多元函数微积分PPT演示课件
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第七章 多元函数微积分 主要内容：
第一节 空间解析几何简介 第二节 多元函数的基本概念 第三节 偏导数和全微分 第四节 多元复合函数求导法则
1
第五节 隐函数的求导法则 第六节 多元函数的极值 第七节 二重积分的概念和性质 第八节 二重积分的计算 第九节 对坐标的曲线积分
2
第一节 空间解析几何简介 ❖ 主要内容
5
z
zOx平面
yOz 平面
y
O
xOy 平面
x
三个坐标面：每两轴所确定的平面.即
面和
面.
面、
6
卦限：三个坐标面把空间分为八个部分,每部分称为 一个卦限.在 面的上方有四个卦限,在 面的右
方， 面的前方的卦限称为第Ⅰ卦限,然后按逆时针顺
序依次为Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ卦限； 在 面的下方，分别位于Ⅰ,
Ⅱ,Ⅲ ,Ⅳ卦限下面的四个卦限,依次为第Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ
15
例3 描绘出下列平面方程所代表的平面：
（1） x 2; （3） x y 1;
z
（2） z 1;
（4） x y z 1（a,b,c均不为0) abc
z
1
O
y
2 x
z
O
y
x
z
Cc
O 1 x
1y
B O by A a
x
16
3、母线平行于坐标轴的柱面
柱面：直线 L 沿定曲线 C 平行移动所形成的曲面称 为柱面．定曲线 C 称为柱面的准线,动直线 L 称为柱 面的母线.
N
M1M 2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
特别地，点 M (x, y, z) 到坐标原点
的距离为
O
OLeabharlann Baidu x2 y2 z2
M1(x1, y1, z1)
x
P1
y
P2
10
三、空间曲面及其方程
1、曲面方程的概念
定义 如果曲面Σ上每一点的坐标都满足方程
一、空间直角坐标系 二、空间两点间的距离 三、空间曲面及其方程 四、二次曲面
3
❖ 基本要求
了解空间直角坐标系，空间点的坐标； 掌握空间两点间的距离公式 了解空间曲面（平面）方程的概念，由平面 及常见曲面方程作出其图形
❖ 重点
由平面及常见曲面方程作出其图形
4
一、空间直角坐标系
坐标原点：空间一个定点 ； 三个坐标轴：三条相互垂直的数轴，都以 为原点且一般具有相同的单位长度 x轴（横轴），方向为由里向外； y轴（纵轴），方向为由左向右； z轴（竖轴），方向为由下向上。 它们的方向通常符合右手法则,即伸出右手, 让四指与大拇指垂直,并使四指先指向x轴,然后 沿握拳方向旋转 指向y轴,此时大拇指的方向 即为z轴方向.如图所示
xOy 平 面 上 的 投 影 分 别 为 P1, P2 ， 过 点M1 在 平 面 M1M 2P2P1 内 作
交 M1N∥P1P2 M2P2 于点 N ，可知，
z
P1(x1, y1, 0), P2 (x2, y2, 0), N (x2, y2, z1)
M2 (x2, y2, z2 )
由直角三角形的勾股定理可以推得
M0M R
即
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R ,
两边平方,得
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 经验证，上式就是以M 0 (x0 , y0 , z0 ) 为球心,以 R 为球半径
的球面方程.
特别地，球心在坐标原点的球面方程为
；而不在曲面Σ上的点的坐标都不满足这个方
程,则称方程
为曲面Σ的方程,而称曲面Σ为
此方程的图形.
z
F(x, y, z) 0
F (x, y, z) 0
O
x
y
11
例1 求球心在M0(x0, y0, z0) ,半径为 R 的球面方程. 解 设点M (x, y, z) 在为球面上任意一点,由题意可知
y
N y
xOy
P'
8
反之,任给出一组有序数组 和 ,可以确定空间惟一的 点 与之对应.
根据上面的法则,建立了空间一点与有序实数 （ x,y , z ）之间的一一对应关系.有序数组(x, y, z) 称为点 P的坐标,x,y ,z 分别称为横坐标,纵坐标和竖坐标.
P
9
二、空间两点间的距离公式
设 M1(x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2 ) 为空间两点（如图），假设点M1, M2 在
x2 y2 z2 R2.
12
例2 求与两定点M1(1,1,0) ，M 2 (2, 2,1) 等距离的点的 轨迹方程.
解 设M (x, y, z) 为轨迹上的点,按题意有：
写成坐标形式,即
MM1 MM 2
(x 1)2 ( y 1)2 (z 0)2 ( x 2)2 ( y 2)2 ( z 1)2
L
L C
17
（1）圆柱面方程
设一个圆柱面的母线平行于 z 轴,准线 C 是 xOy
平面上以原点为圆心, R 为半径的圆.在平面直角坐标系
中,准线 C 的方程为 x2 y2 R2,求该圆柱面的方程.
在圆柱面上任取一点M (x, y, z),
z
过点 M 的母线与 xOy 平面的交点
卦限.
z
ⅢⅡ
Ⅳ
Ⅰ
O Ⅶ
y Ⅵ
xⅧ
Ⅴ
7
点的坐标：设 为空间的任意一点,过点 作垂直
于坐标面 的直线得垂足 ,过 分别与x轴,y轴垂
直且相交的直线,过 作与z轴垂直且相交的直线,依次
得
轴上的三个垂足
设
分别是
点在数轴上的坐标.
z
R
这样空间内任一点 就 确定了惟一的一组有序的数组
,用
表示.
z
O x M
x
P(x, y,z)
化简,得 2x 2 y 2z 7
13
2.平面的一般式方程
可以证明，平面方程均可用三元一次方程 （1）
来表示 反过来,三元一次方程 Ax By Cz D 0 的图形一定
是平面 我们将方程(1)为平面的一般式方程.
14
对于一些特殊的三元一次方程，应熟悉它们图形 的特点：
1）当 D 0 时，方程表示通过原点的平面； 2）当 A, B,C 中之一为零时，如 A 0 ，方程变为 By Cz D 0 ，平面平行于 x 轴，此时若D 0 ，则By Cz 0 表示通过x 轴的平面； 3）如果 A, B,C 中有两个为零，如A B 0 ，方程变 为 Cz D 0 ，它表示平行于 xOy 面的平面，特别地，若 D 0 ，方程 z 0 表示 xOy 平面.
第一节 空间解析几何简介 第二节 多元函数的基本概念 第三节 偏导数和全微分 第四节 多元复合函数求导法则
1
第五节 隐函数的求导法则 第六节 多元函数的极值 第七节 二重积分的概念和性质 第八节 二重积分的计算 第九节 对坐标的曲线积分
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第一节 空间解析几何简介 ❖ 主要内容
5
z
zOx平面
yOz 平面
y
O
xOy 平面
x
三个坐标面：每两轴所确定的平面.即
面和
面.
面、
6
卦限：三个坐标面把空间分为八个部分,每部分称为 一个卦限.在 面的上方有四个卦限,在 面的右
方， 面的前方的卦限称为第Ⅰ卦限,然后按逆时针顺
序依次为Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ卦限； 在 面的下方，分别位于Ⅰ,
Ⅱ,Ⅲ ,Ⅳ卦限下面的四个卦限,依次为第Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ
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例3 描绘出下列平面方程所代表的平面：
（1） x 2; （3） x y 1;
z
（2） z 1;
（4） x y z 1（a,b,c均不为0) abc
z
1
O
y
2 x
z
O
y
x
z
Cc
O 1 x
1y
B O by A a
x
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3、母线平行于坐标轴的柱面
柱面：直线 L 沿定曲线 C 平行移动所形成的曲面称 为柱面．定曲线 C 称为柱面的准线,动直线 L 称为柱 面的母线.
N
M1M 2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
特别地，点 M (x, y, z) 到坐标原点
的距离为
O
OLeabharlann Baidu x2 y2 z2
M1(x1, y1, z1)
x
P1
y
P2
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三、空间曲面及其方程
1、曲面方程的概念
定义 如果曲面Σ上每一点的坐标都满足方程
一、空间直角坐标系 二、空间两点间的距离 三、空间曲面及其方程 四、二次曲面
3
❖ 基本要求
了解空间直角坐标系，空间点的坐标； 掌握空间两点间的距离公式 了解空间曲面（平面）方程的概念，由平面 及常见曲面方程作出其图形
❖ 重点
由平面及常见曲面方程作出其图形
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一、空间直角坐标系
坐标原点：空间一个定点 ； 三个坐标轴：三条相互垂直的数轴，都以 为原点且一般具有相同的单位长度 x轴（横轴），方向为由里向外； y轴（纵轴），方向为由左向右； z轴（竖轴），方向为由下向上。 它们的方向通常符合右手法则,即伸出右手, 让四指与大拇指垂直,并使四指先指向x轴,然后 沿握拳方向旋转 指向y轴,此时大拇指的方向 即为z轴方向.如图所示
xOy 平 面 上 的 投 影 分 别 为 P1, P2 ， 过 点M1 在 平 面 M1M 2P2P1 内 作
交 M1N∥P1P2 M2P2 于点 N ，可知，
z
P1(x1, y1, 0), P2 (x2, y2, 0), N (x2, y2, z1)
M2 (x2, y2, z2 )
由直角三角形的勾股定理可以推得
M0M R
即
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R ,
两边平方,得
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 经验证，上式就是以M 0 (x0 , y0 , z0 ) 为球心,以 R 为球半径
的球面方程.
特别地，球心在坐标原点的球面方程为
；而不在曲面Σ上的点的坐标都不满足这个方
程,则称方程
为曲面Σ的方程,而称曲面Σ为
此方程的图形.
z
F(x, y, z) 0
F (x, y, z) 0
O
x
y
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例1 求球心在M0(x0, y0, z0) ,半径为 R 的球面方程. 解 设点M (x, y, z) 在为球面上任意一点,由题意可知
y
N y
xOy
P'
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反之,任给出一组有序数组 和 ,可以确定空间惟一的 点 与之对应.
根据上面的法则,建立了空间一点与有序实数 （ x,y , z ）之间的一一对应关系.有序数组(x, y, z) 称为点 P的坐标,x,y ,z 分别称为横坐标,纵坐标和竖坐标.
P
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二、空间两点间的距离公式
设 M1(x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2 ) 为空间两点（如图），假设点M1, M2 在
x2 y2 z2 R2.
12
例2 求与两定点M1(1,1,0) ，M 2 (2, 2,1) 等距离的点的 轨迹方程.
解 设M (x, y, z) 为轨迹上的点,按题意有：
写成坐标形式,即
MM1 MM 2
(x 1)2 ( y 1)2 (z 0)2 ( x 2)2 ( y 2)2 ( z 1)2
L
L C
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（1）圆柱面方程
设一个圆柱面的母线平行于 z 轴,准线 C 是 xOy
平面上以原点为圆心, R 为半径的圆.在平面直角坐标系
中,准线 C 的方程为 x2 y2 R2,求该圆柱面的方程.
在圆柱面上任取一点M (x, y, z),
z
过点 M 的母线与 xOy 平面的交点
卦限.
z
ⅢⅡ
Ⅳ
Ⅰ
O Ⅶ
y Ⅵ
xⅧ
Ⅴ
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点的坐标：设 为空间的任意一点,过点 作垂直
于坐标面 的直线得垂足 ,过 分别与x轴,y轴垂
直且相交的直线,过 作与z轴垂直且相交的直线,依次
得
轴上的三个垂足
设
分别是
点在数轴上的坐标.
z
R
这样空间内任一点 就 确定了惟一的一组有序的数组
,用
表示.
z
O x M
x
P(x, y,z)
化简,得 2x 2 y 2z 7
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2.平面的一般式方程
可以证明，平面方程均可用三元一次方程 （1）
来表示 反过来,三元一次方程 Ax By Cz D 0 的图形一定
是平面 我们将方程(1)为平面的一般式方程.
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对于一些特殊的三元一次方程，应熟悉它们图形 的特点：
1）当 D 0 时，方程表示通过原点的平面； 2）当 A, B,C 中之一为零时，如 A 0 ，方程变为 By Cz D 0 ，平面平行于 x 轴，此时若D 0 ，则By Cz 0 表示通过x 轴的平面； 3）如果 A, B,C 中有两个为零，如A B 0 ，方程变 为 Cz D 0 ，它表示平行于 xOy 面的平面，特别地，若 D 0 ，方程 z 0 表示 xOy 平面.