劳斯判据判定稳定性复习进程
劳斯判据判定稳定性
劳斯判据判定稳定性劳斯判据即Routh-Hurwitz判据一、系统稳定的必要条件判据是判别系统特征根分布的一个代数判据。
要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件：1）特征方程的各项系数都不等于零。
2）特征方程的各项系数的符号都相同。
此即系统稳定的必要条件。
按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为一个必要条件，即系统特征方程的各项系数全大于零，且不能为零。
二、系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是表的第一列元素全部大于零，且不能等于零。
运用判据还可以判定一个不稳定系统所包含的具有正实部的特征根的个数为表第一列元素中符号改变的次数。
运用判据的关键在于建立表。
建立表的方法请参阅相关的例题或教材。
运用判据判定系统的稳定性，需要知道系统闭环传递函数或系统的特征方程。
在应用判据还应注意以下两种特殊的情况：1．如果在表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的第一个元时，该元将趋于无穷大。
于是表的计算无法继续。
为了克服这一困难，可以用一个很小的正数代替第一列等于0的元素，然后计算表的其余各元。
若上下各元符号不变，切第一列元素符号均为正，则系统特征根中存在共轭的虚根。
此时，系统为临界稳定系统。
2．如果在表中任意一行的所有元素均为0，表的计算无法继续。
此时，可以利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用多项式方程的导数的系数组成表的下一行。
这样，表中的其余各元就可以计算下去。
出现上述情况，一般是由于系统的特征根中，或存在两个符号相反的实根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭复根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭的纯虚根（即系统自由响应会维持某一频率的等幅振荡，此时，系统临界稳定），或是以上几种根的组合等。
这些特殊的使系统不稳定或临界稳定的特征根可以通过求解辅助多项式方程得到。
三、相对稳定性的检验对于稳定的系统，运用判据还可以检验系统的相对稳定性，采用以下方法：1）将s平面的虚轴向左移动某个数值，即令s=z-（（（为正实数），代入系统特征方程，则得到关于z的特征方程。
3.5劳斯稳定性及稳定判据
an a n 1 A1 B1 C1
an 2 an 3 A2 B2 C2
an 4 an 5 A3 B3 C3
劳斯表
劳斯表计算举例
s 5 s s s s s s
4 3 2 1 0
6
a6 s6 a5 s5 a4 s4 a3 s 3 a2 s 2 a1 s a0 0
系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具有负 实部的共轭复数。 或者说，特征方程的根应全位于s平面的左半平面。
3 代数稳定判据
1 劳斯稳定判据
线性定常系统的特征方程一般式为
an s n an1s n1 a1s a0 0
系统稳定的充要条件为： 1）特征方程的全部 系数为正值； 2）由特征方程系数组成 的劳斯表的第一列也为正。
本次课程作业
3-16（1）、（6）
3-20
五 稳定性及其代数稳定判 据 1 稳定性的定义
处于某一初始平衡状态的系统。在任何足够小的初始偏差 作用下，其过渡过程随着时间的推移，是否具有逐渐恢复原平 衡状态的性能。
如果系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后， 经过足够长的时间后能回复到原来的初始平衡状态，则称系统 是稳定的。否则是不稳定的。
s3 j
s1 s4
c( ) 0 系统稳定
G( s ) N ( s) ( s 3)(s 20)(s 2 2 s 4)
s2
o
c(t)
t 0
s3,4 1 j 3
t t Ae cos 3 t Be sin 3t 增加运动模态 c( ) 0 系统稳定
劳斯-霍尔维茨稳定性判据
第三章控制系统的时域分析法3.2 劳斯-霍尔维茨稳定性判据稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最基本的要求。
控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。
如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并随时间推移而发散，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。
因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是控制理论的基本任务之一。
常用的稳定性分析方法有：1. 劳斯－赫尔维茨（Routh－Hurwitz）判据：这是一种代数判据。
它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，来判断系统的稳定性.2. 根轨迹法：这是一种利用图解来系统特征根的方法。
它是以系统开环传递函数的某一参数为变量化出闭环系统的特征根在S平面的轨迹，从而全面了解闭环系统特征根随该参数的变化情况。
3. 奈魁斯特（Nyquist）判据：这是一种在复变函数理论基础上建立起来的方法。
它根据系统的开环频率特性确定闭环系统的稳定性，同样避免了求解闭环系统特征根的困难。
这一方法在工程上是得到了比较广泛的应用。
4. 李雅普诺夫方法上述几种方法主要适用于线性系统，而李雅普诺夫方法不仅适用于线性系统，也适用于非线性系统。
该方法是根据李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳定性。
一、稳定性的概念稳定性的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。
考虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，我们施加一个很小的外力（扰动），圆锥体会稍微产生倾斜，外作用力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来的状态。
而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保持平衡，所以在受到任何极微小的外力（扰动）后，它就会倾倒，如果没有外力作用，就再也不能回到原来的状态。
因此，系统的稳定性定义为，系统在受到外作用力后，偏离了最初的工作点，而当外作用力消失后，系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的。
系统稳定性分析—劳斯稳定判据
© BIP
例题4：s6 s5 6s4 5s3 9s2 4s 4 0
S6 1
6
S5 1
5
9
4
辅助方程
4
0
S4 1
5
4
S3
0 4
0 10
0 0
S2 2.5
4
0
0 s4 5s2 4 0
0 0 4s3 10s 0 0
S1 3.6
0
0
0
S0 4
0
0
0
某一行全为零，说明存在对称于原点的根，系统不稳定
No.15
© BIP
图7 K=15时系统的单位阶跃响应曲线
No.16
© BIP
图8 K=20时系统的单位阶跃响应曲线
No.17
© BIP
例题2：液位控制系统的稳定性分析。
进水
阀门
进水阀门的 传递函数K3
减速器
+ 电位器
-
连杆
执行电机和 减速器的传
递函数
K2/S(TS+1)
电动机
放大器
控制对象水箱的
系统稳定性分析之 ——劳斯判据
一、系统稳定的重要性
图1“舞动的格蒂”—首座塔科马大桥
No.2
© BIP
二、系统稳定性的基本概念和条件
1、定义：如果线性控制系统在初始扰动的作 用下，使被控量产生偏差，当扰动消失后，该 偏差随着时间的推移逐渐减小并趋于零，即系 统趋于原来的工作状态，则称该系统为渐进稳 定。反之，如果在初始扰动的作用下，系统的 偏差随着时间的推移而发散，系统无法趋于原 来的工作状态，则称系统不稳定。
传递函数K4/S
劳斯-霍尔维茨稳定性判据
第三章控制系统的时域分析法3.2 劳斯-霍尔维茨稳定性判据稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最基本的要求。
控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。
如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并随时间推移而发散，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。
因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是控制理论的基本任务之一。
常用的稳定性分析方法有：1. 劳斯－赫尔维茨（Routh－Hurwitz）判据：这是一种代数判据。
它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，来判断系统的稳定性.2. 根轨迹法：这是一种利用图解来系统特征根的方法。
它是以系统开环传递函数的某一参数为变量化出闭环系统的特征根在S平面的轨迹，从而全面了解闭环系统特征根随该参数的变化情况。
3. 奈魁斯特（Nyquist）判据：这是一种在复变函数理论基础上建立起来的方法。
它根据系统的开环频率特性确定闭环系统的稳定性，同样避免了求解闭环系统特征根的困难。
这一方法在工程上是得到了比较广泛的应用。
4. 李雅普诺夫方法上述几种方法主要适用于线性系统，而李雅普诺夫方法不仅适用于线性系统，也适用于非线性系统。
该方法是根据李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳定性。
一、稳定性的概念稳定性的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。
考虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，我们施加一个很小的外力（扰动），圆锥体会稍微产生倾斜，外作用力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来的状态。
而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保持平衡，所以在受到任何极微小的外力（扰动）后，它就会倾倒，如果没有外力作用，就再也不能回到原来的状态。
因此，系统的稳定性定义为，系统在受到外作用力后，偏离了最初的工作点，而当外作用力消失后，系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的。
4.2劳思稳定判据
上面得到了系统稳定的充分必要条件， 但直接检查系统的全部特征根是否都在 复平面左半部，或者是否都在复平面的 单位圆内是很困难的。本节介绍代数稳 定判据，从特征方程的系数之间的关系， 判别系统稳定性。
4.2.1 线性连续系统的 代数稳定判据
1. 劳思稳定判据
设系统的特征方程为:
D(s) ansn an1sn1 a1s a0 0
s 0 -8
F(s) s 4 3s 2 4 F (s) 4s 3 6s
因为劳思表第一列数符号变化1次，所以系统 是不稳定的，有1个特征根在右半S平面。 求解辅助方程 ： F (s) s 4 3s 2 4 0
可得系统对称于原点的特征根为 s1,2 2 , s3,4 j .
a n 1 b1
an7 b1an7 b4 an1
b4
b1
直至其余全为0。
d1
1 c1
b1 c1
b2 b2 c1 b1c2
c2
c1
d2
1 c1
b1 c1
b3 b3 c1 b1c3
c3
c1
d3
1 c1
b1 c1
b4 b4 c1 b1c4
c4
c1
劳思表中出现某一行的数全为0，表明系 统存在对称于原点的特征根。就是说，系统特 征根中或者存在两个符号相反、绝对值相等的 实根；或者存在一对共轭纯虚根；或者存在实 部符号相反、虚部数值相等的两对共轭复根； 或者上述几类根同时存在。
对称于原点的所有特征根都可以通过求解 辅助方程得到，而且，辅助方程的根都是对称 于原点的所有特征根。正因为如此，辅助方程 或多项式的最高幂次总是偶数，等于对称于原 点的特征根的个数。
Routh 稳定性判定
ja
-a 0 a 0 -ja
j jb
-a
0
a
-jb 处理 利用该零行上面一行元素构成辅助多项式，取辅助多项式 方法 导数的系数代替该零行，继续计算劳斯数列中其余各项。
第五章 系统的稳定性
s7 s6 s5 s4 s3 s2 s1 s0 1 7 3 5 16/3 0 5 0 0 0 20 0 (0) 20 -400/ 20
图5.2 系统方框图
将已知条件代入，系统的特征方程为
D ( s ) s 3 34.6 s 2 7500 s 7500 K 0
列出Routh数列为
s3 s2
1
7500 7500 K 0 0
0 0
0 K 34.6
34.6 34.6 7500 7500 K 1 s 34.6 0 s 7500 K
s
4
s3 s2 s1 s0
1 19 30 1 11 0 1 (19) 1 11 30 30 0 （改变符号一次） 1 (30) 11 1 30 12 0 0 （改变符号一次） 30 30 0 0
3）第一列符号变化2次，系统有两个不稳定根。
第五章 系统的稳定性
低阶系统(六阶以下)
第五章 系统的稳定性
一、劳斯稳定判据的步骤
5.2 Routh稳定判据
n n 1 1. 列写系统的特征方程式 D ( s ) a n s a n 1 s a1 s a 0 0
2. 系统稳定的必要条件 各系数同号且不为零 或 an>0, an-1>0, … , a1>0, a0>0 3. 列写Routh数列表
第五章 系统的稳定性
例5.1 系统的特征方程 求系统的稳定性。
论述劳斯稳定判据和奈奎斯特稳定判据的使用方法
论述劳斯稳定判据和奈奎斯特稳定判据的使用方法劳斯稳定判据和奈奎斯特稳定判据是控制系统理论中常用的两种判断系统稳定性的方法。
劳斯稳定判据适用于以传递函数形式表示的线性时不变（LTI）系统。
对于一个系统的传递函数为G(s)，劳斯稳定判据要求先求出传递函数的特征方程，然后利用特征方程的劳斯阵列进行判断。
具体步骤如下：1. 将传递函数G(s)表达为特征方程的形式，即分子为0。
2. 将特征方程的所有系数按照从高次到低次的次序排列，构成劳斯阵列。
3. 从劳斯阵列的第一行开始，按照以下规则计算每一行的元素：- 第一行的元素为特征方程的系数。
- 第一列的元素为0。
- 每一行的元素为前两行对应位置的元素积减去后一行对应位置的元素积，再除以前一行的对角元素。
4. 查看劳斯阵列的最后一行，如果最后一行的元素全部大于0，则系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。
奈奎斯特稳定判据适用于连续时间和离散时间系统，可以通过绘制奈奎斯特曲线的方法来判断系统的稳定性。
对于一个连续时间系统的传递函数G(s)，可以通过以下步骤使用奈奎斯特稳定判据：1. 将传递函数G(s)表达为标准形式，即将分子和分母分别写成多项式的形式。
2. 将标准形式的分子和分母的系数分别表示为多项式的系数向量aN 和aD。
3. 根据aN 和aD 的系数向量，计算系统的开环传输函数的频率响应G(jω)，其中j是虚数单位。
根据频率响应，可以得到系统的频率响应曲线。
4. 根据频率响应曲线，绘制奈奎斯特曲线。
奈奎斯特曲线可以通过将频率ω变化为复平面的轨迹来得到。
5. 根据奈奎斯特曲线的特征来判断系统的稳定性：- 曲线的终点在左半平面内，则系统是稳定的。
- 曲线的终点与jω轴有交点，则系统是不稳定的。
- 曲线的终点在右半平面内，则系统的稳定性无法判断，需要进一步分析。
类似地，对于离散时间系统的传递函数G(z)，也可以按照类似的方法绘制奈奎斯特曲线来判断系统的稳定性。
第四章稳定性分析——劳讲义斯判据4-1
21
THANKS
第二步：建立劳斯表（又叫劳斯阵列）。 例：五阶系统，其特征方程：
a 5 s 5 a 4 s 4 a 3 s 3 a 2 s 2 a 1 s a 0 0
9
s5
a5
a3
a1
s4
a4
a2
a0
s3
A1
a4a3 a5a2 a4
A2
a4a1 a5a0 a4
0
s2
B1
A1a 2 a 4 A2 A1
13
s5
1
52
s4
1
51
s3
0 ( )
10
s2
5 1
10
s1 5 1 2 0 0
5 1
s0
1
00
5 1 0
5 12
0
5 1
劳斯表中第一列元素符号的变化两次， 说明特征方程有两个正实部的根，所以系统不 稳定。
14
（2）某一行元素全为零 在劳斯表中，如果出现某一行元素全为零，
说明特征方程存在大小相等符号相反的实根 和（或）共轭虚根，或者共轭复根。
s0 2 0
因劳斯表中第一列元素无符号变化，所以系统稳 定。 令： ss1 1
20
原特征方程，经过整理，得到 s1 特征方程：
s1 35s1 23s110
s
3 1
1
3
s
2 1
5
1
s
1 1
2.8
0
s
0 1
1
0
劳斯表中第一列元素符号变化一次，所以有一 个特征方程根在垂线 s1右边。即有一个根在阴影 区内。
即输出增量收敛于原平衡工作点，线性系统稳定 。
劳斯判据总结
3-1 稳定性1、稳定性的概念2、判别系统稳定性的基本原则线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。
由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s 平面的左半平面。
显然，稳定性与零点无关。
当有一个根落在右半部，系统不稳定。
当有根落在虚轴上(不包括原点)，此时为临界稳定，系统产生持续振荡。
3-2 劳斯稳定判据劳斯判据劳斯判据步骤如下： 1）列出系统特征方程：553(00122110->=++⋅⋅⋅+++---a a S a S a S a S a n n n n n检查各项系数是否大于0，若是，进行第二步。
可见，i a ，1,2,i =是满足系统稳定的必要条件。
2）按系统的特征方程式列写劳斯表3）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a 0、a 1、b 1、c 1、……的符号相同，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。
通常00a >，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯表中第一列的各数均大于零。
如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S 的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。
※※ 劳斯判据特殊情况· I) 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零 用一个很小的正数ε来代替零这一项，据此算出其余的各项，完成劳斯表如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。
· II ）劳斯表中出现全零行表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。
利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行,完成劳斯表的排列。
这些大小相等、符号 相反的根可通过求解辅助方程得到，而且其根的数目总是偶数的。
劳斯判据的三个步骤
劳斯判据的三个步骤嘿，朋友们！今天咱来聊聊劳斯判据的三个步骤，这可真是个有趣又重要的玩意儿呢！劳斯判据啊，就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开系统稳定性的大门。
你想想看，一个复杂的系统，就像一个神秘的大箱子，我们得找到正确的方法才能知道它里面到底稳不稳定。
第一步呢，就像是给这个大箱子做个初步的检查。
咱得把系统的特征方程写出来，这就好比是给箱子贴上一个标签，让我们知道它的身份。
可别小看这一步哦，要是这一步错了，那后面可就全乱套啦！就好比你出门找路，第一步方向都搞错了，那还能走到目的地吗？第二步呢，就是开始真正深入地研究这个大箱子啦！我们要根据特征方程列出劳斯表，这可有点像给箱子做一个详细的清单。
这里面的每一个数字、每一个符号都有它的意义呢！这一步可得细心再细心，就像给宝贝瓷器打包一样，不能有一点儿马虎。
第三步呀，就是根据劳斯表来判断系统的稳定性啦！这就像是根据清单来判断这个大箱子是不是安全可靠。
如果劳斯表中出现了特殊的情况，那可就像发现了箱子上有个小裂缝一样，得特别注意啦！你说这劳斯判据是不是很神奇？它就像是一个聪明的侦探，能从一堆复杂的数据中找出系统稳定的线索。
学会了它，咱就像是掌握了一门厉害的武功秘籍，在控制工程的世界里就能更加得心应手啦！比如说，在实际的工程应用中，我们要设计一个控制系统，那怎么知道这个系统会不会出问题呢？这时候劳斯判据就派上用场啦！它能帮我们快速地判断系统的稳定性，让我们提前做好准备，避免出现不必要的麻烦。
而且啊，这劳斯判据可不是什么高深莫测的东西，只要咱用心学，肯定能学会。
就像学骑自行车一样，一开始可能会摇摇晃晃，但只要多练习，就能骑得稳稳当当。
总之呢，劳斯判据的三个步骤可真的是非常重要啊！咱可不能小瞧了它。
学会了它，咱就能在控制工程的领域里畅游啦！大家加油学起来呀！。
3-2 劳斯判据
朱文兴
3.5 3.5.1
线性系统的稳定性分析 稳定的概念
所谓稳定性是指系统在受到外界力的作用后恢复 平衡状态的能力。
如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差有多大， 当扰动取消后，系统都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态， 则这种系统称为大范围稳定的系统； 如果系统受到有界扰动，只有当扰动引起的初始偏差小于 某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态，否
0< K < 6
22
②确定系统的相对稳定性 例3-9 检验多项式 2s3 + 10s2 + 13s + 4 = 0 是否有根在s 右半平面，并检验有几个根在垂直线 s = 1 的右边？
解：1)
s3 s2
2 10
13 4
劳斯表中第一列元素均 为正
∴系统在s 右半平面没有 根，系统是稳定的。
s1
s0
3/2 2/3 2
2 0
特征方程式不缺项且系数为正值，劳斯表中
第一列元素的符号无变化，∴系统没有正实部 的根。解辅助方程求出系统有两对纯虚根，系
20 统处于临界（不）稳定。两对纯虚根分别是
s0
s=±j和s=±√2j，剩下的一个根是s=-1。
劳斯判据小结
控制系统稳定的充要条件是：
1、系统的闭环特征方程式s的幂次不缺项； 2、全部系数为正值； 3、由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都要是正的。
1 2 1 6 5
3 4 5 0
5 0
特征方程式不缺项，且系数都为正值，劳斯表的第一列 15 元素 符号改变了2次，∴系统不稳定，且s 右半平面有2 个根。
3.5.3 两种特殊情况
第一种特殊情况：劳斯表中某行的第一列元素为零， 而其余各项不为零，或不全为零。对此情况，有两 种处理方法。
5第五节稳定性与劳斯稳定判据
11/22/2020
5
稳定的充要条件和属性
前面讨论的当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到 原来的起始平衡状态可看作第二项经过足够长的时间变为零。
系数取决于初 多始 项条 式 系件 数的 取决于初 多始 项条 式件
Y2(s) snan1sn1a1sa0 n1 (spj) n2 (s22ll l2)
• 2、讲课过程中注重引导，深入浅出、通俗易懂的引导
•
(1)复习稳定性的条件，引出劳斯判据。
•
(2)讲述判据的劳斯表的规律，掌握劳斯判据的特殊情况。
•
(3) 劳斯判据的应用。由浅入深，逐步增加难度。
• 3、利用条件知识，导出知识的严密逻辑关系
•
(1)采用顺序的方法，从基础的条件知识出发，导出符合严
密逻辑的结论
• 1、稳定性的概念、定义及系统稳定的条件; • 2、劳斯表的列写及其规律; • 3、劳斯判据判定系统的稳定性.
• 三、教学难点:
11/22/2020
2
1、掌握劳斯判据的特殊情况;
• 2、了解劳斯判据的应用.
• 四、参考文献:《自动控制原理》主编 王划一 国防工 业出版社
• 五、教学方法和教具:
• 1、采用黑板和粉笔
j 1
l 1
l 1
线性系统稳定的充要条件：
系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具
有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s平面
的左半部。
11/22/2020
6
充要条件说明
如果特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项将随时 间单调增长；
如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项 是发散的周期振荡。
劳斯判据总结(严选参考)
3-1 稳定性1、稳定性的概念2、判别系统稳定性的基本原则线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。
由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s 平面的左半平面。
显然，稳定性与零点无关。
当有一个根落在右半部，系统不稳定。
当有根落在虚轴上(不包括原点)，此时为临界稳定，系统产生持续振荡。
3-2 劳斯稳定判据劳斯判据劳斯判据步骤如下： 1）列出系统特征方程：553(00122110->=++⋅⋅⋅+++---a a S a S a S a S a n n n n n检查各项系数是否大于0，若是，进行第二步。
可见，i a ，1,2,i =是满足系统稳定的必要条件。
2）按系统的特征方程式列写劳斯表3）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a 0、第三章 劳斯判据a 1、b 1、c 1、……的符号相同，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。
通常00a >，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯表中第一列的各数均大于零。
如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S 的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。
※※ 劳斯判据特殊情况· I) 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零 用一个很小的正数ε来代替零这一项，据此算出其余的各项，完成劳斯表如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。
· II ）劳斯表中出现全零行表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。
利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行,完成劳斯表的排列。
这些大小相等、符号 相反的根可通过求解辅助方程得到，而且其根的数目总是偶数的。
第5章 系统的稳定性2(机械控制原理与技术教案)
a1 xo(t )
a0 xo(t )
xi(t )
自由响应
强迫响应
n
n
xo(t ) A1ie sit A2ie sit B(t )
i 1
i 1
系统的初态引 输入引起的 起的自由响应 自由响应
si:系统的特征根
2. 系统稳定条件
1) 当系统所有的特征根si（i=1，2，…，n)均具有负实部（位 于[s]平面的左半平面）
由系统稳定的充要条件，有
s3
1
7500 0
s2
34.6
7500K 0
s1 34.6 7500 7500K
0
34.6
s0
7500K
0
(1) 7500K>0，亦即K>0。显然，这就是由必要条件所得的结果。
(2)
34.6 7500 7500K 0 34.6
，亦即K<34.6。
故能使系统稳定的参数K的取值范围为0<K<34.6。
第五章 系统的稳定性
第五章 系统的稳定性
——系统能正常工作的首要条件
系统的稳定性与稳定条件 Routh（劳斯）稳定判据 Nyquist 稳定判据 Bode稳定判据 系统的相对稳定性
一、系统的稳定性与稳定条件
例：液压位置随动系统
原理：
外力→阀芯初始位移Xi(0)→阀口2、4打开 →活塞右移→阀口关闭（回复平衡位置）
0 常量
当n m 当n m
② LF包围原点的圈数 = LGH包围(－1，j0)点的圈数 N=Z-P
三、NYQUIST 稳定判据
5. 判据
当由－到+时，若[GH]平面上的开环频率 特性G(j)H(j)逆时针方向包围（－1，j0）点P圈， 则闭环系统稳定。（P为G(s)H(s)在[s]平面的右半平 面的极点数）
3.5劳斯稳定性及稳定判据
s3
B1
A1a3 a5 A2 A1
s2
C1
B1 A2 A1B2 B1
s1
D1
C1B2 B1C2 C1
s0
E1
D1C 2 D1
a0
a3
A2
a5a2 a6a1 a5
B2
A1a1 a5 A3 A1
C2
B1 A3 0 B1
a0
a1
0
0 A3
a5a0 a5
a0
s5 1
1
4
s4 2
3
5
一次符号变化
s 3 0.5 1.5 0
二次符号变化
s2 9
5
0
1 3 0 ( 1 ) 2
950
系统不稳定
其第一列系数符 号变化两次，表
s1 16
0
9
0
1( 32) 9
0
0
( 9 ) 32
示有两个极点在 s的右半平面。
s0 5
0
0
500
用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论；
s5 0 增加运动模态 常数项 k
c() k 系统不稳定
s3 j
s2
s1
o
N (s)
s4
G(s) (s 3)( s 20)( s2 2s 4)( s2 4)
s5,6 j2 增加运动模态 A1 cos 2t B1 sin2t
0
t
c() 0 系统持续震荡，也称为临界稳定
s1,2 j 2 , s3,4 j2
第四章-1-劳斯稳定性判据
12
引言
13
引言
稳定性判别方法
令特征多项式（闭环传递函数的分母）等于零，计算系统的极点 不直接计算系统极点 – 劳斯-赫尔维茨判据 – 根轨迹 – 奈奎斯特判据
根据系统开环传递函数 根据系统特征方程
对于一般的非线性系统（线性系统为非线性系统的特例），我们 可以利用李亚普诺夫稳定性理论来判别系统的稳定性 我们将开始研究线性系统稳定性分析问题——劳斯-赫尔维茨判据
不稳定
稳定
临界稳定
11
引言
稳定性概念
稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最起码的 要求。控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一 些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改 因素的扰动 例如负载或能源的波动 环境条件的改 变、系统参数的变化等。如果系统不稳定，当它受到扰 动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并随时 间推移而发散，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的 平衡状态。因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系 统稳定的措施，是控制理论的基本任务之一。
19
劳斯稳定性判据
劳斯稳定性判据
劳斯判据给出了判定系统稳定性的充分必要条件，我们介绍应用劳斯 判据判定系统稳定性的过程。 步骤 1: 将系统特征多项式的系数排列成如下阵列： ( s ) bn s n bn 1 s n 1 b1 s b0
sn s n 1 bn bn 1
Q ( s ) ( s ) bn s n bn 1s n 1 b1s b0 0
i , i 1, 1 , n 为 如果 如 ( s ) 写成因式相乘形式，我们可以得到（ 式相乘 式 我们 得到 系统特征根） ( s ) bn ( s 1 )( s 2 ) ( s n ) 0
(第12讲) 第五章 劳斯稳定性判据
a 0 s a1 s
n
n 1
a n 1 s a n 0
则该系统稳定的条件为： a. 特征方程的各项系数 a i ( i 0 , , n 1) 都不等于零； b. 特征方程的各项系数 a i 的符号都相同； 此两项为必要条件。
例 如 ： q s s 2 s s 4 s s 2s 8
2
s1 , 2
a1
a1 4 a 2 a 0
2
2a2
只有 a 2 , a 1 , a 0 都大于零，系统才稳定（负实根或实部 为负）。 对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以 下描述的代数稳定性判据。
06-7-20
控制系统的稳定性分析
13
5.3 代数稳定性判据
5.3.1 劳斯稳定性判据 设线性系统的闭环特征方程为：
B：对实际“小偏差线性化”的近似线性系统，偏差达到 一定范围之后，系统不再稳定。 2.稳定性指的是自由震荡之下的稳定性，即输入为零，系 统在初始偏差不为零时的稳定性；也即是讨论自由振荡是收敛 还是发散。
5.2 系统稳定的充要条件
设系统或环节的微分方程为：
y
(n)
( t ) a n 1 y
(m )
06-7-20 控制系统的稳定性分析 2
如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原 来的平衡状态，并随时间的推移而发散。
因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施， 是自动控制理论的基本任务之一。
其他：
一个反馈系统要么是稳定的，要么是不稳定的---绝对稳定性。 具有绝对稳定性的系统称为稳定系统； 若一个闭环系统是稳定的，还可以用相对稳定性来进一步衡 量其稳定程度。例如：飞机越稳定操作起来越困难。但是现代战 斗机的相对不稳定性导致的结果就是良好的可操纵性，因此战斗 机不如商业运输机飞行平稳，但是能够实现快速机动。
劳斯判据总结
3-1 稳定性1、稳定性的概念2、判别系统稳定性的基本原则线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。
由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s 平面的左半平面。
显然，稳定性与零点无关。
当有一个根落在右半部，系统不稳定。
当有根落在虚轴上(不包括原点)，此时为临界稳定，系统产生持续振荡。
3-2 劳斯稳定判据劳斯判据劳斯判据步骤如下： 1）列出系统特征方程：553(00122110->=++⋅⋅⋅+++---a a S a S a S a S a n n n n n检查各项系数是否大于0，若是，进行第二步。
可见，i a ，1,2,i =是满足系统稳定的必要条件。
2）按系统的特征方程式列写劳斯表3）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a 0、a 1、b 1、c 1、……的符号相同，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。
通常00a >，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯表中第一列的各数均大于零。
如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S 的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。
※※ 劳斯判据特殊情况· I) 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零 用一个很小的正数ε来代替零这一项，据此算出其余的各项，完成劳斯表如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。
· II ）劳斯表中出现全零行表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。
利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行,完成劳斯表的排列。
这些大小相等、符号 相反的根可通过求解辅助方程得到，而且其根的数目总是偶数的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
劳斯判据
即Routh-Hurwitz判据
一、系统稳定的必要条件
判据是判别系统特征根分布的一个代数判据。
要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件：
1）特征方程的各项系数都不等于零。
2）特征方程的各项系数的符号都相同。
此即系统稳定的必要条件。
按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为一个必要条件，即系统特征方程的各项系数全大于零，且不能为零。
二、系统稳定的充要条件
系统稳定的充要条件是表的第一列元素全部大于零，且不能等于零。
运用判据还可以判定一个不稳定系统所包含的具有正实部的特征根的个数为表第一列元素中符号改变的次数。
运用判据的关键在于建立表。
建立表的方法请参阅相关的例题或教材。
运用判据判定系统的稳定性，需要知道系统闭环传递函数或系统的特征方程。
在应用判据还应注意以下两种特殊的情况：
1．如果在表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的第一个元时，该元将趋于无穷大。
于是表的计算无法继续。
为了克服这一困难，可以用一个很小的正数代替第一列等于0的元素，然后计算表的其余各元。
若上下各元符号不变，切第一列元素符号均为正，则系统特征根中存在共轭的虚根。
此时，系统为临界稳定系统。
2．如果在表中任意一行的所有元素均为0，表的计算无法继续。
此时，可以利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用多项式方程的导数的系数组成表的下一行。
这样，表中的其余各元就可以计算下去。
出现上述情况，一般是由于系统的特征根中，或存在两个符号相反的实根（系统自由响应发散，系统不稳
定），或存在一对共轭复根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭的纯虚根（即系统自由响应会维持某一频率的等幅振荡，此时，系统临界稳定），或是以上几种根的组合等。
这些特殊的使系统不稳定或临界稳定的特征根可以通过求解辅助多项式方程得到。
三、相对稳定性的检验
对于稳定的系统，运用判据还可以检验系统的相对稳定性，采用以下方法：
1）将s平面的虚轴向左移动某个数值，即令s=z-（（（为正实数），代入系统特征方程，则得到关于z的特征方程。
2）利用判据对新的特征方程进行稳定性判别。
如新系统稳定，则说明原系统特征方程所有的根均在新虚轴之左边，（越大，系统相对稳定性越好。