二次函数的交点
二次函数交点式例题
二次函数交点式例题
交点式也叫恒等式，是应用于函数的数学技巧。
它可以用来求解两个函数的交点。
交点式应用于二次函数，即可以解出两个二次函数的交点。
其中，二次函数是由一个方程式组成的，形式为：
y = ax2 + bx + c
其中，a, b, c为实数，a 0 。
以下为用于二次函数交点式的例题：
例 1：求下列两个二次函数的交点：
y1 = x2 + 2x + 4
y2 = x2 - 2x + 1
解：
根据交点式，可得方程组：
x2 + 2x + 4 = x2 - 2x + 1
解得：
x = -1
由交点式可知，两个二次函数的交点位于(x,-1)。
例2：求下列两个二次函数的交点：
y1 = 6x2 + 3x + 2
y2 = 2x2 - x + 3
解：
根据交点式，可得方程组：
6x2 + 3x + 2 = 2x2 - x + 3
解得：
x = -1/2
由交点式可知，两个二次函数的交点位于(x,-1/2)。
以上就是关于二次函数交点式的例题及解答，还有其他更多的例题和解法，需要通过观察、思考、实际操作等实践方式来掌握，相信只要同学们认真做习题，学习数学将会变得更加轻松。
此外，交点式还可以用于求解更复杂的函数，比如3次函数、4次函数等，为学习者提供了更多的可能性。
它还能够帮助我们理解函数中的极值点、凹点、波峰点、局部最大值等概念，可以说是学习数学的重要工具。
通过以上内容，希望同学们可以更好地掌握交点式，积极参与数学课堂，加深对数学的掌握。
求二次函数的解析式(交点式)
利用抛物线与x轴的交点坐标，可以求出抛物线的顶点坐标 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 02
交点式求解方法
已知两个点的坐标
总结词
当已知二次函数的两个点坐标时，可以通过这两个点的坐标 来求解二次函数的解析式。
详细描述
首先，设二次函数为$y = a(x - x_1)(x - x_2)$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$是已知的两个点的坐标。然后，将这两个 点的坐标代入上述方程中，解出$a$的值，即可得到二次函数的 解析式。
已知的四个点的坐标。然后，将这四个点的 坐标代入上述方程中，解出$a$的值，即可得
到二次函数的解析式。
03
交点式应用场景
求解二次函数与x轴的交点
交点式
$y = a(x - x_1)(x - x_2)$，其中 $x_1$和$x_2$是二次函数与x轴的 交点横坐标。
求解方法
将交点的横坐标代入交点式，解 出$a$的值。
求解二次函数的最值
最值点
二次函数的最值点是其顶点，顶点的横坐标为对称轴，纵坐标为最值。
求解方法
利用对称轴公式$x = -frac{b}{2a}$求出对称轴，再代入交点式求出最值。
求解二次函数的对称轴
对称轴公式
$x = -frac{b}{2a}$。
求解方法
将对称轴公式代入交点式，解出$a$的值，再代回公式求出对称轴的方程。
求二次函数的解析式(交点式)
$number {01}
目 录
• 交点式定义 • 交点式求解方法 • 交点式应用场景 • 交点式与其他形式的比较 • 交点式的注意事项
01
交点式定义
交点式的形式
交点式定义
二次函数交点式
二次函数交点式交点式：y=a(X-x1)(X-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]。
设y=ax²+bx+c此函数与x轴有两交点,即ax²+bx+c=0有两根分别为x1,x2,a(x²+bx/a+c/a)=0 根据韦达定理a[x²-(x1+x2)x+x1*x2]=0十字交叉相乘：1x -x11x -x2a(x-x1)(x-x2) 就是这样推出的。
解决二次函数，还有一般式和顶点式一般式：y=ax²+bx+c顶点式：y=a(x-h)²+k交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]一般的，如果a，b，c是常数(a≠0)，那么y叫做x的二次函数。
2.二次函数的性质（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.（2）函数的图像与的符号关系.①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为 .3.二次函数的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中 .5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤ .6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.四个象限位置图①a 的符号决定抛物线的开口方向：当a>0 时，开口向上；当a<0 时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y轴（或重合）的直线记作对称轴 .特别地，y轴记作直线 .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线 .（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为( , )，对称轴是直线 .（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线中a 的作用（1）a决定抛物线的开口，a>0, 开口向上；a<0,开口向下。
二次函数交点式顶点坐标公式
二次函数交点式顶点坐标公式二次函数，也叫做二次方程或者二次多项式，是一种形式如下的数学函数：f(x) = ax^2 + bx + c其中a、b、c是常数，且a不等于0。
二次函数的图象是一条抛物线，它的开口方向由二次项的系数a的正负号决定。
如果a大于0，则抛物线开口向上；如果a小于0，则抛物线开口向下。
顶点是二次函数的一个重要特征点，它代表了抛物线的最高点或最低点。
顶点的坐标可以通过一些特定的公式来计算。
以下是两种常用的计算顶点坐标的公式：1.求顶点横坐标：顶点的横坐标可以通过以下公式计算：x=-b/(2a)其中b是二次项的系数，a是一次项的系数。
通过这个公式，我们可以得到顶点的横坐标。
2.求顶点纵坐标：顶点的纵坐标可以通过将顶点的横坐标带入二次函数的表达式中计算得出。
y = f(x) = ax^2 + bx + c其中x是顶点的横坐标。
通过这个公式，我们可以得到顶点的纵坐标。
通过以上两个公式，我们可以计算出二次函数的顶点坐标。
顶点坐标可以帮助我们更好地理解和分析二次函数的性质。
对于开口向上的抛物线，顶点代表了函数的最低点；对于开口向下的抛物线，顶点代表了函数的最高点。
顶点也可以通过其他方法来计算，例如使用判别式等。
判别式是二次函数的一个重要概念，它可以帮助我们判断二次函数的图象和性质。
Δ = b^2 - 4ac判别式的符号可以帮助我们判断二次函数的开口方向和顶点的情况。
如果判别式大于0，则函数的图象与x轴有两个交点，抛物线开口向上；如果判别式等于0，则函数的图象与x轴有一个交点，抛物线开口向上或向下；如果判别式小于0，则函数的图象与x轴没有交点，抛物线开口向下。
当判别式不为0时，顶点的纵坐标可以通过以下公式计算：y=-Δ/(4a)这个公式可以帮助我们计算出顶点的纵坐标。
通过顶点的坐标，我们可以更好地理解和分析二次函数的特征和性质。
综上所述，二次函数的顶点坐标可以通过横坐标的公式和纵坐标的公式来计算得出。
二次函数的交点式精品PPT课件
；
• 若二次函数的图象与 x轴的交点坐标是（-3,0），（1,0），
则对称轴是
；
• 若二次函数的图象与 x轴的交点坐标是（-3,0），（-1,0），
则对称轴是
.
五、小结
• 若抛物线与x轴的交点坐标是（ ）、（
）则对称轴是
，
顶点 坐标是
.
六、拓展提升
• 已知二次函数的图象与轴的交点坐标是（-3,1）
X轴交点坐标是
.
二、探索归纳
1.因式分解
① x2 2x 3 ② x2 4x 3 ③ 2x2 8x 6
解①原式=（x-3）（x+1） ② 原式 =（x+3）（x+1） ③原式 =（2x+2）（x+3）
2.求出下列抛物线与X轴的交点坐标： ① y x2 2x 3 ② y x2 4x 3 ③ y 2x2 8x 6 解① 与x轴的交点坐标为（ 3,0）和（-1,0）
与X轴的交点坐标是：
⑴
⑵
⑶
与y轴的交点坐标是：
⑴
⑵
⑶
四、典型例题
• 例1.已知二次函数的图象与X轴的交点坐标是（3,0），（ 1,0），且函数的最值是3.
• ⑴求对称轴和顶点坐标.
• ⑵在下列平面直角坐标系中画出它的简图. y 5
• ⑶求出该二次函数的关系式.
4
3 2
1
-4 -3 -2 -1 o -1 -2 -3
② x轴的交点坐标为坐标（-3，0）和 （-1,0） ③ 与x轴的交点坐标为（-1，0 ）和（-3,0）
二、探索归纳
• 归纳：
•
⑴二次函数与X轴交点坐标是（x1，0），（
，
y ax x1 x x2
二次函数交点式公式
二次函数交点式公式交点式：y=a(X-x1)(X-x2) ,仅限于与x轴有交点A（x1,0）和B（x2,0）的抛物线在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时,使用交点式较为方便.y=a(x-x1)(x-x2) 找到函数图象与X轴的两个交点,分别记为x1和x2,代入公式,再有一个经过抛物线的点的坐标,即可求出a的值. 将a、X1、X2代入y=a(x-x1)(x-x2),即可得到一个解析式,这是y=ax²;+bx+c因式分解得到的,将括号打开,即为一般式.X1,X2是关于ax²+bx+c=0的两个根.如果(x1,0),(x2,0)是二次函数y=ax^2+bx+c的两个交点,那么x1,x2必是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根, 从而ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).我们把y=a(x-x1)(x-x2)称为二次函数的交点式.一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0),则称y为x的二次函数。
顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k为常数，a≠0).(3)交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)(4)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y 轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k ＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点.(2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝ax2+bx+c可转化为两根式y＝a(x-x1)(x-x2).。
二次函数交点式的对称轴公式
二次函数交点式的对称轴公式二次函数是一种常见的数学函数形式，它的一般形式可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c是实数常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
对于二次函数，我们可以通过求解其与x轴的交点来确定其零点或根。
交点式是一种特殊的表示形式，用于确定二次函数与x轴的交点。
首先，我们需要将二次函数表示为交点式的形式。
当二次函数与x轴相交时，函数值f(x)为0，即：ax^2 + bx + c = 0为了得到交点式，我们可以使用求根公式（也称为二次方程的根公式）来求解这个方程。
根据求根公式，二次方程的解可以表示为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中，±表示两个解（一个是加号，一个是减号）。
这两个解对应于二次函数与x轴的交点的x坐标。
接下来，我们可以根据这两个解来得到交点式的形式。
假设我们得到的两个解为x1和x2，那么交点式可以表示为：(x - x1)(x - x2) = 0这个交点式表示了二次函数与x轴的交点的位置。
最后，我们可以使用交点式来确定二次函数的对称轴。
对称轴是二次函数图像的中心线，对称轴的方程可以通过求解二次函数的交点式得到。
对于交点式 (x - x1)(x - x2) = 0，我们可以将其展开并化简为二次函数的形式：x^2 - (x1 + x2)x + x1x2 = 0我们可以观察到，对称轴的方程是一个一次函数，其系数为二次函数交点式中x的系数的负值除以2。
所以对称轴的方程为：x = (x1 + x2) / 2这个方程表示了二次函数图像的对称轴的位置。
综上所述，二次函数的交点式可以通过求解二次方程得到，而对称轴的方程可以通过交点式中x系数的负值除以2得到。
这些公式可以帮助我们更好地理解和分析二次函数的性质和图像。
二次函数 交点式 对称轴
二次函数交点式对称轴
二次函数是高中数学中的重要内容，其中交点式和对称轴是二次函数的两个重要概念。
交点式是指二次函数与x轴或y轴交点的坐标，而对称轴则是指二次函数的对称轴的方程。
对于一般式的二次函数y=ax^2+bx+c，其交点式为(x,y)=(x,0)和(x,y)=(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(x)=ax^2+bx+c为二次函数的函数式。
此外，对称轴的方程为x=-b/2a。
交点式和对称轴在解决二次函数相关问题中有重要作用。
例如，通过交点式可以确定二次函数的零点，从而求解方程；而对称轴则可以帮助我们确定二次函数的最值点和对称性质。
因此，学好二次函数的交点式和对称轴的概念，对于理解和解决相关问题具有重要的意义。
- 1 -。
二次函数交点式公式
二次函数交点式：y=a(X-x1)(X-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线][仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线] 在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时，使用交点式较为方便。
y=a(x-x1)(x-x2) 找到函数图象与X轴的两个交点，分别记为x1和x2,代入公式，再有一个经过抛物线的点的坐标，即可求出a的值。
将a、X1、X2代入y=a(x-x1)(x-x2)，即可得到一个解析式，这是y=ax²;+bx+c因式分解得到的，将括号打开，即为一般式。
X1,X2是关于ax²+bx+c=0的两个根。
考点一、平面直角坐标系（3分）1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。
考点二、不同位置的点的坐标的特征（3分）1、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限：X>0，Y>0点P(x,y)在第二象限：X<0，Y>0点P(x,y)在第三象限：X<0，Y<0点P(x,y)在第四象限：X>0，Y<02、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x轴上，x为任意实数，y=0点P(x,y)在y轴上，y为任意实数，x=0点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
交点公式二次函数表达式
交点公式二次函数表达式二次函数是高中数学中的一种基本函数。
它的一般形式为y=ax2+bx+c，其中a,b,c为常数，并且a eq0。
在解决许多实际问题时，需要求解两个函数的交点，也就是找到它们在坐标系中的交点的横坐标和纵坐标。
利用二次函数的交点公式，我们可以通过解一元二次方程来求解这些交点。
交点公式推导设给定的两个二次函数分别为y1=ax2+bx1+c1和y2=ax2+bx2+c2，我们需要求解它们的交点。
首先，我们将两个方程相等，得到方程ax2+bx1+c1=ax2+bx2+c2。
移项整理后，我们得到ax2−(bx1−bx2)=c2−c1。
再次移项整理，得到ax2+bx2−bx1=c2−c1。
现在，我们已经将两个二次函数的交点问题转化为了一元二次方程的求解问题。
令d=bx2−bx1和k=c2−c1，我们可以将方程进一步简化为ax2+dx=k。
为了方便求解，我们将方程对x进行配方，得到$a(x+\\frac{d}{2a})^2-\\frac{d^2}{4a^2}+d\\cdot \\frac{d}{2a}=k$。
化简后，我们得到$a(x+\\frac{d}{2a})^2=\\frac{d^2-4ak}{4a^2}=\\frac{d^2-4ak}{(2a)^2}$。
继续化简，我们得到$(x+\\frac{d}{2a})^2=\\frac{d^2-4ak}{4a^2}$。
接下来，我们对方程两边开方，得到$x+\\frac{d}{2a}=\\pm\\sqrt{\\frac{d^2-4ak}{4a^2}}$。
进一步整理，我们得到$x=-\\frac{d}{2a} \\pm \\frac{\\sqrt{d^2-4ak}}{2a}$。
至此，我们成功推导出了二次函数交点公式的一般形式。
交点公式应用举例下面，我们通过几个具体案例来展示交点公式的应用。
案例1：已知两个二次函数y1=x2+3x+2和y2=−2x2−4x+2，求它们的交点。
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孟老师初三12月7日学案
II二次函数图像于x轴有二个交点
⑴利用交点确定不等关系
（2011•常州）已知二次函数，当自变量x取m时对应的值大于0，当自变
量x分别取m﹣1、m+1时对应的函数值为y1、y2，则y1、y2必须满足（）
A．y1＞0、y2＞0 B．y1＜0、y2＜0 C．y1＜0、y2＞0 D．y1＞0、y2＜0 （2011•绵阳）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（）
A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b C．x1＜a＜b＜x2D．a＜x1＜b＜x2（2011•黄石）设一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=m（m＞0）的两实根分别为α，β，且α＜β，则α，β满足（）
A．1＜α＜β＜2 B．1＜α＜2＜βC．α＜1＜β＜2 D．α＜1且β＞2
⑵利用交点确定字母的值
（2010•乐山）设a、b是常数，且b＞0，抛物线y=ax2+bx+a2﹣5a﹣6为下图中四个图象之一，则a的值为（）
A．6或﹣1 B．﹣6或1 C．6D．﹣1
（2007•河南）二次函数y=ax2+x+a2﹣1（a≠0）的图象可能是（）
A．B．C．D．
（2011•随州）已知函数，若使y=k成立的x值恰好有三
个，则k的值为（）
A．0B．1C．2D．3
⑶关于二次函数于x轴两交点的距离
（2009•孝感）对于每个非零自然数n，抛物线y=x2﹣与x轴交于
A n，
B n两点，以A n B n表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+…+A2009B2009的值是（）A．B．C．D．
（2011•大庆）二次函数：y=ax2﹣bx+b（a＞0，b＞0）图象顶点的纵坐标不大于．（1）求该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围；
（2）若该二次函数图象与x轴交于A，B两点，求线段AB长度的最小值．
（2012•兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=﹣，x1•x2=．把它称为一元二次方程根与系
数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：AB=|x1﹣x2|=
===；
参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．
（1）当△ABC为直角三角形时，求b2﹣4ac的值；
（2）当△ABC为等边三角形时，求b2﹣4ac的值．
（2012•南昌）如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B 左边），与y轴交于点C．
（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；
②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．
二：二次函数于反比例函数的交点
利用了图象上的点的坐标特征来解
（2011•扬州）如图，已知函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P．点P的纵坐标为1．则关于x的方程ax2+bx+=0的解为．
．（2010•十堰）方程x2+2x﹣1=0的根可看出是函数y=x+2与y=的图象交点的横坐标，用此方法可推断方程x3+x﹣1=0的实根x所在范围为（）
A．
﹣B．
C．D．
1
（2011•无锡）如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式+x2+1＜0的解集是（）
A．x＞1 B．x＜﹣1 C．0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0 2012•杭州）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x﹣1）的图象交于点A （1，k）和点B（﹣1，﹣k）．
（1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；
（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；
（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．。