第一讲 初一实数专题精讲

DSM 金牌数学 实数专题 第一讲 无理数

一、知识回顾

1.有理数：和统称为有理数。有理数分类如下：

（1）按整数、分数分类：

（2）按数的正、负性分类：

二、兴趣导入

圆周率π的含义。 三、知识精讲

1.无理数：无限不循环小数叫做无理数。

2.算术平方根: 如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为“a ”，读作“根号a ”.

3.算术平方根的双重非负性:非负数的算术平方根是非负数，即当a ≥0时，a ≥0.

4.(1)(a )2＝a ，(a ≥0)；

.........(0)0.........(0)......(0)a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；

【典例精析】

知识点一：无理数

例1、－1,23,3.14,－π,3.⋅3,0,2,27,2

4,－0.2020020002……(相邻两个2之间0的个数逐次加1).其中，是有理数的是_____________，是无理数的是_______________.

在上面的有理数中，分数有______________，整数有______________.

例2、若一定是是无理数，则a a 3

1-________数. 例3、若的整数部分是，则x x 72=________，如果要求精确到1.0，估计x 的值是________. ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧有理数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩

⎨⎧⎩⎨⎧有理数

例4、已知：在数－43

，－∙∙24.1,π,3.1416,32

,0,42,(－1)2n,－1.424224222…中，

（1）写出所有有理数；（2）写出所有无理数；

（3）把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号“<”连接.

【变式训练】

1.下列数中是无理数的是（ ）

A.∙∙3212.0

B.2π

C.0

D.722

2.下列说法中正确的是（ ）

A.不循环小数是无理数

B.分数不是有理数

C.有理数都是有限小数

D.3.1415926是有理数

3.已知确的是为无理数，下列命题正有理数，为非b a 0（ ）

○1是无理数；b a +○2是无理数；b a -○3是无理数；ab ○4是无理数b a

.

A.○1○2○3○4

B.○1○2

C.○1○3

D.○1○3○4

4.x 2=8,则x ______分数，______整数，______有理数.(填“是”或“不是”)

知识点二：算术平方根

例1、求下列各数的算术平方根.

（1）900；（2）1；（3）6449

；（4）14；（5）7

例2、求下列各式的值：

（1）2)64(； （2）2)4(-； （3）4)3(-； （4）22)4(3-+.

例3、(1)的算术平方根是）（24- （ ）

A ．2 B.2± C.4 D.4±

(2)算术平方根23 ______，的算术平方根是）（23-______，若==a a ，则32______.

【变式训练】 1.81的算术平方根是_____.

2.若2a ＝2，则a ＝_____.

3.若x x -+有意义，则1+x 的值是_____.

4．求下列各式的值：

（1）225)12(+-； （2）2)7(-； （3）

9005

136.031+； （4）81424.3⨯.

知识点三：算术平方根的非负性

例1、y 4=+，你能求出x ，y 的值吗？

例2、当2

例3、化简：22)3-2x (-14-4+x x .

【变式训练】

1.10b +=，则20072007_______a b +=.

2.当168--2-14122++<

3.求使等式0=成立的x 的值，王强同学的解答过程如下：

解：要使0=，则x=00=，级x=0或x=1,所以当x=0或x=1时，原

式成立。该同学的解答过程是否正确？如果正确，说明每一步的理由；如果不正确，请指出错误的原因，并写出正确的解答过程。

4.已知22-11

-22-13-1-）（，化简都为实数，且、y x y x x y y x +⋅+>.

四、思维拓展

1.已知的算术平方根，求6-5482-1-1-2y x x x x y ++=.

2.已知x x b a -33-3)-2b (a 1-2⋅=+++，求的值a a x b +.

五、巩固训练

一、选择：

1.下列语句正确的是（ ）

A.3.78788788878888是无理数

B.无理数分正无理数、零、负无理数

C.无限小数不能化成分数

D.无限不循环小数是无理数 2.16的算术平方根是（ ）

A ．4±

B ．4

C ．2±

D ．2

3.下列各式中无意义的是 （ ）

A 、7-

B 、7

C 、7-

D 、()2

7--

4.一个正偶数的算术平方根是m ，则和这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是（ ） A.m +2 B.m +2 C.22+m D.2+m

二、填空：

5.在0.351，－3

2，4.969696…,6.751755175551…,0,－5.2333,5.411010010001…中，无理数的个数有______.

6.已知2y x 3=-，且y 的算术平方根是4，则x= .

7.若12+x 有意义，则x 范围是________.

8.已知｜x －4｜+y x +2=0,那么x =________,y =________.

9.如果a ＜0,那么2a =________,(a -)2=________. 10. 21++a 的最小值是________，此时a 的取值是________

11.11的小数部分是a ，则a （6+a ）的值是___________.

三、解答题：

12.求下列各式的值：

（1）225 （2）0004.0-；（3）4

112±；（4）()21.0--； （5）04.081.0-.