒成立．建立不等式解答即可．本题考查了抛物线与一次函数的综合，不等式组的解集与整数解，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．【小问1详解】联立()()211y a x h y k x h =−− =−−， 解方程，得,ah k x h x a+==， 当x h =时，1y =−，即直线与抛物线恒过点(),1h −，故直线l 与抛物线C 至少有一个交点．【小问2详解】当1a =时，()21:1C y x h =−−，∵抛物线C 与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点， ∴1x h −=±，∵12x x <， ∴12,11x hx h ==+−， ∵121033x x <+<， ∴420333h <−< 解得11124h <<， ∵h 时整数，∴1,2h h ==， 故抛物线C 存在两个横坐标为整数的顶点，且顶点坐标为()()1,1,2,1−−．【小问3详解】．∵如图所示：由（1）可知：抛物线C 与直线l 都过点(),1A h −．当02a ≤＜，0k >，在直线l 下方的抛物线C 上至少存在两个横坐标为整数点， 即当2x h =+时，21y y ＞恒成立．故()()22121k h h a h h +−−+−−＞，整理得：2k a ＞．又∵2k a ＞，∴024a ＜＜，∴4k ＞．。

2024年广东省广州市花都区初三一模数学试题含答案解析

2024年广东省广州市花都区初三一模数学试题含答案解析

2024年广东省广州市花都区中考一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．-2的倒数是（）A．-2B．12-C．12D．22．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题主要考查了中心对称图形，解答本题的关键是掌握中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义逐项判断即可．【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180︒后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180︒后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：D ．3．数学上一般把n a a a a a ⋅⋅⋅⋅ 个记为（ ）A ．na B ．n a +C ．na D ．a n 【答案】A【分析】根据乘方的意义解答即可．【详解】解：数学上一般把n a a a a a ⋅⋅⋅⋅ 个记为n a ．故选A ．【点睛】本题考查了乘方的意义，一般地，n 个相同的因数a 相乘，即...a a a a ⋅⋅⋅计作n a ，这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数．4．下列计算正确的是（ ）A ．()232639ab a b =B ．236a a a ⋅=C ．523a a -=D ．()222ab a b +=+【答案】A【分析】本题考查实数的运算，利用积的乘方法则，同底数幂乘法法则，合并同类项法则及完全平方公式逐项判断即可．熟练掌握相关运算法则是解题的关键．【详解】解：A 、()232639ab a b =，则A 符合题意；B 、235a a a ⋅=，则B 不符合题意；C 、523a a a -=，则C 不符合题意；D 、()2222a b a b ab +=++，则D 不符合题意；故选：A ．5．已知a ，b 两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．a b>B ．0a b ->C ．0a b -<D ．0ab <6．如图，已知：四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点， 的半径为1，P是O上的点，且位于右上方的小正方形内，则APBO∠等于（）A．30︒B．45︒C．60︒D．90︒7．一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小，b<0，则这个函数的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【分析】先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再由一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．【详解】解：∵一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小，∴k＜0．∵b<0，∴此函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．故选：A．【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．8．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，下列结论：①OA＝OC；②∠BAD ＝∠BCD；③AC⊥BD；④∠BAD＋∠ABC＝180°中，正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【详解】试题分析：根据平行四边形的性质依次分析各选项即可作出判断.∵平行四边形ABCD∴OA＝OC，∠BAD＝∠BCD，∠BAD＋∠ABC＝180°，但无法得到AC⊥BD故选C.考点：平行四边形的性质点评：平行四边形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.AC=米，则坡面AB的长度是9．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡度i=30（）A．B．30米C．米D．10米10．已知关于x 的一元二次方程()22110k k x x -++=有两个实数根1x ，2x ，且满足()()12112x x ++=，则k 的值是（ ）A ．1k =-B ．1k =C ．2k =-D ．1k =或2k =-二、填空题11有意义，则a 的值可以是 ．（写出一个即可）【答案】3（答案不唯一）【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据被开方数不小于零的条件进行解题即可．掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键．【详解】解：由题意可知-≥a30a≤解得3故答案为：3（答案不唯一）12．因式分解：2218x-= ．【答案】2（x+3）（x﹣3）【分析】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可．【详解】2218x-=2（x2-9）=2（x+3）（x-3）．故答案为：2（x+3）（x﹣3）【点睛】考点：因式分解．13．某校九年级（1）班对全班50名学生进行了“一周（按7天计算）做家务劳动时间（单位：小时）”的统计，并整理成频率分布表如下：一周做家务劳动时间（单位：小时）012345频率0.10.10.20.30.20.1①该班学生一周做家务劳动时间为3小时的有名同学；②该班学生一周做家务劳动时间的中位数为小时．【答案】15 3【分析】本题考查了频数分布表的知识，解题的关键是能够读懂统计表并从中整理出进一步解题的有关信息．（1）根据频率=频数÷总数，可求出一周做家务劳动时间为3小时的学生数量；（2）根据中位数的定义把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，即可求出答案．【详解】解：（1）0.35015÷=（名)，故答案为：15．（2）根据题意可知共50人，其中第25和第26人的平均数是中位数，将数据从小到大排列，第25个和第26个为3、3，+÷=，所以这组数据的中位数为：(33)23故答案为：3．14．如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A 在数轴上表示的数是2-，则点B 在数轴上表示的数是 ．15．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高A O ＝8米，母线AB 与底面半径O B 的夹角为α，tanα＝43，则圆锥的底面积是 平方米．(结果保留π)16．如图，在Rt ABC △中，AC BC =，90ACB ∠=︒，O 为斜边AB 的中点，P 为ABC 形外一点，60BPC ∠=︒，①若2AC =，则OC = ；②若PB =PO =PC 的值为 ．∵AC BC =，ACB ∠∴222AB AC ==∵O 为斜边AB 的中点，∴OC AB ⊥，12OC =故答案为：2；（2）∵OC AB ⊥，OC则：63,BP CP OP OP '===∴2214PP OP OP ''=+=，∵90,60COB CPB ∠=︒∠=︒，∴36090OCP OBP ∠+∠=︒-︒∴36090OCP OCP '∠+∠=︒-︒三、解答题17．解不等式组：()31512x x x x ⎧-+≤⎪⎨>-⎪⎩【答案】23x -<≤【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18．如图，在正方形ABCD 中，CE ⊥DF ．若CE=10cm ，求DF 的长．【答案】10cm【分析】先根据条件判定两三角形全等，再对应三角形全等条件求解．【详解】解：∵CE ⊥DF ，∴∠CDF+∠DCE=90°，又∵∠DCB=∠DCE+∠BCE=90°，∴∠CDF=∠BCE ，在正方形ABCD 中又∵BC=CD ，∠EBC=∠FCD=90°，∴△BCE ≌△CDF （ASA ），∴CE=DF ，∵CE=10cm ，∴DF=10cm ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，正方形对的性质，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，再对应三角形全等条件求解．19．为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动，根据活动要求，每班需要2名宣传员，某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员．(1)“甲、乙同学都被选为宣传员”是_______事件：（填“必然”、“不可能”或“随机”）(2)请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲，丁的结果数为所以选中的两名同学恰好是甲，丁的概率2 12 ==【点睛】本题考查的是事件的含义，利用画树状图求解随机事件的概率，20．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，全书共收集了246个数学问题，分为九章，内容涵盖了算术、代数、几何等多个领域．其中记录的一道题译为现代文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，求规定时间是多少天．经检验：7x =是原方程的解，且符合题意，答：规定时间是7天．21．已知224442a a T a a ⎛⎫+-=-÷ ⎪+⎝⎭(1)化简T ．(2)若a 为二次函数2245y x x =-+的最小值，求此时的T 值．22．数学中的轴对称就像镜子一样，可以展现出图形对称的美，初中常见的轴对称图形有：等腰三角形、菱形、圆等．如图，在等腰ABC 中，AB BC =．(1)尺规作图：作ABC 关于直线AC 对称的ADC △（保留作图痕迹，不写作法）；(2)连接BD ，交AC 于点O ，若2BD =，四边形ABCD 周长为ABCD 的面积．由作图可知：AD CD ==∵AB BC=∴AD CD AB BC===∴四边形ABCD 为菱形，∵ABC 与ADC △关于直线∴AC BD ⊥，OB OD =，∴112122OB BD ==⨯=，由（1）知四边形ABCD 为菱形，23．如图，Rt ABO △中，90∠=︒ABO ，2AB =，反比例函数8y x=-的图象经过点A ．(1)求点A 的坐标．(2)直线CD 垂直平分AO ，交AO 于点C ，交y 轴于点D ，交x 轴于点E ，求线段OE 的长．24．已知抛物线：()230y x bx a =+-≠的对称轴是直线1x =，与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 左侧），与y 轴交于C 点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D 在线段BC 上，且CD =，求sin CAD ∠的值；(3)抛物线向右平移m 个单位（1m >），平移后A 、B 的对应点分别是1A 、1B ，点E 在y 轴的负半轴上，且以点O 、1A 、E 为顶点的三角形与OAC 相似．点F 是平移后的抛物线上的一点，若四边形11A EFB 是平行四边形，求m 的值．∴212DG CG CD ===， ∴()1,2D -，∴()231422BD =-+=，AD ∴222BD AD AB +=，∴90ADB ADC ∠=∠=︒，25．【读一读】一般地，学习几何要从作图开始，再观察图形，根据图形的某一类共同特征对图形进行分类（即给一类图形下定义——定义概念便于归类、交流与表达），然后继续研究图形的其它特征、判定方法以及图形的组合、图形之间的关系、图形的计算等问题．课本里对三角形、四边形的研究即遵循着上面的思路．【算一算】当然，在学习几何的不同阶段，可能研究的是几何的部分问题．比如有下面的问题，请你研究．如图，在ABC 中，AB AC =，点M 、N 分别为边AB 、BC 的中点，连接MN ．(1)如图1，若90BAC ∠=︒，BC =BMN 绕点B 顺时针旋转α（α为锐角），得到BEF △，当点A 、E 、F 在同一直线上时，AE 与BC 相交于点D ，连接CF 、ME ．①填空：BMN ∠=______（填度数），BME 是______三角形（填类别）；②求CD 的长．(2)如图2，若90BAC ∠<︒，将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，连接AE 、CF ．当旋转角α满足0360α︒<<︒，点C 、E 、F 在同一直线上时，利用所提供的图2和备用图探究BAE ∠与ABF ∠的数量关系，并说明理由．∴∠=∠，设∠ABC ACB的中位线，是ABCMN∴ ，MN AC∴∠=∠=，MNB MBNθ将BMN绕点B顺时针旋转∠∴△≌△，MBEEBF MBN∴∠=∠=，EBF EFBθ1802BEF θ∴∠=︒-，点C ，E ，F 在同一直线上，2BEC θ∴∠=，180BEC BAC ∴∠+∠=︒，A ∴，B ，E ，C 在同一个圆上，EAC EBC αθ∴∠=∠=-，(1802)()180BAE BAC EAC θαθαθ∴∠=∠-∠=︒---=︒--，ABF αθ∠=+ ，180BAE ABF ∴∠+∠=︒，如图所示，当F 在EC 上时，BEF BAC ∠=∠ ，BC BC =，A ∴，B ，E ，C 在同一个圆上，设ABC ACB θ∠=∠=，则1802BAC BEF θ∠=∠=︒-，将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，设NBF β∠=，则EBM β∠=，则360αβ+=︒，ABF θβ∴∠=-，BFE EBF θ∠=∠= ，EFB FBC FCB ∠=∠+∠，ECB FCB EFB FBC θβ∴∠=∠=∠-∠=-，EBEB =，EAB ECB θβ∴∠=∠=-，BAE ABF ∴∠=∠，综上所述，BAE ABF ∠=∠或180BAE ABF ∠∠=+︒．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，中位线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．。

2024年广东省广州市黄埔区初三一模数学试题含答案解析

2024年广东省广州市黄埔区初三一模数学试题含答案解析

2024年广东省广州市黄埔区中考一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各数为无理数的是（）A．3B．3.14C．D．23 72．如图表示互为相反数的两个点是（）A．点A与点B B．点A与点D C．点C与点B D．点C与点D【答案】B【分析】根据一个数的相反数定义求解即可．【详解】解：在-3，-1,2,3中，3和-3互为相反数，则点A与点D表示互为相反数的两个点．故选：B．【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．3．12位参加歌唱比赛的同学的成绩各不相同，按成绩取前6位进入决赛．如果小尹知道了自己的成绩后，要判断自己能否进入决赛，他还要知道这12位同学成绩的（）A．平均数B．众数C．方差D．中位数【答案】D【分析】参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩与全部成绩的中位数的大小即可．【详解】由于总共有12个人，且他们的分数互不相同，要判断是否进入前6名，只要把自己的成绩与中位数进行大小比较.故应知道中位数的多少.故选D.【点睛】此题考查统计量的选择，解题关键在于掌握中位数的意义.4．下列运算正确的是（ ）A =B ．=C ．5=D =5．分式方程213x x =-的解是（ ）A ．3x =B ．3x =-C ．1x =D ．0x =∴分式方程的解为3x =-，故选：B ．6．在ABCD Y 中，对角线AC 、BD 交于点O ，若5AD =，10AC =，6BD =，BOC 的周长为（ ）A ．13B ．16C ．18D ．21【答案】A 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，利用平行四边形的性质对角线互相平分，进而得出BO ，CO 的长，即可得出BOC 的周长．【详解】解：∵ABCD Y 的两条对角线交于点O ，10AC =，6BD =，5AD =，∴3BO DO ==，5AO CO ==，5BC AD ==，∴BOC 的周长为：35313BO CO BC ++=++=．故选：A ．7．如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，10AB =，8AC =，E 是AC 上的一点，ED AB ⊥，垂足为D ，若4=AD ，则BE 的长为（ ）A ．B ．C ．185D ．38．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点C 与原点O 重合，点B 在y 轴的正半轴上，点A 在反比例函数()0k y x x=>的图象上，点D 的坐标为()4,3，将菱形ABCD 向右平移m 个单位，使点D 刚好落在反比例函数()0k y x x =>的图象上，则m 的值为（ ）A ．5B ．6C ．203D ．323【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，勾股定理，菱形的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．过D 作DF x ⊥轴于点F ，利用勾股定理求出菱形的边长，再求出A 的坐标后，代入反比例函数解析式求出k 的值，利用平移的性质得到点D 的坐标后，代入反比例函数解析式中运算求解即可．【详解】解：过D 作DF x ⊥轴于点F ，如图所示：∴90DFO ∠=︒，∵D 点的坐标为()4,3，∴3DF =，4OF =，∴222234OD DF OF =+=+9．如图，在塔前的平地上选择一点，由A 点看塔顶的仰角是α，在A 点和塔之间选择一点B ，由B 点看塔顶的仰角是β．若测量者的眼睛距离地面的高度为1.5m ，9m AB =，45α=︒，50β=︒，则塔的高度大约为（ ）m ．（参考数据：sin 500.8︒≈，tan50 1.2︒≈）A ．55.5B ．54C ．46.5D ．45∴9CD AB ==，EF AC =∵45GCE α∠==︒，∴设GE EC x ==，则ED ∴tan tan GE GDE ED β∠=∠=解得：54x =，10．已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠，1c >），经过点()2,0，其对称轴是直线12x =．则下列结论：①0abc <；②关于x 的方程2ax bx c a ++=无实数根；③当0x >时，y 随x 增大而减小；④0a b +=.其中正确的结论有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题112x 应满足的条件是 ．【答案】4x ≥-【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟悉掌握二次根式的概念是解题的关键．根据二次根式有意义的概念运算求解即可．【详解】解：∵40x +≥，∴4x ≥-，故答案为：4x ≥-．12．因式分解34a a -=．【答案】()()2121a a a +-【分析】先提公因式，然后再用平方差公式分解因式．【详解】解：()()()324412121a a a a a a a -=-=+-．故答案为：()()2121a a a +-．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，准确计算．13．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ADC ＝60°，∠B ＝30°，若CD ＝3cm ，则BD ＝ cm ．【答案】6【分析】根据30°直角三角形的比例关系求出AD,再根据外角定理证明∠DAB=∠B,即可得出BD=AD ．【详解】∵∠B ＝30°，∠ADC ＝60°，∴∠BAD ＝∠ADC ﹣∠B ＝30°，∴AD ＝BD ，∵∠C ＝90°，∴∠CAD ＝30°，∴BD ＝AC ＝2CD ＝6cm ，故答案为：6．【点睛】本题考查30°直角三角形的性质、三角形的外角性质，关键在于熟练掌握基础知识并灵活运用．14．关于x 的一元二次方程()21230k x x --+=有实数根，则k 的取值范围是 ．15．如图，ABCD Y 绕点A 逆时针旋转30︒，得到AB C D ''' （点B '与点B 是对应点，点C '与点C 是对应点，点D ¢与点D 是对应点），点B '恰好落在BC 边上，则C ∠的度数为 ︒．【答案】105【分析】由旋转的性质可知，30BAB '∠=︒，AB AB '=，再根据等腰三角形点性质及三角形内角和定理，得到75B ∠=︒，然后根据平行四边形和平行线的性质，即可求出C ∠的度数．【详解】解：由旋转的性质可知，30BAB '∠=︒，AB AB '=，B AB B '∴∠=∠，180BAB B AB B ''∠+∠+∠=︒ ，75B ∴∠=︒，ABCD ，AB CD ∴∥，180B C ∠+∠=︒∴，105C ∴∠=︒，故答案为：105．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形点性质，三角形内角和定理，平行四边形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．16．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，F 是AD 边上的一个动点，连接EF ，将AEF △沿EF 折叠得HEF ，若延长FH 交边BC 于点M ，则DH 的取值范围 ．三、解答题17．解方程：x 2+6x+5=0．【答案】x 1=-1，x 2=-5【分析】方程利用因式分解法求出解即可．【详解】x 2+6x+5=0 (x+1)(x+5)=0∴x+1=0或x+5=0∴x 1=-1．x 2=-5【点睛】此题考查了解一元二次方程−−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18．如图，在四边形ABCD 中，BD 平分ADC ∠和ABC ∠．求证：AD CD =，AB CB =．【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，由角平分线的定义得到ADB CDB ABD CBD ==∠∠，∠∠，进而利用ASA 证明ABD CBD ≌△△，据此可证明AD CD =，AB CB =．【详解】证明：∵BD 平分ADC ∠和ABC ∠，∴ADB CDB ABD CBD ==∠∠，∠∠，又∵BD BD =，∴()ASA ABD CBD △△≌，∴AD CD =，AB CB =．19．已知2111a T a a =--+．(1)化简T ；(2)已知反比例函数y =的图象经过点()1,1A a a -+，求T 的值．20．“2023广州黄埔马拉松”比赛当天，某校玩转数学小组针对其中一个项目“半程马拉松”（21.0975公里）进行调查．(1)为估算本次参加“半程马拉松”的人数，调查如下：调查总人数2050100200500参加“半程马拉松”人数7173158150参加“半程马拉松”频率0.350.340.310.290.30已知共有20000人参与“2023广州黄埔马拉松”比赛，请估算本次赛事中，参加“半程马拉松”项目的人数约为______人；(2)本赛事某岗位还需要2名志愿者参与服务工作，共有4人参加了志愿者遴选，其中初中生2名，高中生1名，大学生1名，请利用画树状图或列表的方法，求恰好录取2名初中生志愿者的概率．21．某文具店准备购进甲、乙两种圆规，若购进甲种圆规10个，乙种圆规30个，需要340元；若购进甲种圆规30个，乙种圆规50个，需要700元．(1)求购进甲、乙两种圆规的单价各是多少元；(2)文具店购进甲、乙两种圆规共100个，每个甲种圆规的售价为15元，每个乙种圆规的售价为12元，销售这两种圆规的总利润不低于480元，那么这个文具店至少购进甲种圆规多少个？【答案】(1)购进甲圆规每个需要10元，乙圆规每个需要8元(2)这个文具店至少购进甲种圆规80个【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，解题的关键是：（1）设购进甲圆规每个需要x 元，乙圆规每个需要y 元，根据“若购进甲种圆规10个，乙种圆规30个，需要340元；若购进甲种圆规30个，乙种圆规50个，需要700元”，可列关于x 、y 的二元一次方程组，求解即可；（2）设购进甲圆规m 个，则购进乙圆规()100m -个，根据“销售这两种圆规的总利润不低于480元”列出关于m 的不等式，求解即可．【详解】（1）解：设购进甲圆规每个需要x 元，乙圆规每个需要y 元，根据题意，得10303403050700x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得108x y =⎧⎨=⎩，答：购进甲圆规每个需要10元，乙圆规每个需要8元；（2）解：设购进甲圆规m 个，则购进乙圆规()100m -个，根据题意，得()()()1510128100480m m -+--≥，解得80m ≥，答：这个文具店至少购进甲种圆规80个．22．如图，二次函数()()()1304y x a x a a =-+->的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点E ．(1)尺规作图：作抛物线的对称轴，交x 轴于点D ，并标记抛物线的顶点C ，连接AE ，且AE 与对称轴相交于点F ；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）所作的图形中，若2AO OE =，求CAD ∠的大小及AF 的值．（2）解：把0x =代入∴234OE a =，把0y =代入(14y x =-+23．如图，ABC 内接于O ，AB AC =，CO 的延长线交AB 于点D ．(1)求证：AO 平分BAC ∠；(2)若12BC =，3sin 5BAC ∠=，求AC 和CD 的长．∵AB AC =，OB OC =∴A ，O 在线段BC 的垂直平分线上，∴AH BC ⊥，又∵AB AC =，∴AO 平分BAC ∠；∴CE 是O 的直径，∴90EBC ∠=︒，BC ⊥∵ BCBC =∴E BAC ∠=∠，【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的性质及判定，三角函数等知识点，合理作出辅助线是解题的关键．24．如图，在矩形ABCD 和矩形AGFE 中，4=AD ，2AE =，AB =,AG ．矩形AGFE 绕着点A 旋转，连接BG ，CF ，AC ，AF ．(1)求证：ABG ACF ∽；(2)当CE 的长度最大时，①求BG 的长度；②在ACF △内是否存在一点P ，使得CP AP ++的值最小?若存在，求CP AP +的最小值；若不存在，请说明理由．此时AC AE CE +=，90CEF ∠=︒①∵4=AD ，343AB AD ==，∴228AC AB BC =+=，BAC ∠=由旋转可得：30PAF KAL FAK ∠=∠=︒-∠，∴AKL APF ∽，∴3KL AK PF AP==，∴3KL PF =,过P 作PS AK ⊥于S ，则 12PS AP =，32AS AP =3PS25．已知二次函数22y ax ax c =++图象与x 轴交于点A 和点()3,0B -，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求点A 的坐标；(2)若点D 是直线BC 上方的抛物线上的一点，过点D 作DE y ∥轴交射线AC 于点E ，过点D作DF BC ⊥于点F ，求DE -的最大值及此时点D 坐标；(3)在（2）的条件下，若点P ，Q 为x 轴下方的抛物线上的两个动点，并且这两个点满足90PBQ ∠=︒，试求点D 到直线PQ 的最大距离．（3）解：设()223P s s s Q --+，，设直线PB 解析式为y k x b ''=+，∴22330sk b s s k b ⎧+=--+⎨-+=''''⎩，∴()()2312333s s s s k s s -+---+==++'∴直线PB 解析式为()1y s x =-++【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，解（三角形得到2=，解（3）的关键是推出直线DH DF。

届高中高关于三广州一模理科数学试题及参考包括答案

届高中高关于三广州一模理科数学试题及参考包括答案

2021年广州市一般高中毕业班综合测试〔一〕理科数学一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的．1．设会集M{x|0x1,x R},N{x|x2,xR}，那么〔〕A．MINM B．MINN C．MUNM D．MUNR2．假设复数z满足方程z220，那么z3〔〕A．22B．22C．22i D．22i3．假设直线kx y10与圆x2y22x4y10有公共点，那么实数k的取值范围是〔〕A．[3,)B．(,3]C．(0,)D．(,)4．p:x12，q:2x 3，那么p是q的〔〕A．充分不用要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不用要条件5．设函数f(x)2cos1x3，假设对任意x R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)建立，那么x1x2的最小2值为〔〕A．B．C．2D．4 21AA1,CQ 1CC1，6．直三棱柱ABC A1B1C1的体积为V，假设P,Q分别在AA1,CC1上，且AP33那么四棱锥B APQC的体积为〔〕A．1V B．2V1D．7V C．V6939 A1C1B1P QA CB7．为了让居民认识垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念众望所归．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由 10位同学组成四个宣传小组，其中可回收 物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有 3位同学．现从这 10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，那么每个宣传小组最少选派1人的概率为〔 〕5B ．934A ．C ．D ．1414778．直线l:yx2与x 轴的交点为抛物线 C:y 22px(p0)的焦点，直线l 与抛物线C 交于A,B两点，那么AB 的中点到抛物线 C 的准线的距离为〔 〕A ．8B ．6C ．5D ．49．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 11,a 2 a 54，假设S n ≥4a n8(nN)，那么n 的最小值3为〔 〕A ．8B ．9C ．10D ．1110．点P(x 0,y 0)是曲线C:y x 3 x 2 1上的点，曲线C 在点P 处的切线方程与直线y8x11平行，那么〔 〕 A ．x 02B ．x 04344 C ．x 0D ．x 02或x 02或x 03311．O 为坐标原点，设双曲线x 2y 20,b 0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，点P 是双曲C:221(aab线C 上位于第一象限上的点，过点 F 2作 F 1PF 2的均分线的垂线，垂足为 A ，假设bF 1F 22OA ，那么双曲线C 的离心率为〔〕5B ．45D ．2A ．3C ．4312．函数f(x)x 2 x1,x0 ，假设F(x) f(x)sin(2021 x) 1在区间[1,1]上有m 个零x2x 1, x ≥0点x 1,x 2,x 3,L,x m ，那么f(x 1) f(x 2) f(x 3)Lf(x m )〔〕A ．4042B ．4041C ．4040D ．4039二、填空题：此题共4小题，每题 5分，共 20分．把答案填在题中的横线上．13．如图，若是一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为 1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为 ，表面积为 ．14．在ax 1(x 2 1)5的张开式中，x3的系数是15，那么实数a ．xuruur ur uurur uur的夹角为5，那么实数k的值为15．单位向量e1与e2 的夹角为，假设向量e1 2e2 与2e1 ke23 6．16．记数列{a n}的前n项和为S n，anan1 cosnsinn(nN)，且mS2021 1009，n 2 21 9a1m0，那么的最小值为．a1 m三、解答题：共70分．解同意写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必定作答．第22、23 题为选考题，考生依照要求作答．〔一〕必考题：共60分．17．〔本小题总分值12分〕△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．c 3，且满足absinC．3〔1〕求角C的大小；asinA bsinBcsinC〔2〕求b2a的最大值．18．〔本小题总分值12分〕随着马拉松运动在全国各地逐渐流行，参加马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计检查，其中一项为哪一项检查人员从参加马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每个月参加马拉松运动训练的天数进行统计，获取以下统计表：平均每个月进行训练的天数x x≤5 5x20 x≥20人数15 60 25 〔1〕以这100人平均每个月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参加马拉松训练的人平均每个月进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参加马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每个月进行训练的天数很多于20天〞的概率；〔2〕依照统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个，Y 表示抽取的是“平均每个月进行训练的天数很多于20天〞的人数，求Y的分布列及数学希望E(Y)．19．〔本小题总分值12分〕如图1，在边长为2的等边△ABC中，D, E分别为边AC, AB的中点．将△AED沿DE折起，使得ABAD，AC AE，获取如图2的四棱锥ABCDE，连接BD，CE，且BD与CE交于点H．〔1〕求证：AH 平面BCDE；〔2〕求二面角B AED的余弦值．AAE D E DHB C B图2 C图120．〔本小题总分值 12分〕eM 过点A( 3,0) ，且与eN:(x3)2 y 2 16内切，设eM 的圆心M 的轨迹为曲线C ．〔1〕求曲线C 的方程；〔〕设直线l 不经过点 B(2,0)且与曲线 C 订交于P,Q 两点．假设直线 PB 与直线QB 的斜率之积为1 2，2判断直线l 可否过定点，假设过定点，求出此定点坐标；假设但是定点，请说明原由．21．〔本小题总分值 12分〕函数f(x)(x4)e x3x 26x,g(x)a 1 x1lnx ．3 〔1〕求函数f(x)在(0,)上的单调区间；〔2〕用max{m,n}表示 m,n 中的最大值， f(x)为f(x)的导函数．设函数h(x)max{f(x),g(x)}，假设h(x)≥0在区间(0, )上恒建立，求实数 a 的取值范围；〔3〕证明：11 1 L1 1 ln3 (n N)． nn1n 23n13n〔二〕选考题：共 10分．请考生在第 22、23题中任选一题作答．若是多做，那么按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】〔本小题总分值 10分〕xOy 中，曲线x 3 t 在平面直角坐标系C 1的参数方程为1 〔t 为参数〕，曲线C 2的参数方程为y2t3x,3cos〔为参数且〕．223tan1〕求曲线C 1和C 2的一般方程；〔2〕假设A,B 分别为曲线C 1,C 2上的动点，求AB 的最小值．23．【选修4—5：不等式选讲】〔本小题总分值10 分〕 函数f(x)3x6 xa,aR ．〔1〕当a1 时，解不等式 f(x)3；〔2〕假设不等式f(x)11 4x 对任意x4,3建立，求实数 a 的取值范围．22021年广州市一般高中毕业班综合测试〔一〕 理科数学参照答案 1．答案：A 剖析：M{x|0x1,xR },N{x|x2,x}{x|2x2,x R },MN ，RMIN M ．2．答案：D剖析：z 2 2 0, z 22,z2i,z 3(2i)32 2i ．3．答案：D剖析：圆的标准方程为(x 1)2 (y 2)2 4，圆心为C(1,2)，半径r 2，直线kx y 1 0过定点P(0,1)，因为CP2r ，因此直线与圆恒有公共点，因此实数k 的取值范围是(, )．4．答案：B剖析：由x 12，得x 1 2或x1 2，解得x 3或x 1，因为{x|2 x 3} {x|x3或x 1}，因此p 是q 的必要不充分条件．5．答案：C剖析：由题可知 x 1是函数f(x)的最小值点， x 2是函数f(x)的最大值点．因此x 1x 2的最小值为函数f(x)半个周期，T4,1T2．2A 1 C 16．答案：B剖析：设底面正三角形的边长为a ，直三棱柱的高为h ，那么V3a 2h ， B 14PQ因此V BAPQC11ah3a 3a2h2V ．AC33 21897．答案：CB剖析：从10 位同学中采用 5人，共有C 105252种不同样的选法，假设每个宣传小组最少选派 1人，那么共有2C 22C 21C 31C 31 2C 21C 21C 32C 3136 72 108种不同样的选法，那么所求概率为108 3 ．252 78．答案：A剖析：依题可知抛物线的焦点坐标为F(2,0)，因此p 4，将yx2代入y 28x ，得x 212x40，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，AB 中点M(x 0,y 0)，那么x 1x 212，x 0x 1x 26，2那么点M 到准线x 2的距离为6(2)8．9．答案：C{a n }的公差为d ，那么a 2 a 5 2a 125d4，解得d2剖析：设等差数列 5d3 ．3因此a na 1 (n 1)d 12(n1)2n 1 ，S nn(a 1a n ) 1 n2，由S n ≥4a n 8，化简得：3 3 32 3n 2 8n 20≥0 ，(n 2)(n10)≥0，n ≥10，即n 的最小值为10．10．答案：B剖析：令y3x 2 2x8，得3x 22x8，(3x4)(x2) 0 ，解得x4 或x2，43当x2 时，y5，此时M(2,5)在直线y8x 11上，故舍去，因此 ．x311．答案：CP剖析：延长F 2A 交PF 1于点B ，因为PA 是F 1PF 2的均分线且PA F 2B ，B可得PBPF ，且ABAF ，A22因此OA 是△F 1BF 2的中位线， F 1O F 2因此OA11 PF 1PB1 PF 1PF 2a ，BF 1222又由b F 1F 22OA ，可得b 2c 2a ，因此b 2 (2c 2a)2，c 2 a 2 4c 2 4a 28ac ，因此3c 28ac 5a 2 0 ，3e 28e 5 0 ，(3e 5)(e1) 0，e5 ．312．答案：B剖析：f(x)xxx 1，因此F(x) f(x) sin(2021 x)1xx x sin(2021x)为奇函数，m0，显然F( 1)F(0) F(1)0，当0≤x ≤1时，由F(x) x 2因此x i x sin(2021x)0，i 1得x 2x sin(2021 x)，在同一坐标系中作出 y x 2 x (0 x ≤1)和ysin(2021x)(0x ≤1)的图象，ysin(2021 x) 的最小正周期 T1，1010在每个区间 0,1 , 1 ,2 ,LL 1009,1010 内各有2 个零点， 因此两函数在区间(0,1]内10101010 1010 1010 1010共有2021 个交点，即F(x)在(0,1]内共有2021 个零点，由对称性， F(x)在[1,0)内也有2021 个零点，又F(0)0，因此m4041，因此f(x 1)4041f(x2) f(x3)L f(x m) (xx x1) 4041．i113．答案： 3 ，3 〔第1个空2分，第二个空3分〕3剖析：该几何体是一个圆锥，其底面半径r 1，高h3，母线长l2，体积V1 r 2h 3 ，表面积S r 2rl3．3314．答案：5剖析： ax 1 (x21)5 ax(x 2 1)5 1(x2 1)5，xx而(x 21)5的张开式中含 x 2的项为C 54x 2( 1)4 5x 2 ，含x 4 的项为C 53(x 2)2(1)3 10x 4 ，因此 ax 1 (x21)5的张开式中， x 3的系数是5a 1015，解得a5．x15．答案：10u ruur13r uruur(2, ruruu r k3 k ， 剖析：不如取e 1(1,0),e 2,，设ae2e3)，b2e 1ke 22,221222r r3r rab4 kk32k 219k10 0，那么cosa,brr2，两边平方，并整理得a bk23k 22722 4(k10)(2k1)0，解得k10或k 1 5 k 0，因此k10 ．，又因为42216．答案：16剖析：当n2时，得a 2a 31, a 2 a 32；当n 4时，得a 4a 5 1,a 4 a 5 4，2 4a 2 a 3 a 4 a 5 2，同理可得a 6a 7 a 8 a9 a10 a 11 a 12 a13 La2021 a 2021a 2021 a 20212 ，又a 21, a 20a22021，a20 21 02121 0212021因此S2021 a1 (a2 a3 a4 a5) (a6 a7 a8 a9) L (a2021a2021)a1 504 2 2021 a1 1010，由m S2021 1009，得a1m 1，因此19 1 9 (a1 m) 10 m9a1≥10 2 m9a1 16．a1 ma1 m a1 m a1 m17．解：〔1〕依照正弦定理a b c，得abc3．sinAsinB sinC b 2 c 2a 2因为c3，因此ab a 2 b 2c 2【或aba 2 b 2 3】．由余弦定理，得cosCa 2b 2c21【或cosCa 2b 23 1】，因为0 C ，因此C ．2ab22ab 23〔2〕由与〔1〕知c3，C．由正弦定理abc3， sinA sinBsinC23sin3得a2sinA ，b2sinB2sin2A ．3因此b2a2A 4sinA 5sinA3cosA 2 7sin(A)，2sin3〔其中tan3〕．因为 02 ，0，因此 0A5，02 A．5366因此A时，b 2a2 7sin(A)获取最大值2 7．因此b 2a 的最大值为27．218．解：〔1〕设从该市参加马拉松运动训练的人中随机抽取一个人，抽到的人恰好是“平均每个月进行训练 的天数很多于 20天〞记为事件为A ，那么P(A)25 1．100 4设抽到的人是“平均每个月进行训练的天数很多于20天〞的人数为，那么:B14，．4因此恰好抽到 2 个人是“平均每个月进行训练的天数很多于20天〞的概率为2 2P2C 42 3127．4 4128〔2〕用分层抽样的方法从100个马拉松训练者中抽取 12个，那么其中“平均每个月进行训练的天数很多于20天〞有3个．现从这12人中抽取 3个，那么“平均每个月进行训练的天数很多于 20天〞的数量Y 遵从超几何分布， Y 的所有可能的取值为0，1，2，3．那么 P(Y0)C 30C 93 21 ，P(Y1) C 13C 9227 ，C 12355C 12355P(Y2)C 32C 19273)C 33C 901．C 123，P(Y C 322022012因此Y 的分布列以下：Y12 3P21 2727 15555220220因此EY0211272 2731165=3 ． 5555220220 220 419．〔1〕证明1：在图1中，因为△ABC 为等边三角形，且 D 为边AC 的中点，因此BDAC ．在△BCD 中，BD CD ，BC 2，CD 1，因此BD3．因为D,E 分别为边AC,AB 的中点，因此ED//BC ．在图2中，有DHED 1 ，因此DH1BD3 ．HBBC 233因为ABAD ，因此△ABD 为直角三角形．因为AD1，BD3，因此cosADBAD 3BD．3在△ADH 中，由余弦定理得AH 2 AD 2 DH 22AD DH cosADB1 12 1 33 2 ，因此AH 6 ．3 3 3 3 3在△ADH 中，因为AH 2DH 2 2 1 1 AD 2，因此AHBD ．同理可证AHCE ．3 3因为CEIBD H ，CE平面BCDE ，BD平面BCDE ，因此AH 平面BCDE ．证明2：在图1中，因为△ABC 为等边三角形，且 D 为边AC 的中点，因此BDAC ．在△BCD 中，BDCD ，BC 2，CD1，因此BD 3．因为D,E 分别为边AC,AB 的中点，因此ED//BC ．在图2中，有DHED1 ，因此DH 1BD3 ．在Rt △BAD 中，BD 3，AD1，HBBC233在△BAD 和△AHD 中，因为DBDA3，BDAADH ，因此△BAD ∽△AHD ．DADH因此AHD BAD90 ．因此AH BD ．同理可证AH CE ．因为CEIBD H ，CE平面BCDE ，BD平面BCDE ，因此AH 平面BCDE ．〔2〕解法1：以E 为原点， EB 所在直线为x 轴，EC 所在直线为y 轴，平行于AH 的直线为z 轴，建立以以下图的空间直角坐标系E xyz ，那么B(1,0,0),C(0,3,0), A0,3, 6 ，33zAE Duuu r3 6 uuu ruuu r1uuur13．EA0,,, EB(1,0,0),EDBC,,0332 2 2ur设平面ABE 的法向量为m(x 1,y 1,z 1)， uruuur3 6ur那么mEA3 y 13 z 10 ，取m(0,2,1)．uruuurmEB x 1r uuur36rnEAy 2z 2设平面ADE 的法向量为(x 2,y 2,z 2)，那么33r(6,2,1)．n，取nr uuur1x 23y 2nEDur r22urr33mn因此cosm,n ur r33 ．m n3由图可知，二面角B AE D 的平面角是钝角，故二面角BAED 的余弦值为3 ．3解法2：在四棱锥ABCDE 中，分别取AE ，AB 的中点M ，N ，连接DM ，MN ，ND ．因为△ADE 为等边三角形，因此 DM AE ， 因为BE EC ，BE AH ，CEIAH H ， 且CE,AH 平面AEC ，因此BE平面AEC ．因为AE平面AEC ，因此BEAE ．AMNED因为点M ，N 分别为边AE ，AB 的中点，H因此NM//BE ．因此NMAE ．B C 因此DMN 为所求二面角的平面角．在等边三角形ADE 中，因为AD1，因此DM3 ．在△ABE 中，MN1EB1 ．222在Rt △ABD 中，AD1，BD3，因此AB2．因此DNAN 2 AD 21 1 6 ．223 2 1 2 26在△DMN 中，由余弦定理得cos 22 23． DMN31232 2因此二面角BAED的余弦值为3．320．〔1〕解：设eM 的半径为R ，因为eM 过点A(3,0)RMA，且与eN 相切，因此，即MN4RMN MA 4．因为NA 4 ，因此点M 的轨迹是以N ，A 为焦点的椭圆．设椭圆的方程为 x 2 y 21(a b 0)，那么2a4，且ca 2b 23，a 2b 2因此a2，b1．因此曲线C 的方程为x 2y 2 1 ．4〔2〕解法 1：依题意，直线BP,BQ 的斜率均存在且不为 0，设直线BP 的斜率为k(k 0)，那么直线BPyk(x 2)2222的方程为yk(x2)．由x 2，得(14k )x16k x16k 40，y 214解之得x 12，x 28k 2 2 ．因此点P8k 2 24k1 4k 2的坐标为1 4k 2,4k 2．1因为直线BQ 的斜率为1，因此可得点Q 的坐标为2 2k 2 ,2k ．2k1 k2 1 k 2当k2kPQ =3k时，直线l 的斜率为．22(1 2k 2)因此直线l 的方程为y2k3kx2 2k 2，k 22(11 k 212k 2)整理得y2(1 3k 2x 1 k 2．即y2(1 3k 2x 2 ．2k ) 2k2k ) 3此时直线l 过定点2,0 ．当k2 时，直线l 的方程为x 2 ，显然过定点 2,0 ．323 3综上所述，直线l 过定点2,0 ．3解法2：当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为：xx 1．设点P(x 1,y 1)，那么点Q(x 1, y 1)，依题意x 12，因为y 1 y 1x2y 1 241，因此y 12x 1 2 4x 14．k BP k BQx 2 x 2 4x 2 21 1 1 1因为x12 y12 1，且x1 2，解得x1 2 ．此时直线l的方程为x 2 ．4 3 3当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：ykx m ．y kx m,由x 2得(4k 21)x 28km x4(m 2 1) 0．y 214需要满足(8km)216(4k 21)(m 2 1) 0，即m 24k 2 1．设点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，那么有x 1x 28km，x 1x 24(m 2 1)．4k 214k 2 1因为y 1kx1m ，y 2kx 2m ，因此y 1y 2(kx 1 m)(kx 2 m) m 2 4k 2 ．4k 2 1因为k BP k BQy 1y 2y 1y 21 ，因此x 1x 22x 1x 2 42y 1y 2．x 1 2x 22x 1x 2 2(x 1 x 2)424(m 2 1)16km42(m 24k 2)28km20．因此m2k 或m2k ．即4k 214k24k 21，即3m4k13当m 2 k 时，满足m24k 2 1，直线l 的方程为yk x2 ，恒过定点 2 ,0 ．33 3 当m2k 时，满足m 24k 2 1，直线l 的方程为y k(x2)，恒过定点(2,0) ，不合题意．显然直线x 2 2，也过定点,033综上所述，直线l 过定点2,0 ．321．〔1〕解：因为f(x) (x4)e x3 x 2 6x ，因此f(x) (x 3)e x3 2x6(x3)(e x32)．当0x3时，f(x) 0，f(x)单调递减；当x3时，f(x)0，f(x)单调递加，因此函数 f(x)的单调递减区间为 (0,3)，单调递加区间为(3, )．〔2〕解：由〔 1〕可知，当x[3, )时，f(x)≥0．因此要使h(x)≥0在区间(0, )上恒建立，只要g(x)≥0 在区间(0,3)上恒建马上可．因为g(x)≥0 a 1x 1 lnx≥0．3以下给出四种求解思路：思路1：因为x0 ，因此 a 1 x 1 lnx ≥0在区间0,3上恒建立，3转变成a ≥1lnx 1 在区间 0,3 上恒建立．x 3令m(x)1 lnx 1 lnxx ，那么m(x) x 2．3因为当x (0,1)时，m(x) 0，当x(1,3)时，m(x)0．因此m(x)在(0,1)上单调递加，在 (1,3) 上单调递减．因此m(x)≤m(1)4 ．因此a ≥4．因此实数a 的取值范围为4, ．3 3 3思路2：因为g(x)a1 x 1 lnx ，那么g(x)a1 1(3a1)x 3(0x3)．33 x3x①假设a ≤10在 (0,3) 上恒建立，因此 g(x)在(0,3)上单调递减， ，那么g(x)3因此g(x)g(3)a 1 3 1ln3，由g(3)≥0，解得a ≥2ln3．33此时实数a 不合题意．②假设1a ≤ 2 ，那么g(x)≤0 在(0,3) 上恒建立，因此 g(x)在(0,3) 上单调递减，3 3因此g(x)g(3)a 1 3 1ln3，由g(3)≥0，解得a ≥2ln3．33此时实数a 不合题意．③假设a 2 x3时，g(x)3 x3时，g(x) 0．，那么当0 3a 0，当313a1因此函数g(x)在0, 3 上单调递减，在 3 ,3 上单调递加．1 3a3a 1因此g(x)≥g3ln 3 ，由3 ≥0，解得a ≥ 43a 11 ln．3a3a 13 此时实数a 满足a ≥4．3综上所述，实数 a 的取值范围为 4．,3思路3：因为g(x)a1 x 1 lnx ，那么g(x)a1 1．33 x因为g(x) a 1 x 1 lnx≥0在(0,3) 上恒建立，那么g(1) a 1 1≥0，即a≥4 ．3 3 3因为g(x) a 1 1 在(0,3) 上单调递加，3 x因为g 1 10 ，【或x 0时，g(x) 】g(3) a20．a 3 3因此存在x0 (0,3) ，使得g(x0) a 1 1 0．3 x0当x(0,x0)时，g(x0) 0，当x (x0,3)时，g(x0) 0．因此函数g(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,3)上单调递加．因此g(x)≥g(x0) a 1x0 1lnx0 lna 1．3 3要使g(x) a 1 x 1 lnx≥0在(0,3) 上恒建立，只要ln a 1 ≥0，解得a≥4．3 3 3 因此实数a的取值范围为4, ．3思路4：因为x 0，因此 a 1x 1 lnx≥0在区间(0,3)上恒建立，3转变成 a 1x≥1 lnx在区间(0,3) 上恒建立．3令s(x) 1 lnx，那么s(x) 10，x (0,3)．x因此s(x)在(0,3)上单调递加．而y a 1s(x) 1 lnx相切于点(x0,y0)，x是经过原点的直线，设过原点的直线与3那么切线方程为y y0 1 (x x0)，因为y y0 1(xx0)过原点，因此y01．x0 x0因为y0 1 lnx0，因此x0 1．即切点为(1,1)．因此经过原点且与s(x) 1 lnx相切的直线方程为y x．因此足a1 x ≥1lnx 的条件是a1≥1，解得a ≥4．333因此数a 的取范4,．3〔3〕明1：由〔4 ，有lnx ≤x1．即ln(x1)≤x ．2〕可知，当a31ln 1 1 lnn1，n nn同理11 ln n2， 1 ln n 3，⋯，1ln 3n1．n n 1 n 2 n 23n3n因此1n 1 n 1 L 1 1 1ln 3n1ln31ln3．n 1 23n 3nnn因此1n 1 n 1 L1 1 1 ln3．n 1 23n 3n明2：要11 1 L1 1 1 ln3，n n 1n23n 3n1 1 1 L1 11 1 11 1即e nn 1 n 2 3n 13n3，即e n en1en 2 L e 3n 1 e 3n 3．先明e x 1 x(x 0)，事上，p(x)=e x1x ，p(x)=e x 1，当x0 ，p(x)=e x1 0，因此p(x)在(0,)上增．因此p(x)p(0) 0，因此e x1 x(x0)．11 11 11+11+11 1+1因此e n e n1e n2Le3n1e3nL1+nn13n13nn1n2L3n 1 3n13n1 3．nn13n 3n n因此1n 1 n 1 L1 1 1 ln3．n 1 2 3n 3n22．解：〔1〕因曲C 1的参数方程x 3 ty 1 〔t 参数〕，消去参数t ，得2xy50．2t因此曲C 1的方程2x y 5 0．x 3 ,cos 〔参数〕，因曲C2的参数方程y 3tan那么由x3，得cos3，代入y3tan 得siny，消去参数，得x 2y 2 3．cosxx因为,2 ，因此x 0．因此曲线C 2的方程为x 2y 2 3(x0)．2〔2〕因为点A ，B 分别为曲线C 1，C 2上的动点，设直线 2x y b 0与曲线C 2相切，2x y b0，消去y 得3x 24bx b 2 3 0．因此(4b)243 (b 23) 0，解得b3．由y3x 2 2因为x0 ，因此b3．因为直线2xy 5 0与2x y3 0间的距离为：3 (5)85．因此AB 的最小值85．d1)222 ( 5523．〔1〕解：因为a 1，因此f(x) 3x2 x 1．当x ≤1时，由f(x) 7 4x 3，解得x 1，此时x．当1x2时，f(x) 5 2x 3 ，解得x 1，此时1 x2．当x ≥2时，f(x)4x 7 3 ，解得x552 ，此时2≤x．2综上可知，1x5 5．．因此不等式的解集为 1,22〔2〕解法 1：由f(x)11 4x ，得 3x 2 x a 11 4x ，因为x4, 3 ，因此x a 5 x ．问题转变成 x a5 x 对任意的x4,3恒建立，22因此x5xa5x 【或(xa)2(5 x)2】．因此2x5a5．因为当x4,3时，(2x5)ma x8．因此实数a 的取值范围为(8,5)．2解法2：由f(x) 11 4x，得3x 2 x a 11 4x，因为x 4, 3 ，因此|x a| 5 x．2问题转变成x a 5 x对任意的x 4, 3 恒建立，分别作出函数y x 5与函数y x a的图2像，以以下图，要使x a 5 x对任意的x 4, 3恒建立，那么当x 4, 3 时，函数y x 5的2 2图像在函数yx a 的图像的上方． 因此当x4,3时，需要满足ax5x 且xa5x ．2因为当x 4, 3 时，2x5m a x8．2因此实数a 的取值范围为8,5．。

2024年广东省广州市白云区初三一模数学试题含答案解析

2024年广东省广州市白云区初三一模数学试题含答案解析

2024年广东省广州市白云区中考一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．2024-的相反数是（ ）A ．2024-B ．2024C ．12024-D ．12024【答案】B【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可．【详解】解：2024-的相反数是2024，故选：B ．2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行解答即可．【详解】解：根据主视图和左视图为矩形可判断出该几何体是柱体，根据俯视图是两个矩形可判断出该几何体为．故选：D ．【点睛】本题考查由三视图想象立体图形．做这类题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后形状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意．3．下列运算正确的是（ ）A ．()326m m =B ．236m m m ⋅=C ．22m m -=-D ．222m m m ÷=4．某校举行“喜迎中国共产党建党105周年”党史知识竞赛，如图是10名决赛选手的成绩．对于这10名选手的成绩，下列说法中正确的是（ ）A ．方差是0B ．中位数是95C ．众数是5D ．平均数是905．不等式组23322322x x x -≥⎧⎪⎨+->⎪⎩的解集在数轴上表示为（）A ．B ．C ．D ．3232x x ->--5x >-，∴不等式的解集为：51x -<≤-，故选：A ．6．已知一次函数y ax b =+经过点()2,3--，正比例函数1y ax =不经过第三象限，则反比例函数2b y x=的图象位于（ ）A ．第一、第二象限B ．第一、第三象限C ．第二、第三象限D ．第二、第四象限7．端午节，赛龙舟，小亮在点P 处观看400米直道竞速赛，如图所示，赛道AB 为东西方向，赛道起点A 位于点P 的北偏西30︒方向上，终点B 位于点P 的北偏东60︒方向上，400AB =米，则点P 到赛道AB 的距离为（ ）米.A ．B ．C ．87D ．173 3ta n303AC PC x ∴=⋅︒=60CPB ∠=︒ta n603BC PC x∴=⋅︒=AB 8．某校组织540名学生去外地参观，现有A ，B 两种不同型号的客车可供选择．在每辆车刚好满座的前提下，每辆B 型客车比每辆A 型客车多坐15人，单独选择B 型客车比单独选择A 型客车少租6辆．设A 型客车每辆坐x 人，根据题意可列方程（ ）A ．54015x -﹣540x =6B ．540x ﹣54015x +=6C ．54015x +﹣540x =6D ．540x ﹣54015x -=6列出相应的方程．9．如图，ABC 的内切圆I 与BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，E ，F ，若I 的半径为r ，FDE α∠=，则()AF CD AC +-的值和A ∠的大小分别为（ ）A ．0，1802α︒-B ．r ，180α︒-C ，90α︒-D ，902α︒-【答案】A 【分析】本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，切线长定理等知识．连接,IF IE ．利用切线长定理，可得,,,AF AE CD CE IF AB IE AC =⊥⊥=，从而得到AF CD AC +-，再由圆周角定理，可得22EIF EDF α∠=∠=，即可．【详解】解：如图，连接,IF IE ．∵ABC 的内切圆I 与BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，E ，F ，∴,,,AF AE CD CE IF AB IE AC =⊥⊥=，∴090,C A C F CD A AE CE AC A A AFI AEI C =+︒+--=-=∠=∠=，∴22EIF EDF α∠=∠=，∴3601802A AFI AEI EIF α∠=︒-∠-∠-∠=︒-．故选：A1021-=-，则关于x 的方程()222210x k x k --+-=根的情况是（ ）A ．无实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个实数根D ．有两个不相等的实数根【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，一元二次方程根的判别式．熟练掌握算术平方根的非二、填空题11．2023年10月26日上午，神州十七号载人飞船载着杨洪波、唐胜杰、江新林3名航天员奔赴“天宫”，从2003年的神舟五号到2023年的神州十七号，20年中国载人航天工程共有20位航天员问鼎苍穹，截止到目前为止，我国航天员在太空的时间已累计达到近21200个小时，其中，数字21200用科学记数法表为．12．若点()11A y -，，212B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()32C y ，在抛物线()22y x k =-+上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为 （用“>”连接）13．2023年5月30日是第7个全国科技工作者日，某中学举行了科普知识手抄报评比活动，共有100件作品获得一、二、三等奖和优胜奖，根据获奖结果绘制如图所示的折线图，若将获奖作品按四个等级所占比例绘制成扇形统计图，则“二等奖”对应扇形的圆心角度数为 ．14．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在边BC 上，F 为对角线BD 上一动点，连接CF ，EF ，若CF EF +的最小值CE = ．∵正方形ABCD ，∴4AB BC ==∠，又∵BF BF =，15．如图，已知AD 是ABC 的角平分线，DE ，DF 分别是ABD △和ACD 的高，四边形AEDF 的面积为60，5DF =，则ADE V 中AD 边上的高为 ．16．如图，矩形ABCD 中，9AB =，12AD =，点P 从A 出发以每秒3个单位长度的速度沿A D C B A →→→→运动一周到点A 停止．当点P 不与矩形ABCD 的顶点重合时，过点P 作直线PQ BC ⊥，与矩形的边的另一交点为Q ．若点P 的运动时间为t ，当810t <<时，CQ 长度的范围是．PC=-∴12421由勾股定理得t=时，点当10三、解答题17．解方程：x 2+4x ﹣12＝0．【答案】x 1=﹣6，x 2=2【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：原方程变形为：（x +6）（x ,﹣2）=0，∴x +6=0或x ﹣2=0，∴x 1=﹣6，x 2=2．【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并能灵活运用是解答的关键．18．已知：如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ．在射线CD 上截取CE CA =，过点E 作EF CE ⊥，交CB 的延长线于点F ．求证：BC FE =．【答案】见详解【分析】本题考查全等三角形的判定．根据题意，先得出E ACB ∠=∠，再用两角夹边判定即可．【详解】证明： CD AB⊥90A ACD ∴∠+∠=︒90ACB ∠=︒90ACD ECF ∴∠+∠=︒A ECF∴∠=∠ EF CE⊥90E ∴∠=︒E ACB∴∠=∠在ACB △和CEF △中A ECF CE CAE ACB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(AS A)ACB CEF ∴ ≌BC FE ∴=．19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()2,0A -， AB 所在圆的圆心为O ，60AOB ∠=︒，将 AB向右平移5个单位，得到 CD （点A 平移后的对应点为C ）．(1)点B 的坐标是___________， AB 所在圆的圆心坐标是___________．(2)在图中画出 CD，求 CD 的长．2OA OB ∴==1cos60212OE OB ∴=⋅︒=⨯=，BE由平移的性质知60CGD ∠=︒且GC OA =∴ CD 的长为602223603ππ⨯⨯=．20．给出6个整式：2x +，2x -，21x +，2，21x x +-，211--x x ．(1)从上面的6个整式中选择2个合适的整式，组成一个分式；(2)从上面的6个整式中选择2个合适的整式进行乘法运算，使运算结果为一个不含有一次项的多项式，请你列出算式，并写出运算过程．21．甲、乙、丙三人各自随机选择到A，B两个献血站进行爱心献血．求这三人在同一个献血站献血的概率．22．某车间甲、乙两台机器共生产9200个零件，两台机器同时加工一段时间后，甲机器出现故障，维修一段时间后仍按原来的效率加工，已知甲机器每天加工150个零件，如图是表示未生产零件的个数y（个）与乙机器工作时间x（天）之间的函数图象．(1)乙机器每天加工__________个零件，甲机器维修了__________天；(2)求甲机器出现故障以后，未生产零件的个数y（个）乙机器工作时间x（天）之间的函数关系式．【答案】(1)250；8(2)()()25077001018400104001826x x y x x ⎧-+<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用：（1）设乙机器每天加工a 个零件，甲机器每天加工150个零件，根据前10天是两个机器一起工作，结合数量关系列方程求解即可；再由AB 段是乙单独工作，求出乙单独工作的时间即可求出甲维修的时间；（2）根据函数图像函数关系式为()0y kx b k =+≠，当1018x <≤时，图像过点()10,5200，()18,3200；当1826x <≤时，图像过点()18,3200，()26,0，运用待定系数法即可求解．【详解】（1）解：设乙机器每天加工a 个零件，由题意得，()1015092005200a +=-，解得，250a =，根据题意，从点A 到点B 是乙单独完成的量，∴520032002000-=（个），∴20002508÷=（天），∴甲维修了8天，故答案为：250；8．（2）解：设未生产零件的个数y （个）与乙机器工作时间x （天）之间的函数关系式为()0y kx b k =+≠，由（1）可知，甲维修了8天，则点B 的坐标为()18,3200，∴当1018x <≤时，图像过点()10,5200，()18,3200，∴105200183200k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得2507700k b =-⎧⎨=⎩，∴2507700y x =-+；③当1826x <≤时，图像过点()18,3200，()26,0，∴183200260k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得40010400k b =-⎧⎨=⎩，∴40010400y x =-+；综上所述，未生产零件的个数y （个）与乙机器工作时间x （天）之间的函数关系式为()()25077001018400104001826x x y x x ⎧-+<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩．23．【问题探究】（1）如图①，在四边形ABCD 中，90A B ∠=∠=︒，在AB 边上作点E 为一点，连接CE ，DE ，使得CE DE ⊥（画出一个点E 即可，要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作图的证明）；（2）如图②，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，BC CD =，60C ∠=︒，点E 为CD 上一点，连接AE ，BE ，60ABE ∠=︒，试判断AD 与CE 之间的数量关系，并说明理由；【问题解决】（3）如图③，四边形ABCD 是赵叔叔家的果园平面示意图，点E 为果园的一个出入口（点E 在边CD 上），AE ，BE 为果园内的两条运输通道（通道宽度忽略不计），经测量，AD BC ∥，AB AE =，45C ABE ∠=∠=︒，150AD =米，赵叔叔计划在BCE 区域内种植某种果树，并沿CE 修建一条安全栅栏，为提前做好修建安全栅栏的预算，请你帮赵叔叔计算出CE 的长度．理由：由作法得：OC OD OE ==，∴,ODE OED OCE OEC ∠=∠∠=∠，∴ODE OCE OED OEC DEC ∠+∠=∠+∠=∠，∵180ODE OCE DEC ∠+∠+∠=︒，∴90DEC ∠=︒，∴DE CE ⊥；（2）AD CE =，理由如下：如图，连接BD ，∵BC CD =，60C ∠=︒，∴BCD △是等边三角形，∴BC BD =，60CBD ∠=︒，∵60ABE ∠=︒，∴60ABE CBD ∠=∠=︒，∴ABD CBE ∠=∠，∵AD BC ∥，∴60ADB CBD C ∠=∠=︒=∠，在ABD △和EBC 中，∵ABD CBE ∠=∠，BC BD =，ADB C ∠=∠，∴()ASA ABD EBC ≌，∵AD BC ∥，45C ∠=︒，∴45ADF C ∠=∠=︒，∴ADF △是等腰直角三角形，∴150AF AD ==米，∵AB AE =，∴45AEB ABE ∠=∠=︒，24．已知直线():0l y kx b k =+>经过点()1,2P -．(1)用含有k 的式子表示b ；(2)若直线l 与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，AOB 面积为S ，求S 的取值范围；(3)过点P 的抛物线()2y x k n =-+与y 轴交点为E ，记抛物线的顶点为C ，该抛物线是否存在点F 使四边形BPEF 为平行四边形？若存在，求此时顶点C 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2b k =+25．如图，在四边形ABCD 中，点N ，M 分别在边BC ，CD 上．连接AM ，AN ，MN ，45MAN ∠=︒．(1)【实践探究】如图①，四边形ABCD 是正方形．（ⅰ）若6CN =，10MN =，求CMN ∠的余弦值；（ⅱ）若1an 3t BAN =∠，求证：M 是CD 的中点；(2)【拓展】如图②，四边形ABCD 是直角梯形，AD BC ∥，90C ∠=︒，12CD =，16AD =，12CN =，求DM 的长．∵四边形ABCD是正方形，AB CD AD BAD,∴==∠=∠由旋转的性质得：ABE≌BE DM ABE D,90∴=∠=∠=∵90C ∠=︒，12CD =，16AD =，CN ∴16,12====AD CE AE CD ，∴4==-=EP EN CE CN ，∴16=+==AP AE EP AD ，∴四边形APGD 是正方形，。

2023-2024学年广东省广州市高三上册第一次调研数学模拟试题(附解析)

2023-2024学年广东省广州市高三上册第一次调研数学模拟试题(附解析)

2023-2024学年广东省广州市高三上学期第一次调研数学模拟试题本试卷共5页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.考生注意事项：1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷用2B 铅笔涂在答题卡上，第Ⅱ卷用黑色钢笔、签字笔在答题卡上作答；2．质量监测时间120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（ ）(){}2log 20A x x =∈-≤N {A x y =∈=N AB ⋃=A ．B ．C ．D ．{}0,1,2{}1,2{}0,1{}12．复数满足，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）z ()1i i z +=i A ．B ．在复平面内对应的点位于第二象限1z =z C ．的实部为D ．的虚部为z 12z 1i 23．在中，点D 是线段AB 上靠近B 的四等分点，点E 是线段CD 上靠近D 的三ABC 等分点，则（ ）AE =A ．B ．C ．D ．2133CA CB-+1526CA CB - 1233CA CB-+5162CA CB-+4．函数的部分图像如图所示，则，的值分()()()2sin 0,ππf x x ωϕωϕ=+>-<<ωϕ别是（ ）A ．2，B ．2，C ．2，D ．4，π6-π3-π35π6-5．在数列中的相邻两项与之间插入一个首项为，公差为{}n a n a ()*1n a n +∈N 1n a n -的等差数列的前项，记构成的新数列为，若，则前65项的和1n -n {}n b 21na n =+{}nb 为（ ）A ．B ．-13C ．D ．-14252-272-6．冬季是流感高发期，其中甲型流感病毒传染性非常强．基本再生数与世代间隔0R 是流行病学基本参考数据．某市疾控中心数据库统计分析，可以用函数模型T 来描述累计感染甲型流感病毒的人数随时间t ，（单位：天）的变()2rtW t =()W t Z t ∈化规律，其中指数增长率与基本再生数和世代间隔T 之间的关系近似满足r 0R ，根据已有数据估计出时，．据此回答，累计感染甲型流感病01R rT =+04R =12T =毒的人数增加至的3倍至少需要（参考数据：，）（ ）()0W lg 20.301≈lg 30.477≈A ．6天B ．7天C ．8天D ．9天7．如图，在长方形ABCD 中，，，为的中点，为线段（端2AB =1BC =E DC F EC 点除外）上的动点．现将沿AF 折起，使平面平面ABC ，在平面ABD AFD △ABD ⊥内过点D 作，K 为垂足．设，则t 的取值范围是（ ）DK AB ⊥AK t =A ．B ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭8．在直角坐标系内，圆，若直线绕原点xOy 22:(2)(2)1C x y -+-=:0l x y m ++=顺时针旋转后与圆存在公共点，则实数的取值范围是（ ）O 90 C mA ．B ．⎡⎣44⎡--+⎣C ．D ．22⎡--⎣22⎡-⎣二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某校举行演讲比赛，6位评委对甲、乙两位选手的评分如下：甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0乙：7.5 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0则下列说法正确的是（ ）A ．评委对甲评分的平均数低于对乙评分的平均数B ．评委对甲评分的方差小于对乙评分的方差C ．评委对甲评分的40%分位数为7.8D ．评委对乙评分的众数为7.810．下列说法正确的是（ ）A ．“为第一象限角”是“为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件α2αB ．“，”是“”的充要条件π2π6k α=+Z k ∈1sin 2α=C ．设，，则“”是“”的ππ,Z 4M k k αα⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭π,Z 4k N k αα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭M θ∈N θ∈充分不必要条件D ．“”是“”的必要不充分条件sin 0θ>θtan2>11．椭圆的标准方程为为椭圆的左、右焦点，C 22121,,82x y F F +=点．的内切圆圆心为，与分别相切于点，()2,1P 12PF F △(),I I I x y 1212,,PF PF F F ,,D E H 则（ ）A ．B ．12PF F S =△1x =C ．D ．13y =PD PE ==12．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）()()e x f x a x=+()()ln g x x a x =+A ．若函数存在两个极值，则实数的取值范围为()y f x =a 21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．当时，函数在上单调递增1a =()y g x =(0,)+∞C ．当时，若存在，使不等式成立，则实数的1a =1x ≥()()2()ln f mx fxx x≥+m 最小值为0D ．当时，若，则的最小值为1a =()()12(0)f xg x t t ==>()121ln x x t +⋅1e三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．的展开式中的系数为．（用数字作答）()622x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭42x y14．设数列满足，，且，若表示不超过的最{}n a 12a =26a =2122n n n a a a ++-+=[]x x 大整数，则．122021202120212021a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦ 15．已知椭圆 的左右焦点为．直线与椭圆相交22221(0)x y C a b a b +=>>：12,F F y kx =C 于两点， 若， 且， 则椭圆的离心率为．,P Q 112PF QF =12π3PF Q ∠=C 16．已知A ，M ，N 是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则的取值范围是 ·AM AN ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题10分）如图，在中，，点是边上一点，且ABC 6AB AC ==D BC,cos AD AB CAD ∠⊥=2AE EB= (1)求的面积；BCE (2)求线段的长.AD 18．（本题12分）已知数列的前项和为，，且满足{}n a n n S 11a =.()()11112n n n S nS n n ++=-+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前项和.()23cos πn a n n b a n =+⋅{}n b n nT19．（本题12分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，，P ABCD -PAD AD CD ⊥，且，，为中点．//AD BC 22AD BC ==CD =PB =E AD(1)求证：平面平面；PAD ⊥ABCD(2)若线段上存在点，使得二面角的大小为，求的值．PC Q Q BE C --60︒CQCP 20．（本题12分）2023年秋末冬初，呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：(1)若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩低于50分的人数；(2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数；(3)首轮竞赛成绩位列前的学生入围第二轮的复赛，请根据图中信息，估计入围复10%赛的成绩（记为）.K21．（本题12分）已知椭圆，斜率为2的直线2222:1(0)x y C a b a b +=>>l 与x 轴交于点M ，l 与C 交于A ，B 两点，D 是A 关于y 轴的对称点．当M 与原点O重合时，面积为．ABD △169(1)求C 的方程；(2)当M 异于O 点时，记直线与y 轴交于点N ，求周长的最小值．BD OMN 22．（本题12分）已知函数．21()ln 2f x x x ax =+-(1)当时，求在曲线上的点处的切线方程；12a =()y f x =(1,(1))f (2)讨论函数的单调性；()f x (3)若有两个极值点，，证明：．()f x 1x 2x ()()121222f x f x ax x -<--数学试卷答案解析本试卷共5页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.考生注意事项：1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷用2B 铅笔涂在答题卡上，第Ⅱ卷用黑色钢笔、签字笔在答题卡上作答；2．质量监测时间120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（ ）(){}2log 20A x x =∈-≤N {A x y =∈=N AB ⋃=A ．B ．C ．D ．{}0,1,2{}1,2{}0,1{}1【答案】C【分析】根据对数的单调性、一元二次不等式的解法，结合并集的定义进行求解即可.【详解】由，(){}2log 20021121x x x A -≤⇒<-≤⇒≤<⇒=由，{}210110,1x x B -≥⇒-≤≤⇒=所以，A B ⋃={}0,1故选：C2．复数满足，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）z ()1i i z +=i A ．B ．在复平面内对应的点位于第二象限1z =z C ．的实部为D ．的虚部为z 12z 1i2【答案】C【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，即可求得其模以及实部和虚部，以及对应的点所在象限，一一判断各选项，即得答案.【详解】因为，故，()1i i z +=i i (1i)11i 1i (1i)(1i)22z ⋅-===+++-，A 错误；=在复平面内对应的点为，位于第一象限，B 错误；z 11(,)22的实部为，C 正确；z 12的虚部为，D 错误，z 12故选：C ．3．在中，点D 是线段AB 上靠近B 的四等分点，点E 是线段CD 上靠近D 的三ABC 等分点，则（ ）AE =A ．B ．C ．D ．2133CA CB-+1526CA CB - 1233CA CB-+5162CA CB-+【答案】D【分析】方法一：利用平面向量基本定理得到答案；方法二：设是等腰直角三角形，且，建立空间直角坐标系，写出点ABC 4CA CB ==的坐标，设，从而得到方程组，求出答案.m A CA nCB E =+【详解】方法一：如图，由题意得，，23CE CD = 34AD AB=故()22123333AE AC CE AC CD AC AD AC AC AD=+=+=+-=+ ；()111151323262AC AB CA CB CA CA CB =+=-+-=-+方法二：不妨设是等腰直角三角形，且，ABC 4CA CB ==以C 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则，()()()()20,0,0,4,4,0,3,1,2,3C A B D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭则，()()0,4,4,0CA CB ==设，m A CA nCB E =+ 故，()()102,0,44,03m n ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭所以，解得，1042,43n m ==-51,62m n =-=故．5162CA C A BE -=+故选：D ．4．函数的部分图像如图所示，则，的值分()()()2sin 0,ππf x x ωϕωϕ=+>-<<ωϕ别是（ ）A ．2，B ．2，C ．2，D ．4，π6-π3-π35π6-【答案】B【分析】根据三角函数图像与性质求，的值即可.ωϕ【详解】设的周期为，()f x T 则由图像知，35π9π3πππ4123124T T ⎛⎫=--==⇒= ⎪⎝⎭所以，则，2π2T ω==()()2sin 2f x x ϕ=+因为在处取得最大值，()f x 5π12x =所以，5π2π2π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈得，π2π,Z3k k ϕ=-+∈因为，ππϕ-<<所以.π0,3k ϕ==-故选：B5．在数列中的相邻两项与之间插入一个首项为，公差为{}n a n a ()*1n a n +∈N 1n a n -的等差数列的前项，记构成的新数列为，若，则前65项的和1n -n {}n b 21na n =+{}nb 为（ ）A ．B ．-13C ．D ．-14252-272-【答案】A【分析】根据题意，得到数列中及其后面项的和为，{}n b n a n n S 求解.()()1112n n n n S n a n +=+-⨯【详解】解：数列为：{}n b ，1122233331121,1,,,1,,,,1,,,233n n a a a a a a a a a a a n -------，1231,,,,1,,n n n n n n a a a a a n n n +-----设及其后面项的和为，则，n a n n S ()()()1111123222n n n n n S n a n n ++=+-⨯=-=-所以数列是以1为首项，公差为的等差数列.{}n S 12-所以前65项的和为，{}n b 1210710125222S S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++==- 故选：A.6．冬季是流感高发期，其中甲型流感病毒传染性非常强．基本再生数与世代间隔0R 是流行病学基本参考数据．某市疾控中心数据库统计分析，可以用函数模型T 来描述累计感染甲型流感病毒的人数随时间t ，（单位：天）的变()2rtW t =()W t Z t ∈化规律，其中指数增长率与基本再生数和世代间隔T 之间的关系近似满足r 0R ，根据已有数据估计出时，．据此回答，累计感染甲型流感病01R rT =+04R =12T =毒的人数增加至的3倍至少需要（参考数据：，）（ ）()0W lg 20.301≈lg 30.477≈A ．6天B ．7天C ．8天D ．9天【答案】B【分析】先求得，然后根据“的3倍”列方程，化简求得需要的时间.r ()0W【详解】依题意，，且时，，01R rT =+04R =12T =即，所以，，14112,4r r =+⨯=()142t W t =()10W =令，两边取以为底的对数得，()1423t W t ==1014lg 340.477lg 2lg 3, 6.34lg 20.301t t ⨯==≈≈所以至少需要天.7故选：B7．如图，在长方形ABCD 中，，，为的中点，为线段（端2AB =1BC =E DC F EC 点除外）上的动点．现将沿AF 折起，使平面平面ABC ，在平面ABD AFD △ABD ⊥内过点D 作，K 为垂足．设，则t 的取值范围是（ ）DK AB ⊥AK t =A ．B ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】设，求得关于的表达式，根据的取值范围求得的取值范围.DF x =x t x t 【详解】如图，在平面ADF 内过点D 作，垂足为，连接．DH AF ⊥H HK 过点作，交于点．F //FP BC AB P设，．FAB θ∠=AE AC ==cos θ∈设，则．DF x =12x <<因为平面平面ABC ，平面平面，ABD ⊥ABD ⋂ABC AB =，平面ABD ，所以平面ABC ，DK AB ⊥DK ⊂DK ⊥又平面，所以．AF ⊂ABC DK AF ⊥又因为，，，平面DKH ，所以平面，所DH AF ⊥DK DH D = DK DH ⊂AF ⊥DKH 以，即．AF HK ⊥AH HK ⊥在中，，Rt ADFAF =DH =因为和都是直角三角形，，ADF △APF PF AD =所以，．Rt Rt ADF FPA ≌△△AP DF x ==因为，AHD ADF ∽△△,1AH DH AH AHAD DF ===所以，得．cos AH AP AK AF θ===1x t =因为，所以，所以．12x <<112t <<112t <<故选：C【点睛】方法点睛：线面垂直、面面垂直转化的过程中，要从线面垂直得到面面垂直，需要“经过一个平面的垂线”；要从面面垂直得到线面垂直，则需要“在一个平面内，垂直于交线”，在答题过程中，要注意使用正确的符号语言.8．在直角坐标系内，圆，若直线绕原点xOy 22:(2)(2)1C x y -+-=:0l x ym ++=顺时针旋转后与圆存在公共点，则实数的取值范围是（ ）O 90 C m A ．B．⎡⎣44⎡--+⎣C ．D．22⎡--⎣22⎡-⎣【答案】A【分析】由题意首先得出旋转后的直线为，然后由直线与圆的位置关系1:0l x y m -+=列出不等式即可求解.【详解】连接，设（即以轴正方向为始边，为终边的角），OP POx θ∠=x OP 由题意对于直线上任意一点，存在，使得:0l x y m ++=(),P x y R a θ=∈，()cos ,sin P a a θθ则直线绕原点顺时针旋转后，点对应点为:0l x y m ++=O 90()cos ,sin P a a θθ，即，1ππcos ,sin 22P a a θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1sin ,cos P a a θθ-因为在直线上，所以满足()cos ,sin P a a θθ:0l x y m ++=cos sin 0a a m θθ++=设，所以，11sin ,cos x a y a θθ==-110y x m -++=即所在直线方程为，()1sin ,cos P a a θθ-1:0l x y m -+=而圆的圆心，半径分别为，22:(2)(2)1C x y -+-=()2,2,1r =若直线绕原点顺时针旋转后与圆存在公共点，:0l x y m ++=O 90C所以圆心到直线的距离，解得()2,2C 1:0l x y m -+=1d r =m ≤≤故选：A.【点睛】关键点睛：关键是求出旋转后的直线，从而即可顺利得解.二、多选题9．某校举行演讲比赛，6位评委对甲、乙两位选手的评分如下：甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0乙：7.5 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0则下列说法正确的是（ ）A ．评委对甲评分的平均数低于对乙评分的平均数B ．评委对甲评分的方差小于对乙评分的方差C ．评委对甲评分的40%分位数为7.8D ．评委对乙评分的众数为7.8【答案】ACD【分析】由平均数、方差、百分位数、众数的概念及求法分别求解判断即可.【详解】选项A ，评委对甲评分的平均数，7.57.57.87.88.08.017.87.8630x +++++==-<甲评委对乙评分的平均数，7.57.87.87.88.08.017.87.8660x +++++==+>乙所以，故A 正确；x x <甲乙选项B ，由A 知，两组数据平均数均约为，7.8且纵向看，甲组数据与乙组数据仅一组数据不同，其余数据相同，7.5,7.8又甲组数据与平均数的差明显大于乙组数据与平均数的差，且差距较大，7.57.8故与平均数比较，甲组数据波动程度明显大些，即评委对甲评分的方差大于对乙评分的方差，故B 错误；选项C ，由不是整数，640% 2.4⨯=则评委对甲评分的40%分位数为从小到大第个数据，即：，故C 正确；37.8选项D ，评委对乙评分中最多的数据，即众数为，故D 正确.7.8故选：ACD.10．下列说法正确的是（ ）A ．“为第一象限角”是“为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件α2αB ．“，”是“”的充要条件π2π6k α=+Z k ∈1sin 2α=C ．设，，则“”是“”的ππ,Z 4M k k αα⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭π,Z 4k N k αα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭M θ∈N θ∈充分不必要条件D ．“”是“”的必要不充分条件sin 0θ>θtan02>【答案】AC【分析】对于A ，利用象限角，求得角的范围，可判定充分性，取，验证必要απ3α=性即可；对于B ，考查时，的取值范围，可判定必要性不成立；对于C ，1sin 2α=α根据集合，的关系即可判定；对于D ，根据条件求得的取值范围即可判断.M N α【详解】对于A,因为为第一象限角，α所以，π2π2π,Z 2k k k α<<+∈则,πππ,Z 4k k k α<<+∈当为偶数时，为第一象限角，k α当为奇数时，为第三象限角，k α所以充分性成立；当时，为第一象限角，则，为第二象限角，π3α=α2π23α=即必要性不成立，故A 正确；对于B ，当，时，π2π6k α=+Z k ∈成立，则充分性成立；1sin 2α=当时，或，,1sin 2α=π2π6k α=+5π2π6k α=+Z k ∈故必要性不成立，则B 错误；对于C ，，()41πππ,Z ,Z 44k M k k k αααα⎧⎫⎧⎫⎪⎪==±∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭ 而，π,Z 4k N k αα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭则 ，故则“”是“”的充分不必要条件，故C 正确；M N M θ∈N θ∈对于D,当时，,sin 0θ>2π2ππ,Z k k k θ<<+∈则，πππ,Z 22k k k θ<<+∈则，故充分性成立，θtan02>当时，，θtan 02>πππ,Z 22k k k θ<<+∈则，2π2ππ,Z k k k θ<<+∈则成立，sin 0θ>所以“”是“”的充要条件，故D 错误，sin 0θ>θtan02>故选：AC.11．椭圆的标准方程为为椭圆的左、右焦点，C 22121,,82x y F F +=点．的内切圆圆心为，与分别相切于点，()2,1P 12PF F △(),I I I x y 1212,,PF PF F F ,,D E H 则（ ）A ．B．12PF F S =△1x =C ．D．13y =PD PE ==【答案】BCD【分析】根据椭圆中焦点三角形的性质求解，再结合三角形内切圆的几何性质逐12PF F S 项判断即可得结论.【详解】椭圆：，则C 22182x y +=a b c ====，())12,F F 又，所以点再椭圆上，()2,1P P 连接，12,,,,,ID IE IH IP IF IF则A 不正确；121211122PF F p S F F y =⋅=⨯=由椭圆的定义可得，122PF PF a +==又的内切圆圆心为，所以内切圆半径，12PF F △(),I I I x y I r y =由于，121212PF F IF F IF P IF PS S S S =++ 所以()(121212121111122222I I I I I F F y PF y PF y y F F PF PF y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⋅++=⋅，故，故C 正确；3I r y ===又，1122,,PD PE DF F H EF HF ===所以12121212PF PF PD DF PE EF PD F H PE HF PD PE F F +=+++=+++=++=，则，所以，故D 正确；2PD =PD PE ==又2PF ===222HF EF PF PE ==-=又B 正确.H I x x =I x =1x =故选：BCD.12．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）()()e x f x a x=+()()ln g x x a x =+A ．若函数存在两个极值，则实数的取值范围为()y f x =a 21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．当时，函数在上单调递增1a =()y g x =(0,)+∞C ．当时，若存在，使不等式成立，则实数的1a =1x ≥()()2()ln f mx fxx x≥+m最小值为0D ．当时，若，则的最小值为1a =()()12(0)f xg x t t ==>()121ln x x t +⋅1e【答案】BC【分析】对A 选项：由极值点的性质结合导数讨论单调性即可得；对B 选项：结合导数讨论单调性即可得；对C 选项：结合单调性，可转化为当时，有()f x 1x ≥成立，求出最小值即可得；对D 选项：采用同构法可确定()1ln m x x≥+()1ln x x +，再将多变量化为单变量后结合导数讨论单调性即可得.12e x x =【详解】对A 选项：，()()()e e 1e x x x f x x a x a+=+'=++若函数存在两个极值，则函数必有两个变号零点，()y f x =()f x '令，则，()()1e 0x f x x a =++='()1e xa x =-+令，则，()()1e xh x x =-+()()2e x h x x +'=-则当时，，当时，，2x >-()0h x '<<2x -()0h x '>故在上单调递增，在上单调递减，()h x (),2∞--()2,∞-+故，()()()221221e e h x h -≤-=--+=又当时，恒成立，1x >-()()1e 0x h x x =-+<当时，，x →-∞()0h x →故当，函数有两个变号零点，210,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x '即若函数存在两个极值，则实数的取值范围为，()y f x =a 210,e ⎛⎫⎪⎝⎭故A 错误；对B 选项：当时，，1a =()(1)ln g x x x =+，()11ln ln 1x g x x x x x ='+=+++令，则，()()x g x μ='()22111x x x x x μ'-=-=则当时，，当时，；()0,1x ∈()0x μ'<()1,x ∞∈+()0x μ'>故在上单调递减，在上单调递增，()x μ()0,1()1,∞+故，故函数在上单调递增；()()120g x g '='≥>()y g x =(0,)+∞故B 正确；对C 选项：当时，，1a =()()e 1x f x x =+，()()()e e 11e 1x x x f x x x =++=++'令，则，()()m x f x ='()()2e xm x x +'=则当时，；当时，；<2x -()0m x '<2x >-()0m x '>故在上单调递减，在上单调递增，()m x (),2∞--()2,∞-+故，故在上单调递增，()()2212e 110e f x f -≥-=-+=-'>'()f x R 则存在，使不等式成立，1x ≥()()2()ln f mx fxx x≥+等价于存在，使不等式成立，1x ≥()2ln mx x x x ≥+则当时，有成立，1x ≥()1ln m x x≥+由当时，，且在上单调递增，1a =()(1)ln g x x x =+()y g x =(0,)+∞故，即实数的最小值为，故C 正确；()11ln10m ≥+=m 0对D 选项：当时，由B 、C 可知，、均为定义域上的增函数，1a =()f x ()g x 由，，故有，，()00f =()10g =1>0x 21x >由，则，()()12f x g x =()()1122e 11ln x x x x +=+即，故，()()()111122e 1e 1ln e 1ln x x x x x x +=+=+12e x x =又，故，()()111e 10x f x t x ==+>()121ln ln x x t t t+⋅=令，则，令，()ln n x x x=()1ln n x x x ='+()()1ln p x n x x x ==+'则，()22111x p x x x x ='-=-则当时，，当时，；()0,1x ∈()0p x '<()1,x ∞∈+()0p x '>故在上单调递减，在上单调递增，()p x ()0,1()1,∞+即，故在上单调递增，()()10n x n ''≥=()n x ()0,∞+故无最小值，即无最小值，()n x ()121ln x x t+⋅故D 错误.故选：BC.【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的综合应用问题，其中D 选项中涉及到多变量问题的求解，求解此类问题的基本思路是根据已知中的等量关系，将多变量转化为单变量的问题，从而将其转化为函数最值问题的求解.三、填空题13．的展开式中的系数为．（用数字作答）()622x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭42x y 【答案】40-【分析】由二项式定理得到的通项公式，结合，得到，得到()62x y -2xy +34,T T 的系数.42x y 【详解】的通项公式为，()62x y -()()66166C 2C 2r rr r rr rr T x y x y --+=-=-令得，，此时，2r =()22424236C 260T x y x y =-=4242602120x y x y ⋅=令得，，此时，3r =()33333346C 2160T x y x y=-=-3342160160xx y x y y -⋅=-故的系数为42x y 12016040-=-故答案为：40-14．设数列满足，，且，若表示不超过的最{}n a 12a =26a =2122n n n a a a ++-+=[]x x 大整数，则 ．122021202120212021a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦ 【答案】2020【分析】根据题意，得到，得到为等差数列，求得()()2112n n n n a a a a +++---={}1n n aa +-其通项公式，结合累加法，得到，求得，再利用裂项(1)n a n n =+2021112021()1n a n n =-+求和，求得，即可求解.12202120212021202120212021(2020,2021)2022a a a +++=⨯∈ 【详解】因为，可得，2122n n n a a a ++-+=()()2112n n n n a a a a +++---=又因为，，可得，12a =26a =214a a -=所以数列是首项为，公差为的等差数列，{}1n n aa +-42所以，14(1)222n n n a n a +-=+-⨯=+当时，2n ≥112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+，(1)22(1)2222(1)2n n n n n n +=+-++⨯+=⨯=+ 且当时，也成立，所以，1n =12a =()1n a n n =+所以，202111120212021((1)1n a n n n n =⨯=-++所以122021202120212021111112021[(1)()()]22320212022a a a +++=-+-++- ，120212021(1)2021(2020,2021)20222022=-=⨯∈所以.1220212021202120212020a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦ 故答案为：.202015．已知椭圆 的左右焦点为．直线与椭圆相交22221(0)x y C a b a b +=>>：12,F F y kx =C 于两点， 若， 且， 则椭圆的离心率为．,P Q 112PF QF =12π3PF Q ∠=C 【分析】由椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，再根据椭圆的定义求出12PFQF ，再在中，利用余弦定理求出的关系即可得解.12,PF PF 12PF F △,a c 【详解】由椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，则，12PFQF 21PF QF =由，得，12π3PF Q ∠=12π3F PF ∠=因为，所以，112PF QF =122PF PF =又，所以，122PF PF a+=1242,33a aPF PF ==在中，由余弦定理得，12PF F △222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠即，2222164421442993323a a a a a c =+-⨯⨯⨯=所以c a=即椭圆的离心率c e a ==16．已知A ，M ，N 是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则的取值范围是 ·AM AN．【答案】1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据正方体的性质可得结合夹角的定义可得，·3cos ,a AM AN AM AN =≤ 3a ≤可得其最大值；根据数量积的运算可知，可得其最小值.24≥-MN a【详解】正方体表面上任意两点间距不超过体对角线长度d ==则，故，,AM AN d ≤ ·3cos ,a AM AN AM AN =≤ 而，故，[]cos ,1,1AM AN ∈-3a ≤如图建立空间直角坐标系， 取，重合为时，()0,0,0A ,M N ()1,1,1则，取得最大值；()()1,1,11,1,13a =⋅=3由对称性，设在下底面，，，A (),,AM x y z =(),,AN a b c =由在下底面知，当且仅当也在下底面时取等，A 0,0,0z c zc ≥≥≥,M N 此时共面时，设中点为，则，,,A M N MN E EM EN =-，()()()()()2222··4MN a AM AN AE EM AE EN AEENEN==++=-≥-=-当且仅当重合时取等，,A E 又因为，MN ≤2142-≥-≥a MN 例如，，则；11,,022A ⎛⎫⎪⎝⎭()()1,0,0,0,1,0M N 11111·,,0,,022222a AM AN ⎛⎫⎛⎫==--=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 所以的取值范围是.·AM AN 1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：.1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、解答题（共70分）17．（本题10分）如图，在中，，点是边上一点，且ABC 6AB AC ==D BC ,cos AD AB CAD∠⊥=2AE EB=(1)求的面积；BCE (2)求线段的长.AD 【答案】(1)(2)=AD 【分析】（1）根据求解即可；13BCE ABC S S =△△（2）解法1：在中根据余弦定理求出，结合等腰三角形的性质求，在ABC BC cos B 中勾股定理求即可；ABD △AD 解法2：由求得.A BC ABD ACD S S S =+ AD 【详解】（1），12,3BCE ABCAE EB S S =∴= 而11πsin 66sin 222ABCS AB AC BAC CAD⎛⎫=⋅⋅∠=⨯⨯⨯∠+ ⎪⎝⎭ 18cos 18CAD =∠==13BCE ABC S S ∴== （2）解法1：，()1cos 0,π,sin 3CAD CAD CAD ∠∠∈∴∠=== ，π1cos cos sin 23CAB CAD CAD ⎛⎫∴∠=∠+=-∠=-⎪⎝⎭在中，，ABC 22212cos 3636266963BC AB AC AB AC CAB ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭在等腰中，BC ∴=∴ABC 12cos BCB BA ===Rt 中，，∴ABD△6cos ,BA B BDBD BD ===∴=AD∴===解法2：，()1cos 0,π,sin 3CAD CAD CAD ∠=∠∈∴∠===由得，A BC ABD ACD S S S =+ ,1166sin 22AD AD CAD=⨯⨯+⨯⨯⋅∠即，()11166223AD AD =⨯⋅+⋅⋅⋅解得=AD 18．（本题12分）已知数列的前项和为，，且满足{}n a n n S 11a =.()()11112n n n S nS n n ++=-+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前项和.()23cos πn a n n b a n =+⋅{}n b n nT【答案】(1)n a n=(2)()()()()11133,,24133,.24n n n n n n T n n n ++⎧++--⎪⎪=⎨++-⎪--⎪⎩为偶数为奇数【分析】（1）利用构造法和等差数列的定义与通项公式可得，结合()12n n n S +=即可求解；1n n n a S S -=-（2）由（1）知，利用分组求和法计算即可求解.()()213nnn b n =-+-【详解】（1）根据题意，，所以，()()11112n n n S nS n n ++=-+1112n n S S n n +-=+由于，则是以首项为1，公差为的等差数列，1111S a ==n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭12所以，所以，()111122n S n n n +=+-⨯=()12n n n S +=当时，.2n ≥1(1)(1)22n n n n n n na S S n-+-=-=-=验证时满足通项公式，故数列的通项公式为.1n =11a ={}n a n a n =（2）由（1）知.()()()223cos π13n n na n nb a n n =+⋅=-+-设的前项和为，则当为偶数时，()21nn -n n A n ()22222212341n A n n =-+-+-⋅⋅⋅--+()()()()()()2121434311n n n n ⎡⎤⎡⎤=-++-++⋅⋅⋅+--+-⎣⎦⎣⎦.()()1123412n n n n +=++++⋅⋅⋅+-+=当为奇数时，，n ()()2211122n n n n n n A A n n --+=-=-=-设的前项和为，则.()3n-n n B ()()()131333134nn n B +⎡⎤-⋅-----⎣⎦==+因为，所以=+n n n T A B ()()()()11133,,24133,.24n n n n n n T n n n ++⎧++--⎪⎪=⎨++-⎪--⎪⎩为偶数为奇数19．（本题12分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，，P ABCD -PAD AD CD ⊥，且，，为中点．//ADBC 22AD BC ==CD =PB =E AD(1)求证：平面平面；PAD ⊥ABCD(2)若线段上存在点，使得二面角的大小为，求的值．PC Q Q BE C --60︒CQCP 【答案】(1)证明见解析(2)12【分析】（1）首先连接，根据线面垂直的判定定理证明平面，再利用PE PE ⊥ABCD 面面垂直的判定定理证明平面平面.PAD ⊥ABCD （2）设,再利用向量法求二面角的平面角，再列方程得到()01CQCP λλ=≤≤Q BE C --，即得的值．12λ=CQCP 【详解】（1）证明：连接，PE是边长为的等边三角形，是的中点，PAD QV 2E AD，PE AD ⊥∴PE =，，，//DE BC DE BC =AD CD ⊥四边形是矩形，∴BCDE BE CD ∴==，，222PE BE PB ∴+=PE BE ∴⊥又，，平面，AD BE E = AD BE ⊂ABCD 平面，PE ∴⊥ABCD 又平面，PE ⊂PAD 平面平面．∴PAD ⊥ABCD （2）以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：E EA EB EP则，，，(00P ()C -()0B ()0,0,0E，，，()0EB ∴= ()100BC =-，，(1CP = 设，()01CQCP λλ=≤≤则，()1BQ BC CQ BC CP λλ=+=+=-设平面的法向量为，QBE (),,m x y z =则，即00m EB m BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩()010x y z λ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，，令，得，1z=)01m λ=-，，又平面，PE ⊥ABCD 为平面的一个法向量，()001n ∴=，，BECcos m n m n m n ⋅∴==，二面角的大小为，Q BE C --60︒，12=解得．12λ=．12CQ CP ∴=20．（本题12分）2023年秋末冬初，呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：(1)若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩低于50分的人数；(2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数；(3)首轮竞赛成绩位列前的学生入围第二轮的复赛，请根据图中信息，估计入围复10%赛的成绩（记为）.K 【答案】(1)人2(2)71(3)88K ≥【分析】（1）利用分层抽样的定义求解即可；（2）利用平均数公式求解即可；（3）根据题意设入围复赛的成绩的临界值为，则[)80,90K ∈，求出的值即可.()900.0250.050.1K -⨯+=K 【详解】（1）成绩在的人数为（人），[)40,500.011020020⨯⨯=成绩在的人数为（人），[)50,600.0151020030⨯⨯=则按分层抽样方法从成绩低于60分的同学中抽取5人，成绩低于50分的人数为（人）.20522030⨯=+故5人中成绩低于50分的人数为2人；（2）由，得，()0.010.0150.0150.0250.005101a +++++⨯=0.030a =则平均数，450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故该校学生首轮竞赛成绩的平均数约为分；71（3）根据频率分布直方图可知：的频率为，的频率为，[]90,1000.005100.05⨯=[)80,900.025100.25⨯=所以入围复赛的成绩一定在，[)80,90可知入围复赛的成绩的临界值为，[)80,90K ∈则，解得，()900.0250.050.1K -⨯+=88K =故估计入围复赛的成绩为分.88K ≥21．（本题12分）已知椭圆，斜率为2的直线2222:1(0)x y C a b a b +=>>l 与x 轴交于点M ，l 与C 交于A ，B 两点，D 是A 关于y 轴的对称点．当M 与原点O重合时，面积为．ABD △169(1)求C 的方程；(2)当M 异于O 点时，记直线与y 轴交于点N ，求周长的最小值．BD OMN 【答案】(1)22142x y +=(2)2【分析】（1）设出各点坐标，表示出面积后，结合面积与离心率计算即可得；（2）要求的周长，则需把各边长一一算出，即需把、算出，设出直线方OMN M x N y 程与椭圆方程联立得与横坐标有关韦达定理，借助韦达定理表示出、，可得M x N y 各边边长，结合基本不等式即可求得最值.OMN 【详解】（1）当M 与原点O 重合时，可设，则有、，()00,A x y ()00,B x y --()00,D x y -且，即有,002y x =AD BD ⊥则，()()00001116229ABD S AD BD x x y y =⋅=++= 即，又，故，则，201649x =00x >023x =043y =即有，即22416199a b +=c a 则，故，即有，22222a c b c ==+222a b =224161189b b+=解得，故，即C 的方程为；22b =24a =22142x y +=（2）设直线方程为，令，有，即，l 2y x t =+0y =2tx =-2M t x =-设点、，则，()11,A x y ()22,B x y ()11,D x y -联立直线与椭圆方程：，消去有，222142y x tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y 2298240x tx t ++-=，即，()222Δ64362414480t t t =--=->t -<<有，，1289t x x -+=212249t x x -=为，BD l ()122212y yy x x y x x -=-+--令，故，0x =21222122122221122121212N x y x y x y x y x y x y x y x yy y x x x x x x -+-+++=+==--++由，故，2y x t =+()()2112211212121212224x x t x x t x y x y x x tx x x x x x ++++==++++其中，即，2121224198429t x x t t x x t -==-+-+12442N t y tt t ⎛⎫=-++=⎪⎝⎭则OMNC，2≥=当且仅当时等号成立，2t =±故周长的最小值为.OMN 2【点睛】本题考查了椭圆的方程，在求解直线与椭圆的位置关系问题时，常用方法是设而不求，借助韦达定理等手段，将多变量问题转变为单变量问题，再用基本不等式或函数方式求取范围或最值.22．（本题12分）已知函数．21()ln 2f x x x ax =+-(1)当时，求在曲线上的点处的切线方程；12a =()y f x =(1,(1))f (2)讨论函数的单调性；()f x (3)若有两个极值点，，证明：．()f x 1x 2x ()()121222f x f x ax x -<--【答案】(1)；3230x y --=(2)详见解析；(3)详见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义求出；（2）求出导函数，在定义域内分类讨论解含参不等式即()1(0)f x x a x x '=+->()0,∞+可求出；（3）由题意得，，，而，只2a >12x x a +=121=x x ()()1212f x f x x x --1212ln ln 12x x ax x -=--需证明，即证：，即证：对任意的1212ln ln 2x x x x -<-11111ln ln 2x x x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭1111ln x x x <-恒成立即可．1(1,)x ∈+∞【详解】（1）由题可知，当时，，12a =211()ln 22f x x x x=+-()112f x x x ∴=+-'，，切点为，切线的斜率为，∴(1)0f =3(1)2f '=∴(1,0)32切线方程为：，即；∴30(1)2y x -=-3230x y --=（2）对函数求导可得，．()f x ()1(0)f x x a x x '=+->当时，．则在上单调递增．2a ≤()120f x x a a x =+-≥-≥'()f x (0,)+∞当时，．则，2a >()2110x ax f x x a x x -+=+-=='1x 2x =令，则，或．，则，()0f x '>10x x <<2x x >()0f x '<12x x x <<综上：当时，在上单调递增，2a ≤()f x (0,)+∞当时，在和上单调递增，2a >()f x⎛⎝∞⎫+⎪⎪⎭在上单调递减．()f x （3）有两个极值，，()f x 1x 2x ，是方程的两个不等实根，1x ∴2x 210x ax -+=则，，，2a >12x x a +=121=x x ()()2211122212121211ln ln 22x x ax x x ax f x f x x x x x ⎛⎫+--+- ⎪-⎝⎭=--()()()121212121212121ln ln ln ln 122x x x x x x a x x x x a ax x x x -+-+---==+---．1212ln ln 12x x ax x -=--要证：．即证：．()()121222f x f x ax x -<--1212ln ln 2x x x x -<-不妨设，即证：．1210x x >>>11111ln ln 2x x x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭即证：对任意的恒成立．1111ln x x x <-1(1,)x ∈+∞令，．则．1()ln f x x x x =-+(1)x >()22211110x x f x x x x -+=--=-<'从而在上单调递减，故．()f x (1,)+∞()(1)0f x f <=所以．()()121222f x f x ax x -<--【点睛】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，训练了构造函数法证明不等式的成立，属难题.。

2022-2023学年广东省广州市普通高中毕业班综合测试(一模)数学试题+答案解析(附后)

2022-2023学年广东省广州市普通高中毕业班综合测试(一模)数学试题+答案解析(附后)

2022-2023学年广东省广州市普通高中毕业班综合测试（一模）数学试题1. 若复数，则( )A. B. C. D.2. 已知集合则集合A的子集个数为( )A. 3B. 4C. 8D. 163.函数在上的图像大致为( )A. B.C. D.4. 已知为第一象限角，，则( )A. B. C. D.5. “回文“是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等.数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”.“回文数”是指从从左到右与从右到左都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数是奇数的“回文数”共有( )A. 100个B. 125个C. 225个D. 250个6. 已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在x轴上，过点的直线交C于P，Q两点，且，线段PQ的中点为M，则直线MF的斜率的最大值为( )A. B. C. D. 17. 已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，，，，则球O的表面积为( )A. B. C. D.8.已知a，b，c均为正实数，e为自然对数的底数，若，，则下列不等式一定成立的是( )A. B. C. D.9. 某校随机抽取了100名学生测量体重.经统计，这些学生的体重数据单位：全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则( )A. 频率分布直方图中a的值为B. 这100名学生中体重低于60kg的人数为60C. 据此可以估计该校学生体重的第78百分位数约为62D. 据此可以估计该校学生体重的平均数约为10. 已知函数的图像关于直线对称，则( )A. 函数的图象关于点对称B. 函数在上有且仅有2个极值点C. 若，则的最小值为D.若，则11.已知函数，，点P，Q分别在函数和的图象上，O为坐标原点，则下列命题正确的是( )A. 若关于x的方程在上无解，则B. 存在P，Q关于直线对称C. 若存在P，Q关于y轴对称，则D. 若存在P，Q满足，则12. 平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系xOy中，，，动点P满足，则下列结论正确的是( )A.点P的横坐标的取值范围是 B. 的取值范围是C.面积的最大值为 D. 的取值范围是13.已知向量，，与共线，则__________. 14. 已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则__________15.已知函数的定义域为，其导函数为，若，，则关于x的不式的解集为__________.16. 在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，P是侧面上的动点，且平面则点P的轨迹长为__________.点P到直线AF的距离的最小值为__________.17.已知数列的前n项和为且求，并证明数列是等差数列.若，求正整数k的所有取值.18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，证明：，若，，求的面积.19. 如图，在四棱锥中，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，求证：求平面PAB与平面ABCD夹角的正弦值.20. 为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次.答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响.求甲前3次答题得分之和为40分的概率;记甲第i次答题所得分数的数学期望为①写出与满足的等量关系式直接写出结果，不必证明②若，求i的最小值.21. 已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线相切.求C的方程；直线l：与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为为坐标原点，的面现为，的面积为，若，判断是否为定值?并说明理由.22.已知，函数若，证明：当时，若函数存在极小值点证明：答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查复数z的共轭复数及模，属于基础题.【解答】解：复数，则，，所以2.【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的子集个数，属于基础题.【解答】解：解不等式，得，因此，所以集合A的子集个数为故选：C3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数图象的识别、判断函数的奇偶性，属基础题.【解答】解：函数定义域为，而，且，即函数既不是奇函数也不是偶函数，其图象关于原点不对称，排除选项而当时，，排除选项A，选项B符合要求.4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，属于基础题。

2024年广东省广州大学附属中学初三一模数学试题含答案解析

2024年广东省广州大学附属中学初三一模数学试题含答案解析

2024年广东省广州大学附属中学中考一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在3，7-，0，19四个数中，最大的数是（）A．3B．7-C．0D．1 92．由六块相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【详解】观察图形可知，该几何体的俯视图如下：．故选：D ．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．3．某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为（单位：元）：30，50，50，60，60．若捐款最少的员工又多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，不受影响的统计量是（ ）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差【答案】B【分析】根据捐款最少的员工又多捐了20元，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，即可解答．【详解】解：根据题意，可得302050+=，即捐款额为：50，50，50，60，60，此时中位数不变，平均数，众数，方差都会受到影响，故选：B ．【点睛】本题考查了中位数，众数，方差，平均数，熟知以上概念是解题的关键．4．下列计算正确的是（ ）A ．248a a a ⋅=B ．3332a a a-=C ．()3236ab a b =D ．()222a b a b +=+【答案】C【分析】分别根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，完全平方公式逐一分析判断即可．【详解】解：246a a a ⋅=，故A 不符合题意，33332a a a -=，故B 不符合题意；()3236ab a b =，故C 符合题意；()2222a b a ab b +=++，故D 不符合题意；故选C【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方运算，完全平方公式的应用，熟记运算法则是解本题的关键．5．不等式组311442x x x x -≥+⎧⎨+>-⎩的解集是（ ）A ．12x ≤<B ．1x ≤C ．2x >D ．12x <≤【答案】A【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集．【详解】解：311442x x x x -≥+⎧⎨+>-⎩①② 解不等式①得：1x ≥，解不等式②得：2x <，∴不等式组的解集为12x ≤<，故选A ．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．6．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O 的光线相交于点P ，点F 为焦点．若1155,230∠=︒∠=︒，则3∠的度数为（ ）A ．45︒B ．50︒C ．55︒D ．60︒【答案】C【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解．【详解】解：∵AB OF ∥，∴1180BFO ∠+∠=︒，∴18015525BFO ∠=︒-︒=︒，∵230POF ∠=∠=︒，∴3302555POF BFO ∠=∠+∠=︒+︒=︒；故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键．7．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）A ．16B ．18C ．14D ．12【答案】A【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率．【详解】解：设立春用A 表示，立夏用B 表示，秋分用C 表示，大寒用D 表示，树状图如下，由上可得，一共有12种可能性，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性28．关于x 的函数y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一坐标系中的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．故选C ．9．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为x 里/天，则可列方程为（ ）A ．900900132x x+=+B ．900900132x x-=-C ．900900132x x +=-D ．900900132x x-=+10．已知二次函数()()212y x ax b x x x x =++=--（12,,,a b x x 为常数），若1213x x <<<，记=+t a b ，则（ ）A ．30t -<<B ．10t -<<C ．13t -<<D ．03t <<【答案】C【分析】由题意可得()1212a x x b x x =-+=，，从而得到()()12111a b x x +=---，再根据1213x x <<<可得()()1211113x x -<---<，由此即可得到答案．【详解】解：∵二次函数()()212y x ax b x x x x =++=--，1213x x <<<，∴1x ，2x 是方程20x ax b ++=的两个根，∴()1212a x x b x x =-+=，，∴()1212a b x x x x +=-++，∴()()12111a b x x +=---，∵1213x x <<<，∴120112x x <-<-<，∴()()120114x x <--<，∴()()1211113x x -<---<，∴13a b -<+<，∴13t -<<，故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，正确得到()()12111a b x x +=---是解题的关键．二、填空题11．某种颗粒的半径约为0.000025米，用科学计数法表示这个数为 米．【答案】-52.510⨯【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】-50.000025 2.510=⨯故答案为：-52.510⨯．12．分解因式：228x -= ．【答案】()()222x x +-【分析】本题考查提公因式法与公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解决问题的关键．【详解】解：()()()222824222x x x x -=-=+-，故答案为：()()222x x +-．13．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y （单位：m ）与它距离喷头的水平距离x （单位：m ）之间满足函数关系式2241y x x =-++，喷出水珠的最大高度是m ．【答案】3【分析】把二次函数化为顶点式，进而即可求解．【详解】解：∵222412(1)3y x x x =-++=--+，∴当x =1时，3y =最大值，故答案是：3．【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的顶点式，是解题的关键．14．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点E ，F ；再分别以点E ，F 为圈心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点D ．则CD 与BD 的数量关系是 ．的直径，点C在圆上．将 AC沿AC翻折与AB交于点D．若15．如图，AB是O=的度数为40︒，则 AD=cm．3cm,OA BC故答案为53π．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、弧长公式等知识点，求得键．16．如图，DE 平分等边ABC 的面积，折叠BDE △得到,△FDE AC 分别与,DF EF 相交于,G H 两点．若,==DG m EH n ，用含,m n 的式子表示GH 的长是．三、解答题17．解方程：224x x -=18．如图，//AB CD ，B D ∠=∠，直线EF 与AD ，BC 的延长线分别交于点E ，F ．求证：DEF F ∠=∠．【答案】见解析【分析】根据已知条件//AB CD ，B D ∠=∠，得到DCF D ∠=∠，从而得到//AD BC ，即可证明DEF F ∠=∠．【详解】证明：∵//AB CD ，∴DCF B ∠=∠．∵B D ∠=∠，∴DCF D ∠=∠．∴//AD BC ．∴DEF F ∠=∠．【点睛】本题考查平行线的性质和判定．平行线的性质：两直线平行，内错角相等．平行线的判定：同位角相等，两直线平行．19．先化简，再求值：2211121x x x x x -⎛⎫+÷ ⎪+++，其中x 满足210x x --=20．为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解决下列问题：(1)此次调查的样本容量为；(2)扇形统计图中A对应圆心角的度数为°；(3)请补全条形统计图；(4)若该地区九年级学生共有25000人，请估计其中视力正常的人数．【答案】(1)450(2)36︒(3)见解析(4)2500人【分析】（1）根据C的人数是117人，所占的比例是26%，据此即可求得此次调查的样本容量；（2）用A类学生数除以450，再乘以360︒即可得解；（3）利用总人数减去A、C、D三类的人数即可求得B的人数，从而补全直方图；（4）利用总人数25000乘以对应的百分比即可求得．【详解】（1）解：11726%450÷=，答：此次调查的样本容量为是450，故答案为450．（4）解：45250002500450⨯=（人）答：九年级学生共有25000人，请估计其中视力正常的人数共有【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数152y x =+和2y x =-的图象相于点A ，反比例函数k y x=的图象经过点A ．(1)求反比例函数的表达式；(2)设一次函数152y x =+的图象与反比例函数y ＝k x 的图象的另一个交点为B ，连接OB ，求ABO 的面积；(3)根据图象直接写出关于x 的不等式152k x x +>的解集．联立1528y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：x y =⎧⎨=⎩∴()8,1B -．在15y x =+中，令0y =，得22．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个且每个“天宫”模型成本比每个“神舟”模型成本少20%．(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？(2)该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型a个，售卖这两种模型可获得的利润为w元，①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？23．如图，已知APB ∠，点M 是PB 上的一个定点．(1)尺规作图：请在图1中作O ，使得O 与射线PB 相切于点M ，同时与PA 相切，切点记为N ；(2)在（1）的条件下，若603APB PM ∠=︒=，，则所作的O 的劣弧 MN与PM PN 、所围成图形的面积是_________．（2）解：∵PM 和PN 为O 的切线，∴OM PB ⊥，ON PN ⊥，MPO ∠=∴90OMP ONP ∠=∠=︒，∴180120MON APB ∠=︒-∠=︒，在Rt POM 中，MPO 30∠=︒，扇形的面积计算．24．定义：平面直角坐标系xOy 中，点(),P a b ，点(),Q c d ，若c ka =，d kb =-，其中k 为常数，且0k ≠，则称点Q 是点P 的“k 级变换点”．例如，点()4,6-是点()2,3的“2-级变换点”．(1)函数4y x=-的图象上是否存在点()1,2的“k 级变换点”?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由；(2)点1,22A t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭与其“k 级变换点” B 分别在直线1l ，2l 上，在1l ，2l 上分别取点()21,m y ，()22,m y ．若2k ≤-，求证：122y y -≥；(3)关于x 的二次函数()2450y nx nx n x =--≥的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线5y x =-+上，求n 的取值范围．25．如图1，在ABC 中，AB AC =，点M ，N 分别为边AB ，BC 的中点，连接MN ．初步尝试：（1）MN 与AC 的数量关系是 ，MN 与AC 的位置关系是 ．特例研讨：（2）如图2，若90BAC ∠=︒， BC =BMN 绕点B 顺时针旋转α（α为锐角），得到BEF △，当点A ，E ，F 在同一直线上时，AE 与BC 相交于点D ，连接CF ．①求BCF ∠的度数；②求CD 的长．深入探究：（3）若90BAC ∠<︒，将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，连接AE ，CF ．当旋转角α满足0360α︒<<︒，点C ，E ，F 在同一直线上时，利用所提供的备用图探究BAE ∠与ABF ∠的数量关系，并说明理由．∵MN 是BAC 的中位线，∴MN AC ∥，∴90BMN BAC ∠=∠=︒，∵将BMN 绕点B 顺时针旋转∴BE BM BF BN ==，；BEF ∠∵点A ，E ，F 在同一直线上，∵90AB AC BAC =∠=︒， ，∴242AB BC ==，ACB ∠=∵ADN BDE ANB ∠=∠∠=∠，∴ADN BDE ∽ ，∴2222DN AN DE BE ===，∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，设∵MN 是ABC 的中位线，∴MN AC ∥，∴MNB MBN θ∠=∠=，∵将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，∴EBF MBN MBE NBF α∠=∠=≌， ，∴EBF EFB θ∠=∠=，∴1802BEF θ∠=︒-，∵点C ，E ，F 在同一直线上，∴2BEC θ∠=，∴180BEC BAC ∠+∠=︒，∴A ，B ，E ，C 在同一个圆上，∴EAC EBC αθ∠=∠=-，∴1802180BAE BAC EAC θαθαθ∠=∠-∠=︒---=︒--（）（），∵ABF αθ∠=+，∴180BAE ABF ∠∠=+︒，如图所示，当F 在EC 上时，∵BEF BAC BC BC ∠=∠=，，∴A ，B ，E ，C 在同一个圆上，设ABC ACB θ∠=∠=，则1802BAC BEF θ∠=∠=︒-，将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，∴MBN EBF ∠=∠，∴NBF EBM ∠=∠.设NBF β∠=，则EBM β∠=，则360αβ+=︒，∴ABF θβ∠=-，∵BFE EBF EFB FBC FCB θ∠=∠=∠=∠+∠，，∴ECB FCB EFB FBC θβ∠=∠=∠-∠=-，∵ EBEB =，∴EAB ECB θβ∠=∠=-，∴BAE ABF ∠=∠，综上所述，BAE ABF ∠=∠或180BAE ABF ∠∠=+︒．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了圆周角定理，对角互补四边形四顶点共圆，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，中位线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理，熟练综合运用以上知识是解题的关键．。

2024广东省广州市增城区中考一模数学试题含答案解析

2024广东省广州市增城区中考一模数学试题含答案解析

秘密★启用前2024年增城区初中毕业生学业综合测试试题（一）九年级数学（本试卷共三大题25小题，共6页，满分120分．考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上，再用2B 铅笔把考号的对应数字涂黑．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，涉及作图的题目，用于2B 铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修改带．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．5．考试时不可使用计算器．第一部分 选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 在实数1−12，3.14中，无理数是（ ） A. 1− B.C. 12D. 3.14【答案】B【解析】【分析】根据无理数的特征，即可解答．【详解】解：在实数1−12，3.14故选：B ．【点睛】本题考查了无理数的特征，即为无限不循环小数，熟知该概念是解题的关键．2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解： A ，B ，C 选项中的图形都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．D 选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；故选：D ．3. 已知水星的半径约为24400000米，用科学记数法表示为（ ）A. 80.24410×米B. 62.4410×米C. 72.4410×米D. 624.410×米 【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10n a ×的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：将数24400000米用科学记数法表示是72.4410×米．故选：C ．4. 某校即将举行田径运动会，小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择一项参赛，则他选择“100米”项目的概率是（ ）． A. 12 B. 14 C. 16 D. 112【答案】B【解析】【分析】本题考查了根据概率公式求概率，根据题意直接根据概率公式，即可求解．【详解】解：四个项目中，随机选择一项参赛，则他选择“100米”项目的概率是14, 故选：B ．5. 下列运算正确的是（ ）．A. 246x x x ⋅=B. 358x x x += C. ()325x x = D. 3=【答案】A【解析】【分析】本题考查了合并同类项法则，同底数幂乘法法则，积的乘方法则，二次根式的加减运算，根据以上运算法则进行运算即可求解．【详解】解：A. 246x x x ⋅=，故该选项正确，符合题意；B. 358x x x +≠，故该选项不正确，不符合题意；C. ()326x x =，故该选项不正确，不符合题意；D. −，故该选项不正确，不符合题意；故选：A ．6. 如图，在ABCD Y 中，E 为AD 的中点，连接BE ，交AC 于点F ，则:AF CF 等于（ ）A. 1︰3B. 2︰3C. 2︰5D. 1︰2【答案】D【解析】 【分析】根据四边形ABCD 是平行四边形，证出△AEF ∽△CBF ，然后利用其对应边成比例即可求得答案．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CBF ，∴AF ：CF=AE ：BC ，∵点E 为AD 的中点，∴AE=12AD=12BC ，∴AF ：CF=1：2；故选D ．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键． 7. 已知关于x 的方程()22210x m x m −−+=有实数根，则m 的取值范围是（ ）． A. 14m ≥ B. 14m ≤ C. 14m ≥− D. 14m ≤− 【答案】B【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据题意可得()222140m m ∆=−−≥，解不等式，即可求解．【详解】解：依题意得，()222140m m ∆=−−≥ 即410m −+≥ 解得14m ≤ 故选：B ．8. 如图，在ABC 中，70CAB ∠=°．在同一平面内，将ABC 绕点A 旋转到AB C ′′△的位置，使得CC AB ′∥，则BAB ∠′等于（ ）A. 30B. 35°C. 40°D. 50°【答案】C【解析】 【分析】旋转中心为点A ，B 与B ′，C 与C ′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角BAB CAC ′′∠=∠，AC AC ′=，再利用平行线的性质得70C CA CAB ′∠=∠=°，把问题转化到等腰ACC ′△中，根据内角和定理求CAC ′∠．【详解】解：∵CC AB ′∥，70CAB ∠=°，∴70C CA CAB ′∠=∠=°，又∵C 、C ′为对应点，点A 为旋转中心，∴AC AC ′=，即ACC ′△为等腰三角形，∴180240BAB CAC C CA ′′′∠=∠=°−∠=°．故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了等边对等角，平行线的性质．9. 如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，AB CD ⊥，垂足为E ，连接BD 并延长，与过点A 的切线AM 相交于点P ，连接AC ．若O 的半径为5，8AC =，则AP 的长是（ ）．A. 323B. 13C. 403D. 14【答案】C【解析】【分析】本题考查了切线的性质，正切的定义，直径所对的圆周角是直角；连接BC ，勾股定理求得BC ，进而求得3tan 4CAB ∠=，根据切线的性质得出90BAP ∠=°，根据同弧所对的圆周角相等，进而得出APB CAB ∠=∠，根据正切的定义，即可求解．【详解】解：如图，连接BC ，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=° ∵O 的半径为5，8AC =，则10AB =∴6BC = ∴3tan 4BC CAB AC ∠== ∵AP 是过点A 的切线，则AB AP ⊥∵ AD AD =∴ACD ABP ?∴APB CAB ∠=∠∴tan tan APB CAB ∠=∠，即34AB AP = ∴4104033AP ×== 故选：C ．10. 已知二次函数()210()y a x a a −−≠，当14x −≤≤时，y 的最小值为4−，则a 的值为（ ）． A. 12或4 B. 12−或43− C. 43−或4 D. 12−或4【答案】D【解析】【分析】本题主要考查二次函数的性质，分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答．【详解】解：二次函数()()210y a x a a −−≠的对称轴为：直线1x =，（1）当0a >时，当11x −≤≤时，y 随x 的增大而减小，当14x ≤≤，y 随x 的增大而增大， ∴ 当1x =时，y 取得最小值，∴ ()2114y a a =−−=−，4a ∴=；（2）当0a <时，当11x −≤≤时，y 随x 的增大而增大，当14x ≤≤，y 随x 的增大而减小， ∴ 当4x =时，y 取得最小值，∴ ()2414y a a =−−=−，12a ∴=−．故选：D ．第二部分 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11. 分解因式：22a a −=_______．【答案】()2a a −【解析】【分析】本题考查了因式分解，直接提公因式a 即可求解．【详解】解：22a a −=()2a a −，故答案为：()2a a −．12. 已知点11()A x y ，，22()B x y ，在直线35y x =−+上，且12x x >，则1y _______2y ·（填“<”“>”或“=”）【答案】<【解析】【分析】本题考查了一次函数的性质，根据当0k <时，y 随x 的增大而减小，即可求解．【详解】解：∵30−<，∴y 随x 的增大而减小，∵12x x >，∴12y y <．故答案为：<．13. 某公司在2024年1月份的营业额为25万，3月份的营业额为36万，设该公司营业额的月平均增长率为x ，则可列方程为______．【答案】()225136x +=【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该公司营业额的月平均增长率为x ，根据题意列出一元二次方程，即可求解．【详解】解：设该公司营业额的月平均增长率为x ，根据题意得，()225136x +=，故答案为：()225136x +=．14. 抛物线()20y ax bx c a ++≠的部分图象如图所示，它与x 轴的一个交点坐标为()3,0−，对称轴为=1x −，则抛物线与x 轴的另一个交点坐标为是______．【答案】()1,0【解析】【分析】利用抛物线的对称性求解即可得到答案．【详解】解：抛物线()20y ax bx c a ++≠其与x 轴的一个交点坐标为()3,0−，对称轴为=1x −， ∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为 ()1,0，故答案为：()1,0．【点睛】本题主要考查了抛物线的对称性，解题的关键在于能够熟练掌握抛物线与x 轴的两个交点关于抛物线对称轴对称．15. 如图，数轴上点A 、B 表示的数分别为m 、n ，化简：m n −−=_______．【答案】n【解析】【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值；根据数轴可得0m n <<，进而根据绝对值的意义，二次根式的性质化简，即可求解．【详解】解：根据数轴可得0m n <<，∴m =()n m m n m m n −−−=−+=， 故答案为：n ．16. 如图，在平行四边形ABCD 中，4cm AB =，8cm AD =，60ABC ∠=°，点P 为线段AD 的中点．动点E 从点A 开始沿边AD 以1cm/s 的速度运动至点P ，动点F 从点C 开始沿边CB 以2cm/s 的速度运动至点B ．点E 、F 同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．作点C 关于直线EF 的对称点C ′，在点E 从点A 运动到点P 的过程中，点C ′的运动路径长为______cm ．【解析】【分析】连接,AC BP ，延长,BA CP 交于点T ，设,AC EF 交于点O ，证明AEO CFO ∽得出2233CO AC ==×E 点运动到点P 时，点F 运动到点B ，此时EF 与BP 重合，则C ′与点T 重合，则C ′的运动轨迹为 CBT，根据弧长公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接,AC BP ，延长,BA CP 交于点T ，设,AC EF 交于点O∵在平行四边形ABCD 中，4cm AB =，8cm AD =，60ABC ∠=°，点P 为线段AD 中点． ∴4AB AP ==，4DPDC ==，60D ABC ∠=∠=° ∴4PC PA PD ===∴=90ACD ∠°，∵AB CD ∥，∴AC AB ⊥，∴sin 608AC BC ⋅==°，∵60PCD ∠=°∴60PCB ABC ∠=°=∠∴TBC 是等边三角形，∵动点E 从点A 开始沿边AD 以1cm/s 的速度运动至点P ，动点F 从点C 开始沿边CB 以2cm/s 的速度运动至点B ∴12AE CF = ∵AE CF ∥∴AEO CFO ∽ ∴12AOAE CO CF ==∴2233CO AC ==×∵AB AP =，120BAD ∠=°∴30ABP ∠=°∴30TBP CBP ∠=∠=°∴BP TC ⊥，BP 过点O ，∴点O 是TBC 的外心，的∴2120TOC TBC ∠=∠=°，∵点C 关于直线EF 的对称点C ′，∴OC OC ′== ∴当点E 点运动到点P 时，点F 运动到点B ，此时EF 与BP 重合，则C ′与点T 重合，则C ′的运动轨迹为 CBT∴点C ′的运动路径长为240ππ180． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程组： 524x y x y +=−= ． 【答案】32x y = =． 【解析】【分析】利用加减消元将方程组化简成一元一次方程，即可得解其一，再将其代入任意一个方程即可得解．【详解】解：524x y x y += −=上下两方程相加，得39x =，解得3x =．把3x =代入5x y +=中，得2y =． 32x y = =． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组；关键在于能利用加减消元或者代入消元的方法将其转化成一元一次方程的形式．18. 如图，已知B C ∠=∠，AD 平分BAC ∠，求证：ABD ACD △≌△．【答案】见解析【解析】【分析】本题主要考查对全等三角形的判定，三角形的角平分线定义；根据角平分线的定义得出BAD CAD ∠=∠，根据AAS 即可证出答案．【详解】证明：AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠，在ABD △和ACD 中B C BAD CAD AD AD ∠=∠ ∠=∠ =， ()AAS ABD ACD ∴ ≌．19. 春节放假期间，兴趣小组到某景点随机调查了10位游客一天使用共享电动车的次数，统计得到该10位游客一天使用共享电动车的次数如下：使用次数0 2 3 4 6 人数2 4 12 1（1）在这次调查中，该10位游客一天使用共享电动车次数的中位数为 ，众数为 ，平均数为 ．（2）若春节放假期间，每天约有1200位游客到此景点，试估计这些游客在春节放假期间每天使用共享电动车的总次数．【答案】（1）2，2，2.5（2）3000【解析】【分析】本题考查了中位数、众数、平均数的概念以及利用样本平均数估计总体．（1）根据中位数、众数和平均数的定义求解即可；（2）用总人数乘以游客1天内使用共享电动车的次数的平均数，即可．【小问1详解】解：这10位游客1天内使用共享电动车的次数的中位数是2222+=，众数是2，平均数是()10224314261 2.510××+×+×+×+×= 故答案为：2，2，2.5．【小问2详解】 估计这些游客在春节期间每天使用共享电动车的总次数为1200 2.53000×=（次）20. 已知()()22=−−+−T a b a a b b ． （1）化简T ；（2）若a ，b 是方程260x x +−=的两个根，求T 的值．【答案】（1）3ab −（2）18【解析】【分析】此题考查了整式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系；（1）原式根据完全平方公式，单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项，即可得到结果； （2）利用根与系数的关系求出ab 的值，代入计算即可求出值．【小问1详解】解：()()22=−−+−T a b a a b b 22222a ab b a ab b =−+−−−3ab =−；【小问2详解】解：∵a ，b 是方程260x x +−=的两个根，∴6ab =−∴()3618T =−×−=21. 在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．（1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？（2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？【答案】（1）购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为15元（2）购买吊兰的数量最多为17盆【解析】【分析】（1）设购买绿萝的单价为x 元，则购买吊兰的单价为()5+x 元，然后可得方程为2003005x x =+，进而求解即可；（2）设购买吊兰的数量为m 盆，则购买绿萝的数量为2m 盆，然后可列不等式进行求解．【小问1详解】解：设购买绿萝的单价为x 元，则购买吊兰的单价为()5+x 元，由题意得： 2003005x x =+， 解得：10x =，经检验：当10x =时，则()50x x +≠，∴10x =是原方程的解，∴515x +=，答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为15元；【小问2详解】解：设购买吊兰数量为m 盆，则购买绿萝的数量为2m 盆，由（1）及题意得：10215600m m ×+≤， 解得：1207m ≤， ∵m 是整数，∴m 取最大值为17；答：购买吊兰的数量最多为17盆．【点睛】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程及一元一次不等式的应用是解题的关键．22. 如图，四边形ABCD 为正方形，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上，且4OA =，2OB =，反比例函数()0k y k x=≠，在第一象限的图象经过正方形的顶点C ．的（1）求点C 的坐标和反比例函数的解析式：（2）若点N 为直线OD 上的一动点（不与点O 重合），在y 轴上是否存在点M ，使以点A 、M 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）点C 的坐标为()6,2；12y x= （2）存在，()0,3M −或()0,11M −或()0,11M【解析】【分析】（1）过点C 作CE x ⊥轴于点E ，证明AOB BEC ≌，根据全等三角形的性质分别求出BE 、CE ，求出点C 的坐标，进而求出反比例函数解析式；（2）过点D 作DF y ⊥轴于点F ，同（1）得出点D 的坐标，进而求得OD 的解析式，设3,2N n n，()0,M m ，又()0,4A ，()6,2C ，根据,,AC AM AN 分别为对角线，根据中点坐标公式即可求解．【小问1详解】解：如图所示，过点C 作CE x ⊥轴于点E ，则90BEC ∠=°，四边形ABCD 为正方形，AB BC ∴=，90ABC ∠=°， 90OBA EBC ∴∠+∠=°，90OBA OAB ∠+∠=° ，OAB EBC ∴∠=∠，在AOB 和BEC 中，OAB EBC ∠=∠，AOB BEC ∠=∠，AB BC =，()AAS AOB BEC ∴ ≌，4BE OA ∴==，2CE OB ==，6OE OB BE ∴=+=，∴点C 的坐标为()6,2，将点C 的坐标为()6,2代入k y x =， 得12k =， ∴反比例函数的关系式为12y x=； 【小问2详解】解：如图所示，过点D 作DF y ⊥轴于点F ，同（1）可得ADF BAO ≌，∴4,2DFOA AF OB ==== ∴()4,6D设直线OD 的解析式为y kx =，则64k = 解得：32k =， ∵点N 为直线OD 上的一动点（不与点O 重合），点M 在y 轴 设3,2N n n，()0,M m ，又()0,4A ，()6,2C ①当AC 为对角线时，06022342222n n m ++ = + += 解得：3m =−， 则()0,3M −当AM 对角线时，602324222n n m + = + += 解得：11m =−， 则()0,11M −为当AN 为对角线时，06022342222n n m ++ = + += 解得：11m =，则()0,11M综上所述：以点A 、M 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，()0,3M −或()0,11M −或()0,11M ．【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．23. 如图，在ABC 中，C ∠是钝角．（1）尺规作图：在AB 上取一点O ，以O 为圆心，作出O ，使其过A 、C 两点，交AB 于点D ，连接CD ；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，若BCD A ∠=∠，1tan 3A =，9BC =． ①求证：BC 是O 的切线；②求弦AC 的长．【答案】（1）见解析 （2【解析】【分析】（1）作出线段AC 的垂直平分线确定圆心，再作出圆即可求解；（2）①连接OC ，得出OAC OCA ∠=∠，根据90ACO OCD ∠+∠=°，结合已知条件得出90BCD OCD ∠+∠=°，即可得证；②先证明BCD BAC ∽△△，得到13BC BD CD BA BC AC ===，再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】解：点D 如图所示：【小问2详解】①证明：如图所示，连接OC ，∵AD 是直径，∴=90ACD ∠°，∴90ACO OCD ∠+∠=°，∵OA OC =，∴OAC OCA ∠=∠，∵BCD A ∠=∠，∴BCD ACO ∠=∠，∴90BCD OCD ∠+∠=°，即90OCB ∠=°， 又OC 是半径，∴BC 是O 的切线；②如图，∵BCD A ∠=∠，B B ∠=∠，∴BCD BAC ∽△△，∴BCBD CD BA BC AC==， ∵AD 是直径，∴=90ACD ∠° ∵tan 31CD A AC ∠==， ∴13BC BD CD BA BC AC === ∵9BC =，∴273BA BD ==，，∴24AD AB BD =−=，∵=90ACD ∠° ∴2221243AC AC +=，∴AC = 【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，相似三角形的判定与性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等知识，解题关键是正确作图并得出相似．24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线2221y x mx m =+−+ （m 是常数），顶点为M ．（1）用含m 的式子表示抛物线的对称轴；（2）已知点()222−−，A m ，当点A 不在y 轴上时，点A 关于x 轴的对称点为点B ，分别过点A 、B 作y 轴的垂线，垂足分别为D 、C ，连接AB ，得到矩形ABCD ．①当1m >−时，点M 到边AB 所在直线的距离等于点M 到x 轴的距离，求m 的值；②当1m <−时，抛物线的一部分经过矩形ABCD 的内部，这部分抛物线上的点的纵坐标y 随着x 的增大而减小，求m 的取值范围．【答案】（1）x m =−（2）①m =或；m =；②72m ≤−或322m −≤<− 【解析】【分析】此题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与矩形的综合应用；（1）化顶点式，求解即可；（2）①分两种情况，顶点M 在x 上方或下方时，根据题意，列出关于m 的方程，求解即可； 为解：2②分为两种情况，当点A 分别在对称轴的左右两侧时，根据题意，列出不等式，求解即可．【小问1详解】221y x mx m =+−+()2221x m m m =+−−+∴抛物线的对称轴为直线x m =−，【小问2详解】解：①2221y x mx m =+−+ ()2221x m m m =+−−+∴()2,21M m m m −−−+M 到x 轴的距离为221m m −−+ 点M 到边AB 所在直线的距离()222d m m m =−−−−=+ ∵1m >−∴20m +>，即2d m =+当2210m m −−+>时，2212m m m −−+=+解得m =或m =（舍去） 当2210m m −−+<时，2212m m m +−=+解得m =或m =（舍去）则m =m = ②由题意可得：()22,2B m −−−当22x m =−−时，()()2222222125y m m m m m =−−+−−−+=+ 当点A 分别在对称轴的左侧时，如下图：此时需要满足的条件为：()22252m m m −≥−− +< ，解得322m −≤<− 当点A 分别在对称轴的右侧时，如下图：此时需要满足的条件为：()22252m m m −<−− +≤− ，解得72m ≤− 综上：72m ≤−或322m −≤<− 25. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，6AC =，点D 在边BC 的延长线上，将线段CD 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DE ，连接BE ，P 为BE 的中点．（1）求BC 长；（2）连接AP ，PD ，请猜想AP 与PD 的数量和位置关系，并证明你的结论； （3）在（2）的条件下，若点M 为AC 中点，连接MP ，PC ，求+MP PC 的最小值．【答案】（1）BC =（2）AP PD =，AP PD ⊥，证明见解析 （3）的【解析】【分析】（1）根据勾股定理，即可求解；（2）连接CE ，,AP PD ，先证明,,A C E 三点共线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AP PD =，进而证明,,,A B E D 四点共圆，根据圆周角定理，即可得出AP PD ⊥；（3）过点A 作AT BC ⊥于点T ，先证明,,,A T P D 四点共圆，进而得出P 点的轨迹，得出TP AC ∥，作点M 关于TP 的对称点M ′，连接CM ′，当P 点在CM ′上时，PM PC PM PC M C ′′+=+=，此时取的最小值，进而勾股定理，即可求解．【小问1详解】解：∵在等腰直角三角形ABC 中，6AC =，∴BC =，【小问2详解】结论：AP PD =，AP PD ⊥证明：如图所示，连接CE ，,AP PD ，∵将线段CD 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DE ，∴,90CD DE CDE =∠=°， ∴CDE 是等腰直角三角形，∴45DCE ∠=°又∵45ACB ∠=°∴,,A C E 三点共线，∵P 为BE 的中点．90BAE BDE ∠==° ∴12PA BE =，12PD PE = ∴PA PD =∵90BAE BDE ∠==°∴,,,A B E D 四点共圆，∵ AD AD =，∴290APD ABC ∠=∠=°，【小问3详解】如图所示，过点A 作AT BC ⊥于点T∴90ATD APD ∠=∠=°∴,,,A T P D 四点共圆，∴ PDPD = ∴45DTP DAP ∠=∠=°，∴点P 在射线TP 上运动，∵45DTP ACB ∠=∠=°∴TP AC ∥作点M 关于TP 的对称点M ′，连接CM ′，当P 点在CM ′上时，PM PC PM PC M C ′′+=+=，此时取的最小值，∵ATC 是等腰直角三角形，M 是AC 的中点，6AC =∴TM AC ⊥，132TM AC ==，132MC AC == ∴6MM ′=在Rt MM C ′ 中，M C ′=即+MP PC 的最小值为．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，直角所对的弦是直径，轴对称的性质求线段和的最值问题，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键．。

广东2024高三一模数学试题及参考答案(详细)

广东2024高三一模数学试题及参考答案(详细)

广东2024届高三一模数学试题及参考答案
(详细)
2024届广东一模数学试题
2024届广东一模数学试题答案
怎样正确对待模拟考
1、千万要自觉遵守考试纪律。

模拟考的目的重在发现问题，以利再战，而不在于评价。

因此成绩必须是真实的，而不能给老师以虚假的信息，从而误导老师做出正确的判断。

有些同学虚荣心强，考试就想，这是“掩耳盗铃”，自欺欺人。

这部分同学还没有真正认识到模拟考的作用，不能正确对待模拟考试。

我们要求同学们尊重自我，高度自觉。

2、千万不要害怕考试。

同学们自上学以来，记不清经过多少次大大小小的考试，可以说久经沙场。

但还是不少同学害怕考试，一考试就紧张，一想到考试心就慌，这也是正常的心理现象。

关键是如何战胜自己，消除怯场，考试是生活在现代社会的学生、甚至部分成人必须面对的现实，是无法躲避的现实，考试是一种竞争，竞争的根源是社会差别。

只要社会差别存在，就存在竞争，考试只是维护公平竞争的手段。

因此同学们要正视竞争，积极投身于竞争，不能害怕竞争。

我们强调“高考意识”，就是投身竞争的积极态度。

高考是一种特殊“仪式”，是真正的成人仪式，当一个高中生通过高考，他就是一个真正的大人了。

高三模拟考试的特点
模拟考试试题的内容也是以考试大纲规定的考查知识范围为依据，题型与真题相似。

模拟考试各方面难易程度较适中;但也可能出现不严谨题目。

模拟考试所用试题是相关考试的专家系统编制的题目或是从题库整编出来的题目。

模拟考试只能作为一种学习后的一种测试，与真实考试情况仍可能不尽相同。

2024年广东省广州市越秀区初三一模数学试题含答案解析

2024年广东省广州市越秀区初三一模数学试题含答案解析

2024年广东省广州市越秀区中考一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．2-的相反数是（ ）A ．12B ．2C ．12-D ．2-【答案】B【分析】本题考查相反数的定义．根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”判断即可．【详解】解：2-的相反数是2．故选B ．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，即可求解．【详解】解：A 、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：A ．3．如图，将ABC 沿BA 方向平移到A B C ''' ，若4AB =，1AB '=，则平移距离为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】本题考查的是平移的性质，根据图形平移的性质可知AB A B ''=，再由4AB =，1AB '=可得出AA '的长，进而可得出结论，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键．【详解】解： 将ABC 沿BA 方向平移到A B C ''' ，4AB =，1AB '=，4AB A B ''∴==，413AA A B AB ''''∴=-=-=，∴平移距离为3．故选：B ．4．石墨烯堪称目前世界上最薄的材料，约为0.3纳米（1纳米0.000000001=米）．与此同时，石墨烯比金刚石更硬，是世界上最坚硬又最薄的纳米材料．0.3纳米用科学记数法可以表示为（ ）米．A ．8310-⨯B ．90.310-⨯C ．9310-⨯D ．10310-⨯【答案】D【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，一般形式为10n a -⨯，其中1||10a ≤<，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.3纳米0.30.000000001=⨯米10310-=⨯米．故选：D ．5．下列运算正确的是（ ）A =B ．()a b a b -+=-+C ．()325a a =D ．222()2a b a ab b -=-+【答案】D【分析】此题主要考查了幂的乘方运算、完全平方公式、二次根式的加减运算，直接利用幂的乘方运算法则、完全平方公式、二次根式的加减运算法则分别化简，进而得出答案，正确掌握相关运算法则是解题关键．6．关于函数21y x =-+，下列结论成立的是（ ）．A ．函数图象经过点(1,1)B ．y 随x 的增大而增大C ．当0x <时，0y >D ．函数图象不经过第一象限7．如图是一个正方体的平面展开图，若将其按虚线折叠成正方体后，相对面上的两个数字之和均为6，则2x y z -+的值为（ ）A ．0B ．2C ．12-D ．20-【答案】A【分析】本题考查了正方体的展开图形，代数式求值，根据正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．【详解】解：“y ”所在面与“3”所在面相对，“z ”所在面与“1-”所在面相对，“x ”所在面与“8”所在面相对，则()361686y z x +=+-=+=，，，解得：3y =，7z =，2x =-，()222370x y z ∴-+=⨯--+=，故选：A ．8．某班35位同学课外阅读物的数量统计如下表所示，其中有两个数据被遮盖，下列关于课外阅读物的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）．课外阅读物的数量2345678人数■■97932A ．平均数，方差B ．中位数，方差C ．平均数，众数D ．中位数，众数【答案】D【分析】本题考查了统计量的选择，熟练掌握众数和中位数的定义是解题的关键；根据众数和中位数的定义求解即可．【详解】这组数据中本数为2、3的人数和为：35979325-----=，则这组数据中出现次数最多的数9，即众数9，与遮盖的数据无关；5972118++=>，第18个数据为7，则中位数为7，与被遮盖的数据无关；故选：D ．9．如图，点E 为矩形ABCD 边CD 的中点，点F 为边BC 上一点，且FAE EAD ∠=∠，若8BF =，2FC =，则AF 的长为（ ）．A ．10B ．C ．12D ．【答案】C【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．根据矩形的性质，先证明()AAS ADE AGE ≌，得到ED EG =，10AD AG ==，再证明()Rt Rt HL ECF EGF ≌，得到2FG CF ==，即可求出AF 的长．【详解】解：如图，过点E 作EG AF ^于点G ，连接EF ，四边形ABCD 是矩形，8BF =，2FC =，90D C ∴∠=∠=︒，10AD BC BF CF ==+=，在ADE V 和AGE 中，90EAD FAE D AGE AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()AAS ADE AGE ∴ ≌，ED EG ∴=，10AD AG ==，点E 为CD 的中点，CE DE EG ∴==，在Rt ECF 和Rt EGF △中，CE EGEF EF =⎧⎨=⎩，()Rt Rt HL ECF EGF ∴ ≌，2FG CF ∴==，10212AF AG FG ∴=+=+=，故选：C10．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的函数值y 和自变量x 的部分对应取值如下表所示：x…1-0123…y…1m n 1p…若0m p ⋅<，则下列结论：①0a >；②若方程20ax bx c ++=的两个实数根为1x 、2x ，则121x x =+；③30a b c +-<；④n p ⋅的最大值为98．其中正确的结论是（ ）．A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④根据抛物线的对称性可得，当0x =和1x =时的函数值相等，m n =∴，0m p ⋅< ，0n p ∴⋅<，④结论错误；即正确的结论是②③故选：B二、填空题11x 的取值范围是 ．【答案】3x ≥【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【详解】解：根据题意知30x -≥，解得：3x ≥，故答案为：3x ≥．12．在一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，这些球除颜色外都相同．小明从中随机摸出一个球记下颜色并放回，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.4，则布袋中红球的个数大约是 ．【答案】16【分析】本题考查了利用频率估计概率，用总球的个数乘以摸到红球的频率即可得出答案，解答本题的关键要明确：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【详解】解： 一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，其中摸到红球的频率稳定在0.4，∴布袋中红球的个数大约是400.416⨯=（个)；故答案为：16．13．分式方程121x x =-的解是 ．【答案】x =-1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：x -1=2x ，解得：x =-1，经检验x =-1是分式方程的解，故答案为：x =-1．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．14．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰ABC ，其中AB AC =，27ABC ∠=︒，40cm BC =，则高AD 为cm ．（参考数据：sin 270.45︒≈，cos 270.89︒≈，tan 270.51︒≈）15．如图，点E 为菱形ABCD 的边AD 上一点，且3AE =，2DE =，点F 为对角线AC 上一动点，若DEF 的周长最小值为6，则sin BCD ∠= ．16．如图，在ABC 中，2AC =，1BC =，90ACB ∠=︒，点D 为边AB 上一动点（点D 与点A 、B 不重合），过点D 作DE AC ⊥，连接CD ．外接圆的直径的最小值是；（1）CDE内切圆的半径的最大值是．（2）CDE（2）令DE a =，CE b =，CD DE AC ⊥ ，90ACB ∠=︒，DE BC ∴∥，ADE ABC ∴∠=∠，AED ∠=∠∵C E AC ¢^，C C AB '⊥，C DB '∠=∴A C '∠=∠，∴2cos cos 5AC C A AB '===，∵425AC BC CC AB ⋅'=⋅=，三、解答题17．解方程：3112x x --=．18．如图，线段AC 与BD 相交于点O ，AB CD ，CD AB =，求证：OC OA =．【答案】见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键．根据平行线的性质可得D B ∠=∠，再根据对顶角相等并结合已知条件可证()AAS OCD OAB ≌，最后根据全等三角形的性质即可证明结论．【详解】证明：∵AB CD ，∴D B ∠=∠，在OCD 和OAB 中，DOC AOB D BDC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()AAS OCD OAB ≌，∴OC OA =．19．已知：2211(1)21a A a a a a -=÷+--+．(1)化简A ；(2)若关于x 的一元二次方程2220x ax a +++=有两个相等的实数根，求A 的值．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴上，四边形OABC 是平行四边形，反比例函数(0)m y x x=>过点(1,3)C ，且与边AB 交于点D ．(1)求反比例函数的解析式；(2)若点D 为边AB 的中点，求直线CD 的解析式．21．“英雄花开英雄城”2024广州传承弘扬红色文化系列活动正如火如荼地开展．某社区组织了形式多样的学雷锋志愿服务活动，活动现场设置义诊、科普宣传、普法宣传、消防宣传、交通宣传等多个便民服务摊位，吸引了众多市民前来参与活动．其中，前来参与义诊活动的100位市民的年龄整理可得如下的频数分布表：年龄分组/岁频数020x ≤<152040x ≤<254060x ≤<406080x ≤<20(1)参与义诊活动的市民平均年龄为______岁；(2)某医院安排了4名医生前来为市民提供义诊，现要从这4名医生（其中3名女医生，1名男医生）中随机抽调2人到附近养老院为老人义诊，用树状图或列表的方法求抽取的两名医生恰好都是女医生的概率．由树状图可知，共有12种情况，其中两名医生恰好都是女医生的情况有即抽取的两名医生恰好都是女医生的概率为61122=．22．人工智能与实体经济融合能够引领产业转型，提升人们生活品质．某科创公司计划投入一笔资金购进A 、B 两种型号的芯片．已知购进2片A 型芯片和1片B 型芯片共需900元，购进1片A 型芯片和3片B 型芯片共需950元．(1)求购进1片A 型芯片和1片B 型芯片各需多少元？(2)若该科创公司计划购进A 、B 两种型号的芯片共10万片，根据生产的需要，购进A 型芯片的数量不低于B 型芯片数量的4倍，问该公司如何购买芯片所需资金最少？最少资金是多少万元？【答案】(1)购进1片A 型芯片需350元，购进1片B 型芯片需200元；(2)该公司购买A 型芯片8万片，B 型芯片2万片所需资金最少,最少资金是3200万元【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，正确理解题意，找出数量关系是解题关键．（1）设购进1片A 型芯片需x 元，购进1片B 型芯片需y 元，根据“购进2片A 型芯片和1片B 型芯片共需900元，购进1片A 型芯片和3片B 型芯片共需950元”列二元一次方程组求解即可；（2）设购进A 型芯片的数量为a 万片，则购进B 型芯片数量为()10a -万片，根据“购进A 型芯片的数量不低于B 型芯片数量的4倍”列不等式，求出a 的取值范围，令购买芯片所需资金为w ，根据题意得到w 关于a 的一次函数，利用一次函数的增减性求解即可．【详解】（1）解：设购进1片A 型芯片需x 元，购进1片B 型芯片需y 元，由题意得：29003950x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：350200x y =⎧⎨=⎩，答：购进1片A 型芯片需350元，购进1片B 型芯片需200元；（2）解：设购进A 型芯片的数量为a 万片，则购进B 型芯片数量为()10a -万片，由题意得：()410a a ≥-，解得；8a ≥，令购买芯片所需资金为w ，则()350200101502000w a a a =+-=+，1500> ，w ∴随a 的增大而增大，∴当8a =时，w 最小，最小值为150820003200⨯+=万元，102a -=万片，答：该公司购买A 型芯片8万片，B 型芯片2万片所需资金最少,最少资金是3200万元23．如图，ABCD 为O 内接四边形，AC 为O 的直径， AB BD =，点E 为 AD 上一点，且 EAEC =．(1)求作点E ，连接ED ，延长ED ，BC 交于点F （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）所作的图中，连接CE ．①求证：CEF △为等腰三角形；②若5FC =，15BC =，求弦DE 的长．（2）①如图，连BD ，AE∵ EAEC = ，AC 为直径，∴18090452ACE ︒-︒∠==︒，∴45ACE ADE ∠=∠=︒，∴135EDC F DCF ∠=︒=∠+∠∴135F DCF ∠=︒-∠，【点睛】本题主要考查了圆的综合性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．24．已知抛物线22y x mx n =-++经过点(2,23)m -．(1)用含m 的式子表示n ；(2)当0m <时，设该抛物线与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，ABC 的外接圆与y 轴交于另一点D （点D 与点C 不重合），求点D 的坐标；(3)若点()13,E y -，()2,F t y ，()31,G m y -在该抛物线上，且当34t <≤时，总有123y y y <<，求3y 的取值范围．【答案】(1)21n m =-+(2)()0,1D -(3)315y >或310y -≤≤【分析】本题考查了二次函数的图象的性质，三角形的外接圆，同弧所对的圆周角相等；（1）把点(2,23)m -代入抛物线22y x mx n =-++，即可求解；（2）先求得,,A B C 的坐标，进而得出AOC 是等腰直角三角形，根据同弧所对的圆周角相等得出45ABD ACD ∠=∠=︒得出OBD 是等腰直角三角形，即可求解；（3）根据()31,G m y -在该抛物线上，则()223211y m m m =-=--，由当34t <≤时，总有123y y y <<，分点F 在,E G 之间，和对称轴右侧两种情况，分类讨论，即可求解．【详解】（1）解：把点(2,23)m -代入抛物线22y x mx n =-++，得，4423m n m -++=-，解得：21n m =-+；（2）解：∵21n m =-+，∴2221y x mx m =-+-+，当0y =时，则22210x mx m -+-+=，解得：1x =或21x m =-；又∵点A 在点B 的左侧，∴()21,0A m -，()1,0B ，当0x =时，则12y m =-，即()0,12C m -，∴当0m <时，OA OC =12m =-，∴AOC 是等腰直角三角形，∴45ACD ∠=︒，∵ABC 的外接圆与y 轴交于另一点D ，∴45ABD ACD ∠=∠=︒，即OBD 是等腰直角三角形，∵1OB =，则1OD =，根据圆的对称性可得：()0,1D -；（3）解：()31,G m y -在该抛物线上，则()223211y m m m =-=--，∵()22222121y x mx m x m m m =-+-+=--+-+，∴抛物线对称轴为直线x m =，∴点G 的横坐标1m m -<，即点G 在对称轴的左侧，∵当34t <≤时，总有123y y y <<，∴图①不成立，当F 的位置满足图②时，41m <-，解得：5m >，∴()223211y m m m =-=--，则315y >，当F 的位置满足图③时，则13234m m +≤⎧⎨+>⎩，解得：12m <≤，此时310y -≤≤，25．如图，矩形ABCD 中，4AB =，B C =，点E ，F 分别为边AB ，BC 上的点，将线段EF 绕点F 顺时针旋转60︒，得到线段FG ．射线FG 与对角线AC 交于点M ，连接EM ，EG ．(1)求FGE ∠的度数；(2)若2FC BF =，求AM ME EB +-的值；(3)连接CG ，DG ，若=BF ，设CDG 和EFG 的面积分别为1S ，2S ，当点E 在边AB 上运动时，求12S S 的最大值．∵4AB =，43B C =，90ABC ∠=︒∴228AC AB BC =+=，∴1sin 2ACB ∠=，∴30ACB ∠=︒，∴FB FQ =，∵BN MQ =，90FBN FQM ∠==︒，∴(SAS)FQM FBN ≌，∴FM FN BFN QFM ==∠∠,，FMQ FNB =∠∠，又∵120BFQ FCQ FQC ∠=∠+∠=︒，60EFM ∠=︒，60QFM EFB BFQ EFM ︒∴∠+∠=∠-∠=，60EFN NFB EFB QFM EFB ︒∴∠=∠+∠=∠+∠=，又EF EF =，∴(SAS)EFN EFM ≌，∴NEF MEF =∠∠，ENF EMF EM EN ∠∠==，，∴PMF FMQ =∠∠，又90,FPM FQM PF PF ∠=∠=︒=，∴FPM FQM ≌，∴MP MQ BN ==，AM ME BE AM EN BE AM BN AM MQ AQ∴+-=+-=+=+=连接AF ，∵,AF AF FB FQ ==，∴()Rt Rt HL ABF AQF ≌，∴4AQ AB ==，∴4AM ME BE AM EN BE AQ +-=+-==；（3）如图，作FO EG ⊥，连接FO ， BO ，过点O 作OR AE ⊥于R ，过点G 作PQ AD ∥分别交AB 、CD 于P 、Q ，由（1）可得EFG 是等边三角形，∴点O 为EG 的中点，90EOF ∴∠=︒，30EFO ∠=︒，。

广州天河区广州中学2025届高三下学期一模考试数学试题含解析

广州天河区广州中学2025届高三下学期一模考试数学试题含解析

广州天河区广州中学2025届高三下学期一模考试数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-的展开式中，含3x 的项的系数是（ ） A ．74B ．121C ．74-D ．121-2．设a ，b 是非零向量，若对于任意的R λ∈，都有a b a b λ-≤-成立，则 A ．//a bB ．a b ⊥C ．()-⊥a b aD ．()-⊥a b b3．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点与圆M ：22(2)5x y -+=的圆心重合，且圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为 ）A ．2BCD ．34．将函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向右平移8π个单位长度后，得到函数的图象关于直线3x π=对称，则函数()f x 在,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（ ）A ．[1,2]-B ．[2]C ．⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[2]5．1x <是12x x+<-的（ ）条件 A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要6．执行如图所示的程序框图，当输出的2S =时，则输入的S 的值为( )A ．-2B ．-1C ．12-D ．127．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ）A ．且B ．且C ．且D ．且8．设集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则集合()R C A B =A ．{}12x x -≤≤B ．{}02x x <≤C ．{}04x x <≤D ．{}14x x -≤≤9．已知向量(1,0)a =，(1,3)b =，则与2a b -共线的单位向量为( ) A ．13,2⎛⎝⎭B ．132⎛-⎝⎭C ．321⎫-⎪⎪⎝⎭或321⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．13,2⎛ ⎝⎭或132⎛-⎝⎭ 10．已知集合{}2|230A x x x =--<，集合{|10}B x x =-≥，则()A B ⋂=R（ ）.A ．(,1)[3,)-∞+∞B ．(,1][3,)-∞+∞C ．(,1)(3,)-∞+∞D ．(1,3)11．如图是一个算法流程图，则输出的结果是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．612．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ） A ．方差B ．中位数C ．众数D ．平均数二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024广东省广州大学附属中学中考一模数学试题及答案

2024广东省广州大学附属中学中考一模数学试题及答案

2024年广东省广州大学附属中学中考一模数学试题考试时间：120 分钟 满分：120 分一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，满分30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.在3，7−，0，19四个数中，最大的数是（ ）A 3B.7− C.0D.192.由六块相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（）A. B.C. D.3.某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为（单位：元）：30，50，50，60，60．若捐款最少的员工又多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，不受影响的统计量是（ ） A 平均数B.中位数C.众数D.方差4.下列计算正确的是（ ）A.248a a a ⋅=B.3332a a a−= C.()3236ab a b = D.()222a b a b +=+5.不等式组311442x x x x −≥+ +>− 解集是（）A.12x ≤< B.1x ≤ C.2x > D.12x <≤6.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O 的光线相交于点P ，点F 为焦点．若1155,230∠=°∠=°，则3∠的度数为（ ）..的A.45°B.50°C.55°D.60°7.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）A.16B.18C.14D.128.关于x 的函数y kx k =−和(0)kyk x=≠在同一坐标系中的图象大致是( )A. B. C. D.9.《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为x 里/天，则可列方程为（ ）A.900900132x x +=+ B.900900132x x −=− C.900900132x x+=−D.900900132x x−=+10.已知二次函数()()212y x ax b x x x x =++=−−（12,,,a b x x 为常数），若1213x x <<<，记=+t a b ，则（ ）A.30t −<<B.10t −<<C.13t −<<D.03t <<二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11.某种颗粒的半径约为0.000025米，用科学计数法表示这个数为________米． 12.分解因式：228x −=______． 13.从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y （单位：m ）与它距离喷头的水平距离x （单位：m ）之间满足函数关系式2241y x x =−++，喷出水珠的最大高度是______m ．14.在Rt ABC △中，90C ∠=°，30B ∠=°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点E ，F ；再分别以点E ，F 为圈心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点D ．则CD 与BD 的数量关系是____．15.如图，AB 是O 的直径，点C 在圆上．将 AC 沿AC 翻折与AB 交于点D ．若 3cm,OA BC=的度数为40°，则 AD =____________cm ．16.如图，DE 平分等边ABC 的面积，折叠BDE △得到,△FDE AC 分别与,DF EF 相交于,G H 两点．若,==DG m EH n ，用含,m n 的式子表示GH 的长是________．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.解方程：224x x −=18.如图，//AB CD ，B D ∠=∠，直线EF 与AD ，BC 的延长线分别交于点E ，F ．求证：DEF F ∠=∠．19.先化简，再求值：2211121x x x x x − +÷ +++ ，其中x 满足210x x −−= 20.为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解决下列问题：（1）此次调查的样本容量为 ；（2）扇形统计图中A 对应圆心角的度数为 °； （3）请补全条形统计图；（4）若该地区九年级学生共有25000人，请估计其中视力正常的人数． 21.如图，在平面直角坐标系中，一次函数152y x =+和2y x =−的图象相于点A ，反比例函数k y x =的图象经过点A ．（1）求反比例函数的表达式； （2）设一次函数152yx =+的图象与反比例函数y ＝k x 的图象的另一个交点为B ，连接OB ，求ABO 的面积；（3）根据图象直接写出关于x 的不等式152kx x+>的解集． 22. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个且每个“天宫”模型成本比每个“神舟”模型成本少20%．（1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？（2）该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型售价为35元，“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型a 个，售卖这两种模型可获得的利润为w 元， ①求w 与a 的函数关系式（不要求写出a 的取值范围）；②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？23.如图，已知APB ∠，点M 是PB 上的一个定点．的（1）尺规作图：请在图1中作O ，使得O 与射线PB 相切于点M ，同时与PA 相切，切点记为N ；（2）在（1）的条件下，若603APB PM ∠=°=，，则所作的O 的劣弧 MN与PM PN 、所围成图形的面积是_________．24.定义：平面直角坐标系xOy 中，点(),P a b ，点(),Q c d ，若c ka =，d kb =−，其中k 为常数，且0k ≠，则称点Q 是点P 的“k 级变换点”．例如，点()4,6−是点()2,3的“2−级变换点”．（1）函数4y x=−的图象上是否存在点()1,2的“k 级变换点”?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （2）点1,22A t t−与其“k 级变换点” B 分别直线1l ，2l 上，在1l ，2l 上分别取点()21,m y ，()22,m y ．若2k ≤−，求证：122y y −≥；（3）关于x 的二次函数()2450y nxnx n x =−−≥的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线5y x =−+上，求n 的取值范围． 25.如图1，在ABC 中，AB AC =，点M ，N 分别为边AB ，BC 的中点，连接MN ． 初步尝试：（1）MN 与AC 的数量关系是 ，MN 与AC 的位置关系是 ．特例研讨：（2）如图2，若90BAC ∠=°， 42BC =，先将BMN 绕点B 顺时针旋转α（α为锐角），得到BEF △，当点A ，E ，F 在同一直线上时，AE 与BC 相交于点D ，连接CF ． ①求BCF ∠的度数； ②求CD 的长．深入探究：（3）若90BAC ∠<°，将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，连接AE ，CF ．当旋转角α满足0360α°<<°，点C ，E ，F 在同一直线上时，利用所提供的备用图探究BAE ∠与ABF ∠的数量关系，并说明理由．在2024年广东省广州大学附属中学中考一模数学试题考试时间：120 分钟 满分：120 分一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，满分30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.在3，7−，0，19四个数中，最大的数是（ ）A.3B.7− C.0D.19【答案】A 【解析】【分析】根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得17039−<<<，∴最大的数是：3； 故选：A ．【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 2.由六块相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】观察图形可知，该几何体的俯视图如下：．故选：D ．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．3.某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为（单位：元）：30，50，50，60，60．若捐款最少的员工又多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，不受影响的统计量是（ ） A.平均数 B.中位数C.众数D.方差【答案】B 【解析】【分析】根据捐款最少的员工又多捐了20元，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，即可解答． 【详解】解：根据题意，可得302050+=，即捐款额为：50，50，50，60，60，此时中位数不变，平均数，众数，方差都会受到影响， 故选：B ．【点睛】本题考查了中位数，众数，方差，平均数，熟知以上概念是解题的关键． 4.下列计算正确的是（ ） A.248a a a ⋅= B.3332a a a −=C.()3236ab a b =D.()222a b a b +=+【答案】C 【解析】【分析】分别根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，完全平方公式逐一分析判断即可． 【详解】解：246a a a ⋅=，故A 不符合题意，33332a a a −=，故B 不符合题意；()3236ab a b =，故C 符合题意；()2222a b a ab b +=++，故D 不符合题意；故选C【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方运算，完全平方公式的应用，熟记运算法则是解本题的关键．5.不等式组311442x x x x −≥+ +>−的解集是（ ）A.12x ≤<B.1x ≤C.2x >D.12x <≤【答案】A 【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集． 【详解】解：311442x x x x −≥++>−①②解不等式①得：1x ≥， 解不等式②得：2x <， ∴不等式组的解集为12x ≤<， 故选A ．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．6.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O 的光线相交于点P ，点F 为焦点．若1155,230∠=°∠=°，则3∠的度数为（ ）A.45°B.50°C.55°D.60°【答案】C 【解析】【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵AB OF ∥， ∴1180BFO ∠+∠=°， ∴18015525BFO ∠=°−°=°， ∵230POF ∠=∠=°，∴3302555POF BFO ∠=∠+∠=°+°=°；故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键．7.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）A.16B.18C.14D.12【答案】A 【解析】【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率．【详解】解：设立春用A 表示，立夏用B 表示，秋分用C 表示，大寒用D 表示，树状图如下，由上可得，一共有12种可能性，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性2种， ∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是21126=． 故选：A ．【点睛】本题考查用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．理解和掌握树状图的画法和概率的公式是解题的关键． 8.关于x 的函数y kx k =−和(0)k y k x=≠在同一坐标系中的图象大致是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答．根据题意和函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想解答本题．【详解】解：当0k >时，函数y kx k =−的图象在第一、三、四象限，反比例函数(0)k y k x=≠的图象在第一、三象限； 当0k <时，函数y kx k =−的图象在第一、二、四象限，反比例函数(0)k y k x=≠的图象在第二、四象限；结合选项可得出C 选项正确．故选C ． 9.《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为x 里/天，则可列方程为（ ）A.900900132x x +=+B.900900132x x−=−C.900900132x x +=−D.900900132x x−=+ 【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 设慢马的速度为x 里/天，则快马的速度为2x 里/天，根据规定时间相等可得方程．【详解】解：设慢马的速度为x 里/天，则快马的速度为2x 里/天，根据题意，得900900132x x −=+． 故选：D ．10.已知二次函数()()212y x ax b x x x x =++=−−（12,,,a b x x 为常数），若1213x x <<<，记=+t a b ，则（ ）A 30t −<<B.10t −<<C.13t −<<D.03t << 【答案】C【解析】 【分析】由题意可得()1212a x x b x x =−+=，，从而得到()()12111a b x x +=−−−，再根据1213x x <<<可得()()1211113x x −<−−−<，由此即可得到答案．【详解】解：∵二次函数()()212y x ax b x x x x =++=−−，1213x x <<<，∴1x ，2x 是方程20x ax b ++=的两个根，∴()1212a x x b x x =−+=，， ∴()1212a b x x x x +=−++， ∴()()12111a b x x +=−−−，∵1213x x <<<，∴120112x x <−<−<，∴()()120114x x <−−<，∴()()1211113x x −<−−−<，.∴13a b −<+<，∴13t −<<，故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，正确得到()()12111a b x x +=−−−是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11.某种颗粒的半径约为0.000025米，用科学计数法表示这个数为________米．【答案】-52.510×【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a −×，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】-50.000025 2.510=×故答案为：-52.510×．12.分解因式：228x −=______． 【答案】()()222x x +−【解析】【分析】本题考查提公因式法与公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解决问题的关键．【详解】解：()()()222824222x x x x −=−=+−， 故答案为：()()222x x +−．13.从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y （单位：m ）与它距离喷头的水平距离x （单位：m ）之间满足函数关系式2241y x x =−++，喷出水珠的最大高度是______m ．【答案】3【解析】【分析】把二次函数化为顶点式，进而即可求解．【详解】解：∵222412(1)3y x x x =−++=−−+，∴当x =1时，3y =最大值，故答案是：3．【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的顶点式，是解题的关键．14.在Rt ABC △中，90C ∠=°，30B ∠=°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点E ，F ；再分别以点E ，F为圈心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点D ．则CD 与BD 的数量关系是____．【答案】12CD BD =【解析】 【分析】先根据直角三角形的性质可得60BAC ∠=°，再根据角平分线的尺规作图可知AD 平分BAC ∠，从而可得30CAD BAD ∠=∠=°，然后根据等腰三角形的定义可得AD BD =，最后根据直角三角形的性质可得12CD AD =，由此即可得出答案． 【详解】解： 在Rt ABC 中，90C ∠=°，30B ∠=°，9060BAC B ∴∠=°−∠=°，由角平分线的尺规作图可知，AD 平分BAC ∠，1302CAD BAD BAC ∴∠=∠=∠=°， B BAD ∴∠=∠，AD BD ∴=， Rt ACD 中，90C ∠=°，30CAD ∠=°，12CD AD ∴=， 12CD BD ∴=， 在故答案为：12CD BD =． 【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图、等腰三角形的定义、含30°角的直角三角形，熟练掌握角平分线的尺规作图是解题关键．15.如图，AB 是O 的直径，点C 在圆上．将 AC 沿AC 翻折与AB 交于点D ．若 3cm,OA BC=的度数为40°，则 AD =____________cm ．【答案】53π 【解析】【分析】如图：作D 关于AC 的对称点E ，连接,,AE BE OE ,则 AD AE =，然后再根据 BC的度数为40°可知20CAB ∠=°，然后再根据圆周角定理、邻补角性质可得18080100AOE ∠=°−°=°，最后运用弧长公式即可解答．【详解】解：如图：作D 关于AC 的对称点E ，连接,,AE BE OE ,则 AD AE =，∵ BC的度数为40°， ∴20CAB ∠=°，∴240EAB CAB ∠=∠=°∴280EOB EAB ∠=∠=°，∴18080100AOE ∠=°−°=°，∴»AE 长度为1002353603ππ°××=°， ∴ AD 的长度为53π． 的故答案为53π． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、弧长公式等知识点，求得»AE 的度数是解答本题的关键． 16.如图，DE 平分等边ABC 的面积，折叠BDE △得到,△FDE AC 分别与,DF EF 相交于,G H 两点．若,==DG m EH n ，用含,m n 的式子表示GH 的长是________．【答案】22m n +【解析】【分析】先根据折叠的性质可得BDE FDE S S =△△，60F B ∠=∠=°，从而可得FHGADG CHE S S S =+ ，再根据相似三角形的判定可证,ADG FHG CHE FHG ∽∽，根据相似三角形的性质可得222ADG FHG S DG m S GH GH== ，222CHE FHG S EH n S GH GH == ，然后将两个等式相加即可得． 【详解】解：ABC 是等边三角形， 60A B C ∴∠=∠=∠=°，∵折叠BDE △得到FDE V ，BDE FDE ∴ ≌，BD FDE E S S ∴= ，60F B A C ∠=∠=°=∠=∠，DE 平分等边ABC 面积，的BDE ACED FDE S S S ∴== 梯形，FHG ADG CHE S S S ∴=+ ，又,AGD FGH CHE FHG ∠=∠∠=∠ ， ,ADG FHG CHE FHG ∴ ∽∽，222ADG FHG S DG m S GH GH ∴== ，222CHE FHG S EH n S GH GH == ， 2221ADG CHE ADG CHE FHG FHG FHGS S S S m n S S GH S ++∴+=== ， 222GH m n ∴=+， 解得22GH m n =+或22GH m n =−+（不符合题意，舍去）， 故答案为：22m n +．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.解方程：224x x −=【答案】115x =+，215x =−．【解析】【分析】根据配方法即可求解．【详解】224x x −=2215x x −+=2(1)5x −=15x −=±∴115x =+，215x =−．【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是配方法的应用．18.如图，//AB CD ，B D ∠=∠，直线EF 与AD ，BC 的延长线分别交于点E ，F ．求证：DEF F ∠=∠．【答案】见解析【解析】【分析】根据已知条件//AB CD ，B D ∠=∠，得到DCF D ∠=∠，从而得到//AD BC ，即可证明DEF F ∠=∠．【详解】证明：∵//AB CD ，∴DCF B ∠=∠．∵B D ∠=∠，∴DCF D ∠=∠．∴//AD BC ．∴DEF F ∠=∠．【点睛】本题考查平行线的性质和判定．平行线的性质：两直线平行，内错角相等．平行线的判定：同位角相等，两直线平行．19.先化简，再求值：2211121x x x x x − +÷ +++ ，其中x 满足210x x −−= 【答案】()221x x +，2． 【解析】【分析】本题主要考查分式的化简求值，先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式()221x x+=，然后根据210x x −−=，得21x x =+，最后把21x x =+代入计算即可求解，解题的关键是对相应的运算法则的掌握，注意整体代入的应用．【详解】解：2211121x x x x x − +÷ +++ ()2211111x x x x x x ++− =+× ++ ()22121x x x +=×+()221x x+=， ∵210x x −−=，∴21x x =+，∴原式()2121x x +==+． 20.为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解决下列问题：（1）此次调查的样本容量为 ；（2）扇形统计图中A 对应圆心角的度数为 °；（3）请补全条形统计图；（4）若该地区九年级学生共有25000人，请估计其中视力正常的人数．【答案】（1）450 （2）36°（3）见解析 （4）2500人【解析】【分析】（1）根据C 的人数是117人，所占的比例是26%，据此即可求得此次调查的样本容量； （2）用A 类学生数除以450，再乘以360°即可得解；（3）利用总人数减去A 、C 、D 三类的人数即可求得B 的人数，从而补全直方图；（4）利用总人数25000乘以对应的百分比即可求得．【小问1详解】解：11726%450÷=，答：此次调查的样本容量为是450，故答案为450．【小问2详解】 解：4536036450×°=°， 故答案为36°；【小问3详解】解：4504511723355−−−=补全图形如下：【小问4详解】解：45250002500450×=（人） 答：九年级学生共有25000人，请估计其中视力正常的人数共有2500人．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21.如图，在平面直角坐标系中，一次函数152yx =+和2y x =−的图象相于点A ，反比例函数k y x =的图象经过点A ．（1）求反比例函数的表达式；（2）设一次函数152y x =+的图象与反比例函数y ＝k x 的图象的另一个交点为B ，连接OB ，求ABO 的面积；（3）根据图象直接写出关于x 的不等式152k x x +>的解集． 【答案】（1）反比例函数的表达式为8yx−． （2）15（3）82x −<<−或0x >．【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点、三角形的面积以及函数与不等式的关系等知识点，掌握方程思想和数形结合是解题的关键． （1）联立1522y x y x=+ =− 求得A 的坐标，然后运用待定系数法求解即可； （2）求得B 、C 的坐标，利用AOBAOC BOC S S S =−△△△求得即可； （3）根据图象即可求解．【小问1详解】解：联立1522y x y x=+ =− ，解得24x y =− = ， ∴A 点坐标为()24−，． 将()24A −，代入k y x =，得42k =−． ∴8k =−．∴反比例函数的表达式为8yx−． 【小问2详解】如图，联立1528y x y x =+ =，解得：24x y =− = 或81x y =− = ． ∴()8,1B −．在152y x =+中，令0y =，得10x =−． 故直线AB 与x 轴的交点为()100C −，． 如图，过A 、B 两点分别作x 轴的垂线，交x 轴于M 、N 两点，则1111····104101152222AOB AOC BOC S S S OC AM OC BN =−=−=××−××= ． 【小问3详解】由图象可得：关于x 的不等式152k x x+>的解集为82x −<<−或0x >． 22.2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个且每个“天宫”模型成本比每个“神舟”模型成本少20%．（1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？（2）该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型a 个，售卖这两种模型可获得的利润为w 元，①求w 与a 的函数关系式（不要求写出a 的取值范围）；②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？【答案】（1）“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元（2）①w 与a 的函数关系式为6900w a =+；②购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为1098元【解析】【分析】（1）等量关系式：320元购进“天宫”模型的数量320=元购进“神舟”模型的数量4−，据此列方程，检验合理性，即可求解；（2）①总利润=“神舟”模型的利润+“天宫”模型的利润，据此即可求解； ②可求1003a ≤，再由一次函数的增减性，从而可求6900w a =+的最值． 【小问1详解】解：设“神舟”模型成本为每个x 元，则“天宫”模型成本为每个()120%0.8x x −=(元)， 根据题意得：32032040.8x x=−， 解得20x =， 经检验，20x =是原方程的解，0.816x =(元)，答：“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元；【小问2详解】解：①设购买“神舟”模型a 个，则购买“天宫”模型()100a −个，则()()()35202516100w a a =−+−−2900a =+，∴w 与a 的函数关系式为6900w a =+；②∵购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半，()11008a a ∴≤−， 解得1003a ≤， 6900w a =+，60>，∴当33x =时，3369001098w =×+=最大（元）；答：购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润1098元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，找出相应的等量关系及不等关系，会根据一次函数的性质求解是解题的关键．23.如图，已知APB ∠，点M 是PB 上的一个定点．（1）尺规作图：请在图1中作O ，使得O 与射线PB 相切于点M ，同时与PA 相切，切点记为N ；（2）在（1）的条件下，若603APB PM ∠=°=，，则所作的O 的劣弧 MN与PM PN 、所围成图形的面积是_________．【答案】（1）见解析 （2）33π−【解析】【分析】（1）先作APB ∠的平分线PQ ，再过M 点作PB 的垂线交PQ 于点O ，接着过O 点作ON PA ⊥于N 点，然后以O 点为圆心，OM 为半径作圆，则O 满足条件；（2）先利用切线的性质得到OM PB ⊥，ON PN ⊥，根据切线长定理得到30MPO NPO ∠=∠=°，则120MON ∠=°，再利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出3OM =，然后根据扇形的面积公式，利用O 的劣弧 MN与PM PN 、所围成图形的面积PMON MON S S =−四边形扇形进行计算． 【小问1详解】解：如图，O 为所作；；【小问2详解】解：∵PM 和PN 为O 的切线，∴OM PB ⊥，ON PN ⊥，1302MPO NPO APB ∠=∠=∠=°， ∴90OMP ONP ∠=∠=°，∴180120MON APB ∠=°−∠=°，在Rt POM 中，MPO 30∠=°， ∴3tan 30333OM PM =⋅°=×=，∴O 的劣弧 MN与PM PN 、所围成图形的面积 PMON MON S S =−四边形扇形()2120312332360π××=×××−33π=−．故答案为：33π−． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定与性质、扇形的面积计算． 24.定义：平面直角坐标系xOy 中，点(),P a b ，点(),Q c d ，若c ka =，d kb =−，其中k 为常数，且0k ≠，则称点Q 是点P 的“k 级变换点”．例如，点()4,6−是点()2,3的“2−级变换点”．（1）函数4y x =−的图象上是否存在点()1,2的“k 级变换点”?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由；（2）点1,22A t t − 与其“k 级变换点” B 分别在直线1l ，2l 上，在1l ，2l 上分别取点()21,m y ，()22,m y ．若2k ≤−，求证：122y y −≥； （3）关于x 的二次函数()2450y nx nx n x =−−≥的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线5y x =−+上，求n 的取值范围． 【答案】（1）存在，2k =±（2）见解析 （3）n 的取值范围为01n <≤且16n ≠【解析】 分析】（1）根据“k 级变换点”定义求解即可；【（2）求出点B 的坐标为1,22kt kt k −+，得到直线1l ，2l 的解析式分别为122y x =−和122y x k =−+，根据2k ≤−进行证明． （3）由题意得，二次函数()2450y nx nx n x =−−≥的图象上的点的“1级变换点”都在函数()2450y nx nx n x =−++≥的图象上，得到函数245y nx nx n =−++的图象与直线5y x =−+必有公共点．分当0n >时和当0n <，0x ≥时分类讨论即可．【小问1详解】解：函数4y x=−的图象上存在点()1,2的“k 级变换点” 根据“k 级变换点”定义，点()1,2的“k 级变换点”为(),2k k −，把点(),2k k −代入4y x=−中， 得()24k k ⋅−=−，解得2k =±． 【小问2详解】证明： 点B 为点1,22A t t −的“k 级变换点”， ∴点B 的坐标为1,22kt kt k −+． ∴直线1l ，2l 的解析式分别为122yx =−和122y x k =−+． 当2x m =时，2221211222222y y m m k m k −=−−−+=−− ． 2k ≤−，∴222k −−≥．20m ≥，∴2222m k −−≥．∴122y y −≥．【小问3详解】 解：由题意得，二次函数()2450y nx nx n x =−−≥的图象上的点的“1级变换点”都在函数()2450y nx nx n x =−++≥的图象上．由2455nx nx n x −++=−+，整理得()241550nxn x n −++−=． ()()()2224145536121610n n n n n n =−+−−=−+=−≥△， ∴函数245y nx nx n =−++的图象与直线5y x =−+必有公共点．由()()24551y nx nx n n x x =−++=−−+得该公共点为()5,0．①当0n >时，由()2610n −≠得16n ≠． 又55n ≤得1n ≤， ∴01n <≤且16n ≠． ②当0n <，0x ≥时，两图象仅有一个公共点，不合题意，舍去． 综上，n 的取值范围为01n <≤且16n ≠． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，根据题意理解新定义是解题的关键．25.如图1，在ABC 中，AB AC =，点M ，N 分别为边AB ，BC 的中点，连接MN ． 初步尝试：（1）MN 与AC 的数量关系是 ，MN 与AC 的位置关系是 ．特例研讨：（2）如图2，若90BAC ∠=°， 42BC =，先将BMN 绕点B 顺时针旋转α（α为锐角），得到BEF △，当点A ，E ，F 在同一直线上时，AE 与BC 相交于点D ，连接CF ．①求BCF ∠的度数；②求CD 的长．深入探究：（3）若90BAC ∠<°，将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，连接AE ，CF ．当旋转角α满足0360α°<<°，点C ，E ，F 在同一直线上时，利用所提供的备用图探究BAE ∠与ABF ∠的数量关系，并说明理由．【答案】（1）12MN AC =，平行；（2）①30度；②6226−；（3）BAE ABF ∠=∠或180BAE ABF ∠∠=+°【解析】【分析】（1）AB AC =，点M ，N 分别为边AB ，BC 的中点，则MN 是ABC 的中位线，即可得出结论；（2）特例研讨：①连接EM MN NF ，，，证明BME 是等边三角形，BNF 是等边三角形，得出30FCB ∠=°；②连接AN ，证明ADN BDE ∽ ，则 2222DN AN DE BE ===，设DE x =，则2DN x =，在Rt ABE △中，2BE =，AE 23=，则23AD x =−，在Rt ADN △中，222ADDN AN =+，勾股定理求得423x =−，则2226226CD DN CN x =+=+=−； （3）当点C ，E ，F 在同一直线上时，且点E 在FC 上时，设ABC ACB θ∠=∠=，则1802BAC θ∠=°−，得出180BEC BAC∠+∠=°，则A ．B ，E ，C 在同一个圆上，进而根据圆周角定理得出EAC EBC αθ∠=∠=−，表示BAE ∠与ABF ∠，即可求解；当F 在EC 上时，可得A ，B ，E ，C 在同一个圆上，设ABC ACB θ∠=∠=，则1802BAC BEF θ∠=∠=°−，设NBF β∠=，则EBM β∠=，则360αβ+°，表示BAE ∠与ABF ∠，即可求解．【详解】解：（1）∵AB AC =，点M ，N 分别为边AB BC ，的中点， ∴MN 是ABC 的中位线，∴12MN AC =，MN AC ∥； 故答案为：12MN BC =，MN AC ∥； （2）特例研讨：①如图所示，连接EM MN NF ，，，∵MN 是BAC 的中位线，∴MN AC ∥，∴90BMN BAC ∠=∠=°，∵将BMN 绕点B 顺时针旋转α（α为锐角），得到BEF △，。

广东省广州市荔湾、海珠部分学校2025届高三第一次模拟考试数学试卷含解析

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广东省广州市荔湾、海珠部分学校2025届高三第一次模拟考试数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x +2）＝f （x ），当x ∈[﹣3，﹣2]时，f （x ）＝﹣x ﹣2，则（ ） A ．66f sinf cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞ B ．f （sin 3）＜f （cos 3）C ．4433f sinf cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＜ D ．f （2020）＞f （2019）2．下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题3．已知双曲线22214x y b-=（0b >0y ±=，则b =（ ）A ．BCD ．4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如16511=+，30723=+．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ） A ．114B ．112C ．328D ．以上都不对5．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，则()2log 5f ，31log 5f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5log 3f 的大小关系是（ ）A ．()()3521log log 3log 55f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭B ．()()3251log log 5log 35f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭C ．()()5321log 3log log 55f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< D ．()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< 6．已知函数()2()2ln (0)f x a e x x a =->，1,1D e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若所有点(,())s f t ，(,)s t D ∈所构成的平面区域面积为2e 1-，则a =（ ）A ．eB ．1e 2- C ．1 D ．2e e - 7．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ） A ．1,0a b <-< B ．1,0a b <-> C ．1,0a b >-<D ．1,0a b >->8．执行如图所示的程序框图，当输出的2S =时，则输入的S 的值为( )A ．-2B ．-1C ．12-D ．129．若各项均为正数的等比数列{}n a 满足31232a a a =+，则公比q =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的图象如图，则此函数表达式为（ ）A ．()3sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()13sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()3sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()13sin 24πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭11．已知函数()y f x =在R 上可导且()()f x f x '<恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．3(3)(0)f e f >、2018(2018)(0)f e f >B ．3(3)(0)f e f <、2018(2018)(0)f e f >C ．3(3)(0)f e f >、2018(2018)(0)f e f <D ．3(3)(0)f e f <、2018(2018)(0)f e f <12．已知ABC 的垂心为H ，且6,8,AB BC M ==是AC 的中点，则HM AC ⋅=（ ） A ．14B ．12C ．10D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024广州一模数学试卷

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1、若一个正方形的边长为4cm，则其对角线长度为A、4cmB、6cmC、8cmD、4√2cm解析：正方形的对角线将正方形分为两个等腰直角三角形，根据勾股定理，对角线长度d 满足d² = 4² + 4²，解得d = 4√2cm。

（答案：D）2、下列哪个数集包含的元素最多？A、自然数集B、整数集C、有理数集D、实数集解析：自然数集包含0和所有正整数，整数集包含自然数集和负整数，有理数集包含整数集和可以表示为两个整数之比的数（包括分数），实数集则包含有理数集和无理数（如π、√2等）。

因此，实数集包含的元素最多。

（答案：D）3、若一个三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长度可能为A、2B、4C、10D、16解析：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

所以，6 + 8 > 第三边 > 8 - 6，即14 > 第三边 > 2。

选项中只有10满足这个条件。

（答案：C）4、下列哪个选项不是方程x² - 4x = 0的解？A、x = 0B、x = 2C、x = 4D、x = -2解析：方程x² - 4x = 0可以分解为x(x - 4) = 0，解得x = 0或x = 4。

因此，x = -2不是方程的解。

（答案：D）5、若一个圆的半径为r，则其面积与半径为2r的圆的面积之比为A、1:2B、1:3C、1:4D、1:5解析：圆的面积与半径的平方成正比。

半径为r的圆面积为πr²，半径为2r的圆面积为π(2r)² = 4πr²。

两者面积之比为1:4。

（答案：C）6、下列哪个图形是轴对称但不是中心对称的？A、正方形B、等边三角形C、平行四边形D、圆形解析：轴对称图形是指沿一条直线折叠后能完全重合的图形，中心对称图形是指绕某一点旋转180°后能与原图形重合的图形。

正方形、圆形既是轴对称也是中心对称，平行四边形（非特殊如矩形、菱形）通常不是轴对称但可能是中心对称，等边三角形是轴对称但不是中心对称。

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2007年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数 学(理科)参考公式:如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件B 、C 互斥，那么(|)(|)(|)P B C A P B A P C A ⋃=+第一部分 选择题(共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{(,)|0,,},{(,)|0,,}A x y x y x y R B x y x y x y R =+=∈=-=∈,则集合A B 的元素个数是A. 0B. 1C. 2D. 3 2.已知,m R ∈向量(,1),2,a m a m ===若则 A. 1B.C. ±1D.3.函数()sin cos ()f x x x x R =-∈的最小正周期是A. 2πB. πC. 2πD. 3π 4.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍,那么这个椭圆的离心率为 A.B. C.D. 125.如图1所示的算法流程图中(注:”A=1”也可写成”A:=1”或”A ←1”,均表示赋值语句),第3个输出的数是A. 1B. 32C. 2D. 526.如果一个几何体的三视图如图2所示(单位长度:cm), 则此几何体的表面积是A. 2(80cm + B. 296cm C. 2(96cm + 主视图 左视图图1俯视图D. 2112cm 47.若函数3()3f x x x a =-+有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是 A. ()2,2- B. []2,2- C. (),1-∞- D. ()1,+∞8.如图3所示,面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为(1,2,3,4),i a i =此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为(1,2,3,4)i h i =，若4312412,()1234i i a a a a S k ih k ======∑则.类比以上性质，体积为V 三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)i S i =，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为(1,2,3,4)i H i =， 若431241,()1234i i S S S S K iH ======∑则 A.4VK B. 3V K C. 2V K D.V K第二部分 非选择题(共110分)二、填空题：本大题共7小题，其中9—12题是必做题，13—15题是选做题.每小题5分，满分30分）9.命题“若20,0m x x m >+-=则方程有实数根”的逆命题是 10.双曲线的中心在坐标原点，离心率等于2，一个焦点的坐标为（2，0）,则此双曲线的方程是11.已知数列1,,n n n a n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数则1100a a += ,123499100a a a a a a ++++++=12.不等式组2020220x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪--≤⎩,所确定的平面区域记为D .若点(,)x y 是区域D 上的点，则2x y +的最大值是 ;若圆222:O x y r +=上的所有点都在区图2图3域D 上，则圆O 的面积的最大值是▲选做题:在下面三道小题中选做两题,三题都选的只计算前两题的得分 13.如图4所示, 圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D, CD=4, BD=8, 则圆O 的半径等于 14.在极坐标系中,圆2ρ=上的点到直线(cos )6ρθθ+=的距离的最小值是15.设11,1,2a b a b a b+=+为正数,且则的最小值是 三、解答题:本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.16(本小题满分12分)已知tan 2θ=(Ⅰ)求tan()4πθ+的值 (Ⅱ)求cos2θ的值17.(本小题满分14分)如图5所示，在长方体1111,ABCD A B C D -中11,2AB BC BB ===111,4E CC CE CC =是棱上的点且(1)求三棱锥C BED -的体积(2)求证:1A C BDE ⊥平面18.(本小题满分12分)甲箱的产品中有5个是正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品. (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取出2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率19.(本小题满分14分)如图6所示，已知曲线2212::2(1)C y x C y x ax a ==-+>与曲线交于点O 、A ，直线(01)x t t =<≤与曲线1C 、2C 分别交于点D 、B ，连结OD ，DA ，AB.(1)写出曲边四边形ABOD （阴影部分）的面积S 与t 的函数关系式()S f t =图4A1C1B1DC B A ED1(2)求函数()S f t =20(本小题满分14分)已知圆C ：22x y +点M ()0,b ,且MP MQ ⊥. (1)当1;b k =时,求的值(2)当31,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求k 的取值范围.21(本小题满分14分)设{}n n S a n 是数列的前项和,对任意**1(0,1),,,n n n N S qa q q m k N m k ∈=+>≠∈≠且(1)求数列{}n a 的通项公式n a(2)试比较221()2m k m k S S S ++与的大小(3)当222111m km kq S S S +>+时,试比较与的大小2007年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数 学(理)参考答案及评分标准5分，满分30分,第11小题的第一空为2分,第二空3分,第12小题的第一 2分,第二空3分9. 20x x m +-=若方程有实数根 则m >010.3213y x -= 11. 100; 500012. 14; 45π13. 5 14. 115. 32三、解答题:16.本小题主要考查三角函数的诱导公式及和(差)角公式等基础知识,考查运算能力,满分12分 (1)tan 2tantan 4tan()341tan tan 4θπθπθπθ=+∴+==-- 4分(2)3cos 25θ=- 12分17.(1)1111111332212C BDE E BCD BCD V V S CE --∆==⋅=⋅⋅⋅⋅= 6分(2)略18.解(1)203528328C C P C ⋅== 4分 (2)设事件A 为”从乙箱中取出的一个产品是正品”,事件B1为”从甲箱中取出2个产品都是正品,”事件B2为”从甲箱中取出2个产品一个是正品一个是次品”事件B3为:” 从甲箱中取出2个产品都是次品”则事件B1,B2,B3互拆211253531232228885153(),(),()142828C C C C P B P B P B C C C ======7分 123654(|),(|),(|)999P A B P A B P A B === 10分112233()()(|)()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B P B P A B =++5615534147714928928925212=⋅+⋅+⋅== 12分 19解(1)由222(0,0),(,)2y x O A a a y x ax⎧=⎨=-+⎩得点 又由已知得22(,2),(,)B t t at D t t -+ 2分故2222011(2)(2)()22t S x ax dx t t t at t a t =-+-⋅⋅+-+-⋅-⎰32216t at a t =-+ 3221()(01)6S f t t at a t t ∴==-+<≤ 6分(2)22221()221()0,202:(2(2(1,f t t at a f t t at a t a t a t '=-+'=-+===+≤令即解得或由舍去) 8分若(21a a -≥≥即,01,()0t f t '<≤∴≥21()(1)6f t f a a ∴=-+在区间(0,1]上单调递增,S 的最大值是 10分(2t a <<当0时,()0f t '>()]f t a ∴在区间上单调递增当(21,()0a t f t '-<≤<时(),1]f t a ∴在区间上单调递减32()[(2]1)3f t f a a ∴=的最大值是 13分综上所述[]2max312,62()21),13a a a f t a a ⎧+-+≥⎪⎪=⎨⎪<<⎪⎩ 14分20解(1)1k = 4分(2)由222210y kx x y x y =⎧⎨+--+=⎩消去y 得 22(1)2(1)10k x k x +-++= ①设1122(,),(,)P x y Q x y 则1212222(1)1,11k x x x x k k++==++ 6分 2212121212()()(1)()0MP MQ x x y b y b k x x kb x x b ⊥+--=+-++=得 8分22222212(1)(1)0112(1)111k k kb b k kk k b b k b b ++⋅-⋅+=++++==++即令211()()1f b b f b b b'=+=-则当231(1,)()1023()(1,)2313(1,)()(2,)26b f b bf b b f b '∈=->∴∈∈时,在区间上是单调递增的当时, 11分22(1)13216k k k +∴<<+解得:166k k k >⎧⎪⎨>+<⎪⎩166k k ∴<<> 13分由①式00k ∆>>解得166k k ∴<<>(,)k ∴+∞的取值范围是6+23 14分21解(1)当n=1时,111111,1,1a S qa q a q==+≠∴=- 1分 11111n n n n n n n qa S S qa qa a a q ++++=-=-⇒=- 3分 {}11,111()11n n n q a q q q a q q -∴--∴=⋅--数列是以首项公比为的等比数列 4分(2)由(1)得11()1nn n q S qa q =+=-- 5分 令1qt q =- 222211()(1)(1)(1)22m k m km k m k S S S t t t ++⎡⎤∴-+=---+-⎣⎦ 7分 2221()221()02m k m km k t t t t ++⎡⎤=-⎣⎦=-> 故221()2m k m k S S S +>+ 9分(3)当22221,1,,,10,10,101m k m k m k qq t m k t t t t t q +>=>≠∴≠-<-<-<-时22221111()()m k m k S S S S ⎛⎫∴-+=-+-> ⎪⎝⎭= 11分222222220(1)(1)()11m k m k m k m k t t t t t t ++<--=-++<- 2(1)m k t +=-22211(1)(1)(1)m k m k t t t +∴>--- 13分2211221m km k m k S S t S ++⎛⎫∴-+>==- ⎪-⎝⎭22211m km kS S S +∴>+ 14分。

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