浙江省中考数学总复习 专题提升五 与圆有关的证明与计算
圆的相关证明与计算(复习讲义)(原卷版)-中考数学重难点题型专题汇总
题型五--圆的相关证明与计算（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．考点02垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．考点03圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．考点04圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．考点05与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r ⇔点在⊙O 外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>r d=r d<r考点06切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．考点07三角形与圆1.三角形外接圆外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．1.如图，点,,,,A B C D E 在O 上，,42AB CD AOB =∠=︒，则CED ∠=（）A．48︒B．24︒C．22︒D．21︒2.如图，A，B，C 是半径为1的⊙O 上的三个点，若，∠CAB＝30°，则∠ABC 的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°3.如图，AB 是⊙O 的直径，AC，BC 是⊙O 的弦，若20A ∠=︒，则B Ð的度数为（）A．70°B．90°C．40°D．60°4.如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =3BC =．点P 为ABC ∆内一点，且满足22PA PC +2AC =．当PB 的长度最小时，ACP ∆的面积是（）A．3B．C．4D．25.如图，已知在⊙O 中， AB BCCD ＝＝，OC 与AD 相交于点E．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE 为菱形．6.如图，A，B 是O 上两点，且AB OA =，连接OB 并延长到点C，使BC OB =，连接AC．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）点D，E 分别是AC，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点F，G，4OA =，求GF 的长．7.如图，Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，以点C 为圆心，CB 为半径作C ，D 为C 上一点，连接AD 、CD ，AB AD =，AC 平分BAD ∠．（1）求证：AD 是C 的切线；（2）延长AD 、BC 相交于点E，若2EDC ABC S S = ，求tan BAC ∠的值．8.如图，在O 中，AB 是直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，E 为 BC上一点，F 为弦DC 延长线上一点，连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点P ，若FE FP =．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为8，3sin 5F =，求BG 的长．9.如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点D 是 BC的中点，//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 与O 相切；（2）若O 的直径是10，45A ∠=︒，求CE 的长．10.如图，已知点C 是以AB 为直径的圆上一点，D 是AB 延长线上一点，过点D 作BD 的垂线交AC 的延长线于点E ，连结CD ，且CD ED =．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若tan 2DCE ∠=，1BD =，求O 的半径．11.如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC，CE⊥AB 于点E，D 是直径AB 延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD＝8，BE CE=12，求CD的长．12.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．13.如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O 交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．=CD =DB ，连接AD，过点D作14.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，ACDE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若直径AB＝6，求AD的长．15.如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．16.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC 平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若AD＝3，DC=3，求⊙O的半径．17.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．。
中考数学复习 查补重难点 圆的相关计算与证明(原卷版)
查补重难点07.圆的相关计算与证明考点一：圆的基本概念与性质1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．2.圆心角、弧、弦的关系（定理）：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．3．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．圆周角定理的推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．2）直径所对的圆周角是直角．3）圆内接四边形的对角互补．题型1.垂径定理及其运用 1.如图，可得①AB 过圆心；②AB ⊥CD ；③CE =DE ；④ AC AD =；⑤ BCBD =。
总结：垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直径）；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。
若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理。
2.关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．例1.（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，A 、B 、C 是O 上的点，OC AB ⊥，若5OA =，8AB =，则CD =（）A ．5B ．4C ．3D ．2变式2．（2024·江苏徐州·一模）如图，ABC 是O 的内接三角形，若60A ∠=︒，BC =O 的半径长为()A ．4BC ．2D ．1题型2.圆心角、弧、弦的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
(浙江地区)2017年中考数学：第25讲-与圆有关的计算ppt课件
5．(2016· 宁波)如图，半圆 O 的直径 AB＝2，弦 CDБайду номын сангаасAB，∠COD＝90 π °，则图中阴影部分的面积为____. 4
弧长公式的应用
【例 1】 (2016· 遵义)如图，半圆的圆心为 O，直径 AB 的长为 12，C 为 ︵ 半圆上一点，∠CAB＝30°，AC的长是( D ) A．12π B．6π C．5π D．4π 【点评】 本题考查了弧长的计算．根据题意求得∠AOC 的度数是解题 的关键．
3．(2016· 潍坊)如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝30°，BC＝2 3，以直角边 AC 为直径作⊙O 交 AB 于点 D，则图中阴影部分的面积是( A ) 15 3 3 15 3 3 A. － π B. － π 4 2 2 2 7 3 π 7 3 π C. － D. － 4 6 2 6 ︵ 4．(2016· 台州)如图，△ABC 的外接圆 O 的半径为 2，∠C＝40°，则AB 8 的长是____________ ． π 9
[对应训练] 3．(1)(2016·贺州)已知圆锥的母线长是12，它的侧面展开图的圆心角
是120°，则它的底面圆的直径为( D )
A ．2 B．4 C．6 D ．8
(2)(2016· 十堰)如图，从一张腰长为 60 cm，顶角为 120°的等腰三角形 铁皮 OAB 中剪出一个最大的扇形 OCD， 用此剪下的扇形铁皮围成一个 圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的高为( D ) A. 10 cm B．15 cm C．10 3 cm D．20 2 cm
3．圆锥的侧面积和全面积 圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l，底面半径为r
，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr.
(1)圆锥侧面积公式： S圆锥侧＝___________ ； πrl
浙江省中考数学总复习 专题提升五 与圆有关的证明与计算(2021年整理)
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专题提升五与圆有关的证明与计算一、选择题1．(2016·邵阳)如图所示，AB是⊙O的直径,点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连结BD,AD，若∠ACD＝30°，则∠DBA的大小是（ D )A．15° B．30° C．60° D．75°,第1题图) ，第2题图) 2．（2016·潍坊)如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0),与y轴分别交于点B（0,4)和点C（0，16），则圆心M到坐标原点O的距离是( D ）A．10 B．8 2 C．413 D．2413．（2016·昆明）如图,AB为⊙O的直径，AB＝6，AB⊥弦CD，垂足为G，EF切⊙O于点B,∠A＝30°,连结AD，OC，BC，下列结论不正确的是（ D ）A．EF∥CD B．△COB是等边三角形C．CG＝DG D.错误!的长为错误!π,第3题图) ,第4题图) 4．（2016·枣庄）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°,CD＝2错误!,则阴影部分的面积为( D ）A．2π B．π C.π3D。
错误!π二、填空题6．（2016·黔西南州）如图，AB是⊙O的直径,CD为弦，CD⊥AB于E，若CD＝6,BE＝1,则⊙O的直径为__10__．，第6题图) ,第7题图）7．(2016·青岛）如图,AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD＝28°，则∠ABD ＝__62°__．8．（2016·成都）如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝24，AH＝18，⊙O的半径OC＝13，则AB＝__错误!__．,第8题图） ,第9题图）9．（2016·乐山)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°,AC ＝23,以点C 为圆心，CB 的长为半径画弧，与AB 边交于点D ，将错误!绕点D 旋转180°后点B 与点A 恰好重合，则图中阴影部分的面积为__2错误!－错误!__。
2018年中考数学(浙江)总复习：专题提升五与圆有关的证明与计算
专题提升五 与圆有关的证明与计算一、选择题1．如图，在△ABC 中，已知∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，则它的内切圆半径是( B ) A .32 B ．1 C ．2 D .23,第1题图) ,第2题图)2．如图，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，CD 切⊙O 于点E ，交PA ，PB 于点C ，D ，若⊙O 的半径为r ，△PCD 的周长为3r ，连结OA ，OP ，则OA PA的值是( D ) A .21313 B .125 C .32 D .233．(2016·潍坊)如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与x 轴相切于点A(8，0)，与y 轴分别交于点B(0，4)和点C(0，16)，则圆心M 到坐标原点O 的距离是( D )A ．10B ．8 2C ．413D ．241,第3题图) ,第4题图)4．(2017·南宁)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC ＝2，∠BAC ＝30°，则劣弧BC ︵的长等于( A )A .2π3B .π3C .23π3D .3π35．如图，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，AB ＝2，点D 为AB 的中点，以点D 为圆心作圆心角为90°的扇形DEF ，点C 恰在弧EF 上，则图中阴影部分的面积为( D )A .π2＋12B ．π－14C .π4＋12D .π4－12二、填空题6．(2017·盐城)如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，点C 在AmB 上，点D 在AB ︵上，若∠ACB＝70°，则∠ADB ＝__110°__．,第6题图) ,第7题图)7．(2016·荆门)如图，从一块直径为24 cm 的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形，使点A ，B ，C 在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是2_cm __．8．(2017·衢州)如图，在直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为(－1，0)，半径为1，点P 为直线y ＝－34x ＋3上的动点，过点P 作⊙A 的切线，切点为Q ，则切线长PQ 的最小值是．,第8题图) ,第9题图)9．(2017·湘潭)如图，在半径为4的⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，且CD ⊥AB ，垂足为点E ，∠AOB ＝90°，则阴影部分的面积是__2π__．10．如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，以点A 为圆心，OA 的长为半径作OC ︵交AB︵于点C ，若OA ＝2，则阴影部分的面积为3． 三、解答题11．(2016·南充)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点O ，OC ＝1，以点O 为圆心，OC 为半径作半圆．(1)求证：AB 为⊙O 的切线；(2)如果tan ∠CAO ＝13，求cos B 的值．解：(1)证明：作OD ⊥AB 于点D ，∵AO 平分∠CAB ，OC ⊥AC ，∴OD ＝OC.∵OC 是⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线．(2)∵∠ACB ＝90°，∴AC 是⊙O 的切线，AC ＝AD.在Rt △ABC 和Rt △OBD 中，∵∠ABC ＝∠OBD ，∴△ABC ∽△OBD ，∴OB AB ＝OD AC ＝OC AC ＝tan ∠CAO ＝13，OC ＝OD ＝1，∴AC ＝AD ＝3.设OB 为x ，则AB ＝3x ，∴BD ＝AB －AD ＝3x －3，在Rt △ODB 中，OB 2＝OD 2＋BD 2，即x 2＝12＋(3x －3)2，解得x 1＝54，x 2＝1(舍去)，DB ＝34，∴cosB ＝DB OB ＝35.12．如图，BD 是汽车挡风玻璃前的刮雨刷．如果BO ＝65 cm ，DO ＝15 cm ，当BD 绕点O 旋转90°时，求刮雨刷BD 扫过的面积．解：在△AOC 和△BOD 中，∵OC ＝OD ，AC ＝BD ，OA ＝OB ，∴△AOC ≌△BOD ，∴阴影部分的面积为扇环的面积，即S 阴影＝S 扇形AOB －S 扇形COD ＝14π(OA 2－OC 2)＝14π×(652－152)＝1 000π(cm 2)．13．(2016·巴中)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以点O 为圆心的圆分别交x 轴的正半轴于点M ，交y 轴的正半轴于点N.劣弧MN ︵的长为65π，直线y ＝－43x ＋4与x 轴，y 轴分别交于点A ，B.(1)求证：直线AB 与⊙O 相切；(2)求图中所示的阴影部分的面积．(结果用π表示)解：(1)证明：作OD ⊥AB 于点D ，∵劣弧MN ︵的长为65π，∴90π×OM 180＝65π， 解得OM ＝125，即⊙O 的半径为125.∵直线y ＝－43x ＋4与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，当y ＝0时，x ＝3；当x ＝0时，y ＝4，∴A (3，0)，B (0，4)，∴OA ＝3，OB ＝4，∴AB ＝32＋42＝5.∵△AOB 的面积＝12AB·OD ＝12OA·OB ，∴OD ＝OA ×OB AB ＝125＝OM ，∴直线AB 与⊙O 相切．(2)阴影部分的面积＝12×3×4－14π×(125)2＝6－3625π. 14．(2017·营口)如图，点E 在以AB 为直径的⊙O 上，点C 是BE ︵的中点，过点C 作CD垂直于AE ，交AE 的延长线于点D ，连结BE 交AC 于点F.(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若cos ∠CAD ＝45，BF ＝15，求AC 的长．解：(1)证明：连结OC ，如图①所示，∵点C 是BE ︵的中点，CE ︵＝BC ︵，∴OC ⊥BE.∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BE ，∴AD ∥OC.∵AD ⊥CD ，∴OC ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线．(2)过点O 作OM ⊥AC 于点M ，如图②所示，∵点C 是BE ︵的中点，∴CE ︵＝BC ︵，∠BAC＝∠CAE ，∴EF AE ＝BF AB .∵cos ∠CAD ＝45，∴EF AE ＝34，∴AB ＝43BF ＝20.在Rt △AOM 中，∠AMO ＝90°，AO ＝12AB ＝10，cos ∠OAM ＝cos ∠CAD ＝45，∴AM ＝AO·cos ∠OAM ＝8，∴AC ＝2AM ＝16.。
第40讲 与圆有关的计算与证明题 课件(共74张ppt) 2024年中考数学总复习专题突破.ppt
复习讲义
（2）若 = 5 ， cos ∠ =
4
，求 的长.
5
∘
解： ∵ ∠ = 90∘ ， ∴ ∠ + ∠ = 90 .
由（1）知， = 2 = 10 ， ∠ = 90∘ ，
∴ ∠ + ∠ = 90∘ .
图3
∴ ∠ = ∠.
4
.
5
∴ cos = cos ∠ =
复习讲义
（2）若 = 10 ， = 12 ， = 2 ，求 ⊙ 的半径．
思路点拨 由（1）知 ⊥ ，因此可在 Rt △
中利用勾股定理列方程求解.
解： ∵ = ， ⊥ ， ∴ = =
1
2
= 6.
图1
∴ = 2 − 2 = 102 − 62 = 8.
∴ = 6 .
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第40讲 与圆有关的计算与证明题
复习讲义
2.（2022·鄂尔多斯）如图3，以 为直径的
⊙ 与 △ 的边 相切于点 ，且与 边
交于点 ，点 为 的中点，连接 ， ，
.
（1）求证： 是 ⊙ 的切线.
1.（2022·衡阳）如图2， 为 ⊙ 的直径，过圆上一
点 作 ⊙ 的切线 交 的延长线于点 ，过点
作 // 交 于点 ，连接 ．
（1）直线 与 ⊙ 相切吗？请说明理由.
图2
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第40讲 与圆有关的计算与证明题
复习讲义
解：直线 与 ⊙ 相切.
， 的点，连接 ， ，点 在 的延长线
上，且 ∠ = ∠ ，点 在 的延长线上，
中考数学总复习 题型突破(六)与圆有关的证明与计算数学课件
(2)见切点连半径,考虑连接 OA,DM,根据切线的性质可得∠PAO=90°,由∠P=30°,可求出半径 r 的值,然后根据
M 点是半圆 CD 的中点,可得 CM=DM,在 Rt△ CMD 中,由勾股定理可得出结果.
第十三页，共四十七页。
类型(lèixíng)2 弦切型问题
例2
[2018·遂宁] 如图 Z6-6,过☉O 外一点 P 作☉O 的切线 PA 切☉O 于点 A,连接 PO 并延长,与☉O 交于 C,D
(1)求证:∠CAD=∠BDC;
2
(2)若 BD= AD,AC=3,求 CD 的长.
图 Z6-7
3
解:(1)证明:连接 OD.∵CD 是☉O 的切线,∴∠ODC=90°,即∠CDB+∠BDO=90°.
∵AB 是☉O 的直径,∴∠ADB=90°.∴在 Rt△ ABD 中,∠A+∠ABD=90°.
∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB.∴∠A=∠CDB.即∠CAD=∠BDC.
5
解:(2)在 Rt△ ABC 中,AB=2 5,BC= 5,∴AC= 2 + 2 =5,∴OD= .
2
5
过点 C 作 CG⊥DE,垂足为 G,则四边形 ODGC 为正方形,∴DG=CG=OD= .
2
∵DE∥AC,∴∠CEG=∠ACB,
2.5 2 5
∵∠ABC=∠CGE=90°,∴△ ABC∽△CGE,∴ = ,即 =
5
15
4
4
5
,
解得:GE= ,∴DE=DG+GE= .
第十二页，共四十七页。
图 Z6-5
类型(lèixíng)2
弦切型问题
浙江省中考数学总复习第五章基本图形(二)第22讲圆的基本性质讲解篇
第22讲 圆的基本性质1．圆的有关概念考试内容考试要求圆的定义 定义1：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．b定义2：圆是到定点的距离 定长的所有点组成的图形．弦 连结圆上任意两点的 叫做弦．直径 直径是经过圆心的 ，是圆内最 的弦． 弧圆上任意两点间的部分叫做弧，弧有____________________之分，能够完全重合的弧叫做____________________.a等圆 能够重合的两个圆叫做等圆. 同心圆圆心相同的圆叫做同心圆．2.圆的对称性考试内容考试要求圆的对称性 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过 的直线． c圆是中心对称图形，对称中心为____________________.圆心角、弧、弦之间的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量也分别相等．3.圆周角考试内容考试要求圆周角的顶点在圆上，并且 都和圆相交的角叫做圆周角．b定义圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的．c 推论1 同弧或等弧所对的圆周角．推论2半圆(或直径)所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是．推论3 圆内接四边形的对角．4.点与圆的位置关系考试内容考试要求位置关系点在圆内点在圆上点在圆外b 数量(d与r)的大小关系(设圆的半径为r，点到圆心的距离为d)_________________ _________________ _____________考试内容考试要求基本思想分类讨论思想：在很多没有给定图形的题目中，常常不能根据题目的条件把图形确定下来，因此会导致解的不唯一性．对于这种多解题必须要分类讨论，分类时要注意标准一致，不重不漏．如：圆周角所对的弦是唯一的，但是弦所对的圆周角不是唯一的．c 基本方法辅助线：有关直径的问题，如图，常作直径所对的圆周角．1．(2016·绍兴)如图，BD 是⊙O 的直径，点A 、C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝60°，则∠BDC 的度数是( )A ．60°B ．45°C ．35°D ．30°2．(2015·宁波)如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，∠A ＝72°，则∠BCO 的度数为( )A ．15°B ．18°C ．20°D ．28°3．(2017·绍兴)如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A 在⊙O 上，边AB ，AC 分别与⊙O 交于点D ，E ，则∠DOE 的度数为____________________．第3题图 第4题图4．(2017·湖州)如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC.以AB 为直径作半圆O ，交BC 于点D.若∠BAC＝40°，则AD ︵的度数是____________________度．【问题】如图，四边形ABCD 内接于⊙O，CE 是直径．(1)观察图形，你能得到哪些信息？(2)若∠ADC＝130°，则∠B＝______，∠AOC ＝______，AE ︵的度数为____； (3) 若AC ＝6，AO ＝5，则AE ＝________．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理圆的有关性质，弦、弧、圆心角的关系定理及推论，圆周角定理，圆的内接四边形等．类型一 圆的有关概念例1 下列语句中，正确的是__________________．①半圆是弧；②长度相等的弧是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是对称轴；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径；⑥三个点确定一个圆；⑦直径是圆中最长的弦；⑧一个点到圆的最小距离为6cm ，最大距离为9cm ，则该圆的半径是1.5cm 或7.5cm ；⑨⊙A 的半径为6，圆心A(3，5)，则坐标原点O 在⊙A 内．【解后感悟】圆中相关概念经常会出现错误，需要辨析，如在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等．1．(1)A 、B 是半径为5cm 的⊙O 上两个不同的点，则弦AB 的取值范围是( ) A ．AB>0 B ．0<AB<5 C ．0<AB<10 D ．0<AB ≤10 (2)下列说法中，正确的是( )A ．同一条弦所对的两条弧一定是等弧B ．相等圆周角所对弧相等C ．正多边形一定是轴对称图形D ．三角形的外心到三角形各边的距离相等(3) (2017·河北模拟)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，以顶点D 为圆心作半径为r 的圆，若要求另外三个顶点A 、B 、C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r 的取值范围是____________________．类型二圆的内接多边形例2(2017·陕西模拟)如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F.(1)若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC；(2)若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β.请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．【解后感悟】本题主要考查圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．2．(1)(2015·杭州)圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝70°，则∠C＝( )A．20°B．30°C．70°D．110°(2)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( )A．45°B．50°C．60°D．75°(3)(2015·南京)如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝____________________.类型三圆心角与圆周角的关系例3(1)如图，AB为⊙O的直径，诸角p，q，r，s之间的关系①p＝2q；②q＝r；③p ＋s＝180°中，正确的是( )A．只有①和②B．只有①和③C．只有②和③D．①，②和③(2)(2015·台州)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.①若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；②求证：∠1＝∠2.【解后感悟】解题利用图形联想，揭示数量关系，如等腰三角形、圆周角定理、圆内接四边形等知识；圆周角定理及其推论建立了圆心角、弦、弧、圆周角之间的关系，最终实现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化；当图中出现同弧或等弧时，常常考虑到弧所对的圆周角或圆心角，“一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半”，通过弧把角联系起来．注意掌握数形结合思想的应用．3．(1)(2017·衢州模拟)如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O 的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD等于____________________．(2)(2017·巴中模拟)如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE 上，连结AE，∠E＝36°，则∠ADC的度数是____________________．(3)(2017·潍坊模拟)如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD.已知DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦BC的弦心距等于____________________．类型四圆的综合运用例4(2017·台州)如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点(不与B，C 重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．(1)求证：△APE是等腰直角三角形；(2)若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．【解后感悟】解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，注意数形结合的应用．4．(2017·丽水)如图，在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.(1)求证：∠A＝∠ADE；(2)若AD＝16，DE＝10，求BC的长．【探索研究题】(2017·杭州)如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上(不与点A，B重合)，点D 为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O 交于点G，设∠GAB＝α，∠ACB＝β，∠EAG＋∠EBA＝γ，(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：α30°40°50°60°β120°130°140°150°γ150°140°130°120°猜想：β关于α的函数表达式，γ关于α的函数表达式，并给出证明；(2)若γ＝135°，CD＝3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．【方法与对策】本题涉及圆周角定理，勾股定理，解方程，垂直平分线的性质等知识，这样要联想，并及时调整图形，揭示数量关系特征，从而解决问题，这是中考命题的热点．【忽视圆周角顶点可能在优弧上，也可能在劣弧上】一条弦的长度等于它所在的圆的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数是________．参考答案第22讲圆的基本性质【考点概要】1．等于线段弦长优弧、半圆、劣弧等弧2．圆心圆心相等 3.两边一半相等直角直径互补 4.d＜r d＝r d ＞r【考题体验】1．D 2.B 3.90° 4.140【知识引擎】【解析】(1)由圆心角、圆周角定理，圆的内接四边形可知：∠B＝∠E＝12∠AOC, ∠B＋∠D ＝180°， ∠CAE ＝90°等； (2)50°，100°，80°； (3)8.【例题精析】 例1 ①④⑦⑧⑨例2 (1)∠E＝∠F，∵∠DCE ＝∠BCF，∴∠ADC ＝∠E＋∠DCE，∠ABC ＝∠F＋∠BCF，∴∠ADC ＝∠ABC； (2)由(1)知∠ADC＝∠ABC，∵∠EDC ＝∠ABC，∴∠EDC ＝∠ADC，∴∠ADC ＝90°，∴∠A ＝90°－42°＝48°； (3)连结EF ，如图，∵四边形ABCD 为圆的内接四边形，∴∠ECD ＝∠A，∵∠ECD ＝∠1＋∠2，∴∠A ＝∠1＋∠2，∵∠A ＋∠1＋∠2＋∠E＋∠F ＝180°，∴2∠A＋α＋β＝180°，∴∠A ＝90°－α＋β2. 例3 (1)A ；(2)①∵BC＝CD ，∴BC ︵＝DC ︵.∴∠BAC ＝∠CAD＝∠CBD.∵∠CBD＝39°，∴∠BAC ＝∠CAD＝39°.∴∠BAD ＝∠BAC＋∠CAD＝78°.②∵EC ＝BC ，∴∠CBE ＝∠CEB，∵∠CBE ＝∠1＋∠CBD，∠CEB ＝∠2＋∠BAC ，又∵∠BAC＝∠CBD，∴∠1＝∠2.例4 (1)∵AB＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠C ＝∠ABC＝45°，∴∠AEP ＝∠ABP＝45°，∵PE 是直径，∴∠PAE ＝90°，∴∠APE ＝∠AEP＝45°，∴AP ＝AE ，∴△PAE 是等腰直角三角形. (2)作PM⊥AC 于M ，PN ⊥AB 于N ，则四边形PMAN 是矩形，∴PM ＝AN ，∵△PCM ，△PNB 都是等腰直角三角形，∴PC ＝2PM ，PB ＝2PN ，∴PC 2＋PB 2＝2(PM 2＋PN 2)＝2(AN 2＋PN 2)＝2PA 2＝PE 2＝22＝4.(也可以证明△ACP≌△ABE，△PBE 是直角三角形)【变式拓展】1．(1)D (2)C (3)3<r<5 2.(1)D (2)C (3)215° 3.(1)32° (2)54° (3)3 4.(1)连结OD ，∵DE 是切线，∴∠ODE ＝90°，∴∠ADE ＋∠BDO＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠B＝90°，∵OD ＝OB ，∴∠B ＝∠BDO，∴∠ADE＝∠A. (2)连结CD.∵∠ADE＝∠A，∴AE ＝DE ，∵BC 是⊙O 的直径，∠ACB ＝90°，∴EC 是⊙O 的切线，∴ED ＝EC ，∴AE ＝EC ，∵DE ＝10，∴AC ＝2DE ＝20，在Rt △ADC 中，DC ＝202－162＝12，设BD ＝x ，在Rt △BDC 中，BC 2＝x 2＋122，在Rt △ABC 中，BC 2＝(x ＋16)2－202，∴x 2＋122＝(x ＋16)2－202，解得x ＝9，∴BC ＝122＋92＝15.浙江省中考数学总复习第五章基本图形(二)第22讲圆的基本性质讲解篇11 / 11【热点题型】【分析与解】(1)猜想：β＝α＋90°，γ＝－α＋180°，连结OB ，∴由圆周角定理可知：2∠BCA＝360°－∠BOA，∵OB ＝OA ，∴∠OBA ＝∠OAB＝α，∴∠BOA ＝180°－2α，∴2β＝360°－(180°－2α)，∴β＝α＋90°，∵D 是BC 的中点，DE ⊥BC ，∴OE 是线段BC 的垂直平分线，∴BE ＝CE ，∠BED ＝∠CED，∠EDC ＝90°，∵∠BCA ＝∠EDC＋∠CED，∴β＝90°＋∠CED，∴∠CED ＝α，∴∠CED ＝∠OBA＝α，∴O 、A 、E 、B 四点共圆，∴∠EBO ＋∠EAG＝180°，∴∠EBA ＋∠OBA＋∠EAG＝180°，∴γ＋α＝180°；(2)当γ＝135°时，此时图形如图所示，∴α＝45°，β＝135°，∴∠BOA ＝90°，∠BCE ＝45°，由(1)可知：O 、A 、E 、B 四点共圆，∴∠BEC ＝90°，∵△ABE 的面积为△ABC的面积的4倍，∴AE AC ＝4，∴CEAC＝3，设CE ＝3x ，AC ＝x ，由(1)可知：BC ＝2CD ＝6，∵∠BCE ＝45°，∴CE ＝BE ＝3x ，∴由勾股定理可知：(3x)2＋(3x)2＝62，x ＝2，∴BE ＝CE ＝32，AC ＝2，∴AE ＝AC ＋CE ＝42，在Rt △ABE 中，由勾股定理可知：AB 2＝(32)2＋(42)2，∴AB ＝52，∵∠BAO ＝45°，∴∠AOB ＝90°，在Rt △AOB 中，设半径为r ，由勾股定理可知：AB 2＝2r 2，∴r ＝5，∴⊙O 半径的长为5.【错误警示】30°或150°。
中考数学总复习(浙江地区)： 专题提升五 与圆有关的证明与计算
2019-2020年中考数学总复习（浙江地区）： 专题提升五 与圆有关的证明与计算一、选择题1．(xx ·邵阳)如图所示，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 外一点，CA ，CD 是⊙O 的切线，A ，D 为切点，连结BD ，AD ，若∠ACD ＝30°，则∠DBA 的大小是( D )A ．15°B ．30°C ．60°D ．75°,第1题图) ,第2题图)2．(xx ·潍坊)如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与x 轴相切于点A(8，0)，与y 轴分别交于点B(0，4)和点C(0，16)，则圆心M 到坐标原点O 的距离是( D )A ．10B ．8 2C ．413D ．2413．(xx ·昆明)如图，AB 为⊙O 的直径，AB ＝6，AB ⊥弦CD ，垂足为G ，EF 切⊙O 于点B ，∠A ＝30°，连结AD ，OC ，BC ，下列结论不正确的是( D )A ．EF ∥CDB ．△COB 是等边三角形C ．CG ＝DG D.BC ︵的长为32π[来源:Z|xx|k] ,第3题图) ,第4题图)4．(xx ·枣庄)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝23，则阴影部分的面积为( D )A ．2πB ．π C.π3 D.23π[来源:] 二、填空题[来源:]6．(xx ·黔西南州)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，若CD ＝6，BE ＝1，则⊙O 的直径为__10__．[来源:学§科§网Z §X §X §K],第6题图) ,第7题图)7．(xx ·青岛)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，若∠BCD ＝28°，则∠ABD ＝__62°__．8．(xx ·成都)如图，△ABC 内接于⊙O ，AH ⊥BC 于点H ，若AC ＝24，AH ＝18，⊙O 的半径OC ＝13，则AB ＝__392__． ,第8题图) ,第9题图)[来源:]9．(xx ·乐山)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝23，以点C 为圆心，CB的长为半径画弧，与AB 边交于点D ，将BD ︵绕点D 旋转180°后点B 与点A 恰好重合，则图中阴影部分的面积为__23－2π3__. 10．(xx ·无锡)如图，△AOB 中，∠O ＝90°，AO ＝8 cm ，BO ＝6 cm ，点C 从A 点出发，在边AO 上以2 cm /s 的速度向O 点运动，与此同时，点D 从点B 出发，在边BO 上以1.5 cm /s 的速度向O 点运动，过OC 的中点E 作CD 的垂线EF ，则当点C 运动了__178__s 时，以C 点为圆心，1.5 cm 为半径的圆与直线EF 相切．三、解答题11．(xx ·丽水)如图，AB 是以BC 为直径的半圆O 的切线，D 为半圆上一点，AD ＝AB ，AD ，BC 的延长线相交于点E.(1)求证：AD 是半圆O 的切线；(2)连结CD ，求证：∠A ＝2∠CDE ；(3)若∠CDE ＝27°，OB ＝2，求BD ︵的长．(1)证明：连结OD ，BD (图略)，∵AB 是⊙O 的直径，∴AB ⊥BC ，即∠ABO ＝90°，∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∵OB ＝OD ，∴∠DBO ＝∠BDO ，∴∠ABD ＋∠DBO ＝∠ADB ＋∠BDO ，∴∠ADO ＝∠ABO ＝90°，∴AD 是半圆O 的切线． (2)证明：由(1)知，∠ADO ＝∠ABO ＝90°，∴∠A ＝360°－∠ADO －∠ABO －∠BOD ＝180°－∠BOD ，∵AD 是半圆O 的切线，∴∠ODE ＝90°，∴∠ODC ＋∠CDE ＝90°，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠ODC ＋∠BDO ＝90°，∴∠BDO ＝∠CDE ，∵∠BDO ＝∠OBD ，∴∠DOC ＝2∠BDO ，∴∠DOC ＝2∠CDE ，∴∠A ＝2∠CDE. (3)解：∵∠CDE ＝27°，∴∠DOC ＝2∠CDE ＝54°，∴∠BOD ＝180°－54°＝126°，∵OB ＝2，∴BD ︵的长＝126·π×2180＝75π.12．(xx ·绵阳)如图，AB 为⊙O 直径，C 为⊙O 上一点，点D 是BC ︵的中点，DE ⊥AC于E ，DF ⊥AB 于F.(1)判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；(2)若OF ＝4，求AC 的长度．[来源:学_科_网]解：(1)DE 与⊙O 相切．证明：连结OD ，AD ，∵点D 是BC ︵的中点，∴BD ︵＝CD ︵，∴∠DAO ＝∠DAC ，∵OA ＝OD ，∴∠DAO ＝∠ODA ，∴∠DAC ＝∠ODA ，∴OD ∥AE ，∵DE ⊥AC ，∴DE ⊥OD ，∴DE 与⊙O 相切． (2)连结BC 交OD 于H ，延长DF 交⊙O 于G ，由垂径定理可得：OH ⊥BC ，BH ＝HC ，BG ︵＝BD ︵＝DC ︵，∴DG ︵＝BC ︵，∴DG ＝BC ，∴OH ＝OF ＝4，∵OB ＝OA ，BH ＝HC ，OH ∥AC ，∴OH 是△ABC 的中位线，∴AC ＝2OH ＝8.[来源:学+科+网]13．(xx ·巴中)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以点O 为圆心的圆分别交x 轴的正半轴于点M ，交y 轴的正半轴于点N.劣弧MN ︵的长为65π，直线y ＝－43x ＋4与x 轴，y 轴分别交于点A ，B.[来源:学_科_网](1)求证：直线AB 与⊙O 相切；(2)求图中所示的阴影部分的面积．(结果用π表示)(1)证明：作OD ⊥AB 于D ，如图所示：∵劣弧MN ︵的长为65π，∴90π×OM 180＝65π， 解得OM ＝125，即⊙O 的半径为125，∵直线y ＝－43x ＋4与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，当y ＝0时，x ＝3；当x ＝0时，y ＝4，∴A (3，0)，B (0，4)，∴OA ＝3，OB ＝4，∴AB ＝32＋42＝5，∵△AOB 的面积＝12AB ·OD ＝12OA ·OB ，∴OD ＝OA ×OB AB ＝125＝OM ，∴直线AB 与⊙O 相切． (2)解：阴影部分的面积＝12×3×4－14π×(125)2＝6－3625π.14．(xx ·扬州)如图1，以△ABC 的边AB 为直径的⊙O 交边BC 于点E ，过点E 作⊙O 的切线交AC 于点D ，且ED ⊥AC.(1)试判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)如图2，若线段AB ，DE 的延长线交于点F ，∠C ＝75°，CD ＝2－3，求⊙O 的半径和BF 的长．[来源:学+科+网Z+X+X+K]解：(1)△ABC 是等腰三角形，理由是：如图1，连结OE ，∵DE 是⊙O 的切线，∴OE ⊥DE ，∵ED ⊥AC ，∴AC ∥OE ，∴∠1＝∠C ，∵OB ＝OE ，∴∠1＝∠B ，∴∠B ＝∠C ，∴△ABC 是等腰三角形；[来源:学§科§网Z §X §X §K](2)如图2，过点O 作OG ⊥AC ，垂足为G ，则得四边形OGDE 是矩形，∵△ABC 是等腰三角形，∴∠B ＝∠C ＝75°，∴∠A ＝180°－75°－75°＝30°，设OG ＝x ，则OA ＝OB ＝OE ＝2x ，AG ＝3x ，∴DG ＝OE ＝2x ，根据AC ＝AB 得：4x ＝3x ＋2x ＋2－3，∴x＝1，∴OE ＝OB ＝2，在直角△OEF 中，∠EOF ＝∠A ＝30°，cos30°＝OE OF ，OF ＝2cos30°＝2÷32＝433，∴BF ＝433－2，⊙O 的半径为2. AE'40185 9CF9 鳹 29107 71B3 熳28660 6FF4 濴24642 6042 恂Si 30000 7530 田39823 9B8F 鮏A。
浙江省杭州市中考数学第一轮复习(课件)第六章第三节
∴OB=1,∠AOB=60°，
∵BC∥OA,∴∠OBC=∠AOB=60°，
又OB=OC,∴△BOC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
则劣弧
BC
长为
60π 1 180
π 3
.
与弧长有关的问题通常是已知扇形的圆心角和
弧长,求扇形的半径，或是已知扇形的圆心角和半径，
求扇形的弧长.关键是熟记弧长公式 解公式中各字母的含义.
＝②___2_l_r __
r为弧所在圆的半径，
l 为弧长）
温馨提示：已知S扇形、r、l 、n四个量中的任
意两个量，都可以求出另外两个量
ABC
1.r为圆锥底面圆的半径，则底面圆的面积S＝③
___π_r_2__，周长C＝④___2_π_r___
圆锥的相 关计算 (如图(2))
2.r为圆锥底面圆的半径， α为圆锥侧面展开图的扇
圆锥与扇形的关系：扇形的半径是圆锥的母线 长，扇形的弧长是圆锥底面圆的周长.
等面积变换法：直接求面积较麻烦或根本求不 出时，通过对图形的平移、旋转、割补等，为 公式法或和差法创造条件
ABC
扇形的相 关计算 (如图(1))
nπr
1.弧长: l＝①__1_8_0___(其中 l 为弧长，n为弧
的度数，r为弧所在圆的半径) 1
2.扇形的面积： S扇形＝
（其中n为弧的度数，
nπr 2 360
形的圆心角，l 为母线长，
则α＝⑤___rl__3_6_0
3.h为圆锥的高，l为圆锥的母线长，r为圆锥底面圆
的半径，则 r2 h2 l 2
课堂精讲练
类型一 弧长与扇形面积的计算
例1（杭州模拟）如图，AB切⊙O于点B，
中考专题复习——与圆有关的计算与证明
角形的
、这个三角形是圆的
.
7、点与圆的位置关系 ：点在圆内、点在圆上、点在圆外 . 其中 r 为圆的半径， d 为点到圆心的
距离，
位置关系
点在圆内
点在圆上
点在圆外
数量（ d 与 r ）的大小关系
d＜ r
d＝ r
d＞ r
8、直线和圆的位置关系：
直线和圆的位置关系
相离
相切
相交
公共点个数
_______
________
4、正多边形的半径 :
是正多边形的半径。
5、正多边形的中心角 : 正多边形的每一条边所对的
叫做正多边形的中心角。
6、正多边形的边心距：
到
的距离叫做正多边形的边心距。
7、任何一个正多边形都有一个 8、正多边形的边心距与
和一个
,
这两个圆是
.
相等。
14、弧长和扇形面积
1. 圆的周长 为 的弧长为
， 1°的圆心角所对的弧长为
（ 2）利用（ 1）的结论和三角形的面积公式．
例 2 如图所示， AB是 ⊙O 直径， OD ⊥ 弦 BC 于点 F ，且交 ⊙O 于点 E ，若 AEC （ 1）判断直线 BD 和 ⊙O 的位置关系，并给出证明； （ 2）当 AB 10， BC 8 时，求 BD 的长． 【答案】（ 1）直线 BD 和 ⊙O 相切．
（ 1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做
。
（ 2）弓形的周长＝ （ 3）弓形的面积 当弓形所含的弧是劣弧时，如图 当弓形所含的弧是优弧时，如图 当弓形所含的弧是半圆时，如图
1 所示， s 弓形 = 2 所示， s 弓形 3 所示， s 弓形
2023中考复习专题突破5圆的有关计算(讲练)-2023年中考一轮复习讲练测(浙江专用)(原卷版)
2023年中考数学总复习一轮讲练测（浙江专用）专题25圆的有关计算（讲练）1.理解弧长计算公式的推导过程，掌握弧长公式并能熟练应用于计算；2.理解扇形面积公式的推导过程，掌握扇形面积计算公式并能熟练应用于计算；3.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系；4.能运用图形割补、等积变形等方法将不规则图形转化为规则图形求面积.一．选择题（共7小题）1．（2022•台州）一个垃圾填埋场，它在地面上的形状为长80m，宽60m的矩形，有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3m，则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为（）A．（840+6π）m2B．（840+9π）m2C．840m2D．876m22．（2022•丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2m，则改建后门洞的圆弧长是（）A．m B．m C．m D．（+2）m3．（2022•宁波）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积为（）A．36πcm2B．24πcm2C．16πcm2D．12πcm24．（2021•衢州）已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则它的面积是（）A．πB．3πC．5πD．15π5．（2021•湖州）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点P是AD边上的一个动点，连接BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是（）A．πB．π+C．D．2π6．（2021•绍兴）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上，则∠BPC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．（2019•湖州）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD的度数是（）A．60°B．70°C．72°D．144°二．填空题（共2小题）8．（2022•温州）若扇形的圆心角为120°，半径为，则它的弧长为．9．（2018•温州）小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB＝5cm，小正六边形的面积为cm2，则该圆的半径为cm．三．解答题（共3小题）10．（2022•衢州）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连结BC，CD．（1）求证：CD∥AB．（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积．11．（2020•浙江）如图，的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°．（1）求弦AB的长．（2）求的长．12．（2022•金华）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：作法如图2．1．作直径AF．2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N．3．连结AM，MN，NA．（1）求∠ABC的度数．（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由．（3）从点A 开始，以DN 长为半径，在⊙O 上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n 边形，求n 的值．1．圆的周长公式：C ＝ (半径为R )．圆的面积公式：S ＝ (半径为R )．2．在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为：l ＝ ．在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的扇形(弧长为l )面积的计算公式为：S 扇形＝ ＝12lR . 3．圆柱的侧面展开图是 ，这个 的长和宽分别是底面圆的 和圆柱的 ．圆柱侧面积公式：S圆柱侧＝ ；圆柱全面积公式：S 圆柱全＝ (其中圆柱的底面半径为r ，高为h )．4．圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则这个扇形的半径为l ，扇形的弧长为2πr ．(1)圆锥的侧面积公式：S 圆锥侧＝ ．(2)圆锥的全面积公式：S 圆锥全＝ ．(3)圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数的计算公式：θ＝ ．5．正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心．外接圆的半径叫做正多边形的 ，正多边形每一边所对的 叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．作相等的 就可以等分圆周，从而得到相应正多边形．6．不规则图形面积的计算求与圆有关的不规则图形的面积时,最基本的思想就是转化思想,即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积.常用的方法有:(1)直接用公式求解.(2)将所求面积分割后,利用规则图形的面积求解.(3)将阴影中某些图形等积变形后移位,重组成规则图形求解.(4)将所求面积分割后,利用旋转,将部分阴影图形移位后,组成规则图形求解.考点一、正多边形与圆例1（2022•大名县校级四模）如图1所示的正六边形（记为“图形P1”）边长为6，将每条边三等分，沿每个顶点相邻的两个等分点连线剪下6个小三角形（如图1中6个阴影部分的三角形），把剪下的这6个小三角形拼接成图2外轮廓所示的正六边形（记为“图形P2”），作出图形P2的内切圆⊙O，如图3，得到如下结论：①图1中剩余的多边形（即空白部分）为正十二边形；②把图2中空白部分记作“图形P3”，则图形P1，P2，P3的周长之比为3：2：；③图3中正六边形的边上任意一点到⊙O上任意一点的最大距离为4+．以上结论正确的是（）A．②③B．①③C．②D．①【变式训练】1．（2022•顺平县校级模拟）已知，如图，⊙O的半径为6，正六边形ABCDEF与⊙O相切于点C、F，则的长度是（）A．2πB．3πC．4πD．5π2．（2022•亭湖区校级三模）已知正六边形的边长为4，则这个正六边形的半径为（）A．4B．2C．2D．43．（2022•丛台区校级模拟）如图，点P是正六边形ABCDEF内部一个动点，AB＝3cm，则点P到这个正六边形六条边的距离之和为（）cm．A．18B．C．9D．4．（2022•峄城区校级模拟）如图⊙O是正方形ABCD的内切圆，四边形DEFG是矩形，点F在⊙O上，ED ＝8cm，EF＝4cm，则⊙O的半径为（）A．4B．4或20C．20D．5或165．（2022•凤泉区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，AB＝2．将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转，每次旋转90°，经过第2022次旋转后，顶点D的坐标为（）A．（﹣3，﹣2）B．（﹣2．﹣2）C．（﹣3，﹣3）D．（﹣2，﹣3）考点二、弧长的计算例2（2022•丹东模拟）在平行四边形ABCD中，∠B＝70°，BC＝4，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则的长是（）A．B．C．D．【变式训练】1．（2022•峄城区校级模拟）若扇形的圆心角为75°，半径为12，则该扇形的弧长为（）A．2πB．4πC．5πD．6π2．（2022•新平县校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，BO＝4，则劣弧的长为（）A．πB．2πC．πD．π3．（2023•汉阳区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AC＝8，BC＝6，CD平分∠ACB交⊙O于点D，则劣弧AD的长为（）A．πB．πC．2πD．π4．（2022•兴平市模拟）如图，△ABC内接于⨀O，CD⊥AB于点D，若CD＝BD，⨀O的半径为4，则劣弧的长为（）A．5πB．4πC．3πD．2π5．（2022•潍坊三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D为BC的中点，连接AD，以点D为圆心，DA长为半径作弧MN，若DM⊥AB于点E，DN⊥AC于点F．则图中阴影部分的周长为（）A．B．C．D．考点三、扇形面积的计算例3（2022•金凤区校级二模）如图，⊙O内有一个正方形，且正方形的各顶点在圆上，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（）A．8π﹣8B．8π﹣4C．4π﹣8D．4π﹣4【变式训练】1．（2023•黔江区一模）如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为2的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（）A．2πB．4πC．6πD．8π2．（2022•昭阳区校级模拟）如图，将半径为4，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧AC的点B′处，点C的对应点为点C′，则阴影部分的面积为（）A．π+2B．π+4C．+πD．π﹣3．（2022•台山市校级一模）如图，正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（）A．2﹣B．1﹣C．2﹣D．﹣14．（2022•金凤区校级二模）如图，在矩形ABCD中，，BC＝1，以点B为圆心，BC为半径画弧交矩形的边AB于点E，交对角线AC于点F，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．5．（2022•香洲区校级三模）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC＝60°，∠BCO ＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B'OC'，点C'在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（）A．B．C．D．考点四、圆锥的计算例4（2022•十堰模拟）如图，将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱，当圆柱的侧面面积最大时，圆柱的底面半径是（）A．B．C．1cm D．2【变式训练】1．（2022•义乌市模拟）已知一个底面半径为3cm的圆锥，它的母线长是5cm，则这个圆锥的侧面积是（）cm2．A．15πB．45πC．30πD．20π2．（2022•五华区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DB得到扇形DAB（阴影部分），且扇形DAB的面积为4π．若扇形DAB正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为（）A．1B．2C．3D．43．（2022•瑶海区三模）已知直角三角形ABC的一条直角边AB＝12cm、斜边AC＝13cm，则以AB为轴旋转一周，所得到的圆锥的底面积是（）A．90πcm2B．209πcm2C．155πcm2D．25πcm24．（2022•南丹县二模）如图，圆锥体的高，底面圆半径r＝1cm，则该圆锥体的侧面展开图的圆心角的度数是（）A．60°B．90°C．120°D．150°5．（2022•高新区二模）斐波那契螺旋线也称“黄金黑旋线”，是根据斐波那契数1，1，2，3，5，……画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1，1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90°的扇形，将共圆弧连接起来得到的．若用图中接下来的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（）A．B．2C．D．411/ 1212/ 12。
浙江省中考数学总复习第五章基本图形(二)第24讲圆的有关计算讲解篇(2021年整理)
浙江省2018年中考数学总复习第五章基本图形(二)第24讲圆的有关计算讲解篇编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（浙江省2018年中考数学总复习第五章基本图形(二)第24讲圆的有关计算讲解篇）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第24讲 圆的有关计算圆的弧长及扇形面积公式考试内容考试要求圆的半径是R ，弧所对的圆心角度数是nb弧长公式 弧长l ＝错误! 扇形面积公式S 扇＝错误!＝错误!lR拓展求运动所形成的路径长或面积时,关键是理清运动所形成图形的轨迹变化，特别是扇形,需要理清圆心与半径的变化．考试内容考试要求基本 思想转化思想：处理不规则图形的面积时,注意利用割补法与等积变换转化为规则图形，再利用规则图形的公式求解．c1．（2017·衢州)运用图形变化的方法研究下列问题:如图，AB 是⊙O 的直径，CD 、EF 是⊙O 的弦，且AB∥CD∥EF，AB ＝10,CD ＝6，EF ＝8.则图中阴影部分的面积是（ )A.错误!πB．10π C．24＋4πD．24＋5π2．(2017·温州)已知扇形的面积为3π，圆心角为120°，则它的半径为____________________．3．(2017·台州）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB 长为30cm，则弧BC的长为____________________cm.(结果保留π)【问题】（1）如图，将长为8cm的铁丝首尾相接围成半径为2cm的扇形．则S扇形＝________cm2。
专题05 圆的证明与计算(解析版)
专题05 圆的证明与计算目录热点题型归纳 ...............................................................................................................................................................题型01 隐圆模型 .........................................................................................................................................................题型02 圆与相似 .........................................................................................................................................................题型03 圆与全等 .........................................................................................................................................................题型04 圆的计算 .........................................................................................................................................................中考练场........................................................................................................................................................................题型01 隐圆模型【解题策略】 定点定长的隐圆 定弦定角的隐圆对角互补的隐圆点 A 为定点，点 B 为动点，且 AB 长度固定则点 B 的轨迹是以点 A 为圆心，AB 长为半径的圆。
2020浙江杭州中考数学复习题型特训：题型集训(10)——与圆有关的计算和证明
题型集训(10)——与圆有关的计算和证明1．(杭州西湖区一模)如图，AB，AC是⊙O的两条切线，B，C为切点，连结CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连结BE，AO.(1)求证：AO∥BE；(2)若tan∠BEO＝ 2 ，DE＝2，求CO的长．解：(1)证明：连结BC，∵AB，AC是⊙O的两条切线，B，C为切点，∴AB＝AC，OA平分∠BAC，∴OA⊥BC，∵CE是⊙O的直径，∴∠CBE＝90°，∴BE⊥BC，∴OA∥BE；(2)∵OA∥BE，∴∠BEO＝∠AOC，∵tan∠BEO＝ 2 ，∴tan∠AOC＝ 2 ，在Rt△AOC中，设OC＝r，则AC＝ 2 r，OA＝ 3 r，∴在Rt△CEB中，EB＝233r，∵BE∥OA，∴△DBE∽△DAO，∴DEDO＝EBOA，∴DO＝3，∴OC＝OE＝DO－DE＝3－2＝1.2．(杭州下城区二模)如图，过点P作PA，PB，分别与以OA为半径的半圆切于A，B，延长AO交切线PB于点C，交半圆与于点D.(1)若PC＝5，AC＝4，求BC的长；(2)设DC∶AD＝1∶2，求PA＋CPPB的值．解：(1)∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∠PAC＝90°，∴AP＝PC2－AC2＝3，∴PB＝AP＝3，∴BC＝PC－PB＝2；(2)连接OB，∵CD∶AD＝1∶2，AD＝2OD，∴CD＝OD＝OB，∴CO＝2OB，∵PB是⊙O切线，∴OB⊥PC，∴∠OBC＝90°＝∠PAC，且∠C＝∠C，∴△OBC∽△PAC，∴APPC＝OBOC＝12，∴PC＝2PA，∴PA＋CPPB＝3PAPA＝3.3．(杭州二模)如图，⊙O的圆心O在Rt△ABC的直角边AC上，⊙O经过C，D两点，与斜边AB交于点E，连接BO，ED，有BO∥ED，作弦EF⊥AC于点G，连接DF.(1)判断直线AB 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；(2)若⊙O 的半径为5，sin ∠DFE ＝35 ，求EF 的长．(1)证明：连接OE.∵ED ∥OB ，∴∠1＝∠2，∠3＝∠OED.又OE ＝OD ，∴∠2＝∠OED ，∴∠1＝∠3.又OB ＝OB ，OE ＝OC ， ∴△BCO ≌△BEO(SAS )，∴∠BEO ＝∠BCO ＝90°，即OE ⊥AB.∴AB 是⊙O 切线；(2)解：连接CE ，∵∠F ＝∠4，CD ＝2·OC ＝10；由于CD 为⊙O 的直径，∴在Rt △CDE 中有ED ＝CD·sin ∠DFE ＝10×35＝6. ∴CE ＝CD 2－ED 2 ＝102－62 ＝8.在Rt △CEG 中，EG ＝35 ×8＝245 .根据垂径定理得：EF ＝2EG ＝485.4．(2019·温州)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点E 在BC 边上，且CA ＝CE ，过A ，C ，E 三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF.(1)求证：四边形DCFG是平行四边形；(2)当BE＝4，CD＝38AB时，求⊙O的直径长．(1)证明：连接AE，∵∠BAC＝90°，∴CF是⊙O的直径，∵AC＝EC，∴CF⊥AE，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，即GD⊥AE，∴CF∥DG，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠ACD＋∠BAC＝180°，∴AB∥CD，∴四边形DCFG是平行四边形；(2)解：由CD＝38AB，设CD＝3x，AB＝8x，∴CD＝FG＝3x，∵∠AOF＝∠COD，∴AF＝CD＝3x，∴BG＝8x－3x－3x＝2x，∵GE∥CF，∴BEEC＝BGGF＝23，∵BE＝4，∴AC＝CE＝6，∴BC＝6＋4＝10，∴AB＝102－62＝8＝8x，∴x＝1，在Rt△ACF中，AF＝3，AC＝6，∴CF＝32＋62＝3 5 ，即⊙O的直径长为3 5 .5．(杭州萧山区一模)如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.点P是劣弧AD上任一点(不与点A，D重合)，CP交AB于点M，AP与CD的延长相交于点F.(1)设∠CPF＝α，∠BDC＝β，求证：α＝β＋90°；(2)若OE＝BE，设tan∠AFC＝x，AMBM＝y.①求∠APC的度数；②求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围．解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠APC＋∠BDC ＝90°，即：180°－α＋β＝90°，∴α＝β＋90°；(2)如图1，连接OD，①OE＝BE，OB⊥CD，设圆的半径为r，∴∠BOD＝∠OBD＝∠ODB＝60°，即：△BOD为等边三角形，∴BC＝r，∴∠CDB＝30°，∴∠APC＝90°－30°＝60°；②连接BC，过点M作MH⊥BC于点H，则∠MCB＝∠FAB，∴∠CMH＝∠F，在△CBM中，设BC＝r，∠CBA＝60°，∴MH＝BM sin∠CBA＝32MB，BH＝12MB，CH＝MH tan∠CMH＝MH·x，CH＋HB＝BC，即2rMB＝1＋ 3 x，AMBM＝y，而AM＋BM＝2r，即：2rMB＝1＋y，∴1＋ 3 x＝1＋y，即：y＝ 3 x(0＜x＜ 3 ).。
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专题提升五 与圆有关的证明与计算
一、选择题
1．(2016·邵阳)如图所示，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 外一点，CA ，CD 是⊙O 的切线，A ，D 为切点，连结BD ，AD ，若∠ACD ＝30°，则∠DBA 的大小是( D )
A ．15°
B ．30°
C ．60°
D ．75°
,第1题图) ,第2题图)
2．(2016·潍坊)如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与x 轴相切于点A(8，0)，与y 轴分别交于点B(0，4)和点C(0，16)，则圆心M 到坐标原点O 的距离是( D )
A ．10
B ．8 2
C ．413
D ．241
3．(2016·昆明)如图，AB 为⊙O 的直径，AB ＝6，AB ⊥弦CD ，垂足为G ，EF 切⊙O 于点B ，∠A ＝30°，连结AD ，OC ，BC ，下列结论不正确的是( D )
A ．EF ∥CD
B ．△COB 是等边三角形
C ．CG ＝DG D.BC ︵的长为3
2
π
,第3题图) ,第4题图)
4．(2016·枣庄)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝23，则阴影部分的面积为( D )
A ．2π
B ．π C.π3 D.2
3
π
二、填空题
6．(2016·黔西南州)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，若CD ＝6，BE ＝1，则⊙O 的直径为__10__．
,第6题图) ,第7题图)
7．(2016·青岛)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，若∠BCD ＝28°，则∠ABD ＝__62°__．
8．(2016·成都)如图，△ABC 内接于⊙O ，AH ⊥BC 于点H ，若AC ＝24，AH ＝18，⊙O 的
半径OC ＝13，则AB ＝__39
2
__．
,第8题图) ,第9题图)
9．(2016·乐山)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝23，以点C 为圆心，CB
的长为半径画弧，与AB 边交于点D ，将BD ︵
绕点D 旋转180°后点B 与点A 恰好重合，则图中
阴影部分的面积为__23－2π
3
__.
10．(2016·无锡)如图，△AOB 中，∠O ＝90°，AO ＝8 cm ，BO ＝6 cm ，点C 从A 点出发，在边AO 上以2 cm /s 的速度向O 点运动，与此同时，点D 从点B 出发，在边BO 上以1.5
cm /s 的速度向O 点运动，过OC 的中点E 作CD 的垂线EF ，则当点C 运动了__17
8
__s 时，以C
点为圆心，1.5 cm 为半径的圆与直线EF 相切．
三、解答题
11．(2016·丽水)如图，AB 是以BC 为直径的半圆O 的切线，D 为半圆上一点，AD ＝AB ，AD ，BC 的延长线相交于点E.
(1)求证：AD 是半圆O 的切线； (2)连结CD ，求证：∠A ＝2∠CDE ；
(3)若∠CDE ＝27°，OB ＝2，求BD ︵
的长．
(1)证明：连结OD ，BD (图略)，∵AB 是⊙O 的直径，∴AB ⊥BC ，即∠ABO ＝90°，∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∵OB ＝OD ，∴∠DBO ＝∠BDO ，∴∠ABD ＋∠DBO ＝∠ADB ＋∠BDO ，∴∠ADO ＝∠ABO ＝90°，∴AD 是半圆O 的切线． (2)证明：由(1)知，∠ADO ＝∠ABO ＝90°，∴∠A ＝360°－∠ADO －∠ABO －∠BOD ＝180°－∠BOD ，∵AD 是半圆O 的切线，∴∠ODE ＝90°，∴∠ODC ＋∠CDE ＝90°，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠ODC ＋∠BDO ＝90°，∴∠BDO ＝∠CDE ，∵∠BDO ＝∠OBD ，∴∠DOC ＝2∠BDO ，∴∠DOC ＝2∠CDE ，∴∠A ＝2∠CDE. (3)解：
∵∠CDE ＝27°，∴∠DOC ＝2∠CDE ＝54°，∴∠BOD ＝180°－54°＝126°，∵OB ＝2，∴BD
︵
的长＝126·π×2180＝75π.
12．(2016·绵阳)如图，AB 为⊙O 直径，C 为⊙O 上一点，点D 是BC ︵
的中点，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥AB 于F.
(1)判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； (2)若OF ＝4，求AC 的长度．
解：(1)DE 与⊙O 相切．证明：连结OD ，AD ，∵点D 是BC ︵的中点，∴BD ︵＝CD ︵
，∴∠DAO ＝∠DAC ，∵OA ＝OD ，∴∠DAO ＝∠ODA ，∴∠DAC ＝∠ODA ，∴OD ∥AE ，∵DE ⊥AC ，∴DE ⊥OD ，∴DE 与⊙O 相切． (2)连结BC 交OD 于H ，延长DF 交⊙O 于G ，由垂径定理可得：OH ⊥BC ，
BH ＝HC ，BG ︵＝BD ︵＝DC ︵，∴DG ︵＝BC ︵
，∴DG ＝BC ，∴OH ＝OF ＝4，∵OB ＝OA ，BH ＝HC ，OH ∥AC ，∴OH 是△ABC 的中位线，∴AC ＝2OH ＝8.
13．(2016·巴中)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以点O 为圆心的圆分别交x 轴的正
半轴于点M ，交y 轴的正半轴于点N.劣弧MN ︵的长为65π，直线y ＝－4
3
x ＋4与x 轴，y 轴分别
交于点A ，B.
(1)求证：直线AB 与⊙O 相切；
(2)求图中所示的阴影部分的面积．(结果用π表示)
(1)证明：作OD ⊥AB 于D ，如图所示：∵劣弧MN ︵的长为65π，∴90π×OM 180＝6
5
π， 解得
OM ＝125，即⊙O 的半径为125，∵直线y ＝－4
3x ＋4与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，当y ＝0时，
x ＝3；当x ＝0时，y ＝4，∴A (3，0)，B (0，4)，∴OA ＝3，OB ＝4，∴AB ＝32
＋42
＝5，∵
△AOB 的面积＝12AB ·OD ＝12OA ·OB ，∴OD ＝OA ×OB AB ＝12
5
＝OM ，∴直线AB 与⊙O 相切． (2)
解：阴影部分的面积＝12×3×4－14π×(125)2＝6－36
25
π.
14．(2016·扬州)如图1，以△ABC 的边AB 为直径的⊙O 交边BC 于点E ，过点E 作⊙O 的切线交AC 于点D ，且ED ⊥AC.
(1)试判断△ABC 的形状，并说明理由；
(2)如图2，若线段AB ，DE 的延长线交于点F ，∠C ＝75°，CD ＝2－3，求⊙O 的半径和BF 的长．
解：(1)△ABC 是等腰三角形，理由是：如图1，连结OE ，∵DE 是⊙O 的切线，∴OE ⊥DE ，∵ED ⊥AC ，∴AC ∥OE ，∴∠1＝∠C ，∵OB ＝OE ，∴∠1＝∠B ，∴∠B ＝∠C ，∴△ABC 是等腰三角形；
(2)如图2，过点O 作OG ⊥AC ，垂足为G ，则得四边形OGDE 是矩形，∵△ABC 是等腰三角形，∴∠B ＝∠C ＝75°，∴∠A ＝180°－75°－75°＝30°，设OG ＝x ，则OA ＝OB ＝OE ＝2x ，AG ＝3x ，∴DG ＝OE ＝2x ，根据AC ＝AB 得：4x ＝3x ＋2x ＋2－3，∴x ＝1，∴OE
＝OB ＝2，在直角△OEF 中，∠EOF ＝∠A ＝30°，cos30°＝OE OF ，OF ＝2cos30°＝2÷32＝43
3，
∴BF ＝43
3
－2，⊙O 的半径为2.。