函数图象的对称教案
人教B版高中数学必修四正弦函数的对称性教学设计
本校是北京市远郊的一所普通高中校，学生的基础较差。学生刚适应了高中的学习，没有形成良好的学习习惯，学习的主动性不强．由于高一上半学期的学习任务较重，课时较紧，留给学生消化和练习的时间较少，再加上学生缺乏自主学习的能力，很多知识一知半解．学生刚学完正弦函数与正弦型函数的图象与性质，对这部分知识的应用还不是很熟练，而且这节课的性质是由特殊到一般归纳出来，学生会比较困难．学生有基本的作图能力，但用时较长，为了突出这节课的重点，课前让学生完成两个函数图象的作图；学生有基本的识图能力，已经学会利用图象法和整体代换的方法求解正弦型函数的最值、单调性等性质；学生经历过小组讨论的学习形式，对问题有一定的思考和探究能力，能很快地进行小组讨论，并能清楚地表述和展示讨论成果．
学生观察、分析．
学生可能会得出：
是对称轴， 是对称中心．
学生继续分析图象后回答问题，小组讨论得出对称轴的一般形式．
学生讨论，展示小组讨论结果．
学生根据问题小组合作进行研究，展示研究成果．
学生思考、回答问题．
学生观察图象，思考交流，小组讨论，选代表回答问题．
学生类比求正弦型函数相关性质的方法——整体代换求对称轴和对称中心．
有严谨的科学态度，不怕困难的科学精神
积极尝试、体验数学研究的过程
本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500字数)
本节课较好地体现了新课标理念，在教学设计上主要有以下几个方面的特点：
1、舍得花时间让学生自主探究，让学生充分参与到教学过程中
教师布置明确的讨论任务后，把一定的时间和空间留给学生小组合作探究的形式去分析问题和解决问题．学生讨论比较充分，且能主动地发表自己的意见和展示自己的成果，充分的体现了学生是课堂的主体。学生的参与和互动，不仅活跃了课堂气氛，更使学生的思维得到了发展．
函数图象的对称性教学设计
函数图象的对称性教学设计导语：在数学的学习中，函数图象的对称性是一个重要的概念。
通过对函数图象的对称性进行教学，不仅可以帮助学生更好地理解函数的性质，还可以培养学生的观察与分析能力。
本文将提供一种针对函数图象的对称性的教学设计，旨在帮助教师通过富有趣味和互动性的活动，引导学生深入理解函数图象的对称性。
一、教学目标1. 知识目标：了解函数图象的对称性的概念，掌握函数关于原点对称、关于y轴对称和关于x轴对称的判定方法。
2. 能力目标：通过观察函数图象，能够判断函数关于不同轴的对称性。
3. 情感目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生观察和分析问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：理解函数图象的对称性的概念，掌握函数关于原点对称、关于y轴对称和关于x轴对称的判定方法。
2. 教学难点：通过观察函数图象判断函数关于不同轴的对称性。
三、教学准备1. 教师准备：课件、黑板、彩色粉笔、直尺、教学实例。
2. 学生准备：课本、笔记本。
四、教学过程步骤一：导入新知（10分钟）教师通过提问和引入相关实例，引起学生对函数图象的对称性的兴趣。
例如，教师可以给学生展示一些有趣的图片，让学生观察并思考其中的对称性。
然后，教师引导学生定义函数图象的对称性。
步骤二：讲解理论知识（20分钟）1. 函数关于原点对称的判定方法。
教师通过讲解函数关于原点对称的概念，引导学生发现函数图象中关于原点对称的规律，并总结出函数关于原点对称的判定方法。
2. 函数关于y轴对称的判定方法。
教师通过讲解函数关于y轴对称的概念，引导学生发现函数图象中关于y轴对称的规律，并总结出函数关于y轴对称的判定方法。
3. 函数关于x轴对称的判定方法。
教师通过讲解函数关于x轴对称的概念，引导学生发现函数图象中关于x轴对称的规律，并总结出函数关于x轴对称的判定方法。
步骤三：教学实践（50分钟）1. 学生练习判断函数图象的对称性。
教师出示一些具体函数的图象，在黑板上标出函数图象的对称中心，并带领学生一起判断函数关于原点、y轴和x轴的对称性。
高一函数的对称性市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
x
x
1 2345678
思索?若y=f(x)图像有关直线x=-1对称 f(x)=f(-2-x)
f(-1+x)=f(-1-x)
Y
-1-x
-3 -2 -1
-1+x
x
1 2345678
x=-1
猜测：若y=f(x)图像有关直线x=a对称
f(x)= f(2a-x) f(a-x)=f(a+x)
xa
（代数证明） 已知
（1）、证明函数图象旳对称性：图象上任一点有关对称 轴（对称点）旳对称点仍在图象上
（2）、证明两个图象C1C2旳对称性：证C1上任意点有关 对称轴（对称点）旳对称点在C2图象上，反之也对
（代数证明） 求证
y=f(x)图像有关直线x=a对称
已知
f(x)=f(2a-x)
() 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
? P(x0,f(x0))
若点P有关直线x=a旳对称点P’ P’(2a-x0,f(x0)) 也在f(x)图像上
2a-x0 x0
xa
f(x0)=f(2a-x0) P’在f(x)旳图像上 则y=f(x)图像有关直线x=a对称
如：作出函数 y x 1 x
旳图象．
B.图象变换法：利用基本初等函数变换作图 (以熟悉基本 初等函数旳图象为前提).
1、平移变换：（左正右负，上正下负）即
y f (x) h0,右移;h0,左移 y f (x h)
y f (x) k0,下移;k0,上移 y f (x) k
2、对称变换：(口诀:对称谁，谁不变，对称原点都要变）
函数旳对称性
有些函数 其图像有着优美旳对称性，
同步又有着优美旳对称关系式
正弦函数图象的对称性教学设计
《正弦函数图象的对称性》教学设计【教学目标】1．使学生掌握正弦函数图象的对称性及其代数表示形式，理解诱导公式（R）与（R）的几何意义，体会正弦函数的对称性.2．在探究过程中渗透由具体到抽象，由特殊到一般以及数形结合的思想方法，提高学生观察、分析、抽象概括的能力.3．通过具体的探究活动，培养学生主动利用信息技术研究并解决数学问题的能力，增强学生之间合作与交流的意识.【教学重点】正弦函数图象的对称性及其代数表示形式.【教学难点】用等式表示正弦函数图象关于直线对称和关于点对称.【教学方法】教师启发引导与学生自主探究相结合.【教学手段】计算机、图形计算器（学生人手一台）.【教学过程】一、复习引入对称在自然界中有着丰富多彩的显现，各种对称图案、对称符号也都十分普遍（见下图）.2．复习对称概念初中我们已经学习过轴对称图形和中心对称图形的有关概念：轴对称图形——将图形沿一条直线折叠，直线两侧的部分能够互相重合；中心对称图形——将图形绕一个点旋转180°，所得图形与原图形重合.3．作图观察请同学们用图形计算器画出正弦函数的图象（见图），仔细观察正弦曲线是否是对称图形？是轴对称图形还是中心对称图形？4．猜想图形性质经过简单交流后，能够发现正弦曲线既是轴对称图形也是中心对称图形，并能够猜想出一部分对称轴和对称中心.（教师点评并板书）如何检验猜想是否正确？我们知道，诱导公式（R），刻画了正弦曲线关于原点对称，而（R），刻画了余弦曲线关于轴对称. 从这两个特殊的例子中我们得到一些启发，如果我们能够用代数式表示所发现的对称性，就可以从代数上进行严格证明.今天我们利用图形计算器来研究正弦函数图象的对称性.（板书课题）二、探究新知分为两个阶段，第一阶段师生共同探讨正弦曲线的轴对称性质，第二阶段学生自主探索正弦曲线的中心对称性质.（一）对于正弦曲线轴对称性的研究第一阶段，实例分析——对正弦曲线关于直线对称的研究.1．直观探索——利用图形计算器的绘图功能进行探索请同学们在同一坐标系中画出正弦曲线和直线的图象，选择恰当窗口并充分利用画图功能对问题进行探索研究（见图），在直线两侧正弦函数值有什么变化规律？给学生一定的时间操作、观察、归纳、交流，最后得出猜想：当自变量在左右对称取值时，正弦函数值相等.从直观上得到的猜想，需要从数值上进一步精确检验.2．数值检验——利用图形计算器的计算功能进行探索请同学们思考，对于上述猜想如何取值进行检验呢?教师组织学生通过合作的方式，对称地在左右自主选取适当的自变量，并计算函数值,对结果进行列表比较归纳.同时为没有思路的学生准备参考表格如下：…………给学生一定的时间进行思考、操作，根据情况进行指导并组织学生进行交流，然后请一组学生说明他们的研究过程.学生可以采用不同的数据采集方法，得到的结果如下列图表（表格中函数值精确到0.001）：……… 1 …上述计算结果，初步检验了猜想，并可以把猜想用等式（R）表示.请同学们利用前面得到的数据，用图形计算器描点画图（见下图），然后进行观察比较，思考点P和P′在平面直角坐标系中有怎样的位置关系？根据画图结果，可以看出，点P和P′关于直线对称.这样，正弦曲线关于直线对称，可以用等式（R）表示.这样的计算是有限的，并受到精确度的影响，还需要对等式进行严格证明.3．严格证明——证明等式对任意R恒成立请同学们思考，证明等式的基本方法有哪些？所要证的等式左右两端有何特征？有可能选用什么样的公式？预案一：根据诱导公式，有.预案二：根据公式和，有.预案三：根据正弦函数的定义，在平面直角坐标系中，无论取任何实数，角和的终边总是关于轴对称（见图），他们的正弦值恒相等.这样我们就证明了等式对任意R恒成立，也就证明了正弦曲线关于直线对称.事实上，诱导公式也可以由等式推出，即这两个等式是等价的.因此，正弦曲线关于直线对称，是诱导公式（R）的几何意义.阶段小结：我们从几何直观获得启发，又通过数据计算进一步检验，得出正弦曲线关于直线对称可以用等式（R（R）的等价性，使我们对这一诱导公式有了新的理解.第二阶段，抽象概括——探索正弦曲线的其他对称轴.师生、生生交流，步步深入.问题一：正弦曲线还有其他对称轴吗？有多少条对称轴？对称轴方程形式有什么特点？可以发现，经过图象最大值点和最小值点且垂直于轴的直线都是正弦曲线的对称轴（教师利用课件演示），则对称轴方程的一般形式为：（Z）.问题二：能用等式表示“正弦曲线关于直线（Z）对称”吗？根据前面的研究，上述对称可以用等式（Z，R）表示.请学生证明上述等式，然后组织学生交流证明思路.证明预案：.（二）对于正弦曲线中心对称性的研究我们已经知道正弦函数（R）是奇函数，即（R），反映在图象上，正弦曲线关于原点对称. 那么，正弦曲线还有其他对称中心吗？请同学们参照轴对称的研究方法，小组合作进行研究.第一阶段，对正弦曲线关于点对称的研究.1．直观探索——从图象上探索在点两侧的函数值的变化规律.2．数值检验——在左右对称地选取一组自变量，计算函数值并列表整理.3．严格证明——证明等式对任意R恒成立.预案一：根据诱导公式，有.预案二：根据诱导公式和，有.预案三：根据正弦函数的定义，在平面直角坐标系中，无论取任何实数，角和的终边总是关于轴对称（见图），他们的正弦值互为相反数.事实上，等式与诱导公式是等价的. 这样，正弦曲线关于点对称，是诱导公式（R）的几何意义.第二阶段，探索正弦曲线的其它对称中心.请同学尝试解决下列三个问题：1．归纳正弦函数图象对称中心坐标的一般形式.正弦函数图象对称中心坐标的一般形式为：（Z）（教师利用课件演示）.2．用等式表示“正弦曲线关于点（Z）对称”.上述对称可以用等式（Z，R）表示.3．证明归纳出的等式. （根据课堂情况可以由学生课后完成证明）三、课堂小结1．课堂小结（1）知识上：得出了正弦函数图象对称轴方程和对称中心坐标的一般形式，研究了对称性的代数表示形式，并利用诱导公式完成了严格的理论证明. 在研究的过程中，对诱导公式与（R）有了新的理解，感受了正弦函数的对称性以及数和形的辨证统一.（2）方法上：直观→抽象，特殊→一般，体验了观察—归纳—猜想—严格证明的研究方法.2．作业（1）总结课上的研究过程和方法，尝试研究余弦函数图象的对称性，并结合自己的研究过程和结论写出研究报告，与其他同学交流收获.（2）找一个一般函数，如，R，研究它的图象及对称性；并与正弦函数的图象及对称性进行比较.（3）思考：如何用等式表示函数关于直线对称，以及关于点对称？（4）尝试证明函数的图象分别关于直线和直线对称.【教学设计说明】1．关于教学内容正弦函数和余弦函数的大部分性质是借助函数图象进行研究的．但是，在本章第五节中，借助单位圆中的三角函数线已经研究了它们的四个重要性质，并归纳为四组诱导公式，其中公式三、四、五分别刻画了两个函数图象的一部分对称性，奇偶性只是特殊的对称性.因此，本课时以正弦函数为例补充研究图象的对称性，从函数图象的特征出发，引导学生利用计算器自主探索，并最终发现与诱导公式的联系. 通过本课时的教学，可以使学生在进一步掌握图象特征的同时，加深对正弦函数及其诱导公式的理解，既是对以前所学知识的梳理，也为后面进一步学习和理解“由已知三角函数值求角”奠定基础.2．关于教学设计本课时我采用启发引导与学生自主探索相结合的教学方法.在回顾旧知识的基础上提出新的研究问题，引导学生从形象思维逐步过度到抽象思维，突破教学难点. 教学设计流程图如下：通过引导学生带着问题的主动思考、动手操作、合作交流的探究过程，力求使他们在掌握知识的同时，还能学会研究方法.3．信息技术在教学中的作用图形计算器作为学具，通过学生亲自动手，人人参与探索过程，帮助学生从图象、数据、解析式等多层次、多角度地理解所研究的内容，提高他们对图形和数据信息的处理能力，培养信息素养．图形计算器和计算机相结合，力求使技术更有效地为教学服务．《正弦函数的图像与性质》（第一课时）（教案）神木职教中心数学组刘伟教学目标：1、理解正弦函数的周期性；2、掌握用“五点法”作正弦函数的简图；3、掌握利用正弦函数的图像观察其性质；4、掌握求简单正弦函数的定义域、值域和单调区间；5、初步理解“数形结合”的思想；6、培养学生的观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力等教学重点：1、用“五点法”画正弦函数在一个周期上的图像；2、利用函数图像观察正弦函数的性质；3、给学生逐渐渗透“数形结合”的思想教学难点：正弦函数性质的理解和应用教学方法：多媒体辅助教学、讨论式教学、讲议结合教学、分层教学 教学过程： Ⅰ 知识回顾终边相同角的诱导公式：)(sin )2sin(Z ∈=+k k απα所以正弦函数是周期函数，即 ,6-,4-,2-,6,4,2ππππππ及都是它的周期，其中π2是它的最小正周期，也直接叫周期，故正弦函数的周期为π2Ⅱ 新知识1、用描点法作出正弦函数在最小正周期上的图象x y sin =，[]π2,0∈x（1）、列表（2）、描点（3）、连线因为终边相同的角的三角函数值相同,所以x y sin =的图像在…，[][][][]ππππππ4,2,2,0,0,2,2,4--- ，…与x y sin =，[]π2,0∈x 的图像相同2、正弦函数的奇偶性由诱导公式x x sin )sin(-=-，R x ∈得： ①定义域关于原点对称 ②满足)()(x f x f -=-所以，正弦函数为奇函数（观察上图，图像关于原点对称） 3、正弦函数单调性 、值域 由图像观察可得： 正弦函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 22,22是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 223,22是减函数 得到最大值为1，最小值为-1，所以值域为[]1,1-Ⅲ 知识巩固例1 作下列函数的简图 （1）x y sin =，[]π2,0∈x （2）x y sin 1+=，[]π2,0∈x解：（1）①列表②描点 ③连线（2）①列表②描点 ③连线例2 求下列函数的单调区间（1）)sin(x y -= （2）)4sin(π-=x y解：（1）因x x y sin )sin(-=-=所以函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 22,22是减函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 223,22是增函数（2）由题知：πππππk x k 22422+≤-≤+-ππππk x k 24324+≤≤+-⇒ πππππk x k 223422+≤-≤+ππππk x k 247243+≤≤+⇒ 所以函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 243,24是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 247,243是减函数练习（师生互动，分层次提问）1． 课本第120页练习第1题 2． 求函数)4sin(π+=x y 的单调性解：由题知：πππππk x k 22422+≤+≤+-ππππk x k 24243+≤≤+-⇒ πππππk x k 223422+≤+≤+ππππk x k 24524+≤≤+⇒ 所以函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 24,243是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 245,24是减函数Ⅳ 小结本节课我们学习了用“五点法”作正弦函数的图像，利用正弦函数的简图可以观察到正弦函数的一些基本性质，如奇偶性、单调性、周期性等。
函数的对称性教案学案
五、特别注意我们在上面的研究中，蕴含了对定义域的一定要求。
但是有时这个定义域的要求却要特别提出来。
比如平移变换中，两个函数的定义域也是可以通过平移互相得到。
对称变换中，定义域必须也满足相应的对称关系。
如果定义域不满足对应关系，后面的关系式也就没有了意义。
六、函数性质判断技巧①2)()1(=++x f x f ②)()2(x f x f -=+③)2()2(x f x f -=+ ④)()4(x f x f --=+ ⑤)5()3(x f x f -=+ ⑥)5()3(x f x f --=+ ⑦2)()1(=-++x f x f①②括号里的x 前面的符号相同，都是正，由此可以退出函数的周期性。
③⑤括号里的x 前面的符号相反，但是等号两边的f 前面的符号相同，可以推出关于某条直线对称。
④⑥括号里的x 前面的符号相反，等号两边的f 前面的符号也不相同，可以推出关于某个点对称。
⑦先把两个f 分到等号的两边去，再去应用上面的规律。
七、定义域、值域与图象)(x f 与)1(+x f 的定义域和值域是什么关系？若)(x f 的定义域是（1,2），值域为（2,4）那么)1(+x f 的定义域为（0,1），值域仍为（2,4）。
)(x f 与)1(+x f +2的定义域和值域是什么关系？若)(x f 的定义域是（1,2），值域为（2,4），那么2)1(++x f 的定义域为（0,1），值域为（4,6）。
八、习题1、若点）（b a ,在lg y x = 图象上，a ≠1,则下列点也在此图象上的是 （ ）（A ）（a 1，b ） (B ) )1,(10b a - (C) (a10,1+b ) (D))2,2b a （ 分析：2lg lg 22,lg a a b a b ===则.故选D.2、已知函数)(x f 的图象与函数21)(++=xx x h 的图象关于（0,1）对称，求)(x f 解析式。
解：由题意可知：2)()(=-+x h x f ，则x x x x x h x f 1212)(2)(+=⎪⎭⎫⎝⎛+---=--= 即解析式为xx x f 1)(+=.)6()(-=xfxf，4>x周期为６，所以1)1()5()2009(=-==fff.答案为C.24、已知定义在区间上的函数的图象如图所示,则的图象为（）分析：)(xf图象上任意取一个点),(yx，有)(xfy=，令)2()(xfxg--=，则)()2(yxfxg-=-=-，即),2(yx--在)2(xf--图象上，而),(yx和),2(yx--关于)0,1(这个点对称。
大学函数的对称性教案
课时安排：2课时教学目标：1. 理解函数对称性的概念，掌握函数奇偶性、周期性和轴对称性的判断方法。
2. 能够运用函数对称性的性质解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力及数学建模能力。
教学重点：1. 函数对称性的概念及判断方法。
2. 常见函数的对称性。
教学难点：1. 对称性的性质在解决实际问题中的应用。
2. 复杂函数对称性的判断。
教学准备：1. 教师准备：多媒体课件、教案、习题。
2. 学生准备：笔记本、笔。
教学过程：第一课时一、导入1. 回顾初中数学中函数的概念，引导学生思考函数的性质。
2. 提出问题：什么是函数的对称性？如何判断函数的对称性？二、讲授新课1. 函数对称性的概念- 轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两侧的图象能够完全重合，则称该函数具备轴对称性，该直线称为对称轴。
- 中心对称：如果一个函数的图象沿一个点旋转180度，所得的图象能与原函数图象完全重合，则称该函数具备中心对称性，该点称为对称中心。
2. 常见函数的对称性- 常数函数：既是轴对称又是中心对称。
- 一次函数：既是轴对称又是中心对称。
- 二次函数：具有轴对称性，对称轴为x=-b/2a。
- 反比例函数：具有中心对称性，对称中心为原点。
- 指数函数：不具有对称性。
- 对数函数：不具有对称性。
3. 函数对称性的性质- 奇函数的性质：f(-x)=-f(x)，函数图象关于y轴对称。
- 偶函数的性质：f(-x)=f(x)，函数图象关于x轴对称。
- 周期函数的性质：f(x+T)=f(x)，函数图象具有周期性。
三、课堂练习1. 判断以下函数的对称性：（1）y=x^2-4x+3（2）y=|x|（3）y=x^32. 根据函数的对称性，求函数的解析式。
四、小结1. 总结本节课所学内容，强调函数对称性的概念、判断方法和性质。
2. 强调对称性在解决实际问题中的应用。
第二课时一、复习导入1. 回顾上一节课所学内容，提问学生：什么是函数的对称性？如何判断函数的对称性？2. 引导学生思考对称性在解决实际问题中的应用。
函数的对称性与函数的图象变换课件
轴对称
点对称
如果函数$f(x)$满足$f(k-x) = f(k+x)$ ，则称函数$f(x)$具有点对称性。
如果函数$f(x)$满足$f(-x) = f(x)$， 则称函数$f(x)$具有轴对称性。
函数对称性的分类
01
02
03
偶函数
如果对于定义域内的任意 $x$，都有$f(-x) = f(x)$ ，则称函数$f(x)$为偶函 数。
THANKS
感谢观看
详细描述
在平面坐标系中，顺时针旋转函数图像意味 着将每个点按照顺时针方向移动一定的角度 。具体来说，如果一个点在坐标系中的坐标 为(x, y)，经过顺时针旋转θ角度后，其新的 坐标变为(x', y')，其中x' = x cosθ - y sinθ ，y' = x sinθ + y cosθ。
逆时针旋转
一个函数如果既是奇函数又是偶函数，则被称为既奇又偶函 数。其定义是对于所有x，有f(-x) = -f(x)当且仅当f(-x) = f(x) 。例如，函数y = sin(x)是一个既奇又偶函数，其图像关于原 点对称。
04
函数图象的翻折变换
沿x轴翻折
总结词
当函数图像沿x轴翻折时，图像在x轴 两侧对称。
$y$轴。
对称中心的性质
如果函数$f(x)$具有点 对称性，则其对称中心
为$(k,0)$。
偶函数的性质
偶函数的图像关于$y$ 轴对称。
奇函数的性质
奇函数的图像关于原点 对称。
02
函数图象的平移
向左平移
总结词
当函数图像向左平移时，图像上 的每一个点都沿着x轴负方向移动 。
详细描述
对于函数$y = f(x)$，若图像向左 平移$a$个单位，则新的函数解析 式为$y = f(x + a)$。
必修一抽象函数的奇偶性周期性对称性教案
抽象函数的周期性与对称性知识点梳理一、 抽象函数的对称性定理 1. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的图象关于直线2ba x +=对称。
推论 1. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：)()(x a f x a f -=+，则函数)(x f y =的图像关于直线a x =对称。
推论2. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：)2()(x a f x f -=),则函数)(x f y =的图像关于直线ax =对称。
推论3. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：)()(x a f x a f -=+， 又若方程0)(=x f 有n 个根，则此n 个根的和为na 。
定理2. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：c x b f x a f =-++)()(（c b a ,,为常数），则函数)(x f y =的图象关于点)2,2(cb a +对称。
推论1. 若函数)(x f y =定义域为R ,且满足条件：0)()(=-++x b f x a f 成立，则)(x f y = 的图象关于点)0,2(ba +对称。
推论2.若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：0)()(=-++x a f x a f （a 为常数），则函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 对称。
总结：x 的系数一个为1，一个为-1，f(x)整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为-1，存有对称中心。
定理3.若函数)(x f y = 定义域为R ，则函数)(x a f y +=与)(x b f y -=两函数的图象关于直线2ab x -=对称（由x b x a -=+可得）。
推论1. 函数)(a x f y -=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。
推论2. 函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线0=x 对称。
数学《函数的对称性与周期性》教案(新人教A版)
1．函数对称性与周期性知识归纳：一．函数自身的对称性结论结论1. 函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a －x) = 2b证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P ‘（2a －x ，2b －y ）也在y = f (x)图像上，∴ 2b －y = f (2a －x)即y + f (2a －x)=2b 故f (x) + f (2a －x) = 2b ，必要性得证。
（充分性）设点P(x 0,y 0)是y = f (x)图像上任一点，则y 0 = f (x 0)∵ f (x) + f (2a －x) =2b ∴f (x 0) + f (2a －x 0) =2b ，即2b －y 0 = f (2a －x 0) 。
故点P ‘（2a －x 0，2b －y 0）也在y = f (x) 图像上，而点P 与点P ‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。
推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O 对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0结论2. 若函数 y = f (x)满足f (a +x) = f (b －x)那么函数本身的图像关于直线x = 2a b+对称，反之亦然。
证明 ：已知对于任意的00,x y 都有f(a+0x ) =f(b －0x )=0y令a+0x ='x , b －0x ="x则Ａ（'x ，0y ），Ｂ（"x ，0y ）是函数y=f(x)上的点 显然，两点是关于x= 2a b+对称的。
反之，若已知函数关于直线x = 2a b+对称，在函数y = f (x)上任取一点Ｐ（00,x y ）那么P （00,x y ）关于x = 2a b+对称点'P （a+ b －0x ,0y ）也在函数上故f(0x )=f(a+ b －0x )⇔f(a+(0x -a))=f(b-(0x -a))所以有f (a +x) = f (b －x)成立。
高中数学 函数图像的对称变换新人教A版必修1
学案7 函数图像的对称变换一、课前准备： 【自主梳理】1、（1）函数()y f x =-与()y f x =的图像关于 对称； （2）函数()y f x =-与()y f x =的图像关于 对称； （3）函数()y f x =--与()y f x =的图像关于 对称．2、奇函数的图像关于 对称，偶函数图像关于 对称．3、（1）若对于函数()y f x =定义域内的任意x 都有()()f a x f b x +=-，则()y f x =的图像关于直线 对称．（2）若对于函数()y f x =定义域内的任意x 都有()2()f a x b f a x +=--，则()y f x =的图像关于点 对称．4、对0a >且1a ≠，函数xy a =和函数log a y x =的图象关于直线 对称．5、要得到()y f x =的图像，可将()y f x =的图像在x 轴下方的部分以 为轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．6、要得到()y f x =的图像，可将()y f x =，[)0,x ∈+∞的部分作出，再利用偶函数的图像关于 的对称性，作出(),0x ∈-∞时的图像． 【自我检测】23、函数xy e =-的图象与函数 的图象关于坐标原点对称． 4、将函数1()2x f x +=的图象向右平移一个单位得曲线C ，曲线C '与曲线C 关于直线y x=对称，则C '的解析式为 ．5、设函数()y f x =的定义域为R ，则函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图像的关系为关 于 对称．6、若函数()f x 对一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，且方程()0f x =恰好有四个不同实根，求这些实根之和为 ．二、课堂活动： 【例1】填空题：（1（2）对于定义在R 上的函数()f x ，有下列命题，其中正确的序号为 ． ①若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；②若对x R ∈，有(1)(1)f x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线1x =对称；③若函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称，则函数()f x 是偶函数；④函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称．（3）将曲线lg y x =向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到曲线C ．如果曲线C '与C 关于原点对称，则曲线C '所对应的函数式是 ．（4）当1a >时，已知1x ，2x 分别是方程1xx a +=-和log 1a x x +=-解，则12x x +的值为 ．【例2】作出下列函数的图象：（1）12log ()y x =-；（2）12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（3）2log y x =；（4）21y x =-．【例3】（1）将函数12log y x =的图象沿x 轴向右平移1个单位，得图象C ，图象C '与C 关于原点对称，图象C ''与C '关于直线y x =对称，求C ''对应的函数解析式； （2）已知函数()y f x =的定义域为R ，并且满足(2)(2)f x f x +=-．①证明函数()y f x =的图象关于直线2x =对称；②若()f x 又是偶函数，且[]0,2x ∈时，()21f x x =-,求[]4,0x ∈-时()f x 的表达式．三、课后作业1、函数3(1)1y x =++的对称中心是 ．2、如果函数()y f x =的图象与函数32y x =-的图象关于坐标原点对称，则()f x = ．3、设()3x af x +=，若要使()f x 的图象关于y 轴对称，则a = ．4、已知函数()sin 2cos2 ()f x a x x a R =+∈图象的一条对称轴方程为12x π=，则a = ．5、已知函数2()f x x bx c =-+，(0)3f =，且(1)(1)f x f x +=-，则()xf b 与()xf c 的大小关系为 ．6、函数321x y x +=-+在(),a -∞上单调递减，则实数a 的范围为 ． 7、若函数()y f x =的图象过点()1,1，则(4)f x -的图象一定过点 ． 8、定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫-⎪⎝⎭成中心对称，对任意实数x 都有3()()02f x f x ++=且(1)1f -=，(0)2f =-，则(0)(1)(2)(2009)f f f f ++++= ．9、设函数2()sin()2cos 1468x xf x πππ=--+． （1）求()f x 的最小正周期；（2）若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当4[0,]3x ∈时()y g x =的最大值．10、设曲线C 的方程是3y x x =-，将C 沿x 轴、y 轴正方向分别平移t 、s (0)t ≠个单位长度后得到曲线1C ． （1）写出曲线1C 的方程；（2）证明曲线C 与1C 关于点(,)22t s A 对称；（3）如果曲线C 与1C 有且仅有一个公共点，证明：34t s t =-．四、纠错分析学案7 函数图像的对称变换参考答案【自我检测】1．原点 2．x 轴 3．xy e -= 4．2log y x = 5．直线1x = 6．8 【例1】（1）必要不充分条件 （2）①③ （3）lg(1)2y x =--++ （4）1- 【例2】（1）作12log y x =的图象关于y 轴的对称图形．（2）作12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于x 轴的对称图形．（3）作2log y x =的图象及它关于y 轴的对称图形．（4）作21y x =-的图形，并将x 轴下方的部分翻折到x 轴上方．（图略） 【例3】（1）21x y =--（2）①证明：设()00,P x y 是函数()y f x =的图象上任意一点，则00()y f x =．点P 关于直线2x =的对称点P '的坐标应为()004,x y -． ∵[][]00000(4)2(2)2(2)()f x f x f x f x y -=+-=--==． ∴点P '也在函数()y f x =的图象上． ∴函数()y f x =的图象关于直线2x =对称．②解析：由()21f x x =-，[]0,2x ∈及()f x 为偶函数，得()()21f x f x x =-=--，[]2,0x ∈-；当[]2,4x ∈时，由()f x 图象关于2x =对称，用4x -代入()21f x x =-，得()(4)()24127f x f x x x -==--=-+，[]2,4x ∈，再由()f x 为偶函数，得()27f x x =+，[]4,2x ∈--．故[](]27 , 4,2()2 1 , 2,0x x f x x x +∈--⎧⎪=⎨--∈-⎪⎩．课后作业：1．()1,1- 2．23x -- 3．0 45．()()xxf b f c ≤ 6．(],1-∞- 7．()3,1 8．09．解：（1）()f x =sincoscossincos46464x x x πππππ--3cos 424x x ππ-sin()43x ππ-故()f x 的最小正周期为T =24ππ =8．(2)在()y g x =的图象上任取一点(,())x g x ，它关于1x =的对称点(2,())x g x - ． 由题设条件，点(2,())x g x -在()y f x =的图象上，从而()(2)sin[(2)]43g x f x x ππ=-=--sin[]243x πππ--cos()43x ππ+ 当304x ≤≤时，23433x ππππ≤+≤，因此()y g x =在区间4[0,]3上的最大值为max 3g π==10．解：（1）曲线1C 的方程为3()()y x t x t s =---+；（2）证明：在曲线C 上任意取一点111(,)B x y ，设222(,)B x y 是1B 关于点A 的对称点，则有1212,2222x x t y y s++==，∴1212,x t x y s y =-=-代入曲线C 的方程， 得22,x y 的方程：3222()()s y t x t x -=---即3222()()y x t x t s =---+，可知点222(,)B x y 在曲线1C 上． 反过来，同样证明，在曲线1C 上的点A 的对称点在曲线C 上． 因此，曲线C 与1C 关于点A 对称．（3）证明：因为曲线C 与1C 有且仅有一个公共点，∴方程组33()()y x xy x t x t s⎧=-⎪⎨=---+⎪⎩有且仅有一组解， 消去y ，整理得22333()0tx t x t t s -+--=，这个关于x 的一元二次方程有且仅有一个根，∴43912()0t t t t s ∆=---=，即得3(44)0t t t s --=，因为0t ≠，所以34t s t =-．。
函数的奇偶性、周期性和对称性教案
函数的奇偶性、对称性、周期性年级：高中课本: 人教版A 章节: 第三章课次: 时长: 2小时课程主题：函数的奇偶性、对称性、周期性教学目标：1. 识记奇、偶性的有关性质，能用奇偶函数的有关性质解题，会解释函数奇偶性与单调性的关系；2. 理解函数的周期性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能．教学重点：解决综合利用函数的性质解决有关问题教学难点：函数的单调性与奇偶性、周期性的综合应用教学过程一、复习预习1．理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。
2．理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值。
3．会运用函数图像理解和研究函数的性质。
二、知识讲解考点1：奇、偶函数的概念和性质1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内：①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．考点2：函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期考点3：函数的性质归纳一条规律：奇、偶函数的定义域关于原点对称．（函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．）两个性质：(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．三种方法判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图像法；(3)性质法． 三条结论(1)若对于R 上的任意的x 都有f(2a －x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a ＋x)，则y ＝f(x)的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若对于R 上的任意x 都有f(2a －x)＝f(x)，且f(2b －x)＝f(x)(其中a ＜b)，则：y ＝f(x)是以2(b －a)为周期的周期函数．(3)若f(x ＋a)＝－f(x)或1()()f x a f x += 或1()()f x a f x +=-，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T ＝2a ；(3)若f(x ＋a)＝f(x ＋b)(a ≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T ＝2|a －b|.三、例题精析【例题1】下列函数：①f(x)＝ 1－x2＋ x2－1；②f(x)＝x3－x ；③f(x)＝ln(x ＋x2＋1)；④f(x)＝3x －3－x 2；⑤f(x)＝lg 1－x 1＋x.其中奇函数的个数是( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D【解析】①f(x)＝1－x2＋x2－1的定义域为{－1,1}，又f(－x)＝±f(x)＝0，则f(x)＝1－x2＋x2－1是奇函数，也是偶函数；②f(x)＝x3－x 的定义域为R ，又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－(x3－x)＝－f(x)，则f(x)＝x3－x 是奇函数；③由x ＋x2＋1>x ＋|x|≥0知f(x)＝ln(x ＋x2＋1)的定义域为R ，又f(－x)＝ln(－x ＋－x 2＋1)＝ln1x ＋x2＋1＝－ln(x ＋x2＋1)＝－f(x)，则f(x)为奇函数； ④f(x)＝3x －3－x 2的定义域为R ， 又f(－x)＝3－x －3x 2＝－3x －3－x 2＝－f(x)， 则f(x)为奇函数；⑤由1－x 1＋x >0得－1<x<1，f(x)＝ln 1－x 1＋x的定义域为(－1,1)， 又f(－x)＝ln1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－ln 1－x 1＋x ＝－f(x)， 则f(x)为奇函数．【例题2】已知f(x)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12(x ≠0)． (1)判断f(x)的奇偶性；(2)证明：f(x)＞0.【答案】（1）f(x)是偶函数；（2）见解析【解析】(1)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)∵f(x)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＝x 2·2x ＋12x －1. ∴f(－x)＝－x 2·2－x ＋12－x －1＝x 2·2x ＋12x －1＝f(x)． 故f(x)是偶函数．(2)证明 当x ＞0时，2x ＞1,2x －1＞0，所以f(x)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＞0. 当x ＜0时，－x ＞0，所以f(－x)＞0，又f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，所以f(x)＞0.综上，均有f(x)＞0.四、课堂运用【基础】1. 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝4－x2|x ＋3|－3； (2)f(x)＝x2－|x －a|＋2.【答案】（1）所以f(x)是奇函数；（2）当a ＝0时，所以f(x)是偶函数；当a ≠0时，f(x)既不是偶函数也不是奇函数．【解析】(1)解不等式组⎩⎨⎧ 4－x2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x<0，或0<x ≤2，因此函数f(x)的定义域是[－2,0)∪(0,2]，则f(x)＝4－x2x. f(－x)＝4－－x2－x ＝－4－x2x ＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数．(2)f(x)的定义域是(－∞，＋∞)．当a ＝0时，f(x)＝x2－|x|＋2，f(－x)＝x2－|－x|＋2＝x2－|x|＋2＝f(x)．因此f(x)是偶函数；当a ≠0时，f(a)＝a2＋2，f(－a)＝a2－|2a|＋2，f(－a)≠f(a)，且f(－a)≠－f(a)．因此f(x)既不是偶函数也不是奇函数．2.已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f(1－m)＋f(1－m2)＜0的实数m 的取值范围．【答案】－1≤m ＜1.【解析】 ∵f(x)的定义域为[－2,2]，∴有⎩⎨⎧ －2≤1－m ≤2，－2≤1－m2≤2，解得－1≤m ≤ 3.①又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，∴在[－2,2]上递减，∴f(1－m)＜－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－m ＞m2－1，即－2＜m ＜1.②综合①②可知，－1≤m ＜1.【巩固】1.设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数，且)(x f 是偶函数，在区间[]3,2上，.4)3(2)(2+--=x x f 求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式. 【答案】).21(4)1(2)(2≤≤+--=∴x x x f 【解析】当[]2,3--∈x ，即[]3,2∈-x ，4)3(24)3(2)()(22++-=+---=-=x x x f x f又)(x f 是以2为周期的周期函数，于是当[]2,1∈x ，即243-≤-≤-x 时， []).21(4)1(243)4(2)()4()(22≤≤+--=++--=⇒-=x x x x f x f x f 有2、设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+，=+)7(x f,0)0()7(=-f x f 且判断函数)(x f 图象在区间[]30,30-上与x 轴至少有多少个交点.【答案】在闭区间[]30,30-上)(x f 图象与x 轴至少有13个交点.【解析】（由题设知函数)(x f 图象关于直线2=x 和7=x 对称，又由函数的性质得)(x f 是以10为周期的函数.在一个周期区间[)10,0上，).21(4)1(2)(2≤≤+--=∴x x x f,)(0)0()22()22()4(,0)0(不能恒为零且x f f f f f f ==-=+==故)(x f 图象与x 轴至少有2个交点.而区间[)30,30-有6个周期，故在闭区间上图象与轴至少有13个交点.【拔高】1、已知f(x)是R 上的偶函数，对R x ∈都有f(x ＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2007)=_________.【答案】0【解析】(6)()(3)f x f x f +=+令x=-3，则f(-3+6)=f(-3)+f(3)，即f(3)=f(-3)+f(3),又∵f(x)为偶函数∴f(3)=f(3)+f(3)，解得f(3)=0.∴f(x+6)=f(x)，即函数f(x)的周期为6.因为2007÷6=334 (3)所以f(2007)=f(3)=0.课程小结【问题研究】函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的三大性质，它们之间既有区别又有联系，高考作为考查学生综合能力的选拔性考试，在命题时，常常将它们综合在一起命制试题.【解决方案】 根据奇偶性的定义知，函数的奇偶性主要体现为f－x 与f x 的相等或相反关系，而根据周期函数的定义知，函数的周期性主要体现为fx ＋T 与f x 的关系，它们都与f x 有关，因此，在一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到.函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律，因此，在解题时，[]30,30-)(x f x往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性来解决相关问题.课后作业【基础】1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )．A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)【答案】D【解析】由函数f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数可以推知，f(x)在[－2,2]上递增，又f(x－4)＝－f(x)⇒f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，故函数f(x)以8为周期，f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，f(80)＝f(0)，故f(－25)＜f(80)＜f(11)．故选D.【巩固】2.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．【答案】（1）见解析（2）f(x)＝f(2－x)＝22－x －1，x ∈[1,2]（3）f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)=1【解析】(1)证明 函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图象关于x ＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数．(2) 当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，又f(x)的图象关于x ＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22－x －1，x ∈[1,2]．(3) ∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1又f(x)是以4为周期的周期函数．∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝f(2 012)＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1.【拔高】3．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x ＋2)＝－f(x)，当0≤x ≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f(x)的图象与x 轴所围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调增(或减)区间．【答案】（1）f(π)＝π－4（2）S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4. （3）函数f(x)的单调递增区间为[4k －1,4k ＋1](k ∈Z)，单调递减区间[4k ＋1,4k ＋3](k ∈Z)）【解析】(1)由f(x ＋2)＝－f(x)得，f(x ＋4)＝f[(x ＋2)＋2]＝－f(x ＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数与f(x ＋2)＝－f(x)，得：f[(x －1)＋2]＝－f(x －1)＝f[－(x －1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．故知函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称．又0≤x ≤1时，f(x)＝x ，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．当－4≤x ≤4时，f(x)的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4. (3)函数f(x)的单调递增区间为[4k －1,4k ＋1](k ∈Z)，单调递减区间[4k ＋1,4k ＋3](k ∈Z)．。
初中数学教案函数的对称性与奇偶性分析
初中数学教案函数的对称性与奇偶性分析初中数学教案：函数的对称性与奇偶性分析引言：函数是数学中的重要概念，对于初中数学来说尤为重要。
在数学教学中，了解函数的性质与特点对于学生的学习至关重要。
本教案将重点介绍函数的对称性与奇偶性，帮助学生更好地理解和掌握这一概念。
一、函数的对称性1. 对称的概念在数学中，对称指的是某个对象围绕某个轴或点进行翻转或旋转后，与原对象完全相同或镜像对应的性质。
函数的对称性，即函数图像相对于某条直线或原点对称。
2. 关于x轴的对称性当函数图像关于x轴对称时，这个函数具有x轴对称性。
具体来说，对于函数图像上的任意一点，若将该点关于x轴对称得到的新点也在函数图像上，那么这个函数就具有x轴对称性。
3. 关于y轴的对称性当函数图像关于y轴对称时，这个函数具有y轴对称性。
具体来说，对于函数图像上的任意一点，若将该点关于y轴对称得到的新点也在函数图像上，那么这个函数就具有y轴对称性。
4. 关于原点的对称性当函数图像关于原点对称时，这个函数具有原点对称性。
具体来说，对于函数图像上的任意一点，若将该点关于原点对称得到的新点也在函数图像上，那么这个函数就具有原点对称性。
二、函数的奇偶性1. 奇函数的定义与特点如果一个函数满足对于任意的x值，有f(-x) = -f(x)，那么这个函数就是奇函数。
奇函数的曲线关于原点对称，并且通过原点。
2. 偶函数的定义与特点如果一个函数满足对于任意的x值，有f(-x) = f(x)，那么这个函数就是偶函数。
偶函数的曲线关于y轴对称。
3. 奇偶函数的图像特征奇函数的图像呈现对称关系，具有原点对称性，而偶函数的图像呈现对称关系，具有y轴对称性。
这两种函数的图像通常都非常整齐美观。
4. 函数的奇偶性与实际问题的关系在实际问题中，有些函数具有奇函数或偶函数的性质。
例如，关于时间对称的问题往往使用偶函数模型，例如天体运动的周期。
而关于空间对称的问题往往使用奇函数模型，例如物体弹跳的高度。
二次函数图像对称性教案
二次函数图像对称性教案一、课程目标本节课程主要讲解二次函数的图像对称性，通过理论讲解和实例演示，提高学生对二次函数图像对称性的认识和应用能力，为日后的学习打下坚实的基础。
二、教学重难点本节课程的重点是让学生理解二次函数的图像对称性，包括二次函数的轴对称和顶点对称；难点是如何灵活运用这些知识，在实际应用中解决实际问题。
三、教学内容1.二次函数的轴对称性轴对称是指图形左右对称，即以一条直线为轴，将图形分成左右两部分，两部分完全相同。
对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，它的图形在x轴上的对称轴为x = -b/2a。
例：图像为y = x² + 2x - 3，它的对称轴方程为x = -1。
2.二次函数的顶点对称性顶点对称是指图形上下对称，即以某点为中心，将图形分成上下两部分，两部分完全相同。
对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，它的图形在顶点处对称。
顶点的坐标为(-b/2a，f(-b/2a))。
例：图像为y = -2x² + 4x + 3，它的顶点坐标为(1, 1)。
3.实例演示(1) 已知函数y = x² - 8x + 16，求它的对称轴方程和顶点坐标。
解：将函数化为标准式，得到y = (x - 4)²。
对称轴方程为x = 4，顶点坐标为(4, 0)。
(2) 已知函数y = -3x² - 12x + 9，求它的对称轴方程和顶点坐标。
解：将函数化为标准式，得到y = -3(x + 2)² + 21。
对称轴方程为x = -2，顶点坐标为(-2, 21)。
四、教学过程1.导入新课教师用例子引入此课程的重点内容——二次函数的图像对称性，提示学生此部分的学习目标和难点，并告诉学生后续的学习方法：以例子为基础，理论分析和实践演示相结合。
2.理论讲解教师讲解二次函数的图像对称性，重点讲解轴对称和顶点对称的定义、特点和实现方法。
函数的对称性
函数的对称性一、教学目标函数图象的对称性是一类函数的特性，是函数性质的重要方面，它包括自身对称和两个函数图象之间的对称，理解掌握函数对称性，对数学问题的解决有很大的帮助，对也是数形结合思想的重要体现。
1．自身对称函数，函数图象本身具有对称轴或是对称中心，该函数的图象是轴对称图形或是中心对称图形，奇函数与偶函数是最典型的两类函数，其它自身对称的函数都可以由奇偶函数平移得到；2．两个函数图象的对称，是指两个图形之间的关系，它们之间存在某种关联，即它们关于某一点对称或是关于某一条直线对称，研究其中一个函数的性质就可知另一个函数的特点（互为反函数的两个函数图象）。
二、举例分析例1． 设()f x 是定义在R 上的函数，（1）若对任意x R ∈，都有()()f a x f b x -=+成立，则函数()f x 的图象关于直线2a bx +=对称； （2）若对任意x R ∈，都有()()22f x f a x b +-=，则函数()f x 的图象关于点(),a b 成中心对称。
选题目的：通过此题的学习，让学生明白一个道理，函数()f x 的图象是轴对称或是中心对称，函数解析式()f x 应满足一关系式是什么，并能通过奇偶函数的平移获得理解这种关系式的钥匙。
思路分析：（1）要证明()f x 图象上任意一点()00,P x y 关于直线2a bx +=对称的点()00,Q a b x y +-也在()f x 的图象上。
事实上，()()()()00000y f x f a a x f b a x f a b x ==--=+-=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即得点()00,Q a b x y +-也在()f x 的图象上。
特别地，当,a b 都为0时，就是偶函数的特征了。
（2）要证明()f x 图象上任意一点()00,A x y 关于点(),a b 的对称点()002,2B a x b y --也在()f x 的图象上。
大学函数的对称性教案设计
教学目标：1. 理解函数对称性的概念和性质；2. 掌握函数的对称性在求解函数图像和解析问题中的应用；3. 培养学生分析问题、解决问题的能力。
教学重点：1. 函数对称性的概念和性质；2. 函数对称性在求解函数图像和解析问题中的应用。
教学难点：1. 函数对称性的概念和性质的理解；2. 函数对称性在求解函数图像和解析问题中的应用。
教学过程：一、导入1. 引入函数的概念，回顾函数的定义和性质；2. 提出问题：函数的图像是否具有对称性？如果具有对称性，有什么性质？二、新课讲解1. 函数对称性的概念：（1）定义：如果对于函数f(x)，对于任意x值，都有f(x) = f(-x)，则称函数f(x)关于y轴对称；（2）定义：如果对于函数f(x)，对于任意x值，都有f(x) = f(-x)，则称函数f(x)关于x轴对称；（3）定义：如果对于函数f(x)，对于任意x值，都有f(x) = f(-x)，则称函数f(x)关于原点对称。
2. 函数对称性的性质：（1）如果一个函数关于y轴对称，那么它的图像在y轴两侧是关于y轴对称的；（2）如果一个函数关于x轴对称，那么它的图像在x轴上下是关于x轴对称的；（3）如果一个函数关于原点对称，那么它的图像在原点两侧是关于原点对称的。
3. 函数对称性在求解函数图像和解析问题中的应用：（1）利用函数的对称性，可以简化函数图像的绘制过程；（2）利用函数的对称性，可以求解函数的极值问题；（3）利用函数的对称性，可以研究函数的周期性问题。
三、课堂练习1. 判断以下函数是否具有对称性，并说明理由：（1）f(x) = x^2 + 1；（2）f(x) = x^3；（3）f(x) = |x|。
2. 根据函数的对称性，绘制函数f(x) = x^2 - 4x + 4的图像。
四、总结1. 回顾本节课所学的函数对称性的概念、性质以及在求解函数图像和解析问题中的应用；2. 强调函数对称性在数学学习中的重要性。
五、作业1. 完成课堂练习中的题目；2. 预习下一节课的内容，了解函数周期性的概念和性质。
大学函数的对称性问题教案
教学对象：大学数学专业学生教学目标：1. 理解函数对称性的概念，掌握函数关于直线、点对称的判定方法。
2. 能够运用函数对称性解决实际问题，提高数学思维能力。
3. 培养学生独立思考、分析问题、解决问题的能力。
教学重点：1. 函数对称性的概念及判定方法。
2. 函数关于直线、点对称的性质及在实际问题中的应用。
教学难点：1. 函数关于直线、点对称的判定方法。
2. 函数对称性在实际问题中的应用。
教学准备：1. 多媒体课件2. 练习题教学过程：一、导入1. 引导学生回顾高中数学中关于函数对称性的知识，如奇偶性、周期性等。
2. 提出问题：在大学数学中，函数的对称性问题有哪些特点？如何判定函数的对称性？二、讲解1. 函数对称性的概念：函数y=f(x)的图象关于某条直线或某一点对称，称为函数y=f(x)关于该直线或该点对称。
2. 函数关于直线对称的判定方法：（1）若函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称，则对于任意x∈R，有f(x)=f(2a-x)。
（2）若函数y=f(x)的图象关于直线y=b对称，则对于任意x∈R，有f(x)=b。
3. 函数关于点对称的判定方法：（1）若函数y=f(x)的图象关于点A(a,b)对称，则对于任意x∈R，有f(x)=2b-f(2a-x)。
（2）若函数y=f(x)的图象关于原点O对称，则对于任意x∈R，有f(x)=-f(-x)。
三、例题讲解1. 例1：已知函数f(x)=x^2-4x+3，求证：函数y=f(x)关于直线x=2对称。
2. 例2：已知函数f(x)=|x-1|，求证：函数y=f(x)关于点(1,0)对称。
四、练习1. 练习1：已知函数f(x)=x^3-3x，求证：函数y=f(x)关于直线x=1对称。
2. 练习2：已知函数f(x)=|x-2|+|x+2|，求证：函数y=f(x)关于点(0,4)对称。
五、总结1. 总结函数对称性的概念及判定方法。
2. 强调函数对称性在实际问题中的应用。
函数的对称特点教案
函数的对称特点教案教案标题：函数的对称特点教案教案目标：1. 了解函数的对称特点，包括奇函数和偶函数的定义和特征；2. 掌握判断一个函数是奇函数还是偶函数的方法；3. 能够通过函数的对称特点来简化问题的求解；4. 培养学生观察和分析问题的能力。
教学准备：1. 教师准备：投影仪，电脑，相关课件，教案和教学素材；2. 学生准备：课本、笔记本，铅笔和计算器。
教学过程：Step 1：引入新知识1. 教师通过将函数图像投影到白板上，向学生展示一些曲线的对称特点，引起学生对这个问题的思考。
2. 激发学生的学习兴趣，提出问题：“你有没有观察到某些曲线有某种特殊的对称性？你能用你的话解释一下吗？”3. 鼓励学生参与讨论，搜集学生的观点和想法。
Step 2：引入奇函数和偶函数1. 介绍奇函数和偶函数的定义和特点，以及奇函数和偶函数的图像特点。
- 奇函数：对于任意x，f(-x)=-f(x)；- 偶函数：对于任意x，f(-x)=f(x)。
2. 通过举例说明奇函数和偶函数的定义和特点，使用具体函数图像展示奇函数和偶函数的对称性。
Step 3：判断奇函数和偶函数1. 教师引导学生探究判断一个函数是奇函数还是偶函数的方法。
2. 教师提供一些函数，指导学生通过代入-x或关系式验证函数的对称特点。
3. 学生进行个人或小组讨论，完成相关练习。
Step 4：应用奇函数和偶函数的特点1. 教师提供一些问题或题目，引导学生通过使用奇函数和偶函数的特点简化问题的求解过程。
2. 学生与教师合作，共同探讨解决问题的方法，并进行相关练习。
Step 5：巩固和扩展1. 学生个人或小组完成练习册中与奇函数和偶函数相关的习题，巩固所学内容。
2. 将一些包含奇函数和偶函数的实际问题带入课堂，让学生运用函数的对称特点求解。
Step 6：总结与评价1. 教师进行课堂总结，回顾所学知识点，强调函数的对称特点在简化问题求解中的应用。
2. 学生对本节课内容进行自我评价，教师进行整体评价。
小学六年级数学教案函数的对称性与周期性
小学六年级数学教案函数的对称性与周期性小学六年级数学教案——函数的对称性与周期性对称性：函数图象存在的一种对称关系，包括点对称和线对称。
周期性：设函数的定义域是，若存在非零常数，使得对任何，都有且，则函数为周期函数，为的一个周期。
对称性和周期性是函数的两大重要性质，他们之间是否存在着内在的联系呢？本文就来研究一下它们之间的内在联系，有不足之处望大家批评指正。
一、一个函数关于两个点对称。
命题1：如果函数的图象关于点和点对称，那么函数是周期函数，为函数的一个周期。
证明：∵函数的图象关于点对称，对定义域内的所有成立。
又∵函数的图象关于点对称，对定义域内的所有成立。
从而即：是周期函数，为函数的一个周期。
特例：当时，为奇函数，即奇函数如果又关于点对称，那么函数是周期函数，为函数的一个周期。
命题：如果函数的图象关于两点和对称，那么：从而即：即：是周期函数，为函数的一个周期。
特例：当时，为奇函数，即奇函数如果又关于直线对称，那么函数是周期函数，为函数的一个周期。
命题：如果函数的图象关于点和直线对称，那么函数是周期函数，为函数的一个周期。
证明：∵函数的图象关于点对称，对定义域内的所有成立。
又∵函数的图象关于直线对称，对定义域内的所有成立。
从而即：即：是周期函数，为函数的一个周期。
三、一个函数如果关于两条线对称。
命题3：如果函数的图象关于直线和直线对称，那么函数是以为周期的周期函数。
证明：∵函数的图象关于直线对称，对定义域内的所有成立。
又∵函数的图象关于直线对称，对定义域内的所有成立。
从而即：是以为周期的周期函数。
函数对称的应用教案
函数对称的应用教案教案标题：函数对称的应用教案教案目标：1. 了解函数对称的概念及其应用；2. 掌握函数对称的判定方法；3. 能够应用函数对称解决实际问题。
教学重点：1. 函数对称的概念及其应用；2. 函数对称的判定方法。
教学难点：1. 函数对称的应用解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：PPT、教案、习题；2. 学生准备：笔记本、铅笔、橡皮。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过展示一幅对称图形的图片，引导学生思考对称的概念，并与函数对称进行关联。
二、概念讲解（10分钟）1. 教师通过PPT讲解函数对称的概念，包括轴对称和中心对称；2. 教师通过示例图形和函数图像，帮助学生理解函数对称的概念。
三、函数对称的判定方法（15分钟）1. 轴对称的判定方法：a. 函数表达式中仅含有偶次幂的项，且各项的系数对称；b. 函数图像关于y轴对称。
2. 中心对称的判定方法：a. 函数表达式中仅含有偶次幂的项，且各项的系数对称；b. 函数图像关于原点对称。
四、应用实例解析（15分钟）1. 教师通过实例分析，介绍函数对称在几何图形、物理问题等方面的应用；2. 学生通过小组合作讨论，解决给定的应用问题。
五、练习与巩固（10分钟）1. 学生个人完成教师提供的练习题；2. 学生互相交流答案，教师进行讲解。
六、拓展延伸（5分钟）1. 教师提供一些拓展问题，引导学生思考函数对称的更多应用场景；2. 学生进行思考和讨论，教师进行点评和引导。
七、总结与反思（5分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，强调函数对称的重要性和应用；2. 学生进行反思，提出问题和建议。
教学资源：1. PPT；2. 教案；3. 习题。
教学评估：1. 学生课堂参与度；2. 学生对函数对称概念的理解和应用能力；3. 学生在练习中的表现。
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函数图象的对称教案
【教学目标】1．让学生掌握函数关于点（或直线）的对称函数解析式的求法；
2．让学生了解函数图象的自对称和两函数图象之间的相互对称问题．
【教学重点】函数（或曲线）关于点（或直线）的对称问题的解法 【教学难点】自对称和相互对称的区别
【例题设置】例1、例2、例3（函数（或曲线）关于点（或直线）的对称问题的解法），
例4（函数的对称问题）
【教学过程】
一、函数关于点（或直线）的对称函数解析式的求法 〖例1〗 写出点),(y x M 关于下列直线或点对称的点的坐标
★ 点评：将点),(y x M 改为函数)(x f y =图象或曲线0),(=y x F 解法类似，其步骤大致如下：
将所求曲线上的任意一点(,)P x y ，求其关于点（或直线）的对称点(,)P x y '''，再将点P '的坐标代入原方程，即可得到所求的轨迹方程．
因此所有的对称问题最终都将归结为点的对称问题,只要记住对称点的写法,
问题便迎刃而解.
〖例2〗 已知函数31y x =+，则其关于原点对称的函数解析式为 ；关于直线1y x =+对称的函数解析式为 ．
当对称轴斜率为±1时，点坐标符合口诀：
x 用y 代，
y 用x 代．
答案：31y x =-；113
y x =+
〖例3〗 已知定义在[1,1]-上的奇函数()f x 的图象与函数()g x 的图象关于点(2,1)对称，且当34x ≤≤时，3()(4)2g x x =-+，求()f x 的解析式．
解：① 设(,)P x y （01x ≤≤）为()f x 的图象上的任意一点，则其关于点(2,1)的对称点(4,2)P x y '--（344x ≤-≤）必在()g x 的图象上，故32(44)2y x -=--+ ∴当01x ≤≤时，3()f x x =
② 当10x -≤<时，10x -≤<，且()f x 为奇函数 ∴33()()()f x f x x x =--=--= 综上所述， 3()f x x =．
〖例4〗 设函数()y f x =的定义域为R ，则下列命题中： ① 若()f x 为偶函数，则(2)y f x =+的图象关于y 轴对称；
② 若(2)y f x =+是偶函数，则()y f x =的图象关于直线2x =对称； ③ 若(2)(2)f x f x -=-，则()y f x =的图象关于直线2x =对称； ④ 若(2)(2)f x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线2x =对称； ⑤ (2)y f x =+与(2)y f x =-图象关于直线2x =对称． ⑥ (2)y f x =-与(2)y f x =-图象关于直线2x =对称． 其中正确命题的序号为： ． 答案：④⑥
★点评：其中注意④⑤的区别，(2)(2)f x f x +=-指的是()y f x =的图象自身的一种对称关系；而(2)y f x =+与(2)y f x =-是函数()f x 通过复合变换后得到的两个新的函数图象，要求的应是这两个函数图象的对称关系．
二、函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）
命题1：设函数()y f x =的定义域为D ，若对于一切的x D ∈，都有()()f a x f a x +=-，
则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称．
推 论：设函数()y f x =的定义域为D ，若对于一切的x D ∈，都有()()f a x f b x +=-，
则函数()y f x =的图象关于直线()()22
a x
b x a b
x ++-+=
=
对称．
命题2：设函数()y f x =的定义域为D ，若对于一切的x D ∈，都有()()f a x f a x +=--，
思考：
情形一中
x 的范围
是如何给
出的，为何
要限定其范围？
则函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称．
推 论：设函数()y f x =的定义域为D ，若对于一切的x D ∈，都有()()f a x f b x +=--，
则函数()y f x =的图象关于点(
,0)2
a b
+对称．
三、两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）
命题3：函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2b a
x -=
对称． 命题4：函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2
b a
-成中心对称．
下面只给出命题1的证明，其它命题及推论的证明类似．
证法一：由()()f a x f a x +=-知函数()f a x +为偶函数，其图象关于y 轴对称 另一方面，将()f a x +的图象向右（0a <）或向左（0a >）平移||a 个单位得到()f x 的图象，故函数()y f x =的图象关于直线x a =对称．
证法二：由()()f a x f a x +=-知点(,)P a x y +与点(,)Q a x y -都是函数()y f x =上的点，而P Q 、的中点为(,)M a y ，即点P Q 、关于直线x a =对称，由点P Q 、的任意性可知，函数()y f x =的图象关于直线x a =对称．
证法三：设点00(,)P x y 为函数()y f x =的图象上的任意一点，其关于直线x a =对称的点为00(2,)P a x y '-．
∵对于一切的x D ∈，都有()()f a x f a x +=-
∴0000(2)[()]()f a x f a a x f x y -=--==即点P '也在函数()y f x =的图象上 由点P 的任意性可知，函数()y f x =的图象关于直线x a =对称．
四、函数的周期性
命题5：设函数()y f x =的定义域为D ，若对于一切的x D ∈，都有()()f a x f x b +=+，
则函数()y f x =是以||T a b =-为周期的周期函数．
命题6：设函数()y f x =的定义域为D ，若对于一切的x D ∈，都有()()f a x f x b +=-+，
则函数()y f x =是以2||T a b =-为周期的周期函数．
【课堂小结】
1．所有的对称问题最终都将归结为点的对称问题，要牢记例1的结论；
2．给出的如果是函数自身的一个关系，则：若x前系数互为相反数，则是有关对称性；
若x前系数相同，则有关周期性．
3．自对称和相互对称的区别：第一类，是反映函数自身内部的对称关系；第二类中，
f x复合变换后得两个新的函数图象间的关系．
是研究由函数()
【教后反思】。