第5章 匹配与独立集

图G应满足什么条件才有完美匹配？这是我们关心的主要问 题。 本节先考虑G是二部图的情形（Hall定理），然后考虑一般 图的情形（Tutte定理）。对这些定理有许多不同的证明。 Hall定理是组合数学中最基本的定理之一。它有各种表达形 式，这里给出其图论形式。
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第1节 匹 配
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第1节 匹 配
设G是一个图,
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M⊆E(G) , 满足:对∀ei , ej∈M, ei 与 ej 在G中不相 邻, 则称 M 是G的一个匹配(matching) 。 = uv , 其两端点u和v称为是M饱和点 (saturated vertex) ，反之称为非饱和点(unsaturated vertex) 。 均有 | M′|≤| M | , 则称M是G的一个最大 匹配(maximum matching) 。 number)，记为 α′(G)。
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第1节 匹 配
定理5.1.2
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( Tutte定理, Tutte,1947)
设图G有完美匹配M。
图G有完美匹配的充要条件是对∀S⊂V (G)，O(G\ S)≤| S |。
证明：必要性
对∀S⊂V (G)，若G\ S无奇分支，则O(G\ S) = 0； 否则，设 G1 ,G2 , ……,Gn 是G\ S 的所有奇分支。 注意每个Gi 中至少有一个顶点 ui 在M 下与S中的某个顶点vi 配对（ i = 1,2,……,n），（因Gi 是奇分支，M是完美匹配）。
思考：该实例问题的数学模型如何建立？
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第1节 匹 配
例
g1
男生 认识的女生 b1
3
b1 b2 b3 b4
g1,g4,g5 g1 g2,g3,g4 g2,g4
b2
b3 b4
g2
g3 g4
g5 配偶问题：是否存在单射 f: V1→V2，使得任意vV1, v 与 f (v) 相邻。 即二部图是否存在一个边集E使得其中任意两边不邻接， 且每个结点bi与E的某个边关联。
由于λ(G)≥

得到 O(G\ S)≤| S |。
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第1节 匹 配
推论5.1.2.2
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(Peterson, 1891)
２边连通（无割边）的３正则图有完美匹配。 注：有割边的３正则图未必有完美匹配。
例如：下图中，因O(G − v) = 3 > |{v}|, 故无完美匹配。
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第1节 匹 配
的两端点至少有一个属于S，因而α′(G) ≤ β(G) 。证毕。
计算一些特殊图的边独立数α′(G)与点覆盖数β(G)： ������
思考：该实例问题的数学模型如何建立？
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第1节 匹 配
匹配问题是运筹学的重要问题之一，也是图论研究的重要 内容，它在所谓“人员分配问题”中有重要作用。
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实例：现有n个人，m份工作，每个人有几项擅长的工作。在什 么条件下每个人都可以得到一份他擅长的工作？如何分配？ 类似的配偶问题：假定有一个男生集合,其中每个男生认识一些 女生,在什么条件下每个男生都可以和某个认识的女生结婚？
易检验每个M i 都是G的完美匹配，且不同的M i 无公共边。
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第1节 匹 配
点覆盖
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(vertex covering set) (教材第200页) 设G是无环非空图，C是V (G)的非空子集，若G的每条边至少 有一个端点属于C，则称C是G的一个点覆盖。 ，C \{v}不再是G的点覆盖，则称点覆盖C 是 一个极小点覆盖。 如果G中任何异于C的点覆盖C’，均有 |C’|≥|C| ，则称点覆盖C 是一个最小点覆盖。 最小点覆盖的点数称为G的点覆盖数，记为β(G) 或β。
推论5.1.2.1
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偶数阶（k −1）边连通 k正则图有完美匹配。
证明：设G 当 k 设 S 令νi
是命题中所述的k正则图。 以下假定k ≥ 2 。
= 1时，结论显然。
是G 的任一个非空顶点集， G1 ,G2 ,……,Gn 是G \ S 的奇分支。 = V (Gi ), mi = | { e | e是 Gi 与 S 之间的连边 } |。 k − 1，故m i ≥ k −1 , (i = 1,2,…,n) 。进一步可证m i ≥ k 。
定理5.1.1
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(Hall定理，P. Hall, 1935)
设G是具有二部划分{X
,Y} 的二部图，则G有饱和X 的匹配 当
且仅当 对 ∀S ⊆ X ， |N(S)| ≥ |S| ，其中N(S) 表示S的所有邻点 之集。 g1
b1
b2 b3 b4 g2 g3 g4 g5
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第1节 匹 配
G的 M交错路 是指其边在M
(教材P213)
和 E(G) \ M 中交替出现的路。
如果G的一条
M交错路(alternating path) 的起点和终点都是M
非饱和的, 则称其为一条 M增广路(augmenting path)。 定理 5.3.1 (Berge,1957) 图G的匹配M是最大匹配的充要条件是G中不存在M增广路。
证明：先证G有完美匹配。
设G= {X ,Y}是k正则二部图，则k|X|= |E(G)| = k|Y|，因k>0 ，故|X|=|Y|。
任取S⊆X，令E1= {G中与S 关联的边}，E2={G中与N(S)关联的边}。则 E1⊆E2 。
因而 k|N (S)| = |E2 |≥ |E1 |= k|S|，即|N(S)| ≥ |S| 。
由推论5.1.1.1，G有完美匹配。
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推论5.1.1.2
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(Kö nig,1916)
设G是k正则二部图(k> 0) ，则G有k个边不重的完美匹配。
证明：再证G中有k个边不重的完美匹配（用归纳法）。
当k=1时，结论显然成立。
设对所有k正则二部图，结论成立。下证对(k+1) 正则二部图G，结论 也成立。 设M是G的一个完美匹配。令G′= G\ M。则G′是k正则二部图。 由归纳假设，G′中有k个边不重的完美匹配。 故G中有k+1个边不重的完美匹配。证毕。
推论5.1.2.3
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偶数阶完全图K2n 有2n −1个边不重的完美匹配。
证明一：
当n = 1时，结论显然。下设n ≥ 2。
令V (K2n) ={v1, v2 , …, v2n } ，对每个i = 1,2,…,2n −1，构作一个匹配: M i = { vi v2n } ∪ { vi−j vi +j | j =1,2, …, n −1 } , 其中 i − j 和 i + j 都是 mod(2n −1) 的。 易检验每个M i 都是G的完美匹配，且不同的M i 无公共边。
故 O(G\ S) = n= |{ v1, v2 ,……, vn } |≤|S|。
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第1节 匹 配
定理5.1.2
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( Tutte定理, Tutte,1947)
图G有完美匹配的充要条件是对∀S⊂V (G)，O(G\ S)≤| S |。
证明：充分性

证法一： (见教材P196) 证法二： (见教材P199) （Lovász,1973）

补充推论
完全二部图Kk,k 中存在k个边不重的完美匹配。
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第1节 匹 配
推论5.1.1.3
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设G= {X,Y} 是二部图，且|X| = |Y| = n 。若δ(G) ≥ n/2 ，则G有 完美匹配。
证明：(用反证法)
若G没有完美匹配，则由推论5.1.1.1，存在S⊆X , S≠φ ，使| N(S) |< | S | 且有 | N(S) |< | S |≤| X |=|Y | 。 因δ(G)≥ n/2，故| S |> | N(S) |≥δ(G)≥n/2，且Y \ N(S) ≠φ。 令u ∈Y \ N(S) ，则 N(u) ⊆ X \ S ，因此， δ(G) ≤ dG (u) = | N(u) | ≤| X |−| S | < n − n/2 = n/2。 这与条件矛盾。故G有完美匹配。证毕。
对匹配M中每条边e
若对G的任何匹配M′,
最大匹配包含的边数称为匹配数(matching
如果G中每个点都是M饱和点,
则称M是G的完美匹配(perfect
matching)。
显然,
完美匹配必是最大匹配。
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第1节 匹 配
例：试找出下面两图中的匹配、最大匹配、完美匹配。
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补充内容：设M是G的一个匹配,
若对任给的x∈C
例：右图中，顶点子集C1={ v0, v1, v3, v5, v7 }和C2={ v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8 }都 是G的点覆盖，且都是极小点覆盖。
点覆盖C1是最小点覆盖。
所以β(G) ＝5。
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第1节 匹 配
思考：点覆盖与匹配的关系
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推论5.1.1.1
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( 婚姻定理 ，Frobenius，1917) 具有二划分{X ,Y} 的二部图G有完美匹配的充分必要条件是|X| = |Y| 且对∀S⊆X（或Y），均有| N(S) |≥| S | 。 (Kö nig,1916)
推论5.1.1.2
设G是k正则二部图(k> 0) ，则G有k个边不重的完美匹配。
第5章 匹配与独立集
匹配问题是运筹学的重要问题之一，也是图论研究的重要 内容，它在所谓“人员分配问题”中有重要作用。
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实例：现有n个人，m份工作，每个人有几项擅长的工作。在什 么条件下每个人都可以得到一份他擅长的工作？如何分配？ 类似的配偶问题：假定有一个男生集合, 其中每个男生认识一 些女生,在什么条件下每个男生都可以和某个认识的女生结婚？