长郡中学2017-2018学年高一上学期第一次月考数学试卷

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湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题

2017-2018学年湖南省长沙市天心区长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）1. 设集合}3{1A =，，集合1245{}B =，，，，则集合A B =（） A. 3，1，2，4， B. C. 2，3，4， D. 3，4， 2.已知tan α=，2παπ<<，则sinα的值为（） A.12B. C.12-D. 3. 已知4a =，3b =，且a 与b 不共线，若向量a kb +与a kb -互相垂直，则k 的值为（）A.43±B.34±C.D. 4. 如果奇函数()f x 在区间[2，8]上是减函数且最小值为6，则()f x 在区间[-8，-2]上是（）A. 增函数且最小值为B. 增函数且最大值为C. 减函数且最小值为D. 减函数且最大值为5. 函数237x f x x =+-（）的零点所在的区间是（） A.B. C. D.6.ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若222a c b ab -+=，则C =（） A.30︒ B.60︒ C.120︒ D. 60︒或120︒7. 在ABC △中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若cos cos A bB a=，则ABC △的形状是（） A. 等腰三角形 B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形8. 已知集合26112x x A x --⎧⎫⎪⎪⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭＜,(){}41B x log x a =+<，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（）A. B. C. D.9. 设α是第二象限角，P （x ，4）为其终边上的一点，且cos 15x α=，则tan α=（）A.43B.34C.34-D. 43-10. 化简()()()()()11sin 2cos cos cos 229cos sin 3sin sin 2πππαπαααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫----+ ⎪⎝⎭的结果是（）A. 1B.sin αC.tan α-D. tan α11. 先把函数()πsin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再把新得到的图象向右平移3π个单位，得到()y g x =的图象．当π3π[,]44x ∈时，函数()g x 的值域为（）A.⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.⎡⎢⎣⎦D. []1,0-12. 设()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，已知]3[2x ∈，时，()f x x =，则x ∈[-2，0]时，f （x ）的解析式为f （x ）=（）A. B.C. D.13. 若函数，ω＞0，x ∈R ，又f （x 1）=2，f （x 2）=0，且12x x -的最小值为32π，则ω的值为（）A.13B.23C.43D. 214. 如图，正△ABC 的中心位于点G （0，1），A （0，2），动点P 从A 点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度AGP x ∠=（0≤x ≤2π），向量OP 在()=1,0a 方向的射影为y （O 为坐标原点），则y 关于x 的函数()y f x =的图象是（） 15. 16.A.B.C.D.17. 已知定义在R 上的奇函数f （x ），当x ＞0时，()()121021222x x f x x f x --≤-⎧⎪=⎨⎪⎩，＜，＞则关于x 的方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦的实数根个数为（）A. 6B. 7C. 8D. 9二、填空题（本大题共5小题，共15.0分） 18. 0lg 2lg5π++=______． 19. 已知tan 3α=，则2sin cos cos 3sin αααα-+=______．20. 已知向量a ，b 满足2b =，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是______．21. 若函数()223f x x kx =--在区间[-2，4]上具有单调性，则实数k 的取值范围是______．22. 在ABC △中，已知9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABC S =△，P 为线段AB 上的一点，且CA CB CP x y CACB=⋅+⋅，则11x y+的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）23. 已知集合()(){}|320x x A x +-=≤，{}14|B x x =≤≤． 24. （1）求AB ；25. （2）求()R A B ð．26. 设ABC △的内角A ，B，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos b Aa B=．27. （1）求角B 的大小；28. （2）若b =sin 2sin C A =，求a ，c 的值．29. 已知函数()23cos cos 2f x x x x -+． 30. （1）求()f x 的单调递增区间；31. （2）若角α，β的终边不共线，且()()f f αβ=，求()tan αβ+的值． 32.33. 已知向量()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，25a b =-． 34. （1）求()cos αβ-的值；35. （2）若π02α<<，π02β-<<，且5sin 12β=-，求sinα． 36.37. 已知二次函数()2f x x x =+，若不等式()()2f x f x x -+≤的解集为C ．38. （1）求集合C ；39. （2）若函数()()11x xg x f a a =--（a ＞0且a ≠1）在集合C 上存在零点，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合}3{1A =，，集合1245{}B =，，，， ∴集合1245{}3A B =，，，，．故选C ．集合A 的所有元素和集合B 的所有元素合并到一起，构成集合A B ，由此利用集合}3{1A =，，集合1245{}B =，，，，能求出集合A B ．本题考查集合的并集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 2.【答案】B【解析】解：∵tan α=，∴22sin cos sin cos 1αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得sin 1cos 2αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或sin 1cos 2αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∵π2απ<<，∴sin α=．故选：B ．由已知结合同角三角函数基本关系式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 3.【答案】A【解析】解：∵4a =，3b =，且a 与b 不共线，向量a kb +与a kb -互相垂直，∴()()22221690a kb a kb a k b k +-=-=-=，解得43k =±．故选：A ．由向量a kb +与a kb -互相垂直，得()()22221690a kb a kb a k b k +-=-=-=，由此能求出k ．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 4.【答案】D【解析】解：根据题意，()f x 在区间[2，8]上是减函数，且最小值为6，即()86f =-，且()6f k ≥，又由()f x 为奇函数，则()f x 在区间[-8，-2]上是减函数，且()86f =-，则有()6f k ≤-，故选：D ．由奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，分析可得答案．本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用，注意运用奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，属于基础题． 5.【答案】C【解析】解：函数()237x f x x =+-，因为2x y =是增函数，37y x =-是增函数，所以函数()237x f x x =+-是增函数．()111002f -=-<． ()0170f =-<． ()12370f =+-<. ()24670f =+->．．函数()237xf x x =+-的零点所在的区间是：（1，2）．故选：C ．判断求解端点的函数值，利用零点判定定理求解即可．本题考查零点判定定理的应用，是基础题． 6.【答案】C【解析】解：在ABC △中，由222a c b ab -+=，可得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-， ∵0180C ︒<<︒，∴120C =︒．故选：C ．直接由已知结合余弦定理求解．本题考查余弦定理的应用，是基础的计算题． 7.【答案】D【解析】解：在ABC △中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若cos cos A bB a=，可得cos sin cos sin A AB B=，可得sin 2sin 2A B =．可得22A B =或22A B π+=，即：A B =或2A B π+=；故选：D ．利用正弦定理转化求解三角形的角的关系，判断三角形的形状即可．本题考查正弦定理的应用，三角形的形状的判断，考查计算能力． 8.【答案】B【解析】解：由2611122x x --<⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，可得260x x -->，解得3x >，或2x <-，故()()23A =-∞-+∞，，．由()44log 1log 4x a +<=，可得04x a <+<，解得4a x a -<<-，∴B=（-a ，4-a ）．若AB =∅，则有243a a -≥-⎧⎨-≤⎩，解得12a ≤≤，故选：B ．解指数不等式求得A ，解对数不等式求得B ，再根据A B =∅，求得实数a 的取值范围．本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，两个集合的交集的定义和运算，属于中档题． 9.【答案】D【解析】解：由题意可得0x <，r OP ==cos x r α==再由1cos 5α=，可得3x =-，∴44tan 3xα==-，故选：D ．根据任意角α的余弦的定义和已知条件可得x 的值，再由tan α的定义求得结果．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题． 10.【答案】C【解析】解：()()()()()11sin 2cos cos cos 229cos sin 3sin sin 2πππαπαααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫----+ ⎪⎝⎭=()()()()()sin cos sin sin cos sin sin sin αααααααα-----tan α=-．故选：C ．利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 11.【答案】B【解析】解：把函数()πsin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭）的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把新得到的图象向右平移3π个单位，得到()ππ5sin 2sin 2366g g x x x π⎡⎤⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象．π3π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5π2π2,663x π⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以：51sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．故选：B ．首先通过三角函数关系式的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：函数的图象的伸缩变换和平移变换的应用，正弦型函数的性质的应用． 12.【答案】C【解析】解：∵()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，[]2,3x ∈时，()f x x =，∴[]21x ∈--，时， []20,1x +∈，[]42,3x +∈，此时()()44f x f x x =+=+，[]1,0x ∈-时，[]0,1x -∈，[]22,3x -∈，此时()()()22f x f x f x x =-=-=-，综上可得：[]2,0x ∈-时，()31f x x =-+ 故选：C ．根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合[]2,3x ∈时，()f x x =，可得答案．本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档． 13.【答案】A【解析】解：()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∵函数()f x 的最大值为2，∵()12f x =，()20f x =，且12x x -的最小值为32π， ∴函数()f x 的周期3462T ππ=⨯=，由周期公式可得26T ππω==，解得13ω=，故选：A ．利用辅助角公式化积，结合已知得到函数的最小正周期，再由周期公式求得ω．本题考查三角函数的最值，考查了三角函数的图象和性质，是基础题． 14.【答案】C【解析】解：设BC 边与Y 轴交点为M ，已知可得0.5GM =，故 1.5AM =，正三角形的连接BG，可得2tan 12BGM ∠==3BGM π∠=，所以23BGA π∠=-，由图可得当23x π=时，射影为y 取到最小值，其大小为（BCA ，B 两个选项；又当点P 从点B 向点M 运动时，x 变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D ，C 是适合的；故选：C ．由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B 时x 的值及y 的值，再研究点P 从点B 向点C 运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项．由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法． 15.【答案】B【解析】解：设()t f x =，则关于x 的方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦，等价2610t t --=，解得12t =或13t =-，当0x =时，()00f =，此时不满足方程．若24x <≤，则22x -≤0<，即()()()31122122x f x f x -=-=-，若46x <≤，则224x <-≤，即()()()51122124x f x f x -=-=-，作出当0x >时，()121,0212,22x x f x x -⎧-<≤⎪⎨->⎪⎩的图象如图：当12t =时，()12f x =对应3个交点． ∵函数()f x 是奇函数， ∴当0x <时，由()13f x =-，可得当0x >时，()13f x =，此时函数图象对应4个交点，综上共有7个交点，即方程有7个根．故选：B ．先设()t f x =，求出方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦的解，利用函数的奇偶性作出函数在0x >时的图象，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查函数方程根的个数的判断，利用换元法，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大． 16.【答案】2【解析】解：0lg 2lg5π++lg101=+2=．故答案为：2．利用对数、指数的性质及运算法则直接求解．本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 17.【答案】【解析】解：∵tan 3α=，∴2sin cos 2tan 12311cos 3sin 13tan 1332αααααα--⨯-===+++⨯．故答案为：12．直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 18.【答案】1【解析】解：根据向量的投影定义，b 在a 上的投影等于cos b a <，1212b >=⨯= 故答案为：1根据投影的定义，应用公式cos a a <，a bb b ⋅>=求解．本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用． 19.【答案】(][),816,-∞-+∞【解析】解：若函数()223f x x kx =--在区间[]2,4-上具有单调性，则24k ≤-，或44k ≥ 解得(][),816,k ∈-∞-+∞故答案为：（-∞，-8]∪[16，+∞）若函数()223f x x kx =--在区间[]2,4-]上具有单调性，则24k ≤-，或44k ≥，解得答案；本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．20.【答案】712 【解析】解：ABC △中设AB c =，BC a =，AC b = ∵sin cos sin B A C =⋅∴()sin sin cos A C C A += 即sin cos sin cos sin cos A C C A C A +=∴sin cos 0A C =∵sin 0A ≠∴cos 0C =，90C =︒ ∵9AB AC ⋅=，6ABC S =△∴cos 9bc A =，1sin 62bc A =∴4tan 3A =，根据直角三角形可得4sin 5A =，3cos 5A =，15bc = ∴5c =，3b =，4a =以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系可得()0,0C ，()3,0A ，()0,4B . P 为线段AB 上的一点，则存在实数λ使得()()()13,4401CP CA CB λλλλλ=+-=-≤≤ 设1CA e CA=，2CB e CB =则121e e ==，()11,0e =，()20,1e = 由CP x =，()()(),00,,CA CB yx y x y CACB+=+=，∴3x λ=，44y λ=-，则4312x y +=．（也可以直接利用P 为线段AB 上的一点，三点共线，可得：134xy+=，）()111111347437+121212y x x u x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故所求的最小值为712+．故答案为：712+．设AB c =，BC a =，AC b =，由s sin cos sin B A C =⋅结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求90C =︒，再由9AB AC ⋅=，6ABC S =△，可求得5c =，3b =，4a =，考虑建立直角坐标系，由P 为线段AB 上的一点，则存在实数λ使得()()()13,4401CP CA CB λλλλλ=+-=-≤≤，设出单位向量1CA e CA=，2CB e CB=，()11,0e =，()20,1e =推出3x λ=，44y λ=-则4312x y +=，而利用11x y+，利用基本不等式求解最小值．本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的向量关系，建立x ，y 与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由3x λ=，44y λ=-发现4312x y +=为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值．21.【答案】解：（1）∵集合()(){}|320x x A x +-=≤，{}14|B x x =≤≤，．∴{}|12AB x x =≤≤．（2）{}|32U A x x x =<->或ð， ∴(){}|32U A B x x x =<->或ð．【解析】（1）求出集合A ，B ，由此能求出A∩B ．（2）求出{}|32U A x x x =<->或ð，由此能求出()R A B ð．本题考查交集、补集、并集的求法，考查交集、补集、并集定义等基础知识，是基础题．22.【答案】解：（1）∵sin cos b Aa B．又∵由正弦定理sin sin a b A B =，可得：s in in s b aB A=，∴可得：sin tan cos BB B= ∵B ∈（0，π），∴3B π=．（2）由sin 2sin C A =及正弦定理sin sin a bA B=，得c =2a ，①．又b =3B π=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2212a c ac =+-，②由①②得2a =，4c =．【解析】（1）由正弦定理化简已知等式可得tan B 的值，结合范围B ∈（0，π），利用特殊角的三角函数值即可求得B 的值．（2）由已知及正弦定理可得2c a =，利用余弦定理可求229a c ac =+-，联立即可解得a ，c 的值，本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．23.【答案】解：（1）函数()23cos cos 2f x x x x -+．1cos 23222x x ++=-， 216sin x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=，令222262k x k πππππ-+≤-≤+()k Z ∈，解得：63k x k ππππ-+≤≤+()k Z ∈，故函数的单调递增区间为：63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦， ()k Z ∈．（2）由于()πsin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以()sin 216f παα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=，()216sin f πββ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=，角α，β的终边不共线，所以223παβπ+-=，整理得23παβ+=，所以()tan αβ+= 【解析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间．（2）利用（1）的函数关系式，进一步建立α和β的关系式，最后求出函数的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用． 24.【答案】解：（1）2cos 1a α==，同理1b =．∵25a b -=， 22252a b a b +-⋅=，化为()422cos cos sin sin 5αβαβ-+=，∴()3cos 5αβ-=．（2）∵π02α<<，π02β-<<，且5sin 13β=-，∴0αβπ<-<，12cos 13β．∴()4sin 5αβ=-． ∴()sin sin ααββ=-+⎡⎤⎣⎦()()sin cos cos sin αββαββ=-+-412353351351365⎛⎫⨯+⨯-= ⎪=⎝⎭ 【解析】（1）2cos 1a α=，同理1b =．利用数量积运算性质25a b -=，可得22252a b a b +-⋅=，展开即可得出；（2）由π02α<<，π02β-<<，且5sin 13β=-，可得0αβπ<-<，cos β()sin βα-()sin sin ααββ=-+⎡⎤⎣⎦展开即可得出．本题考查了数量积运算及其性质、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦余弦公式，考查了推理能力和技能数列，属于中档题． 25.【答案】解：（1）()()22f x f x x +-=当0x ≥时，22201x x x ≤⇒≤≤，当0x <时，22210x x x ≤-⇒-≤＜， ∴集合[]1,1C =-．（2）()()()211101110x x x x f a a a a a +--=⇒---=，令x a u =则方程为()()21110h u u a u =---=，()011h =-，x u a =，[]1,1x ∈-，对称轴12x a =- 当2a >时，1,u a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0h u =在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，对称轴112a a a -<< 函数在区间1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内先单调递减，再单调递增此时()11002a h h h a -⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()110h a a =-≥即可解得：11a ≥当12a <≤时，1,u a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0h u =在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，对称轴112a a a -<< 函数在区间1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增则()()221111110111110h a aa a h a a a a ⎧⎛⎫=-+-≤⎪ ⎪⇒≥⎝⎭⎨⎪=---≥⎩，又12a <≤ 此时无解当01a <<时，1,u a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0h u =在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，对称轴1102a a a -<<< 函数在区间1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增则()212111110103110h a aa a h a a ⎧⎛⎫=-+-≥⎪ ⎪⇒≤⎝⎭⎨⎪=-≤⎩＜， ∴当103a ≤＜或11a ≥时，方程在C 上有解，且有唯一解．【解析】（1）直接把函数()2f x x x =+代入不等式，化简解答即可．（2）先把函数()2f x x x =+代入方程()111x x f a a +--（0a >且1a ≠），方程()111x x f a a +--（0a >且1a ≠）在C 上有解，转化为x a 在某一范围上有解，利用根的存在性定理，解答即可．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．。

湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高一数学上学期期末考试试题

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长郡中学学年度高一第一学期期末考试
数!学
时量 " # $分钟!!!满分 " $ $分得分!!!!!!
一选择题本大题共" 每小题&分共' 在每小题给出的四个 %个小题 %分 ! 选项中只有一项是符合题目要求的 ! 设集合 "( 集合 #( 则集合 "##( " ! " & " # ' % )* " & " # ' % ,* " # & ' % + * " -* # & ' %
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长郡高一2017—2018—1第一次月考(改)

长郡中学2017-2018学年度高一第一学期第一次模块检测数学命题人：陈峰时量：90分钟满分：100分得分_______________一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.l .如果{}1->=x x X ，则（）A .X ∅∈B .0X ⊆C .{0}X ∈D .{0}X ⊆2.不论x 为何实数，不等式012<-+ax ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（）。

A . -4＜a ＜0B .-4≤a ≤0C .-4≤a ＜0D .-4＜a ≤03.函数()1f x x =-与()(2)g x x x =- 的单调递增区间分别为（）A .[1,),[1,)+∞+∞B .(,1],[1,)-∞+∞C .(1,),(,1]+∞-∞D .(,),[1,)-∞+∞+∞ 4.计算=⎪⎭⎫ ⎝⎛++--32132411008 （） A .78 B .11464 C .16810 D .585.函数2()23f x x mx =-+在区间[0，2]上的值域为[-2，3]，则m 的值为（）A. B .49或5 CD .946.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>=<=0),(0,00,2)(x x g x x x f x ，且()f x 为奇函数，则g (3)=（）A .8B .18C .-8D .18- 7.设集合2(,],{1,},M P ,M m P y y x x R =-∞==-∈⋂=∅若则实数m 的取值范围昌（）A .1-≥mB .1->mC .1-≤mD .1-<m8. ()f x 在（-1，1）上既是奇函数，又为减函数，若2(1)(1)0f t f t -+-＞，则t 的取值范围是（）。

A .t ＞1或t ＜-2 B.1t ＜ C .-2＜t ＜1 D .t ＜1或t9.设函数2()min{1,1,1}f x x x x =-+-+ ，其中min {x ，y ，z }表示x ，y ，z 中的最小者，若(2)()f a f a +＞，则实数a 的取值范围为（）A .（-1，0）B .[-2，0]C .（-∞，-2）U （-1，0）D .[-2，+∞）10.已知实数a ，b ，c 满足a ＞b ＞c ，且a +b +c =0，若x 1，x 2为方程20ax bx c ++= 的两个实数根，则2212x x -的取值范围为（）A . [0，3）B .（0，1）C .（1，3）D [0，1）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11.如果22)13()(a x a ax x f +--=在[)+∞,1上是增函数，则实数a 的范围是_______________.12.已知偶函数()f x 在区间[0，+∞）上单调递增，则满足(1)()f x f x --＜的x 的取值范围是_______________.13.设定义在R 上的函数()f x 满足()(2)13f x f x ⋅+= ，若f (1)=2，则f （2017）=_______________；n 为正整数，则f （2n —1）=_______________。

湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)

2017-2018学年湖南省长沙市天心区长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）1.设集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，则集合A∪B=（）A. 3，1，2，4，B.C. 2，3，4，D. 3，4，2.已知tan，＜＜，则sinα的值为（）A. B. C. D.3.已知||=4，||=3，且与不共线，若向量与互相垂直，则k的值为（）A. B. C. D.4.如果奇函数f（x）在区间[2，8]上是减函数且最小值为6，则f（x）在区间[-8，-2]上是（）A. 增函数且最小值为B. 增函数且最大值为C. 减函数且最小值为D. 减函数且最大值为5.函数f（x）=2x+3x-7的零点所在的区间是（）A. B. C. D.6.△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2-c2+b2=ab，则C=（）A. B. C. D. 或7.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则△ABC的形状是（）A. 等腰三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形8.已知集合＜，＜，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.9.设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosα=x，则tanα=（）A. B. C. D.10.化简的结果是（）A. 1B.C.D.11.先把函数f（x）=sin（x-）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再把新得到的图象向右平移个单位，得到y=g（x）的图象．当x∈[，]时，函数g（x）的值域为（）A. B. C. D. 0012.设f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，已知x∈[2，3]时，f（x）=x，则x∈[-2，0]时，f（x）的解析式为f（x）=（）A. B. C. D.13.若函数，ω＞0，x∈R，又f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1-x2|的最小值为，则ω的值为（）A. B. C. D. 214.如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A.B.C.D.15.已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=，＜，＞则关于x的方程6[f（x）]2-f（x）-1=0的实数根个数为（）A. 6B. 7C. 8D. 9二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）16.lg2+lg5+π0=______．17.已知tanα=3，则=______．18.已知向量，满足||=2，与的夹角为60°，则在上的投影是______．19.若函数f（x）=2x2-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则实数k的取值范围是______．20.在△ABC中，已知，，△ ，P为线段AB上的一点，且，则的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）21.已知集合A={x|（x+3）（x-2）≤0}，B={x|1≤x≤4}．（1）求A∩B；（2）求（∁R A）∪B．22.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）若b=2，sin C=2sin A，求a，c的值．23.已知函数f（x）=sin xcox-cos2x+．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若角α，β的终边不共线，且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．24.已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|-|=．（1）求cos（α-β）的值；（2）若0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，求sinα．25.已知二次函数f（x）=x2+x，若不等式f（-x）+f（x）≤2|x|的解集为C．（1）求集合C；（2）若函数g（x）=f（a x）-a x+1-11（a＞0且a≠1）在集合C上存在零点，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}， ∴集合A ∪B={1，2，3，4，5}．故选C ．集合A 的所有元素和集合B 的所有元素合并到一起，构成集合A ∪B ，由此利用集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，能求出集合A ∪B ．本题考查集合的并集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 2.【答案】B【解析】解：∵tan ，∴，解得或．∵，∴sinα=．故选：B ．由已知结合同角三角函数基本关系式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 3.【答案】A【解析】解：∵||=4，||=3，且与不共线，向量与互相垂直，∴（）（）==16-9k 2=0，解得k=±．故选：A ．由向量与互相垂直，得（）（）==16-9k 2=0，由此能求出k ．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.【答案】D【解析】解：根据题意，f（x）在区间[2，8]上是减函数，且最小值为6，即f（8）=6，且f（x）≥6，又由f（x）为奇函数，则f（x）在区间[-8，-2]上是减函数，且f（-8）=-6，则有f（x）≤-6，故选：D．由奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，分析可得答案．本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用，注意运用奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：函数f（x）=2x+3x-7，因为y=2x是增函数，y=3x-7是增函数，所以函数f（x）=2x+3x-7是增函数．f（-1）=＜0．f（0）=1-7＜0．f（1）=2+3-7＜0．f（2）=4+6-7＞0．函数f（x）=2x+3x-7的零点所在的区间是：（1，2）．故选：C．判断求解端点的函数值，利用零点判定定理求解即可．本题考查零点判定定理的应用，是基础题．6.【答案】C【解析】解：在△ABC中，由a2-c2+b2=ab，可得cosC=，∵0°＜C＜180°，∴C=120°．故选：C．直接由已知结合余弦定理求解．本题考查余弦定理的应用，是基础的计算题．7.【答案】D【解析】解：在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，可得，可得sin2A=sin2B．可得2A=2B或2A+2B=π，即：A=B或A+B=；故选：D．利用正弦定理转化求解三角形的角的关系，判断三角形的形状即可．本题考查正弦定理的应用，三角形的形状的判断，考查计算能力．8.【答案】B【解析】解：由=，可得x2-x-6＞0，解得x＞3，或x＜-2，故A=（-∞，-2）∪（3，+∞）．由log4（x+a）＜1=log44，可得0＜x+a＜4，解得-a＜x＜4-a，∴B=（-a，4-a）．若A∩B=∅，则有，解得1≤a≤2，故选：B．解指数不等式求得A，解对数不等式求得B，再根据A∩B=∅，求得实数a的取值范围．本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，两个集合的交集的定义和运算，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：由题意可得x＜0，r=|OP|=，故cosα==．再由可得x=-3，∴tanα==-，故选：D．根据任意角α的余弦的定义和已知条件可得x的值，再由tanα的定义求得结果．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：==-tanα．故选：C．利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：把函数f（x）=sin（x-）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到f（x）=sin（2x-）的图象，再把新得到的图象向右平移个单位，得到y=g（x）=sin[2（x-）]=sin（2x-）的图象．x∈[]时，，所以：sin（2x-）．故选：B．首先通过三角函数关系式的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：函数的图象的伸缩变换和平移变换的应用，正弦型函数的性质的应用．12.【答案】C【解析】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，x∈[2，3]时，f（x）=x，∴x∈[-2，-1]时，2+x∈[0，1]，4+x∈[2，3]，此时f（x）=f（4+x）=4+x，x∈[-1，0]时，-x∈[0，1]，2-x∈[2，3]，此时f（x）=f（-x）=f（2-x）=2-x，综上可得：x∈[-2，0]时，f（x）=3-|x+1|故选：C．根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合x∈[2，3]时，f（x）=x，可得答案．本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档．13.【答案】A【解析】解：=，∵函数f（x）的最大值为2，∵f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1-x2|的最小值为，∴函数f（x）的周期T=4×=6π，由周期公式可得T==6π，解得ω=，故选：A．利用辅助角公式化积，结合已知得到函数的最小正周期，再由周期公式求得ω．本题考查三角函数的最值，考查了三角函数的图象和性质，是基础题．14.【答案】C【解析】解：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为连接BG，可得tan∠BGM==，即∠BGM=，所以∠BGA=-，由图可得当x=时，射影为y取到最小值，其大小为-（BC长为），由此可排除A，B两个选项；又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；故选：C．由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B 时x的值及y的值，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项．由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法．15.【答案】B【解析】解：设t=f（x），则关于x的方程6[f（x）]2-f（x）-1=0，等价6t2-t-1=0，解得t=或t=，当x=0时，f（0）=0，此时不满足方程．若2＜x≤4，则0＜x-2≤2，即f（x）==（2|x-3|-1），若4＜x≤6，则2＜x-2≤4，即f（x）==（2|x-5|-1），作出当x＞0时，f（x）=的图象如图：当t=时，f（x）=对应3个交点．∵函数f（x）是奇函数，∴当x＜0时，由f（x）=，可得当x＞0时，f（x）=，此时函数图象对应4个交点，综上共有7个交点，即方程有7个根．故选：B．先设t=f（x），求出方程6[f（x）]2-f（x）-1=0的解，利用函数的奇偶性作出函数在x＞0时的图象，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查函数方程根的个数的判断，利用换元法，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．16.【答案】2【解析】解：lg2+lg5+π0=lg10+1=2．故答案为：2．利用对数、指数的性质及运算法则直接求解．本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．17.【答案】【解析】解：∵tanα=3，∴=．故答案为：．直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．18.【答案】1【解析】解：根据向量的投影定义，在上的投影等于||cos＜，＞=2×=1 故答案为：1根据投影的定义，应用公式||cos＜，＞=求解．本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．19.【答案】（-∞，-8]∪[16，+∞）【解析】解：若函数f（x）=2x2-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则解得k∈（-∞，-8]∪[16，+∞）故答案为：（-∞，-8]∪[16，+∞）若函数f（x）=2x2-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则，解得答案；本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．20.【答案】【解析】解：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b∵sinB=cosA•sinC∴sin（A+C）=sinCcosnA即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA∴sinAcosC=0∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°∵，S △ABC=6∴bccosA=9，bcsinA=6∴tanA=，根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15∴c=5，b=3，a=4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0），A（3，0），B（0，4）P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1）设，则||=||=1，，由=（x，0）+（0，y）=（x，y），∴x=3λ，y=4-4λ，则4x+3y=12．（也可以直接利用P为线段AB上的一点，三点共线，可得：，）==（7+）≥故所求的最小值为．故答案为：．设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求C=90°，再由，S△ABC=6，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1），设出单位向量，，推出x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12，而利用利用基本不等式求解最小值．本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的向量关系，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4-4λ发现4x+3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值．21.【答案】解：（1）∵集合A={x|（x+3）（x-2）≤0}={x|-3≤x≤2}，B={x|1≤x≤4}．∴A∩B={x|1≤x≤2}．（2）C U A={x|x＜-3或x＞2}，∴（∁R A）∪B={x|x＜-3或x≥1}．【解析】（1）求出集合A，B，由此能求出A∩B．（2）求出C U A={x|x＜-3或x＞2}，由此能求出（∁R A）∪B．本题考查交集、补集、并集的求法，考查交集、补集、并集定义等基础知识，是基础题．22.【答案】解：（1）∵．又∵由正弦定理，可得：sin B=，∴可得：=tan B=，∵B∈（0，π），∴B=．（2）由sin C=2sin A及正弦定理，得c=2a，①．又b=2，B=，由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，得12=a2+c2-ac，②由①②得a=2，c=4．【解析】（1）由正弦定理化简已知等式可得tanB的值，结合范围B∈（0，π），利用特殊角的三角函数值即可求得B的值．（2）由已知及正弦定理可得c=2a，利用余弦定理可求9=a2+c2-ac，联立即可解得a，c的值，本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．23.【答案】解：（1）函数f（x）=sin xcox-cos2x+．=，=，令（k∈Z），解得：（k∈Z），故函数的单调递增区间为：，（k∈Z）．（2）由于f（x）=，所以f（α）=，f（β）=，角α，β的终边不共线，所以，整理得，所以tan（α+β）=-．【解析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间．（2）利用（1）的函数关系式，进一步建立α和β的关系式，最后求出函数的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．24.【答案】解：（1）=1，同理=1．∵|-|=，∴=，化为2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）=，∴cos（α-β）=．（2）∵0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，∴0＜α-β＜π，=．∴sin（α-β）==．∴sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ==．【解析】（1）=1，同理=1．利用数量积运算性质|-|=，可得=，展开即可得出；（2）由0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，可得0＜α-β＜π，，sin（α-β）=．再利用sinα=sin[（α-β）+β]展开即可得出．本题考查了数量积运算及其性质、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦余弦公式，考查了推理能力和技能数列，属于中档题．25.【答案】解：（1）f（x）+f（-x）=2x2当x≥0时，2x2≤2x⇒0≤x≤1，当x＜0时，2x2≤-2x⇒-1≤x＜0，∴集合C=[-1，1]．（2）f（a x）-a x+1-11=0⇒（a x）2-（a-1）a x-11=0，令a x=u则方程为h（u）=u2-（a-1）u-11=0 h（0）=-11，u=a x，∈，对称轴x=当a＞2时，u∈[，a]，h（u）=0 在[，a]上有解，对称轴函数在区间内先单调递减，再单调递增此时则即可解得：当时，u∈[，a]，h（u）=0 在[，a]上有解，对称轴函数在区间内单调递增则⇒a≥11，又此时无解当 0＜a＜1时，u∈[a，]，h（u）=0 在[a，]上有解，对称轴函数在区间内单调递增则⇒0＜a≤，∴当 0＜a≤或a≥11时，方程在C上有解，且有唯一解．【解析】（1）直接把函数f（x）=x2+x代入不等式，化简解答即可．（2）先把函数f（x）=x2+x代入方程f（a x）-a x+1=11（a＞0且a≠1），方程f（a x）-a x+1=11（a＞0且a≠1）在C上有解，转化为a x在某一范围上有解，利用根的存在性定理，解答即可．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．。

长郡中学2017-2018年度高一上册第一次月考数学试卷

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数学! 长郡版" !% !
! 本小题满分" " 0 ! $分" 如图% 矩形 3 4 5 0 内接于半圆6% 3$ 4两点在直径 7 8 上% 5$ 0 两点在半圆弧上% 设6 圆的半径为定值 9! 4& #% ! " 写出矩形 3 并指出定义域+ 4 5 0 面积* 与# 的函数关系式% " ! " 问# 取何值时 % 矩形 3 , 4 5 0 面积最大, 并求出最大值!
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密!!封!!线!!内!!不!!要!!答!!题
不论# 为何实数则实数$ 的取不等式$ , ! #$ #! " $ 恒成立 '
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姓!名!
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学!校!
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长郡中学高一数学第一次月考数学试卷

数学（长郡版）- 4
（1）若 A 1,2，求 S T ：（2）若 A 0, m，且 S T ，求实数 m 的值；
（3）若对于 A 中的每一个 x 值，都有 f (x) g(x) ，求集合 A 。
17. （本小题满分 10 分）
已知函数 f (x) 2x2 a , 且f (1) 3 。 x
（1）求函数 f (x) 在 - ，0 上的单调区间，并利用定义证明；
个数为
A.71
B.49
C.35
D.29
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分，将答案填在答案纸上。
11. 设 P,Q 为两个非空实数集合， P 中含有 0,2,5 三个元素， Q 中含有1,2,6 三个元素，定
义集合 P Q 中的元素是 a b ，其中 a P,b Q ，则 P Q 中元素个数是
一片森林原面积为 a .计划从某年开始，每年砍伐一些树林，且每年砍伐面积与上一年剩余
面积的百分比相等，并计划砍伐到原面积的一半时，所用时间是 10 年。为保护生态环境，
森林面积至少要保留原面积的 1 。已知到今年为止，森林剩余面积为原面积的 2 。
4
2
（1）求每年砍伐面积与上一年剩余面积的百分比；（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？（3）为保护生态环境，今后最多还能砍伐多少年？
19.（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) 对一切实数 x, y ，等式 f (x y) f ( y) x(x 2y 1) 都成立，且
f (1) 0 。
（1）求函数 f (x) 的解析式；（2）已知 a,b R，g(x) f (x) bx, 当 0 x 1 时，使不等式 f (x) 3 2x a 恒成立

湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题 PDF版

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【推荐】2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高一(上)期中数学试卷

2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知全集U ＝Z ，A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x|x 2＝x}，则A ∩?U B 为（）A ．{﹣1，2}B ．{﹣1，0}C ．{0，1}D ．{1，2}2．（3分）已知函数f （x ）的图象在R 上是连续不间断的，且f （a ）f （b ）＞0，则下列说法正确的是（）A ．f （x ）在区间（a ，b ）上一定有零点B ．f （x ）在区间（a ，b ）上不一定有零点C ．f （x ）在（a ，b ）上零点的个数为奇数D ．f （x ）在（a ，b ）上没有零点3．（3分）f （x ）＝，则f{f[f （﹣3）]}等于（）A ．0B ．πC ．π2D ．94．（3分）已知集合A ＝B ＝R ，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝ax+b ，若4和10的原象分别对应是6和9，则19在f 作用下的象为（）A ．18B ．30C ．D ．285．（3分）下列各组中两个函数是同一函数的是（）A ．B ．C ．f （x ）＝1，g （x ）＝x 0D ．6．（3分）函数f （x ）＝log 4x 与f （x ）＝4x的图象（）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称7．（3分）方程lgx +x ﹣2＝0一定有解的区间是（）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）8．（3分）方程xlog 34＝1，则4x +4﹣x为（）A ．0B ．C ．3D ．9．（3分）在同一坐标系中，函数y ＝ax+a 与y ＝a x的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．10．（3分）已知函数f （x ）＝lg （1﹣x ）的值域为（﹣∞，1]，则函数f （x ）的定义域为（）A ．[﹣9，+∞）B ．[0，+∞）C ．（﹣9，1）D ．[﹣9，1）11．（3分）A ＝{x|x 2+x ﹣6＝0}，B ＝{x|mx+1＝0}且A ∪B ＝A ，则m 的取值范围（）A ．B ．C ．D ．12．（3分）某化工厂生产一种溶液，按市场需求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为（已知lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771）（）A ．6B ．7C ．8D ．913．（3分）若函数f （x ）为定义在R 上的奇函数，且在（0，+∞）为减函数，若f （2）＝0，则不等式（x ﹣1）f （x ﹣1）＞0的解集为（）A ．（﹣3，﹣1）B ．（﹣3，1）∪（2，+∞）C ．（﹣3，0）∪（1，3）D ．（﹣1，1）∪（1，3）14．（3分）若函数f （x ）＝x 2+a|x ﹣2|在（0，+∞）上单调递增，则a 的范围为（）A ．[﹣4，2]B ．[﹣4，0]C ．[﹣4，2）D ．[﹣2，2）15．（3分）对于函数，设f 2（x ）＝f[f （x ）]，f 3（x ）＝f[f 2（x ）]，…，f n+1（x ）＝f[f n （x ）]（n ∈N *，且n ≥2），令集合M ＝{x|f 2017（x ）＝﹣log 2|x|}，则集合M 为（）A ．空集B ．一元素集C ．二元素集D ．四元素集二、填空题：本大题共5小题，每题3分，满分15分，把答案填写在题中的横线上16．（3分）已知幂函数的图象经过点（2，8），则它的解析式是．17．（3分）求值＝．18．（3分）已知函数f （x ）＝4x 2﹣kx ﹣8在[5，20]上具有单调性，则实数k 的取值范围为．19．（3分）若函数（a ＞0，且a ≠1）在x ∈[﹣1，1]上的最大值为23，则a 的值为．20．（3分）若函数f （x ）为定义域D 上的单调函数，且存在区间[a ，b]?D （其中a ＜b ），使得当x ∈[a ，b]时，f （x ）的取值范围恰为[a ，b]，则称函数f （x ）是D 上的“正函数”，若f （x ）＝x 2+k 是（﹣∞，0）上的正函数，则实数k 的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）21．（8分）已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，（1）画出函数f （x ）的图象；（2）根据图象写出f （x ）的单调区间，并写出函数的值域．22．（8分）已知函数的定义域是集合A ，函数g （x ）＝lg[x 2﹣（2a+1）x+a 2+a]的定义域是集合B ．（1）求集合A 、B ；（2）若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．23．（8分）对于函数f （x ）＝a（a ∈R ）．（1）判断并证明函数的单调性；（2）是否存在实数a ，使函数f （x ）为奇函数？证明你的结论．24．（8分）电信局为了配合客户不同需要，设有A 、B 两种优惠方案，这两种方案应付话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系，如图所示（实线部分）．（注：图中MN ∥CD ．）试问：（1）若通话时间为2小时，按方案A 、B 各付话费多少元？（2）方案B 从500分钟以后，每分钟收费多少元？（3）通话时间在什么范围内，方案B 才会比方案A 优惠．25．（8分）对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为G函数．①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．已知函数g（x）＝x2与h（x）＝2x﹣b是定义在[0，1]上的函数．（1）试问函数g（x）是否为G函数？并说明理由；（2）若函数h（x）是G函数，求实数b组成的集合．2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知全集U ＝Z ，A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x|x 2＝x}，则A ∩?U B 为（）A ．{﹣1，2}B ．{﹣1，0}C ．{0，1}D ．{1，2}【分析】B 为二次方程的解集，首先解出，再根据交集、补集意义直接求解．【解答】解：由题设解得B ＝{0，1}，?U B ＝{x ∈Z |x ≠0且x ≠1}，∴A ∩?U B ＝{﹣1，2}，故选：A ．【点评】本题考查集合的基本运算，属容易题．2．（3分）已知函数f （x ）的图象在R 上是连续不间断的，且f （a ）f （b ）＞0，则下列说法正确的是（）A ．f （x ）在区间（a ，b ）上一定有零点B ．f （x ）在区间（a ，b ）上不一定有零点C ．f （x ）在（a ，b ）上零点的个数为奇数D ．f （x ）在（a ，b ）上没有零点【分析】f （x ）在区间（a ，b ）上有可能有零点，也可能没有零点．【解答】解：∵函数f （x ）的图象在R 上是连续不间断的，且f （a ）f （b ）＞0，∴f （x ）在区间（a ，b ）上有可能有零点，也可能没有零点，即f （x ）在区间（a ，b ）上不一定有零点．故选：B ．【点评】本题考查函数在给定区间上是否有零点的判断与求法，考查导数、极限、连续等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．（3分）f （x ）＝，则f{f[f （﹣3）]}等于（）A ．0B ．πC ．π2D ．9【分析】应从内到外逐层求解，计算时要充分考虑自变量的范围．根据不同的范围代不同的解析式．【解答】解：由题可知：∵﹣3＜0，∴f（﹣3）＝0，∴f[f（﹣3）]＝f（0）＝π＞0，∴f{f[f（﹣3）]}＝f（π）＝π2故选：C．【点评】本题考查的是分段函数求值问题．在解答的过程当中充分体现了复合函数的思想、问题转化的思想．4．（3分）已知集合A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax+b，若4和10的原象分别对应是6和9，则19在f作用下的象为（）A．18B．30C．D．28【分析】根据映射的定义及条件若4和10的原象分别对应是6和9，解出a和b，然后再求解；【解答】解：∵集合A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax+b，∴，解得，a＝2，b＝﹣8，∴y＝2x﹣8，当x＝19时，y＝2×19﹣8＝30，故选：B．【点评】此题主要考查映射与函数的定义及其应用，理解象与原象的定义，不要弄混淆了，此题是一道好题．5．（3分）下列各组中两个函数是同一函数的是（）A．B．C．f（x）＝1，g（x）＝xD．【分析】要判断两个函数是否是同一个函数，需要从三个方面来分析，即定义域，对应法则和值域，观察四个选项结果有三个的定义域不同，从而得出正确选项．【解答】解：A、的定义域为R，的定义域为x≥0，两函数的定义域不同，故不是同一函数；B 、，相同的定义域，值域与对应法则，故它们是同一函数；C 、f （x ）＝1的定义域为R ，g （x ）＝x 0的定义域为x ≠0，两函数的定义域不同，故不是同一函数；D 、的定义域为x ≠﹣2；g （x ）＝x ﹣2的定义域为R ，两函数的定义域不同，故不是同一函数，则选项B 中的两函数表示同一函数．故选：B ．【点评】本题考查判断两个函数是否是同一函数，在开始学习函数的概念时，这是经常出现的一个问题，注意要从三个方面来分析：定义域、对应法则、值域，只有三要素完全相同，才能判断两个函数是同一个函数，这是判定两个函数为同一函数的标准．6．（3分）函数f （x ）＝log 4x 与f （x ）＝4x的图象（）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称【分析】先判断函数f （x ）＝log 4x 与f （x ）＝4x互为反函数，然后根据互为反函数的两个函数图象关于直线y ＝x 对称，从而得到结论．【解答】解：函数f （x ）＝log 4x 与f （x ）＝4x互为反函数∴函数f （x ）＝log 4x 与f （x ）＝4x的图象关于直线y ＝x 对称故选：D ．【点评】本题考查反函数的求法，互为反函数的2个函数图象间的关系，属于基础题．7．（3分）方程lgx +x ﹣2＝0一定有解的区间是（）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）【分析】设f （x ）＝lgx +x ﹣2，根据f （1）f （2）＜0，以及函数零点的判定定理可得f（x ）在（1，2）内必有零点．【解答】解：设f （x ）＝lgx +x ﹣2，∵f （1）＝﹣1＜0，f （2）＝lg2＞0，f （1）f （2）＜0，根据函数零点的判定定理可得f （x ）在（1，2）内必有零点，故选：B ．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．8．（3分）方程xlog 34＝1，则4x+4﹣x为（）A ．0B ．C ．3D ．【分析】由已知可解得x 的值，然后代入4x+4﹣x计算可得答案．【解答】解：∵xlog 34＝1，∴x ＝log 43．∴则4x+4﹣x＝＝．故选：B ．【点评】本题考查了对数的运算性质，是基础题．9．（3分）在同一坐标系中，函数y ＝ax+a 与y ＝a x的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【分析】一方面，函数y ＝a x横过点（0，1）且在a ＞1时递增，在0＜a ＜1时递减；另一方面再结合函数y ＝ax+a 与y 轴的交点为（0，a ）作出判断．【解答】解：∵函数y ＝a x横过点（0，1）且在a ＞1时递增，在0＜a ＜1时递减，而函数y ＝ax+a 与y 轴的交点为（0，a ），因此，A 中、由y ＝a x的图象递增得知a ＞1，由函数y ＝ax+a 与y 轴的交点（0，a ）得知a ＜1，矛盾；C 中、由y ＝a x的图象递减得知0＜a ＜1，由函数y ＝ax+a 与y 轴的交点（0，a ）得知a＞1，矛盾；D 中、由y ＝a x 的图象递减得知0＜a ＜1，函数y ＝ax+a 递减得知a ＜0，矛盾；故选：B ．【点评】本题考查对数函数的图象与性质，着重考查一次函数y ＝ax+a 与指数函数y ＝ax之间的对应关系，考查数形结合的分析能力，属于基础题．10．（3分）已知函数f （x ）＝lg （1﹣x ）的值域为（﹣∞，1]，则函数f （x ）的定义域为（）A．[﹣9，+∞）B．[0，+∞）C．（﹣9，1）D．[﹣9，1）【分析】由于函数f（x）＝lg（1﹣x）在（﹣∞，1）上递减，由于函数的值域为（﹣∞，1]，则lg（1﹣x）≤1，即有0＜1﹣x≤10，解得即可得到定义域．【解答】解：函数f（x）＝lg（1﹣x）在（﹣∞，1）上递减，由于函数的值域为（﹣∞，1]，则lg（1﹣x）≤1，则有0＜1﹣x≤10，解得，﹣9≤x＜1．则定义域为[﹣9，1），故选：D．【点评】本题考查函数的值域和定义域问题，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于基础题．11．（3分）A＝{x|x 2+x﹣6＝0}，B＝{x|mx+1＝0}且A∪B＝A，则m的取值范围（）A．B．C．D．【分析】根据已知中A＝{x|x2+x﹣6＝0}，B＝{x|mx+1＝0}且A∪B＝A，我们分m＝0，m ≠0两种情况进行讨论，分别求出满足条件的m的值，即可得到答案．【解答】解：∵A＝{x|x2+x﹣6＝0}＝{﹣3，2}，A∪B＝A，则B?A若m＝0，则B＝?，满足要求；若m≠0，则B＝{x|x＝﹣}则m＝，或m＝﹣综上m的取值范围组成的集合为故选：C．【点评】本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，其中本题易忽略m＝0的情况，而错选A12．（3分）某化工厂生产一种溶液，按市场需求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为（已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）（）A．6B．7C．8D．9【分析】根据题意，设至少需要过滤n次，则，进而可建立不等式，由此可得结论．【解答】解：设至少需要过滤n次，则，即，所以，即，又n∈N，所以n≥8，所以至少过滤8次才能使产品达到市场要求．故选：C．【点评】本题考查数列的应用，考查学生的阅读能力，考查学生的建模能力，属于中档题．13．（3分）若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）为减函数，若f（2）＝0，则不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集为（）A．（﹣3，﹣1）B．（﹣3，1）∪（2，+∞）C．（﹣3，0）∪（1，3）D．（﹣1，1）∪（1，3）【分析】利用函数的单调性与奇偶性做出函数图象，然后按x﹣1得符号进行分类讨论．【解答】解：由做出函数的大致图象如图：（1）当x﹣1＞0时，即x＞1时，f（x﹣1）＞0，∴0＜x﹣1＜2或x﹣1＜﹣2，解得1＜x＜3．（2）当x﹣1＜0时，即x＜1时，f（x﹣1）＜0，∴﹣2＜x﹣1＜0或x﹣1＞2，解得﹣1＜x＜1．综上所述：x的取值范围是（﹣1，1）∪（1，3）．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性与奇偶性，是基础题．14．（3分）若函数f（x）＝x 2+a|x﹣2|在（0，+∞）上单调递增，则a的范围为（）A．[﹣4，2]B．[﹣4，0]C．[﹣4，2）D．[﹣2，2）【分析】先通过讨论x的范围，将f（x）写出分段函数的形式，结合二次函数的性质，得到不等式组，解出即可．【解答】解：f（x）＝x2+a|x﹣2|＝，要使f（x）在[0，+∞）上单调递增，则：，解得﹣4≤a≤0；∴实数a的取值范围是[﹣4，0]．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查了分段函数问题，是一道中档题．15．（3分）对于函数，设f2（x）＝f[f（x）]，f3（x）＝f[f2（x）]，…，f n+1（x）＝f[f n（x）]（n∈N*，且n≥2），令集合M＝{x|f2017（x）＝﹣log2|x|}，则集合M为（）A．空集B．一元素集C．二元素集D．四元素集【分析】根据函数解析式，利用递推关系得到函数是周期为4的周期函数，结合函数与方程之间的关系转化两个函数图象的交点问题，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵，∴f2（x）＝f[f（x）]＝＝＝＝，f3（x）＝f[f2（x）]＝＝＝，f4（x）＝＝＝，f5（x）＝＝f（x），…∴函数f n（x）是周期为4的周期函数，则f2017（x）＝f2016+1（x）＝f（x）＝，由f2017（x）＝﹣log2|x|得＝﹣log2|x|，即﹣＝log2|x|，则log2|x|＝﹣＝﹣1+，作出两个函数y＝log2|x|和y＝﹣1+的图象如图：由图象知两个图象有1个交点，即方程f2017（x）＝﹣log2|x|有一个根，则集合M为一元素集，故选：B．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件判断函数的周期性以及利用数形结合进行转化是解决本题的关键．综合性较强难度较大．二、填空题：本大题共5小题，每题3分，满分15分，把答案填写在题中的横线上16．（3分）已知幂函数的图象经过点（2，8），则它的解析式是f （x ）＝x3．【分析】设出幂函数，通过幂函数经过的点，即可求解幂函数的解析式．【解答】解：设幂函数为f （x ）＝x a，因为幂函数图象过点（2，8），所以8＝2a，解得a ＝3，所以幂函数的解析式为f （x ）＝x 3．故答案为：f （x ）＝x 3．【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题目．17．（3分）求值＝．【分析】直接由有理指数幂的运算性质化简即可．【解答】解：＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了有理指数幂的化简求值，是基础题．18．（3分）已知函数f （x ）＝4x 2﹣kx ﹣8在[5，20]上具有单调性，则实数k 的取值范围为{k|k ≤40，或k ≥160}．【分析】已知函数f （x ）＝4x 2﹣kx ﹣8，求出其对称轴x ＝﹣，要求f （x ）在〔5，20〕上具有单调性，只要对称轴x ≤5，或x ≥20，即可，从而求出k 的范围；【解答】解：∵函数f （x ）＝4x 2﹣kx ﹣8的对称轴为：x ＝﹣＝﹣＝，∵函数f （x ）＝4x 2﹣kx ﹣8在〔5，20〕上具有单调性，根据二次函数的性质可知对称轴x ＝≤5，或x ＝≥20∴≤5或，∴k ≤40，或k ≥160∴k ∈（﹣∞，40〕∪〔160，+∞），故答案为：{k|k≤40，或k≥160}【点评】此题主要考查二次函数的图象及其性质，利用对称轴在区间上移动得出，f（x）在（5，20）上具有单调性的条件，此题是一道基础题．19．（3分）若函数（a＞0，且a≠1）在x∈[﹣1，1]上的最大值为23，则a的值为4或．【分析】由题意，设，t＞0，则y＝t2+2t﹣1，其图象为开口向上且对称轴为t ＝﹣1的抛物线，所以二次函数y＝t2+2t﹣1在[﹣1，+∞）上是增函数．对a进行讨论可得答案．【解答】解：设，t＞0，则y＝t2+2t﹣1，其图象为开口向上且对称轴为t＝﹣1的抛物线，所以二次函数y＝t2+2t﹣1在[﹣1，+∞）上是增函数．①若a＞1，则在[﹣1，1]上单调递减，∴，所以t＝a时y取最大值，，∴a＝4或a＝﹣6（舍去）；②若0＜a＜1，则在[﹣1，1]上递增，，所以时，y取得最大值，．∴，，∴或（舍去）．综上可得：a＝4或．故答案为：4或．【点评】本题主要考查函数最值的求解，根据指数的单调性讨论以及一元二次函数的性质是解决本题的关键．20．（3分）若函数f（x）为定义域D上的单调函数，且存在区间[a，b]?D（其中a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）的取值范围恰为[a，b]，则称函数f（x）是D上的“正函数”，若f（x）＝x2+k是（﹣∞，0）上的正函数，则实数k的取值范围是（﹣1，﹣）．【分析】根据函数f（x）＝x2+k是（﹣∞，0）上的正函数，则f（a）＝b，f（b）＝a，建立方程组，消去b，求出a的取值范围，转化成关于a的方程a2+a+k+1＝0在区间（﹣1，﹣）内有实数解进行求解．【解答】解：因为函数f（x）＝x2+k是（﹣∞，0）上的正函数，所以a＜b＜0，所以当x∈[a，b]时，函数单调递减，则f（a）＝b，f（b）＝a，即a2+k＝b，b2+k＝a，两式相减得a2﹣b2＝b﹣a，即b＝﹣（a+1），代入a2+k＝b得a2+a+k+1＝0，由a＜b＜0，且b＝﹣（a+1），∴a＜﹣（a+1）＜0，解得﹣1＜a＜﹣．故关于a的方程a2+a+k+1＝0在区间（﹣1，﹣）内有实数解，记h（a）＝a2+a+k+1，则h（﹣1）＞0，h（﹣）＜0，即1﹣1+k+1＞0且﹣+k+1＜0，解得k＞﹣1且k＜﹣．即﹣1＜k＜﹣．故答案为：（﹣1，﹣）．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查函数的单调性的运用，考查函数方程的转化思想，考查运算能力，属于中档题和易错题．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）21．（8分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，（1）画出函数f（x）的图象；（2）根据图象写出f（x）的单调区间，并写出函数的值域．【分析】（1）由偶函数的图象关于y轴对称可知，要画出函数f（x）的图象，只须作出f （x）当x≥0时的图象，然后关于y轴对称即可；（2）观察图象，结合函数单调性和值域的定义，写出f（x）的单调区间及值域．【解答】解：（1）函数f（x）的图象如图所示（2）由图象得，f（x）的单调区间为：（﹣∞，0）上是增函数，（0，+∞）上是减函数，值域为（0，1]．【点评】本题考查了偶函数的性质：图象关于y轴对称和数形结合思想，函数的图象可直观反映其性质，利用函数的图象可以解答函数的值域（最值），单调性，奇偶性等问题，也可用来解答不等式的有关题目．22．（8分）已知函数的定义域是集合A，函数g（x）＝lg[x 2﹣（2a+1）x+a2+a]的定义域是集合B．（1）求集合A、B；（2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．【分析】（1）由函数的定义域能求出集合A，由函数g（x）＝lg[x2﹣（2a+1）x+a 2+a]的定义域能求出集合B．（2）由A＝{x|x≤﹣1或x＞2}，B＝{x|x＜a或x＞a+1}，A∩B＝A，得A?B，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵函数的定义域是集合A，∴A＝{x|≥0}＝{x|x≤﹣1或x＞2}，∵函数g（x）＝lg[x2﹣（2a+1）x+a2+a]的定义域是集合B，∴B＝{x|x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0}＝{x|x＜a或x＞a+1}．（2）∵A＝{x|x≤﹣1或x＞2}，B＝{x|x＜a或x＞a+1}．由A∩B＝A，得A?B，∴，解得﹣1＜a≤1，∴实数a的取值范围是（﹣1，1]．【点评】本题考查集合的求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数的定义域、子集等基础知识，是基础题．23．（8分）对于函数f（x）＝a（a∈R）．（1）判断并证明函数的单调性；（2）是否存在实数a，使函数f（x）为奇函数？证明你的结论．【分析】（1）函数f（x）为R上的增函数任取x1，x2∈R，且任意x1＜x2，作差判断f（x1）﹣f（x2）的符号，进而可得答案；（2）存在实数a＝1，使函数f（x）为奇函数，代入利用奇偶性的定义，可得答案．【解答】（12分）（1）函数f（x）为R上的增函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）证明如下：函数f（x）的定义域为R，对任意x1，x2∈R，＝…（3分）因为y＝2x是R上的增函数，x1＜x2，所以＜0，…（5分）所以f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），函数f（x）为R上的增函数．…（6分）（2）∵x∈R，若f（x）是奇函数，则f（0）＝0，∴a＝1．所以存在实数a＝1，使函数f（x）为奇函数．…（8分）证明如下：当a＝1时，＝．对任意x∈R，f（﹣x）＝＝＝﹣＝﹣f（x），即f（x）为奇函数．…（12分）【点评】本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．24．（8分）电信局为了配合客户不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系，如图所示（实线部分）．（注：图中MN∥CD．）试问：（1）若通话时间为2小时，按方案A、B各付话费多少元？（2）方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？（3）通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠．【分析】（1）要求通话时间为2小时，按方案A，B各付话费多少元，关键是要根据函数图象求出函数的解析式，再当通话时间代入解析式进行求解．（2）由（1）中的结论，我们不难求出方案B在500分钟后，对应函数图象的斜率，即每分钟收费的多少．（3）由图可知，方案A与方案B的图象有交点，在交点的左侧，A方案更优惠，在交点的右侧，B方案更优惠，故我们只要求出交战的横坐标，即可得到通话时间在什么范围内，方案B比方案A优惠．【解答】解：（1）由图知M（60，98），N（500，230），C（500，168），MN∥CD．设两种方案应付话费与通话时间的函数关系分别为f A（x）、f B（x），则，通话2小时两种方案的话费分别为116元、168元．（2）∵（元）∴方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元．（3）由图知，当0≤x≤60时，f A（x）＜f B（x），当x＞500时，f A（x）＞f B（x），∴当60＜x≤500时，由f A（x）＞f B（x），得，即当通话时间在内时，方案B较A优惠．【点评】已知函数图象求函数的解析式，是一种常见的题型，关键是要知道函数的类型，利用待定系数法设出函数的解析式，然后将函数图象上的点的坐标代入求出参数的值，即可得到要求函数的解析式．25．（8分）对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为G函数．①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．已知函数g（x）＝x2与h（x）＝2x﹣b是定义在[0，1]上的函数．（1）试问函数g（x）是否为G函数？并说明理由；（2）若函数h（x）是G函数，求实数b组成的集合．【分析】（1）根据G函数的定义，验证函数g（x）是否满足条件．即可（2）若函数h（x）是G函数根据条件结合函数的单调性进行判断求解即可．【解答】解：（1）是，理由如下：当x∈[0，1]时，总有g（x）＝x2≥0，满足①，当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，g（x1+x2）＝（x1+x2）2＝x12+x22+2x1x2≥x12+x22＝g（x1）+g（x2），满足②…（4分）（2）h（x）＝2x﹣b为增函数，h（x）≥h（0）＝1﹣b≥0，∴b≤1，由h（x1+x2）≥h（x1）+h（x2），﹣b+﹣b，即b≥1﹣（﹣1）（﹣1），∵x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，∴0≤﹣1≤1，0≤﹣1≤1，x1，x2不同时等于1∴0≤（﹣1）（﹣1）＜1；∴0＜1﹣（﹣1）（﹣1）≤1，当x1＝x2＝0时，1﹣（﹣1）（﹣1）的最大值为1；∴b≥1，则b＝1，综合上述：b∈{1}…（12分）【点评】本题主要考查抽象函数的应用，根据抽象函数图象判断条件是否成立是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．。

湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(精品解析含答案)

2017-2018学年湖南省长沙市天心区长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）1. 设集合A ={1，3}，集合B ={1，2，4，5}，则集合A ∪B =（）A. {1,3，1，2，4，5}B. {1}C. {1,2，3，4，5}D. {2,3，4，5} 2. 已知tan α=−√3，π2＜α＜π，则sinα的值为（）A. 12B. √32C. −12D. −√323. 已知|a ⃗ |=4，|b ⃗ |=3，且a ⃗ 与b ⃗ 不共线，若向量a ⃗ +k b ⃗ 与a ⃗ −k b ⃗ 互相垂直，则k 的值为（）A. ±43B. ±34C. ±2√33D. ±√324. 如果奇函数f （x ）在区间[2，8]上是减函数且最小值为6，则f （x ）在区间[-8，-2]上是（）A. 增函数且最小值为−6B. 增函数且最大值为−6C. 减函数且最小值为−6D. 减函数且最大值为−6 5. 函数f （x ）=2x +3x -7的零点所在的区间是（）A. (−1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)6. △ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a 2-c 2+b 2=ab ，则C =（）A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 60∘或120∘ 7. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若cosAcosB =ba ，则△ABC 的形状是（）A. 等腰三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形8. 已知集合A ={x|(12)x2−x−6＜1}，B ={x|log 4(x +a)＜1}，若A ∩B =∅，则实数a 的取值范围是（）A. 1<a <2B. 1≤a ≤2C. ⌀D. 1<a ≤29. 设α是第二象限角，P （x ，4）为其终边上的一点，且cosα=15x ，则tanα=（）A. 43B. 34C. −34D. −4310. 化简sin(2π−α)cos(π+α)cos(π2+α)cos(11π2−α)cos(π−α)sin(3π−α)sin(−π−α)sin(9π2+α)的结果是（）A. 1B. sinαC. −tanαD. tanα11. 先把函数f （x ）=sin （x -π6）的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再把新得到的图象向右平移π3个单位，得到y =g （x ）的图象．当x ∈[π4，3π4]时，函数g （x ）的值域为（）A. [−√32,1]B. [−12,1]C. [−√32,√32]D. [−1,0012. 设f （x ）是定义在R 上的周期为2的偶函数，已知x ∈[2，3]时，f （x ）=x ，则x ∈[-2，0]时，f （x ）的解析式为f （x ）=（） A. x +4 B. 2−x C. 3−|x +1| D. 2−|x +1|13. 若函数f(x)=sinωx −√3cosωx ，ω＞0，x ∈R ，又f （x 1）=2，f （x 2）=0，且|x 1-x 2|的最小值为3π2，则ω的值为（）A. 13B. 23C. 43D. 214. 如图，正△ABC 的中心位于点G （0，1），A （0，2），动点P 从A 点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP =x （0≤x ≤2π），向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在a ⃗ =（1，0）方向的射影为y （O 为坐标原点），则y 关于x 的函数y =f （x ）的图象是（）A.B.C.D.15. 已知定义在R 上的奇函数f （x ），当x ＞0时，f （x ）={2|x−1|−1，0＜x ≤212f(x −2)，x ＞2则关于x 的方程6[f （x ）]2-f （x ）-1=0的实数根个数为（） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9二、填空题（本大题共5小题，共15.0分） 16. lg2+lg5+π0=______．17. 已知tanα=3，则2sinα−cosαcosα+3sinα=______．18. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|b ⃗ |=2，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，则b⃗ 在a ⃗ 上的投影是______． 19. 若函数f （x ）=2x 2-kx -3在区间[-2，4]上具有单调性，则实数k 的取值范围是______．20. 在△ABC 中，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =9，sinB =cosAsinC ，S △ABC =6，P 为线段AB 上的一点，且CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+y ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ |CB⃗⃗⃗⃗⃗ |，则1x +1y 的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）21.已知集合A={x|（x+3）（x-2）≤0}，B={x|1≤x≤4}．（1）求A∩B；（2）求（∁R A）∪B．22.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinAacosB=√3．（1）求角B的大小；（2）若b=2√3，sin C=2sin A，求a，c的值．23.已知函数f（x）=√3sin xcox-cos2x+32．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若角α，β的终边不共线，且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．24.已知向量a⃗=（cosα，sinα），b⃗ =（cosβ，sinβ），|a⃗-b⃗ |=2√55．（1）求cos（α-β）的值；（2）若0＜α＜π2，-π2＜β＜0，且sinβ=-513，求sinα．25.已知二次函数f（x）=x2+x，若不等式f（-x）+f（x）≤2|x|的解集为C．（1）求集合C；（2）若函数g（x）=f（a x）-a x+1-11（a＞0且a≠1）在集合C上存在零点，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，∴集合A∪B={1，2，3，4，5}．故选C．集合A的所有元素和集合B的所有元素合并到一起，构成集合A∪B，由此利用集合A={1，3}，集合B={1，2，4，5}，能求出集合A∪B．本题考查集合的并集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2.【答案】B【解析】解：∵tan，∴，解得或．∵，∴sinα=．故选：B．由已知结合同角三角函数基本关系式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．3.【答案】A【解析】解：∵||=4，||=3，且与不共线，向量与互相垂直，∴（）（）==16-9k2=0，解得k=±．故选：A．由向量与互相垂直，得（）（）==16-9k2=0，由此能求出k．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.【答案】D【解析】解：根据题意，f（x）在区间[2，8]上是减函数，且最小值为6，即f（8）=6，且f（x）≥6，又由f（x）为奇函数，则f（x）在区间[-8，-2]上是减函数，且f（-8）=-6，则有f（x）≤-6，故选：D．由奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，分析可得答案．本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用，注意运用奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：函数f（x）=2x+3x-7，因为y=2x是增函数，y=3x-7是增函数，所以函数f（x）=2x+3x-7是增函数．f（-1）=＜0．f（0）=1-7＜0．f（1）=2+3-7＜0．f（2）=4+6-7＞0．函数f（x）=2x+3x-7的零点所在的区间是：（1，2）．故选：C．判断求解端点的函数值，利用零点判定定理求解即可．本题考查零点判定定理的应用，是基础题．6.【答案】C【解析】解：在△ABC中，由a2-c2+b2=ab，可得cosC=，∵0°＜C＜180°，∴C=120°．故选：C．直接由已知结合余弦定理求解．本题考查余弦定理的应用，是基础的计算题．7.【答案】D【解析】解：在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，可得，可得sin2A=sin2B．可得2A=2B或2A+2B=π，即：A=B或A+B=；故选：D．利用正弦定理转化求解三角形的角的关系，判断三角形的形状即可．本题考查正弦定理的应用，三角形的形状的判断，考查计算能力．8.【答案】B【解析】解：由=，可得x2-x-6＞0，解得x＞3，或x＜-2，故A=（-∞，-2）∪（3，+∞）．由log4（x+a）＜1=log44，可得0＜x+a＜4，解得-a＜x＜4-a，∴B=（-a，4-a）．若A∩B=∅，则有，解得1≤a≤2，故选：B．解指数不等式求得A，解对数不等式求得B，再根据A∩B=∅，求得实数a的取值范围．本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，两个集合的交集的定义和运算，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：由题意可得x＜0，r=|OP|=，故cosα==．再由可得x=-3，∴tanα==-，故选：D．根据任意角α的余弦的定义和已知条件可得x的值，再由tanα的定义求得结果．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：==-tanα．故选：C．利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：把函数f（x）=sin（x-）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到f（x）=sin（2x-）的图象，再把新得到的图象向右平移个单位，得到y=g（x）=sin[2（x-）]=sin（2x-）的图象．x∈[]时，，所以：sin（2x-）．故选：B．首先通过三角函数关系式的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：函数的图象的伸缩变换和平移变换的应用，正弦型函数的性质的应用．12.【答案】C【解析】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，x∈[2，3]时，f（x）=x，∴x∈[-2，-1]时，2+x∈[0，1]，4+x∈[2，3]，此时f（x）=f（4+x）=4+x，x∈[-1，0]时，-x∈[0，1]，2-x∈[2，3]，此时f（x）=f（-x）=f（2-x）=2-x，综上可得：x∈[-2，0]时，f（x）=3-|x+1|故选：C．根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合x∈[2，3]时，f（x）=x，可得答案．本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档．13.【答案】A【解析】解：=，∵函数f（x）的最大值为2，∵f（x1）=2，f（x2）=0，且|x1-x2|的最小值为，∴函数f（x）的周期T=4×=6π，由周期公式可得T==6π，解得ω=，故选：A．利用辅助角公式化积，结合已知得到函数的最小正周期，再由周期公式求得ω．本题考查三角函数的最值，考查了三角函数的图象和性质，是基础题．14.【答案】C【解析】解：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为连接BG，可得tan∠BGM==，即∠BGM=，所以∠BGA=-，由图可得当x=时，射影为y 取到最小值，其大小为-（BC长为），由此可排除A，B两个选项；又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；故选：C．由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B时x的值及y的值，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项．由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法．15.【答案】B【解析】解：设t=f（x），则关于x的方程6[f（x）]2-f（x）-1=0，等价6t2-t-1=0，解得t=或t=，当x=0时，f（0）=0，此时不满足方程．若2＜x≤4，则0＜x-2≤2，即f（x）==（2|x-3|-1），若4＜x≤6，则2＜x-2≤4，即f（x）==（2|x-5|-1），作出当x＞0时，f（x）=的图象如图：当t=时，f（x）=对应3个交点．∵函数f（x）是奇函数，∴当x＜0时，由f（x）=，可得当x＞0时，f（x）=，此时函数图象对应4个交点，综上共有7个交点，即方程有7个根．故选：B．先设t=f（x），求出方程6[f（x）]2-f（x）-1=0的解，利用函数的奇偶性作出函数在x＞0时的图象，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查函数方程根的个数的判断，利用换元法，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．16.【答案】2【解析】解：lg2+lg5+π0=lg10+1=2．故答案为：2．利用对数、指数的性质及运算法则直接求解．本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．17.【答案】12【解析】解：∵tanα=3，∴=．故答案为：．直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．18.【答案】1【解析】解：根据向量的投影定义，在上的投影等于||cos＜，＞=2×=1故答案为：1根据投影的定义，应用公式||cos＜，＞=求解．本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．19.【答案】（-∞，-8]∪[16，+∞）【解析】解：若函数f（x）=2x2-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则解得k∈（-∞，-8]∪[16，+∞）故答案为：（-∞，-8]∪[16，+∞）若函数f（x）=2x2-kx-3在区间[-2，4]上具有单调性，则，解得答案；本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．20.【答案】712+√33【解析】解：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b∵sinB=cosA•sinC∴sin（A+C）=sinCcosnA即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA∴sinAcosC=0∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°∵，S△ABC=6∴bccosA=9，bcsinA=6∴tanA=，根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15∴c=5，b=3，a=4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0），A（3，0），B（0，4）P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1）设，则||=||=1，，由=（x，0）+（0，y）=（x，y），∴x=3λ，y=4-4λ，则4x+3y=12．（也可以直接利用P为线段AB上的一点，三点共线，可得：，）==（7+）≥故所求的最小值为．故答案为：．设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求C=90°，再由，S△ABC=6，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1），设出单位向量，，推出x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12，而利用利用基本不等式求解最小值．本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的向量关系，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4-4λ发现4x+3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值．21.【答案】解：（1）∵集合A={x|（x+3）（x-2）≤0}={x|-3≤x≤2}，B={x|1≤x≤4}．∴A∩B={x|1≤x≤2}．（2）C U A={x|x＜-3或x＞2}，∴（∁R A）∪B={x|x＜-3或x≥1}．【解析】（1）求出集合A，B，由此能求出A∩B．（2）求出C U A={x|x＜-3或x＞2}，由此能求出（∁R A）∪B．本题考查交集、补集、并集的求法，考查交集、补集、并集定义等基础知识，是基础题．22.【答案】解：（1）∵bsinAacosB=√3．又∵由正弦定理asinA =bsinB，可得：sin B=bsinAa，∴可得：sinBcosB=tan B=√3，∵B∈（0，π），∴B=π3．（2）由sin C=2sin A及正弦定理asinA =bsinB，得c=2a，①．又b=2√3，B=π3，由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，得12=a2+c2-ac，②由①②得a=2，c=4．【解析】（1）由正弦定理化简已知等式可得tanB的值，结合范围B∈（0，π），利用特殊角的三角函数值即可求得B的值．（2）由已知及正弦定理可得c=2a，利用余弦定理可求9=a2+c2-ac，联立即可解得a，c的值，本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．23.【答案】解：（1）函数f（x）=√3sin xcox-cos2x+32．=√3 2sin2x−1+cos2x2+32，=sin(2x−π6)+1，令−π2+2kπ≤2x−π6≤2kπ+π2（k∈Z），解得：−π6+kπ≤x≤kπ+π3（k∈Z），故函数的单调递增区间为：[−π6+kπ，kπ+π3]（k∈Z）．（2）由于f（x）=sin(2x−π6)+1，所以f（α）=sin(2α−π6)+1，f（β）=sin(2β−π6)+1，角α，β的终边不共线，所以2α+2β−π3=π，整理得α+β=2π3，所以tan（α+β）=-√3．【解析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间．（2）利用（1）的函数关系式，进一步建立α和β的关系式，最后求出函数的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．24.【答案】解：（1）|a ⃗ |=√cos 2α+sin 2α=1，同理|b ⃗ |=1．∵|a ⃗ -b ⃗ |=2√55，∴√a ⃗ 2+b ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ =2√55，化为2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）=45，∴cos （α-β）=35．（2）∵0＜α＜π2，-π2＜β＜0，且sinβ=-513， ∴0＜α-β＜π，cosβ=√1−sin 2β=1213． ∴sin （α-β）=√1−cos 2(α−β)=45． ∴sinα=sin[（α-β）+β]=sin （α-β）cosβ+cos （α-β）sinβ =45×1213+35×(−513)=3365．【解析】（1）=1，同理=1．利用数量积运算性质|-|=，可得=，展开即可得出；（2）由0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，可得0＜α-β＜π，，sin （α-β）=．再利用sinα=sin[（α-β）+β]展开即可得出．本题考查了数量积运算及其性质、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦余弦公式，考查了推理能力和技能数列，属于中档题． 25.【答案】解：（1）f （x ）+f （-x ）=2x 2当x ≥0时，2x 2≤2x ⇒0≤x ≤1，当x ＜0时，2x 2≤-2x ⇒-1≤x ＜0， ∴集合C =[-1，1]．（2）f （a x ）-a x +1-11=0⇒（a x ）2-（a -1）a x -11=0，令 a x =u则方程为 h （u ）=u 2-（a -1）u -11=0 h （0）=-11，u =a x ，x ∈[−1,1]，对称轴x =a−12当a ＞2时，u ∈[1a ，a ]，h （u ）=0 在[1a ，a ]上有解，对称轴1a <a−12<a函数在区间[1a ,a]内先单调递减，再单调递增此时ℎ(a−12)<ℎ(1a )<ℎ(0)<0则ℎ(a)=a −11≥0即可解得：a ≥11当1<a ≤2时，u ∈[1a ，a ]，h （u ）=0 在[1a ，a ]上有解，对称轴a−12<1a<a函数在区间[1a ,a]内单调递增则{ℎ(1a )=1a 2−1+1a −11≤0ℎ(a)=a 2−(a −1)a −11≥0⇒a ≥11，又1<a ≤2此时无解当 0＜a ＜1时，u ∈[a ，1a ]，h （u ）=0 在[a ，1a ]上有解，对称轴a−12<0<a <1a函数在区间[a,1a ]内单调递增则{ℎ(1a )=1a 2−1+1a −11≥0ℎ(a)=a −11≤0⇒0＜a ≤13，∴当 0＜a ≤13或 a ≥11时，方程在C 上有解，且有唯一解．【解析】（1）直接把函数f （x ）=x 2+x 代入不等式，化简解答即可．（2）先把函数f （x ）=x 2+x 代入方程f （a x ）-a x+1=11（a ＞0且a≠1），方程f （a x ）-a x+1=11（a ＞0且a≠1）在C 上有解，转化为a x 在某一范围上有解，利用根的存在性定理，解答即可．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．。

长郡中学2017—2018 学年度高一第一学期第一次模块检测

长郡中学2017—2018学年度高一第一学期第一次模块检测数学命题人：陈峰时量：90分钟满分：100分得分_________一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.1.如果{}|1X x x =>-，则A.X ∅∈B.0X ⊆C.{}0X ∈D.{}0X⊆2.不论x 为何实数，不等式210ax ax +-<恒成立，则实数a 的取值范围是A.40a -<<B.40a -≤≤C.40a -≤< D.40a -<≤3.函数()1f x x =-与()()2g x x x =-的单调递增区间分别为A.[)[)1,,1,+∞+∞B.(][),1,1,-∞+∞C.()(]1,,,1+∞-∞D.()[),+,1,-∞∞+∞4.计算：-321-3218+100+=4⎛⎫ ⎪⎝⎭A.78 B.11464C.16810 D.585.函数()223f x x mx =-+在区间[]0,2上的值域[]2,3-,则m 的值为A.B.94D.946.设函数()()2,0,0,0,,0,x x f x x g x x ⎧<⎪==⎨⎪>⎩且()f x 为奇函数，则()3g =A.8B.18C.8-D.18-7.设集合(],M m =-∞,{}2|1,P y y x x R ==-∈，若M P=∅∩,则实数m 的取值范围是A.1m ≥- B.1m >-C.1m ≤- D.1m <-8.()f x 在()1,1-既是奇函数，又为减函数.若()()2110,f t f t -+->则t 的取值范围是A.1t >或2t <-B.1t <<C.21t -<<D.1t <或t >9.设函数(){}2min 1,1,1,f x x x x =-+-+其中{}min ,,x y z 表示,,x y z 中的最小者，若()()2f a f a +>,则实数a 的取值范围为A.()1,0-B.[]2,0-C.()(),21,0-∞- -∪D.[)2,-+∞10.已知实数,,a b c 满足a b c >>，且0a b c ++=.若12,x x 为方程20ax bx c ++=两个实数根，则2212x x -的取值范围为A.[)0,3 B.()0,1C.()1,3 D.[)0,1二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11.如果()()2231f x ax a x a =--+在[)1,+∞上是增函数，则实数a 的范围是___________12.已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞是单调递增，则满足()()1f x f x -<-的x 的取值范围是____________13.设定义在R 上的函数()f x 满足()()213,f x f x ⋅+=若()1f =2，则()2017f =_______;n 为正整数，则()21f n -=______14.设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()297a f x x x=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为_______15.对于函数()y f x =，若存在定义域D 内某个区间[],a b ,使得()y f x =在[],a b 上的值域也是[],a b ,则称函数()y f x =在定义域D 上封闭.如果函数()()01kx f x k x=≠+在R 上封闭，那么实数k 的取值范围是____________.三、解答题：本大题共5小题，每小题10分，共50分，要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分10分)已知集合{}2|3100S x x x =--<，{}|2215.P x a x a =+<<+(1)求集合S(2)若,S P P =∪求实数a 的取值范围.17.(本小题满分10分)已知13x x -+=，求下列各式的值.(1)3x x -+;(2)1122x x --18.(本小题满分10分)如图，矩形EFCD 内接于半圆,O E F 、两点在直径AB 上，C D 、两点在半圆弧上.设OF x =,圆的半径为定值R(1)写出矩形EFCD 面积y 与x 的函数关系式，并指出定义域；(2)问x 取何值时，矩形EFCD 面积最大，并求出最大值.19.(本小题满分10分)已知函数()21x f x ax b+=+是奇函数，且()1f =2.(1)求()f x 的表达式；(2)设()()()0x F x x f x =>;记()()()123S F F F =++++ ()1112018232018F F F F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.求S 的值.长郡中学2017-2018高一上第一次模块检测1.【答案】D ．2.【答案】D ．3.【答案】A ．4.【答案】C ．5.【答案】D ．6.【答案】D ．7.【答案】D ．8.【答案】B ．9.【答案】C ．10.【答案】C ．11.【答案】[]0,1．12.【答案】1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．13.【答案】2;2,132n n 为奇数为偶数⎧⎪⎨⎪⎩．14.【答案】3-2，⎛⎤∞ ⎥⎝⎦．15.【答案】()+1，∞．16.【答案】（1）()2,5-;（2）[]5,3--．17.【答案】（1）18（2）1±18.【答案】（1）()()20,f x x R =∈（2）22x R =时面积最大为2R 19.【答案】（1）21()x f x x +=（2）4035220．【答案】（1）6,5k b ==（2）19192。

湖南省长郡中学、雅礼中学等长沙名校联盟2017-2018学年高一暑假第一次阶段性测试数学试题 Word版含答案

启用前★绝密2017-2018学年长沙名校联盟高一年级暑假第一次阶段性测试试卷数学（湖南卷版）本试卷包括三个大题，共6页，总分150分，考试时量120分钟注意事项：1. 答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2. 必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3. 答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4. 请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔记清晰、卡面清洁；5. 答题卡上不准使用涂改液涂改。

参考学校长郡中学雅礼中学长沙市一中田家炳实验中学师大附中周南中学明德中学麓山国际实验学校2015年长沙名校联盟高一年级暑假第一次阶段性测试试卷数学一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知数列错误！未找到引用源。

是等差数列，且错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

等于（）A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

2. 下列中，错误的个数有________个①平行于同一条直线的两个平面平行. ②平行于同一个平面的两个平面平行. ③一个平面与两个平行平面相交，交线平行.④一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个3.已知圆错误！未找到引用源。

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相交，则圆错误！未找到引用源。

与圆错误！未找到引用源。

的公共弦所在的直线的方程为（）A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

4. 把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（）A ．90B ．60C ．45D ．305. 设偶函数f （x ）的定义域为R ，当错误！未找到引用源。

时f （x ）是增函数，则错误！未找到引用源。

长郡中学2017-2018学年度高一第一学期期末考试(2021年整理)

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长郡中学2017—2018学年度高一第一学期期末考试数学一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1,3=A ，集合{}1,2,4,5=B ,则集合=A B （） A ．{}1,3,1,2,4,5 B ．{}1 C ．{}1,2,3,4,5 D ．{}2,3,4,52．已知tan =α2<<παπ，则sin α的值为( ）A ．12B ．12- D ．3．已知4=a ，3=b ，且a 与b 不共线,若向量+a kb 与-a kb 互相垂直，则k 的值为（）A ．43±B ．34±C ．D ．4．如果奇函数()f x 在区间[]2,8上是减函数且最小值为6，则()f x 在区间[]8,2--上是（） A ．增函数且最小值为-6 B ．增函数且最大值为-6 C ．减函数且最小值为-6 D ．减函数且最大值为—6 5．方程2370+-=x x 的解所在的区间为（ )A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,36．∆ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若222-+=a c b ab ,则=C （）A ．30°B ．60°C ．120°D ．60°或120° 7．∆ABC 中，内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若cos cos =A bB a,则∆ABC 为（） A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8．已知集合26112--⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭x x A x ，(){}4log 1=+<B x x a ，若=∅A B ，则实数a 的取值范围为（）A ．12<<aB ．12≤≤aC ．∅D ．12<≤a9．设α是第二象限角,(),4P x 为其终边上的一点,且1cos 5=x α,则tan =α（）A ．43B ．34C ．34-D ．43-10．化简()()()()()11sin 2cos cos cos 229cos sin 3sin sin 2⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫----+ ⎪⎝⎭πππαπαααππαπαπαα的结果为（）A ．tan -αB ．tan αC ．1tan -α D ．1tan α11．先把函数()sin 6⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x π的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变)，再把新得到的图象向右平移3π个单位，得到()=y g x 的图象．当3,44⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ππ时,函数()g x 的值域为( ） A．⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C．⎡⎢⎣⎦D ．[)1,0-12．设()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，已知[]2,3∈x 时，()=f x x ，则[]2,0∈-x 时,()f x 的解析式为( ）A ．4+xB ．2-xC ．31-+xD ．21-+x13．若函数()sin 3cos =-f x x x ωω，0,>∈R x ω,又()12=f x ，()20=f x ，且12-x x 的最小值为32π，则ω的值为（ ) A ．13B ．23C ．43D ．214．如图，正三角形ABC 的中心位于点()0,1G ，()0,2A ，动点P 从点A 出发沿∆ABC 的边界按逆时针方向运动,设()02∠=≤≤AGP x x π，向量OP 在()1,0=a 方向上的射影为y （O 为坐标原点)，则y 关于x 的函数()=y f x 的图象大致为( ）A ．B ．C ．D ．15．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0>x 时，()()121,0212,22-⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩x x f x f x x ．则关于x 的方程()()2610--=⎡⎤⎣⎦f x f x 的实数根个数为（）A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题(每题3分，满分15分,将答案填在答题纸上)16．0lg 2lg5++=π ． 17．已知tan 3=α，则2sin cos cos 3sin -=+αααα．18．已知向量,a b 满足2=b ,a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是．19．若函数()223=--f x x kx 在区间[]2,4-上具有单调性,则实数k 的取值范围是． 20．在∆ABC 中，9⋅=AB AC ，sin cos sin =⋅B A C ，6∆=ABC S ,P 为线段AB 上一点，且=⋅+⋅CA CBCP x y CACB，则11+x y 的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)21．已知集合()(){}320=+-≤A x x x ，{}14=≤≤B x x ．（1)求A B ；（2）求()R A B ．22．设∆ABC 的内角,,A B C的对边分别为,,a b c ,且sin cos =b Aa B（1）求角B 的大小；(2）若=b sin 2sin =C A ，求,a c 的值．23．已知函数()23cos cos 2=-+f x x x x ．（1）求()f x 的单调递增区间；（2)若角,αβ的终边不共线，且()()=f f αβ，求()tan +αβ的值．24．已知向量()cos ,sin =a αα，()cos ,sin =b ββ,25+=a b ． (1)求()cos -αβ; （2）若02<<πα,02-<<πβ，且5sin 13=-β,求sin α． 25．已知二次函数()2=+f x x x ，若不等式()()2-+≤f x f x x 的解集为C ．（1）求集合C ；（2）若函数()()111+=--x x g x f a a （0>a 且1≠a )在集合C 上存在零点，求实数a 的取值范围．。

湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(精编含解析)

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2017-2018 学年湖南省长沙市天心区长郡中学高一（上）期末数学试
卷
一、选择题（本大题共 15 小题，共 45.0 分）
1. 设集合 A={1，3}，集合 B={1，2，4，5}，则集合 A∪B=（）
A. {1,3，1，2，4，5}
B. {1}
C. {1,2，3，4，5}
D. {2,3，4，5}
a、b、c，若��
=
��
��，则△ABC
的形状是（）
A. 等腰三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 等腰三角形或直角三角形

湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高一数学上学期期末考试试题

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长沙市长郡中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题(含答案)

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长郡中学学年度高一第一学期第一次模块检测
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