反比例函数与锐角三角函数复习题(解析)

反比例函数与锐角三角函数复习题(解析)

一、反比例函数与一次函数和几何的综合

1.已知Rt△ABC 的斜边AB 在平面直角坐标系的x 轴上，点C （1，3）在反比例函数y = k x

的图象上，且sin∠BAC = 35

．

（1）求k 的值和边AC 的长； （2）求点B 的坐标．

1.（1）把C （1，3）代入y = k

x

得k =3。设斜边AB 上的高为CD ，

则sin∠BAC =

CD AC =35

∵C （1，3）∴CD=3，∴AC=5

（2）分两种情况，当点B 在点A 右侧时，如图1 有：AD=52

－32

=4，AO=4－1=3

∵△ACD ∽ABC ∴AC 2

=AD ·AB ∴AB=AC 2

AD =25

4

∴OB=AB －AO=

254－3=134 此时B 点坐标为（13

4

，0） 当点B 在点A 左侧时，如图2此时AO=4＋1=5 OB= AB －AO=

254－5=54 此时B 点坐标为（－5

4

，0） 所以点B 的坐标为（134，0）或（－5

4，0）．

2.如图，一次函数3y kx =+的图象与反比例函数m

y x

=

（x>0）的图象交于点P ，PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C 、

点D ，且S △DBP =27，

1

2

OC CA =。 （1）求点D 的坐标；

（2）求一次函数与反比例函数的表达式；

（3）根据图象写出当x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？

【答案】（1）D （0，3） （2）设P （a ，b ），则OA=a ，OC=1

3a ，得C （13

a ，0） 因点C 在直线y =kx +3上，得1303

ka +=，ka =－9 DB=3－b =3－(ka +3)=－ka =9，BP=a

由1192722DBP S DB BP a ∆=== 得a =6，所以32

k =-，b =－6，m =－36 一次函数的表达式为332y x =-+，反比例函数的表达式为36

y x

=-

（3）x >6

3.如图，一次函数的图象与反比例函数13

y x

=-

（x ＜0）的图象相交于A 点，与y 轴、x 轴分别相交于B 、C 两点，且C （2，0），当x ＜－1时，一次函数值大于反比例函数值，当x ＞－1时，一次函数值小于反比例函数值．[来源:学科网]

（1）求一次函数的解析式；

（2）设函数2a y x =

（x ＞0）的图象与13

y x

=-（x ＜0）的图象关于y 轴对称，在2a

y x

=（x ＞0）的图象上取一点P （P 点

的横坐标大于2），过P 点作PQ⊥x 轴，垂足是Q ，若四边形BCQP 的面积等于2，求P 点的坐标．

【答案】解：⑴∵1-x 时，一次函数值小于反比例函数值． ∴A 点的横坐标是-1，∴A（-1,3）

设一次函数解析式为b kx y +=，因直线过A 、C

则⎩⎨⎧=+=+-023b k b k 解得⎩

⎨⎧=-=11b k ∴一次函数的解析式为2+-=x y ．

⑵∵)0(2>=x x a y 的图象与)0(31<-=x x y 的图象关于y 轴对称，∴)0(3

2>=x x

y ∵B 点是直线2+-=x y 与y 轴的交点，∴B（0,2） 设P(n ，n

3

)，2>n ，S 四边形BCQP =S 梯形BOQP -S △BOC =2 ∴

22221)32(21=⨯⨯-+n n ，2

5=n ，∴P（25，56） 4. 如图，直线l 经过点A (1，0)，且与双曲线y ＝m

x

（x ＞0）交于点B (2，1)，过点P (p ，p －1)（p ＞1）作x 轴的平行线分别交曲线y ＝

m x （x ＞0）和y ＝－m

x

（x ＜0）于M ，N 两点.

（1）求m 的值及直线l 的解析式；

（2）若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ；

（3）是否存在实数p ，使得S △AMN ＝4S △APM ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）∵点B (2，1)在双曲线y ＝

m x 上，∴12

m

=，得m ＝2. 设直线l 的解析式为y ＝kx ＋b ，∵直线l 过A (1，0)和B (2，1) ∴021k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1

1k b =⎧⎨=-⎩

∴直线l 的解析式为y ＝x －1.

(2) 证明：当x ＝p 时，y ＝p －1，点P (p ，p －1)（p ＞1） 在直线l 上，如图.

∵P (p ，p －1)（p ＞1）在直线y ＝2上，∴p －1＝2，解得p ＝3

∴P (3，2)

∵PN ∥x 轴，∴P 、M 、N 的纵坐标都等于2

把y ＝2分别代入双曲线y ＝2x 和y ＝2

x -，得M (1,2),N (-1,2)

∴

31

11(1)

PM MN -==--，即M 是PN 的中点， 同理：B 是PA 的中点，∴BM ∥AN ∴△PMB ∽△PNA . （3）由于PN ∥x 轴，P (p ，p －1)（p ＞1）， ∴M 、N 、P 的纵坐标都是p －1（p ＞1）

把y ＝p －1分别代入双曲线y ＝

2x （x ＞0）和y ＝－2

x

（x ＜0）， 得M 的横坐标x ＝21p -和N 的横坐标x ＝－2

1

p -（其中p ＞1）

∵S △AMN ＝4S △APM 且P 、M 、N 在同一直线上，

∴4AMN APM S MN

S PM ∆∆=

=,得MN =4PM 即

41p -＝4(p －21

p -)，整理得：p 2

－p －3＝0， 解得：p

由于p ＞1，∴负值舍去

∴p

经检验p

∴存在实数p ，使得S △AMN ＝4S △APM ，

p

.

二、反比例函数实际应用题

5．为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释效过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间x (分钟)成正比例；药物释放完毕后，y 与x 成反比例，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)写出从药物释放开始，y 与x 之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；

(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室? 参考答案：8．(1)x y 43=，0≤x ≤12；y ＝x

108 (x ＞12)； (2)4小时．