习题课一：剪力图与弯矩图的绘制
剪力图和弯矩图
剪力图和弯矩图:悬臂梁的剪力图和弯矩图具体画法如下：内力图的规律：1、在无荷载作用区，当剪力图平行于x轴时，弯矩图为斜直线。
当剪力图为正时，弯矩图斜向右下；当剪力图为负时，弯矩图斜向右上。
2在均布荷载作用下的规律是：荷载朝下方，剪力往右降，弯矩凹朝上。
3、在集中力作用处，剪力图发生突变，突变的绝对值等于集中力的大小；弯矩图发生转折。
4、在集中力偶作用处弯矩图发生突变，突变的绝对值等于该集中力偶的力偶矩；剪力图无变化。
5、在剪力为零处有弯矩的极值弯矩图总结规律如下：1、在梁的某一段内，若无分布载荷作用，即q(x)=0，由d²M(x)/dx²=q(x)=0可知，M(x)是x的一次函数，弯矩图是斜直线。
2、在梁的某一段内，若作用分布载荷作用，即q(x)=常数，则d²M(x)/dx²=q(x)=常数，可以得到M(x)是x的二次函数。
弯矩图是抛物线。
3、在梁的某一截面内，若Fs(x)=dM(x)/dx=0,则在这一截面上弯矩有一极值（极大或极小）。
即弯矩的极值发生在剪力为零的截面上。
根据上述绘图规律可以准确画出悬臂梁在集中荷载下、均布荷载下的剪力图和弯矩图。
弯矩的叠加原理同一根粱AB受q、M0两种载荷作用、q单独作用及M0单独作用的三种受力情况。
在q、M0共同作用时：VA=ql/2+M0/l VS=ql/2+M0/l从计算结果中可以看到，梁的支座反力和弯矩都是荷载(q、M0)的一次函数，即反力或弯矩与荷载成线性关系。
这时，g、M0共同作用F所产生的反力或弯矩等于g与M0单独作用时所产生的反力或弯矩的代数和。
这种关系不仅在本例中存在，而且在其他力学计算中普遍存在，即只要反力、弯矩（或其他量）与载荷成线性关系，则若干个载荷共同引起的反力、弯矩（或其他量）等于各个载荷单独引起的反力、弯矩（或其他量）相叠加。
这种关系称为叠加原理。
应用叠加原理的前提是构件处在小变形情况下，这时各荷载对构件的影响各自独立。
工程力学弯曲强度1(剪力图与弯矩图
05 剪力图与弯矩图的计算与分析
CHAPTER
剪力与弯矩的计算方法
要点一
剪力计算
根据受力分析，通过力的平衡原理计算剪力。在梁的截面 上，剪力方向与梁的轴线垂直，大小等于通过截面形心的 剪切面上的剪力。
要点二
弯矩计算
弯矩是描述梁弯曲变形的量，其计算方法包括截面法、力 矩分配法等。弯矩的计算需要考虑梁的长度、截面尺寸、 材料属性以及外力分布等因素。
在工程实践中，许多结构和设备都需 要承受弯曲负荷，如桥梁、建筑、车 辆等，因此弯曲强度的研究具有重要 意义。
弯曲强度的基本原理
弯曲强度的基本原理包括剪力和弯矩 的分析。剪力是指在弯曲过程中垂直 于轴线的力，而弯矩则是指弯曲过程 中产生的力矩。
剪力和弯矩的分析是确定结构在弯曲 负荷下的应力和变形的重要手段，也 是进行结构设计和优化的基础。
谢谢
THANKS
剪力图与弯矩图的受力分析
剪力图
通过绘制剪力随梁长度变化的曲线图，可以直观地表示 出梁在不同位置受到的剪力大小和方向。根据剪力图， 可以分析梁在受力过程中的稳定性以及剪切破坏的可能 性。
弯矩图
弯矩图表示弯矩随梁长度变化的曲线图，可以用来分析 梁在不同位置的弯曲变形程度以及弯曲应力分布情况。 通过弯矩图，可以判断梁在受力过程中是否会发生弯曲 失稳或弯曲破坏。
CHAPTER
剪力图与弯矩图在结构设计中的应用
结构设计是工程中非常重要的环节，剪力图 与弯矩图是进行结构设计的关键工具。通过 分析剪力和弯矩的分布和大小，可以确定结 构的受力情况和变形趋势，从而优化结构设 计，提高结构的稳定性和安全性。
在进行结构设计时，需要综合考虑多种因素 ，如载荷、材料属性、连接方式等。剪力图 与弯矩图可以帮助工程师更好地理解和分析
弯矩图的绘制及练习
作为一名土木工程师，在实际工作中，有时候要对软件（midas、sap2000、pkpm的计算结果有个判断）就要对结构的弯矩和剪力图有个大概的判断。
下面总结各种结构弯矩图的绘制及图例：
一、方法步骤
1、确定支反力的大小和方向（一般情况心算即可计算出支反力）
●悬臂式刚架不必先求支反力；
●简支式刚架取整体为分离体求反力；
●求三铰式刚架的水平反力以中间铰C的某一边为分离体；
●对于主从结构的复杂式刚架，注意“先从后主”的计算顺序；
●对于复杂的组合结构，注意寻找求出支反力的突破口。
2、对于悬臂式刚架，从自由端开始，按照分段叠加法，逐段求作M图（M图画在受拉一侧）；对于其它形式的刚架，从支座端开始，按照分段叠加法，逐段求作M图（M图画在受拉一侧）。
二、观察检验M图的正确性
1、观察各个关键点和梁段的M图特点是否相符
●铰心的弯矩一定为零；
●集中力偶作用点的弯矩有突变，突变值与集中力偶相等；
●集中力作用点的弯矩有折角；
●均布荷载作用段的M图是抛物线，其凹凸方向与荷载方向要符合“弓箭法则”；
2、结构中的链杆（二力杆）没有弯矩；
3、结构中所有结点的杆端弯矩必须符合平衡特点。
各种结构弯矩图例如下：。
梁的剪力和弯矩概念讲解(剪力图弯矩图,含例题)
1
求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。
F=8kN A 2m 1 1 q=12kN/m 2 2 3m B
例 题
1.5m FB
FA
1.5m
1.5m
解： 1、求支反力
M B 0 FA 6 F 4.5 q 3 F
y
0
3 0 FA 15kN 2 FA FB F q 3 0 FB 29kN
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一、梁平面弯曲的概念
1、平面弯曲的概念
弯曲变形：作用于杆件上的外力垂直于杆件的轴线，使 杆的轴线由直线变为曲线。
平面弯曲：梁的外载荷都作用在纵向对称面内时，则梁的轴 线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线。 q Me 纵 向 F
对称面
B A
x
FAy FBy
6kN
1
2
q 2kN m
3
4
5
B
1 2 3 4 5
2m
A
3m
C
3m
FA 13kN
FB 5kN
例题
4.5
为使在锯开处两端面的开裂最小，应使锯口处的 弯矩为零，木料放在两只锯木架上，一只锯木架 放置在木料的一端，试问另一只锯木架放置何处 才能使木料锯口处的弯矩为零。
q
B
A
C
D
MD 0
q
a
a
qa 2
qa 2
qa 2
a2
qa 2
a2
qa2 8
qa2 8
F A F
F 2
F B
F 2
a
a
F 2
a
a
剪力图和弯矩图
2 括号里的不等式说明对应的内力方程所使用的区段。
FS(x)qx (0xl) M(x)1qx2 (0xl)
2 剪力图为一斜直线
FS(0) 0 FS(l) ql
弯矩图为二次抛物线
M (0) 0 M ( l 2 ) 1 ql 2
8 M ( l ) 1 ql 2
绘剪力图和弯矩图的基本方法：首先分别写出梁 的剪力方程和弯矩方程，然后根据它们作图。
Fs(x)
o
x
o
x
Fs 图的坐标系
M(x) M 图的坐标系
不论在截面的 左侧 或 右侧 向上的外力均将引起 正值 的弯矩，而向下 的外力则引起 负值 的弯矩。
例题：图示简支梁 ，在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用。 试作此梁的剪力图和弯矩图。
FS 称为 剪力
y
FA
m
C
A
xm
FS x
由平衡方程
a
P
m
m C0
MFAx0
A
B
m
可得 M = FAx
x
内力偶 M 称为 弯矩
y
FA
m FS
C
x
A
xm
M
结论
a
P
m
梁在弯曲变形时，
横截面上的内力有
A
B
两个，即，
m x
剪力 FS 弯矩 M
y
FA
m FS
C
x
A
xm
M
取右段梁为研究对象。
y
FA
m FS
-
FS FS
dx
（2）弯矩符号 横截面上的弯矩使考虑的脱离体下边受拉，上边受压时为 正 。
剪力图和弯矩图(史上最全面)解析
三、 叠加原理： 多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单
独作用于结构而引起的内力的代数和。
Q(P1P2 Pn) Q1(P1) Q2(P2) Qn(Pn)
M(P1P2 Pn) M1(P1) M2(P2) Mn(Pn)
M (P1P2 Pn) M1(P1) M2(P2) Mn(Pn)
适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满 足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。
27
二、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理 ——叠加方法
步骤： ①分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图； ②将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单
四、对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷作用下，Q图反对称，M图对称；对称
结构在反对称载荷作用下，Q图对称，M图反对称。
M 的驻点： Q 0 ; M 3 qa2 2
x
右端点： Q 0; M 3 qa2 2
22
[例5] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。AB=BC=CD=a
q AB
RA qa Q qa/2
+ – qa/2
qa2 CD
RD
– qa/2
M
qa2/2
+
–
3qa2/8 qa2/2
qa2/2
RB
Pa l
Y
0,
YA
P(l a) l
XA A YA
P B
P B
RB
11
②求内力——截面法
Y
0,
Q YA
P(l a) l
mC 0 , M YA x
m XA A
剪力图和弯矩图例题弯矩图例题(共15张PPT)
3.作剪应力图和弯矩图
最大剪力发生在梁端，其值为
F 1ql 2 Qmax
最大弯矩发生在跨中，它的数值为Mmax
1 ql 2 8
例题3 简支梁受集中作用如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力
FAyFl b,FByFl a
2.列剪力方程和弯矩方程 AC段：
FQ(x)
FAy
Fb l
〔0<x<a 〕
• 口诀表述：剪力图 力偶荷载无影响。
•
弯矩图 力偶荷载有突变。
二、根据内力图规律做图
１.剪力图与荷载的关系
〔１〕在均布荷载作用段， FQ图是斜直线，倾斜方向与荷载指向相同
(2)无荷载作用区段，即q(x)=0，FQ图为平行x轴的直线。
(3)在集中力作用处，FQ图有突变，突变方向与外力一致，且突变的数值等于该集
例7 外伸梁如下图，试画出该梁的内力图。
m=3.6kNm
P＝3kN
x
AD
C
RA
a=0.6m a=0.6m
q=10kN/m
B E
2a=1。2m
RB
解：
〔1〕求梁的支座反力
由 mA0
P 5 aR3 am 1q2 a20
B
2
解得
R BP2q a R A5kN
由 Y 0
P R AR B 2 q a 0
解得
M(x)FAyxFl b (0≤x≤a)
CB段：
F Q(x)F Ay FF l bFF l a(a<x<l)
Fa M (x)F Ax yF (xa )l (lx)
(0≤x≤l)
3.作剪力图和弯矩图
Q图 M图
图三
剪力图和弯矩图(史上最全面)
内力的代数和。
Q(P1P2 Pn) Q1(P1) Q2(P2) Qn(Pn)
M (P1P2 Pn) M1(P1) M2(P2) Mn(Pn)
适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满 足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。
27
二、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理 ——叠加方法
Q(+)
Q(+)
Q(–)
Q(–)
②弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。
M(+)
M(+)
M(–)
M(–)
13
二、例题
[例2]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。
qL 1 1a
2q 2b
解：截面法求内力。 1--1截面处截取的分离体 如图（b）示。
y x
图（a）
qL
A
同时可以提前讲内力图的对称关系 2、改错
见下页PPT 3、由Q图作M图和载荷图P135 4.16(b)
由M图作Q图和载荷图P135 4.17(a) 4、讲解组合梁的内力图P130 4.6(a)
24
[例6] 改内力图之错。 qa2
A
a
a
2a
Q qa/4
qa/4
+
–
–
3qa/4
5qa2/4 3qa2/2 49qa2/32
范钦珊版材料力学习题全解 第5章 梁的弯曲问题(1)-剪力图与弯矩图
M A = ql 2
| FQ | max = 5 ql 4
| M | max = ql 2
题（c）
∑ F y = 0 ， FRA = ql （↑）
9
∑ M A = 0 ， M A = ql 2
∑ M D = 0 ， ql 2 + ql ⋅ l − ql ⋅ − M D = 0
3 2 ql 2 | FQ | max = ql MD =
C
4000 4000
B
FB
习题 5－8 载荷图之二
5－9 试作图示刚架的剪力图和弯矩图，并确定 FQ
max
、 M
max
12
习题 5－9 图
解：题（a） ：
∑M A = 0
FRB ⋅ 2l − FP ⋅ l − FP ⋅ l = 0
FRB = FP （↑）
∑ F y = 0 ， F Ay = FP （↓）
∑ Fx = 0 ， FAx = FP （←）
C
2
1
B
C
－
B
1
D
M(FPl)
1 +
D
FQ(FP)
A
A
习题 5－9a 的弯矩图
剪力图和弯矩图如图所示，其中 | M | max = 2 FP l ， 位于刚节点 C 截面；
| FQ |max = FP
题（b） ： ∑ F y = 0 ， F Ay = ql （↑）
8
习题 5－6c、e 解图
习题 5－6d、f 解图
题（b）
∑ M A = 0 − ql 2 − ql ⋅ l + ql ⋅ l + FRB ⋅ 2l = 0
2
FRB
用内力方程法绘制剪力图和弯矩图
弯曲内力\用内力方程法绘制剪力图和弯矩图
用内力方程法绘制剪力图和弯矩图
1.1 剪力方程与弯矩方程
在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随横截面的位置而变 化。若沿梁的轴线建立x轴，以坐标x表示梁的横截面的位置，则梁 横截面上的剪力和弯矩均可表示为坐标x的函数，即
FS FS(x)， M M (x) 以上两式分别称为梁的剪力方程与弯矩方程。在写这两个方程时， 一般是以梁的左端为x坐标的原点，有时为了方便，也可以把坐标 原点取在梁的右端。
列剪力方程和弯矩方程。取图中 的A点为坐标原点，建立x坐标轴，由 坐标为x的横截面以左梁上的外力列 出剪力方程和弯矩方程如下：
FS(x)
FA
qx
ql 2
qx
（0＜x＜l )
M
(
x)
FA
x
q
x2 2
ql x q x2 22
（0≤x≤l）
因在支座A、B处有集中力作用，剪力在此两截面处有突变，而 且为不定值，故剪力方程的适用范围用开区间的符号表示；弯矩值 在该两截面处没有突变，弯矩方程的适用范围用闭区间的符号表示。
目录
弯曲内力\用内力方程法绘制剪力图和弯矩图 3）绘剪力图和弯矩图。
ql/2
FS图
＋
M图
－ ql/2
ql 2/8
目录
弯曲内力\用内力方程法绘制剪力图和弯矩图 【例4.3】 绘制图示简支梁的剪力图和弯矩图。
【解】 1）求支座反力。 由梁的平衡方程，得
FA
Fb l
,
FB
Fa l
目录
弯曲内力\用内力方程法绘制剪力图和弯矩图
（a＜x≤l )
在集中力偶作用的C截面处，弯矩有突变而为不定值，故弯矩
剪力图和弯矩图教程解读
q＝5kN/m
A
19.75kN
2kN
C
8m
B
1m 2kN
（ Q）
+
x=3.95m
-
+
20.25kN 2kNm
（ M）
+
39kNm
解得
RA 1 m 4 P 2qa 10kN 3 a
1 2 P 5a RB 3a m q2a 0 2
（2）画内力图： CA段: q=0， 剪力图为水平直线； 弯矩图为斜值线。
QC QA P 3kN
DB段:q<0, 剪力图为斜直线； 弯矩图为抛物图为抛物线。
d 2 M ( x) (2)当q(x)朝下时， 2 q( x) 0 M图为上凹下凸。 dx 2 d M ( x) 当q(x)朝上时， dx2 q( x) 0 M图为上凸下凹。
(3) 在集中力作用处，M图发生转折。如果集中力向下，则M 图向下转折；反之，则向上转折。 (4) 在集中力偶作用处，M图产生突变，顺时针方向的集中力偶 使突变方向由上而下；反之，由下向上。突变的数值等于该集 中力偶矩的大小。 3. 弯矩图与剪力图的关系 (1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面上的剪力。 (2) 当FQ图为斜直线时，对应梁段的M图为二次抛物线。当FQ 图为平行于x轴的直线时，M图为斜直线。 (3) 剪力等于零的截面上弯矩具有极值；反之，弯矩具有 极值的截面上，剪力不一定等于零。左右剪力有不同正、负 号的截面，弯矩也具有极值。
(a<x<l) (0≤x≤l)
3.作剪力图和弯矩图
例题4 简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图和弯矩图。 解：1.求约束反力
单独考试建筑类理论复习十：梁的剪力图和弯矩图的绘制
建筑类专业总复习十梁的剪力图和弯矩图的绘制例题：如图所示，已知外伸梁BC，在C端有集中力F=20kN作用。
(1)求A、B支座的约束反力；(2)画出梁的剪力图和弯矩图。
1.在梁的无荷载作用区，剪力图一般为，弯矩图为；当剪力图为正时，弯矩图为。
2.弯矩图一定画在一侧，这是为了在混凝土中。
3.在集中力作用处剪力发生，弯矩图发生。
在集中力偶作用处梁的剪力图，弯矩图发生，其绝对值等于。
4.梁的控制截面包括梁的起、止截面，均布荷载的起、止截面，集中力和集中力偶作用处截面和。
5.在简支梁上作用均布荷载，则其剪力图为线，弯矩图为，弯矩的最大值出现在，其值为。
6.梁剪力使为正。
7.在梁的集中力作用处，其左右两侧截面上弯矩情况分析正确的是。
（）A.数值相同，符号相反B.数值不同，符号相同C.数值相同，符号相同D.数值不同，符号相反8.剪力为零的截面上，弯矩一定。
（）A.取最大值B.取最小值C.取极值D.为零9.受满跨均布荷载作用的一简支梁，长为4.0m，离支座1.0m处的弯矩为12kN·m，则该梁的最大弯矩为。
（）A.12kN·mB.4kN·mC.8kN·mD.16kN·m10.试画出图示悬臂梁的弯矩图。
11.作出ABC梁的剪力图和弯矩图。
12.如图所示外伸梁，请画出梁的剪力图与弯矩图。
13.一矩形截面木梁，其截面尺寸及荷载如图所示。
已知q=1.5kN/m，[σ]=10MPa，试计算：（1）A、B的支座反力。
（2）画出梁的内力图。
14.作出梁的剪力图和弯矩图。
剪力图和弯矩图4例题-弯矩图例题
02 在绘制剪力图时，需要将剪力值标在相应的位置 上，并使用箭头表示剪力的方向。
03 剪力图应与弯矩图一起绘制，以便更好地理解斜 梁的受力情况。
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简支梁的弯矩图绘制
根据简支梁的受力分析，可以确定跨 中截面和支座截面的弯矩值。
将确定的弯矩值按照比例绘制在相应 的位置上，连接各点即可得到弯矩图 。
简支梁的剪力图绘制
剪力图是表示剪力随截面位置变 化的图形。
根据简支梁的受力分析，可以确 定跨中截面和支座截面的剪力值。
将确定的剪力值按照比例绘制在 相应的位置上，连接各点即可得
剪力图和弯矩图4例题-弯矩图例 题 弯矩图例题二：悬臂梁 • 弯矩图例题三：连续梁 • 弯矩图例题四：斜梁
01 弯矩图例题一：简支梁
简支梁的受力分析
01
简支梁在均布载荷作用下，其跨 中截面只承受正弯矩，而支座截 面只承受负弯矩。
02
简支梁在集中载荷作用下，其跨 中截面和支座截面均承受弯矩， 但弯矩值不同。
到剪力图。
02 弯矩图例题二：悬臂梁
悬臂梁的受力分析
悬臂梁一端固定，另 一端自由，主要承受 垂直于梁轴线方向的 力。
悬臂梁的受力分析需 要考虑梁的长度、截 面尺寸、材料属性等 因素。
悬臂梁在自由端受到 集中力作用时，会产 生弯曲变形，并产生 弯矩。
悬臂梁的弯矩图绘制
根据受力分析，确定弯矩零点位置，通常在固定 端和自由端。
03
斜梁的剪力和弯矩随梁的长度和倾斜角度而变化。
斜梁的弯矩图绘制
根据斜梁的受力分析，可以确定弯矩的大小和 方向。
在绘制弯矩图时，需要将弯矩值标在相应的位 置上，并使用箭头表示弯矩的方向。
剪力图和弯矩图-课件(PPT-精)
02 剪力图和弯矩图的绘制
绘制步骤
确定受力点
首先确定梁的受力点，通常为 梁的两端或支撑点。
分析受力
分析梁所受的剪力和弯矩，确 定剪力和弯矩的大小和方向。
绘制剪力图和弯矩图
根据分析结果，在梁上标出剪 力和弯矩的大小和方向，并绘 制剪力图和弯矩图。
标注数据
在剪力图和弯矩图上标注相关 数据，如剪力和弯矩的大小、
3
优化施工图设计
通过分析剪力图和弯矩图，可以发现施工图设计 中的不足之处，并进行优化改进，提高施工图设 计的合理性和可行性。
在施工过程中的应用
监控施工过程
在施工过程中，通过实时监测剪 力图和弯矩图的动态变化，可以 及时发现施工中的问题，采取相
应的措施进行调整和处理。
评估施工效果
根据剪力图和弯矩图的监测结果， 可以对施工效果进行评估，判断 施工是否符合设计要求和质量标
计算公式
剪力Q=F*sin(a)，其中F为外力，a为 外力与杆件轴线的夹角；弯矩M=F*d， 其中F为外力，d为外力作用点到杆件 固定端的距离。
计算步骤
注意事项
在计算过程中应注意单位的统一，并 考虑杆件的固定端约束条件。
先确定杆件上各点的外力大小和方向， 然后根据公式计算各点的剪力和弯矩， 最后绘制剪力图和弯矩图。
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实例3
一斜梁在水平载荷作用下的剪力图 和弯矩图解读。
04 剪力图和弯矩图的应用
在结构设计中的应用
评估结构的承载能力
通过分析剪力图和弯矩图，可以确定结构在不同受力情况下的承 载能力，从而确保结构的安全性和稳定性。
优化结构设计
通过调整剪力图和弯矩图的分布和大小，可以优化结构设计，降低 材料消耗，提高结构的经济性和环保性。
习题课一：剪力图与弯矩图的绘制.概要
习题课一
例5-12
求支座反力。
FA= 13kN
FB=5kN
弯矩极值的计算。由 FQ 图
可知：FQ图在x=5.5m处和x轴相
交（即 FQ=0 ），弯矩在此处有 极值，且 Mmax=FB×2.5－×2.5×2.5/2
= 5×2.5－ 2×2.5×2.5/2=6.25kNm
习题课一
Questions/Comments？
A
4m
C 4m
D
4m
B
3m
E
2.画剪力图和弯矩图
(1)分段。根据剪力图和弯 矩图的分段规则将梁分为 AC、CD、DB、BE四段。
FS
x
M x
习题课一
(2)标值。
梁 段 7 AC
A+ C-
CD
C+ D-
DB
D+ B-
BE
B+ E-
F1 2kN M0 10kNm q 1kN
a
a
习题课一 例5-3 外伸梁受载如图。绘制梁的剪力图和弯矩图。
M0 160kNm q 20kN / m F0 20kN
F0 6kN
q 2kN / m
M0 6kNm
A
2m
C 8m
B D
2m
C 2m
A
3m
D
3m
B
F1 2kN M0 10kNm q 1kN / m
习题课一
1kN.m
A
FAY
1.5m
C
D
E
F
2kN
B
FBY
例5-5 简支梁受力的大小 和方向如图示。 试画出其剪力图和弯矩图。
剪力图和弯矩图(史上全面)剪刀图弯矩图特征
2
2
右端点D： Q
1 2
qa
;M
0
23
1、练习直接画内力图 P129 4、4－d、j（对称载荷）、m(反对称载荷)
同时可以提前讲内力图的对称关系 2、改错
见下页PPT 3、由Q图作M图和载荷图P135 4.16(b)
由M图作Q图和载荷图P135 4.17(a) 4、讲解组合梁的内力图P130 4.6(a)
P q
Pa 2
qa2 2
A
BM
x x
+ P
=
=+
A
B M1
Pa 2
+
+
q
qa2
A
B M2
2 +
x
29
三、对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷作用下，Q图反对称，M图对称；对称
结构在反对称载荷作用下，Q图对称，M图反对称。
30
[例8] 作下列图示梁的内力图。
P
PL
Q
x
0L 0.5P L 0.5P L
Q
特
征
x
x
x
C
x
Q2
x
C x
Q>0 Q<0 增函数 降函数 Q1–
M
斜直线
曲线
自左Q2向=P右折角 自左向右突变
图
x
x
x
x
x 与 M1 x
特
m
征M
M
M
M
M
反 M M2
增函数 降函数 碗状 馒头状 折向与P反向 M1 M220 m
简易作图法: 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作 图的方法。
[例4] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。
剪力图和弯矩图1(基础)
剪力图和弯矩图1(基础)x轴，。
以表(a)C (c) (b)（1）（2）（3）≤l (4) 以剪力图是平行于x轴的直线。
AC 段的剪力为正，故剪力图在x轴上方；BC段剪力为负，故剪力图在x轴之下，如图8-12(b)所示。
由式（2）与式（4）可知，弯矩都是x的一次方程，所以弯矩图是两段斜直线。
根据式（2）、（4）确定三点x?0，M(x)?0 Fabl x?a，x?l，M(x)?0 M(x)?由这三点分别作出AC段与BC段的弯矩图，如图8-12(c)。
例8-4 简支梁AB受集度为q的均布载荷作用，如图8-13(a)所示，作此梁的剪力图和弯矩图。
图8-13解（1）求支反力由载荷及支反力的对称性可知两个支反力相等，即FA?FB?（2）列出剪力方程和弯矩方程以梁左端A为坐标原点，选取坐标系如图所示。
距原点为x的任意横截面上的剪力和弯矩分别为ql2 ql?qx2 0＜x＜l (1)xql1M(x)?FAx?qx?x?qx2222 0≤x≤l (2) FQ(x)?FA?qx?（3）作剪力图和弯矩图由式（1）可知，剪力图是一条斜直线，确定其上两点后即可绘出此梁的剪力图（图8-13b）。
由式（2）可知，弯矩图为二次抛物线，要多确定曲线上的几点，才能画出这条曲线。
例如通过这几点作梁的弯矩图，如图8-13(c)所示。
由剪力图和弯矩图可以看出，在两个支座内侧的横截面上剪力为最大值：FQmax?ql2。
1Mmax?ql28，而在此截面上剪力FQ?0。
在梁跨度中点横截面上弯矩最大例8-5 图8-14所示简支梁，跨度为l，在C截面受一集中力偶m作用。
试列出梁的FQ(x)M(x)AB剪力方程和弯矩方程，并绘出梁的剪力图和弯矩图。
图8-14解（1）求支反力由静力平衡方程?MA(x)?0，?MB(x)?0得FA?FB?（2）列剪力方程和弯矩方程由于集中力m作用在C处，全梁内力不能用一个方程来表示，故以C为界，分两段列出内力方程mlml 0＜x≤a (1) AC段mM(x)?FAx?xl 0≤x＜a (2)FQ(x)?FA?ml a≤x＜l (3) BC段mM(x)?FAx?m?x?ml a≤x≤l (4)FQ(x)?FA?（3）画剪力图和弯矩图由式（1）、（3）画出剪力图，见图8-14(b)；由式（2）（4）画出弯矩图，见图8-14(c)。
5.1.2简易法绘制梁内力图(精)
C 2m
B
举 例 （ 一 ）
Q图(kN)
5
M图(kN. m)
10
特殊点:端点、分区点（外力变化点）和驻点等。
举 例 （ 二 ）
A
l
ql
ql2 2
10kN A B 4m C 2m
15
举 例 （ 三 ）
5kN
15kN
Q图(kN)
5
20
M图(kN. m)
6kN/m
A B 4m C 2m
3kN
15kN
举 例 （ 四 ）
举 例 （ 五 ）
举例（六）
课外习题（一）
课外习题水平线1点斜直线2点均布荷载段斜直线2点二次抛物线突变转折不变突变q0截面极值10kn2m2m10q图knm图kn
工程力学应用
一、简易法画剪力图、弯矩图
d Q x q x dx
dM ( x ) Q( x) dx
剪力图上某点处的切线斜率
等于该点处荷载集度的大小。
弯矩图上某点处的切线斜率
等于该点处剪力的大小。
dM 2 ( x) q( x) 2 dx
二、画剪力图和弯矩图的相关规律 荷载 Q图 M图
无荷载段 q =0 均布荷载段
水平线（1点）斜直线（2点） 二次抛物线 斜直线（2点） （2点或3点）
突变 M 不变 Q=0截面
转折 突变 极值
10kN A 2m
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BE 3m
2kN
x
(5)根据弯矩图特征表连线的弯矩图如图。
6kNm
x
6kNm
习题课一
[例 5-3] 悬臂梁受载如图，试绘制梁的剪力图和弯矩图。
q
M0 qa2
解：1.求支座反力。
A C
FB qa()
MB
3 2
qa2 (逆时针)
q a
a
2.画剪力图和弯矩图如
qa
图所示。
FS
DB a
x
qa
M
2qa2
1 qa 2
qa2
2
3 qa 2 2
x
习题课一
例题
例5-1 简支梁受载如图。绘制梁的剪力图和弯矩图。
q
F0 4qa M0 4qa2
A
C
D
B
2a
aa
习题课一
例5-2 简支梁受载如图。绘制梁的剪力图和弯矩图。
F0 6kN q 3kN/ m
M0 18kNm
BE 3m
(1)分段。根据剪力图和弯
x
矩图的分段规则将梁分为
AC、CD、DB、BE四段。 M
x
习题课一
(2)标值。
梁 段 AC
横截面 A+ CFS值(kN) 7 3 M值(kNm) 0 20
CD
C+ D-
1 -3 20 16
DB
D+ B-
-3 -3 6 -6
BE
B+ E-
22 -6 0
F1 2kN q 1kN/ m
Cx A
D
B
2m
3m
3m
6
(0 x 2)
FS
7kN
FS (x) 2x 11 (2 x 8)
1kN
0.5m
x
6x M (x) x2 11x 30
(0 xx 22))
M
6kN
(2 xx 55))
(xx251.15x)2264.25 (5 x 8)
M0 6kNm q 2kN/ m F0 6kN
A
C
D
B
2m
2m
2m
A
C
D
B
2m
3m
3m
q M1 qa2 F0 2qa M2 qa2
A
C
D
B
a
a
a
习题课一
例5-2 悬臂梁受载如图。绘制梁的剪力图和弯矩图。
q M0 qa2 F0 qa
A
CB
2a
a
习题课一 例5-2 悬臂梁受载如图。绘制梁的剪力图和弯矩图。
A
C
2m
8m
BD 2m
F0 6kN q 2kN/ m
CA
2m
3m
M0 6kNm
D
B
3m
F1 2kN q 1kN/ m
M0 10k Nm
F2 2kN
A
C
D
BE
4m
4m
4m 3m
例5-4
M=3kN.m,q=3kN/m,a=2m
解：求A、B处支反力
FAY=3.5kN;FBY=14.5KN 剪力图：如图，将梁分为三段 AC：q=0,FQC= FAY CB：q<0,FQB=-8.5kN BD：q<0,FQB=6kN 弯矩图： AC：q=0,FQC>0,直线,MC=7KN.M CB：q<0,抛物线,FQ=0,MB=6.04 BD：q<0,开口向下，MB=-6kN.m
习题课一
习题课一
——剪力图与弯矩图的绘制
余辉 yuh@
习题课一
[例 5-1] 简支梁受载如图，试建立梁的剪力方程和弯矩方程，
并作剪力图和弯矩图。 解：1.求支座反力
F0 6kN q 2kN/ m
M0 6kNm
FA 13kN() FB 5kN()
2.求剪力方程和弯矩方程
将其标在 FS－ x和 M－x
坐标系中。
5．根据微分关系连图线
O (-)
(-)
x
0.335
1.335
1.67
习题课一
1kN.m
解法2：1．确定约束力
A
CD B
FAY
Fs（ kN） 0.89
1.5m
1.5m
2kN
1.5m
FBY
1.11
（+）
FAy＝0.89 kN FFy＝1.11 kN
（-）
2．确定控制面为A、C 、D、B两侧截面。
M0 10k Nm
A
C
D
4m
4m
4m
(3)根据剪力图特征表连线的剪力图如图。 FS 7kN
(4)求弯矩的极值。由剪力图在C截面右侧 1m处和x轴相交，可知该处弯矩将出现极 大值。且
Mmax FA 5 q 5 5 2 F1 1
M
20.5kNm
3kN 1kN
1m
2 0k Nm 20.5kN m
A
q a
q
M0 qa2
C
DB
a
a
q F0 qa
M0 qa2
A
C
D
B
a
a
a
习题课一
例5-3 外伸梁受载如图。绘制梁的剪力图和弯矩图。
q
M0
1 2
qa2
F0 2qa
A
C BD
2a
aa
习题课一 例5-3 外伸梁受载如图。绘制梁的剪力图和弯矩图。
M0 160kNm q 20kN/ m F0 20kN
习题课一
习题课一
1kN.m
A CD EF B
FAY
1.5m
1.5m
2kN
1.5m
FBY
例5-5 简支梁受力的大小 和方向如图示。
试画出其剪力图和弯矩图。
解：1．确定约束力 根据力矩平衡方程
M A＝0， M B＝0
求得A、B 二处的约束力 FAy＝0.89 kN , FBy＝1.11 kN
2．确定控制面 在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力
6kNm 6.25kNm 5kN x
3.画剪力图和弯矩图
12kNm
习题课一
[例 5-2] 外伸梁受载如图，试绘制梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求支座反力
F1 2kN q 1kN/ m
M0 10k Nm
A
C
D
FA 7kN() FB 5kN()
4m
4m
4m
2.画剪力图和弯矩图 FS
F2 2kN
内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。
习题课一
1kN.m
A
CD E F B
3．建立坐标系
0.89 kN= FAY
FS (kN)
O
0.89
M (kN.m)
2kN
1.5m
1.5m
1.5m
1.11
(+)
(-)
建立
FBY
＝1.11 kN
系
FS－x
和
M－x
坐标
4．应用截面法确定控制 x 面上的剪力和弯矩值，并
3．从A截面左测开始画
剪力图。
习题课一
1kN.m
4．从A截面左测开始画
A
C D B 弯矩图。
FAY
1.5m
1.5m
2kN
1.5m
FBY
Fs（ kN）
0.89 M（ kN.m）
1.11
（+）
（-）
0.330
（-） （-）
1.330
1.665
从A左到A右 从A右到C左 从C左到C右 从C右到D左 从D左到D右 从D右到B左 从B左到B右
习题课一
A
FAy
q
例5-6 试画出梁剪力图
C B
D 和弯矩图。
4a
a qa
FBy
解：1．确定约束力
根据梁的整体平衡，由 M A＝0， M B＝0
求得A、B 二处的约束力
FAy＝
9 4
qa
,