2、实际问题及反比例函数汇总.doc

反比例函数实际应用

一、知识点详解

在中考试题中对反比例函数应用的考查主要有两种形式， 一是确定实际问题中的反比例函数解析式， 这类问题一般属于跨学科问题， 除了要了解一些基本生活常识外还要掌握常见的物理学公式； 二是判断实际问题中的函数图象， 这类问题一般会综合考查一次函数和二次函数，正确解答这类问题的关键是确定函数关系式，同时注意自变量的取值范围。

二、知识点拨

1、实际问题中常见的反比例关系

现实世界中有许多含有反比例函数关系和性质的现象，常见的主要有以下几种： （ 1）面积 S 一定，长方形的长 a 与宽 b 之间的反比例函数关系：

a ＝ S

。

b

（ 2）体积 V 一定，圆柱体的底面积

S 与高 d 之间的反比例函数关系：

S ＝V

d ；

（ 3）压力 N 一定，压强 P 与接触面积 S 之间的反比例函数关系：

P ＝ N

S ；

（ 4）质量 m 一定，气体压强 p 与气体体积 V 之间的反比例函数关系： p ＝

m

； V

（ 5）功率 P 一定，速度 v 与所受阻力 F 之间的反比例函数关系：

v ＝P

；

F

（ 6）路程 S 一定，匀速行驶速度

v 与时间 t 之间的反比例函数关系： v ＝ S

t ；

（ 7）电压 U 一定，电路中电流

I 与电阻 R 之间的反比例函数关系：

I ＝U

R ；

2、反比例函数模型的建立

1. 条件：实际问题中的两个变量在变化过程中，它们的积为定值；

2. 过程：

（ 1）用两个不同字母表示变量； （ 2）确定 k 的值； （ 3）建立函数关系式；

（ 4）利用图象及其性质解决问题。

3、实际问题中反比例函数的特点

1. 实际问题中反比例函数自变量的取值是有一定范围的，一般情况取正数，有时取正整数，所以在实际问题中，具体问题需要具体分析其自变量、函数的取值。

2. 实际问题中反比例函数的图象往往是在第一象限中的部分或其中的某一段，这与自变量的取值范围有关。

三、经典例题 能力提升类

例 1

填空题

（ 1）在对物体做功一定的情况下，

力 F （牛）与此物体在力的方向上移动的距离 s （米）

成反比例函数关系，其图象如图所示， P （ 5， 1）在图象上，则当力达到

10 牛时，物体在

力的方向上移动的距离是__________ 米。

F( 牛)

P (5,1)

O s( 米 )

（ 2）A 、 B 两地之间的高速公路长为300km，一辆小汽车从 A 地去 B 地，假设在途中

是匀速直线运动，速度为v km/h，到达时所用的时间是t h，那么 t 是 v 的 __________ 函数，t 可以写成关于v 的函数关系式是__________。

例 2某蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（ A ）和电阻 R（Ω）的函数关系如图所示。

I(A)

12

O

3R(Ω )

（1）请写出这个函数的表达式；

（2）该蓄电池的电压是多少？

（3）完成下表：（结果精确到 0.01）

R（Ω） 2 3 4 5 6 7 8 9

I（ A）12

（ 4）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不超过9A ，那么用电器的可变电阻应控

制在什么范围内？

综合运用类

例 3如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O 左侧固定位置 B 处悬挂重物 A ，在中点 O 右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O 的距离 x（ cm），观察弹簧秤的示数y（N ）的变化情况。实验数据记录如下：

x（ cm）⋯1015202530⋯

y（N ）⋯3020151210⋯

（1）把上表中 x，y 的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出相应的点，用平滑曲

线连接这些点并观察所得的图象，猜测 y（N ）与 x（ cm）之间的函数关系，并求出函数关系

式；

（ 2）当弹簧秤的示数为 24N 时，弹簧秤与 O 点的距离是多少 cm？随着弹簧秤与 O 点的距离不断减小，弹簧秤上的示数将发生怎样的变化？

y (N)

35 B

x

30

O

25

20

15 A

10 5

O 5 10 15 20 25 30 35 x (cm)

例 4 如图是浙江省境内杭甬铁路的里程示意图。 从杭州到余姚段铁路线上的火车行驶

的时间记为 t 时，平均速度为 v 千米 / 时，且平均速度限定为不超过

160 千米 /时。

（ 1）求 v 关于 t 的函数解析式和自变量 t 的取值范围；

（ 2）画出所求函数的图象；

v (千米 / 时 )

175 150

125 杭州

余姚

100

21

29 48

75

萧山 39

上虞

50

宁波

31

25

绍兴

O1

2

34 t ( 时)

（ 3）从杭州开出一列火车，在 40 分钟内（包括 40 分钟）到达余姚可能吗？ 50 分钟内

（包括 50 分钟）呢？如有可能，那么此时对火车的行驶速度有什么要求？

思维拓展类

例 5

某商场出售一批进价为

2 元的贺卡， 在市场营销中发现商品的日销售单价

x 元与

日销售量 y 个之间有如下关系：

x （元）

3 4 5 6

y （个）

20

15

12

10

（ 1）根据表中数据，在直角坐标系中描出实数对（x ， y ）的对应点； （ 2）猜测并确定 y 与 x 之间的函数关系式，并画出图象；

（ 3）设经营此贺卡的销售利润为W 元，试求出 W 与 x 之间的函数关系式，若物价局 规定此贺卡的售价最高不能超过 10 元 /个，请你求出当日销售单价

x 定为多少元时，才能获

得最大日销售利润？

例 6 制作一种产品， 需先将材料加热到 60℃后，再进行操作。 设该材料温度为

y （℃），

从加热开始计算的时间为 x （分钟）。据了解，设该材料加热时，温度 y 与时间 x 完成一次

函数关系；停止加热进行操作时，温度 y 与时间 x?成反比例关系（如图所示） 。已知该材料

在操作加工前的温度为

15℃，加热 5?分钟后温度达到

60℃。

（ 1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时， y 与 x 的函数关系式；

（ 2）根据工艺要求，当材料的温度低于

15℃时，须停止操作，那么操作时间有多长？