任意角的正弦、余弦、正切

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《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》_黎玉珊

任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念佛山市顺德区郑敬诒职业技术学校黎玉珊【百度搜索】/view/b6c426c8a1c7aa00b52acbc6.html【百度搜索】/view/001d2e1ea300a6c30c229f72.html【百度搜索】/view/71d5f475f46527d3240ce03f.html【百度搜索】/view/13a30ad628ea81c758f5782e.html【百度搜索】/view/a16a75084a7302768e9939a6.html【课内教学】（一）复习引入、回想再认。

问题：初中，我们学习过锐角三角函数，（如图1）在OMP Rt ∆中，M ∠是直角，那么根据锐角三角函数的定义，O ∠的正弦、余弦和正切是如何定义的？（通过提问，帮助学生回顾初中学过的锐角三角函数的定义）xy OM PM r x OP OM r y OP PM ======|||tan |||cos ||||sin ｜＝邻边对边｜＝斜边邻边＝斜边对边ααα 教师强调：只要角度确定了，无论角的边长如何改变，正弦、余弦和正切值都已经确定了。

每一个确定的锐角，都有相应的唯一的正弦值、余弦值和正切值与之对应。

因此，锐角三角函数是以角为自变量，以边长的比值为函数值的函数。

（以此强调来唤醒学生函数的认识）（二）探讨学习、建构知识。

上节课，我们已经把锐角推广到了任意角，今天锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗？试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！问题1：今天我们能否继续在直角三角形中定义任意角的三角函数？（引导学生在平面直角坐标系中定义任意角三角函数）问题2：（追问）在上节课，我们是如何将锐角的概念推广到任意角的？（更进一步引导学生在平面直角坐标系中定义任意角三角函数）打开【百度搜索】/view/be293d619b6648d7c1c746fb.html 网络上课件，与学生一起探讨将锐角三角形放到直角坐标系中研究（如图2）：把锐角α放置于直角坐标系（角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴非负轴重合），在直角坐标系中，在角α终边上任取一点p ，作x PM ⊥轴于M ，构造一个OMP RT ∆，则α=∠MOP （锐角）设)0,0)(,(>>b a b a P ，α的邻边a OM =、对边b MP =，斜长 22||b a r OP +== 图2α图4 问题3：我们知道，借助平面直角坐标系，就可以将几何问题代数化，如将点用坐标表示出来，把线段的长用坐标算出来。

任意角的三角函数及其诱导公式

-α
余弦函数的诱导公式 cos(2kπ+α)=cosα cos(-α)=cos α cos(2π-α)=cos α cos(π-α)= - cosα cos(π+α)= - cosα 函数名不变，符号看象限
2、研究角π/2+α与角α的正、余弦函数值的关系在单位圆中，画出角α和角 π/2+α的终边，由终边的位置关系可得
3)tan(-16500)的符号是——？
3)sin(-21π/5）的符号是——？
练习：求值 19 23 1、 sin ; 2、con(); 4 3 0 3、 tan （ 1110 ）
二、三角函数的诱导公式
1、若α是一个正锐角，怎样用α表示第一、二、三、四象限角,并研究其终边位置关系.
一
任意角的三角函数及其诱导公式
一、任意角的的三角函数.
角的终边与单位圆相交点于P(a , b ); b 则 si n b 1
P(a,b)
b 称为角的正弦函数；记作 b=sin ;

一般用x表示自变量，y表示函数；所以正弦函数表示：y＝sin x （x R）相类似余弦函数是y＝cos x；正弦函数是y＝tan x
Sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)= -Sinα Sin(π/2-α)=cosα #43;α)= -cotα => tan(π/2-α)=cotα
常用的正弦、余弦、正切诱导公式 1、同终边诱导公式 Sin(2kπ+α)=sin α cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tan α 2、负角诱导公式 Sin(-α)=- sin α cos(-α)=cos α tan(-α)= - tan α 3、四象限诱导公式 Sin(2π-α)=-sin α cos(2π-α)=cos α tan(2π-α)= - tan α

三角函数基础知识

三角函数基础知识三角函数基础知识1、任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义：角α的终边上任意一点p的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切、余切分别是(2)三角函数值的符号正弦值与余割值对于第一、二象限的角是正的，而对于第三、四象限的角是负的．余弦值与正割值对于第一、四象限的角是正的，而对于第二、三象限的角是负的．正切值与余切值对于第一、三象限的角是正的，而对于第二、四象限角是负的，也可以按正的在各象限的函数来记，即“一全、二正弦，三切、四余弦”(正割、余割分别与余弦、正弦符号相同)2．同角三角函数的基本关系式(1)倒数关系：sinαcsc=1 cosαsecα= tgαctgα=1(3)平方关系：sin2α+cos2α=1 1+tg2α=sec2α 1+ctg2α=csc2α3．诱导公式(1) k·360°+α(k∈Z)，-α，180°±a，360°-α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α角看成锐角时原函数值的符号，即sin(k·360°+α)＝sinα，cos(k·360°+α)=cosαtg(k·360°+α)=tgα，ct g(k·360°+α)=ctgα(k∈Z)sin(-α)=-sinα，cos(-α)＝cosαtg(-α)=-tgα，ctg(-α)=-tgαsin(180°+α)=-sinα，cos(180°+α)=-cosαtg(180°+α)=tgα，ctg(180°+α)=ctgαsin(180°-α)=sinα，cos(180°-α)=-cosαtg(180°-α)=-tgα，ctg(180°-α)=-ctgαsin(360°-α)=-sinα，cos(360°-α)=cosαtg(360°-α)=-tgα，ctg(360°-α)=-ctgα(2) 90°±α，270°±α的三角函数值等于a的余名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，例如sin(90°+α)=cosα，tg(270°+α)=-ctgα综上，诱导公式可概括为k·90°±α(k∈Z)的三角函数值，等于α的同名(k为偶数时)或余名(k为奇数时)的函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简称之为“奇余偶不变，符号看象限”．4．三角函数的图象和性质(1)三角函数线以原点为圆心，以单位长为半径的圆叫做单位圆，如图2—3，设角α的终边与单位圆的交点为p ，过p作PM垂直于x轴，垂足为M，A(1，0)、B(0，1)，过A、B点作单位的切线AT、BS分别与角α的终边或其反向延长线交于T、S则有向线及MP、OM、AT、BS、OT、OS分别叫作角α的正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线．(2)三角函数的图象正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx(如图2—4)正切函数y=tgx 余切函数y=ctgx (如图2—5)(3)三角函数的周期①周期函数对于函数y=f(x)，如果存在着一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．②最小正周期：对于一个周期函数来说、如果在所有的周期中存在着一个最小正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期．教科书上所指三角函数的周期均为最小正周期．(4)三角函数的性质5、积化和差与和差化积（1）积化和差与和差化积各有四个公式，它们实质是一类公式的正用或逆用，即积化和差公式的逆用就是和差化积公式。

任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义

任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义授课时间第周星期第节课型新授课主备课人学习目标1.掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义；2.会用三角函数线表示任意角三角函数的值；3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号重点难点求任意角三角函数的值学习过程与方法自主学习1．设点P是α角终边上任意一点，坐标为(,)P x y，22||OP x y r=+=，用（1）比值叫做α的正弦，记作sinα，即sinα= ；（2）比值叫做α的余弦，记作cosα，即cosα= ；（3）比值叫做α的正切，记作tanα，即tanα= .其中，siny x=和cosy x=的定义域分别是_____________；而tany x=的定义域是_________.除上述情况外，对于确定的值α，比值yr、xr、yx分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、是以角α为自变量，一比值为函数值的函数，分别叫做角α的正弦函数、余弦函数、正切函数，以上三种函数统称为____________．2．三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：①正弦值yr对于第一、二象限为_______对于第三、四象限_______；②余弦值xr对于第一、四象限为_______对于第二、三象限为_______；③正切值yx对于第一、三象限为_______对于第二、四象限为________．说明：（1）若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值；（2）正弦函数值的符号与y的符号相同，余弦函数值的符号与x的符号相同．精讲互动一、任意角的三角函数例1．已知角α的终边经过点(2,3)P-，求α的正弦、余弦、正切值.分析：任意角的三角函数的定义思考：若角θ的终边经过点(4,3)(0)P a a a -≠，求sin cos θθ和的值二、三角函数的定义域例2. x 取什么值时，sin cos tan x x x-有意义.（分析：三角函数的定义域）三、三角函数值在各象限的符号例3 确定下列三角函数的符号：（1）7cos12π；（2）0sin(465)-；（3）11tan 3π达标训练1设α是三角形一个内角，在sin ,cos ,tan ,tan2αααα中，哪些有可能是负值？ 2确定下列各角的正弦、余弦、正切值的符号：（1）0885；（2）0395-；（3）196π；（4）253π- 3 已知角α的终边经过点(3,4)P -，求角α的正弦、余弦和正切值.作业布置习题1-4 1，2，6 学习小结/教学反思。

三角函数1234567

tan（-α）= -tanα
cot（-α）= -cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π-α）= sinα
cos（π-α）= -cosα
tan（π-α）= -tanα
cot（π-α）= -cotα
公式五：
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
tan2A=2tanA/1-tanA^2
[编辑本段]三倍角公式
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)
[编辑本段]半角公式
[编辑本段]和差化积
sin(a)+sin(b) = 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]
sin(a)-sin(b) = 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]
cos(a)cos(b) = 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]
sin(a)cos(b) = 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]
cos(a)sin(b) = 1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)]
[编辑本段]诱导公式
sin(-a) = -sin(a)
正割（sec）:角α的斜边比上邻边
余割（csc）:角α的斜边比上对边
sin30°=1/2
sin45°=根号2/2
sin60°=根号3/2
cos30°=根号3/2
cos45°=根号2/2
cos60°=1/2
tan30°=根号3/3
tan45°=1

三角函数的概念解析

5.2.1 三角函数的概念知识点1 任意角的三角函数1．定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么：sin y α=，cos x α=，tan (0)yx xα=≠． 2．推广：设点(,)P x y 是角α终边上任意一点且不与原点重合，r OP =，则：sin y r α=，cos x r α=，tan (0)yx xα=≠．注：三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关，我们只需计算点到原点的距离22r OP x y ==+，那么22sin x y α=+22cos x y α=+tan (0)yx xα=≠知识点2 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1．图示：2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．意为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负．考点一三角函数的定义及应用解题方略：(1)求已知角三角函数值，一般求已知角的终边与单位圆的交点坐标，再利用三角函数的定义求解． (2)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．sin y r α=，cos x r α=，tan y xα=. 注：利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值时，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r ．(3)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． ①注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(,)(0)a b a ≠，则对应角的正弦值22sin a b α=+，余弦值22cos a b α=+tan baα=. 注：若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意“在终边上任取一点”应分两种情况(点所在象限不同)进行分析．(4)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.(一)利用定义求角的三角函数值【例1-1】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(2,1)-，则sin α的值为( )A ．5B 5C ．25D 25【答案】B【解析】已知点()2,1P -，则()22215r OP ==-+5sin =5y r α=.变式1-1-1：若角α的终边经过点2(5,)1P -，则sin α=_______，cos α=______，tan α=________．【答案】1213-；513；125- 【解析】因为5,12x y ==-，所以225(12)13r =+-，则12512sin ,cos tan 13135y x y r r x ααα==-====-，．变式1-1-2：已知角α的终边过点()43-，，则2sin cos αα+=( ) A ．1 B ．25-C ．25D ．1-【答案】B【解析】因为角α的终边过点()43-，，所以()()222234sin ,cos 554343αα=-==+-+-，所以3422sin cos 2555αα⎛⎫+=⨯-+=- ⎪⎝⎭，变式1-1-3：(多选)已知函数()()log 2401a f x x a a =-+>≠且的图象经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则11tan sin θθ+的值可能是( ) A ．2 B ．3 C 171+ D 171+【答案】AC【解析】由题意，可知(3,4)A 或(1,4)A ，当点是(3,4)A 时，由三角函数的定义有2244tan ,sin 3534θθ==+，所以11352tan sin 44θθ+=+=；当点是(1,4)A 时，由三角函数的定义有224tan 4,sin 11714θθ==+11117171tan sin 4θθ+∴+==变式1-1-4：(多选)若角α的终边上有一点(4,)P a -，且3sin cos αα⋅=，则a 的值为( ) A ．3 B 3 C ．43-D ．43【答案】CD【解析】由三角函数的定义可知，()22sin 4a α=-+()22cos 4a α=-+又3sin cos αα⋅=，则()22434a a -=-+43a =-433(二)由三角函数值求终边上的点或参数【例1-2】已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()02,y -，若π3α=，则0y 的值为( )． A ．3- B ．23C ．3D 23【答案】A【解析】因为角α终边经过点()02,y -，且3πα=，所以0πtan332y =-023y =-变式1-2-1：已知角θ的终边经过点(,3)M m m -，且1tan 2θ=，则m =( )A ．12B ．1C ．2D ．52【答案】C【解析】由题意31tan 2m m θ-==，解得2m =．变式1-2-2：已知()2,P y -是角θ终边上一点，且22sin θ=y 的值是( ) A ．22B 22C ．434D 434【答案】D【解析】因为()2,P y -是角θ终边上一点，22sin 05θ=>，故点()2,P y -位于第二象限所以0y >，2222sin (2)y θ==-+21732y =，因为0y >，所以434y =变式1-2-3：已知角θ的终边经过点()21,2a a +-，且3cos 5θ=，则实数的a 值是( )A ．2-B ．211C ．2-或211D ．1【答案】B2235(21)(2)a a =++-且210a +>，即12a >-，①2244195525a a a ++=+，则2112040a a +-=，解得2a =-或211a =，综上，211a =.变式1-2-4：已知角α的终边上有一点(3P m ，且2cos 4mα=，则实数m 取值为______．【答案】0或5【解析】因为角α的终边上有一点(3P m ，所以22cos 43mm α==+，解得0m =或5±(三)由单位圆求三角函数值【例1-3】已知角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，则sin α的值为( )A. 3 B ．12-C 3D ．12【答案】C【解析】因为角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，所以根据三角函数的定义可知，3sin y α==．变式1-3-1：角α的终边与单位圆的交点A 3sin α=________，若点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为2π，则转过的角度为________． 132π 【解析】α的终边与单位圆的交点A 3可得：3cos α=sin 0α>，则有：22313sin 1cos 14αα⎛⎫=--=⎪⎝⎭点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为2π，可得：2AOB π∠=变式1-3-2：已知角α的终边与单位圆交于点36(P ，则sin cos αα⋅=( ) A 3 B ．2C ．3D 2【答案】B【解析】α的终边与单位圆交于点36(P ,故36||1,r OP x y ====，故636333sin cos 11y x r r αα==== 所以632sin cos 3αα⋅=（=-，(四)已知角α的终边在直线上求三角函数值【例1-4】已知角α的终边落在射线2(0)y x x =≥上，求sin α，cos α的值．【解析】设射线2(0)y x x =≥上任一点00(,)P x y ，则002y x =，220005OP r x y x ∴==+=，00025sin 55y r x α∴===，0005cos 55x r x α===.变式1-4-1：已知α的终边落在直线2y x =上，求sin α，cos α的值255255【解析】①若α的终边在第一象限内，设点(,2)(0)P a a a >是其终边上任意一点22(2)5(0)r OP a a a a ==+=>25sin 55y r a α∴===，5cos 55x r a α===①若α的终边在第三象限内，设点(,2)(0)P a a a <是其终边上任意一点22(2)5(0)r OP a a a a ==+=-<25sin 5y r a α∴===-，5cos 5x r a α===-变式1-4-2：α是第二象限角，其终边上一点(5P x ，且2cos x α=，则sin α的值为( ) A 10 B 6 C 2 D ．10 【答案】A【解析】由题意可知0x <，22cos 5x x α=+，解得3x =-510sin 35α==+考点二三角函数值符号的判定解题方略：三角函数值符号的判断方法要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号．如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解．(一)已知角或角的范围确定三角函数式的符号【例2-1】坐标平面内点P 的坐标为()sin5,cos5，则点P 位于第( )象限.A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】B 【解析】32π2π5<<，sin50,cos50∴<>，则点P 位于第二象限，变式2-1-1：若α为第四象限角，则( )A ．cos 2α＞0B ．cos 2α＜0C ．sin 2α＞0D ．sin 2α＜0 【答案】D【解析】法一：因为α为第四象限角，22,2k k k Z ππαπ∴-<<∈，424,k k k Z ππαπ∴-<<∈所以2α的终边在第三象限、第四象限或y 轴的负半轴上，所以sin 20α<.法二：因为α为第四象限角，sin 0α∴<，cos 0α>，sin 22sin cos 0ααα∴=<.变式2-1-2：下列各选项中正确的是( )A ．sin300>0︒B ．cos(305)0-︒<C ．22tan 03π⎛⎫-> ⎪⎝⎭D ．sin100<【答案】D【解析】30036060︒=︒-︒，则300︒是第四象限角，故sin3000︒<；30536055-︒=-︒+︒，则305-︒是第一象限角，故cos(305)0-︒>；222833πππ-=-+，则223π-是第二象限角，故22tan 03π⎛⎫-< ⎪⎝⎭； 73102ππ<<，则10是第三象限角，故sin100<，故选D.变式2-1-3：下列各式：①()sin 100-︒； ①()cos 220-︒； ①()tan 10-； ①cos π. 其中符号为负的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】100-︒，故()sin 1000-︒<；220-︒在第二象限，故()cos 2200-︒<；710,32ππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭在第二象限，故()tan 100-<，cos 10π=-<.(二)由三角函数式的符号确定角的范围或象限【例2-2】已知sin tan 0θθ⋅<，则角θ位于第________象限．【答案】二或三【解析】当θ为第一象限角时，sin 0θ>，tan 0θ>，sin tan 0θθ⋅>；当θ为第二象限角时，sin 0θ>，tan 0θ<，sin tan 0θθ⋅< 当θ为第三象限角时，sin 0θ<，tan 0θ>，sin tan 0θθ⋅< 当θ为第四象限角时，sin 0θ<，tan 0θ<，sin tan 0θθ⋅> 综上，若sin tan 0θθ⋅<，则θ位于第二或第三象限变式2-2-1：已知sin 0θ<且tan 0θ<，则θ是( )A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角【答案】D【解析】sin 0θ<，则θ是第三、四象限的角，tan 0θ<，则θ是第二、四象限的角 ①θ是第四象限的角变式2-2-2：若角α满足sin cos 0αα⋅<，cos sin 0αα-<，则α在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】sin cos 0αα⋅<，α是第二或第四象限角；当α是第二象限角时，cos 0α<，sin 0α>，满足cos sin 0αα-<；当α是第四象限角时，cos 0α>，sin 0α<，则cos sin 0αα->，不合题意；综上所述：α是第二象限角.变式2-2-3：若sin tan 0αα<，且cos 0tan αα<，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】C【解析】由sin tan 0αα<可知sin α,tan α异号，从而α是第二或第三象限角．由cos 0tan αα<可知cos α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角．综上可知，α是第三象限角．变式2-2-4：已知点P (tan α，cos α)在第四象限，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】因为点P 在第四象限，所以有tan 0cos 0αα>⎧⎨<⎩，由此可判断角α的终边在第三象限．变式2-2-5：若cos α与tan α同号，那么α在( )A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第三、四象限D ．第二、四象限【答案】B【解析】因为cos α与tan α同号，则cos α与tan α的乘积为正，即正弦值为正，所以α在第一、二象限.变式2-2-6：在ABC 中，A 为钝角，则点()cos ,tan P A B 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】在ABC 中，A 为钝角，则B 为锐角，则cos 0,tan 0A B <>，则点()cos ,tan P A B 在第二象限变式2-2-7：已知角α的终边经过点(39,2)a a -+，且cos 0α≤，sin 0α>，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3] 【答案】A【解析】①cos 0α≤，sin 0α>，①角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上． ①39020a a -≤⎧⎨+>⎩ ①23a -<≤ .。

5.3 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数

【课题】5．3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数
【教学目标】
知识目标：
⑴理解任意角的三角函数的定义及定义域；
⑵理解三角函数在各象限的正负号；
⑶掌握界限角的三角函数值．
能力目标：
⑴会利用定义求任意角的三角函数值；
⑵会判断任意角三角函数的正负号；
⑶培养学生的观察能力．
情感目标：
由三角函数的概念推导出任意角的三角函数值、三角函数的正负号以及界限角的三角函数值使学生体会到数学知识的内在统一性.
【教学重点】
⑴任意角的三角函数的概念；
⑵三角函数在各象限的符号；
⑶特殊角的三角函数值．
【教学难点】
任意角的三角函数值符号的确定．
【教学设计】
（1）在知识回顾中推广得到新知识；
（2）数形结合探求三角函数的定义域；
（3）利用定义认识各象限角三角函数的正负号；
（4）数形结合认识界限角的三角函数值；
（5）问题引领，师生互动．在问题的思考和交流中，提升能力.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
动脑思考探索新知是任意大小的角，点B
a c
0>，cos43270>，tan 22=⨯π所以，27角为第三象限角，
这类问题需要首先计算出界限角的三角函数值，然后再31206(1)2-⨯+⨯-⨯-=-．
3tan180+213tan tan sin cos 4332πππ
-+-+π．。

5.3 任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数

c
a
A 邻边 C
b
cos
A

b c

邻边斜边
tan
A

a b

对边邻边
思考角的范围已经推广，那么我们如何定义
任意角的三角函数呢？
任意角三角函数的定义
已知是任意角，P(x，y)，P' (x'，y')是角的
终边与两个半径不同的同心圆的交点，则由相似三角形对应边成比例得
x x y y y y , ,
三角函数
归纳小结会解决哪些新问题？
体会到哪些学习方法？
本节课所学知识点： 1．任意角三角函数的定义（代数表示）． 2．任意角三角函数值的求法（方法）． 3．任意角三角函数值的符号（口诀）． 4．任意角三角函数的几何表示（三角函数线）．
三角函数
布置作业继续探究
2．计算：
cos tan 1 tan2 sin 3 cos
2
43 3
2
计算器
补充练习
计算
(1)3cos90 5sin 0 tan 0 cos180 sin180 tan180
(2)5cos270 9sin 0 sin 270
单位圆与三角函数线
1. 以原点为圆心，半径为 1 的圆称为单位圆.
2. 如图，角的终边与单位圆交于点P，
则根据三角函数定义可知，点 P 的坐标 x， y 分别为
cos 和 sin ，即 P( cos , sin ).
y1
由于 cos ＝ x ＝ OM；
P (cos , sin )
π
3A OM x

《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》

y
P（x , y)
y
r

x cos r
B
y sin r
x o
x
y tan x
动脑思考
探索新知
三
正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下表所示：
角函数
三角函数
定义域
sin cos
R
R
{ k , k Z} 2
tan
三
例讲解题
例 1 已知角的终边经过点 P(2, 3) ，求角的正弦、余弦、正切值．
北大校长王恩哥的十句话第一句话，结交“两个朋友”一个是运动场，一个是图书馆。第二句话，培养“两种功夫”一个是本分，一个是本事。第三句话，乐于吃“两样东西”一个是吃亏，一个是吃苦。第四句话，具备“两种力量一种是思想的力量，一种是利剑的力量。
第五句话，追求“两个一致”一个是兴趣与事业一致，一个是爱情与婚姻一致。
y
o
a y sin C（x , y) c r b x cos r y c r a y tan B x x b x
动脑思考
探索新知
设是任意大小的角，点 P( x, y ) 为角的终边上不与原点重合的任意一点，点 P 到原点的距离为
r x2 y 2 ，角的正弦、余弦、正切分别定义为
角函数
三
例讲解题
例 2 已知角的终边在第二象限，点 P （k,3）在角
角函数
终边上，求角的余弦、正切值．
运用知识
练习5.3.1
强化练习
已知角的终边经过点 P，求：角的正弦、余弦、正切值： ⑴ P（3，−4）； ⑵ P（−1，2）； ⑶ P（ 1 , 3 ）． 2 2

三角函数

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。

它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。

另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。

现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有较为重要的应用。

在物理学中，三角函数也是常用的工具。

基本初等内容它有六种基本函数(初等基本表示)：函数名正弦余弦正切余切正割余割正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y正割函数secθ=r/x余割函数cscθ=r/y以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：正矢函数versinθ =1-cosθ余矢函数vercosθ =1-sinθ同角三角函数间的基本关系式：·平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·积的关系：sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B ·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0部分高等内容·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义

任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义
正弦函数：
1、正弦函数又称三角函数之一，用来描述某个角（通常用弧度制来表示）对应的正弦值。

其定义为：sinθ=y/r，其中θ是一个角、y表示线
段OP（P是原点O与某角θ之间所成的角）的竖直高度，r为OP线段
的长度。

2、正弦函数在数学和科学研究中被广泛使用，可以描述很多自然现象，如波形、格林函数、化学反应的振荡及循环等。

3、由于定义中引入了角θ，因此正弦函数也被称为周期函数，其拥有
可预测的周期性，其周期性就受到了角θ的周期性所控制，其周期
T=2π/θ。

余弦函数：
1、余弦函数也是三角函数之一，与正弦函数正交，从定义上来看：
cosθ=x/r，其中θ是一个角、x表示线段OP（P是原点O与某角θ之间
所成的角）的水平宽度，r为OP线段的长度。

2、余弦函数也被人们广泛使用，用来描述很多自然现象，如电磁场的
振荡、微波加热、声反射、图像处理、建筑设计、数控加工中的刀具
轨迹等。

3、余弦函数具有预测的可重复性，其周期T=2π/θ。

正切函数：
1、正切函数也可以称为三角函数之一，定义为：tanθ=y/x，其中θ是一个角，y表示线段OP（P是原点O与某角θ之间所成的角）的竖直高度，x为OP线段的水平宽度。

2、正切函数也被广泛应用于数学和科学研究中，可以用来描述很多自然现象，如太阳辐射、抛物线分布、圆周运动及天文学等。

3、正切函数也具有可预测的周期性，其周期T=2π/θ。

任意角的三角函数

利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线，正切线．
三角函数的几何表示课件
三角函数的一种几何表示
当角的终边不在坐标轴上时，我们把 OM ， MP 都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段．由正弦、余弦、正切函数的定义有：
y y sin y MP r 1
x x cos x OM r 1
而 48 °第一象限角, 所以tan(－672 °)>0
解:
因为tan(11π/3)=4)tan(5π/3+2π )=tan(5π/3)
而 5π/3第四象限角, 所以tan(11π/3)<0
变式
判断 cos(sinα)的符号
分析:
求 sinα 的大小; 弧度制把角度与实数相联系
解:
因为 sinα 的取值为 [-1,1]; 而 -1>-π /2 , 1< π/2 ;
弦 csc
tan 切 cot
全为+ 函 o x cos
余
函:所有的三角函数弦:正弦 (倒数余割) 切:正切 (倒数余切) 余:余弦 (倒数正割)
sec
例3
确定下列三角函数值的符号
(1) cos250° (2) sin(－π /4)
解: 因为250°是第三象限角, 所以cos250°<0 解: 因为－π/4是第四象限角, 所以sin(－π/4) <0 练习4 口答
务正业了,每天坐在飞船当中,正在朝南皇国赶路."罢了,你们主内,咱主外吧..."根汉无奈の自嘲,她们在体验不同の人生,或许对她们の道法有所帮助,因为她们可能之前从来没想到会经历这样の生活.不过因为在这里已经呆了有段时间了,根汉必须要着眼开始找到这星海大陆の出口了,若是再

高中数学必修四第一章三角函数 1.2.1.1 三角函数的定义

解析:角
α
的终边在
y
轴的非负半轴上,则
α=2kπ+
π 2
(��∈Z),所以
tan α 无意义.
答案:A
【做一做 1-2】若角 α 的终边与单位圆相交于点
2 2
,-
2 2
,
则 sin ��的值为( )
A.
2 2
B.
−
2 2
C.
1 2
D.
−1
解析:x=
2 2
,
��
=
−
2 2
,
则sin
题型一题型二题型三题型四
解:(1)∵-670°=-2×360°+50°,
∴-670°是第一象限角,
∴sin(-670°)>0.
又1 230°=3×360°+150°,
∴1 230°是第二象限角,
∴cos 1 230°<0,
∴sin(-670°)cos 1 230°<0.
(2)∵
5π 2
<
8
<
(2)∵
5π 4
是第三象限角,
4π 5
是第二象限角,
11π 6
是第四象限角,∴
sin
5π 4
<
0,
cos
4π 5
<
0,
tan
11π 6
<
0,
∴sin
54π·cos
45π·tan
11π 6
<
0,
式子符号为负.
(3)∵191°角为第三象限角,∴tan 191°>0,cos 191°<0,

5.3.1 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念

5.3.1 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念一、教材分析1．教材的地位和作用：本节课是《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》的第一课时，在此之前，学生已经学过“锐角三角函数”的相关知识以及“角的推广”，现在学习本节课是一个“从特殊到一般”的学习过程，学好此知识也为接下来学习“同角三角函数的基本关系”打好扎实的基础，因此它在知识体系上起着承上启下的作用。

另外三角函数知识在物理学、天文学、测量学、模具数控加工等领域均有重要的应用，因此它在现实生活中起着服务专业的作用。

2.学情分析及教材处理：本人所授课的班级为2012级数控专业班的学生，他们优点是思维形象直观，对专业兴趣浓厚，而且他们即将学习的数控专业知识中需要用到三角函数知识。

针对学生的优点，我对教材进行了适当的调整处理：○1增加信息化在教学中的运用，优化教师课堂教学，激发学生学习兴趣。

○2增加解决专业问题的实例，满足学生专业学习需求，体现数学的实用性。

不过中职学生也有自身的不足，那就是深入思考能力欠缺，计算能力比较薄弱。

针对学生的不足，我简化了定义的推导，强化了知识的应用。

同时让学生小组互助合作，借助计算器求值计算。

3．教学目标：➢知识目标：理解任意角三角函数的定义，能熟练运用相关知识解决实际问题。

➢能力目标：培养学生观察分析、探索归纳、解决问题的能力，提高学生信息素养。

➢情感目标：在学习中培养学生互教互学的合作精神，同时让学生感悟数学的实用性。

4．教学重点：任意角三角函数的定义。

5．教学难点：任意角三角函数定义在现实生活中的灵活应用。

二、教法、学法：在教学中，以数学家弗赖登塔尔的“数学现实”理论为指导，借助信息化手段辅助教学。

首先通过教师的动画演示，学生的观察思考，联系专业引入新课。

然后经过教师的启发诱导和学生的讨论交流，探究定义。

接着通过教师示范讲授例题，学生小组合作练习，巩固新知识。

最后通过教师的精讲点拨和学生的自主探究，将数学知识服务于专业。

5.3《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》课件(1)

余弦和正切函数的值。
设 ∠ = (是锐角),角的邻边＝,对边
= ,斜边长 = => 0。根据锐角三角函
数定义用, , 表示锐角的正弦、余弦、正切三个
比值：
对边 | PM | y
邻边｜OM | x
对边｜PM | y
sin

；
cos
＝
；tan

此时tan =

无意义。因此，正弦函数、余弦函数及正切函数

的定义域如下表所示：
三角函数
sin
cos
tan
定义域
Ｒ
Ｒ

≠ + , ∈
2
巩固知识典型例题
例1 已知角的终边经过点Ｐ 2, −3 ，求角的正弦、余弦、
正切值。
分析：已知角的终边一点的坐标，求角的三个函数值时，
这些比值发生变化吗？

动脑思考探索新知
正弦函数：sin =

；余弦函数：cos

=

；正切函数：tan

=

。

关于定义两点说明：
１.在比值存在的情况下，对角的每一个确定的值，按照相
应的对应关系，角的正弦、余弦、正切、都分别有唯一的比
值与之对应，它们都是以角为自变量的函数，分别叫做正
弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数。
２.当角采用弧度制时，角的取值集合与实数集R之间具有
一一对应的关系，所以三角函数是以实数为自变量的函数。
三角函数定义域
由任意角三角函数的定义可以看出，当角的终边在轴上时，

= + , ∈ ，终边上任意一点的横坐标的值都等于0，

正弦、余弦、正切的定义正弦sinα=yr余弦cosα=(精)

yr x
正弦、余弦、正切的定义? 正弦：sinα =y/r 余弦：cosα=x/r 正切：tanα =y/x
交换三个比值的前后项是否可以得出三个新的三角函数?
余切cotα＝x/y，
正割secα＝r/x ，余割cscα＝r/y
设α是任意角，p（x，y）是角α终边上任意一点，PO= x2 y2 =r（r＞0），则把下面六个函数
三角函数值在各象限的符号是怎样的？
y ++
Y>0 Y>0
x
－0 － Y<0 Y<0
sinα cscα
y
－
+
X<0 －0
X>0 x +
X<0 X>0
cosα sec α
y －+
X<0，y>0 X>0，y>0
x +0 －
X<0，y<0 X>0，y<0
tanα cotα
意为：第一象限各三角函数均为正,第二象限只有正弦及与正弦相关的余割为正,其余均为负
R

|

k

2
,
k

Z

思考：余切、正割、余割函数定义域如何？
例2 求函数y＝1/(1+sinx)的定义域。解：∵1+sinx≠0， ∴ sinx≠－1
即角x的终边不能在y轴的负半轴上。 ∴x≠2kπ+3π/2，k∈Z，故函数的定义域是 {x|x∈R，且x≠2kπ+3π/2，k∈Z}
⑷ tan11
3
sin 0
例4、已知角满足 tan 0,问是第几象限?

任意角的三角函数

（4）负
tanx 例3.求函数y = + 的值域. cosx tanx
解析：定义域：cosx ≠0 ∴x的终边不在x轴上又∵tanx ≠0 ∴x的终边不在y轴上
cosx
∴当x是第一象限角时，x > 0,y > 0, cosx = cosx,tanx = tanx, ∴ y = 2; 当x是第二象限角时，x < 0,y > 0, cosx = -cosx,tanx = -tanx, ∴ y = -2; 当x是第三象限角时，x < 0,y < 0, cosx = -cosx,tanx = tanx, ∴ y = 0; 当x是第四象限角时，x > 0,y < 0, cosx = cosx,tanx = -tanx, ∴ y = 0; 所以，y的值域为 {2， - 2，0}
例2 已知角的终边经过点P（ 2， 3），求角的正弦、余弦、正切值.
解：
因为
所以
x 2, y 3,
r 2 2 ( 3) 2 13 ,
所以
y 3 3 13 sin , r 13 13
x 2 2 13 cos , r 13 13
3 y . tan 2 x
几个特殊角的三角函数值
角α 0o 角α 的弧 0 度数 sinα 0 cosα 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o
6
1 2
4
2 2 2 2
3
3 2
1 2
2 1

0
1
0
不存在
3 2
2
1
0
tanα
3 2 3 3
0
1

任意角的正弦、余弦、正切

《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》_黎玉珊

任意角的三角函数及其诱导公式

三角函数基础知识

任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义

三角函数1234567

三角函数的概念解析

5.3 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数

5.3 任意角的正弦函数、 余弦函数、正切函数

《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》

三角函数

任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义

任意角的三角函数

高中数学必修四 第一章三角函数 1.2.1.1 三角函数的定义

5.3.1 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念

5.3《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数》课件(1)

正弦、余弦、正切的定义正弦sinα=yr余弦cosα=(精)

任意角的三角函数

5.3 任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数

高中数学必修四第一章三角函数 1.2.1.1 三角函数的定义