基本不等式： ≤(a+b)_教学课件

2．证明不等式时要注意灵活变形，多次利用 基本不等式时，注意每次等号是否都成立．同时 也要注意应用基本不等式的变形形式．
[例1] 设a，b均为正实数，求证：a12＋b12＋ab≥2 2. [课堂记录] 本题考查利用基本不等式证明不等式．由于
a，b均为正实数，所以a12＋b12≥2 a12·b12＝a2b，当且仅当a12＝b12，
×400)＋5800＝
900(x＋1x6)＋5800(0<x≤a)，
则y＝900(x＋
16 x
)＋5800≥900×2
x×1x6 ＋5800＝13000，
当且仅当x＝1x6，即x＝4时取等号．
若a≥4，则当x＝4时，y有最小值为13000；
若a<4，任取x1，x2∈(0，a)且x1<x2.
y1－y2＝900(x1＋1x61 )＋5800－900(x2＋1x62 )－5800
－
10ac＋25c2的最小值是( )
A．2
B．4
C．2 5
D．5
[解析]
2a2＋
1 ab
＋
1 aa－b
－10ac＋25c2＝2a2＋
a－b＋b aba－b
－
10ac＋25c2＝2a2＋
1 ba－b
－10ac＋25c2≥2a2＋
1 b＋a－b2
－10ac
2
＋25c2(b＝a－b时取“＝”)
＝2a2＋a42－10ac＋25c2
即a＝b时等号成立，又因为a2b＋ab≥2 a2b·ab＝2 2，当且仅当
2 ab
＝ab时等号成立，所以
1 a2
＋
1 b2
＋ab≥
2 ab
＋ab≥2
2 ，当且仅当
a12＝b12 a2b＝ab
，即a＝b＝4 2时取等号．
即时训练 已知x>0，y>0，z>0.
求证：(yx＋xz)(xy＋yz)(xz＋yz)≥8.
＝900[(x1－x2)＋16(x11－x12)] ＝900x1－xx21x2x1x2－16.
∵x1<x2<a，∴x1－x2<0，x1x2<a2<16，即x1x2－16<0. ∴y1－y2>0.∴y＝900(x＋1x6)＋5800在(0，a]上是减函数． ∴当x＝a时，y有最小值为900(a＋1a6)＋5800. 综上，若a≥4，当x＝4时，有最小值13000；若a<4，当x＝a 时，有最小值为900(a＋1a6)＋5800.
＝x＋
1 2
＋
1 x＋21
－
3 2
≥2
x＋12·x＋1 12－
3 2
＝ 12 ，当且仅当x＋
1 2
＝
1 x＋21
，即x＝ 12
时取
等号，所以函数的最小值等于12.故填12.
(2)由a2＋2ac＋2ab＋4bc＝1，得(a＋2b)(a＋2c)＝1.因为a， b，c>0，所以a＋2b>0，a＋2c>0.因此有(a＋2b)＋(a＋ 2c)≥2 a＋2b·a＋2c ＝2，即2(a＋b＋c)≥2，当且仅当a＋2b ＝a＋2c时，取到等号．故a＋b＋c≥1，所以a＋b＋c的最小值为 1.故选B.
的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，
房子侧面的长度x不得超过a m．房屋正面的造价
为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋
顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高
为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度
为多少时，总造价最低？
解：由题意可得，造价y＝3(2x×150＋
12 x
证明：x>0，y>0，z>0，
∴yx＋xz≥2 xyz>0，
xy＋yz≥2 yxz>0，
xz＋yz≥2
xy z >0.
(yx＋xz)(xy＋yz)(xz＋yz)
≥8
yz· xz· xyz
xy＝8.
等号成立的条件是x＝y＝z，故原不等式得证．
热点之二 利用基本不等式求最值
1．在利用均值不等式求最值时要注意三点： 一是各项为正；二是寻求定值，求和式最小值时 应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值 (恰当变形，合理发现拆分项或配凑因式是常用 的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件．
答案：C
3．若x＋2y＝4，则2x＋4y的最小值是( )
A．4
B．8
C．2 2
D．4 2
解析：∵2x＋4y≥2· 2x·22y＝2· 2x＋2y
＝2· 24＝8，
当且仅当2x＝22y，即x＝2y＝2时取等号，
∴2x＋4y的最小值为8. 答案：B
4．设0<x<32，则函数y＝x(3－2x)的最大值是( )
9
9
A.16
B.4
C．2
9 D.8
解析：∵0<x<32，∴32－x>0， ∴y＝x(3－2x)＝2·x(32－x)
≤2x＋322－x2＝98，
当且仅当x＝32－x，即x＝34时，取“＝”， ∴函数y＝x(3－2x)的最大值为98. 答案：D
5．某公司一年购买某种货物400吨，每次都 购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用 为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和 最小，则x＝________吨．
答案：(1)12 (2)B
热点之三 利用基本不等式求解实际问题
解实际应用题要注意以下几点：
1．设变量时一般要把求最大值或最小值的变 量定义为函数；
2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只 需利用基本不等式求得函数的最值；
3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使 实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
2 3
，y＝
1 3
时，8x＋2y有最小值18.
即时训练
(1)设x>0，则函数y＝x－1＋
2 2x＋1
的最小值等于
________．
(2)已知a，b，c>0且a2＋2ac＋2ab＋4bc＝1，则a＋b＋c的最
小值为( )
1 A.2
B．1
C．2
D．4
解析：(1)y＝x－1＋
2 2x＋1
＝x－1＋
1 x＋12
从近几年的高考试题看，基本不等式
ab ≤
a＋b 2
的应用一直
是高考命题的热点，在选择题、填空题、解答题中都有可能出
现，它的应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但是
它在高考中却不外乎大小判断、求最值、求取值范围等．
[例4]
(2010·四川高考)设a>b>c>0，则2a2＋
1 ab
ຫໍສະໝຸດ Baidu
＋
1 aa－b
[例3] 某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在 一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q ＝3xx＋＋11(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1 万件此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生 产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．
＝(a2＋
4 a2
)＋(a－5c)2≥4(当且仅当a＝
2 ，b＝
22，c＝
2 5
时
取“＝”)，故选B.
[答案] B
1．(2010·重庆高考)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y
的最小值是( )
A．3
B．4
9
11
C.2
D. 2
解析：∵x＋2y＋2xy＝8，∴y＝28x－＋x2>0，
∴－1<x<8，∴x＋2y＝x＋2·28x－＋x2
＝(x＋1)＋
9 x＋1
－2≥2
x＋1·x＋9 1 －2＝4，此时x＝2，y
＝1，故选B.
答案：B
2．(2010·山东高考)若对任意x>0，
x x2＋3x＋1
≤a恒成立，则
a的取值范围是________．
解析：因为
x x2＋3x＋1
≤a恒成立，所以a≥
2．在应用基本不等式求最值时，分以下三步 进行：
(1)首先，看式子能否出现和(或积)的定值， 若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；
(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足， 通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正；
(3) 利 用 已 知 条 件 对 取 等 号 的 情 况 进 行 验 证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过 函数单调性或导数解决．
(2)显然a≠4， 当a>4时，a－4>0，
∴
3 a－4
＋a＝
3 a－4
＋(a－4)＋4≥2
＋4，
a－3 4×a－4＋4＝2 3
当且仅当a－3 4＝a－4，即a＝4＋ 3时取等号； 当a<4时，a－4<0，
∴
3 a－4
＋a＝
3 a－4
＋(a－4)＋4＝－[
3 4－a
＋(4－a)]＋4≤－
2 4－3 a×4－a＋4＝－2 3＋4，
2．下列不等式证明正确的是( ) A．若a，b∈R＋，则lga＋lgb≥2 lgalgb B．若a，b∈R，则ba＋ab≥2 ab·ba＝2 C．若a∈R＋，ab<0，则ba＋ab＝－(－ab＋－ba) ≤－2 －ba·－ab＝－2
2ab D. ab>a＋b
解析：若0<a<1则lga<0，所以A错，若a，b异号，则B错，D 中需要同号．
a＋b 基本不等式： ab≤ 2
1．基本不等式 设a，b∈R，则①a2≥0；②a2＋b2≥2ab，a，b∈R，要认识 到a和b代表的实数既可以是具体数字，也可以是比较复杂的变量 式，应用广泛． 2．均值不等式 设a，b∈(0，＋∞)，则a＋2 b≥ ab，当且仅当a＝b时，不等 式取等号．它的证明要能从基本不等式中得出，既是对基本不等 式中a，b的灵活变式，又具有自身特点，a，b∈(0，＋∞)．
(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝s(定值)，那么当x＝y时， xy有最大值s42.
1．“a>0且b>0”是“a＋2 b≥ ab”的(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件 解析：∵a>0，b>0，显然有a＋2 b≥ ab，而a＋2 b≥ ab时，
a>0，b>0不一定成立，如a＝0，b>0时． 答案：A
3．灵活变式
①a2＋b2≥
a＋b2 2
；②ab≤
a2＋b2 2
；③ab≤(
a＋b 2
)2；
④(a＋2 b)2≤a2＋2 b2；⑤(a＋b)2≥4ab.
当且仅当a＝b时，各式中等号成立．
4．利用均值不等式求最大、最小值问题
(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝p(定值)，那么当x＝y时，x
＋y有最小值2 p.
当且仅当4－3 a＝4－a，即a＝4－ 3时取等号．
∴
3 a－4
＋a的取值范围是(－∞，－2
3 ＋4]∪[2
3 ＋4，＋
∞)． (3)∵x>0，y>0，且x＋y＝1，
∴8x＋2y＝(8x＋2y)(x＋y)＝10＋8xy＋2yx≥10＋2 8xy·2yx＝18.
当且仅当
8y x
＝
2x y
，即x＝2y时等号成立，∴当x＝
解析：设一年的总运费与总存储费用之和为y万元，则y＝
4×40x0＋4x＝16x00＋4x≥160，当且仅当16x00＝4x，即x＝20时，
y有最小值．
答案：20
热点之一 利用基本不等式证明不等式
1．利用基本不等式证明不等式是综合法证明 不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式 入手，借助不等式性质和基本不等式，经过逐步 的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是“由 因导果”．
(1)试将年利润W(万元)表示为年广告费x(万元)的函数； (2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利 润为多少？
[课堂记录] (1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q＋3)万 元，每万件销售价为32QQ＋3×150%＋Qx ×50%，
∴年销售收入为(32QQ＋3×150%＋Qx ×50%)·Q ＝32(32Q＋3)＋12x， ∴年利润W＝32(32Q＋3)＋12x－(32Q＋3)－x ＝12(32Q＋3－x)＝－x22＋x9＋8x1＋ 35(x≥0)．
[例2] (1)设0<x<2，求函数y＝ 3x8－3x的最大值； (2)求a－3 4＋a的取值范围； (3)已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求8x＋2y的最小值．
[课堂记录] (1)∵0<x<2，∴0<3x<6,8－3x>2>0， ∴y＝ 3x8－3x≤3x＋28－3x＝82＝4， 当且仅当3x＝8－3x，即x＝43时取等号． ∴当x＝43时，函数y＝ 3x8－3x的最大值是4.
(2)令x＋1＝t(t≥1)，则 W＝－t－12＋29t8t－1＋35＝50－(2t ＋3t2)． ∵t≥1，∴2t ＋3t2≥2 2t ·3t2＝8，即W≤42， 当且仅当2t ＝3t2，即t＝8时，W有最大值42，此时x＝7. 故当年广告费投入为7万元时，企业利润最大，最大利润为 42万元．
即时训练 某单位建造一间地面面积为12 m2
x x2＋3x＋1
max，
而x2＋3xx＋1＝x＋11x＋3≤2
x1·1x＋3＝15，
当且仅当x＝1x时等号成立，∴a≥15. 答案：15，＋∞