微分中值定理及其在不等式的应用

安阳师范学院本科学生毕业论文微分中值定理及其应用

作者张在

系（院）数学与统计学院

专业数学与应用数学

年级2008级

学号06081090

指导老师姚合军

论文成绩

日期2010年6月

学生诚信承诺书

本人郑重承诺：所成交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作即取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表的或撰写的研究成果，也不包括为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所需用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所作出的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。

签名：日期：

论文使用授权说明

本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。

签名：导师签名：日期

微分中值定理及其应用

张庆娜

（安阳师范学院 数学与统计学院, 河南 安阳455002）

摘 要：介绍了使用微分中值定理一些常见方法,讨论了洛尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理在证明中根的存在性、不等式、等式及判定级数的敛散性和求极限等方面的应用,最后通过例题体现微分中值定理在具体问题中的应用.

关键词：连续；可导；微分中值定理；应用

1 引言

人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在几何研究中,得到如下论：“抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德(Archimedes )正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积.

意大利卡瓦列里(Cavalieri ) 在《不可分量几何学》(1635年) 的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦,这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理.

人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之始就开始了.1637,著名法国数学家费马(Fermat ) 在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费马定理.1691年,法国数学家罗尔(Rolle ) 在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西(Cauchy ) ,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》 (1823年)、《微分计算教程》(1829年),以严格化为其主要目标,对微积分理论进行了重构.他首先赋予中值定理以重要作用,使其成为微分学的核心定理.在《无穷小计算教程概论》中,柯西首先严格地证明了拉格朗日定理,又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理—柯西定理.从而发现了最后一个微分中值定理.

近年来有关微分中值定理问题的研究非常活跃,且已有丰富的成果,相比之下,对有关中值定理应用的研究尚不是很全面.由于微分中值定理是高等数学的一个重要基本内容,而且无论是对数学专业还是非数学专业的学生,无论是研究生入学考试还是更深层次的学术研究,中值定理都占有举足轻重的作用,因此有关微分中值定理应用的研究显得颇为必要.

2 预备知识

由于微分中值定理与连续函数紧密相关,因此有必要介绍一些闭区间上连续函数的性质、定理.

定理2.1[1](有界性定理) 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上有界.即常数0M > ,使得x [,]a b 有|()|f x M ≤.

定理2.2（最大、最小值定理） 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上有最大值与最小值.

定理2.3（介值性定理） 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,且()()f a f b ≠.若μ为介于()f a 与()f b 之间的任意实数(()()f a f b μ<<或()()f b f a μ<<),则至少存在一点

0(,)x a b ∈使得

0()f x μ= .

定理2.4（根的存在定理） 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,且()f a 与()f b 异号（即()()0f a f b <）.则至少存在一点0(,)x a b ∈使

0()0f x =, 即方程()0f x =在开区间(,)a b 内至少有一个根.

定理 2.5（一致连续性定理） 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则()f x 在闭区间[,]a b 上一致连续.

定理 2.6 设区间1I 的右端点为1,c c I ∈；区间2I 的左端点也为2,c c I ∈（其中1I ,2I 可分别为有限或无限区间）.若()f x 分别在1I 和2I 上一致连续,则()f x 在12I I 上也一致连续.

定理 2.7（比较原则） 设n u ∑和n v ∑是两个正项级数,如果存在某正数N ,对一切

n N >都有

n n u v ≤,

则

（1）若级数n v ∑收敛,则级数n u ∑也收敛； （2）若级数n u ∑发散,则级数n v ∑也发散.

定理2.8 绝对收敛的级数一定收敛. 3 相关的几个重要定理

定理3.1（费马定理） 设函数()f x 在点0x 的某邻域内有定义,且在点0x 可导,若点0x 为()f x 的极值点,则必有

0()0f x '=.

定理3.2（罗尔中值定理） 若函数()f x 满足如下条件： （1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续； （2）()f x 在开区间(,)a b 内可导； （3）()()f a f b =,

则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得

()0f ξ'=.

定理3.3（拉格朗日中值定理） 若函数()f x 满足如下条件： （1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续； （2）()f x 在开区间(,)a b 内可导； 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得

()()

()f b f a f b a

ξ-'=-.

定理3.4（柯西中值定理） 若函数()f x ,()g x 满足如下条件： （1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 内可导； （3）()f x ',()g x '不同时为零； （4）()()g a g b ≠；

则在开区间(),a b 内存在一点ξ,使得