湖南省长沙雅礼中学2019-2020学年高一上学期新生入学分班考试数学试题
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一（上）期中数学试卷（含答案解析）
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一（上）期中数学试卷1.一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)命题u 3x ER 9 x 2 + 2x + a<0n 的否定是()A. Vx G x 2 +2x + a < 0B. 3x E R . x 2 + 2x + a > 0C. Vx G R, x 2 + 2x + a > 0D. 3% e R. X 2+ 2x + a < 02.己知集合M = (x| - 1 < x < 2}t N = {x\x{x + 3) < 0},则 M n N =()3. A. [-3,2) B. (-3,2)成m(a>0)的值是()C.(TO]D. (-1,0)A. I B・〃 C.洁 D.法4.己知尸。
一1) = 2x + L 则/*(3)的值是(A. 5B.9C. 7D. 85.若实数a.bER 且a>b.则下列不等式恒成立的是（）B. ；>1A.事”2C. 2a>2bD. lg(a-b)>06.若集合A = {x\x > 一1},则()7.8. B. （0）QA C. {0} 6/4己知p ： ab > 0. 7： j+：N2・则〃与q 的关系是（）A. p 是q 的充分而不必要条件B. 〃是q 的必要而不充分条件C. p 是q 的充分必要条件D.以上答案都不对己知s b > 0,且o, b # 1, （e a ）b = e,函数，（x ） = log G x 与函数=万一"的图象可能是（）A. 0 G 4 D.9. A.k B. -k ,若.(2018)=上则『(-2018) =()C. 4 — kD.2 一化10.己知七y 是正实数，则F 列运算中正确的是（）A. 3lgx+lgy = 3也x + 3,&>rB. 31就*+'）= 3igx ・ 3lgyC・3'ex = 3官+ 3曹 D. 3噂E = 3也，3#IL若函数亦)={(4：)+；]〈I是&上的单调递增函数，则实数〃的取值范用是()A.(1,+8)B.[1,8)C. (4,8)D.[4,8)12.设«=Ini,b=2°-3,c=(：)2,则()A.a<c<bB.c<a<bC. a<b<cD. b<a<c二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知幕函数y=f(x)的图像过点(2,^2).贝炉(16)的值是________.*(沪+电)。
2024年湖南长沙新高一入学分班考数学模拟练习卷含答案
高一入学暨分班检测模拟试卷数学一､选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.1. 已知 aa 是 √13 的小数部分,则 aa (aa +6) 的值为A.√13B.4C.4−√13D.3√13−62.如果一个多边形的内角和是它外角和的 4 倍, 那么这个多边形的边数为A.6B.8C.9D.103.已知点()3,2P a a −−在第二象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A. B.C. D.4.如果外切的两圆1O 和2O 的半径分别为2和4，则半径为6，且与1O 和2O 都相切的圆有（）A.4个B.5个C.6个D.7个5.122022,,x x x …是2022个由1和1−组成的数，122022.202x x x ++…+=，则()()()22212202211.1x x x −+−+…+−=（ ）A.2021 B.4042 C.3640 D.48426.某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏"是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成.某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm ，高是6cm ；圆柱体底面半径是3cm ，液体高是7cm .计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏"中液体的高度为（）的A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm7.如果不等式组�4xx −aa ≥03xx −bb <0 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的组合情况(aa ,bb )共有（ ）种．A ．12B ．7C ．9D ．168.定义：平面直角坐标系中，点(),P x y 的横坐标x 的绝对值表示为x ，纵坐标y 的绝对值表示为y ，我们把点(),P x y 的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点(,)P x y 的折线距离，记为M x y =+（其中的“+”是四则运算中的加法）.若拋物线21y ax bx =++与直线y x =只有一个交点M ，已知点M 在第一象限，且24M ≤≤，令2242022t b a =−+，则t 的取值范围为（ ）A.20182019t ≤≤B.20192020t ≤≤C.20202021t ≤≤D.20212022t ≤≤二､填空题：本题共44分，共16分.9. 设点 PP (xx ,yy ) 在第二象限内,且 |xx |=3,|yy |=2 ,则点 PP 关于原点的对称点为___.10.若关于 xx 的分式方程 xx xx−2+2mm 2−xx =2mm 无解,则m 的值为___________. 11.正比例函数12y x =−与反比例函数2k y x=的图像相交于A B ､两点，已知点A 的横坐标为1，当12y y >时，x 的取值范围是___________.12.如图，ABC 中，10,8,6AB BC AC ===，点P 在线段AC 上，以P 为圆心，PA 长为半径的圆与边AB 相交于另一点D ，点Q 在直线BC 上，且DQ 是P 的切线，则PQ 的最小值为___________.三､解答题：本题共4小题，共52分.应写出文字说明､证明过程或演算步骤.13.如图，在同一坐标系中，直线1:1l y x =−+交x 轴于点P ，直线2:3l y ax =−过点P .（1）求a 的值；（2）点M N ､分别在直线12,l l 上，且关于原点对称，说明：点(),A x y 关于原点对称的点A ′的坐标为(),x y −−，求点M N ､的坐标和PMN 的面积.14.如图，在△ABC 中，D 在边AC 上，圆O 为锐角△BCD 的外接圆，连结CO 并延长交AB 于点E ．（1）若∠DBC ＝α，请用含α的代数式表示∠DCE ；（2）如图2，作BF ⊥AC ，垂足为F ，BF 与CE 交于点G ，已知∠ABD ＝∠CBF ．①求证：EB ＝EG ；②若CE ＝5，AC ＝8，求FG +FB 的值．15.）如图，将两个全等的直角三角形△ABD 、△ACE 拼在一起（图1），△ABD 不动．（1）若将△ACE 绕点A 逆时针旋转，连接DE ，M 是DE 的中点，连接MB 、MC （图2），证明：MB ＝MC ．（2）若将图1中的CE 向上平移，∠CAE 不变，连接DE ，M 是DE 的中点，连接MB 、MC （图3），判断并直接写出MB 、MC 的数量关系．（3）在（2）中，若∠CAE 的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB 、MC 的数量关系还成立吗？说明理由．16.在平面直角坐标系中，抛物线2:22(0)l y x mx m m =−−−>与x 轴分别相交于A B ､两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，设抛物线l 的对称轴与x 轴相交于点N ，且3OC ON =.（1）求m 的值；（2）将抛物线l 向上平移3个单位，得到抛物线l ′，设点P Q ､是抛物线l ′上在第一象限内不同的两点，射线PO QO ､分别交直线2y =−于点P Q ′′､，设P Q ′′､的横坐标分别为P Q x x ′′､，且4P Q x x ′′⋅=，求证：直线PQ 经过定点.常考答案一､选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. 【答案】：B2 【答案】D.3. 【答案】C4. 【答案】B5 【答案】C6. 【答案】B7 【答案】A ．8. 【答案】C二､填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.9.【答案】(3,-2)10.【答案】m 的值为1或1/211.【答案】{1x x <−或}01x <<12.【答案】4.8三､解答题：本题共4小题，共52分.应写出文字说明､证明过程或演算步骤.13.【答案】（1）3（2）1313,,,2222M N −− ，32PMN S = 【解析】 【分析】（1）由直线1l 求出点P 的坐标，再将点P 的坐标代入2l 方程中可求出a 的值；（2）由题意设(),1M x x −+ ，则(),1N x x −−，再将点N 的坐标代入直线2l 中可求出x ，从而可求得,M N 两点的坐标，进而可求出PMN 的面积.【小问1详解】对于直线1:1l y x =−+，当0y =时，1x =，所以()1,0P因为直线2:3l y ax =−过点()1,0P ，所以03a =−，得3a =，【小问2详解】由3a =得，2:33l y x =−设(),1M x x −+ ，则(),1N x x −−.又(),1N x x −−在2:33l y x =−上，所以133x x −=−−，解得12x =−， 则1313,,,2222M N −−所以1313322222PMN S OP OP =⋅+⋅= . 14.【答案】【分析】（1）根据圆周角定理即可解决问题；（2）①结合（1）利用三角形内角和定理即可解决问题；②作EM ⊥BE ，EN ⊥AC ，证明四边形EMFN 为矩形，再根据线段的和差即可解决问题．【解答】（1）解：如图，连结OD ，∵∠DOC ＝2∠DBC ＝2α，又∵OD ＝OC ，∴∠DCE＝90°﹣α；（2）①证明：∵∠ABD＝∠CBF，∴∠EBG＝∠ABD+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝∠DBC，设∠DBC＝α，由（1）得：∠DCE＝90°﹣α，∵BF⊥AC，∴∠FGC＝∠BGE＝α，∴∠EBG＝∠EGB，∴EB＝EG；②解：如图，作EM⊥BE，EN⊥AC，由①得：∠EBG＝α，∠ACE＝90°﹣α，∵BF⊥AC∴∠A＝90°﹣α，∴AE＝CE＝5，∵EN⊥AC，AC＝8，∴CN＝4，∴EN＝3，∵EM⊥BF，NF⊥BF，EN⊥AC，∴四边形EMFN为矩形，∴EN＝MF＝3，∵EB＝EG，EM⊥BG，∴BM＝GM，∴FG+FB＝FM﹣MG+FM+BM＝2FM＝6．15.【分析】（1）连接AM，根据全等三角形的对应边相等可得AD＝AE，AB＝AC，全等三角形对应角相等可得∠BAD＝∠CAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD＝∠MAE，然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD＝BE′，然后求出MB∥AE′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠MBC＝∠CAE，同理求出MC∥AD，根据两直线平行，同位角相等求出∠BCM ＝∠BAD ，然后求出∠MBC ＝∠BCM ，再根据等角对等边即可得证；（3）延长BM 交CE 于F ，根据两直线平行，内错角相等可得∠MDB ＝∠MEF ，∠MBD ＝∠MFE ，然后利用“角角边”证明△MDB 和△MEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得MB ＝MF ，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可．【解答】证明：（1）如图2，连接AM ，由已知得△ABD ≌△ACE ，∴AD ＝AE ，AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，∵MD ＝ME ，∴∠MAD ＝∠MAE ，∴∠MAD ﹣∠BAD ＝∠MAE ﹣∠CAE ，即∠BAM ＝∠CAM ，在△ABM 和△ACM 中，�AAAA =AAAA ∠AAAABB =∠AAAABB AABB =AABB ，∴△ABM ≌△ACM （SAS ），∴MB ＝MC ；（2）MB ＝MC ．理由如下：如图3，延长DB 、AE 相交于E ′，延长EC 交AD 于F ，∴BD ＝BE ′，CE ＝CF ，∵M 是ED 的中点，B 是DE ′的中点，∴MB ∥AE ′，∴∠MBC ＝∠CAE ，同理：MC ∥AD ，∴∠BCM ＝∠BAD ，∵∠BAD ＝∠CAE ，∴∠MBC ＝∠BCM ，∴MB ＝MC ；解法二：如图3中，延长CM 交BD 于点T ．∵EC ∥DT ，∴∠CEM ＝∠TDM ，在△ECM 和△DTM 中，�∠AACCBB =∠TTTTBB CCBB =TTBB ∠CCBBAA =∠TTBBTT ， ∴△ECM ≌△DTM （ASA ），∴CM ＝MT ，∵∠CBT ＝90°，∴BM ＝CM ＝MT ．（3）MB ＝MC 还成立．如图4，延长BM 交CE 于F ，∵CE ∥BD ，∴∠MDB ＝∠MEF ，∠MBD ＝∠MFE ， 又∵M 是DE 的中点，∴MD ＝ME ，在△MDB 和△MEF 中，�∠BBTTAA =∠BBCCMM ∠BBAATT =∠BBMMCC BBTT =BBCC，∴△MDB ≌△MEF （AAS ）， ∴MB ＝MF ，∵∠ACE ＝90°，∴∠BCF ＝90°，∴MB ＝MC ．16.【答案】（1）1m =；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由顶点式求得对称轴，由0x =处函数值求得C 点坐标，根据3OC ON =列方程求解即可；（2）设点,P Q ，结合原点可得直线PO QO ､的解析式，再由2y =−可得点Q P ′′､横坐标，由4P Q x x ′′⋅=可得()1212230x x x x −++=；设直线PQ 的解析式为y mx n =+，与l ′联立之后可得122x x m +=+，12x x n =−，代入()1212230x x x x −++=求得21n m =−−，继而求出答案【小问1详解】解：依题意得：22()2y x m m m =−−−−， ∴抛物线的对称轴为直线x m =，ON m m ∴==，在222y x mx m =−−−中，令0x =，则2y m =−−， ()0,2C m ∴−−，22OC m m ∴=−−=+， 3OC ON = ，23m m ∴+=，解得1m =；【小问2详解】将1m =代入抛物线l 得223y x x =−−， 如图，将抛物线l 向上平移3个单位后得到拋物线2:2l y x x ′=−， 点P Q ､是拋物线l ′上在第一象限内不同的两点，∴设点()()22111222,2,,2P x x x Q x x x −−， 由()()22111222,2,,2P x x x Q x x x −−分别可求得：()()122,2OP OQ y x x y x x =−=− 点P Q ′′､在直线2y =−上，∴点1222,2,,222P Q x x −−−−′′ −−， 4p Q x x ′′⋅=1222422x x −−∴⋅=−−，即()()12221x x −−=， 整理得()1212230x x x x −++=，设直线PQ 的解析式为y mx n =+，与l ′联立得： 222,2,y x x x x mx n y mx n=−−=+ =+ ， 整理得()220x m x n −+−=， 由根与系数的关系可得：12122,x x m x x n +=+=−， ()1212230x x x x −++= ，()2230n m ∴−−++=， 21n m ∴=−−，11∴直线PQ 的解析式为()21,21y mx m y m x =−−=−−， ∴当2x =时，1y =−，∴直线PQ 经过定点()2,1−。
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 命题“∃x ∈R ，x 2+2x +a ≤0”的否定是( )A. ∀x ∈R ，x 2+2x +a ≤0B. ∃x ∈R ，x 2+2x +a >0C. ∀x ∈R ，x 2+2x +a >0D. ∃x ∈R ，x 2+2x +a ≤02. 已知集合M ={x|−1<x <2}，N ={x|x(x +3)≤0}，则M ∩N =( )A. [−3,2)B. (−3,2)C. (−1,0]D. (−1,0)3. a 3√a⋅√a 45(a >0)的值是( )A. 1B. aC. a 15D. a 17104. 已知f(x −1)=2x +1，则f(3)的值是( )A. 5B. 9C. 7D. 85. 若实数a,b ∈R 且a >b ，则下列不等式恒成立的是( )A. a 2>b2B. ab >1 C. 2a>2b D. lg(a −b)>06. 若集合A ={x|x > −1}，则( )A. 0⊆AB. {0}⊆AC. {0}∈AD. ⌀∈A7. 已知p ：ab >0，q ：b a +ab ≥2，则p 与q 的关系是( )A. p 是q 的充分而不必要条件B. p 是q 的必要而不充分条件C. p 是q 的充分必要条件D. 以上答案都不对8. 已知a ，b >0，且a ，b ≠1，(e a )b =e ，函数f(x)=log a x 与函数g(x)=b −x 的图象可能是()A. B.C. D.9. 已知f(x)=ax 3+bx +2(ab ≠0)，若f(2018)=k ，则f(−2018)=( )A. kB. −kC. 4−kD. 2−k10. 已知x ，y 是正实数，则下列运算中正确的是( )A. 3lgx+lgy =3lgx +3lgyB. 3lg(x+y)=3lgx ·3lgyC. 3lg x ·lg y=3lg x +3lg y D. 3lg (xy)=3lg x ·3lg y11. 若函数f (x )={a x , x ≥1(4−a 2)x +2, x <1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是( )A. (1,+∞)B. [1,8)C. (4,8)D. [4,8) 12. 设a =ln 13，b =20.3，c =(13)2，则( )A. a <c <bB. c <a <bC. a <b <cD. b <a <c二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知幂函数y =f(x)的图像过点(2,√2)，则f(16)的值是________．14. (14)−2+(6√2)0−2713=_______． 15. 定义在R 上的偶函数f(x)在(−∞,0]上递减，f(−1)=0，则满足f(log 2x)>0的x 的取值范围是______ ．16. 已知函数f (x )=√2−x log 2(2x−1)，则函数f (x )的定义域为________． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知f(x)=x 2−(a +b)x +3a ．(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,3]，求实数a ，b 的值；(2)若b =3，求不等式f(x)>0的解集．18. 已知函数f(x)=a x−1(x ≥0)的图象经过点(2,12)，其中a >0且a ≠1．(1)求a 的值；(2)求函数y =f(x)(x ≥0)的值域．19. 设f(x)是R 上的奇函数，且当x ∈[0,+∞)时，f(x)=x(x +3x).求：(1)f(−8)；(2)f(x)在R上的解析式．20.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：ℎ)间的关系为P=P0e−kt，其中P0，k是正的常数.如果在前5h消除了10%的污染物，那么(1)10ℎ后还剩百分之几的污染物？(2)污染物减少50%需要花多少时间(精确到1ℎ)？(lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)21.已知函数f(x)=3x2+bx+c，不等式f(x)>0的解集为(−∞,−2)∪(0,+∞)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对于任意的x∈[−2,2]，f(x)+m≤3都成立，求实数m的最大值．22.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c，其中常数a，b，c∈R．(1)若f(3)=f(−1)=−5，且f(x)的最大值是3，求函数f(x)的解析式；(2)a=1，若对任意的x1，x2∈[−1,1]，有|f(x1)−f(x2)|≤4，求b的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x ∈R ，x 2+2x +a ≤0”的否定是：∀x ∈R ，x 2+2x +a >0．故选：C ．利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．2.答案：C解析：【分析】本题主要考查了一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查学生的计算能力，属于基础题． 根据题意求出集合N ，从而即可得M ∩N ．【解答】解：∵集合N ={x|x(x +3)≤0}，∴N ={x|−3≤x ≤0}，又∵集合M ={x|−1<x <2}，∴M ∩N =(−1,0]，故选C ．3.答案：D解析：【分析】本题考查了分数指数幂的运算，属于基础题．将根式化为分数指数幂的形式，从而计算．【解答】 解：3√a⋅√a 45>0)=a 3·a −12·a −45 =a 3−12−45=a 1710． 故选D ．4.答案：B解析：本题考查函数的解析式的求法，考查计算能力．直接利用函数的解析式，求解函数值即可．【解答】解：f(x−1)=2x+1，则f(3)=f(4−1)=2×4+1=9．故选：B．5.答案：C解析：【分析】本题考查不等式的性质，是基础题．只需对各个选项逐一验证即可．【解答】解：对于A，B，a=1，b=−2不成立；对于D，a=12，b=13不成立，对于C，根据函数的图象与不等式的性质可知：当a>b时，2a>2b为正确选项，故选C．6.答案：B解析：【分析】本题考查元素与集合的关系，集合与集合之间的关系，属于基础题．根据元素和集合之间的关系以及集合和集合之间的关系进行解答，对各个选项逐一判断．【解答】解：集合A={x|x>−1}，则0∈A，{0}⊆A，ϕ⊆A，故选B．7.答案：C解析：本题考查了充分必要条件，考查基本不等式，属于基础题．当ab>0时，则ba >0，ab>0，利用基本不等式可得ba+ab≥2；当ba+ab≥2时，即(a−b)2ab≥0，故ab>0.据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：若ab>0，则ba >0，ab>0，∴ba +ab≥2，当且仅当ba=ab时等号成立，故p⇒q成立．若ba +ab≥2，则a2+b2ab≥2，∴a2+b2−2abab ≥0，即(a−b)2ab≥0．∵(a−b)2≥0，∴ab>0，故q⇒p成立，即p是q的充分必要条件，故选C．8.答案：B解析：【分析】本题考查了函数图象的应用，涉及到对数函数、指数函数以及互为反函数性质的应用．通过化简，得到f(x)=log a x与g(x)=a x(a>0,a≠1)互为反函数，故f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称，结合选项得到结果．【解答】解：∵(e a)b=e，∴ab=1，∴b=1a，∴g(x)=b−x=a x，∴f(x)=log a x与g(x)=a x(a>0,a≠1)互为反函数，∴f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称，故选B．9.答案：C解析：解：f(2018)=a⋅20183+b⋅2018+2=k；∴a⋅20183+b⋅2018=k−2；∴f(−2018)=−a⋅20183−b⋅2018+2=−k+2+2=4−k．根据f(2018)=k 即可得出a ⋅20183+b ⋅2018=k −2，从而可求出f(−2018)．考查奇函数的定义，已知函数求值的方法．10.答案：D解析：【分析】本题考查指对数的运算．根据指对数的运算法则求解．【解答】解：根据指数与对数的运算法则可知，3lg x+lg y =3lg x ·3lg y ，故A 错，B 错，C 错；D 中，3lg(xy)=3lg x +lg y =3lg x ·3lg y ，正确故选D ．11.答案：D解析：【分析】本题考查函数的单调性，考查学生对分段函数单调性质的理解，注意数形结合思想在分析本题中的应用．欲使函数f(x)在R 上递增，须有f(x)在(−∞,1)，[1,+∞)上递增，且满足(4−a 2)·1+2≤a 1，联立解不等式组即可．【解答】解：因为函数f(x)是R 上的增函数，所以有{a >14−a 2>0(4−a 2)⋅1+2≤a 1⇒{a >1a <8a ≥4⇒4≤a <8， 故选D ． 12.答案：A解析：【分析】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用指数函数、对数函数的性质直接求解．【解答】解：∵a =ln 13<ln1=0，b =20.3>20=1，0<c =(13)2<(13)0=1， ∴a <c <b ．故选：A ．13.答案：4解析：【分析】本题考查了幂函数和待定系数法．利用待定系数法求出幂函数的解析式，再根据所得函数的解析式计算函数的值得结论．【解答】解：∵设幂函数解析式y =x α，其图象过点(2,√2)，则2α=√2，∴α=12，故函数的解析式为f(x)=√x ， ∴f(16)=4．故答案为4． 14.答案：14解析：【分析】本题考查指数幂的运算．根据幂的运算即得答案．【解答】解：(14)−2+(6√2)0−2713=42+1−(33)13=16+1−3=14． 故答案为14．15.答案：(0,12)∪(2,+∞)解析：解：∵偶函数f(x)在(−∞,0]上递减，f(−1)=0，∴函数f(x)在(0,+∞]上递增，f(1)=0，则f(log 2x)>0等价为f(|log 2x|)>f(1)，即|log 2x|>1，即log 2x >1或log 2x <−1，得x >2或0<x <12，故答案为：(0,12)∪(2,+∞)根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化，结合绝对值不等式以及对数不等式的解法进行求解即可．本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键． 16.答案：(12,1)∪(1,2)解析：【分析】本题考查函数的定义域，涉及对数函数的性质，属于基础题．【解答】解：由条件可知{2−x ≥02x −1>0log 2(2x −1)≠0，解得{x ≤2x >12x ≠1，所以12<x ≤2，且x ≠1．则函数f (x )的定义域为(12,1)∪(1,2)．故答案为(12,1)∪(1,2)． 17.答案：解：(1)∵函数f(x)=x 2−(a +b)x +3a ，当不等式f(x)≤0的解集为[1,3]时，方程x 2−(a +b)x +3a =0的两根为1和3，由根与系数的关系得{a +b =1+33a =1×3, 解得a =1，b =3；(2)当b =3时，不等式f(x)>0可化为x 2−(a +3)x +3a >0，即(x −a)(x −3)>0；∴当a >3时，原不等式的解集为：{x|x <3或x >a}；当a <3时，原不等式的解集为：{x|x <a 或x >3}；当a =3时，原不等式的解集为：{x|x ≠3,x ∈R}．综上可得：当a <3时，原不等式的解集为：(−∞,a)∪(3,+∞)，当a =3时，原不等式的解集为：(−∞,3)∪(3+∞)，当a >3时，原不等式的解集为：(−∞,3)∪(a +∞)．解析：本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法和应用问题，是基础题目．(1)由一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求出a 、b 的值；(2)利用分类讨论法求出b =3时不等式f(x)>0的解集．18.答案：解：(1)由题意得f(2)=a 2−1=a =12所以a =12(2)由(1)得f(x)=(12)x−1(x ≥0)因为函数f(x)=(12)x−1在[0,+∞)上是减函数所以当x =0时f(x)由最大值所以f(x)max =2所以f(x)∈(0,2]所以函数y =f(x)(x ≥0)的值域为(0,2]．解析：(1)由f(x)的图象过点(2,12)所以f(2)=a 2−1=a =12即a =12．(2)先判断函数f(x)=(12)x−1在[0,−∞)上是减函数，所以f(x)max =2，所以f(x)∈(0,2]．本题属于基础题型主要考查利用函数的单调性求函数的最值，在高考中以选择题或填空题的形式考查． 19.答案：解：(1)∵当x ∈[0,+∞)时，f(x)=x(x +3x)，∴f(8)=8×(8+24)=256，∵f(x)是R 上的奇函数，∴f(−8)=−f(8)=−256；(2)设x <0，则−x >0，∵当x ∈[0,+∞)时，f(x)=x(x +3x)，∴f(−x)=−x(−x −3x)=x(x +3x)，∵f(x)是R 上的奇函数，∴f(x)=−f(−x)=−x(x +3x)，综上得，f(x)={x(x +3x),x ≥0−x(x +3x),x <0．解析：(1)根据解析式先求出f(8)，由奇函数的性质求出f(−8)；(2)设x <0则−x >0，代入解析式化简得f(−x)，由奇函数的性质求出f(x)，利用分段函数表示出 f(x)．本题考查了利用函数奇偶性的性质求函数值和解析式，考查转化思想，属于基础题．20.答案：解：(1)由P =P 0e −kt ，可知，当t =0时，P =P 0，当t =5时，P =(1−10%)P 0，于是有(1−10％)P 0=P 0e −5k ，解得k =−15ln0.9，那么P =P 00.9t5，∴当t =10时，P =0.81P 0=81%P 0．∴10个小时后还剩81%的污染物；(2)当P =50%P 0时，有，解得，∴污染物减少50%大约需要花33个小时．解析：本题考查了函数模型的选择及应用，关键是对题意的理解，由题意正确列出相应的等式，考查了计算能力，是中档题．(1)由5小时后剩留的污染物列等式求出P =P 0e −kt 中k 的值，得到具体关系式后代t =10求得10个小时后还剩污染物的百分数；(2)由污染物减少50%，即P =50%P 0，列等式，即可求解污染物减少50%所需要的时间． 21.答案：解：(1){f(0)=0f(−2)=0，可得{c =012−2b =0，解得{c =0b =6， ∴f(x)=3x 2+6x ； (2)f(x)+m ≤3即m ≤−3x 2−6x +3，而x ∈[−2,2]时，函数y =−3x 2−6x +3的对称轴为：x =−1，开口向下，所以函数的最小值为f(2)=−21，∴m ≤−21，实数m 的最大值为−21．解析：本题考查函数与方程的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．(1)利用二次不等式的解集，列出方程组，求解即可．(2)通过分离变量，利用二次函数的性质，求解函数的最值推出结果．22.答案：解：(1)由题意得：{9a +3b +c =−5a−b +c =−54ac−b 24a=3， 解得：a =−2，b =4，c =1，∴f(x)=−2x 2+4x +1；(2)函数f(x)=x 2+bx +c 对任意的x 1，x 2∈[−1,1]，有|f(x 1)−f(x 2)|≤4恒成立， 即f(x)max −f(x)min ≤4，记f(x)max −f(x)min =M ，则M ≤4．当|−b 2|>1，即|b|>2时，M =|f(1)−f(−1)|=|2b|>4，与M ≤4矛盾；当|−b 2|≤1，即|b|≤2时，M =max{f(1),f(−1)}−f(−b 2)=f(1)+f(−1)+|f(1)−f(−1)|2−f(−b 2)=(1+|b|2)2≤4，解得：|b|≤2，即−2≤b ≤2，综上，b 的取值范围为−2≤b ≤2．解析：(1)结合题意得到关于a ，b ，c 的方程组，解出即可；(2)若对任意的x 1，x 2∈[−1,1]，有|f(x 1)−f(x 2)|≤4，f(x)max −f(x)min ≤4，结合二次函数的图象和性质分类讨论，可得实数b 的取值范围．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．。
湖南省长沙市雅礼中学2019_2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)
湖南省长沙市雅礼中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分）1.命题“2000,10x x x ∃∈++<R ”的否定为（ ） A. 2000,10x x x ∃∈++≥RB. 2000,10x x x ∃∈++≤RC. 2,10x R x x ∀∈++≥ D. 2,10x x x ∀∉++≥R【答案】C 【解析】 【分析】特称命题的否定为全称命题。
【详解】由题意得原命题的否定为2,10x R x x ∀∈++≥. 故选C.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.2.已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A. }{43x x -<<B. }{42x x -<<-C. }{22x x -<<D.}{23x x <<【答案】C 【解析】 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．3.2的结果为（ ）A. 32aB. 16a C. 56a D. 65a【答案】C 【解析】 【分析】利用同底数幂运算法则完成计算.75222266271362a a aa a aa-====⋅，故选：C【点睛】本题考查同底数幂的计算，难度较易.一般有：rsr sa a a+⋅=，rr s s a a a-=. 4.若2(21)2f x x x +=-，则(2)f 的值为（ ）A. 34-B.34C. 0D. 1【答案】A 【解析】 【分析】先令212x +=得12x =，代入原式，即可求出结果. 【详解】令212x +=得12x =，代入2(21)2f x x x +=-可得：2113(2)2224⎛⎫=-⋅=- ⎪⎝⎭f .故选：A【点睛】本题主要考查由解析式求函数值，利用赋值法即可求解，属于基础题型. 5.若,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是( ) A. 22a b >B.11a b< C. ||||a c b c >D.2211a bc c >++ 【答案】D 【解析】【分析】利用不等式的性质对四个选项逐一判断.【详解】选项A: 0,1a b ==-，符合a b >，但不等式22a b >不成立，故本选项是错误的； 选项B:当0,1a b ==-符合已知条件，但零没有倒数，故11a b<不成立 ，故本选项是错误的；选项C:当0c =时，a c b c >不成立，故本选项是错误的； 选项D:因为210c +>，所以根据不等式的性质，由a b >能推出2211a bc c >++，故本选项是正确的，因此本题选D.【点睛】本题考查了不等式的性质，结合不等式的性质，举特例是解决这类问题的常见方法. 6.设集合{}1,0,2A =-，集合{}|2B x x A x A 且=-∈-∉，则B =（ ） A. {}1B. {}2-C. {}1,2--D.{}1,0-【答案】A 【解析】试题分析：根据集合B 的定义可得，当1x =-时，23x A -=∉，所以1x B -=∈；当0x =时，22x A -=∈，所以0x B -=∉；当2x =时，20x A -=∈，所以2x B -=-∉；所以{}1B =.考点：集合的基本运算.7.若0,0a b >>，则“4a b +<”是“4ab <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，可直接判断出结果.【详解】因为0,0a b >>，由4a b +<可得：4≤+<a b ，因此4ab <；即“4a b +<”是“4ab <”的充分条件； 若4a =，18=b ，满足4ab <，但是不满足4a b +<，因此由“4ab <”不能推出“4a b +<”，即“4a b +<”不是“4ab <”的必要条件. 因此，“4a b +<”是“4ab <”的充分不必要条件. 故选：A【点睛】本题主要考查命题的充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.8.已知0a >，且1a ≠，函数log ,,xa y x y a y x a ===+在同一坐标系中的图象可能是( )A. B. C. D.【答案】A 【解析】由题可知，当底数a>1时，指数函数与对数函数均为增函数，直线与y 轴的截距大于1，当底数0<a<1时，指数函数与对数函数均为减函数，直线与y 轴的截距小于1，故选A.9.已知532()1(,f x ax bx x x a b =++++为常数)，若(2)11f =，则(2)f -=（ ）A. 11-B. 1-C. 0D. 1【答案】B 【解析】 【分析】先由题意求出3284+=a b ，再直接计算(2)f -，即可得出结果. 【详解】因532()1(,f x ax bx x x a b =++++为常数)，由(2)11f =得：32842111++++=a b ，即3284+=a b ；因此(2)328421431-=--+-+=-+=-f a b . 故选：B【点睛】本题主要考查求函数的值，熟记函数概念即可，属于常考题型. 10. 已知x ，y 为正实数，则（ ） A. 2lgx+lgy =2lgx +2lgy B. 2lg （x+y ）=2lgx •2lgy C. 2lgx•lgy =2lgx +2lgy D. 2lg （xy ）=2lgx •2lgy【答案】D 【解析】因为a s+t=a s•a t，lg （xy ）=lgx+lgy （x ，y 为正实数）， 所以2lg （xy ）=2lgx+lgy =2lgx •2lgy ，满足上述两个公式， 故选D ．11.已知函数()25,1,1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. [)3,0-B. (,2]-∞-C. []3,2--D.(),0-∞【答案】C 【解析】 【分析】首先保证()f x 在每一段上都为单调递增；再根据在R 单调增得分段处函数值的大小关系，可得a 的范围.【详解】当1x ≤时，()25f x x ax =---若函数为增函数，则：12a-≥，解得：2a ≤-当1x >时，()a f x x=若函数为增函数，则0a <()f x 在R 上为增函数，则15a a ---≤，解得：3a ≥-综上所述：[]3,2a ∈-- 本题正确选项：C【点睛】本题考查根据分段函数的单调性求解参数范围的问题，易错点是忽略分段处函数值的大小关系，造成求解错误.12.设1311ln ,log 22a b ==，则 （ ） A. 0a b ab +<<B. 0ab a b <+<C. 0a b ab +<<D.0ab a b <<+【答案】B 【解析】分析：先分析出ab<0,a+b<0，再利用作差法比较ab a b +和的大小关系得解. 详解：由题得1ln2a =＜ln1=0,131log 2b =>13log 10=. 所以ab<0. 1311ln 211ln 3lnlog ln 2ln 2(1)ln 2022ln 3ln 3ln 3a b -+=+=-+=-=⋅<. 所以11331111ln 2ln 2()ln log ln log ln 2ln 22222ln 3ln 3ab a b ab a b -+=--=⋅--=-⋅+-3lnln 21ln 3ln 212ln 2(1)ln 2ln 20ln 3ln 3ln 3ln 3e ---+-=⋅=⋅<，所以ab a b <+. 故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查实数大小的比较和对数函数的性质，考查对数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本运算能力.(2)解答本题的关键是对数的运算. 二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知幂函数()y f x =的图象过点(，则()9f =______．【答案】3 【解析】 【分析】先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数()y f x =的解析式，再求()9f 的值.【详解】设()ay f x x ==，由于图象过点(,12,2aa ==， ()12y f x x ∴==，()12993f ∴==，故答案为3.【点睛】本题考査幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.14.32==___________ 【答案】52【解析】 【分析】先由题意得到1134+=a a =，即可求出结果.【详解】32=，所以294=，即1924+-=a a ，所以1174+=a a ，52===. 故答案为：52【点睛】本题主要考查根式的化简求出，熟记根式的运算性质即可，属于常考题型. 15.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________.【答案】(1,3)- 【解析】 因为()f x 是偶函数，所以不等式(1)0(|1)(2)f x f x f ->⇔-，又因为()f x 在[0,)+∞上单调递减，所以12x -<，解得13x -<<.考点：本小题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性，考查绝对值不等式的解法，熟练基础知识是关键.16.若函数()(1)ln(2)f x a ax =--在区间()0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是_____________【答案】()(],01,2-∞⋃ 【解析】 【分析】根据题意，结合对数型复合函数的单调性，分别讨论1a >，1a =，01a <<，0a =，0a <五种情况，即可得出结果.【详解】当1a >时，2t ax =-单调递减，10a ->，因此()(1)ln(2)f x a ax =--在定义域内是减函数，为使函数()(1)ln(2)f x a ax =--在区间()0,1上是减函数，只需220->-≥ax a ，即2a ≤，所以12a <≤；当1a =时，()0f x =非增非减，不满足题意；当01a <<时，2t ax =-单调递减，10a -<，因此()(1)ln(2)f x a ax =--在定义域内是增函数，不满足题意；当0a =时，()ln 2=-f x 非增非减，不满足题意；当0a <时，2t ax =-单调递增，10a -<，因此()(1)ln(2)f x a ax =--在定义域内是减函数，为使()(1)ln(2)f x a ax =--在区间()0,1上是减函数，只需220->>ax 显然成立，因此0a <满足题意；综上，实数a 的取值范围是()(],01,2-∞⋃. 故答案为：()(],01,2-∞⋃【点睛】本题主要考查由对数型复合函数的单调性求参数，熟记对数函数以及一次函数的单调性即可，属于常考题型.三、解答题（共6小题，共70分）17.若不等式2(1)40a x x b --+>的解集是{}31x x -<<.（1）求,a b 的值；（2）若关于x 的不等式230ax mx ++≥的解集为R ，求m 的取值范围. 【答案】（1）3a =，6b =；（2）66-≤≤m . 【解析】 【分析】（1）由不等式解集，得到3-和1是方程2(1)40--+=a x x b 的两个根，根据根与系数关系，列出方程组求解，即可得出结果；（2）根据题意得到24330∆=-⨯⨯≤m ，求解，即可得出结果.【详解】（1）因为不等式2(1)40a x x b --+>的解集是{}31x x -<<，所以3-和1是方程2(1)40--+=a x x b 的两个根；所以10431131a a ba⎧⎪-<⎪⎪=-+⎨-⎪⎪=-⎪-⎩，解得63b a =⎧⎨=⎩； （2）由（1），不等式230ax mx ++≥的解集为R ，可化为2330++≥x mx 的解集为R ， 因此，只需24330∆=-⨯⨯≤m ，解得66-≤≤m .【点睛】本题主要考查由不等式的解集求参数，以及一元二次不等式恒成立的问题，熟记三个二次之间关系即可，属于常考题型.18.已知函数()(0xf x a a =>且1)a ≠的图象经过点()2,9.（1）求a 的值；（2）b R ∈，比较(2)f b 与2(1)f b +的大小.【答案】（1）3a =；（2）2(1)(2)+≥f b f b . 【解析】 【分析】（1）由函数所过定点代入函数解析式，即可求出结果；（2）作差法比较2b 与21b +的大小，再由指数函数单调性，即可得出结果. 【详解】（1）因为函数()(0xf x a a =>且1)a ≠的图象经过点()2,9，所以29a =，解得3a =；（2）因为b R ∈，2212(1)0+-=-≥b b b ，所以212+≥b b ； 又指数函数()3xf x =单调递增，因此2(1)(2)+≥f b f b .【点睛】本题主要考查由函数过定点求参数，以及由指数函数单调性比较大小，熟记指数函数的及其性质即可，属于常考题型.19.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()22f x x x =-+.（1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的值域.【答案】（1）2222,0()0,022,0x x x f x x x x x ⎧---<⎪==⎨⎪-+>⎩；（2）(]{}[),101,-∞-+∞U U .【解析】 【分析】（1）根据0x >时的解析式，先求出0x <时，22()()2222-=-+=+++f x x x x x ，根据奇函数的定义，即可得出结果；（2）分情况讨论，结合二次函数的性质，即可得出结果. 【详解】（1）因为当0x >时，2()22f x x x =-+，因此0x <时，0x ->，22()()2222-=-+=+++f x x x x x ，又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，()()f x f x -=-，因此22()()()2222+-=-=-+=++f x f x x x x x ，即2()22=---f x x x ； 故，函数()f x 的解析式为2222,0()0,022,0x x x f x x x x x ⎧---<⎪==⎨⎪-+>⎩；（2）由（1），当0x <，22()22(1)1=--=---+f x x x x ，在(,1)-∞-上单调递增，在(1,0)-上单调递减，因此max ()(1)1=-=-f x f ；当0x >时，22()22(1)1f x x x x =-+=-+，在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，因此min ()(1)1f x f ==；又(0)0f =；所以，函数()f x 的值域为(]{}[),101,-∞-+∞U U .【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求解析式，以及求分段函数的值域问题，熟记函数奇偶性的概念，以及二次函数的性质即可，属于常考题型.20.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量(/)P mg L 与时间t(h)之间的关系为kt 0e P P -=．已知5h 后消除了10%的污染物，试求：（1）10h 后还剩百分之几的污染物．（2）污染物减少50%所需要的时间．（参考数据：ln 20.7≈，ln3 1.1≈，ln5 1.6≈）．【答案】（1）10个小时后还剩81%的污染物；（2）污染物减少50%所需要的时间为35个小时.【解析】试题分析：（1）由5小时后剩留的污染物列等式求出kt 0eP P -=中k 的值，得到具体关系式后代t=10求得10个小时后还剩污染物的百分数；（2）由污染物减少50%，即P=50%P 0列等式1ln0.9t 50050%e P P =求解污染物减少50%所需要的时间．试题解析：（1）由kt 0e P P -=，可知0t =时，0P P =，当5t =时，()5k 5k 00110%ee 0.9P P P --=-=⇒=， 所以1ln0.95k =-，当10t =时，1ln0.910ln0.815000e e 81%P P P P ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭===，所以10个小时后还剩81%的污染物． （2）当050%P P =时，有1ln0.9t 50050%e P P =， 解得1lnln2ln20.7255559ln9ln10ln2ln52ln30.7 1.52 1.1ln 10t -=⋅=⋅=⋅=⋅-+-+-⨯ 35=，所以污染物减少50%所需要的时间为35个小时．点睛：解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况.21.设函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R的奇函数. （1）若(1)0f >，试求不等式2(2)(4)0f x x f x ++->解集；（2）若3(1)2f =，且22()4()x xg x a a f x -=+-，求()g x 在[)1,+∞上的最小值. 【答案】（1）(,4)(1,)-∞-+∞U ；（2）2-.【解析】【分析】先由函数是奇函数求出1k =，得到()x x f x a a -=-；（1）根据(1)0f >得到1a >，1())(-=->x x f x a a a 单调递增；利用单调性转化不等式，求解，即可得出结果；（2）先由3(1)2f =得2a =，()()2()224222--=---+x x x x g x ，令22x x t -=-，先求出32t ≥，得到22()42(2)2=-+=--g t t t t 的单调性，从而可求出最小值. 【详解】因为函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R 的奇函数，所以00(0)10=-=-=f ka a k ，所以1k =，()x x f x a a-=-；经检验满足题意 （1）由(1)0f >得10a a ->，解得1a >或1a <-（舍）； 又指数函数(1)x y a a =>单调递增，(11)⎛⎫= ⎪⎝⎭>x a y a 单调递减； 因此1())(-=->x xf x a a a 单调递增；又不等式2(2)(4)0f x x f x ++->可化为2(2)(4)+>-f x x f x ；所以224x x x +>-，即2340x x +->，解得1x >或4x <-；即不等式的解集为：(,4)(1,)-∞-+∞U ； （2）因为3(1)2f =，所以132a a -=，即22320a a --=，解得2a =或12a =-（舍）； 因此()22x x f x -=-，所以()()()222()22422224222----=+--=---+x x x x x x x x g x ， 令22x x t -=-，易知22x x t -=-在[)1,x ∈+∞上单调递增，因此13222t ≥-=， 则23()42,2=-+≥g t t t t ， 又22()42(2)2=-+=--g t t t t 在3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(2,)+∞上单调递增；因此min ()(2)2==-g t g ，即()g x 在[)1,+∞上的最小值为2-.【点睛】本题主要考查由指数函数的单调性解不等式，以及求指数型复合函数的最值，熟记指数函数与二次函数的性质，以及函数奇偶性即可，属于常考题型.22.已知函数2()(,)f x x bx c b c R =++∈，对任意的x ∈R ，恒有2()x b f x +≤.（1）证明：当0x ≥时，2()()f x x c ≤+；（2）若对满足题设条件的任意,b c ，不等式22()()()f c f b M c b -≤-恒成立，求M 的最小值.【答案】（1）证明过程见详解；（2）32. 【解析】【分析】（1）先由题意得到2(2)0x b x c b +-+-≥恒成立，得2(2)4()0b c b ∆=---≤，得到214b c ≥+，推出1c ≥，≥=c b ，得到2()0c b c c b -=+->，再由作差法，即可得出结论成立；（2）先由（1）得到c b ≥，分别讨论c b >和c b =两种情况，构造适当的函数，求出取值范围，即可得出结果.【详解】（1）证明：由题设，对任意的x ∈R ，恒有22+≤++x b x bx c ，即2(2)0x b x c b +-+-≥恒成立，所以2(2)4()0b c b ∆=---≤，即214b c ≥+.于是1c ≥；且≥=c b ，因此2()0c b c c b -=+->. 故当0x ≥时，有2()()(2)(1)0+-=-+-≥x c f x c b x c c ，即当0x ≥时，2()()f x x c ≤+；（2）由（1）知，c b ≥， 当c b >时，有2222222()()2--+-+≥==--+f c f b c b bc b c b M c b c b c b， 令=b t c ，则11t -<<，所以2121+=-++c b c b t ， 而函数1()2(11)1=--<<+g t t t 的值域为3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， 因此，当c b >时，M 的取值集合为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； 当c b =时，由（1）知，2b =±，2c =.此时()()8==-f c f b 或0，220-=c b ， 从而223()()()2-≤-f c f b c b 恒成立。
2019-2020年湖南省雅礼中学高一(上)入学考试语文试卷【含答案】
2019-2020年湖南省雅礼中学高一（上）入学考试语文试卷满分: 120 分时间: 120分钟一、积累与运用(12 分)1.下列词语中加点字注音没有错误的一项是( ) (2 分)A.凫．水(fú) 愧怍．(zà) 中流砥．柱(dǐ) 快．快不乐(yāng)B.惬．意(qiè) 骊．歌(lí) 相．形见绌(xiāng) 梦寐．以求(mèi)C.追溯．(sù) 踌躇．(zhù) 囊．萤映雪(ráng) 参差．不齐(cī)D.璀璨．(càn) 亵渎．(dú) 咬文嚼．字(jué) 气冲斗．牛(dòu)2.下列词语书写没有错误的一项是( ) (2分)A.昂然挺立擎天憾地繁弦急管通霄达旦B.怡然自得联续不断格物至知言行相顾C.根深地固豁然惯通精血诚聚一泻千里D.起承转合浩瀚无垠顶礼膜拜不可磨灭3.下面语段横线上填入的词语，最恰当的一组是（ )(2分)植物是能“说话”的。
有时像久病的老妇人，发出断续的喘息声。
而一旦获得的阳光，或者接受的水分，声音就会变得婉转悠扬。
当变天刮风，它们就会轻轻地呻吟，似乎正在忍受某种痛苦。
面对人类的侵扰，那些植物就会用尽最后的力气呐喊，或者通过的年轮、的树叶，以及时刻准备倒下的躯干，表达它们的抗议。
A.适量充分干巴枯槁B.适度充裕干枯枯竭C.适当充沛干涸枯黄D.适宜充足干瘪枯萎4.下列句子中没有语病的一项是( ) (3 分)A.言行不不致的人，是一种极不好的习惯。
B.生活的最重要部分不是去生活，就是对生活的思考。
C.充满功利色彩的教育，只能培养出只有小聪明而无大智慧。
D.一个连教育都得不到尊重的民族是很难屹立于世界民族之林的。
5.下列关于文学作品中的人物的说法，有错误的一项是( ) (3分)A.曹操在正史的记载中颇受赞誉，而在《三国演义》中则被塑造成难以捉摸、复杂多面的形象。
湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题(含答案)
雅礼中学2025届高三上学期入学考试试卷数 学时量：120分钟 分值：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、 已知集合{}240A x x =-≤，则A =N （ ）A ．{}0B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}1,22、 ）A B C D3、 （暑假作业原题）若正数x ，y 满足 ²20x xy -+=，则x y +的最小值是（ ）A ．B ．C ．4D ．6【答案】C【分析】根据已知条件及基本不等式即可求解.4、过椭圆22:1169x yC+=的中心作直线l交椭圆于,P Q两点，F是C的一个焦点，则PFQ△周长的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．10所以PFQ△的周长为PF当线段PQ为椭圆短轴时，故选：B5、已知圆C的方程为22(2)x y a+-=，则“2a>”是“函数y x=的图象与圆C有四个公共点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B6、 （暑假作业原题）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为0，1，2，⋯，10，用X 表示小球最后落入格子的号码，若0()()P X k P X k == ，则0(k = )A ．4B ．5C ．6D ．7【分析】小球在下落过程中，共10次等可能向左或向右落下，则小球落入格子的号码X 服从二项分布，且落入格子的号码即向右次数，即1~(10,)2X B ，则10101()()(02kP X k C k ===，1，2...，10)，然后由二项式系数对称性即可得解．【解答】解：小球在下落过程中，共10次等可能向左或向右落下， 则小球落入格子的号码X 服从二项分布， 且落入格子的号码即向右次数，即1~(10,2X B ，所以10101010111()()(1()(0222k k k kP X k C C k -==-==，1，2...，10)，由二项式系数对称性知，当5k =时，10kC 最大，故05k =． 故选：B ．【点评】本题考查了二项分布及二项式系数的性质的应用，属于中档题．7、 （教材原题）以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是( ) A ．70B ．64C ．60D ．58【分析】从8个顶点中选4个，共有48C 种结果，在这些结果中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面，6个对角面有6个四点共面，用所有的结果减去不合题意的结果，得到结论．【解答】解：首先从8个顶点中选4个，共有48C 种结果，在这些结果中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面，6个对角面有6个四点共面， ∴满足条件的结果有4488661258C C --=-=．故选：D ．【点评】本题是一个排列问题同立体几何问题结合的题目，是一个综合题，这种问题实际上是以排列为载体考查正方体的结构特征．8、 （暑假作业原题）已知定义域为R 的函数()f x ，其导函数为()f x '，且满足()2()0f x f x '-<，(0)1f =，则( )A ．2(1)1e f -<B ．()21f e >C ．1(2f e >D ．1(1)(2f ef <【分析】构造函数2()()xf xg x e =，由()2()0f x f x '-<得()0g x '<，进而判断函数()g x 的单调性，判断各选项不等式．【解答】解：2()()x f x g x e=，则22222()2()()2()()()x x x x f x e f x e f x f x g x e e '⋅-'-'==， 因为()2()0f x f x '-<在R 上恒成立，所以()0g x '<在R 上恒成立，故()g x 在R 上单调递减， 所以220(1)(0)(1)(0),(1)1f f g g e f e e --->=->=，故A 不正确； 所以g （1）(0)g <，即20(1)(0)f f e e<，即f （1）22(0)e f e <=，故B 不正确；1()(0)2g g <，即101()(0)21f f e e<=，即1(2f e <，故C 不正确；1()(1)2g g >，即121()(1)2f f e e >，即1(1)()2f ef <，故D 正确．故选：D ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数思想，属中档题．二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9、 已知复数12,z z ，下列说法正确的是（ ）A ．若12=z z ，则2212z z =B ．1212z z z z =C ．1212z z z z -≤+D ．1212z z z z +≤+10、 已知函数()ππ)02,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<≤-<< ⎪⎝⎭，函数()()12g x f x =+的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A ．()f x 的表达式可以写成()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的新函数是奇函数 C ．()()1h x f x =+的对称中心ππ,182k ⎛⎫-+⎪⎝⎭，Z k ∈ D ．若方程()1f x =在()0,m 上有且只有6个根，则5π13π,24m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭11、 如图，过点(C a ，0)(0)a >的直线AB 交抛物线22(0)y px p =>于A ，B 两点，连接AO 、BO ，并延长，分别交直线x a =-于M ，N 两点，则下列结论中一定成立的有( )A ．//BM ANB ．以AB 为直径的圆与直线x a =-相切C ．AOB MON S S ∆∆=D ．24MCN ANC BCM S S S ∆∆∆=⋅【分析】设出直线与抛物线联立，利用韦达定理及斜率公式，结合三角形的面积公式及直线与圆的位置关系的判断方法即可求解．【解答】解：对于A ，令直线:AB x my a =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立22x my a y px=+⎧⎨=⎩，消x 可得2220y pmy pa --=，则△2(2)80pm pa =+>，122y y pa =-，122y y pm +=， 则21212()222x x m y y a pm a +=++=+， 则1111,:OA y y k OA y x x x ==则直线，∴11(,)ayM a x --，故12211122212220()BMay pay y x y y y pak x a x a y x a +++====+++， 同理0AN k =，//BM AN ∴，故A 正确； 对于B ，如图，设AB 中点1212(,22x x y y Q ++，即2(Q pm a +，)pa -，则Q 到直线x a =-的距离22d pm a =+， 以AB为直径的圆的半径12||||2AB y y =-=，所以222||(2)(2)4AB d p a a p m -=+-， 当2pa =时相切，当2p a ≠时不相切，故B 错误；对于C ，设x a =-与x 轴交于P ，PON AOC S S ∆∆=，MOP BOC S S ∆∆=， 则PON MOP AOC BOC S S S S ∆∆∆∆+=+，则AOB MON S S ∆∆=，故C 正确； 对于D ，112211(),()22ANC BCM S x a y S x a y ∆∆=+=-+，则1212121211()()(2)(2)44ANC BCM S S x a x a y y my a my a y y ∆∆⋅=-++=-++221212121[2()4]4m y y am y y a y y =-+++22221[(2)2(2)4](2)(2)4m pa am pm a pa pa pm a =--++-=+，而121212||||2MCN MPC NPC S S S a y y a y y ∆∆∆=+=⋅-=-， 所以2222222121212()[()4]4(2)4MCN ANC BCM S a y y a y y y y pa pm a S S ∆∆∆=-=+-=+=⋅，故D 正确．故选：ACD ．【点评】本题考查了已知两点求斜率，由斜率判断两条直线平行，判断直线与圆的位置关系，根据韦达定理求参数，属于中档题．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12、 已知随机变量X 服从正态分布()25,N σ，若(56)0.27P X <≤=，则(4)P X <= .13、 已知向量()sin ,cos a θθ=，()3,1b =，若a b ∥，则2sin sin 2θθ+的值为 .14、 设0k ＞，若存在正实数x ，使得不等式14log 20kx x k --⋅≥成立，则k 的最大值为 .四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15、 （13分）平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形ABCD 的顶点在同一平面上，已知2,AB BC CD AD ====(1)当BD cos A C -是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．(2)记ABD △与BCD △的面积分别为1S 和2S ，请求出2212S S +的最大值．【答案】cos A C -为定值，定值为1 (2)14【详解】（1）法一：在ABD △中，由余弦定理222cos 2+-=⋅AD AB BD A AD AB，得cos A =2168BD A -=①， 同理，在BCD △中，22222cos 222BD C +-=⨯⨯，即28cos 8BD C -=②，①-②cos 1A C -=，所以当BD cos A C -为定值，定值为1；法二：在ABD △中，由余弦定理2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅得222222cos BD A =+-⨯⨯，即216BD A =-，同理，在BCD △中，2222cos 88cos BD CD CB CD CB C C =+-⋅=-，所以1688cos A C -=-1cos A C -=cos 1A C -=，所以当BD cos A C -为定值，定值为1；（2）222222221211sin sin 44S S AB AD A BC CD C +=⋅⋅+⋅⋅ 222212sin 4sin 12sin 44cos A C A C =+=+-2212sin 41)A A =+--224cos 12A A =-++，令()cos ,1,1A t t =∈-，所以2224122414y t t ⎛=-++=-+ ⎝⎭，所以t =cos A = 2212S S +有最大值为14．16、 （15分）（暑假作业原题）函数()e 4sin 2xf x x λλ=-+-的图象在0x =处的切线为3,y ax a a =--∈R .（1）求λ的值；（2）求()f x 在(0,)+∞上零点的个数. 解析【小问1详解】因为()e 4sin 2,()e 4cos x x f x x f x x λλλλ'=-+-=-， 所以(0)4f λ'=-，所以切线斜率为4λ-，即4a λ=-， 所切线方程为()41y x λλ=--+又(0)1f λ=-，所以切点坐标为(0,1)λ-，代入得 则11λλ-=-+，解得1λ=.【小问2详解】由（1）得()e 4sin 1,()e 4cos x x f x x f x x '=--=-， 令()()e 4cos xg x f x x ==-'，则()e 4sin xg x x =+'，当πx ≥时，()e 4cos 0x f x x '=->恒成立，所以()f x 在[)π,+∞上递增， 所以ππ()(π)e 4sin 1e 50f x f x ≥=--≥->， 因此()f x 在[π,)+∞无零点；当0πx <<时，()e 4sin 0xg x x '=+>恒成立，所以()f x '单调递增，又π(0)30,(π)e 40f f ''=-<=+>， 所以()f x '在(0,π)上存在唯一的零点0x ， 当()00,,()0,()∈<'x x f x f x 单调递减；当()0,π,()0,()x x f x f x '∈>单调递增；又()0(0)0,(0)0f f x f =<=，π(π)e 10f =->， 因此()f x 在(0,π)上仅有1个零点； 综上，()f x 在(0,)+∞上仅有1个零点.17、 （15分）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．【详解】（1）因为AD CD =，E 为AC 的中点，所以AC DE ⊥； 在ABD △和CBD △中，因为,,B A C D CD ADB DB DB D ∠=∠==，所以ABD CBD ≌△△，所以AB CB =，又因为E 为AC 的中点，所以AC BE ⊥； 又因为,DE BE ⊂平面BED ，DE BE E ⋂=，所以AC ⊥平面BED ， 因为AC 平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD .（2）连接EF ，由（1）知，AC ⊥平面BED ，因为EF ⊂平面BED ， 所以AC EF ⊥，所以1=2AFC S AC EF ⋅△，当EF BD ⊥时，EF 最小，即AFC △的面积最小. 因为ABD CBD ≌△△，所以2CB AB ==，又因为60ACB ∠=︒，所以ABC 是等边三角形，因为E 为AC 的中点，所以1AE EC ==，BE =AD CD ⊥，所以112DE AC ==, 在DEB 中，222DE BE BD +=，所以BE DE ⊥.以E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -， 则()()()1,0,0,,0,0,1A B D ，所以()()1,0,1,AD AB =-=-，设平面ABD 的一个法向量为(),,n x y z = ，则0n AD x z n AB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取y =()n =，又因为()31,0,0,4C F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以34CF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以cos ,n CF n CF n CF⋅===， 设CF 与平面ABD 所成的角的正弦值为02πθθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，所以sin cos ,n CF θ==CF 与平面ABD(1)求C 的方程；(2)记双曲线C 的左右顶点分别为1A ，2A ，直线1A M ，2A N 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的值. (3)探究圆E ：224410x y x y +---=上是否存在点S ，使得过S 作双曲线的两条切线1l ，2l 互相垂直.【答案】(1)22143x y -=； (2)13-； (3)存在.【详解】（1）由对称性知，双曲线C 过点(4,3)，则221691b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以双曲线C 的方程为22143x y -=. （2）由（1）得12(2,0),(2,0)A A -，设()()1122,,,M x y N x y ， 显然直线MN 不垂直于y 轴，设直线MN 的方程为4x my =+， 由2243412x my x y =+⎧⎨-=⎩消去x 得220(34)2436m y my -++=， 显然22340,144(4)0m m -≠∆=+>，1212222436,3434m y y y y m m -+==--， 则121223my y y y +=-，即()121232my y y y =-+，所以()()()()11212112212222222262y y x y my k x y k x y y my x -++===++-()()1211211221223221236362y y y my y y my y y y y y -+++===-+-++.（3）圆22:4410E x y x y +---=上存在点S ，使得过S 作双曲线的两条切线互相垂直. 若双曲线的两条切线有交点，则两条切线的斜率存在且不为0， 设双曲线的两条切线分别为1122,y k x n y k x n =+=+，将y kx n =+代入22143x y -=消去y 得：22(3484120)k knx n ----=，由0'∆=得()()2222644344120k n k n +-+=，解得2243n k =-，因此2222112243,43n k n k =-=-，设两条切线的交点坐标为()00,x y ，则01010202y k x n y k x n -=⎧⎨-=⎩，即有()22010143y k x k -=-，且()22020243y k x k-=-，即()()2222220100100200204230,4230x k x y k y x k x y k y --++=--++=， 于是12,k k 是方程()22200004230x k x y k y --++=的两根，而121k k =-，则2020314y x +=--，即22001x y +=，从而两条切线们交点的轨迹为圆221x y +=， 而221x y +=的圆心为(0,0)O ，半径为1，圆222:(2)(2)3E x y -+-=的圆心(2,2)E ，半径为3，显然||OE ==，满足31||31OE -<<+，即圆O 与圆E 相交，所以圆22:4410E x y x y +---=上存在点S ，使得过S 作双曲线的两条切线互相垂直.19、 （17分）对于数列{}n a ，如果存在等差数列{}n b 和等比数列{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N ，则称数列{}n a 是“优分解”的．(1)证明：如果{}n a 是等差数列，则{}n a 是“优分解”的．(2)记()2*11ΔΔΔΔn n n n n n a a a a a a n ++=-=-∈N ，，证明：如果数列{}n a 是“优分解”的，则()2*Δ0n a n =∈N 或数列{}2Δn a 是等比数列．(3)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果{}n a 和{}n S 都是“优分解”的，并且123346a a a ===，，，求{}n a 的通项公式．【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)122n n a -=+【详解】（1）{}n a 是等差数列，∴设()()111111n a a n d a n d ⎡⎤=+-=-+-+⎣⎦， 令()111,1n n b a n d c =-+-=，则{}n b 是等差数列，{}n c 是等比数列，所以数列{}n a 是“优分解”的．（2）因为数列{}n a 是“优分解”的，设()*n n n a b c n =+∈N ，其中()()11111,0,0n n n b b n d c c q c q -=+-=≠≠，则()12121111Δ1,ΔΔΔ(1)n n n n n n n n a a a d c q q a a a c q q --++=-=+-=-=-． 当1q =时，()2*Δ0n a n =∈N ；当1q ≠时，{}2Δn a 是首项为21(1)c q -，公比为q 的等比数列． （3）一方面， 数列{}n S 是“优分解”的，设()*n n n S B C n =+∈N ，其中()()11111,0,0n n n B B n D C C Q C Q -=+-=≠≠，由（2）知2121Δ(1)n n S C Q Q -=-因为12122323Δ4,Δ6S S S a S S S a =-===-==，所以2121ΔΔΔ2S S S =-=．{}221(1)2,1,Δn C Q Q S ∴-=∴≠∴是首项为2，公比为()1Q Q ≠的等比数列．另一方面，因为{}n a 是“优分解”的，设()*n n n a b c n =+∈N ，其中()()11111,0,0n n n b b n d c c q c q -=+-=≠≠，()2111211Δ,ΔΔΔ1n n n n n n n n n n S S S a S S S a a d c q q +++++=-==-=-=+- {}2Δn S 是首项为2，公比为()1Q Q ≠的等比数列， 0,1q q ∴≠≠，且()()()2222213ΔΔΔS S S =⋅，()()()223111111d c q q d c q q d c q q ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴+-=+-⋅+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦化简得()311111(1)0,0,0,1,0,Δ1n n n n c dq q c q q d a a a c q q -+-=≠≠≠∴=∴=-=- ，即数列{}Δn a 是首项121Δ1a a a =-=，公比为q 的等比数列． 又232Δ2,2a a a q =-=∴= ，又()211Δ2,12,0,2,S d c q q d q =∴+-===∴ 解得11111,312c b a c =∴=-=-=，综上所述，()1111122n n n a b n d c q --=+-+=+．。
2019年重点高中高一新生分班考试数学卷含答案
2019年重点高中高一新生分班考试数学卷含答案(共23页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-2019年重点高中高一新生分班考试数学卷姓名：__________班级：__________考号：__________一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．一个数的倒数的绝对值是3，这个数是（）A．3 B． C．3或﹣3 D．或﹣2．如图，已知∠1＝120°，则∠2的度数是( )A．120° B．90° C．60° D．30°3．的值是（）A．±16 B．±4 C．16 D．−164．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE=35°，则∠A的度数为( )A．35°B．45°C．55°D．65°5．已知等边三角形的边长为，则它面积与边长之间的关系用图象大致可表示为（）A．B．C．D．6．现有2cm，5cm长的两根木棒，再从下列长度的四根木棒中选取一根，可以围成一个三角形的是（）A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm 7．若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab，那么另一个因式是（）A．1-3x-4y B．-1-3x-4y C．1+3x-4y D．-1-3x+4y8．函数y=与y=x+1的图象的交点坐标为（a，b），则a2+b2的值为（）A．1 B．11 C．25 D．无法求解9．用一个半径为30，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（）A．10 B．20 C．10π D．20π10．如图，在菱形纸片ABCD中，，P为AB中点折叠该纸片使点C落在点处且点P在上，折痕为DE，则的大小为A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．已知是整数，则n是自然数的值是_____．12．用反证法证明∠A＞60°时，应先假设_____．13．如果不等式组有解，那么m的范围是______．14．已知点，轴，且，则点N的坐标为______．15．如图，矩形的顶点在坐标原点，，分别在轴，轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为，当此矩形绕点旋转到如图位置时的坐标为________．16．已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，点 D、E 分别在边AC、BC上，且CD:CE=3︰4．将△CDE绕点D顺时针旋转，当点C落在线段DE上的点 F处时，BF恰好是∠ABC的平分线，此时线段CD的长是________.三、解答题（本大题共8小题，共66分）17．（本题8分）解方程组和分式方程：（1）解方程组（2）解分式方程．18．（本题8分）平面上有3个点的坐标：，，在A，B，C三个点中任取一个点，这个点既在直线上又在抛物线上上的概率是多少？从A，B，C三个点中任取两个点，求两点都落在抛物线上的概率．19．（本题10分）某校组织学生开展课外社会实践活动，现有甲、乙两种大客车可租，已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元．（1）求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？（2）学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人，共有师生330人，求最节省的租车费用是多少元？20．（本题8分）周末，小亮一家人去水库游玩，他在大坝上的点A处看到一棵大树的影子刚好落在坝底的BE处点A与大树及其影子在同一平面内，此时太阳光与地面夹角为，在A处测得树顶D的仰角为如图所示，已知背水坡AB的坡度：3，AB的长为10米，请你帮助小亮算一算这颗大树的高度结果精确到米，参考数据：，注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比21．（本题10分）据统计，某小区2011年底拥有私家车125辆，2013年底私家车的拥有量达到180辆．(1)若该小区2011年底到2014年底私家车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2014年底私家车将达到多少辆？(2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位1 000元/个，露天车位200元/个．考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案．22．（本题10分）已知：如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为M．（1）求点A、B、C的坐标．（2）求直线BM的函数解析式．（3）试说明：∠CBM+∠CMB=90°．（4）在抛物线上是否存在点P，使直线CP把△BCM分成面积相等的两部分？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．（本题12分）如图1，正方形ABCD中，F为AB中点，连接DF，CE⊥DF于E，连接BE．（1）作出△ADF关于F成中心对称的图形，并探究BE和BC数量关系；（2）如图2，BM平分∠ABE交CE延长线于M，连接MD，试探究DM、CM、BM线段关系并给出证明；（3）若点F在线段AB上运动（不与端点重合），AB＝4，写出BE长度的取值范围．答案分析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期入学考试数学(文)试题
雅礼中学2019届高三上学期入学考试试卷数学(文科)一、选择题本大题共12小题每小题5分共即分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1．已知全集U ＝{x |﹣1≤x ≤6}，A ＝{x |0＜x ＜4}，B ＝{x ∈U |x ≥3}，则下列结论正确的是（ ） A ．∁U A ＝[4，6] B ．A ∩B ＝[3，4）C ．A ∪B ＝UD ．∁U B ＝[﹣1，3]2．已知复数1﹣i =2+4iz（i 为虚数单位），则z 等于（ ） A ．﹣1+3iB ．﹣1+2iC ．1﹣3iD ．1﹣2i3．已知甲，乙两组数据如茎叶图所示，若他们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m ，n 的比值m n=（ ）A ．1B ．13C ．38D ．294．若双曲线E ：x 22m−2−y 2m=1（m ＞1）的焦距为10，则该双曲线的离心率为（ ） A ．43B ．53C ．54D ．25165．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则（ ） A ．log a c ＜log b c B ．log c a ＜log c b C ．a c ＜b cD ．c a ＞c b6．函数y ＝cos （12x −π3）的图象的一条对称轴方程为（ ） A ．x =2π3B ．x =5π3C ．x =π2D ．x ＝π7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问从第几天开始，走的路程少于20里（ ） A ．3B ．4C ．5D ．68．已知f （x ）是定义域为R 的奇函数，且f （x ）={e 2x −1，0≤x ＜1lnx ，1≤x ≤2.5f(x −5)，x ＞2.5，则f （f （2019）＝（ ）A ．ln 3B ．3C ．ln 2D ．09．直线x +y +2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆（x ﹣2）2+y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是（ ） A ．[2，6]B ．[4，8]C ．[√2，3√2]D ．[2√2，3√2]10．设点A 是不等式组{x ≥1x −2y +3≥0y ≥x ，所表示的平面区域内的一点，点B 在直线3x ﹣4y ﹣9＝0上，则|AB |的最小值等于（ ） A ．4B ．2C ．125D ．14511．如图是正三棱锥V ﹣ABC 的正视图、侧视图和俯视图，则其侧视图的面积是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．712．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且（a 2+b 2﹣c 2）•（a cos B +b cos A ）＝abc ，若a +b ＝2，则c 的取值范围为（ ） A ．（0，2）B ．[1，2）C ．[12，2）D ．（1，2]二、本卷包括必考题和选考题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知|a →|＝4，|b →|＝2，且a →与b →夹角为120°，则（a →−2b →）•（a →+b →）＝ ．14．如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱AB ﹣CD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为 ．15．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k （k ＞0）的直线l 与C 交于A ，B 两点，且|AB |＝8，则直线l 的方程为 ．16．函数f （x ）＝cos x 与g （x ）＝|log 2|x ﹣1||的图象所有交点的横坐标 ． 三、解答題：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a 2＝8，a 3＝24，{a n +1﹣2a n }为等比数列． （1）求证：{a n 2n}是等差数列；（2）求数列{a n }的前n 项和S n ．18．《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：月份 1 2 3 4 5 违章驾驶员人数1201051009085（1）请利用所给数据求违章人数y 与月份x 之间的回归直线方程y ^=b ^x +a ^，并预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；（2）若从表中1月份和4月份的违章驾驶员中，采用分层抽样方法抽取一个容量为7的样本，再从这7人中任选2人进行交规调查，求抽到的两人恰好来自同一月份的概率． 参考公式：b ^=∑ n i=1x i y i −nxy ∑ ni=1x i2−nx 2=∑ n i=1(x i −x)(y i −y)∑ ni=1(x i −x)2，a ^=y −b ^x ．19．如图，已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，P A ＝PD ，O 为AD 边的中点，点M 在线段PC 上．（1）证明：平面POB ⊥平面P AD ；（2）若AB ＝2√3，P A =√7，PB =√13，P A ∥平面MOB ，求四棱锥M ﹣BODC 的体积．20．如图，椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右顶点分别为A （﹣2，0），B （2，0），离心率e =√32，P ，M ，N 为椭圆上非顶点的三点，设直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2． （1）求椭圆C 的方程，并求k 1，k 2的值；（2）若AP ∥ON ，BP ∥OM ，判断△OMN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由21．函数f （x ）＝alnx +1x−2x （a ∈R ）． （1）当a ＝3时，求f （x ）的极值； （2）当a ＝1时，证明：f （x ）＞1e x −2x ．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分（本小题满分10分）22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为{x =cosθy =sinθ，（θ为参数），过点（0，−√2）且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点． （1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知函数f （x ）＝|2x ﹣a |+a ．（1）当a ＝2时，求不等式f （x ）≤6的解集；（2）设函数g （x ）＝|2x ﹣1|，当x ∈R 时，f （x ）+g （x ）≥3，求实数a 的取值范围．一、选择题本大题共12小题每小题5分共即分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1．B 2．A 3．C 4．C 5．B 6．A 7．C 8．D 9．A 10．B 11．C 12．B二、本卷包括必考题和选考题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13． 12． 14．45．15． y ＝x ﹣1． 16．4．三、解答題：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（1）a 1＝2，a 2＝8，a 3＝24，{a n +1﹣2a n }为等比数列，设公比为q ， 可得q =a 3−2a 2a 2−2a 1=24−168−4=2，即有a n +1﹣2a n ＝2n +1，则a n+12−a n 2=1，可得{a n 2}是首项为1，公差为1的等差数列； （2）a n 2=1+n ﹣1＝n ，即a n ＝n •2n ，前n 项和S n ＝1•2+2•4+3•8+…+n •2n ， 2S n ＝1•4+2•8+3•16+…+n •2n +1， 相加可得﹣S n ＝2+4+8+…+2n ﹣n •2n +1=2(1−2n)1−2−n •2n +1，化简可得S n ＝2+（n ﹣1）•2n +1． 18．（1）由表中数据知，x =3，y =100， ∴a ^=y −b ^x =125.5，∴所求回归直线方程为y ^=−8.5x +125.5． 令x ＝9，则y ^=−8.5×9+125.5=49人．（2）由已知可得：1月份应抽取4位驾驶员，设其编号分别为a 1，a 2，a 3，a 4， 4月份应抽取3位驾驶员，设其编号分别为b 1，b 2，b 3， 从这7人中任选2人包含21个基本事件，分别为：（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 1，a 4），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，b 3），（a 2，b 4）， （a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 3，a 4），（a 3，b 1），（a 1，b 3），（a 2，b 3），（a 3，b 3）， （a 4，b 3），（b 1，b 3），（b 2，b 3），（a 3，b 2），（a 4，b 1），（a 4，b 2），（b 1，b 2），设“其中两个恰好来自同一月份”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有9个，分别是：（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 1，a 4），（a 2，a 3），（a 2，a 4），（a 3，a 4），（b 1，b 2），（b 1，b 3），（b 2，b 3），∴抽到的两人恰好来自同一月份的概率P(A)=921=37．19．（1）证明：连接BD ，因为底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°， 所以△ABD 是正三角形，…（1分） 因为O 为AD 边的中点，P A ＝PD ， 所以AD ⊥PO ，AD ⊥BO ，PO ∩BO ＝O ， 所以AD ⊥平面POB ，… 因为AD ⊂平面P AD ，所以平面POB ⊥平面P AD ． …（2）连接AC ，交OB 于点N ，连接MN ， 因为P A ∥平面MOB ，所以P A ∥MN ，…（6分） 易知点N 为ABD 的重心，所以AN =13AC ， 故PM =13PC ，…（7分）因为AB =2√3，PA =PD =√7，所以OB ＝3，OP ＝2，因为PB =√13， 所以∠POB ＝90°，即OP ⊥OB ，且AD ⊥PO ， 所以OP ⊥平面BODC ，…由PM =13PC 知CM =23CP ，故点M 到平面BODC 的距离为23PO =43，…（9分）因为S BODC =34S ABCD =34×2×12×(2√3)2×sin60°=9√32，… 所以四棱锥M ﹣BODC 的体积为13×9√32×43=2√3． …20．（1）由题意：a ＝2，ca =√32，b 2＝a 2﹣c 2，解得a 2＝4，b 2＝1， 所以椭圆的方程为：x 24+y 2=1；设P （x 0，y 0），又A （﹣2，0），B （2，0），所以k 1k 2=−y 02(2−x 0)(2+x 0)=−1−x 0244−x 02=−14；（2）设直线MN 的方程为：y ＝kx +t ，M （x ，y ），N （x '，y '），联立直线与椭圆的方程整理得： （1+4k 2）x 2+8ktx +4t 2﹣4＝0，x +x '=−8kt 1+4k2，xx '=4t 2−41+4k2，k AP •k BP =−14，y x ⋅y′x′=−14，即xx '+4yy '＝0，所以4•（kx +t ）（kx '+t ）+xx '＝0， 即（1+4k 2）xx '+4kt （x +x '）+4t 2＝0， 所以（1+4k 2）⋅4t 2−41+4k2−4kt ⋅8kt 1+4k2+4t 2＝0，解得：2t 2＝1+4k 2， |MN |=√1+k 2•√(x+x′)2−2xx′=√1+k 2⋅√(8kt 1+4k2)2−4⋅4t 2−41+4k2=2√2√1+k 21+4k2， O 到直线MN 的距离d =√1+k，所以S △OMN =12|MN|⋅d =12⋅2√2√1+k 21+4k 2√1+k =√2⋅√2t =1．21．（1）当a ＝3时，f(x)=3lnx +1x−2x(x ＞0)，则f′(x)=3x −1x 2−2=2x 2−3x+1x 2=(2x−1)(x−1)x 2， 当x ∈(0，12)时，f ′（x ）＜0，f （x ）在(0，12)上单调递减； 当x ∈(12，1)时，f ′（x ）＞0，f （x ）在(12，1)上单调递增； 当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＜0，f （x ）在（1，+∞）上单调递减． ∴f(x)极小值=f(12)=1−3ln2，f （x ）极大值＝f （1）＝﹣1； （2）证明：当a ＝1时，f(x)=lnx +1x −2x(x ＞0)， ∴不等式f （x ）＞1e x −2x 可变形为lnx +1x ＞1e x ， 要证上述不等式成立，即证明xlnx +1＞xe x ， 设g(x)=xlnx +1，ℎ(x)=x e x ，则g ′（x ）＝lnx +1，令g ′（x ）＝0，得x =1e， 在(0，1e )上，g ′（x ）＜0，g （x ）是减函数，在(1e ，+∞)上，g （x ）是增函数， ∴g(x)≥g(1e)=1−1e； 又ℎ′(x)=1−xe x ，令h ′（x ）＝0，得x ＝1， 在（0，1）上，h ′（x ）＞0，h （x ）是增函数，在（1，+∞）上，h ′（x ）＜0，h （x ）是减函数， ∴ℎ(x)≤ℎ(1)=1e ＜1−1e ，∴h （x ）＜g （x ），即xlnx +1＞x e x ，所以lnx +1x ＞1e x ， 由此可得f （x ）＞1e x −2x ．22．（1）∵⊙O 的参数方程为{x =cosθy =sinθ（θ为参数），∴⊙O 的普通方程为x 2+y 2＝1，圆心为O （0，0），半径r ＝1，当α=π2时，过点（0，−√2）且倾斜角为α的直线l 的方程为x ＝0，成立； 当α≠π2时，过点（0，−√2）且倾斜角为α的直线l 的方程为y ＝tanα•x −√2， ∵倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点， ∴圆心O （0，0）到直线l 的距离d =√2|√1+tan α1，∴tan 2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，∴π4＜α＜π2或π2＜α＜3π4，综上α的取值范围是（π4，3π4）．（2）l 的参数方程为{x =tcosαy =−√2+tsinα，（t 为参数，π4＜α＜3π4），设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P =t A +t B2， 且t A ，t B 满足t 2−2√2tsinα+1=0， ∴t A +t B =2√2sinα，t P =√2sinα， ∵P （x ，y ）满足{x =t P cosαy =−√2+t p sinα，∴AB 中点P 的轨迹的参数方程为：{x =√22sin2αy =−√22−√22cos2α，（α为参数，π4＜α＜3π4）．23．（1）当a ＝2时，f （x ）＝|2x ﹣2|+2， ∵f （x ）≤6，∴|2x ﹣2|+2≤6， |2x ﹣2|≤4，|x ﹣1|≤2， ∴﹣2≤x ﹣1≤2， 解得﹣1≤x ≤3，∴不等式f （x ）≤6的解集为{x |﹣1≤x ≤3}．（2）不等式f （x ）+g （x ）≥3可化为|2x ﹣1|+|2x ﹣a |≥3﹣a ， 即|x −12|+|x −a2|≥3−a2， 当a ≥3时，原不等式成立．当a ＜3时，由绝对值三角不等式可得|x −12|+|x −a2|≥12|a −1|， ∴12|a −1|≥3−a 2＞0，平方得（a ﹣1）2≥（3﹣a ）2， 解得2≤a ＜3，∴实数a 的取值范围是[2，+∞）。
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一上学期10月月考数学试题(解析版)
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B AA ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,7【答案】C【解析】先求U A ð，再求U B A ⋂ð． 【详解】由已知得{}1,6,7U C A =，所以U B C A ⋂={6,7}，故选C ． 【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案．2．函数()11f x x =+的定义域为( ) A ．{|3x x ≥-且1}x ≠- B ．{3x x -且1}x ≠- C ．{|1}x x ≥- D ．{|3}x x ≥-【答案】A【解析】由题可得：要使得函数()f x 有意义，则需满足3010x x +≥⎧⎨+≠⎩，解出x 的范围即可． 【详解】解：要使()f x 有意义，则：3010x x +≥⎧⎨+≠⎩；解得3x ≥-，且1x ≠-；∴()f x 的定义域为：{|3,1}x x x ≥-≠-且． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了函数定义域的定义及求法，属于基础题。
3．若a 、b 不全为0，必须且只需( )A ．0ab ≠B ．a 、b 中至多有一个不为0C ．a 、b 中只有一个为0D ．a 、b 中至少有一个不为0【答案】D【解析】本题首先可以通过题意中的“a 、b 不全为0”来确定题意中所包含三种情况，然后观察四个选项，看哪个选项恰好包含题意中的三种情况，即可得出结果。
【详解】“a 、b 不全为0”包含三种情况，分别是“b 为0，a 不为0”、“b 不为0，a 为0”、“a 、b 都不为0”，故a 、b 中至少有一个不为0，故选D 。
【点睛】本题的重点在于对“不全为”、“至多有一个”、“只有一个”、“至少有一个”等连接词的意思的判断，能否明确理解上述连接词的词义是解决本题的关系，考查推理能力，是简单题。
2019长沙市一中新高一入学分班考试试卷
长沙市一中2019年高一新生分班考试数学试卷时间：120分钟 满分：120分一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 2016-的值是（ ）A. 20161B. 20161- C. 2016 D. 2016- 2. 如图是由若干个同样大小的立方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置立方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）A.B. C. D. 3. 计算2)3(a --的结果是（ ）A. 29a -B. 29aC. 26a -D. 26a4. 湖南省在4月9，10，11日三天进行了全省规模的中考适应性测试，小明所在小组的六位同学的数学成绩是88，112，108，112，112，118，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）A. 108，112B. 110，112C. 112，112D. 102，1125. 将分式方程13)1(251+=+--x x x x 去分母，整理后得（ ） A. 018=+x B. 038=-x C. 0272=+-x x D. 0272=--x x6. 如图，在ABC ∆中，D 是BC 延长线上一点，︒=∠40B ，︒=∠120ACD ，则A ∠等于（ ）A. 60°B. 70°C. 80°D. 90°7. 某公司准备与汽车租赁公司签订租车合同，以每月用车路程x km 计算，甲汽车租赁公司每月收取的租赁费为1y 元，乙汽车租赁公司每月收取的租赁费为2y 元，若1y ，2y 与x 之间的函数关系如图所示，其中0=x 对应的函数值为月固定租赁费，则下列判断错误的是（ ）A. 当月用车路程为2000km 时，两家汽车租赁公司租赁费用相同B. 当月用车路程为2300km 时，去乙汽车租赁公司租赁比较合算C. 除去月固定租赁费，甲租赁公司每千米收取的费用比乙租赁公司多D. 甲租赁公司平均每千米收到的费用比乙租赁公司少第7题图 第8题图 第9题图8. 课外活动小组测量学校旗杆的高度，如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB 在地面上的投影BC 长为24m ，则旗杆AB 的高度约是（ ）A. 12mB. 312mC. 8mD. 38m9. 如图在平面直角坐标系中，平行四边形MNEF 的两条对角线NF ME ,交于原点O ，点F 的坐标是（3，2），则点N 的坐标为（ ）A. )2,3(-B. )2,3(--C. )3,2(-D. )3,2(10. 在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2），延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形C C B A 111，延长11B C 交x 轴于点2A ，作正方形C C B A 222，……按这样的规律进行下去，第2016个正方形的面积为（ ）A. 2015235⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯B. 2015495⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯ C. 2016495⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯ D. 2016235⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11. 2013年3月8日，370MH 航班在飞行途中失去联系后，共有26个国家不同形式地参与了飞机的搜救工作，动用了包括飞机、船舶、潜艇、卫星等一切可能的技术手段，根据路透社汇编的估算数据，至4月10日澳大利亚、中国、美国及越南在印度洋和南海部署军舰和飞机进行搜寻，已经至少花费4400万美元，4400万美元用科学记数法表示为 美元；12. 某中学为了了解全校学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查，问卷给出了五种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且不能不选，将调查得到的结果绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均不完整），在这次调查中，一共抽查了 名学生；13. 若1=-b a ，则整式=--b b a 222 ；14. 要使1213-+-x x 有意义，则x 的取值范围是 ； 15. 在矩形ABCD 中，E 、F 、M 为AB ，BC ，CD 边上的点，且6=AB ，7=BC ，3=AE ，2=DM ，FM EF ⊥，则EM 的长为 ；第15题图 第16题图 16. 如图，O Θ的直径AB 的长为10，弦AC 的长为6，ACB ∠的平分线交O Θ于点D ，则CD 的长为 。
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一(上)期中数学试卷
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1. 命题“∃x 0∈R ，x 02+x 0+1<0”的否定为（ ）A.不存在x 0∈R ，x 02+x 0+1≥0B.∃x 0∈R ，x 02+x 0+1≥0C.∀x ∈R ，x 2+x +1<0D.∀x ∈R ，x 2+x +1≥02. 已知集合M ＝{x|−4<x <2}，N ＝{x|x 2−x −6<0}，则M ∩N ＝（ ）A.{x|−4<x <3}B.{x|−4<x <−2}C.{x|−2<x <2}D.{x|2<x <3}3. 计算2√a⋅√a 23的结果为（ ） A.a 32 B.a 16 C.a 56 D.a 654. 若f(2x +1)＝x 2−2x ，则f(2)的值为（ ）A.−34B.34C.0D.15. 若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是（ ）A.1a <1bB.a 2>b 2C.a|c|>b|c|D.a c 2+1>bc 2+16. 设集合A ={−1, 0, 2}，集合B ={−x|x ∈A, 且2−x ∉A}，则B =( )A.{1}B.{−2}C.{−1, −2}D.{−1, 0}7. 若a >0，b >0，则“a +b <4”是“ab <4”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知a >0且a ≠1，函数y =log a x ，y =a x ，y =x +a 在同一坐标系中的图象可能是（ ）A. B.C.D.9. 已知f(x)＝ax 5+bx 3+x 2+x +1（a ，b 为常数），若f(2)＝11，则f(−2)＝（ ）A.−11B.−1C.0D.110. 已知x ，y 为正实数，则( )A.2lg x+lg y =2lg x +2lg yB.2lg （x+y ）=2lg x ⋅2lg yC.2lg x⋅lg y =2lg x +2lg yD.2lg （xy ）=2lg x ⋅2lg y11. 已知函数f(x)={−x 2−ax −5，(x ≤1)，a x ，(x >1)，是R 上的增函数，则a 的取值范围是( )A.−3≤a <0B.−3≤a ≤−2C.a ≤−2D.a <012. 设a ＝ln 12，b =log 1312，则（ ）A.a +b <ab <0B.ab <a +b <0C.a +b <0<abD.ab <0<a +b二、填空题（每小题5分，共20分）已知幂函数y =f(x)的图象过点(2, √2)，则f(9)=________．已知√a √a =32，则√a +√a =________．已知偶函数f(x)在[0, +∞)单调递减，f(2)=0，若f(x −1)>0，则x 的取值范围是________．若函数f(x)=(a−1)ln(2−ax)在区间(0, 1)上是减函数，则实数a的取值范围是________．三、解答题（共6小题，共70分）已知不等式(1−a)x2−4x+6>0的解集为{x|−3<x<1}．（1）求a的值；（2）若不等式ax2+mx+3≥0的解集为R，求实数m的取值范围．已知函数f(x)＝a x(a>0且a≠1)的图象经过点(2, 9)．（1）求a的值；（2）b∈R，比较f(2b)与f(b2+1)的大小．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2−2x+2．（1）求函数f(x)的解析式；（2）求函数f(x)的值域．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)与时间t （小时）间的关系为P＝P0e−kt．如果在前5个小时消除了10%的污染物，试求：（1）10个小时后还剩百分之几的污染物？（2）污染物减少50%所需要的时间．（参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6）设函数f(x)＝ka x−a−x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．（1）若f(1)>0，试求不等式f(x2+2x)+f(x−4)>0的解集；（2）若f(1)=3，且g(x)＝a2x+a−2x−4f(x)，求g(x)在[1, +∞)上的最小值．2已知函数f(x)＝x2+bx+c(b、c∈R)对于任意x∈R恒有2x+b≤f(x)成立．（1）证明：当x≥0时，f(x)≤(x+c)2（2）若对于满足题设要求的任意b、c，不等式f(c)−f(b)≤M(c2−b2)恒成立，求M 的最小值．参考答案与试题解析2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1.【答案】D2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】A5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】A8.【答案】C9.【答案】B10.【答案】D11.【答案】B12.【答案】B二、填空题（每小题5分，共20分）【答案】3【答案】52【答案】(−1, 3)【答案】(−∞, 0)∪(1, 2]三、解答题（共6小题，共70分）【答案】不等式(1−a)x2−4x+6>0的解集为{x|−3<x<1}，∴1−a<0，且方程(1−a)x2−4x+6＝0的两根为−3，1；由根与系数的关系知{41−a =−3+16 1−a =−3，解得a＝3；不等式3x2+mx+3≥0的解集为R，则△＝m2−4×3×3≤0，解得−6≤m≤6，∴实数m的取值范围为(−6, 6)．【答案】依题意，函数f(x)＝a x(a>0且a≠1)的图象经过点(2, 9)．所以a2＝9，又因为a>0且a≠1，所以a＝3，由（1）知，f(x)＝3x，所以f(x)为R上的增函数，又2b−(b2+1)＝−(b−1)2≤0，所以2b≤b2+1，所以f(2b)≤f(b2+1)，【答案】∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，且x>0时，f(x)＝x2−2x+2，∴设x<0，−x>0，则f(−x)＝x2+2x+2＝−f(x)，∴f(x)＝−x2−2x−2，∴f(x)={x2−2x+2x>00x=0−x2−2x−2x<0；x>0时，f(x)＝x2−2x+2＝(x−1)2+1≥1，∴x<0时，f(x)≤−1，且f(0)＝0，∴f(x)的值域为{f(x)|f(x)≤−1或f(x)≥1或f(x)＝0}．【答案】由P＝P0e−kt，可知，当t＝0时，P＝P0；当t＝5时，P＝(1−10%)P0．于是有(1−10%)P0=P0e−5k，解得k=−15ln0.9，那么P=P0e(15ln0.9)t，∴ 当t ＝10时，P =P 0e (15ln 0.9)×10=P 0e ln 0.81=81%P 0．∴ 10个小时后还剩81%的污染物；当P ＝50%P 0时，有50%P 0=P 0e (15ln 0.9)t ，解得t =ln 0.515ln 0.9=51n 12ln 910=5⋅−ln 2ln 9−ln 10=5⋅ln 2ln 2+ln 5−21n3=35． ∴ 污染物减少50%所需要的时间为35个小时．【答案】∵ f(1)>0，∴ a −1a >0． 又a >0且a ≠1，∴ a >1．∵ k ＝1，∴ f(x)＝a x −a −x ．当a >1时，y ＝a x 和y ＝−a −x 在R 上均为增函数，∴ f(x)在R 上为增函数．原不等式可化为f(x 2+2x)>f(4−x)，∴ x 2+2x >4−x ，即x 2+3x −4>0．∴ x >1或x <−4．∴ 不等式的解集为{x|x >1或x <−4}．∵ f(1)=32，∴ a −1a =32，即2a 2−3a −2＝0．∴ a ＝2或a =−12（舍去）．∴ g(x)＝22x +2−2x −4(2x −2−x )＝(2x −2−x )2−4(2x −2−x )+2． 令t ＝ℎ(x)＝2x −2−x (x ≥1)，则g(t)＝t 2−4t +2，∵ t ＝ℎ(x)在[1, +∞)上为增函数（由（1）可知），ℎ(x)≥ℎ(1)=32，即t ≥32． g(t)＝t 2−4t +2＝(t −2)2−2，t ∈[32,+∞)．∴ 当t ＝2时，g(t)取得最小值2，即g(x)取得最小值−2，此时x =log 2(1+√2)． 故当x =log 2(1+√2)时，g(x)有最小值−2．【答案】证明：由题设，对任意的x ∈R ，2x +b ≤x 2+bx +c ，即x 2+(b −2)x +c −b ≥0恒成立，∴ (b −2)2−4(c −b)≤0，从而c ≥b 24+1． 于是c ≥1，且c ≥2√b 24×1=|b|，因此2c −b ＝c +(c −b)>0．故当x ≥0时，有(x +c)2−f(x)＝(2c −b)x +c(c −1)≥0． 即当x ≥0时，f(x)≤(x +c)2；由（1）得，c ≥|b|，当c >|b|时，有M ≥f(c)−f(b)c 2−b 2=c 2−b 2+bc−b 2c 2−b 2=c+2b c+b ， 令t =b c ，则−1<t <1，∴c+2bc+b =2−1t+1，而函数g(t)＝2−1t+1(−1<t<1)的值域(−∞, 32)，因此，当c>|b|时M的取值集合为[32, +∞)；当c＝|b|时，由（1）知，b＝±2，c＝2．此时f(c)−f(b)＝−8或0，c2−b2＝0，从而f(c)−f(b)≤32(c2−b2)恒成立．综上所述，M的最小值为32．。
雅礼中学高一新生入学分班摸底卷
2019年雅礼中学高一新生入学分班摸底卷满分: 120 分时间: 120分钟一、积累与运用(12 分)1.下列词语中加点字注音没有错误的一项是() (2 分)A.凫水(fú)愧怍(zà)中流砥柱(dǐ)快快不乐(yāng)B.惬意(qiè)骊歌(lí)相形见绌(xiāng)梦寐以求(mèi)C.追溯(sù)踌躇(zhù)囊萤映雪(ráng)参差不齐(cī)D.璀璨(càn)亵渎(dú)咬文嚼字(jué)气冲斗牛(dòu)2.下列词语书写没有错误的一项是( ) (2分)A.昂然挺立擎天憾地繁弦急管通霄达旦B.怡然自得联续不断格物至知言行相顾C.根深地固豁然惯通精血诚聚一泻千里D.起承转合浩瀚无垠顶礼膜拜不可磨灭3.下面语段横线上填入的词语，最恰当的一组是（)(2分)植物是能“说话”的。
有时像久病的老妇人，发出断续的喘息声。
而一旦获得的阳光，或者接受的水分，声音就会变得婉转悠扬。
当变天刮风，它们就会轻轻地呻吟，似乎正在忍受某种痛苦。
面对人类的侵扰，那些植物就会用尽最后的力气呐喊，或者通过的年轮、的树叶，以及时刻准备倒下的躯干，表达它们的抗议。
A.适量充分干巴枯槁B.适度充裕干枯枯竭C.适当充沛干涸枯黄D.适宜充足干瘪枯萎4.下列句子中没有语病的一项是( ) (3 分)A.言行不不致的人，是一种极不好的习惯。
B.生活的最重要部分不是去生活，就是对生活的思考。
C.充满功利色彩的教育，只能培养出只有小聪明而无大智慧。
D.一个连教育都得不到尊重的民族是很难屹立于世界民族之林的。
5.下列关于文学作品中的人物的说法，有错误的一项是( ) (3分)A.曹操在正史的记载中颇受赞誉，而在《三国演义》中则被塑造成难以捉摸、复杂多面的形象。
B.外国文学的人物画廊中，有四个著名的吝啬鬼，他们是莫里哀笔下的阿巴贡，巴尔扎克笔下的葛朗台，果戈理笔下的泼留希金，莎士比亚笔下的夏洛克。
湖南省雅礼中学2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题(含解析)
2019~2020学年度高一年级模块检测试题高一数学满分150分时间:120分钟第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(★)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩∁UA=( )A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}1.考点交集和补集的运算.解析由题意知∁U A={1,6,7},所以B∩∁UA={6,7},故选C.答案 C2.(★)函数f(x)=√x+3+1x+1的定义域为( )A.{x|x≥-3且x≠-1}B.{x|x>-3且x≠-1}C.{x|x≥-1}D.{x|x≥-3}2.考点函数的定义域.解析由x+3≥0且x+1≠0,得x≥-3且x≠-1,所以f(x)=√x+3+1x+1的定义域为{x|x≥-3且x ≠-1},故选A.答案 A方法技巧当使函数解析式有意义的限制条件不止一个时,确定定义域的方法为:1.确定所有的限制条件,不能遗漏,2.分别求由每个限制条件所确定的自变量的取值集合,3.求这些集合的交集.3.(★)若a、b不全为0,则必须且只需( )A.ab≠0B.a、b中至多有一个不为0C.a、b中只有一个为0D.a、b中至少有一个不为03.考点量词的理解.解析a、b不全为0,即a≠0,b=0或a=0,b≠0或a≠0,b≠0,所以必须且只需a、b中至少有一个不为0,故选D.答案 D易错警示一定要区分至少有一个和至多有一个的区别,切勿弄混.4.(★★)已知a1,a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是( )A.M<NB.M>NC.M=ND.不确定4.思路分析利用作差法或特值法求解.解析解法一:M-N=a1a2-(a1+a2-1)=(a1-1)(a2-1),∵a1,a2∈(0,1),∴a1-1<0,a2-1<0,∴(a1-1)(a2-1)>0,所以M>N,故选B.解法二:令a1=0.5,a2=0.5,则M=0.25,N=0,所以M>N,故选B.答案 B5.(★★)设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.考点充分、必要条件的判定.解析充分性:若A∩B=A,则A⊆B,故充分性成立.必要性:若A⊆B,则A∩B=A,故必要性成立.故“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件.故选C.答案 C6.(★★)给出下列四个命题:①有理数是实数;②有些平行四边形不是菱形;③∀x∈R,x2-2x>0;④∃x∈R,2x+1为奇数.以上命题的否定为真命题的是( )A.①④B.②④C.①②③④D.③6.考点命题的否定,命题真假的判断.思路分析先写出各个命题的否定,然后判断其真假.解析“有理数是实数”的否定为“有的有理数不是实数”,为假命题;“有些平行四边形不是菱形”的否定为“所有的平行四边形都是菱形”,为假命题;“∀x∈R,x2-2x>0”的否定为“∃x∈R,x2-2x≤0”,为真命题;“∃x∈R,2x+1为奇数”的否定为“∀x∈R,2x+1不是奇数”,为假命题.故选D.答案 D方法技巧在写含有一个量词命题的否定时,要将“∀”改成“∃”,将“∃”改成“∀”,对于一些量词不是很明显的,可以先将其改写成含有量词的命题,然后写其否定.7.(★★)设命题p:∀x∈R,x2-4x+2m≥0(其中m为常数),则“m≥1”是“命题p为真命题”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件7.考点全称量词命题,充分、必要条件.思路分析先求出使命题p为真命题的m的取值,然后进行判断即可.解析若命题p为真命题,则Δ=16-8m≤0,所以m≥2.所以“m≥1”是“命题p为真命题”的必要不充分条件,故选B.答案 B误区警示一定要看清谁是谁的什么条件,切勿弄混.8.(★★)关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是( )A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-1,3)C.(1,3)D.(-∞,1)∪(3,+∞)8.考点解一元二次不等式.思路分析本题考查了不等式的解法,利用一元一次不等式和一元二次不等式的解法即可得出.解析∵关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),∴{a>0, ba=1,∴关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0可化为(x+1)(x-3)>0,∴x<-1或x>3.∴关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是{x|x<-1或x>3}.故选A.答案 A方法技巧由一元一次不等式ax-b>0的解集是(1,+∞)得出a>0和ab=1是关键,然后转化所求不等式.9.(★★★)设a,b,c∈(0,+∞),则三个数a+1b ,b+1c,c+1a的值( )A.都大于2B.都小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于29.考点基本不等式思路分析利用基本不等式即可求解.解析∵a,b,c都是正数,∴(a+1b )+(b+1c)+(c+1a)=a+1a +b+1b+c+1c≥2+2+2=6,当且仅当a=b=c=1时,等号成立.故三个数a+1b ,b+1c,c+1a中,至少有一个不小于2(否则这三个数的和小于6).答案 D方法技巧将三个数的和变形,利用基本不等式是关键,本题也可以用反证法求解(以后讲到).10.(★★★)定义集合A与B的运算“*”为:A*B={x|x∈A或x∈B,但x∉A∩B}.设X是偶数集,Y={1,2,3,4,5},则(X*Y)*Y=( )A.XB.YC.X∩YD.X∪Y10.考点集合的新定义问题.思路分析根据A*B={x|x∈A或x∈B,但x∉A∩B}分析出X*Y中的元素,进而可得(X*Y)*Y中的元素.解析∵A*B={x|x∈A或x∈B,但x∉A∩B},∴X*Y的元素包括除2,4以外的偶数和1,3,5,故(X*Y)*Y=X,故选A.答案 A11.(★)某工厂第一年年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则( )A.x=a+b2B.x≤a+b2C.x>a+b2D.x≥a+b211.考点基本不等式.思路分析先利用条件列方程(1+a)(1+b)=(1+x)2,然后利用基本不等式即可求解. 解析由题意得A(1+a)(1+b)=A(1+x)2⇒(1+a)(1+b)=(1+x)2,∵(1+a)(1+b)≤(1+a+1+b 2)2.当且仅当a=b 时等号成立, ∴1+x ≤2+a+b 2=1+a+b 2⇒x ≤a+b 2.故选B.答案 B方法技巧 对于实际应用问题,能正确根据题意列出等式(或不等式),并结合基本不等式求解是关键.12.(★★★)设函数f(x)=√ax 2+bx +c (a<0)的定义域为D,若所有点(s,f(t))(s,t ∈D)构成一个正方形区域,则a 的值为( ) A.-2 B.-4 C.-6 D.不能确定12.考点 函数的定义域与区间表示;函数的值域.解析 由于所有点(s,f(t))(s,t ∈D)构成一个正方形区域, 所以对于函数f(x),其定义域x 的长度和值域的长度是相等的. f(x)的定义域为ax 2+bx+c ≥0(a<0)的解集, 设x 1、x 2是方程ax 2+bx+c=0(a<0)的根,且x 1<x 2, 则定义域的长度为 |x 1-x 2|=√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√b 2-4ac a ,则f(x)的值域为[0,√4ac -b 24a],则有√b 2-4ac a =√4ac -b 24a,所以a=-4,故选B. 答案 B方法技巧 本题的关键是定义域的长度与值域的长度相等.第Ⅱ卷(非选择题,90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.(★)命题“∃x ∈R,x 2<0”的否定是 .13.考点存在量词命题的否定.解析命题“∃x∈R,x2<0”的否定为“∀x∈R,x2≥0”.答案∀x∈R,x2≥0方法技巧写含有量词命题的否定时,一定要将“∀”改为“∃”,将“∃”改为“∀”. 14.(★)已知集合A={-1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},则A∩B= .14.考点集合交集的运算.思路分析找出两个集合的公共元素即可.解析由题意知A∩B={1,6}.答案{1,6}15.(★★)不等式5−xx2-2x-3≤-1的解集为.15.考点分式不等式的解法.思路分析移项,通分可得(x-1)(x-2)(x-3)(x+1)≤0,再利用分子、分母异号且分母不为0可得不等式组,从而可解.解析∵5−xx2-2x-3≤-1,∴5−xx2-2x-3+1≤0.∴5−x+x 2-2x-3x2-2x-3≤0,∴x 2-3x+2x-2x-3≤0,即(x-1)(x-2)(x-3)(x+1)≤0,∴{(x-1)(x-2)≤0,(x-3)(x+1)>0,或{(x-1)(x-2)≥0,(x-3)(x+1)<0,∴-1<x≤1或2≤x<3,所以原不等式的解集为{x|-1<x≤1或2≤x<3}. 答案{x|-1<x≤1或2≤x<3}16.(★★★)若关于x的三次方程a3x3+a2x2+a1x+a=0(a3≠0,ai∈R,i=0,1,2,3)的3个实根为x 1,x2,x3,那么x1x2+x2x3+x3x1+x1x2x3= .16.考点函数解析式的求法.思路分析根据题意可得a3x3+a2x2+a1x+a=a3(x-x1)(x-x2)(x-x3),展开等号右边的代数式,比较等式两边多项式对应的系数可得所求代数式的值.解析因为关于x的三次方程a3x3+a2x2+a1x+a=0的3个实根为x1,x2,x3,所以a3x3+a2x2+a1x+a=a3(x-x1)(x-x2)(x-x3),而a3(x-x1)(x-x2)(x-x3)=a3x3-a3(x1+x2+x3)x2+a3(x1x2+x2x3+x3x1)x-a3x1x2x3,所以a3(x1x2+x2x3+x3x1)=a1,-a3x1x2x3=a,所以x1x2+x2x3+x3x1=a1a3,x1x2x3=-a0a3,故x1x2+x2x3+x3x1+x1x2x3=a1-a0a3.答案a1-a0a3方法技巧利用对应项的系数相等列式是解题的关键.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,写出必要文字说明的演算步骤)17.(★★)(本小题满分10分)已知A={x|x2+4x+4=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},其中a∈R,如果A∩B=B,求实数a的取值范围.17.考点根据集合间的关系求参数的取值范围.思路分析先求出集合A,然后根据A∩B=B求得集合B的可能取值,然后即可求实数a的取值范围.解析由x2+4x+4=0可得x1=x2=-2,∴A={x|x2+4x+4=0}={-2}. ∵A∩B=B,∴B⊆A,∴B=⌀或B={-2},∴Δ=4(a+1)2-4(a2-1)≤0, 解得a≤-1.当a=-1时,B={0},舍去.综上可知,所求实数a 的取值范围为(-∞,-1).方法技巧 利用性质A ∩B=B ↔B ⊆A 来转化,要特别注意当A ∩B=B 时,往往需要分B=⌀和B ≠⌀两种情况来讨论,而这一点在解题时很容易被忽视.18.(★★)(本小题满分12分)已知集合A={x||x-2|<a,a>0},集合B={x |2x -2x+3<1}. (1)若a=1,求A ∩B;(2)若A ⫋B,求实数a 的取值范围. 18.考点 交集运算,由集合间的关系求参数的范围.思路分析 (1)由绝对值的几何意义求出集合A,再按照分式不等式的解法求出集合B,利用交集的含义求A ∩B.(2)由条件A ⫋B,结合数轴,表示出集合A 和集合B 的位置,转化为关于a 的不等式组求解即可. 解析 (1)当a=1时,|x-2|<1, 即-1<x-2<1,解得1<x<3. 则A={x|1<x<3}.由2x -2x+3<1,即x -5x+3<0,得-3<x<5. 则B={x|-3<x<5}. 所以A ∩B={x|1<x<3}.(2)由|x-2|<a(a>0),得2-a<x<2+a. 因为A ⫋B,所以{2−a ≥−3,2+a <5,a >0或{2−a >−3,2+a ≤5,a >0,解得0<a ≤3.方法技巧 解题时,采用数形结合的方法,确定含参集合的的端点值的位置,并用不等式(组)表示,从而得到参数的取值范围.另外,求解时要特别注意端点值的取舍.19.(★★)(本小题满分12分)若x 1,x 2是关于x 的方程x 2-(2k+1)x+k 2+1=0的两个实数根,且x 1,x 2都大于1.(1)求实数k 的取值范围; (2)若x 1x 2=12,求k 的值.19.考点 一元二次方程的参数问题.思路分析 (1)根据题意得出关于k 的不等式组;然后求解即可.(2)根据根与系数的关系得到x 1+x 2=2k+1,x 1·x 2=k 2+1,利用x 2=2x 1,得3x 1=2k+1,2x 12=k 2+1,所以2×(2k+13)2=k 2+1,解此方程得到k 1=1,k 2=7,然后根据(1)中的结论确定k 的值.解析 (1)由题意得{[-(2k +1)]2-4(k 2+1)≥0,1−(2k +1)×1+k 2+1>0,--(2k+1)2>1,解得k ≥34且k ≠1. (2)根据题意得 x 1+x 2=2k+1,x 1·x 2=k 2+1, ∵x 1x 2=12,∴x 2=2x 1,∴3x 1=2k+1,2x 12=k 2+1,∴2×(2k+13)2=k 2+1,整理得k 2-8k+7=0,解得k 1=1,k 2=7, 结合(1)可知k 的值为7.20.(★★)(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax 2+(b-8)x-a-ab,当x ∈(-3,2)时,f(x)>0;当x ∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0. (1)求a,b 的值;(2)若ax 2+bx+c ≤0的解集为R,求实数c 的取值范围. 20.考点 三个“二次”之间的关系.思路分析 (1)利用二次函数图象的开口方向,结合不等式的解集,列出方程组即可求a,b 的值;(2)构造函数,通过不等式ax 2+bx+c ≤0的解集为R,结合二次函数的性质,列出不等式求实数c 的取值范围.解析 (1)由题意可知,函数为二次函数,且f(x)的图象开口向下,与x 轴交于两点(-3,0)和(2,0).∴{a ·(-3)2+(b −8)×(−3)−a −ab =0,a ·22+2(b −8)−a −ab =0,解得{a =0,b =8(舍去)或{a =−3,b =5.所以a,b 的值分别为-3,5.(2)令g(x)=-3x 2+5x+c,要使g(x)≤0的解集为R,则需要方程-3x 2+5x+c=0的根的判别式Δ≤0,即Δ=25+12c ≤0,解得c ≤-2512,∴实数c 的取值范围为c ≤-2512.方法技巧 在求解一元二次不等式时,数形结合通常使问题更加直观明了,判别式Δ的应用会使求解更加简单.21.(★★★)(本小题满分12分)某工厂去年某产品的年产量为100万只,每只产品的销售价为10元,固定成本为8元.今年,工厂第一次投入100万元(科技成本),并计划以后每年比上一年多投入100万元(科技成本),预计产量年递增10万只,第n 次投入后,每只产品的固定成本为√n+1(k>0,k 为常数,n ∈Z 且n ≥0),若产品销售价保持不变,第n 次投入后的年利润为f(n)万元.(1)求k 的值,并求出f(n)的表达式;(2)问从今年算起第几年的年利润最高?最高利润为多少万元?21.考点 基本不等式的实际应用.思路分析 (1)根据每只产品的固定成本为8元及关系式为g(n)=√n+1,可求k 的值,利用第n 次投入后的年利润为f(n)万元,可建立函数关系式;(2)先由(1)可得年利润f(n)的关系式,再用基本不等式求最高利润.解析 (1)g(n)=√n+1,由题意知,当n=0时,g(0)=8,可得k=8,所以f(n)=(100+10n)(10−√n+1)-100n(n ∈Z,n ≥0). (2)f(n)=(100+10n)(10−√n+1)-100n =1000-80(√n+1)=1000-80(√n+1+√n+1)≤1000-80×2√9=520.当且仅当√n+1=n+1,即n=8时取等号,所以从今年算起第8年工厂的年利润最高,最高为520万元.方法技巧本题主要考查利用基本不等式求最值,关键是从实际问题中抽象出数学模型. 22.(★★★)(本小题满分12分)设f(x)=3ax2+2bx+c(a,b,c∈R),若a+b+c=0,f(0)·f(1)>0,求证:(1)方程f(x)=0有实根;(2)-2<ba<-1;(3)设x1、x2是方程f(x)=0的两个实根,则√33≤|x1-x2|<23.22考点三个“二次”之间的关系.思路分析(1)针对a进行分类讨论,若a=0,则f(0)f(1)≤0,显然与条件矛盾,a≠0时,f(x)=3ax2+2bx+c为二次函数,只需考虑判别式即可;(2)由a+b+c=0,f(0)f(1)>0,可构造关于ba 的不等式,解不等式可得-2<ba<-1;(3)利用根与系数的关系将(x1-x2)2转化成关于ba的二次函数,根据ba的范围求出值域即可.证明(1)当a=0时,b=-c,f(0)·f(1)=c(3a+2b+c)=-c2≤0,与已知矛盾, 所以a≠0.由题意得c≠0.方程3ax2+2bx+c=0的判别式Δ=4(b2-3ac),由a+b+c=0,消去b,得Δ=4(a2+c2-ac)=4[(a-12c)2+34c2]>0.故方程f(x)=0有实根.(2)由f(0)·f(1)>0,得c(3a+2b+c)>0. 由a+b+c=0,消去c得(a+b)(2a+b)<0. 因为a2>0,所以(1+ba )(2+ba)<0.故-2<ba<-1.(3)由已知得,x1+x2=-2b3a,x1x2=c3a=-a+b3a,所以(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=49(b a +32)2+13.因为-2<b a <-1,所以13≤(x 1-x 2)2<49.故√33≤|x 1-x 2|<23.方法技巧 对形如ax 2+bx+c=0的方程求解时,一定要对a=0和a ≠0进行讨论,结合判别式和根与系数的关系可解决问题.。
2019-2020学年湖南长沙长郡中学高一入学分班考试数学卷
2019-2020长郡中学高一上开学考试数学卷2019.08一. 选择题1.9的算术平方根是（）A. 3B. 3-C. 3±D.812.2019年4月23日是中国海军70华诞的日子，我国宣布中国海军现役海军人数约为24万人，舰船300余艘，现役舰艇总吨位仅次于美国，将24万用科学计数法表示为（）A. 42410⨯ B. 52.410⨯ C. 42.410⨯ D.72.410⨯3.过正方体上底面的对角线和下底面一顶点的平面截去一个三棱锥所得到的几何体如图所示,它的俯视图为（）A B C D4.下列运算中正确的是（）A. 666422n n n--=- B. ()326327n n-=C. 22(4)416n n n-=-+ D. 2(2)(2)4n n n+-=-5. 下列事件中，是必然事件是（）A. 买一张电影票，座位号一定是偶数B. 随时打开电视机，正在播新闻C. 将△ACB绕点C旋转50°得到△A′C′B′，这两个三角形全等D. 阴天就一定会下雨6. 不等式组2233(51)72xxx x-⎧-⎪⎨⎪--<-⎩，的整数解得个数是（）A. 5B. 4C. 3D. 27. 如图,正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后,若顶点A,B,C,D的坐标分别是()()()()0,,3,2,,,,,a b m c m-则点E的坐标是（）A. (3,2)B. (2,3)C. (2,3)-D. (3,2)-8. 如图,在物理课上,老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中,然后缓慢匀速向上提起,直至铁块完全露出水面一定高度,则下图能反映弹簧测力计的读数y(单位：N)与铁块被提起的高度x(单位：cm)之间的函数关系的大致图象是（）A B C D9. 《九章算术》记载了一个方程的问题,译为:今有上禾6束,减损其中之“实”十八升,与下禾10束之“实”相当;下禾15束,减损其中之"实"五升,与上禾5束之“实”相当.问上,下禾每束之实各为多少升?设上下禾每束之实各为x升和y升，则可列方程组为（）A.618101555x yy x+=⎧⎨+=⎩B.618101555x yy x-=⎧⎨-=⎩C.6181515510x yy x-=⎧⎨-=⎩D.6181515510x yy x+=⎧⎨+=⎩10. 如图,△ABC中, 90,3,4,BAC AB AC∠===点D是BC的中点,将△ABD沿AD翻折得到△AED,连CE,则线段CE的长等于（）A. 2B.54C.53D.7511. 如图,边长为4cm的正方形ABCD,点F为正方形的中点,点E在F A的延长线上,EA=4cm,⊙O的半径为1cm,圆心O从点E出发向点F运动,小明发现：当EO满足35EO<<①;35;42;432EO EO EO==+②③④,⊙O与正方形ABCD的边只有两个公共点,你认为小明探究的结论中正确的有（） A. ①③B. ②③C. ②④D. ①③④12. 已知二次函数22y x mx =- (m 为常数),当12x -时,函数值y 的最小值为−2,则m 的值是（ ）A. 32B.2C.32或2 D. -32或2二. 填空题13. 因式分解2288a a -+=14. 已知a ，b 是一元二次方程25+0x x k +=的两个实数根，且2a ab b -+=，则实数k 的值是15. 已知220,3a b a b ab >>+=，则22a b ab-的值为16. 如图，在Rt ACB ∆，90ACB ︒∠=，AC BC =，点O 是Rt ACB ∆内部一点，ABO BCO CAO ∠=∠=∠.设,,OA a OB b OC c ===，则a bc+= 17. 在纸上剪下一个圆和一个扇形纸片，使它们恰好围成一个圆锥（如图所示），如果扇形的圆心角为，扇形的半径为4，那么所围成的圆锥的高为 .18. 已知矩形OABC 中,O 为坐标原点,点A 在x 轴上,点C 在y 轴上,B 的坐标为(10,5)，点P 在边BC 上，点A 关于OP 的对称点为A'，若点A ′到直线BC 的距离为4，则点A ′的坐标可能为 .三. 解答题19.计算2201912cos 45|(1)2-︒⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭．20. 先化简22242mm m m m m ⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，再从-2，0，1，2中选取一个符合要求的数代入求值。