高中数学抛物线的焦点弦性质教学设计
数学复习课《抛物线焦点弦的性质》教学设计
数学复习课《抛物线焦点弦的性质》教学设计一、教材与考纲与课时背景分析考纲要求：掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．由此可见对抛物线的教学要求很高。
因此在复习教学中应认真总结关于抛物线的基础知识和基本的解题规律和技能技巧。
从教材安排看，这部分内容在学完椭圆和双曲线内容之后，学生对处理圆锥曲线的一些方法已经有所了解，此处更应突出抛物线的定义解决问题的关键和无心圆锥曲线的代表。
因此这部分内容有其独特的作用和意义。
由于前面课已经研究了抛物线的标准方程和几何性质，并且在高考中对抛物线或以抛物线为背景的考查新意不断出现，因此确定本节课的教学重点为：二、教学重点与难点教学重点与难点：应用函数与法方程思想变形与化简技术处理焦点弦的有关性质和动直线恒过定点问题的策略与方法。
三、教法与学法分析本节课坚持运用“问题系统教学法”，将“知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观”的三维目标细化为教学的三个系统，即“理解课题相对完整的知识方法系统-------抛物线的定义与标准方程的四种形式统一起来；感悟典型问题的变式探究系统--------抛物线中的动直线恒过定点及焦点弦问题，获得解决典型问题的经验与规律系统---------运用方程和函数思想处理问题”。
三系统服务于同一课题，组成完整的问题系统，相互支撑，共同促进能力的形成。
在“抓迁移，促能力”形成的过程中，立足于培养学生学习数学的习惯，使学有目标，记有规律，用有方法，贯彻通性通法，对灵活应用分层次要求。
努力做到教法、学法的最优组合。
并体现以下特点：1.充分利用数形结合，促使学生由感性认识上升为理性认识。
2.重视学生主体参与。
学生是学习的主体，教是为了使学生会学，因此，对本节课每个环节，都应通过学生的自主、合作、探究的学习过程来完成。
3.注重信息反馈，坚持师生间的多向交流。
学生的学习过程是通过揭示矛盾，解决矛盾的反复过程才得以完成的。
因此，根据教学信息反馈理论，当学生进行复习时，要引导多思、多说、多练，来充分暴露他们所遇到的矛盾和困惑，并在不断的交流中，使数学理解不断深化。
抛物线焦点弦的性质探究学案
《抛物线焦点弦的性质探究》学案【学习目标】1、通过复习抛物线的定义，对抛物线的焦点弦的探究，体验、感悟知识的生成和发生过程，体会数形结合的思想，理解抛物线焦点弦有关性质，掌握性质的推导过程．2、通过参与课堂活动，逐步学会发现问题、分析问题、解决问题的良好习惯．感受探索、合作的乐趣并从中获得成功的体验。
【学习重点与难点】焦点弦有关性质的探究与证明.【学习导航】一、知识点回顾1、 复习抛物线的定义，并写出抛物线的标准方程，焦点坐标，准线方程。
2、 若AB 是过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的弦，交抛物线于),(),,(2211y x B y x A ，则AF = ；BF= ；弦AB=________ （用A ，B 两点的坐标及p 表示）二、探究问题已知直线l 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F ，交抛物线于),(),,(2211y x B y x A 探究1:引例：已知倾斜角为45的直线l 过抛物线26y x =的焦点F ，交抛物线于A 、B 两点，求弦长AB 。
探究：已知倾斜角为α的直线l 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F ，交抛物线于A 、B 两点，求弦长AB小结1：探究2:过焦点的所有弦中,何时最短?小结2：探究3:从刚才的解题过程中能否发现12x x = ；12y y = ；小结3：探究4:=+BFAF 11 小结4:探究5:引例：已知倾斜角为45的直线过抛物线26y x =的焦点F ，交抛物线于A 、B两点，求证以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。
探究：已知直线l 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F ，交抛物线于),(),,(2211y x B y x A 两点，以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系？以AF 为直径的圆与y 轴的位置关系? 小结5:探究6: 是否在准线上找一点Q ，使QB QA ⊥，若能，找出Q 点的位置。
探究性学习抛物线焦点弦教学设计
探究性学习抛物线焦点弦探究性学习是一种以发展探究思维为目标，以学科的核心知识为内容，以探究发现为主的学习方式。
在中学数学教学中，引导学生开展探究性学习，对我们每一个数学教师来说，是一个谁也不可回避的新课题。
本节以现行高中新教材P.61的“例3：斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点且与抛物线相交于A、B，求线段AB的长”的教学过程设计为例，谈一谈如何在例题教学中引导学生开展探究性学习，现将教学过程的设计介绍如下：1 分步推进，引导学生探究多解本节课一开始，教师就让学生认真阅读例3，并思考如何解决以下3个问题：①求出直线AB的方程。
②求出交点A、B的坐标。
③如何求线段AB的长？计算AB长是否一定要具体计算A、B的坐标？由于创设了一题多解的情境，对于问题③，学生中出现了3种解题思路：思路1 ：先求交点坐标，然后直接运用两点间的距离公式求线段AB的长。
思路2 ：根据抛物线定义，把线段AF与BF转化为线段AA/和BB/（图见教材P61上的图，也是下文提到的“题图”）。
思路3：利用圆锥曲线的弦长公式。
那么，哪种解法最好呢？教师请学生用三种解法分别解之，并加以比较。
经过演算，大家一致认为，思路1虽然想起来很顺，但运算量较大；思路2从焦点弦的特殊性入手，是数形结合思想的典型应用，是解本题的最佳解法；思路3利用两根之和与两根之积的整体关系进行处理，避免了求交点坐标，也不失为一种好方法。
以上过程通过创设问题情境，激发了学生的探究欲望，使他们主动地参与到课堂教学中，做学习的主人，并自主整和了知识结构，对3种解题方法有了一定的认识。
2 辨析深化，探究解法的选择标准在完成了上述任务的基础上，教师接着提出了下列问题：问题1：斜率为1的直线经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，与抛物线相交于A、B两点，且线段AB=8，求p的值.问题1是例3的逆向问题，由于有了例3的解题体验，学生们不约而同地选择了思路2的解法，得p=2。
抛物线和简单几何性质教案(焦点弦的性质)
抛物线的几何性质（第一课时）
---------抛物线的焦半径和焦点弦
一、教学目标
1.知识与技能
掌握抛物线焦点弦的有关性质。
2.过程与方法
在进一步培养数形结合、分类讨论、转化等数学思想方法的过程中，提高学生的研究性学习能力。
3.情感态度与价值观
培养学生科学探索精神，体验合作与分享的快乐。
二、教材分析
教学重点：抛物线焦点弦有关性质的探究。
教学难点：梳理探究问题的方法，培养解决问题的能力。
教学方法：探究讨论式。
三、课堂设计
提问、探究、讲解、练习、总结．
四、教学过程
y2 = 4x 的焦点。
抛物线的焦点弦教学设计
抛物线的焦点弦教学设计一、教学目标通过本节课的教学，学生将达到以下几点目标：1. 理解抛物线的定义和性质；2. 掌握抛物线的焦点弦的概念及相关公式；3. 能够运用所学知识，解决与焦点弦相关的问题。
二、教学重难点1. 理解抛物线的焦点弦的定义和性质；2. 掌握抛物线的焦点弦的相关公式；3. 运用所学知识解决与焦点弦相关的问题。
三、教学准备1. 教学课件或黑板；2. 教学参考书或资料；3. 相关练习题和解答。
四、教学过程1. 导入（5分钟）引发学生对抛物线的兴趣，可以通过展示一些与抛物线相关的实例，如喷泉、太阳能反射器等，激发学生对抛物线的好奇心和探索欲望。
2. 理论讲解（20分钟）2.1 抛物线的定义和性质- 引导学生复习抛物线的定义，即平面上一点到定点F的距离与该点到直线l的距离相等。
- 引导学生探讨抛物线的几何形状和对称性质，并给出相关例题进行演示和讲解。
2.2 焦点弦的定义和性质- 引导学生理解焦点弦的概念，即经过焦点的直线，与抛物线相交于两个点，并且这两个交点相互关于焦点对称。
- 引导学生推导并记忆焦点弦的相关公式，包括焦点弦长、焦点弦的中点坐标和焦点弦的斜率等。
2.3 相关例题分析- 结合具体的例题，引导学生运用所学知识解决与焦点弦相关的问题，包括求焦点弦的长度、确定焦点弦的中点坐标等。
3. 讲解练习题（20分钟）通过展示和讲解一些相关的练习题，引导学生进一步理解和巩固所学知识点，并激发他们的思考和解题能力。
4. 小组讨论与分享（15分钟）将学生分成小组讨论，并让他们就所学知识点进行讨论和解题。
鼓励学生互相交流和分享各自的解题思路，并辅导他们在思考中发现和纠正自己的错误。
5. 总结与展望（5分钟）对本节课的内容进行总结，确保学生能够掌握和理解抛物线的焦点弦的概念和相关公式。
同时，展望下节课将要学习的内容，以激发学生的学习兴趣和预习能力。
五、板书设计为了简洁明了，可以在黑板或教学课件上进行板书设计：- 抛物线的定义- 抛物线的性质- 焦点弦的定义- 焦点弦的性质- 焦点弦的相关公式六、课堂作业布置一些与焦点弦相关的练习题，让学生独立完成，并要求他们写出解题过程和答案。
高中数学抛物线的焦点弦性质教学设计
教学设计流程教学过程一、复习抛物线定义，焦半径公式，由焦半径公式推导的焦点弦式 问题：1、抛物线的定义内容是什么? 2、焦半径公式有哪些？3、利用焦半径公式推导的焦点弦弦长有哪些？ AB 为焦点弦.点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)y 2 = 2px （p ＞0）：|AB|＝ y 2 = -2px （p ＞0）：|AB|＝x 2 = 2py （p ＞0）：|AB|＝ x 2 = -2py （p ＞0）：|AB|＝二、新课引入问题1、利用焦点弦的两端点横坐标和可以求焦点弦的弦长，那么如果知道焦点弦所在直线的倾斜角或是斜率，有没有更简便的方法去直接求出弦长呢？我们来看一道例题。
例1、过抛物线y 2 = 2px （p ＞0）的焦点F 做倾斜角为 的直线 ,设 交抛物线于A,B两点,求证：问题2、上面的例题的抛物线开口是向右的，那么抛物线开口向左、向上、向下的时候弦长又是多少？我们一起来探究。
结论：若过抛物线焦点的直线的倾斜角为θ时,其焦点弦弦长为： 当焦点在x 轴上时,焦点在y 轴上时,问题3、焦点弦的两个端点的横坐标、纵坐标之间是否有关系呢？如果有关系，又是什么？例2、过抛物线y 2 = 2px （p ＞0）的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 求证： 12p x x ++12()p x x -+12p y y ++12()p y y -+θ2sin 2pAB =l θθ2sin 2PAB =θ22COS PAB =2221py y -=问题4、上面的例题的抛物线开口是向右的，那么抛物线开口向左、向上、向下的时候它们的关系又是多少？我们共同来探究。
结论：焦点弦端点A 、B 的横坐标之积，纵坐标之积均为定值， 焦点在x 轴上时，焦点在y 轴上时, 问题5、焦点弦弦长|AB|＝|AF |+ |BF |,那么|AF |和 |BF|之间有没有关系呢？ 例3、过抛物线y 2 = 2px （p ＞0）的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，求证：问题6、焦点在x 轴上和y 轴上的不同开口方向结论一样吗？结论：抛物线的焦点F 到焦点弦的两端点A 、B 的距离的倒数和为定值，即三、归纳小结： 1、焦点弦弦长公式2、焦点弦端点A 、B 的横坐标之积、纵坐标之积均为定值2212214p y y p x x -==,221221,4p x x p y y -==112||||AF BF p112||||AF BF p3、抛物线的焦点F 到焦点弦的两端点A 、B 的距离的倒数和为定值 四、作业：课下小组探究1.过抛物线y 2 = 2px （p ＞0）的焦点F 作倾斜角为θ的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点，求证：（同时探究焦点在y 轴上时的面积）2、以焦点弦AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是什么？（可同时探究在椭圆和双曲线中这种圆和对应准线的位置关系）3、设点M 为抛物线准线与x 轴的交点，线段AB 为焦点弦，试判断∠AMF 与∠BMF 的大小关系。
高中数学公开课优质教案：抛物线和简单几何性质教案(焦点弦的性质)
抛物线几何性质专题一---------抛物线的焦半径和焦点弦一、教学目标(一)知识教学点使学生理解并掌握抛物线的几何性质，从定义和标准方程出发，探究有关抛物线的焦半径和焦点弦的常见性质．(二)能力训练点从抛物线的定义和标准方程出发，结合几何分析和坐标运算，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．(三)学科渗透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解，这样才能解决抛物线中的弦、最值等问题．二、教材分析1．重点：有关抛物线焦半径和焦点弦几何性质的推理过程中所应用的方法、技巧和结论．2．难点：对抛物线的几何性质推理和应用的方法渗透．三、课堂设计提问、填表、讲解、演板、练习、探究、总结．四、教学过程教学环节教学内容设计意图（一）复习上节课的定义及各标准方程，提问学生。
复习巩固（二）抛物线的几何性质探究：（1）范围因为0>p，由方程可知0≥x，所以抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，||y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．（2）对称性以y-代y，方程不变，所以抛物线关于x轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛从认识抛物线的几何直观入手，总结归纳常见的几何性质。
物线的轴． （3）顶点抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当 时，因此抛物线的顶点就是坐标原点． （4）离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知其他三种标准方程抛物线的几何性质可类似地求得．（5）讨论抛物线上一动点P 到焦点F 的距离（焦半径长度）和焦点弦长的问题。
总结如下：2011-11-13焦点弦的长度焦半径顶点对称性范围图形方程y 2= 2px （p ＞0）y 2= -2px （p ＞0）x 2= 2py （p ＞0）x 2= -2py （p ＞0）l F yxOl FyxOlFy xOx ≥0y ∈R x ≤0y ∈Rx ∈R y ≥0y ≤0x ∈R l FyxO 12p x x ++12()p x x -+12p y y ++12()p y y -+02px +02px -02py +02py -关于x 轴对称关于x 轴对称关于y 轴对称关于y 轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）（三）有关抛物线定义和焦半径的灵活应用。
抛物线的焦点弦有关性质探究.doc
抛物线的焦点弦有关性质探究【教学目的】 1、知识与技能目标：理解抛物线焦点弦与切线有关的性质，掌握其性质的推导过程． 2、过程与方法目标：（1）通过其性质证明、体会方程的思想在解析几何问题中的应用． （2）逐步培养学生发现问题、分析问题、解决问题的良好习惯． 3、情感、态度与价值观目标：（1）体会数学各知识点之间的相互联系，感受万物世界的相互依存． （2）培养学生善于思考，勇于探索的钻研精神． 【教学重点】焦点弦有关性质的证明 【教学过程】 【知识回顾】1、过抛物线px y 22=（p ＞0）的焦点F 作弦AB ，设()11,y x A ，()22,y x B ，则221p y y -=⋅，4221p x x =⋅．2、过抛物线上一点的切线方程 （1）点()00,y x P 是抛物线()022≠=m mx y 上一点，则抛物线过点P 的切线方程是：()x x m y y +=00（2）点()00,y x P 是抛物线()022≠=m my x 上一点，则抛物线过点P 的切线方程是：()y y m x x +=00【有关性质的探究】1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？ 结论：交点在准线上以px y 22=（p ＞0）为例说明特例：当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p 在准线上．证明:当弦AB 过焦点F ，设()11,y x A 、()22,y x B 则过A 点的切线方程是：()11x x p y y += ① 过B 点的切线方程是：()22x x p y y += ②由①－②可得：()()2121x x p y y y -=-即：()p y y p y y y 2222121-⋅=- ∴221y y y +=代入①式可得：px y y 221=⋅∵弦AB 过焦点弦，由焦点弦性质可知221p y y -=，∴2p x -=即交点P 坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2,221y y p ． 结论延伸：切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论发散：当弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．2、上述命题的逆命题是否成立？结论：过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点以px y 22=（p ＞0）为例说明特例：过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点．证明:⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p P ，设()11,y x A 、()22,y x B ，则切线PA 的方程为()11x x p y y +=，切线PB的方程为()22x x p y y +=．均过点P ，则21p x =，22px =，故弦AB 过焦点．证明：设准线上任一点⎪⎭⎫⎝⎛-0,2y p P ，切点分别为()11,y x A 、()22,y x B ， 则切线方程分别为：()11x x p y y +=，()22x x p y y +=两切线均过点P ，则满足⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=1012x p p y y ，⎪⎭⎫⎝⎛+-=2022x p p y y ．故过两切点的弦AB 方程为：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20p x p y y ， 则弦AB 过焦点．结论延伸：过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．3、如图，AB 是过抛物线px y 22=（p ＞0）焦点F 的弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，l BB ⊥1，过点A ，B 的切线相交于P 点，PQ 与抛物线交于点M ．（1）PA 与PB 是否有特殊的位置关系？ 结论：PA ⊥PB ．证明：1y p k PA=，2y p k PB =，∴1212-=⋅=⋅y y p k k PB PA∴PA ⊥PB ．（2）与是否有特殊的位置关系？ 结论：PF ⊥AB ．证明：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2,221y y p P ，⎪⎭⎫ ⎝⎛=0,2p F p y y k PF 221-+=，21222121212122y y pp y y y y x x y y K AB +=--=--=1-=⨯∴AB PF K K ∴PF ⊥AB ．（3）点M 与点P 、Q 的关系 结论：M 平分PQ ．证明：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2,221y y p P ，⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x Q ∴221y y y M +=∴()()24822828221221222212212QP M M x x p x x p p x x p p p y y p y y p y x +=-+=-+=-+=+==∴M平分PQ．（4）直线PA与∠A1AB，直线PB与∠B1BA的关系结论：PA平分∠A1AB，PB平分∠B1BA．证明：⎪⎭⎫⎝⎛---=2,2121yyxpAP，⎪⎭⎫⎝⎛--=0,21xpAA，⎪⎭⎫⎝⎛---=11,2yxpAF∴2112⎪⎭⎫⎝⎛+=⋅xp，2242121221yyypx+--=⋅21122124⎪⎭⎫⎝⎛+=++=pxpxpx=∴FABAPA∠=∠1即PA平分∠A1AB，同理PB平分B1BA．（52PF的大小比较结论：2 PF =证明：⎪⎭⎫⎝⎛-=11,2ypxFA，⎪⎭⎫⎝⎛-=22,2ypxFB，()⎪⎭⎫⎝⎛+-=2,21yypPF()212122yypxpxFBFA-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛--=⋅-=()()2221222212142442ppxxppppxxpxx+-++-=+-++-=()22221pxxp++=()()()212212221222122222414xxppyyyypyyp++=+++=++=2PF=（6）PABS∆的最值问题结论：PABS∆2minp=证明：2121yyPQSPAB-⋅=∆∵()pp x x p x x BB AA PQ =+⋅≥++=+=22212212111⎪⎭⎫⎝⎛===”时取“当221p x x2121y y y y +=-≥py y 2221=⋅ ()”时取“当==-=p y y 21 ∴PABS ∆2minp =（两等号可同时取得）课下思考：当弦AB 不过焦点，切线交于P 点时，有无与上述结论类似结果．则①p y y x p 221=，221y y y p +=②PA 平分∠A1AB ，同理PB 平分∠B1BA ． ③PFB PFA ∠=∠ ④点M 平分PQ2PF=【练习】（2006年重庆高考（文）22）对每个正整数n ，()n n n y x A ,是抛物线y x 42=上的点，过焦点F 的直线FAn 交抛物线于另一点()n n n t s B ,，（1）试证：4-=⋅n n s x （n ≥1）（2）取nn x 2=，并Cn 为抛物线上分别以An 与Bn 为切点的两条切线的交点，求证：122121+-=++++-n n n FC FC FC （n ≥1）（1）证明：焦点（0，1） 设直线An Bn 方程为：1+=x k y n⎩⎨⎧=+=y x x k y n 412 消去y 得 0442=--x k x n ∴4-=⋅n n s x（2）由x y 21'= 则2'n nx x y =故y x 42=在An 处切线方程为()n nn x x x y y -=-2，即422n n x x x y -=类似的，y x 42=在Bn 处切线方程为()n nn s x s t y -=-2，即422n n s x s y -= 两式相减得2n n s x x +=代入可得14-=⋅=n n xs y则点⎪⎭⎫⎝⎛-+1,2n n n s x C ∴2222222222442442⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++=+⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n nn n n n nx x x x s x s x FC从而nn n x x FC 22+=∴()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=+++n n n x x x x x x FC FC FC 111221212121()12222122121212222211122+-=-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=+-+-n n n n n n【作业】1、证明上述问题中的结论发散2、已知抛物线y x 42=的焦点为F ，A ，B 是抛物线上的两动点，且λ=（λ＞0），过A ，B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ，（1）证明：AB FM ⋅的值；（2）设ABM ∆的面积为S ，写出()λf S =的表达式，并求S 的最小值．3、已知抛物线C 的方程为y x 42=，焦点为F ，准线为l ，直线m 交抛物线于两点A ，B ；（1）过点A 的抛物线C 的切线与y 轴交于点D ，求证：DFAF =；（2）若直线m 过焦点F ，分别过点A ，B 的两条切线相交于点M ，求证：AM ⊥BM ，且点M 在直线l 上．。
高中数学_与抛物线焦点弦相关问题教学设计学情分析教材分析课后反思
高三数学专题复习--《抛物线的焦点弦问题》课堂设计方案高三数学组设计依据根据普通高中数学课程标准：认识抛物线的几何特征，建立它们的标准方程，应用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质及它们的位置关系，运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想。
教学设想1.教学任务群：任务一、借助复习学案引导学生回顾抛物线的相关知识任务二、展示学生做题方法达到学生间的交流互动任务三、提取本节课的重难点形成解题模式任务四、当堂巩固提高检测学生学习效率2.教学方法：多媒体教学法，小组合作法，点拨法3.教学时间：1课时4.教学目标：1、抛物线焦半径坐标形式和倾角形式、弦长公式2、过焦点的直线与抛物线交点的定值问题。
3、焦点弦中的位置关系问题。
重难点：和抛物线的焦点弦相关的公式的证明和使用。
教学过程一、复习导入通过一道抛物线的证明题回顾抛物线的焦半径，焦点弦，定值问题，展示学生的解题过程及学生的讲解，达到回顾知识，引出本节的重难点，让学生对本节知识有个整体认知。
教师板书本届知识点达到知识梳理，给学生形成知识脉络的目的。
二、知识讲解知识点一：焦半径及焦点弦 例一、已知抛物线，AB 是抛物线的焦点弦，点C 是AB 的中点，AA '垂直准线于A '，BB '垂直准线于B ',CC '垂直准线于C ',CC '交抛物线于点M ，准线交x 轴于点K.求证： 1.12||,||,22p p AF x BF x =+=+ 2. ||,||,1cos 1cos p p AF BF αα==-+ 证明：作AH 垂直于x 轴于点H,则||||||||||cos ,AF AA KF FH p AF α'==+=+∴||.1cos p AF α=-同理可证另一个. 3．112||||AF BF p+= 证明：由||,||;1cos 1cos p p AF BF αα==-+得证. 4.1222||sin p AB x x p α=++=证明：1212AB AF FB 22p p x x x x p =+=+++=++， AB =p p p p p 2sin 2cos 12cos 1cos 122≥=-=++-αααα 教学目的：通过焦半径及焦点弦的公式的推导以及在原有题目上的应用，达到掌握公式，体会公式使用的优越性，突出本节的重难点。
抛物线焦点弦的两个性质的教学设计
抛物线焦点弦的两个性质的教学设计最近我在教学中遇到这样一节课。
这节课虽不是事先准备好的研究课，但它却给我留下了深刻的印象。
这节课的最大特点是在学生探索的过程中，当学生产生了错误之后，教师不是简单地否定，再换一个同学说出正确的答案，而是抓住矛盾，深入分析，寻找错误的原因，研究正确的解决办法。
《平面解析几何》（抛物线焦点弦的两个性质）。
教学目标：1、认知目标：通过对抛物线焦点弦有关性质的探究，进一步改善对“抛物线”的认知结构。
2、能力目标：提高猜想、合情推理的能力，培养发现问题、提出问题的意识和数学交流的能力。
3、情感目标：通过对问题的探究活动，亲历知识的建构过程，领悟其中所蕴涵的数学思想和辩证唯物主义观点；体验探索中挫折的艰辛与成功的快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，初步形成正确的数学观、创新意识和科学精神。
教学重点：形成主动参与和积极探索的人生态度，强化发现问题、提出问题的意识，倡导相互协作、成果共享的精神。
教学难点：直觉发现与逻辑证明（证实或证伪）。
教学过程：师：圆锥曲线的焦点弦问题是解析几何中一类非常重要的问题。
今天，我们就来共同研究抛物线焦点弦的有关性质。
当抛物线的焦点弦垂直于它的对称轴时，该焦点弦叫做抛物线的通径。
如图1，点F 是抛物线)0(22>=p px y的焦点，线段AB 是它的通生众：（1）221px x ==；（2）221p y y -=；（3）4212p x x =；（4）p AB 2||=。
（这些结论相当简单，容易发现，详细过程略）师：能证明这些结论吗？生1：由通径的定义可知A 、B两点的坐标分别为)(),(22p ，、p p p -，所以，上述结论都成立。
生2：也可以由抛物线的焦半径公式2221||||pp x BF ，x AF +=+=，得到p x x AB p p 2||2221=+++=。
前苏联著名教育家苏霍姆林斯基说：“人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者。
高二数学抛物线焦点弦的性质 人教版 教案
（5）以 为直径的圆与准线 相切，切点为 中点
（6）以 为直径的圆与 相切，切点为焦点
（7） 三点共线， 三点共线，
（8）
教学设计说明：1、学生的思维活动和思维结果往往越出教师精心设计安排的期望轨迹，他们的独特见解常常在某一方面超过老师，他们与众不同的思维方式方法更具有互补性、相互纠正作用及相互激励作用。因此，教师的课前准备是必要的，但不能用此来限制学生的思维。
2、学生在这种某某、自由、平等、和谐的教学环境中能最佳地表现出快速密集、灵活多变、创新求异的思维状态；观察敏锐、想象丰富、产生灵感的智力状态和勇于探索、质疑问难、不畏艰险的精神状态。在师生之间，学生之间形成的多向反馈回路是一种强度很大的的思维“场”和智力“场”。在这个“场”中每个参与者都奉献着自己的智力资源，同时又获得其他人的智力资源。从未来社会的信息化程度和特点及信息化社会对人才类型的要求来看，这种教学的意义已远不止课堂内，它实际上是对学生尽可能多地获得信息，加工转换信息的能力的有效培养。
二、新课
1、分组讨论（教师要参与到各组讨论中去）
过程：学生独立研究——合作讨结论——推举中心发言人发言
教学设计说明：1、引导发现式是指将教学内容或教学活动设计成一个个发现探索过程。教师通过一系列问题的设计或某种情境的创立引导学生通过积极主动的思考去发现、猜想、感知教学结论并一举验证结论的一种教学模式。
三、迁移提高：（再次启发）
我们知道，椭圆、双曲线、抛物线具有相类似的定义，因此，三种曲线很多的结论也是类似，那么，对于我们上述研究的结论在椭圆、双曲线中又有怎样的形式呢？
根据学生的回答来进行教学，由于时间的关系，只要求学生提出猜想和假设，具体的证明可留到课后作为作业来研究，这里只举例说明：
抛物线和简单几何性质教案(焦点弦的性质)
抛物线的几何性质（第二课时）---------抛物线的焦半径和焦点弦的性质一、教学目标(一)认知目标通过对抛物线焦点弦有关性质的探究，进一步改善对“抛物线”的认知结构。
(二)能力目标从抛物线的定义和标准方程出发，结合几何分析和坐标运算，推导抛物线焦点弦的性质。
培养学生分析、归纳、推理等能力.培养发现问题，提出问题的意识和数学交流的能力。
(三)情感目标通过对问题的探究活动，亲历知识的建构过程，领悟其中所蕴涵的数学思想和辩证唯物主义观点；体验探索中挫折的艰辛和快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，初步形成正确的数学观，创新意识和科学精神。
二、学情分析学生已经学习了抛物线的定义、标准方程、抛物线的简单几何性质以及直线与抛物线的位置关系，有了一定的知识储备和探究问题的能力，因此本节课是学生能力的提升，知识的完善和升华。
三、重点难点应用函数与方程思想变形与化简技术处理焦点弦的有关性质。
1．重点：有关抛物线焦半径和焦点弦几何性质的推理过程中所应用的方法、技巧和结论．2．难点：对抛物线的几何性质推理和应用的方法渗透．四、教法与学法分析本节课坚持运用“3+1教学模式”，将“知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观”的三维目标细化为教学的三个环节，即“理解课题相对完整的知识方法-------抛物线的定义与标准方程的四种形式统一起来；感悟典型问题的变式探究--------抛物线中焦点弦问题，获得解决典型问题的经验与规律---------运用方程和函数思想处理问题”。
在“抓迁移，促能力”形成的过程中，立足于培养学生学习数学的习惯，使学有目标，记有规律，用有方法，贯彻通性通法，对灵活应用分层次要求。
努力做到教法、学法的最优组合。
并体现以下特点：（1）充分利用数形结合，促使学生由感性认识上升为理性认识。
（2）重视学生主体参与。
学生是学习的主体，教是为了使学生会学，因此，对本节课每个环节，都应通过学生的自主学习、合作探究、交流展示的学习过程来完成。
高中数学_抛物线焦点弦问题探究教学设计学情分析教材分析课后反思
《抛物线焦点弦问题探究》教学设计 教学目标：（1）掌握抛物线焦点弦的有关性质及其获得过程；（2）在进一步培养直观想象、逻辑推理等核心素养的过程中，提高学生研究性学习能力；（3）渗透数学文化，让学生感悟数学的科学价值、文化价值和审美价值，培育学生的科学精神。
教学重点：抛物线焦点弦有关性质的探究。
教学难点：梳理探究问题的方法，培养解决问题的能力素养。
教学方法：问题探究式。
以引导学生发现问题、研究问题、解决问题，应用成果为主线，充分体现学生的课堂主体地位。
教学过程：1. 致敬先贤，创设心境【素材导入】借助PPT 展现古希腊伟大数学家阿波罗尼奥斯肖像、生平及著作，以及国外英文原版教材《微积分与解析几何》（第2版/（美）Simmons,G.F.著）中的相关论述文本，通过回望学科发展初心，为学生创设本节课的探究心境。
【师生活动】学生阅读PPT 材料，并请英文优秀的学生朗读并翻译英文内容。
教师引导学生体会先贤研究相关问题时的初心与精神，培养激发学生的科学精神。
【设计意图】从历史文化的角度，以中外兼容的国际视野，还原本节课所探讨内容的前世今生，促使学生重温学科研究初心，创设本节课的探究心境，熏陶学生去除过度功利主义，涵养纯粹的科学精神。
2. 问题聚焦：探究与抛物线焦点弦有关的问题【问题引领】由大到小，由抽象到具体地逐次提出两个问题：（1） 过焦点的弦AB 在转动的过程中，有哪些不变性质或变化规律？（2） 如何刻画抛物线的焦点弦长？【师生活动】教师逐次适时地抛出问题，并为讨论的统一与方便起见，约定本节课以研究焦点在x 轴正半轴上的抛物线为主体研究对象；学生静静地独立思考后，再同学间交流讨论。
【设计意图】通过发问与思考，使学生既看到本节课所研究课题的全局，又能够从课题涉及的某一具体关键问题着手开启研究之旅。
大处着眼，小处着手，探究开始！3. 问题探究一：如何刻画抛物线的焦点弦长？——几何视角（一）【师生活动】教师组织引领下，学生在上一环节思考交流基础上向大家表达自己的思考成果，得到以焦半径在抛物线上的点的横坐标为参变量的公式成果：1||2p AF x =+，2||2p BF x =+，12||2p AB x x =++.在此基础上引导学生解决下面的例题：例1. 设00(,)M x y 为抛物线28C x y =：上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，||FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y的取值范围是_______.【设计意图】通过设计此环节，引导学生利用抛物线的定义，推导出抛物线的焦半径以及焦点弦长公式，并通过例1的情景再现，使学生及时地落实该环节获得的成果。
高中数学新人教版A版精品教案《2.4.2 抛物线的简单几何性质》8
《抛物线焦点弦性质》教学设计教材分析：本节课是人教A 版高中数学选修2-1第二章第四节，是在学完抛物线定义、方程、简单的几何性质的基础上，对抛物线性质的进一步加深。
抛物线焦点弦性质是圆锥曲线的重点，也是高考的热点，在圆锥曲线的学习和备考中起着举足轻重的地位。
教学目标：依据教学大纲，考虑到学生的认知规律和原有的知识水平，确定本节课的三个教学目标。
①知识与技能：掌握抛物线焦点弦的几条重要性质及推导过程和方法；②过程与方法：培养学生思维的灵活性和严谨性，锻炼学生的逻辑推理和计算能力，体会数形结合、转化与划归、归纳与类比等数学思想方法；③情感态度与价值观：创设问题情境，激发学生观察、分析、探求的学习激情，强化学生参与意识及主体作用，逐步养成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神。
教学重点：焦点弦及其结论应用。
教学难点：抛物线焦点弦性质的推导过程。
教法与学法：本节课采用启发式教学，分组探究，讲练结合。
借助多媒体教学平台，通过教师主导，学生自主学习，让学生由学会到会学，由被动答题到主动探究，最大程度地提升分析问题和解决问题的能力。
教学环节： 一、复习引入：1、由学生抢答上节课学过的抛物线定义，标准方程和焦半径公式。
2、由几何画板动态演示焦点弦中的量，【设计意图】问题导入，使学生明确探究的方向；动态演示，激发学生的学习积极性。
二、讲授新课：（以抛物线方程22(0)y px p =>为例）性质1、焦点弦长：设AB 是过抛物线的一条焦点弦，若),(),,(2211y x B y x A 则θθ(sin 2221pp x x AB =++=是直线AB 的倾斜角） 思考探究：你能想出几种推导方法？特别的：若焦点弦垂直抛物线的对称轴，则其称为通径，长为p 2。
【设计意图】一题多解，发散思维，注意在以后的应用中灵活选择最优解。
配备例题：例1、过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)P x y Q x y 两点，若122,||4x x PQ +==，则抛物线方程是探究思考：①三角形OAB 的面积公式：θsin 22p S OAB=∆：②设抛物线2=2)0(2>=a ax y F B A ,BF AF ,nm ,nm mn +a 21a41a24a 22(0)y px p =>),(),,(2211y x B y x A 221221,4p y y p x x -==221p y y -=4221p x x =),(),,(2211y x B y x A 221221,4p x x p y y -==)0(22>=p px y 22y px=)0(22>=p px y AB AB33p π334p π338pπ3316p π)0(2:2>=p px y M F 2p my x +=M B A ,y C ||||BF BC =O BOC ∆AOC∆51413152)2(+=x k y )0(>k x y 82=B A ,FB FA 2=A 31B 32C 32D 32224y x =1x 1y 22,x y 21y 22y 2y x =2OA OB ⋅=ABO ∆AFO ∆上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．。
k5抛物线的焦点弦(教案)
本文为自本人珍藏版权所有仅供参考教案：抛物线的焦点弦授课教师：奉贤中学金红卫授课班级：奉贤中学高二(7)班授课时间：2002年6月4日教学目标：(1)掌握抛物线焦点弦的有关性质。
(2)在进一步培养数形结合、分类讨论、转化等数学思想方法的过程中，提高学生的研究性学习能力。
(3)培养学生科学探索精神，体验合作与分享的快乐。
教学重点：抛物线焦点弦有关性质的探究。
教学难点：梳理探究问题的方法，培养解决问题的能力。
教学方法：探究讨论式。
教学过程：引言：曲线是一种空间图形，方程是一种数量关系。
当曲线上的点所成的集合与方程的解所成的集合建立一一对应后，形与数就密切联系起来了。
于是关于曲线性质的几何问题与关于曲线方程的代数问题就可以相互转化了。
问题：抛物线y 2＝2px(p ＞0) 的焦点为F ，直线过点F 交抛物线于A 、B 两点。
(1)可从哪些方面探究与焦点弦有关的问题？(2)可以得到哪些结论？(3)能否作进一步的拓展？xy o首先让学生进行小组交流，根据(1)、(2)的要求，把与抛物线焦点弦有关的问题进行汇总、整理。
请一个小组代表发言，然后让其他小组代表补充。
(1)运用解析几何的核心思想——数形结合思想从抛物线的图形和方程两个方面进行探究。
可以从点（坐标）、直线（线段长、倾斜角或斜率、方程）、抛物线（焦点、准线、方程）、点、直线、抛物线的位置关系、构成的三角形面积等方面进行探究。
(2)教师应收集尽可能多的问题，并进行归类和解答，以弥补学生寻找问题的局限性。
重点解决的问题：抛物线定义的运用、直线与圆锥曲线相交问题、曲线的轨迹方程问题、最值问题。
问题解决过程中应注意暴露学生思考问题的思维过程和数学思想方法的揭示。
①焦点弦|AB|长度的计算②⊿OAB面积的最小值③求AB中点Q的轨迹④与焦点弦有关的几何性质(3)探究的方向：①若直线不经过焦点，情况会如何？②抛物线变为椭圆或双曲线，情况会如何？[如果第(2)个问题讨论比较热烈，需要时间较多的话，第(3)个问题作为课外思考题。
2019-2020年高中数学《抛物线的焦点弦问题》公开课教案设计
2019-2020年高中数学《抛物线的焦点弦问题》公开课教案设计 教学内容:抛物线的焦点弦问题
知识与技能:通过抛物线焦点弦的性质探究,进一步理解掌握应用抛物
线定义,韦达定理分析解决直线与抛物线相交问题
过程与方法: 通过抛物线焦点弦的性质探究, 培养学生数形结合、函数与
方程、化归思想等数学思想
情感、态度与价值观：根据抛物线焦点弦的性质探究，对学生进行运
动变化、对立统一的辩证唯物主义思想教育
教学重点:引导学生对抛物线焦点弦的性质进行探究, 教学方法:引导探究,讲练结合 教学过程:
一定义: 直线L 过抛物线C 的焦点F , 并与抛物线相交开两点分别为A , B 则称线段AB 为抛物线的焦点弦 , 若L 与对称轴垂直时, 则称|AB|为 抛物线的通径.
观察得:x 1x 2=_____________y 1y 2=___________|AB|=___________
探究1:若直线L 的倾斜角为 时, x 1x , y 1y 2 , |AB|的值是否改变? 为什么?
探究2: |
|1
||1BF AF 的值是否为定值?为什么?
探究3: 以AB 为直径的圆与准线的位置关系?以AF 为直径的圆与y
轴的位置关系?]
探究4: 三角形OAB 的面积是否有最值? 二小结:
1在解决直线与圆锥曲线相交问题时,通常联立方程结合韦达定理,
圆锥曲线的定义进行转化.
2注意数形结合,几何法等数学知识的综合运用.。
抛物线焦点弦的应用微课程设计方案(高中数学)
说明：本模板仅供提交B1微能力点考核作业时参考使用，可根据具体情况做适当修改。
模板设计：洪东忍 王立武《课题名称》微课程设计方案 基本信息学校 姓名 学科 数学 能力维度□学情分析 √教学设计 □学法指导 □学业评价 所属环境□多媒体教学环境 √混合学习环境 □智慧学习环境 微能力点B2 微课程设计与制作 教学环境C30 课题名称抛物线焦点弦的应用 选题意图教学对象高三学生 教学目标掌握抛物线焦点弦的应用 教学用途 □课前预习 √课中教学 □课后巩固 □其他 根据本节课的教学内容与重难点，让学生在视频的引导下规范操作，更好地突出本节课的教学重难点。
知识类型 √理论讲授型 □推理演算型 □技能训练型 □实验操作型□答疑解惑型 □情感感悟型 □其他制作方式 □拍摄 √录屏 □动画 □其他 （可多选）预计时长 6分钟微课程设计教学过程 （以时间为序具体描述微课的所有环节，至少包含导课、主体内容和小结三部分）设计意图（从教学方法、学习任务单、案例选取、内容编排呈现、互动设计、技术运用等方面进行说明） 导语在上节中，我们已经掌握了抛物线焦点弦的一些性质：设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1·x 2＝p 24，y 1·y 2＝－p 2； (2)以弦AB 为直径的圆与准线相切；(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α (α是直线AB 的倾斜角，教学内容科学准确，符合课程标准，突出了教学重难点 教学内容的组织与编排符合学习者的认知规律，逻辑性强，过程主线清晰、重点突出 内容呈现形式恰当支持内容表达 将微课程内容的组织方式与教学实施做了关联思考（常配合使用学习任务单） 对微课程的教学应用环境、技术条件、学生能力做了充分考虑，预见了实施过程中可能出现的问题，制订了应对方案，操作性强解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵AB 的中点M 的横坐标为7，∴x 1＋x 2＝14，∴14＋p ＝2p sin 230°，∴p ＝2 . 三、 1|AF |＋1|BF |＝2p为定值的应用 例3 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( )A ．4 B.92C ．5D ．6 答案 B解析 因为|AF |＝2|BF |，1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p ＝1，解得|BF |＝32，|AF |＝3， 故|AB |＝|AF |＋|BF |＝92. 反思感悟 将求弦长问题通过焦半径与p 之间的关系，转化为焦半径问题．跟踪训练3 如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A ．5B ．6 C.163D. 203答案 C解析 如图，过点A 作AD ⊥l ，|AD |＝|AF |＝12|AC |＝4，|OF |＝p 2＝4×14＝1，所以p ＝2，因为1|AF |＋1|BF |＝2p，|AF |＝4， 所以|BF |＝43， 所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163.自评等级√优秀 □合格 □不合格。
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教学设计流程
教学过程
一、复习抛物线定义，焦半径公式，由焦半径公式推导的焦点弦式 问题：1、抛物线的定义内容是什么? 2、焦半径公式有哪些？
3、利用焦半径公式推导的焦点弦弦长有哪些？ AB 为焦点弦.点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)
y 2 = 2px （p ＞0）：|AB|＝ y 2 = -2px （p ＞0）：|AB|＝
x 2 = 2py （p ＞0）：|AB|＝ x 2 = -2py （p ＞0）：|AB|＝
二、新课引入
问题1、利用焦点弦的两端点横坐标和可以求焦点弦的弦长，那么如果知道焦点弦所在直线的倾斜角或是斜率，有没有更简便的方法去直接求出弦长呢？我们来看一道例题。
例1、过抛物线y 2 = 2px （p ＞0）的焦点F 做倾斜角为 的直线 ,设 交抛物线于A,B
两点,求证：
问题2、上面的例题的抛物线开口是向右的，那么抛物线开口向左、向上、向下的时候弦长又是多少？我们一起来探究。
结论：若过抛物线焦点的直线的倾斜角为θ时,其焦点弦弦长为： 当焦点在x 轴上时,
焦点在y 轴上时,
问题3、焦点弦的两个端点的横坐标、纵坐标之间是否有关系呢？如果有关系，又是什么？
例2、过抛物线y 2 = 2px （p ＞0）的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 求证： 12
p x x ++12()p x x -+12
p y y ++12()p y y -+θ
2sin 2p
AB =
l θθ
2
sin 2P
AB =
θ
22COS P
AB =22
21p
y y -=
问题4、上面的例题的抛物线开口是向右的，那么抛物线开口向左、向上、向下的时候它们的关系又是多少？我们共同来探究。
结论：焦点弦端点A 、B 的横坐标之积，纵坐标之积均为定值， 焦点在x 轴上时，
焦点在y 轴上时, 问题5、焦点弦弦长|AB|＝|AF |+ |BF |,那么|AF |和 |BF|之间有没有关系呢？ 例3、过抛物线y 2 = 2px （p ＞0）的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两
点，求证：
问题6、焦点在x 轴上和y 轴上的不同开口方向结论一样吗？
结论：抛物线的焦点F 到焦点弦的两端点A 、B 的距离的倒数和为定值，即
三、归纳小结： 1、焦点弦弦长公式
2、焦点弦端点A 、B 的横坐标之积、纵坐标之积均为定值
2
212
214p y y p x x -==,2
21221,4
p x x p y y -==112||||AF BF p
112
||||AF BF p
3、抛物线的焦点F 到焦点弦的两端点A 、B 的距离的倒数和为定值 四、作业：课下小组探究
1.过抛物线y 2 = 2px （p ＞0）的焦点F 作倾斜角为θ的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点，求证：
（同时探究焦点在y 轴上时的面积）
2、以焦点弦AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是什么？（可同时探究在椭圆和双曲线中这种圆和对应准线的位置关系）
3、设点M 为抛物线准线与x 轴的交点，线段AB 为焦点弦，试判断∠AMF 与∠BMF 的大小关系。
4、过焦点弦端点A 、B 作准线的垂线，垂足分别为C 、D ，求∠CFD 的大小。
θ
sin 22
P S AOB =∆。