圆锥曲线内接顶点直角三角形的一个性质
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( 收稿 日期 :2000201210)
436200 湖北省浠水师范学校 魏爱卿 1999 年全国高中数学联赛加试 第一题 : 在四边形 ABCD 中 , 对角线 AC 平分 ∠ BAD , 在 CD 上取一点 E ,BE 与 AC 交于 F ,延长 DF 交 BC 于 G. 求证 : ∠G AC = ∠EAC. 证明 如图 1 , 连接 BD 交 AC 于 O 点 , 在 △ BCD 中运用塞瓦定理 B G CE DO = 1, GC ED OB OB = B G CE . ∴ DO GC ED 又 ∵ AO 是 △ ABD 中 ∠ A 的平分线 ,
2ab ,是齐二次不等式 , a + b + c ≥ 3
3
abc 是齐
一次不等式 , 对某些非齐次不等式的证明 , 若 能结合题设条件 , 将低次项的次数适当升高 , 从而将原不等式转化为 齐次不等式 来处理 , 往往会产生出奇制胜的解题效果 . 例 1 已知 a 、 b、 c ∈ R , 且 a + b + c = 1. 求证 :ab + bc + ca ≤
即 a2 + b2 + c 2 而 左边 - 右边
1 2 2 2 = 2 [ ( a - b) + ( b - c ) + ( c - a ) ] ≥0 , ∴ 原不等式成立 . 例 2 已知 p3 + q3 = 2 . 求证 :p + q ≤2. 分析 所证不等式左边为一次式 , 右边
为零次式 , 考虑到已知等式是一个三次式 , 从 而将所证不等式两边立方 , 得 (p + q) 3 ≤8 , ∵ p3 + q3 = 2 , ∴ 8 = 4 ( p3 + q3) , ∴ 所证不等式可化为齐三次不等式 (p + q) 3 ≤ 4 (p3 + q3) . ∵ 4 ( p3 + q3) - (p + q) 3
AD = DC1 a b
2
+ c
2
,
38
中学数学
2000 年第 5 期
分析 所证不等式左边是三次式 , 右边 是一次式 . ∵ abc = 1 , ∴ a + b + c = ( a + b + c) ( abc) 3 , 从而所证不等式可化为齐三次不等式 a2 b + b2c + c2a ≥
3 2
短 论 荟 萃
QUA N L UN HUI CUI
3
3
线 A B 经过一个定点 .
2000 年第 5 期
笔者发现该命题可推广如下 : 命题 直角顶点在圆锥曲线顶点且内接 于圆锥曲线的直角三角形的斜边恒过定点 .
x2 y2 = 1 (a > b > 0 ) , 2 + a b2 且直角顶点在A ( - a ,0) 的
中学数学
AB BO BG ∴ = = AD DO GC CE . ED
39
下面就椭圆
情形给出证明 . 证明 如图 1 , 设直线 AB : y = k (x + a) , 则直线 AC = 图1
1 ( x + a) , k y = k (x + a) ,
2
图 1 图 2
两方程联立求解 x2
y2 = 1, a b2 得 ( x + a ) [ b2 ( x - a) + a2 k2 ( x + a ) ] = 0 , + ab - k a 2ab k ) , , a2 k2 + b2 a2 k2 + b2 2 2 3 2 ab k - a - 2ab k 同理 点 C ( 2 , ). a + k2 b2 a2 + k2 b2 由对称性知若存在这样的点 , 则必为 BC 与 x 轴的交点 ,设为 M , 令 k = 1 得 a ( b2 - a 2) x M = xB = xC = . a 2 + b2 故只需证明 B 、 C、 M 三点共线 , 而这是不
解题 谈法
巧化齐次式 妙证不等式
a 5b2 c2 +
2 2 2 2
3
a2 b5c 2 +
2 2
3
a 2 b2c5 .
3 3
∵ a b + a b + c a ≥3
b c + b c + a b ≥3
a5 b2c2 , a bc ,
2 5 2
417700 湖南省双峰县第一中学 聂维新
若不等式两 边各项的次数相等 , 不妨称 之为齐次不等式 . 如均值不等式中 ,a2 + b2 ≥
= 3 (p + q) (p - q) 2 , 若 p + q < 0 ,则 p < - q, ∴ p3 < - q3 , 即 p 3 + q3 < 0 ,
教学 参考
圆锥曲 线内接顶点直 角三角 形的一个性质
222003 江苏省新海中学 茹双林
现行 高三 数学 复习 资料 都有 这样 一道 题:
3
分析 所证不等式左边是二次式 , 右边 是一个常数 , 即零次式 . 由已知 a + b+ c = 1, ∴ (a + b + c) 2 = 1 , 从而所证不等式可化为齐二次不等式
ab + bc + ca ≤ 1 ( a + b + c) 2 , 3 ≥ ab + bc + ca .
从而所证不等式转化为
A、 B 是抛物线 y2 = 2p x (p > 0 ) 上的两 点 , 满足 OA ⊥OB (O 为坐标原点 ) . 求证 : 直
这与 p + q = 2 矛盾 , ∴ p + q ≥0 , ∴ 3 (p + q) (p - q) 2 ≥ 0 . 故 原不等式成立 . 例 3 已知 a 、、 b c ∈ R + ,且 a b c = 1 . 2 2 求证 : a b + b c + c2 a ≥ a + b + c .
2 2 3 2
∴ 可得点 B (
难证明的 .
a (b2 - a2 ) ,0 ) . a2 + b2 对于其它各种情形可作出类似的证明 . (收稿日期 :1999212215)
从而 Fra Baidu bibliotekBC 经过定点 M (
赛题 研究
一道竞赛题的三角 简证及空间推广
设 ∠GAC = α , ∠EAC = β ,则 A α A β ∠ BA G = - , ∠ DAE = - , 2 2 由相似三角形比的性质有 AB s in ( A - α ) BG 2 = , GC AC si n α CE AC si n β = , ED A ) AD si n ( 2 - β 代入上式得到 A α ) si n β = si n α si n ( A - β ). si n ( 2 2 按三角函数的差角公式展开即得 π α- β ) = 0 ,其中α、 β ∈( 0 , ) , si n ( 2 α β ∴ = ,即是 ∠GAC = ∠ EAC. 它的空 间形 式如 图 2 : 在 四面 体 ABCD 中, ∠ BAC = ∠ DAC ,AO 是 △ ABD 中 ∠ A的 平分线 , E 是 CD 边上任一点 , 连结 B E 交 CO 于 F , 延长 DF 交 BC 于 G, 则有 ∠GAC = ∠EAC. 其证明过程与上述证明类似 .
( b + c) 2 + ( a + c ) 2 + ( a + b) 2 + 1 4 ( a + b) ( b + c) (c + a) < , 2 2 2 2 即 (b + c) + (a + c) + (a + b) + 4 (a + b) (b + c) (c + a) < 2 (a + b + c) 2 , 即 (a + b) (b + c) (c + a) 1 < (ab + bc + ac) 2 = ( a + b + c) ( ab + bc + ac ) , 此为齐三次不等式 . 运用比较法 (a + b) (b + c) (c + a) (a + b + c) (ab + bc + ac) = - abc < 0 , 故原不等式成立 . ( 收稿 日期 :2000201204)
数形 结合
构造几何模型证明 两个三角不等式
408500 重庆市武隆县中学 李来敏
题 1 若α、 β、 γ均为锐角 , 且满足 cos 2α + co s 2β + c o s 2γ = 1 . 求证 : ct g 2α + c t g2β + c tg 2γ ≥
3 . 2
证明 如图 1 , 设以 a 、 b、 c 为三度的长方 体 ABCD2A1B 1 C1D1 的对角 线 AC1 与 三条 棱 β、 γ,则 AD 、 AB、 A A 1 所成角分别为α、 c tg α =
1 . 3
c2a + c2 a + b2 c ≥ 3 a2 b2c5 , 上述三式相加 ,可得结论 . 例 4 已知 x 、 y、 z 是一个三角形的三条 边长 ,且 x + y + z = 1 . 求证 : 1 x2 + y2 + z2 + 4 xyz < . 2 分析 所证不等式为非齐次不等式 , 且 左边次数不统一 , 因 此需通过代 换手法使其 次数统一 . 令 x = b + c, y = c + a, z = a + b, (a 、 b、 c 均大于零) 1 ∵ x + y + z = 1 , ∴ a + b + c = . 2
436200 湖北省浠水师范学校 魏爱卿 1999 年全国高中数学联赛加试 第一题 : 在四边形 ABCD 中 , 对角线 AC 平分 ∠ BAD , 在 CD 上取一点 E ,BE 与 AC 交于 F ,延长 DF 交 BC 于 G. 求证 : ∠G AC = ∠EAC. 证明 如图 1 , 连接 BD 交 AC 于 O 点 , 在 △ BCD 中运用塞瓦定理 B G CE DO = 1, GC ED OB OB = B G CE . ∴ DO GC ED 又 ∵ AO 是 △ ABD 中 ∠ A 的平分线 ,
2ab ,是齐二次不等式 , a + b + c ≥ 3
3
abc 是齐
一次不等式 , 对某些非齐次不等式的证明 , 若 能结合题设条件 , 将低次项的次数适当升高 , 从而将原不等式转化为 齐次不等式 来处理 , 往往会产生出奇制胜的解题效果 . 例 1 已知 a 、 b、 c ∈ R , 且 a + b + c = 1. 求证 :ab + bc + ca ≤
即 a2 + b2 + c 2 而 左边 - 右边
1 2 2 2 = 2 [ ( a - b) + ( b - c ) + ( c - a ) ] ≥0 , ∴ 原不等式成立 . 例 2 已知 p3 + q3 = 2 . 求证 :p + q ≤2. 分析 所证不等式左边为一次式 , 右边
为零次式 , 考虑到已知等式是一个三次式 , 从 而将所证不等式两边立方 , 得 (p + q) 3 ≤8 , ∵ p3 + q3 = 2 , ∴ 8 = 4 ( p3 + q3) , ∴ 所证不等式可化为齐三次不等式 (p + q) 3 ≤ 4 (p3 + q3) . ∵ 4 ( p3 + q3) - (p + q) 3
AD = DC1 a b
2
+ c
2
,
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中学数学
2000 年第 5 期
分析 所证不等式左边是三次式 , 右边 是一次式 . ∵ abc = 1 , ∴ a + b + c = ( a + b + c) ( abc) 3 , 从而所证不等式可化为齐三次不等式 a2 b + b2c + c2a ≥
3 2
短 论 荟 萃
QUA N L UN HUI CUI
3
3
线 A B 经过一个定点 .
2000 年第 5 期
笔者发现该命题可推广如下 : 命题 直角顶点在圆锥曲线顶点且内接 于圆锥曲线的直角三角形的斜边恒过定点 .
x2 y2 = 1 (a > b > 0 ) , 2 + a b2 且直角顶点在A ( - a ,0) 的
中学数学
AB BO BG ∴ = = AD DO GC CE . ED
39
下面就椭圆
情形给出证明 . 证明 如图 1 , 设直线 AB : y = k (x + a) , 则直线 AC = 图1
1 ( x + a) , k y = k (x + a) ,
2
图 1 图 2
两方程联立求解 x2
y2 = 1, a b2 得 ( x + a ) [ b2 ( x - a) + a2 k2 ( x + a ) ] = 0 , + ab - k a 2ab k ) , , a2 k2 + b2 a2 k2 + b2 2 2 3 2 ab k - a - 2ab k 同理 点 C ( 2 , ). a + k2 b2 a2 + k2 b2 由对称性知若存在这样的点 , 则必为 BC 与 x 轴的交点 ,设为 M , 令 k = 1 得 a ( b2 - a 2) x M = xB = xC = . a 2 + b2 故只需证明 B 、 C、 M 三点共线 , 而这是不
解题 谈法
巧化齐次式 妙证不等式
a 5b2 c2 +
2 2 2 2
3
a2 b5c 2 +
2 2
3
a 2 b2c5 .
3 3
∵ a b + a b + c a ≥3
b c + b c + a b ≥3
a5 b2c2 , a bc ,
2 5 2
417700 湖南省双峰县第一中学 聂维新
若不等式两 边各项的次数相等 , 不妨称 之为齐次不等式 . 如均值不等式中 ,a2 + b2 ≥
= 3 (p + q) (p - q) 2 , 若 p + q < 0 ,则 p < - q, ∴ p3 < - q3 , 即 p 3 + q3 < 0 ,
教学 参考
圆锥曲 线内接顶点直 角三角 形的一个性质
222003 江苏省新海中学 茹双林
现行 高三 数学 复习 资料 都有 这样 一道 题:
3
分析 所证不等式左边是二次式 , 右边 是一个常数 , 即零次式 . 由已知 a + b+ c = 1, ∴ (a + b + c) 2 = 1 , 从而所证不等式可化为齐二次不等式
ab + bc + ca ≤ 1 ( a + b + c) 2 , 3 ≥ ab + bc + ca .
从而所证不等式转化为
A、 B 是抛物线 y2 = 2p x (p > 0 ) 上的两 点 , 满足 OA ⊥OB (O 为坐标原点 ) . 求证 : 直
这与 p + q = 2 矛盾 , ∴ p + q ≥0 , ∴ 3 (p + q) (p - q) 2 ≥ 0 . 故 原不等式成立 . 例 3 已知 a 、、 b c ∈ R + ,且 a b c = 1 . 2 2 求证 : a b + b c + c2 a ≥ a + b + c .
2 2 3 2
∴ 可得点 B (
难证明的 .
a (b2 - a2 ) ,0 ) . a2 + b2 对于其它各种情形可作出类似的证明 . (收稿日期 :1999212215)
从而 Fra Baidu bibliotekBC 经过定点 M (
赛题 研究
一道竞赛题的三角 简证及空间推广
设 ∠GAC = α , ∠EAC = β ,则 A α A β ∠ BA G = - , ∠ DAE = - , 2 2 由相似三角形比的性质有 AB s in ( A - α ) BG 2 = , GC AC si n α CE AC si n β = , ED A ) AD si n ( 2 - β 代入上式得到 A α ) si n β = si n α si n ( A - β ). si n ( 2 2 按三角函数的差角公式展开即得 π α- β ) = 0 ,其中α、 β ∈( 0 , ) , si n ( 2 α β ∴ = ,即是 ∠GAC = ∠ EAC. 它的空 间形 式如 图 2 : 在 四面 体 ABCD 中, ∠ BAC = ∠ DAC ,AO 是 △ ABD 中 ∠ A的 平分线 , E 是 CD 边上任一点 , 连结 B E 交 CO 于 F , 延长 DF 交 BC 于 G, 则有 ∠GAC = ∠EAC. 其证明过程与上述证明类似 .
( b + c) 2 + ( a + c ) 2 + ( a + b) 2 + 1 4 ( a + b) ( b + c) (c + a) < , 2 2 2 2 即 (b + c) + (a + c) + (a + b) + 4 (a + b) (b + c) (c + a) < 2 (a + b + c) 2 , 即 (a + b) (b + c) (c + a) 1 < (ab + bc + ac) 2 = ( a + b + c) ( ab + bc + ac ) , 此为齐三次不等式 . 运用比较法 (a + b) (b + c) (c + a) (a + b + c) (ab + bc + ac) = - abc < 0 , 故原不等式成立 . ( 收稿 日期 :2000201204)
数形 结合
构造几何模型证明 两个三角不等式
408500 重庆市武隆县中学 李来敏
题 1 若α、 β、 γ均为锐角 , 且满足 cos 2α + co s 2β + c o s 2γ = 1 . 求证 : ct g 2α + c t g2β + c tg 2γ ≥
3 . 2
证明 如图 1 , 设以 a 、 b、 c 为三度的长方 体 ABCD2A1B 1 C1D1 的对角 线 AC1 与 三条 棱 β、 γ,则 AD 、 AB、 A A 1 所成角分别为α、 c tg α =
1 . 3
c2a + c2 a + b2 c ≥ 3 a2 b2c5 , 上述三式相加 ,可得结论 . 例 4 已知 x 、 y、 z 是一个三角形的三条 边长 ,且 x + y + z = 1 . 求证 : 1 x2 + y2 + z2 + 4 xyz < . 2 分析 所证不等式为非齐次不等式 , 且 左边次数不统一 , 因 此需通过代 换手法使其 次数统一 . 令 x = b + c, y = c + a, z = a + b, (a 、 b、 c 均大于零) 1 ∵ x + y + z = 1 , ∴ a + b + c = . 2