高三数学竞赛试题

高三数学竞赛试题
一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

) 1、
{}{}{}()A B=,,,A=2,0B=0,8A B A A 16B 18C 20D 22z z xy x A y B ⊗=∈∈⊗定义集合运算：设，，则集合的所有元素之和为，，，。

2{}()()
[)[)25122311
4
32163212,16,8,16,8,,,.
333n n n a n N C A B C D *+∈⎡⎫⎡⎫
⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭
已知是等比数列，a =2,a =,则a a +a a ++a a 的取值范围是3、
(()21C A 4B 3C 2D 1a b a ab +，小数部分为，则的值为。

，，，。

4、
()C AB -3OA=OB=OC=,A 1331,2,2,.
2222
a b c A c a b B c b a C c a b D c a b =-+=-+=-+=-如图所示：已知点分有向线段的比为，且，，则以下等式成立的是
O
5、从存有号码为1,2，…,10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
则取到号码为奇数的频率是( A) A 0.53， B 0.5， C 47， D 0.37。

6、(08江西理)(较难) 连结球面上两点的线段称为球的弦。

半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：
①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N
③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为1 其中真命题的个数为( C )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解：①③④正确，②错误。

易求得M 、N 到球心O 的距离分别为3、2，若两弦交于N ，则OM ⊥MN ，Rt OMN ∆中，有OM ON <，矛盾。

当M 、O 、N 共线时分别取最大值5最小值1。

7、
()()()()0000sin 2008cos 2008sin 2008cos 2008( B)
A a b c d,
B b a d c,
C c d b a,
D d c a b.
<<<<<<<<<<<<设a=sin ，b=sin ，c=cos ，d=cos ，则a,b,c,d 的大小关系是
()()()()00000000001
2008180018028,0sin 2008cos 200812sin cos 2008sin sin 2008cos cos 2008cos sin 2008=++⇒>>-
>>-⇒<<<
8、()()()()323614,1,19,f x x x x f a f b a b D =+++==+=设函数且则
2,1,0, 2.A B C D -
()()()()()()()()()()()()()()()()()()3
3233
3
322222
32
2
3614=13110,3131101,1311019,1112
3613=06380365=0
f x x x x x x
g y y y g y f a a a f b b b g a g b g a a b a a a a b a ab b a b b b b a
=+++++++=+=++++==++++=⇒++∴+⇒+=-⎧+++⎪⇒+-+++++=⎨++-⎪⎩-法一：设，则为奇函数且为单调递增函数，
且=-9,=9,=-9=g -b-1,法二：易得()()()22260,380,0.D ab b a b a b ++>++>∴+<选。

二、填空题(本大题是6个小题，每小题8分，共48分，请将正确的答案填在横线上)
9、
()()AB M AM=2MB _______.
1
已知A a,0，B 3,2+a ,且直线y=ax 与线段相交于，，
2
则a 等于 a+b 42M ,-4233a ⎛+⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1代入y=ax 得a=或2 10、
(){}
()()2
2//////,2008,,,_____________________x y x
y P x y P x y x x y y P P Q Q Q Ω=
+≤≤≥ΩΩ已知集合若点、点满足且，
则称点优于。

如果集合中的点满足：不存在中的其它点优于，则所有这样的点构成的集合为。

(){}
22Q ,2008,00
Q x y x y x y ΩΩ∴+=≤≥分析：“不存在中的其它点优于”即“点的左上方不存在中的点”。

满足条件的点的集合为且
11、
()()()()()()()R __________.
≤≥=若f x 是定义在上的函数，对任意实数x ，都有f x+3f x +3和f x+2f x +2，且f 1=1，则f 2008
()()()()()()()()()()321,
14322311120082008.
f x f x f x f x f x f x f x f x f ≤+-≤++≥+-≥++-≥+∴+=+=分析：f x+1又 12、（08海南）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。

已知该六棱柱的顶点都在同
一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，那么这个球的体积为 ______43π
13、
()()10,2_____x x λλ<+∈对一切实数恒成立，
则实数的取值范围是。

(()()[)2
228824,1
24,x
x x x x x x λ++-+=
≤
=+=⇒∈+∞分析：当且仅当时等号成立。

14、
()[][][]k 11P ,1215555121552008______________k k k y k k x k k y y --≥⎧--⎡⎤⎡⎤=+-+⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣
⎦⎨
--⎡⎤⎡⎤⎪=++-⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎩
k 11k k 某学校数学课外活动小组在坐标纸上，为某沙漠设计植树方案如下：第k 棵树种植在点x 处，其中x =1,y =1，当k 2时，
x ,其中a 表示实数a 的整数部分，例如2.6=2，0.6=0，按此方案，第棵树种植点的坐标为。

()3,402分析：直接用累加法可得。

三、解答题(本大题共4小题，共62分，要求解答有必要的过程。

)
15、(本题满分为14分
)
7
ABC A B C cos 2,22(1)A (2)B C A +∆-=2在中，a,b,c 分别是角，，的对边，且4sin 求角的度数，若b+c=3，求b 和c 的值。

()()()()202
271
121cos 2cos 1cos ,60.22
23,321,22,1A A A A b c a bc b c bc b c b c +-+=
⇒==+-=+=⇒=⇒====分析：由余弦定理得或。

16、(本题满分为14分)在四边形ABCD 中，A D ∥BC ，AB=DC ，AC 与BD 相交于O ， ∠BOC=120°，AD=4，
BD=ABCD 的面积 。

分析：(1)若四边形ABCD 为平行四边形时，如图作AE ⊥BD 于E ，设
OE=x,
0BOC=120,262
AO x x S BD AE ∠=⇒=
⇒=⨯=，
(2) 若四边形ABCD 为等腰梯形时，如图，作DE ∥AC 交BC 的延长线于点E ，过点D 作DH ⊥BC 于H 。

DE=
(
)6,DH HE S CE BC DH ===+•=
17、(本题满分为16分)如图，在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，G ，M ，N ，Q 分别是棱AA 1，A 1B 1，A 1D 1，BC ，CC 1，CD 的中点，(1)求证：平面EF G ∥平面
MNQ ，(2)求平面EFG 与平面MNQ 的距离。

18、
()()()()()()()()()()()()121212121241 ,,.11231263,f x R f x x R f x x f x f x x x f x f x f f x f x x ++=∈•=+>>++-≤设函数的定义域是，且满足条件，对任意，有，当时有求的值，
若求的取值范围。

()()()()()(]22
616664
110,26166643,5310,260,
x x f f x x f x x x ⎧--≤=--≤⇒⇒∈⎨
+>->⎩分析：。