核反应堆物理分析(第九讲)核反应堆动力学
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• 启停堆、调功率等对反应性的影响——by second——不易控。
3
• 解决反应性的迅速变化引起的中子通量密度 随时间的瞬态变化：中子动力学(neutron kinetics)。 • 反应堆瞬态过程中，存在着一些反馈效应， 本章不考虑。
4
8.1 缓发中子的作用
1.1 基本概念：
裂变中子(fission neutron): 由裂变过程产生 并保持它们初始能量的中子。 分为瞬发和 缓发两种。
39
3.2 常数缓发中子源近似
• 由于先驱核半衰期较长，在某些反应性瞬变 中(e.g.停堆插棒)可以认为缓发中子源保持 为常数：
C (t ) = l / k
i =1 i i
6
n0
eff
• 可得解析解： n0 0 − n(t ) = [ 0 exp( t) − ] 0 − l / keff
36
(p241)
37
8.3* 点堆方程的近似解法
• 方程(iii)、(iv)是个耦合的一阶微分方程组， 同时由于反应性的反馈作用(温度效应、中毒 等)，该方程一般也是非线性的： 6 dn (t ) − = n(t ) + i Ci (t ) (iii )
dt l / keff
i =1
• 缓发中子产生率= i Ci (r , t )
i =1
18
6
• 考虑缓发中子的单群扩散方程：
1 ( r , t ) 2 = D (r , t ) − a (r , t ) + (1 − )k a (r , t ) v t + i Ci (r , t )
t /T
实际使用的还有倍增周期Td,，Td=0.693T
13
• 只考虑瞬发中子，其平均寿命对于热堆为 10-3 ~10-4s，若取后者，则临界稳态情况下: 当有效增殖因数阶跃增加0.001时，反应 堆周期为10-4/0.001=0.1s，即1秒时间内堆 功率将增加为e10=22000倍！ • 对于快堆，瞬发中子寿命只有10-7s。
i =1 6
(i )
• 需要联立先驱核的连续性方程：
Ci (r , t ) = i k a (r , t ) − iCi (r , t ) i = 1, 2, t
,6 (ii)
19
点堆动力学方程
• 上述动力学方程，如果只重点考察其时间 效应，则可将整个反应堆视为一个集总参 数的系统，用一点的参数来代表整个堆， 即点堆模型(point reactor model)。 • 由此可建立点堆动力学方程： • 分离变量：
34
• 当0< ρ<β时称为缓发临界。
• 当ρ>β时称为瞬发超临界，此时只靠瞬发中 子即可使链式裂变反应不断发生，缓发中子 在决定周期方面已完全不起作用——堆功率 以瞬发中子决定的周期危险性地增长，反应 堆完全失控。
• 瞬发临界绝对不允许发生！
35
• 由于瞬发临界有特殊的重要性，有时以之 作为反应性的基本单位，称为 “元”(dollar): 反应性(＄) = ρ/β • 相应的0.01 β称为1“分”(cent)，当反应堆 正好具有1 ＄反应性时，反应堆达到瞬发临 界，这是不允许的。
24
25
阶跃扰动时点堆模型 动态方程的解
• 不考虑反馈效应，ρ=常数的情况下，点堆 模型动态方程是一个一阶线形常系数微分 方程组，解得到：
l 1 6 i = + 1 + l 1 + l i =1 + i
• 上式是一个关于ω的7次代数方程。
26
27
• 假设有效增殖因数阶跃增加0.001时，中子 寿命10-4S，堆内中子密度的时间响应为：
+(1 − )k a vn(t ) (r ) + iCi (t )gi (r )
dn(t ) 2 即： (r ) = −vn(t ) DB (r ) − a vn(t ) (r ) dt +(1 − )k a vn(t ) (r ) + i Ci (t )gi (r )
1 (r , t ) 2 = S (r , t ) + D (r , t ) − a (r , t ) v t
17
其中(不考虑外中子源) • 产生率=瞬发中子产生率+缓发中子产生率
• 瞬发中子产生率= (1 − )ka (r, t ) • 设第i组缓发中子先驱核浓度为Ci，则
8
• 对于裸堆单群近似：
l = l 1 1 = , l = 2 2 1+ L B v a 1 l = 2 2 v a (1 + L B )
9
10
反应堆周期
• 假设所有裂变中子都是瞬发的。
• 考虑到每代中子在其平均寿命l内数密度增 长为原来的keff倍：
dn(t ) keff − 1 = n(t ) dt l
• 假设先驱核浓度分布与中子通量密度分布 相同(凭什么?)： gi (r ) = (r )
22
• 再利用表达式：
keff k l 1 1 = ,l = = , keff = 2 2 2 2 2 2 1+ L B 1+ L B va (1 + L B ) 1−
• 方程化简为：
6 dn (1 − )keff − 1 = n(t ) + i Ci (t ) dt l i =1 6 dn (t ) − = n(t ) + i Ci (t ) dt l / keff i =1
• 初始条件： n(0) = n0
• 可解得：
n(t ) = n0 exp(
keff − 1 l
t)
11
12
• 反应堆周期(reactor period)：T：反应堆内 中子密度变化e倍所需要的时间。
n(t ) l T= = dn(t ) / dt keff − 1
故有：
n(t ) = n0 e
• 引入的反应性很大，则反应堆的响应特性主 要取决于瞬发中子的每代时间。
33
瞬发临界条件
• 瞬发临界(prompt critical)：仅依靠瞬发中 子即可使反应堆保持临界。 不考虑缓发中子的临界状态下，由方程(iii) 可得：
0=
即瞬发临界条件：
(t ) −
l / keff
n(t )
=
T
0
i
6
i
/ i =
1
0
t
i
i i
• 反应堆周期与瞬发中子寿命L无关，与引入 的反应性成反比，且取决于缓发中子寿 命t = i ti ，比L的值大得多，控制相对简 单。 i
32
引入大反应性时的响应特性
• 当引入很大的正反应性时（满足ρ0>>β）
T= 1 0 − 0 1
核反应堆物理分析 第八章
（2018—2019学年第一学期）
主讲：杨波
8.1 缓发中子的作用 8.2 核反应堆点堆动力学
8.3 次临界核反应堆动力学*
8.4 时空中子动力学简介*
2
引 子——反应性的瞬变
• 反应堆安全运行的基础在于成功地控制中子 通量密度(或功率)在各种情况下随时间的变 化。
• 燃料同位素、裂变产物同位素成分随时间的 变化及其对反应性的影响——by hour or day——易控；
0.832 0.169
0.716 0.258
7
0.17~0.27 430
中子平均寿命(mean neutron lifetime)：l： 快中子自裂变产生到慢化成为热中子，直 至最后被俘获的平均时间。
l = t s + td
• 对于无限介质单群近似：
v——中子平均速度
1 l = = v va
a
40
3.3 瞬跳近似
• 认为在短暂的瞬变过程中中子通量密度在 瞬间跃变，即：
i n0 dn = 0, Ci (0) = dt i l / keff
• 点堆方程组化为：
14
• 考虑缓发中子，长达几十秒的缓发时间使 得中子平均寿命大大延长。由下式可求得 热堆周期为100s！即1秒时间内堆功率将增 加为e0.01=0.01倍。
l = (1 − )l + i (ti + l ) = l + i ti
i =1 i =1
6
6
其中:
= i
i =1
6
U-235核热中子裂变缓发中子数据
组 1 2 3 4 半衰期/s 54~56 21~23 5~6 1.9~2.3 能量/KeV 份额/‰ 250 560 430 620 0.247 1.385 1.222 2.645 平均寿命/s 78.64 31.51 8.66 3.22
5 6
0.5~0.6
420
• 即使用数值方法，也要先作一番简化近似。
38
dCi i n(t ) = − i Ci (t ) i = 1, 2, dt l / keff
, 6 (iv)
3.1 单组缓发中子近似
• 将六组缓发中子等效为一组：
= i ; C = Ci
i =1 i =1 6 i = i =1 i 6 6
n(t) = n0 [1.446e 0.0182t - 0.0359e -0.0136t - 0.140e -0.0598t - 0.0637e
-0.183t
- 0.0205e
-1.005t
- 0.00767e -2.875t - 0.179e -55.6t ]
28
29
反应堆周期
• 无论引入ρ是正还是负，中子密度将发生 急剧变化，经过一段时间各瞬变项消失后 其时间特性最终都表现为：
(r , t ) = vn(t ) (r )
Ci (r , t ) = Ci (t ) g i (r )
20
• 回顾临界理论，引用中间结论：
(r ) = − B (r )
2 2
• 代入方程(i)得到： dn(t ) 2 (r ) = vn(t ) D (r ) − a vn(t ) (r ) dt
n(t ) ~ e n(t ) ~ e
1t
t /T
30
• 中子密度按指数规律变化e倍所需时间称为 反应堆周期，记作T，
T=
1
1
• 堆内中子通量密度增长一倍所需的时间， 称为“倍周期”或“倍增周期”，用Td表 示：
Td = T ln 2 = 0.693T
31
引入小反应性时的响应特性
• 当引入很小的正反应性时（满足ρ0<<β），
i =1 6
21
6
i =1
• 移项、合并同类项：
6 dn(t ) 2 = [(1 − )ka − DB − a ]vn(t ) + i Ci (t )gi (r ) / (r ) dt i =1
2 L = D / a • 利用 6 dn 2 = [(1 − )k − (1 + DB )]a vn + i Ci (t )gi (r ) / (r ) dt i =1
(对于U-235, β=0.0065,λ= 0.078s-1, l=10-4~10-3s, 即 − l / keff )
• 再忽略反应性反馈，可得解析解： (p234,p243) n0 − n(t ) = [ exp( t ) − exp(− t )] − − l / keff
(iii )
• 同理，方程(ii)化为：
dCi i n(t ) = − i Ci (t ) i = 1, 2, dt l / keff
, 6 (iv)
23
• 上述方程(iii)(iv)即点堆模型动态方程。其 使用范围限于反应堆偏离临界状态不远和 扰动不大的问题。但由于其简便，在局部 扰动不大或空间效应不重要的情况下，其 结果足以满足需要(e.g.一、二回路的部分 安全事故分析, 不含弹棒、卡棒事故)。
15
6
• 缓发中子份额虽少，但其较长的缓发时间 大大增加了两代中子间的平均时间间隔， 从而滞缓了中子密度的变化率。因而，反 应堆控制正是利用了缓发中子的作用才得 以实现的。 • 考虑缓发效应之后的非稳态方程：中子动 力学方程。
16
8.2 核反应堆点堆动力学
回顾单能中子扩散方程的建立思路： • 某一能量区间内： • 中子数密度变化率＝中子产生率－中子泄 漏率－中子吸收率
瞬发中子(prompt neutrons): 伴随着裂变产 生而没有可测延迟的中子。(10-14sec)
5
• 缓发中子(delayed neutrons):裂变后经过 （β）衰变而处于激发态的某种裂变产物所 发射的中子。 • 其裂变能约0.5MeV<瞬发裂变能。 • 根据半衰期的不同，可以分为六组：
3
• 解决反应性的迅速变化引起的中子通量密度 随时间的瞬态变化：中子动力学(neutron kinetics)。 • 反应堆瞬态过程中，存在着一些反馈效应， 本章不考虑。
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8.1 缓发中子的作用
1.1 基本概念：
裂变中子(fission neutron): 由裂变过程产生 并保持它们初始能量的中子。 分为瞬发和 缓发两种。
39
3.2 常数缓发中子源近似
• 由于先驱核半衰期较长，在某些反应性瞬变 中(e.g.停堆插棒)可以认为缓发中子源保持 为常数：
C (t ) = l / k
i =1 i i
6
n0
eff
• 可得解析解： n0 0 − n(t ) = [ 0 exp( t) − ] 0 − l / keff
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(p241)
37
8.3* 点堆方程的近似解法
• 方程(iii)、(iv)是个耦合的一阶微分方程组， 同时由于反应性的反馈作用(温度效应、中毒 等)，该方程一般也是非线性的： 6 dn (t ) − = n(t ) + i Ci (t ) (iii )
dt l / keff
i =1
• 缓发中子产生率= i Ci (r , t )
i =1
18
6
• 考虑缓发中子的单群扩散方程：
1 ( r , t ) 2 = D (r , t ) − a (r , t ) + (1 − )k a (r , t ) v t + i Ci (r , t )
t /T
实际使用的还有倍增周期Td,，Td=0.693T
13
• 只考虑瞬发中子，其平均寿命对于热堆为 10-3 ~10-4s，若取后者，则临界稳态情况下: 当有效增殖因数阶跃增加0.001时，反应 堆周期为10-4/0.001=0.1s，即1秒时间内堆 功率将增加为e10=22000倍！ • 对于快堆，瞬发中子寿命只有10-7s。
i =1 6
(i )
• 需要联立先驱核的连续性方程：
Ci (r , t ) = i k a (r , t ) − iCi (r , t ) i = 1, 2, t
,6 (ii)
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点堆动力学方程
• 上述动力学方程，如果只重点考察其时间 效应，则可将整个反应堆视为一个集总参 数的系统，用一点的参数来代表整个堆， 即点堆模型(point reactor model)。 • 由此可建立点堆动力学方程： • 分离变量：
34
• 当0< ρ<β时称为缓发临界。
• 当ρ>β时称为瞬发超临界，此时只靠瞬发中 子即可使链式裂变反应不断发生，缓发中子 在决定周期方面已完全不起作用——堆功率 以瞬发中子决定的周期危险性地增长，反应 堆完全失控。
• 瞬发临界绝对不允许发生！
35
• 由于瞬发临界有特殊的重要性，有时以之 作为反应性的基本单位，称为 “元”(dollar): 反应性(＄) = ρ/β • 相应的0.01 β称为1“分”(cent)，当反应堆 正好具有1 ＄反应性时，反应堆达到瞬发临 界，这是不允许的。
24
25
阶跃扰动时点堆模型 动态方程的解
• 不考虑反馈效应，ρ=常数的情况下，点堆 模型动态方程是一个一阶线形常系数微分 方程组，解得到：
l 1 6 i = + 1 + l 1 + l i =1 + i
• 上式是一个关于ω的7次代数方程。
26
27
• 假设有效增殖因数阶跃增加0.001时，中子 寿命10-4S，堆内中子密度的时间响应为：
+(1 − )k a vn(t ) (r ) + iCi (t )gi (r )
dn(t ) 2 即： (r ) = −vn(t ) DB (r ) − a vn(t ) (r ) dt +(1 − )k a vn(t ) (r ) + i Ci (t )gi (r )
1 (r , t ) 2 = S (r , t ) + D (r , t ) − a (r , t ) v t
17
其中(不考虑外中子源) • 产生率=瞬发中子产生率+缓发中子产生率
• 瞬发中子产生率= (1 − )ka (r, t ) • 设第i组缓发中子先驱核浓度为Ci，则
8
• 对于裸堆单群近似：
l = l 1 1 = , l = 2 2 1+ L B v a 1 l = 2 2 v a (1 + L B )
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反应堆周期
• 假设所有裂变中子都是瞬发的。
• 考虑到每代中子在其平均寿命l内数密度增 长为原来的keff倍：
dn(t ) keff − 1 = n(t ) dt l
• 假设先驱核浓度分布与中子通量密度分布 相同(凭什么?)： gi (r ) = (r )
22
• 再利用表达式：
keff k l 1 1 = ,l = = , keff = 2 2 2 2 2 2 1+ L B 1+ L B va (1 + L B ) 1−
• 方程化简为：
6 dn (1 − )keff − 1 = n(t ) + i Ci (t ) dt l i =1 6 dn (t ) − = n(t ) + i Ci (t ) dt l / keff i =1
• 初始条件： n(0) = n0
• 可解得：
n(t ) = n0 exp(
keff − 1 l
t)
11
12
• 反应堆周期(reactor period)：T：反应堆内 中子密度变化e倍所需要的时间。
n(t ) l T= = dn(t ) / dt keff − 1
故有：
n(t ) = n0 e
• 引入的反应性很大，则反应堆的响应特性主 要取决于瞬发中子的每代时间。
33
瞬发临界条件
• 瞬发临界(prompt critical)：仅依靠瞬发中 子即可使反应堆保持临界。 不考虑缓发中子的临界状态下，由方程(iii) 可得：
0=
即瞬发临界条件：
(t ) −
l / keff
n(t )
=
T
0
i
6
i
/ i =
1
0
t
i
i i
• 反应堆周期与瞬发中子寿命L无关，与引入 的反应性成反比，且取决于缓发中子寿 命t = i ti ，比L的值大得多，控制相对简 单。 i
32
引入大反应性时的响应特性
• 当引入很大的正反应性时（满足ρ0>>β）
T= 1 0 − 0 1
核反应堆物理分析 第八章
（2018—2019学年第一学期）
主讲：杨波
8.1 缓发中子的作用 8.2 核反应堆点堆动力学
8.3 次临界核反应堆动力学*
8.4 时空中子动力学简介*
2
引 子——反应性的瞬变
• 反应堆安全运行的基础在于成功地控制中子 通量密度(或功率)在各种情况下随时间的变 化。
• 燃料同位素、裂变产物同位素成分随时间的 变化及其对反应性的影响——by hour or day——易控；
0.832 0.169
0.716 0.258
7
0.17~0.27 430
中子平均寿命(mean neutron lifetime)：l： 快中子自裂变产生到慢化成为热中子，直 至最后被俘获的平均时间。
l = t s + td
• 对于无限介质单群近似：
v——中子平均速度
1 l = = v va
a
40
3.3 瞬跳近似
• 认为在短暂的瞬变过程中中子通量密度在 瞬间跃变，即：
i n0 dn = 0, Ci (0) = dt i l / keff
• 点堆方程组化为：
14
• 考虑缓发中子，长达几十秒的缓发时间使 得中子平均寿命大大延长。由下式可求得 热堆周期为100s！即1秒时间内堆功率将增 加为e0.01=0.01倍。
l = (1 − )l + i (ti + l ) = l + i ti
i =1 i =1
6
6
其中:
= i
i =1
6
U-235核热中子裂变缓发中子数据
组 1 2 3 4 半衰期/s 54~56 21~23 5~6 1.9~2.3 能量/KeV 份额/‰ 250 560 430 620 0.247 1.385 1.222 2.645 平均寿命/s 78.64 31.51 8.66 3.22
5 6
0.5~0.6
420
• 即使用数值方法，也要先作一番简化近似。
38
dCi i n(t ) = − i Ci (t ) i = 1, 2, dt l / keff
, 6 (iv)
3.1 单组缓发中子近似
• 将六组缓发中子等效为一组：
= i ; C = Ci
i =1 i =1 6 i = i =1 i 6 6
n(t) = n0 [1.446e 0.0182t - 0.0359e -0.0136t - 0.140e -0.0598t - 0.0637e
-0.183t
- 0.0205e
-1.005t
- 0.00767e -2.875t - 0.179e -55.6t ]
28
29
反应堆周期
• 无论引入ρ是正还是负，中子密度将发生 急剧变化，经过一段时间各瞬变项消失后 其时间特性最终都表现为：
(r , t ) = vn(t ) (r )
Ci (r , t ) = Ci (t ) g i (r )
20
• 回顾临界理论，引用中间结论：
(r ) = − B (r )
2 2
• 代入方程(i)得到： dn(t ) 2 (r ) = vn(t ) D (r ) − a vn(t ) (r ) dt
n(t ) ~ e n(t ) ~ e
1t
t /T
30
• 中子密度按指数规律变化e倍所需时间称为 反应堆周期，记作T，
T=
1
1
• 堆内中子通量密度增长一倍所需的时间， 称为“倍周期”或“倍增周期”，用Td表 示：
Td = T ln 2 = 0.693T
31
引入小反应性时的响应特性
• 当引入很小的正反应性时（满足ρ0<<β），
i =1 6
21
6
i =1
• 移项、合并同类项：
6 dn(t ) 2 = [(1 − )ka − DB − a ]vn(t ) + i Ci (t )gi (r ) / (r ) dt i =1
2 L = D / a • 利用 6 dn 2 = [(1 − )k − (1 + DB )]a vn + i Ci (t )gi (r ) / (r ) dt i =1
(对于U-235, β=0.0065,λ= 0.078s-1, l=10-4~10-3s, 即 − l / keff )
• 再忽略反应性反馈，可得解析解： (p234,p243) n0 − n(t ) = [ exp( t ) − exp(− t )] − − l / keff
(iii )
• 同理，方程(ii)化为：
dCi i n(t ) = − i Ci (t ) i = 1, 2, dt l / keff
, 6 (iv)
23
• 上述方程(iii)(iv)即点堆模型动态方程。其 使用范围限于反应堆偏离临界状态不远和 扰动不大的问题。但由于其简便，在局部 扰动不大或空间效应不重要的情况下，其 结果足以满足需要(e.g.一、二回路的部分 安全事故分析, 不含弹棒、卡棒事故)。
15
6
• 缓发中子份额虽少，但其较长的缓发时间 大大增加了两代中子间的平均时间间隔， 从而滞缓了中子密度的变化率。因而，反 应堆控制正是利用了缓发中子的作用才得 以实现的。 • 考虑缓发效应之后的非稳态方程：中子动 力学方程。
16
8.2 核反应堆点堆动力学
回顾单能中子扩散方程的建立思路： • 某一能量区间内： • 中子数密度变化率＝中子产生率－中子泄 漏率－中子吸收率
瞬发中子(prompt neutrons): 伴随着裂变产 生而没有可测延迟的中子。(10-14sec)
5
• 缓发中子(delayed neutrons):裂变后经过 （β）衰变而处于激发态的某种裂变产物所 发射的中子。 • 其裂变能约0.5MeV<瞬发裂变能。 • 根据半衰期的不同，可以分为六组：