高中数学抛物线的焦点弦性质教学设计

教学设计流程

教学过程

一、复习抛物线定义，焦半径公式，由焦半径公式推导的焦点弦式 问题：1、抛物线的定义内容是什么? 2、焦半径公式有哪些？

3、利用焦半径公式推导的焦点弦弦长有哪些？ AB 为焦点弦.点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)

y 2 = 2px （p ＞0）：|AB|＝ y 2 = -2px （p ＞0）：|AB|＝

x 2 = 2py （p ＞0）：|AB|＝ x 2 = -2py （p ＞0）：|AB|＝

二、新课引入

问题1、利用焦点弦的两端点横坐标和可以求焦点弦的弦长，那么如果知道焦点弦所在直线的倾斜角或是斜率，有没有更简便的方法去直接求出弦长呢？我们来看一道例题。

例1、过抛物线y 2 = 2px （p ＞0）的焦点F 做倾斜角为 的直线 ,设 交抛物线于A,B

两点,求证：

问题2、上面的例题的抛物线开口是向右的，那么抛物线开口向左、向上、向下的时候弦长又是多少？我们一起来探究。

结论：若过抛物线焦点的直线的倾斜角为θ时,其焦点弦弦长为： 当焦点在x 轴上时,

焦点在y 轴上时,

问题3、焦点弦的两个端点的横坐标、纵坐标之间是否有关系呢？如果有关系，又是什么？

例2、过抛物线y 2 = 2px （p ＞0）的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 求证： 12

p x x ++12()p x x -+12

p y y ++12()p y y -+θ

2sin 2p

AB =

l θθ

2

sin 2P

AB =

θ

22COS P

AB =22

21p

y y -=

问题4、上面的例题的抛物线开口是向右的，那么抛物线开口向左、向上、向下的时候它们的关系又是多少？我们共同来探究。

结论：焦点弦端点A 、B 的横坐标之积，纵坐标之积均为定值， 焦点在x 轴上时，

焦点在y 轴上时, 问题5、焦点弦弦长|AB|＝|AF |+ |BF |,那么|AF |和 |BF|之间有没有关系呢？ 例3、过抛物线y 2 = 2px （p ＞0）的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两

点，求证：

问题6、焦点在x 轴上和y 轴上的不同开口方向结论一样吗？

结论：抛物线的焦点F 到焦点弦的两端点A 、B 的距离的倒数和为定值，即

三、归纳小结： 1、焦点弦弦长公式

2、焦点弦端点A 、B 的横坐标之积、纵坐标之积均为定值

2

212

214p y y p x x -==,2

21221,4

p x x p y y -==112||||AF BF p

112

||||AF BF p

3、抛物线的焦点F 到焦点弦的两端点A 、B 的距离的倒数和为定值 四、作业：课下小组探究

1.过抛物线y 2 = 2px （p ＞0）的焦点F 作倾斜角为θ的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点，求证：

（同时探究焦点在y 轴上时的面积）

2、以焦点弦AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是什么？（可同时探究在椭圆和双曲线中这种圆和对应准线的位置关系）

3、设点M 为抛物线准线与x 轴的交点，线段AB 为焦点弦，试判断∠AMF 与∠BMF 的大小关系。

4、过焦点弦端点A 、B 作准线的垂线，垂足分别为C 、D ，求∠CFD 的大小。

θ

sin 22

P S AOB =∆