安徽大学高等数学期末试卷和答案

安徽大学2011—2012 学年第一学期

《高等数学A（三）》考试试卷（A 卷）

（闭卷时间120 分钟）

考场登记表序号

题号一二三四五总分

得分

阅卷人

一、选择题（每小题2 分，共10 分）得分

1.设A为n阶可逆矩阵，则下列各式正确的是（）。

（A）(2A)−1 =2A−1 ；（B）(2A−1)T=(2A T)−1 ；（C）

((A−1)−1)T=((A T)−1)−1 ；（D）((A T)T)−1 =((A−1)−1)T。

2.若向量组1, 2 , , r

ααα可由另一向量组

（）。

βββ线性表示，则下列说法正确的

是

1, 2 , , sβββ线性表示，则下列说法

正确的是

（A）r≤s；（B）r≥s；

（C）秩( 1, 2 , , r1, 2 , , s1, 2 , , r

ααα)≤秩(βββ)；（D）秩(ααα)≥

秩(

ββ

β)。

1, 2 , , sββ

β)。

3.设A, B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则下列说法正确的是（）。

（A）λE−A=λE−B；

（B）A与B有相同的特征值和特征向量；

（C）A与B都相似于一个对角矩阵；

（D）对任意常数k，kE−A与kE−B相似。

4.设1, 2 , 3

ααα为R3 的一组基，则下列向量组中，（）可作为R3 的另一组基。

（A）1, 1 2 ,3 1 2 1, 2 ,2 1 2

α+αα+αα+α。

αα−αα−α；（B）ααα+α；

（C） 1 2 , 2 3, 1 3

α+αα+αα−α；（D） 1 2 , 2 3, 1 3

5.设P(A) =0.8 ，P(B) =0.7 ，P(A| B) =0.8 ，则下列结论正确的是（）。

（A）事件A与B互不相容；（B）A⊂B；

（C）事件A与B互相独立；（D）P(A∪B) =P(A) +P(B) 。

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二、填空题（每小题2分，共10分）得分

6.设4 阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A* 的秩为。

7.设λ=2 是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵

−1

⎛1 ⎞

A

2

⎜⎟

⎝3 ⎠

必有一个特征值等

于。

8. 设离散型随机变量X的分布列为

k

P X=k=a⋅⎛⎜2 ⎞⎟

( )

⎝3 ⎠

，k=0,1, 2, 3，则

a=。

⎛−⎞

1 0 1

9. 设离散型随机变量X的分布列为，若

⎜⎟

⎝⎠

0.25 0.5 0.25

Y=X2 ，则P(Y=1) =。

10.某车间生产的滚珠直径X服从N(μ,σ 2 ) ,现从产品中随机抽取 6 件,测得平均直径为

x=,若已知方差σ 2 =0.06 ,则平均直径μ的置信度为95% 的置信区间

14.95

为。 (Φ(1.96) =0.975,Φ(1.645) =0.95)

三、计算题（每小题9分，共9分）

得分

11.计算下列行列式

a 1 1 1

1

1 a0 0

2

D=1 0 a0

n 3

1 0 0 a

n ，这里 2 3 n0

a a a≠。

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四、分析题（每小题13 分，共65 分）

12.已知线性方程组AX=β有无穷多解，其中

得分

⎛a 1 1⎞

⎜⎟

A=⎜0 a−1 0⎟

，

⎜⎟

1 1 a

⎝⎠

β

⎛−⎞

2

⎜⎟

=⎜1

⎟。

⎜⎟

1

⎝⎠

求：（1）a的值；

（2）方程组AX=β的通解。

13.设二次型f(X) =2x2 +3x2 +3x2 +4x x，

1 2 3 2 3

（1）求正交变换X=QY，并写出f(X) 的标准形；

（2）判定二次型f(X) 的正定性。

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14.玻璃杯成箱出售，每箱8 只，假设每箱含0 只和1 只残次品的概率分别为0.8 和0.2。一

位顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地查看2 只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：

（1）顾客买下该箱的概率；

（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。

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15.设(X,Y) 服从以x轴、直线x=1以及y=x围成的三角区域上均匀分布，试判断X,Y的独

立性和相关性。

16.假设总体X的密度函数为

f(x;θ)

⎧≥

e x

−

(

x−θ

)

,

θ

−

(

x−θ

)

,

θ

e x

=⎨

⎩

0 , x<θ

其中，θ>0是未知参数，

( , , )

X X为取自X的样本，试求θ的矩估计量和最大似然估

1 n

计量。