广州一模数学理含答案

2007年广州市普通高中毕业班综合测试(一)
数 学(理科)
参考公式:
如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件B 、C 互斥，那么(|)(|)(|)P B C A P B A P C A ⋃=+
第一部分 选择题(共40分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合{(,)|0,,},{(,)|0,,}A x y x y x y R B x y x y x y R =+=∈=-=∈,则集合
A B 的元素个数是
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3 2.已知,m R ∈向量(,1),2,a m a m ===若则 A. 1
B.
C. ±1
D.
3.函数()sin cos ()f x x x x R =-∈的最小正周期是
A. 2
π
B. π
C. 2π
D. 3π 4.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍,那么这个椭圆的离心率为 A.
B. C.
D. 12
5.如图1所示的算法流程图中(注:”A=1”也可写成
”A:=1”或”A ←1”,均表示赋值语句),第3个输出的数是
A. 1
B. 3
2
C. 2
D. 5
2
6.如果一个几何体的三视图如图2所示(单位长度:cm), 则此几何体的表面积是
A. 2
(80cm + B. 296cm C. 2(96cm + 主视图 左视图
图1
俯视图
D. 2112cm 4
7.若函数3()3f x x x a =-+有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是 A. ()2,2- B. []2,2- C. (),1-∞- D. ()1,+∞
8.如图3所示,面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为(1,2,3,4),i a i =此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为(1,2,3,4)i h i =，若
4
312412,()1234i i a a a a S k ih k ======∑则.类比以上性质，体积为V 三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)i S i =，
此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为(1,2,3,4)i H i =， 若4
3124
1
,()1234i i S S S S K iH ======∑则 A.
4V
K B. 3V K C. 2V K D.
V K
第二部分 非选择题(共110分)
二、填空题：本大题共7小题，其中9—12题是必做题，13—15题是选做题.每小题5分，满分30分）
9.命题“若20,0m x x m >+-=则方程有实数根”的逆命题是 10.双曲线的中心在坐标原点，离心率等于2，一个焦点的坐标为（2，0）,则此双曲线的方程是
11.已知数列1,,n n n a n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数
则1100a a += ,
123499100a a a a a a ++++
++=
12.不等式组2020220x y x y x y -+≥⎧⎪
++≥⎨⎪--≤⎩,所确定的平面区域记为D .若点(,)x y 是区域D 上的
点，则2x y +的最大值是 ;若圆222:O x y r +=
上的所有点都在区
图2
图
3
域D 上，则圆O 的面积的最大值是
▲选做题:在下面三道小题中选做两题,三题都选的只计算前两题的得分 13.如图4所示, 圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D, CD=4, BD=8, 则圆O 的半径等于 14.在极坐标系中,圆2ρ=
上的点到直线(cos )6ρθθ+=
的距离的最小值是
15.设11
,1,2a b a b a b
+=+为正数,且则的最小值是 三、解答题:本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.
16(本小题满分12分)
已知tan 2θ=
(Ⅰ)求
tan()4
πθ+的值 (Ⅱ)求cos2θ的值
17.(本小题满分14分)
如图5所示，在长方体1111,ABCD A B C D -中
11,2AB BC BB ===111
,4
E CC CE CC =是棱上的点且
(1)求三棱锥C BED -的体积
(2)求证:1A C BDE ⊥平面
18.(本小题满分12分)
甲箱的产品中有5个是正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品. (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取出2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，
求取出的这个产品是正品的概率
19.(本小题满分14分)
如图6所示，已知曲线2212::2(1)C y x C y x ax a ==-+>与曲线交于点O 、A ，直线
(01)x t t =<≤与曲线1C 、2C 分别交于点D 、B ，连结OD ，DA ，AB.
(1)写出曲边四边形ABOD （阴影部分）的面积S 与t 的函数关系式()S f t =
图4
A1C1
B1
D
C B A E
D1
(2)求函数()S f t =
20(本小题满分14分)
已知圆C ：22x y +点M ()0,b ,且MP MQ ⊥. (1)当1;b k =时,求的值
(2)当31,2b ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，求k 的取值范围.
21(本小题满分14分)
设{}n n S a n 是数列的前项和,对任意
**1(0,1),,,n n n N S qa q q m k N m k ∈=+>≠∈≠且
(1)求数列{}n a 的通项公式n a
(2)试比较221
()2
m k m k S S S ++与的大小
(3)当222111m k
m k
q S S S +>+时,试比较
与
的大小
2007年广州市普通高中毕业班综合测试(一)
数 学(理)参考答案及评分标准
5分，满分30分,第11小题的第一空为2分,第二空3分,第12小题的第一 2分,第二空3分
9. 20x x m +-=若方程有实数根 则m >0
10.3
2
13
y x -= 11. 100; 5000
12. 14; 45
π
13. 5 14. 1
15. 3
2
三、解答题:
16.本小题主要考查三角函数的诱导公式及和(差)角公式等基础知识,考查运算能力,满分12分 (1)
tan 2
tan
tan 4
tan()3
41tan tan 4
θπ
θ
π
θπθ=+∴+==-- 4分
(2)3
cos 25
θ=- 12分
17.(1)11111
11332212
C BDE E BC
D BCD V V S C
E --∆==⋅=⋅⋅⋅⋅= 6分
(2)略
18.解(1)20352
83
28C C P C ⋅== 4分 (2)设事件A 为”从乙箱中取出的一个产品是正品”,事件B1为”从甲箱中取出
2个产品都是正品,”事件B2为”从甲箱中取出2个产品一个是正品一个是次品”事件B3为:” 从甲箱中取出2个产品都是次品”则事件B1,B2,B3互拆
211
253531232228885153
(),(),()142828
C C C C P B P B P B C C C ======
7分 123654
(|),(|),(|)999P A B P A B P A B === 10分
112233()()(|)()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B P B P A B =++
5615534147714928928925212
=
⋅+⋅+⋅== 12分 19解(1)由2
22
(0,0),(,)2y x O A a a y x ax
⎧=⎨=-+⎩得点 又由已知得22(,2),(,)B t t at D t t -+ 2分
故2222011
(2)(2)()22t S x ax dx t t t at t a t =-+-⋅⋅+-+-⋅-⎰
3221
6
t at a t =-+ 3221
()(01)6
S f t t at a t t ∴==-+<≤ 6分
(2)22
221
()22
1
()0,202
:(2(2(1,f t t at a f t t at a t a t a t '=-+'=-+===+≤令即解得或由舍去) 8分
若(21a a -≥≥
即,01,()0t f t '<≤∴≥
21
()(1)6f t f a a ∴=-+在区间(0,1]上单调递增,S 的最大值是 10分
(2t a <<当0时,()0f t '
>()]f t a ∴在区间上单调递增
当(21,()0a t f t '-<≤<
时(),1]f t a ∴在区间上单调递减
32
()[(2]1)3
f t f a a ∴=的最大值是 13分
综上所述[
]2
max
312,62()21),13
a a a f t a a ⎧+-+≥⎪⎪=⎨
⎪<<⎪⎩ 14分
20解(1)1k = 4分
(2)由22
2210
y kx x y x y =⎧
⎨+--+=⎩消去y 得 22(1)2(1)10k x k x +-++= ①
设1122(,),(,)P x y Q x y 则121222
2(1)1
,11k x x x x k k
++=
=++ 6分 2212121212()()(1)()0MP MQ x x y b y b k x x kb x x b ⊥+--=+-++=得 8分
22
22
2212(1)(1)0112(1)111k k kb b k k
k k b b k b b ++⋅
-⋅+=++++==+
+即
令211()()1f b b f b b b
'=+=-则
当231
(1,)()10
23
()(1,)2
313
(1,)()(2,)
26b f b b
f b b f b '∈=->∴∈∈时,在区间上是单调递增的当时, 11分
22(1)13216k k k +∴<<+解得
:166k k k >⎧⎪
⎨
>+<⎪⎩
166k k ∴<<> 13分
由①式00k ∆>>解得
166k k ∴<<>
(,)k ∴+∞的取值范围是6+23 14分
21解(1)当n=1时,11111
1,1,1a S qa q a q
==+≠∴=
- 1分 11111
n n n n n n n q
a S S qa qa a a q ++++=-=-⇒=
- 3分 {}1
1,11
1()
11
n n n q a q q q a q q -∴--∴=⋅--数列是以首项公比为的等比数列 4分
(2)由(1)得11(
)1
n
n n q S qa q =+=-- 5分 令
1
q
t q =- 222211()(1)(1)(1)22
m k m k
m k m k S S S t t t ++⎡⎤∴-+=---+-⎣⎦ 7分 2221()221
()02
m k m k
m k t t t t ++⎡⎤=
-⎣⎦=-> 故221
()2
m k m k S S S +>+ 9分
(3)当22221,1,,,10,10,101
m k m k m k q
q t m k t t t t t q +>=
>≠∴≠-<-<-<-时
22221111()()m k m k S S S S ⎛⎫∴-+=-+-> ⎪
⎝⎭
= 11
分
222222220(1)(1)()11m k m k m k m k t t t t t t ++<--=-++<- 2(1)m k t +=-
222
11
(1)(1)(1)
m k m k t t t +∴
>--- 13分
2211221m k
m k m k S S t S ++⎛⎫∴-+>==- ⎪-⎝⎭
22211
m k
m k
S S S +∴
>
+ 14分。