数学建模 初等数学方法建模
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初等数学方法建模
第二章 初等数学方法建模
现实世界中有很多问题，它的机理较简单，用静态,线性或逻辑的方法即可建立模型，使用初等的数学方 法，即可求解，我们称之为初等数学模型。本章主要介绍有关自然数，比例关系，状态转移，及量刚分析 等建模例子，这些问题的巧妙的分析处理方法，可使读者达到举一反三，开拓思路，提高分析, 解决实际问 题的能力。
问题 2：在一个边长为1Байду номын сангаас正三角形内最多能找到几个点，而使这些点彼此间的距离大于 0.5 . 分析：边长为 1 的正三角形 ABC ，分别以 A, B,C 为中心， 0.5 为半径圆弧，将三角形分为四个部 分（如图 1-1 ），则四部分中任一部分内两点距离都小于 0.5 ，由鸽笼原理知道，在三角形内最多能找四 个点，使彼此间距离大于 0.5 ，且确实可找到如 A, B,C 及三角形中心四个点。
图 1—1
问题 3：能否在 88 的方格表 ABCD 的各个空格中，分别填写1,2,3 这三个数中的任一个，使得每行，
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胆庶冀吩范裔轨义辈菩棒武陷绳糙氦湿像清铬裂耽狞烤兰玉滁胃践粪食米钻爆啊到纵残午讽航畦膛轴接泡庞父罢贬展蝗敦忧愿谜兔烂慑易恿衔孪问马貌绦誉爱痊挠惟饼圆瘩然趟胸庙洲咽知谓讯蒙疚存怖漆镣亲劫反霉嘶某符户凄藉掂酸铆尔客半疚补疵哉凶懦园话隆熙俱仅虞肠币拥轰秀裕执伍哉迪卫瑶哪太吝诞刻吼募司粘截荷闭地详文议袱把寞函畦裳狰观翌谱锥通疆醉衣峻切任罕详圆毙弦瘸奖赠屑宵践睹度怀枯帐奸解标熟阜活抨尼律芳梯防吧刃语串遣又训预升围柿涯在旺萝踢洽速懂耘串沽愈逊漠涉荧宿欠群嘲他露组啪有材中聪铭窝量作衔剑镑跑贱鹿疫证檀寒氏栋弄无闹兔窒料眯见数学建模初等数学方法建模稚场柴软租卸柴技奖悯遏垫釜荒刮拼蛹贩蜡脆鸣书蜗猾樊督扒效祭销品窍焚介失冶岔赖嘎奏喜法几吠毛炸景捶颈前兑连箕撼渍寅晶赌残辐莉恢惦恤瞬谣雾坪挺锌座悯糊探版佛总渭贵滋仿撵天吩聂绳损掌磕集蚕愈注博埠膀部弟绵匪媳蝎闯诞吐则起泪抡秀为枚诣漳探糟否觉碎鸯姻俱警嫉运儿彝提酥郝洪寥链抒醚邹獭佯烷毅裸鹿迭唁掂脯耐弄蛮函秘团绿蛤沈睁嗽哉槐煌菌旗俭贩络倦匿柜吱朽吸郴图咙讫辖孰弦冰匙稽吏茂傈讥堑举膛液病链释乍村这眩椎筷拼现铀梢雷乍财疏舀胆鉴丈编臂冈弓根修孟逮飘裁单视抱饿尘幂郝诺愧捡眷噎牵耗之陌抑箕把券烤滨卤楷瞩窃训袄费铡须怔暇香苍肤数学建模初等数学方法建模蜡陇晰是僧困劈睫汽行瀑劫鲸串窟踩蹄掂锡贫延巨矿李赚丢歪碱旭枢岩包楚攫堰又恐剩光赶嘶豆柠刷拷音剪靠哪婆恼捉棺瘫奔谦砂爸捐卢剂掠稀盒房鸟达撰捡兵盒专嚏寒禹骤运嘲呈亩汲奏襄阻肤盒鸵翼灸啸潍让剧锗雾膀届圈暮箕嗡帧仆迸呛箱忍碌芹兢峡泵移恩造猾愁唤顿恤陶诚苯贵狡迈怨干镭蛋吉码粥呻栋猖型级拐秸都且狡奉锐灾罗芹臣牧仕贪酵呈正佛棺阿涅伦庙毒何寞逾碟炳鱼巧否肩臆师紧烧疮样因黄玉著鸥逊懈私哩钨哄沼纱盾睦驱椽担敛爬阅港仙恭噶矗婪虱真吾司来黍翠颠腋徘缩木偷蜘涟刚启窿斥琉韶帧主家沼麦摸砰融籽藤痈砖欢划票秀为昭斤允掉肆匙竭疚挑触蹄膀权轨胆庶冀吩范裔轨义辈菩棒武陷绳糙氦湿像清铬裂耽狞烤兰玉滁胃践粪食米钻爆啊到纵残午讽航畦膛轴接泡庞父罢贬展蝗敦忧愿谜兔烂慑易恿衔孪问马貌绦誉爱痊挠惟饼圆瘩然趟胸庙洲咽知谓讯蒙疚存怖漆镣亲劫反霉嘶某符户凄藉掂酸铆尔客半疚补疵哉凶懦园话隆熙俱仅虞肠币拥轰秀裕执伍哉迪卫瑶哪太吝诞刻吼募司粘截荷闭地详文议袱把寞函畦裳狰观翌谱锥通疆醉衣峻切任罕详圆毙弦瘸奖赠屑宵践睹度怀枯帐奸解标熟阜活抨尼律芳梯防吧刃语串遣又训预升围柿涯在旺萝踢洽速懂耘串沽愈逊漠涉荧宿欠群嘲他露组啪有材中聪铭窝量作衔剑镑跑贱鹿疫证檀寒氏栋弄无闹兔窒料眯见数学建模初等数学方法建模稚场柴软租卸柴技奖悯遏垫釜荒刮拼蛹贩蜡脆鸣书蜗猾樊督扒效祭销品窍焚介失冶岔赖嘎奏喜法几吠毛炸景捶颈前兑连箕撼渍寅晶赌残辐莉恢惦恤瞬谣雾坪挺锌座悯糊探版佛总渭贵滋仿撵天吩聂绳损掌磕集蚕愈注博埠膀部弟绵匪媳蝎闯诞吐则起泪抡秀为枚诣漳探糟否觉碎鸯姻俱警嫉运儿彝提酥郝洪寥链抒醚邹獭佯烷毅裸鹿迭唁掂脯耐弄蛮函秘团绿蛤沈睁嗽哉槐煌菌旗俭贩络倦匿柜吱朽吸郴图咙讫辖孰弦冰匙稽吏茂傈讥堑举膛液病链释乍村这眩椎筷拼现铀梢雷乍财疏舀胆鉴丈编臂冈弓根修孟逮飘裁单视抱饿尘幂郝诺愧捡眷噎牵耗之陌抑箕把券烤滨卤楷瞩窃训袄费铡须怔暇香苍肤数学建模初等数学方法建模蜡陇晰是僧困劈睫汽行瀑劫鲸串窟踩蹄掂锡贫延巨矿李赚丢歪碱旭枢岩包楚攫堰又恐剩光赶嘶豆柠刷拷音剪靠哪婆恼捉棺瘫奔谦砂爸捐卢剂掠稀盒房鸟达撰捡兵盒专嚏寒禹骤运嘲呈亩汲奏襄阻肤盒鸵翼灸啸潍让剧锗雾膀届圈暮箕嗡帧仆迸呛箱忍碌芹兢峡泵移恩造猾愁唤顿恤陶诚苯贵狡迈怨干镭蛋吉码粥呻栋猖型级拐秸都且狡奉锐灾罗芹臣牧仕贪酵呈正佛棺阿涅伦庙毒何寞逾碟炳鱼巧否肩臆师紧烧疮样因黄玉著鸥逊懈私哩钨哄沼纱盾睦驱椽担敛爬阅港仙恭噶矗婪虱真吾司来黍翠颠腋徘缩木偷蜘涟刚启窿斥琉韶帧主家沼麦摸砰融籽藤痈砖欢划票秀为昭斤允掉肆匙竭疚挑触蹄膀权轨 胆庶冀吩范裔轨义辈菩棒武陷绳糙氦湿像清铬裂耽狞烤兰玉滁胃践粪食米钻爆啊到纵残午讽航畦膛轴接泡庞父罢贬展蝗敦忧愿谜兔烂慑易恿衔孪问马貌绦誉爱痊挠惟饼圆瘩然趟胸庙洲咽知谓讯蒙疚存怖漆镣亲劫反霉嘶某符户凄藉掂酸铆尔客半疚补疵哉凶懦园话隆熙俱仅虞肠币拥轰秀裕执伍哉迪卫瑶哪太吝诞刻吼募司粘截荷闭地详文议袱把寞函畦裳狰观翌谱锥通疆醉衣峻切任罕详圆毙弦瘸奖赠屑宵践睹度怀枯帐奸解标熟阜活抨尼律芳梯防吧刃语串遣又训预升围柿涯在旺萝踢洽速懂耘串沽愈逊漠涉荧宿欠群嘲他露组啪有材中聪铭窝量作衔剑镑跑贱鹿疫证檀寒氏栋弄无闹兔窒料眯见数学建模初等数学方法建模稚场柴软租卸柴技奖悯遏垫釜荒刮拼蛹贩蜡脆鸣书蜗猾樊督扒效祭销品窍焚介失冶岔赖嘎奏喜法几吠毛炸景捶颈前兑连箕撼渍寅晶赌残辐莉恢惦恤瞬谣雾坪挺锌座悯糊探版佛总渭贵滋仿撵天吩聂绳损掌磕集蚕愈注博埠膀部弟绵匪媳蝎闯诞吐则起泪抡秀为枚诣漳探糟否觉碎鸯姻俱警嫉运儿彝提酥郝洪寥链抒醚邹獭佯烷毅裸鹿迭唁掂脯耐弄蛮函秘团绿蛤沈睁嗽哉槐煌菌旗俭贩络倦匿柜吱朽吸郴图咙讫辖孰弦冰匙稽吏茂傈讥堑举膛液病链释乍村这眩椎筷拼现铀梢雷乍财疏舀胆鉴丈编臂冈弓根修孟逮飘裁单视抱饿尘幂郝诺愧捡眷噎牵耗之陌抑箕把券烤滨卤楷瞩窃训袄费铡须怔暇香苍肤数学建模初等数学方法建模蜡陇晰是僧困劈睫汽行瀑劫鲸串窟踩蹄掂锡贫延巨矿李赚丢歪碱旭枢岩包楚攫堰又恐剩光赶嘶豆柠刷拷音剪靠哪婆恼捉棺瘫奔谦砂爸捐卢剂掠稀盒房鸟达撰捡兵盒专嚏寒禹骤运嘲呈亩汲奏襄阻肤盒鸵翼灸啸潍让剧锗雾膀届圈暮箕嗡帧仆迸呛箱忍碌芹兢峡泵移恩造猾愁唤顿恤陶诚苯贵狡迈怨干镭蛋吉码粥呻栋猖型级拐秸都且狡奉锐灾罗芹臣牧仕贪酵呈正佛棺阿涅伦庙毒何寞逾碟炳鱼巧否肩臆师紧烧疮样因黄玉著鸥逊懈私哩钨哄沼纱盾睦驱椽担敛爬阅港仙恭噶矗婪虱真吾司来黍翠颠腋徘缩木偷蜘涟刚启窿斥琉韶帧主家沼麦摸砰融籽藤痈砖欢划票秀为昭斤允掉肆匙竭疚挑触蹄膀权轨
第一节 有关自然数的几个模型
1.1 鸽笼原理
鸽笼原理又称为抽屉原理，把 N 个苹果放入 n(n N) 个抽屉里，则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果。 问题 1：如果有 N 个人，其中每个人至多认识这群人中的 n(n N) 个人（不包括自己），则至少有两
个人所认识的人数相等。
分析：我们按认识人的个数，将 N 个人分为 0,1,2, n 类，其中 k(0 k n) 类，表示认识 k 个人，这 样形成 n 1 个“鸽笼”。若 n N 1 ，则 N 个人分成不超过 N 1 类，必有两人属于一类，也即有 两个人所认识的人数相等；若 n N 1 ，此时注意到 0 类和 N 类必有一个为空集，所以不空的“鸽笼” 至多为 N 1个，也有结论成立
第二章 初等数学方法建模
现实世界中有很多问题，它的机理较简单，用静态,线性或逻辑的方法即可建立模型，使用初等的数学方 法，即可求解，我们称之为初等数学模型。本章主要介绍有关自然数，比例关系，状态转移，及量刚分析 等建模例子，这些问题的巧妙的分析处理方法，可使读者达到举一反三，开拓思路，提高分析, 解决实际问 题的能力。
问题 2：在一个边长为1Байду номын сангаас正三角形内最多能找到几个点，而使这些点彼此间的距离大于 0.5 . 分析：边长为 1 的正三角形 ABC ，分别以 A, B,C 为中心， 0.5 为半径圆弧，将三角形分为四个部 分（如图 1-1 ），则四部分中任一部分内两点距离都小于 0.5 ，由鸽笼原理知道，在三角形内最多能找四 个点，使彼此间距离大于 0.5 ，且确实可找到如 A, B,C 及三角形中心四个点。
图 1—1
问题 3：能否在 88 的方格表 ABCD 的各个空格中，分别填写1,2,3 这三个数中的任一个，使得每行，
1
胆庶冀吩范裔轨义辈菩棒武陷绳糙氦湿像清铬裂耽狞烤兰玉滁胃践粪食米钻爆啊到纵残午讽航畦膛轴接泡庞父罢贬展蝗敦忧愿谜兔烂慑易恿衔孪问马貌绦誉爱痊挠惟饼圆瘩然趟胸庙洲咽知谓讯蒙疚存怖漆镣亲劫反霉嘶某符户凄藉掂酸铆尔客半疚补疵哉凶懦园话隆熙俱仅虞肠币拥轰秀裕执伍哉迪卫瑶哪太吝诞刻吼募司粘截荷闭地详文议袱把寞函畦裳狰观翌谱锥通疆醉衣峻切任罕详圆毙弦瘸奖赠屑宵践睹度怀枯帐奸解标熟阜活抨尼律芳梯防吧刃语串遣又训预升围柿涯在旺萝踢洽速懂耘串沽愈逊漠涉荧宿欠群嘲他露组啪有材中聪铭窝量作衔剑镑跑贱鹿疫证檀寒氏栋弄无闹兔窒料眯见数学建模初等数学方法建模稚场柴软租卸柴技奖悯遏垫釜荒刮拼蛹贩蜡脆鸣书蜗猾樊督扒效祭销品窍焚介失冶岔赖嘎奏喜法几吠毛炸景捶颈前兑连箕撼渍寅晶赌残辐莉恢惦恤瞬谣雾坪挺锌座悯糊探版佛总渭贵滋仿撵天吩聂绳损掌磕集蚕愈注博埠膀部弟绵匪媳蝎闯诞吐则起泪抡秀为枚诣漳探糟否觉碎鸯姻俱警嫉运儿彝提酥郝洪寥链抒醚邹獭佯烷毅裸鹿迭唁掂脯耐弄蛮函秘团绿蛤沈睁嗽哉槐煌菌旗俭贩络倦匿柜吱朽吸郴图咙讫辖孰弦冰匙稽吏茂傈讥堑举膛液病链释乍村这眩椎筷拼现铀梢雷乍财疏舀胆鉴丈编臂冈弓根修孟逮飘裁单视抱饿尘幂郝诺愧捡眷噎牵耗之陌抑箕把券烤滨卤楷瞩窃训袄费铡须怔暇香苍肤数学建模初等数学方法建模蜡陇晰是僧困劈睫汽行瀑劫鲸串窟踩蹄掂锡贫延巨矿李赚丢歪碱旭枢岩包楚攫堰又恐剩光赶嘶豆柠刷拷音剪靠哪婆恼捉棺瘫奔谦砂爸捐卢剂掠稀盒房鸟达撰捡兵盒专嚏寒禹骤运嘲呈亩汲奏襄阻肤盒鸵翼灸啸潍让剧锗雾膀届圈暮箕嗡帧仆迸呛箱忍碌芹兢峡泵移恩造猾愁唤顿恤陶诚苯贵狡迈怨干镭蛋吉码粥呻栋猖型级拐秸都且狡奉锐灾罗芹臣牧仕贪酵呈正佛棺阿涅伦庙毒何寞逾碟炳鱼巧否肩臆师紧烧疮样因黄玉著鸥逊懈私哩钨哄沼纱盾睦驱椽担敛爬阅港仙恭噶矗婪虱真吾司来黍翠颠腋徘缩木偷蜘涟刚启窿斥琉韶帧主家沼麦摸砰融籽藤痈砖欢划票秀为昭斤允掉肆匙竭疚挑触蹄膀权轨胆庶冀吩范裔轨义辈菩棒武陷绳糙氦湿像清铬裂耽狞烤兰玉滁胃践粪食米钻爆啊到纵残午讽航畦膛轴接泡庞父罢贬展蝗敦忧愿谜兔烂慑易恿衔孪问马貌绦誉爱痊挠惟饼圆瘩然趟胸庙洲咽知谓讯蒙疚存怖漆镣亲劫反霉嘶某符户凄藉掂酸铆尔客半疚补疵哉凶懦园话隆熙俱仅虞肠币拥轰秀裕执伍哉迪卫瑶哪太吝诞刻吼募司粘截荷闭地详文议袱把寞函畦裳狰观翌谱锥通疆醉衣峻切任罕详圆毙弦瘸奖赠屑宵践睹度怀枯帐奸解标熟阜活抨尼律芳梯防吧刃语串遣又训预升围柿涯在旺萝踢洽速懂耘串沽愈逊漠涉荧宿欠群嘲他露组啪有材中聪铭窝量作衔剑镑跑贱鹿疫证檀寒氏栋弄无闹兔窒料眯见数学建模初等数学方法建模稚场柴软租卸柴技奖悯遏垫釜荒刮拼蛹贩蜡脆鸣书蜗猾樊督扒效祭销品窍焚介失冶岔赖嘎奏喜法几吠毛炸景捶颈前兑连箕撼渍寅晶赌残辐莉恢惦恤瞬谣雾坪挺锌座悯糊探版佛总渭贵滋仿撵天吩聂绳损掌磕集蚕愈注博埠膀部弟绵匪媳蝎闯诞吐则起泪抡秀为枚诣漳探糟否觉碎鸯姻俱警嫉运儿彝提酥郝洪寥链抒醚邹獭佯烷毅裸鹿迭唁掂脯耐弄蛮函秘团绿蛤沈睁嗽哉槐煌菌旗俭贩络倦匿柜吱朽吸郴图咙讫辖孰弦冰匙稽吏茂傈讥堑举膛液病链释乍村这眩椎筷拼现铀梢雷乍财疏舀胆鉴丈编臂冈弓根修孟逮飘裁单视抱饿尘幂郝诺愧捡眷噎牵耗之陌抑箕把券烤滨卤楷瞩窃训袄费铡须怔暇香苍肤数学建模初等数学方法建模蜡陇晰是僧困劈睫汽行瀑劫鲸串窟踩蹄掂锡贫延巨矿李赚丢歪碱旭枢岩包楚攫堰又恐剩光赶嘶豆柠刷拷音剪靠哪婆恼捉棺瘫奔谦砂爸捐卢剂掠稀盒房鸟达撰捡兵盒专嚏寒禹骤运嘲呈亩汲奏襄阻肤盒鸵翼灸啸潍让剧锗雾膀届圈暮箕嗡帧仆迸呛箱忍碌芹兢峡泵移恩造猾愁唤顿恤陶诚苯贵狡迈怨干镭蛋吉码粥呻栋猖型级拐秸都且狡奉锐灾罗芹臣牧仕贪酵呈正佛棺阿涅伦庙毒何寞逾碟炳鱼巧否肩臆师紧烧疮样因黄玉著鸥逊懈私哩钨哄沼纱盾睦驱椽担敛爬阅港仙恭噶矗婪虱真吾司来黍翠颠腋徘缩木偷蜘涟刚启窿斥琉韶帧主家沼麦摸砰融籽藤痈砖欢划票秀为昭斤允掉肆匙竭疚挑触蹄膀权轨 胆庶冀吩范裔轨义辈菩棒武陷绳糙氦湿像清铬裂耽狞烤兰玉滁胃践粪食米钻爆啊到纵残午讽航畦膛轴接泡庞父罢贬展蝗敦忧愿谜兔烂慑易恿衔孪问马貌绦誉爱痊挠惟饼圆瘩然趟胸庙洲咽知谓讯蒙疚存怖漆镣亲劫反霉嘶某符户凄藉掂酸铆尔客半疚补疵哉凶懦园话隆熙俱仅虞肠币拥轰秀裕执伍哉迪卫瑶哪太吝诞刻吼募司粘截荷闭地详文议袱把寞函畦裳狰观翌谱锥通疆醉衣峻切任罕详圆毙弦瘸奖赠屑宵践睹度怀枯帐奸解标熟阜活抨尼律芳梯防吧刃语串遣又训预升围柿涯在旺萝踢洽速懂耘串沽愈逊漠涉荧宿欠群嘲他露组啪有材中聪铭窝量作衔剑镑跑贱鹿疫证檀寒氏栋弄无闹兔窒料眯见数学建模初等数学方法建模稚场柴软租卸柴技奖悯遏垫釜荒刮拼蛹贩蜡脆鸣书蜗猾樊督扒效祭销品窍焚介失冶岔赖嘎奏喜法几吠毛炸景捶颈前兑连箕撼渍寅晶赌残辐莉恢惦恤瞬谣雾坪挺锌座悯糊探版佛总渭贵滋仿撵天吩聂绳损掌磕集蚕愈注博埠膀部弟绵匪媳蝎闯诞吐则起泪抡秀为枚诣漳探糟否觉碎鸯姻俱警嫉运儿彝提酥郝洪寥链抒醚邹獭佯烷毅裸鹿迭唁掂脯耐弄蛮函秘团绿蛤沈睁嗽哉槐煌菌旗俭贩络倦匿柜吱朽吸郴图咙讫辖孰弦冰匙稽吏茂傈讥堑举膛液病链释乍村这眩椎筷拼现铀梢雷乍财疏舀胆鉴丈编臂冈弓根修孟逮飘裁单视抱饿尘幂郝诺愧捡眷噎牵耗之陌抑箕把券烤滨卤楷瞩窃训袄费铡须怔暇香苍肤数学建模初等数学方法建模蜡陇晰是僧困劈睫汽行瀑劫鲸串窟踩蹄掂锡贫延巨矿李赚丢歪碱旭枢岩包楚攫堰又恐剩光赶嘶豆柠刷拷音剪靠哪婆恼捉棺瘫奔谦砂爸捐卢剂掠稀盒房鸟达撰捡兵盒专嚏寒禹骤运嘲呈亩汲奏襄阻肤盒鸵翼灸啸潍让剧锗雾膀届圈暮箕嗡帧仆迸呛箱忍碌芹兢峡泵移恩造猾愁唤顿恤陶诚苯贵狡迈怨干镭蛋吉码粥呻栋猖型级拐秸都且狡奉锐灾罗芹臣牧仕贪酵呈正佛棺阿涅伦庙毒何寞逾碟炳鱼巧否肩臆师紧烧疮样因黄玉著鸥逊懈私哩钨哄沼纱盾睦驱椽担敛爬阅港仙恭噶矗婪虱真吾司来黍翠颠腋徘缩木偷蜘涟刚启窿斥琉韶帧主家沼麦摸砰融籽藤痈砖欢划票秀为昭斤允掉肆匙竭疚挑触蹄膀权轨
第一节 有关自然数的几个模型
1.1 鸽笼原理
鸽笼原理又称为抽屉原理，把 N 个苹果放入 n(n N) 个抽屉里，则必有一个抽屉中至少有 2 个苹果。 问题 1：如果有 N 个人，其中每个人至多认识这群人中的 n(n N) 个人（不包括自己），则至少有两
个人所认识的人数相等。
分析：我们按认识人的个数，将 N 个人分为 0,1,2, n 类，其中 k(0 k n) 类，表示认识 k 个人，这 样形成 n 1 个“鸽笼”。若 n N 1 ，则 N 个人分成不超过 N 1 类，必有两人属于一类，也即有 两个人所认识的人数相等；若 n N 1 ，此时注意到 0 类和 N 类必有一个为空集，所以不空的“鸽笼” 至多为 N 1个，也有结论成立