浙江省中考数学总复习 专题提升五 与圆有关的证明与计算

专题提升五 与圆有关的证明与计算

一、选择题

1．(2016·邵阳)如图所示，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 外一点，CA ，CD 是⊙O 的切线，A ，D 为切点，连结BD ，AD ，若∠ACD ＝30°，则∠DBA 的大小是( D )

A ．15°

B ．30°

C ．60°

D ．75°

,第1题图) ,第2题图)

2．(2016·潍坊)如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与x 轴相切于点A(8，0)，与y 轴分别交于点B(0，4)和点C(0，16)，则圆心M 到坐标原点O 的距离是( D )

A ．10

B ．8 2

C ．413

D ．241

3．(2016·昆明)如图，AB 为⊙O 的直径，AB ＝6，AB ⊥弦CD ，垂足为G ，EF 切⊙O 于点B ，∠A ＝30°，连结AD ，OC ，BC ，下列结论不正确的是( D )

A ．EF ∥CD

B ．△COB 是等边三角形

C ．CG ＝DG D.BC ︵的长为3

2

π

,第3题图) ,第4题图)

4．(2016·枣庄)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝23，则阴影部分的面积为( D )

A ．2π

B ．π C.π3 D.2

3

π

二、填空题

6．(2016·黔西南州)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，若CD ＝6，BE ＝1，则⊙O 的直径为__10__．

,第6题图) ,第7题图)

7．(2016·青岛)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，若∠BCD ＝28°，则∠ABD ＝__62°__．

8．(2016·成都)如图，△ABC 内接于⊙O ，AH ⊥BC 于点H ，若AC ＝24，AH ＝18，⊙O 的

半径OC ＝13，则AB ＝__39

2

__．

,第8题图) ,第9题图)

9．(2016·乐山)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝23，以点C 为圆心，CB

的长为半径画弧，与AB 边交于点D ，将BD ︵

绕点D 旋转180°后点B 与点A 恰好重合，则图中

阴影部分的面积为__23－2π

3

__.

10．(2016·无锡)如图，△AOB 中，∠O ＝90°，AO ＝8 cm ，BO ＝6 cm ，点C 从A 点出发，在边AO 上以2 cm /s 的速度向O 点运动，与此同时，点D 从点B 出发，在边BO 上以1.5

cm /s 的速度向O 点运动，过OC 的中点E 作CD 的垂线EF ，则当点C 运动了__17

8

__s 时，以C

点为圆心，1.5 cm 为半径的圆与直线EF 相切．

三、解答题

11．(2016·丽水)如图，AB 是以BC 为直径的半圆O 的切线，D 为半圆上一点，AD ＝AB ，AD ，BC 的延长线相交于点E.

(1)求证：AD 是半圆O 的切线； (2)连结CD ，求证：∠A ＝2∠CDE ；

(3)若∠CDE ＝27°，OB ＝2，求BD ︵

的长．

(1)证明：连结OD ，BD (图略)，∵AB 是⊙O 的直径，∴AB ⊥BC ，即∠ABO ＝90°，∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∵OB ＝OD ，∴∠DBO ＝∠BDO ，∴∠ABD ＋∠DBO ＝∠ADB ＋∠BDO ，∴∠ADO ＝∠ABO ＝90°，∴AD 是半圆O 的切线． (2)证明：由(1)知，∠ADO ＝∠ABO ＝90°，∴∠A ＝360°－∠ADO －∠ABO －∠BOD ＝180°－∠BOD ，∵AD 是半圆O 的切线，∴∠ODE ＝90°，∴∠ODC ＋∠CDE ＝90°，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠ODC ＋∠BDO ＝90°，∴∠BDO ＝∠CDE ，∵∠BDO ＝∠OBD ，∴∠DOC ＝2∠BDO ，∴∠DOC ＝2∠CDE ，∴∠A ＝2∠CDE. (3)解：

∵∠CDE ＝27°，∴∠DOC ＝2∠CDE ＝54°，∴∠BOD ＝180°－54°＝126°，∵OB ＝2，∴BD

︵

的长＝126·π×2180＝75π.

12．(2016·绵阳)如图，AB 为⊙O 直径，C 为⊙O 上一点，点D 是BC ︵

的中点，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥AB 于F.

(1)判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； (2)若OF ＝4，求AC 的长度．

解：(1)DE 与⊙O 相切．证明：连结OD ，AD ，∵点D 是BC ︵的中点，∴BD ︵＝CD ︵

，∴∠DAO ＝∠DAC ，∵OA ＝OD ，∴∠DAO ＝∠ODA ，∴∠DAC ＝∠ODA ，∴OD ∥AE ，∵DE ⊥AC ，∴DE ⊥OD ，∴DE 与⊙O 相切． (2)连结BC 交OD 于H ，延长DF 交⊙O 于G ，由垂径定理可得：OH ⊥BC ，

BH ＝HC ，BG ︵＝BD ︵＝DC ︵，∴DG ︵＝BC ︵

，∴DG ＝BC ，∴OH ＝OF ＝4，∵OB ＝OA ，BH ＝HC ，OH ∥AC ，∴OH 是△ABC 的中位线，∴AC ＝2OH ＝8.

13．(2016·巴中)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以点O 为圆心的圆分别交x 轴的正

半轴于点M ，交y 轴的正半轴于点N.劣弧MN ︵的长为65π，直线y ＝－4

3

x ＋4与x 轴，y 轴分别

交于点A ，B.

(1)求证：直线AB 与⊙O 相切；

(2)求图中所示的阴影部分的面积．(结果用π表示)

(1)证明：作OD ⊥AB 于D ，如图所示：∵劣弧MN ︵的长为65π，∴90π×OM 180＝6

5

π， 解得

OM ＝125，即⊙O 的半径为125，∵直线y ＝－4

3x ＋4与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，当y ＝0时，

x ＝3；当x ＝0时，y ＝4，∴A (3，0)，B (0，4)，∴OA ＝3，OB ＝4，∴AB ＝32

＋42

＝5，∵

△AOB 的面积＝12AB ·OD ＝12OA ·OB ，∴OD ＝OA ×OB AB ＝12

5

＝OM ，∴直线AB 与⊙O 相切． (2)

解：阴影部分的面积＝12×3×4－14π×(125)2＝6－36

25

π.

14．(2016·扬州)如图1，以△ABC 的边AB 为直径的⊙O 交边BC 于点E ，过点E 作⊙O 的切线交AC 于点D ，且ED ⊥AC.