等比数列前n项和的证明方法
等比数列的前n项和数列总结
等比数列的前n 项和 一、等比数列的前n 项和公式 1．乘法运算公式法∵S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)＝a 1·1－q 1＋q ＋q 2＋…＋q n －11－q ＝a 11－q n1－q， ∴S n ＝a 11－q n1－q. 2．方程法 ∵S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －2)＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －1－a 1q n －1)＝a 1＋q (S n －a 1q n －1)，∴(1－q )S n ＝a 1－a 1q n .∴S n ＝a 11－q n1－q. 3．等比性质法∵{a n }是等比数列，∴a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝…＝a n a n －1＝q . ∴a 2＋a 3＋…＋a n a 1＋a 2＋…＋a n －1＝q ， 即S n －a 1S n －a n ＝q 于是S n ＝a 1－a n q 1－q ＝a 11－q n1－q. 二、等比数列前n 项和公式的理解(1)在等比数列的通项公式及前n 项和公式中共有a 1，a n ，n ，q ，S n 五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量．(2)当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 11－q n 1－q ，它可以变形为S n ＝－a 11－q ·q n ＋a 11－q ，设A ＝a 11－q，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A .由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．等比数列前n 项和性质（1）在等比数列{a n }中，连续相同项数和也成等比数列，即：S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…仍成等比数列．（2）当n 为偶数时，偶数项之和与奇数项之和的比等于等比数列的公比，即S 偶S 奇＝q . （3）若一个非常数列{a n }的前n 项和S n ＝－Aq n ＋A (A ≠0，q ≠0，n ∈N *)，则数列{a n }为等比数列，即S n ＝－Aq n ＋A ⇔数列{a n }为等比数列．题型一 等比数列前n 项和公式的基本运算（在等比数列{a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，a 1与q 是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a 1和q 表示a n 与S n ，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用；在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．）1、在等比数列{a n}中，(1)若S n＝189，q＝2，a n＝96，求a1和n；(2)若q＝2，S4＝1，求S8.2、设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q.题型二等比数列前n项和性质的应用3、一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项和为170，求出数列的公比和项数．4、等比数列{a n}中，若S2＝7，S6＝91，求S4.题型三等比数列前n项和的实际应用5、借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051)[规范解答] 方法一设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款a n元(1≤n≤6)，则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a，a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，……a6＝1.01a5－a＝……＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.由题意，可知a6＝0，即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，a＝1.016×1021.016－1.因为1.016＝1.061，所以a＝1.061×1021.061－1≈1 739.故每月应支付1 739元．方法二一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝a[1＋0.016－1]1.01－1＝a[1.016－1]×102(元)．由S1＝S2，得a＝1.016×1021.016－1. 以下解法同法一，得a≈1 739.故每月应支付1 739元．方法技巧错位相减法求数列的和若数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{a n b n}的各项乘以公比q，并向后错位一项与{a n b n}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．6、已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .数列归纳整合一、数列的概念及表示方法(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数．(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列．(4)a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2. 等差数列 等比数列性质 ①设{a n }是等差数列，若s ＋t ＝m ＋n ，则a s＋a t ＝a m ＋a n ；②从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列；③等差数列中连续m 项的和组成的新数列是等差数列，即：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…是等差数列 ①设{a n }是等比数列，若s ＋t ＝m ＋n ，则a s ·a t ＝a m ·a n ； ②从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列； ③等比数列中连续m 项的和组成的新数列是等比数列，即：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…是等比数列(注意：当q ＝－1且m 为偶数时，不是等比数列)函数特性 ①等差数列{an}的通项公式是n 的一次函数，即an ＝an ＋b(a≠0，a ＝d ，b ＝a1－d)； ②等差数列{an}的前n 项和公式是一个不含常数项的n 的二次函数，即Sn ＝an2＋bn(d≠0) ①等比数列{an}的通项公式是n 的指数型函数，即an ＝c·qn ，其中c≠0，c ＝a1q ； ②等比数列{an}的前n 项和公式是一个关于n 的指数型函数，即Sn ＝aqn －a(a≠0，q≠0，q≠1)三、等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＋1a n＝q (q 为常数，q ≠0)⇔{a n }是等比数列． (2)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }是等差数列；a n ＋12＝a n ·a n ＋2(a n ≠0)⇔{a n }是等比数列．(3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＝c ·q n (c ，q 为非零常数)⇔{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；S n ＝aq n －a (a ，q 为常数，且a ≠0，q ≠0，q ≠1，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．专题一 数列通项公式的求法数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究函数的性质，而有了数列的通项公式，便可求出数列中的任何一项及前n 项和．常见的数列通项公式的求法有以下几种：(1)观察归纳法求数列的通项公式就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与序号n 的内在联系，结合常见数列的通项公式，归纳出所求数列的通项公式．(2)利用公式法求数列的通项公式数列符合等差数列或等比数列的定义，求通项时，只需求出a 1与d 或a 1与q ，再代入公式a n ＝a 1＋(n －1)d 或a n ＝a 1q n －1中即可．(3)利用a n 与S n 的关系求数列的通项公式如果给出的条件是a n 与S n 的关系式，可利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2，先求出a 1＝S 1，再通过计算求出a n (n ≥2)的关系式，检验当n ＝1时，a 1是否满足该式，若不满足该式，则a n 要分段表示．(4)利用累加法、累乘法求数列的通项公式形如：已知a 1，且a n ＋1－a n ＝f (n )(f (n )是可求和数列)的形式均可用累加法；形如：已知a 1，且a n ＋1a n＝f (n )(f (n )是可求积数列)的形式均可用累乘法． (5)构造法(利用数列的递推公式研究数列的通项公式)若由已知条件直接求a n 较难，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差数列或等比数列，从而求出通项公式．1、已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋3n ＋2且a 1＝2，求a n .2、数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1n ＋2a n (n ∈N *)，求通项公式a n . 3、已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)，a 1＝1，求通项公式．4、设S n 为数列{a n }的前n 项的和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式． 专题二 数列求和求数列的前n 项和S n 通常要掌握以下方法：1、公式法：直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对等比数列q ≠1的讨论．2、错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．3、分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列再求和．4、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．5、倒序相加法：把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广)．1、求数列214，418，6116，…，2n ＋12n ＋1的前n 项和S n . 2、在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项的和． 3、求和S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n .专题三 数列的交汇问题数列是高中代数的重点内容之一，也是高考的必考内容及重点考查的范围，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识交汇进行命题．1、已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且 a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取值范围． 2、数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n 2·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1<c n .。
证明等比数列的方法
证明等比数列的方法
等比数列证明使用定义法，等比中项法，数学归纳法，和反证法四种都可以。
根据已知条件不同，可以选择不同的证明方法。
方法/步骤
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方法1：（定义法）若后项a(n+1)与前项a(n)之比为定值q，则数列是等比数列；
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方法2：（等比中项法）若前后三项关系满足：a(n)²=a(n-1)*a(n+1)，则数列是等比数列；
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方法3：（通项公式法）若数列通项公式类似于指数函数a(n)=m*q^(n)，则数列是等比数列；
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方法4：（前n项和特征法）若数列前n项和类似于函数S(n)=-A+A*q^(n)，则数列是等比数列；
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END
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注意事项
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1)我们把q
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2)S是表示无穷等比数列的所有项的.和，这种无限个项的和与有限个项的和从意义上来说是不一样的，S是前n项和
Sn当n→∞的极限，即S=a/(1-q)
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求数列前n项和8种的方法(史上最全)
求数列前n 项和8种的方法一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =时，1n S na =； （2）()1111nn a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论；3.可转化为等差、等比数列的数列；4.常用公式:（1）1nk k ==∑12123(1)n n n ++++=+；（2）21nk k ==∑222216123(1)(21)n n n n ++++=++；（3）31nk k ==∑33332(1)2123[]n n n +++++=；（4）1(21)n k k =-=∑2n 1)-(2n ...531=++++.例1 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21例2 设123n s n =++++，*n N ∈,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n∴ 1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n＝n n 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f .二.倒序相加法:如果一个数列{a n }，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。
求前N项和方法技巧及公式
求前N项和方法技巧及公式前N项和是指将一个数列的前N项相加得到的和。
计算前N项和可以使用不同的方法和技巧，包括数学公式、推导公式和逐项相加等。
一、数学公式法对于一些特定的数列，存在求前N项和的数学公式，可以直接使用这些公式计算前N项和，而无需逐项相加。
1.等差数列的前N项和公式对于等差数列，其通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
前N项和公式如下：Sn = (a1 + an) * N / 2 = N * (a1 + a1 + (N-1)d) / 2 = N *(2a1 + (N-1)d) / 22.等比数列的前N项和公式对于等比数列，其通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
前N项和公式如下：Sn=a1*(1-r^N)/(1-r)3.平方数序列的前N项和公式对于平方数序列，其通项公式为an = n^2，其中n为正整数。
前N项和公式如下：Sn=n*(n+1)*(2n+1)/6二、推导公式法对于一些特殊的数列，我们可以通过推导得到求前N项和的公式。
推导过程中可以使用数学归纳法、代数运算等方法。
1.等差数列的前N项和公式的推导设等差数列的首项为a，公差为d，第N项为an，则有：an = a + (N-1)dSn=a+(a+d)+(a+2d)+...+(a+(N-1)d)根据等差数列的性质，可以将Sn分为两部分：Sn=(a+(N-1)d)+(a+(N-2)d)+...+(a+d)+a将两式相加，可得：2Sn=(N*a)+(N*a+(N-1)*d)+...+((N-1)d+a)+(Nd)化简后得到等差数列的前N项和公式。
2.等比数列的前N项和公式的推导设等比数列的首项为a，公比为r，第N项为an，则有：an = a * r^(N-1)Sn=a+a*r+a*r^2+...+a*r^(N-1)Sn*r=a*r+a*r^2+...+a*r^N将两式相减Sn*(1-r)=a*(1-r^N)化简后得到等比数列的前N项和公式。
求数列前n项和的七种方法
求数列前N 项和的七种方法1. 公式法等差数列前n 项和：特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+g ，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论。
其他公式：1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n3、213)]1(21[+==∑=n n k S n k n[例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式）＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n （利用常用公式）∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ②（设制错位）①－②得n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{n n22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积 设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ……………………………② （设制错位）①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）∴ 1224-+-=n n n S 练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1解：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1 ①①两边同乘以x ，得x S n =x+5 x 2+9x 3+······+(4n -3)x n ② ①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+ x 2+x 3+······+ n x ）-（4n-3）x n当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n 当x ≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n) 1-x +1-（4n-3）x n ]3. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5] 求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得οοοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …② （反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ο ①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222οοοοοο++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5 4. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，…解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n（分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1( ∴ ∑=++=nk n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k k nk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得3211123nnnn k k k S k k k====++∑∑∑（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++22(1)(1)(21)(1)222n n n n n n n ++++=++ （分组求和）＝2)2()1(2++n n n练习：求数列•••+•••),21(,,813,412,211nn 的前n 项和。
等比数列及其前N项和
等比数列及其前N 项和1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)． 2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1. 3．等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列．5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q .6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n . 【知识拓展】 等比数列{a n }的单调性(1)满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }是递增数列．(2)满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }是递减数列．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧a 1≠0，q ＝1时，{a n }为常数列．(4)当q <0时，{a n }为摆动数列．1．(教材改编)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2 D.122．(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．843．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．644．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( )A ．2B ．1 C.12 D.18(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝________.(1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172(2)(2015·湖南)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________.题型二 等比数列的判定与证明例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． 引申探究若将本例中“S n ＋1＝4a n ＋2”改为“S n ＋1＝2S n ＋(n ＋1)”，其他不变，求数列{a n }的通项公式．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明：{a n ＋12}是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.题型三 等比数列性质的应用例3 (1)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝12，则S 9S 3＝________.(1)已知在等比数列{a n }中，a 1a 4＝10，则数列{lg a n }的前4项和等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1(2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18C.578D.55813．分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (12分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)．1．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7等于( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．8－4 22．(2016·珠海模拟)在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( ) A.32 B.23 C ．－23D.23或－233．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15*4.(2015·福建)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．95．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里6．(2016·铜仁质检)在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( )A.12B.32C ．1D ．－327．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2，3S 2＝a 3－2，则公比q ＝________.8．设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝________.9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N *)，则通项a n ＝________.10．已知数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10·b 11＝2，则a 21＝________.11．已知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和． (1)求a n 及S n ；(2)设{b n }是首项为2的等比数列，公比q 满足q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，求{b n }的通项公式及其前n 项和T n .12．(2016·全国丙卷)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0. (1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．13．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *. (1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ； (2)求T 2n .。
等比数列的前n项和公式的推导方法
等比数列是指一个数列中任意两个相邻的数之比都是一个常数，这个常数称为公比。
等比数列在数学中有着重要的地位，而等比数列的前n项和公式是研究等比数列的一个重要内容。
下面我们将围绕这个主题进行详细的探讨和推导。
一、等比数列的定义1. 一个数列{a1, a2, a3, ...}称为等比数列，如果存在一个常数r，使得对于任意正整数n，有an/an-1=r。
2. 等比数列的通项公式是an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
3. 2, 6, 18, 54, ...是一个等比数列，首项为2，公比为3。
二、等比数列的前n项和公式的推导1. 首先考虑公比r等于1的情况，此时等比数列就是一个普通的等差数列。
等差数列的前n项和公式是Sn = n*(a1+an)/2。
2. 当公比r不等于1时，我们来推导等比数列的前n项和公式。
3. 设等比数列的前n项和为Sn，则有Sn = a1 + a1*r + a1*r^2 + ... + a1*r^(n-1)。
4. 乘以公比r，得到r*Sn = a1*r + a1*r^2 + a1*r^3 + ... + a1*r^n。
5. 两式相减，得到(1-r)Sn = a1*(1-r^n)。
6. 可以解得Sn = a1*(1-r^n)/(1-r)，这就是等比数列的前n项和公式。
7. 对于等比数列2, 6, 18, 54, ...，首项a1=2，公比r=3，前5项和为S5 = 2*(1-3^5)/(1-3) = 242。
三、等比数列的前n项和公式的应用1. 等比数列的前n项和公式在实际问题中有着广泛的应用。
2. 在财务领域中，等比数列的前n项和公式可以用来计算贷款每期的偿还金额，以及计算存款的本利和。
3. 在工程领域中，等比数列的前n项和公式可用于计算复利增长，评估工程投资的收益情况。
4. 在数学建模中，等比数列的前n项和公式也是常用的工具，可以用来描述和解决许多实际问题。
四、总结等比数列的前n项和公式是等比数列重要的性质之一，它的推导和应用都具有重要的意义。
等比数列及前n项和
Sk , S2k Sk , S3k S2k , S4k S3k ,
(6）若数列 an 是等比数列,当项数为偶数 2 n
s qs 时，
偶
，
奇
; 当项数为奇数
时，
1．在等比数列{an}中，a5＝3，则a3·7等于( C ) a A．3 B．6 C．9 D．18
等比数列的前n项和及其性质
例3 (2011年南阳调研)在等比数列{an}中，a1最小， 且a1＋an＝66，a2·n－1＝128，前n项和Sn＝126， a (1)求公比q； (2)求n. 【思路点拨】 根据等比数列的性质，a2·n－1＝ a
a1·n，由此可得关于a1、an的方程，结合Sn＝126 a 可求得q和n.
二、等比数列的判定方法： an 1 （1）定义法： 常数 an
an
是等比数列 （2）等比中项公式法： n a
是等比数列 an
2
an1 an1
（3）通项公式法： n a 数列
kq an 是等比
n
（4）前n项和法：Sn
是等比数列
k kq an
x2 10x 16 0
的两根，则 a20 a50 a80 的值为（ B ）
A.32
B.64
C.256 D. 64
9.等比数列 {an } 的各项均为正数，且 a5a6 a4 a7 ＝18，
则
log3 a1 log3 a2 log3 a10
B．10
＝(
B
)
D．2＋ log3 5
等比数列及其前n项和
一、等比数列的定义与基本公式：
等比数列前n项和
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第二章 2.5 第2课时
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在等比数列{an}中，公比 q＝－2，S5＝22，则 a1 的值等于 ( ) A．－2 C．1 [ 答案] [ 解析] B．－1 D．2
D a1[1－－25] ∵S5＝22，q＝－2，∴ ＝22， 1－－2
∴a1＝2.
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[例3]
在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99
＝56，求a3＋a6＋a9＋„＋a99的值． [分析] 考虑通过基本量a1和q来处理或通过a3＋a6＋a9
＋„＋a99是前99项中的一组，与另两组联系在一起进行求 值．
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等比数列前n项和的性质
设{an}是任意等比数列，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X、Y、Z，则下列等式中恒成立的是 ( ) A．X＋Z＝2Y C．Y2＝XZ B．Y(Y－X)＝Z(Z－X) D．Y(Y－X)＝X(Z－X)
[ 答案]
D
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思考感悟
1．若一个数列是等比数列，它的前n项和写成Sn＝Aqn ＋B(q≠1)，则A与B有何关系？
提示：A＋B＝0， a11－qn a1 a1 n ∵Sn＝ ＝ － · q ，则常数项与qn的系数 1－q 1－q 1－q 互为相反数．
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第二章 2.5 第2课时
数列-等比数列的前n项和(30张)
思维启迪：讨论x的取值，根据x的取值情况，选择恰当方 法．
解析：(1)当x＝0时，an＝0，∴Sn＝0. nn＋1 (2)当x＝1时，an＝n，∴Sn＝ 2 .
(3)当x≠0且x≠1时， － Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋(n－1)xn 1＋nxn① － ＋ xSn＝x2＋2x3＋…＋(n－2)xn 1＋(n－1)xn＋nxn 1②
又∵a1≠0,1＋q2≠0， 1 1 3 ∴由②÷ ①，得q ＝8，即q＝2. 代入①，得a1＝8， 1 ∴a4＝8×23＝1. 1 8×1－25 31 S5＝ 1 ＝2. 1－2
类型二 用错位相减法求数列的前n项和 【例2】 求数列{nxn}的前n项和Sn.
2说方法· 分类探究 类型一 等比数列前n项和的基本计算 【例1】 在等比数列{an}中，已知Sn＝189，q＝2，an＝ 96，求a1和n.
思维启迪：已知an，Sn，q，可列方程组求a1和n.
a11－qn 解析：由Sn＝ 及an＝a1· qn－1， 1－q a11－2n 189＝ ，① 1 － 2 得 2n－1.② 96＝a1·
讲重点 等比数列前n项和公式的推导方法与应用 ①“错位相减法”是数列求和的重要方法，在以后的数列 求和问题中经常用到． ②利用公式求和时，若公比q不确定，要分两种情况讨论， 即q≠1与q＝1. ③在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a1，an， n，q，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量.
(2)若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0， q≠± 1)，则数列{an}是等比数列．推证过程如下： － 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(Aqn－A)－(Aqn 1－A)＝A(q－ 1)qn－1. an＋1 Aq－1qn 所以， a ＝ ＝q(n≥2)． Aq－1qn－1 n a2 又n＝1时，a1＝Aq－A，此时a ＝q. 1
等比数列的前n项和的公式
等比数列的前n项和的公式等比数列是指一个数列中任意两项的比相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an。
求等比数列的前n项和，可以使用以下两种方法。
方法一：求和公式Sn=a*(1-r^n)/(1-r)其中，Sn表示前n项和，a表示首项，r表示公比。
证明：首先，排除r=1的特殊情况，当公比为1时，等比数列就变成公差为0的等差数列，求和公式为Sn=n*a。
当r不等于1时，我们可以通过以下方法推导求和公式：1. 首先，将等比数列的前n项表示为：a，ar，ar^2，...，ar^(n-1)。
2. 求和公式为Sn = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1)。
3. 将公式的各项乘以公比r得到：ar，ar^2，ar^3，...，ar^n。
4. 两个公式相减得到：Sn - rSn = a - ar^n。
5.整理得到：Sn*(1-r)=a*(1-r^n)。
6.由此，得到求和公式：Sn=a*(1-r^n)/(1-r)。
这就是等比数列的前n项和公式。
方法二：逐项相加除了使用求和公式，我们还可以通过逐项相加求等比数列的前n项和。
逐项相加的过程如下：S1=aS2 = a + ar = a(1+r)S3 = a + ar + ar^2 = a(1+r+r^2)...Sn = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1) = a(1+r+r^2+...+r^(n-1))综上所述，等比数列的前n项和公式为：Sn=a*(1-r^n)/(1-r)(r不等于1)Sn=n*a(r等于1)以上是两种方法求解等比数列前n项和的公式，可以根据具体情况选择适用的方法进行计算。
等比数列前n项和公式
例2 在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q. 解 由题意，得若q＝1，
则S3＝3a1＝6，符合题意.
此时，q＝1，a3＝a1＝2.
若q≠1，则由等比数列的前n项和公式，
得 S3＝a111－－qq3＝211－－qq3＝6，
立方差公式： a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
求n和q.
解; a1an
a3an2
128aa11an
128 an 66
解得aa1n
2 又 64
Sn
a1 anq 1 q
126
q
2, n
6
或aa1n
64又 2
Sn
a1 anq 1 q
126
q
1 ，n 2
6
所以n 6, q 2或 1 2
12345
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q， Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”. 2.前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时 已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和.若a1，a3是方 程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝ 63 . 解析 ∵a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且{an}是递增数列， ∴a1＝1，a3＝4，则q＝2，
1×1－26 ∴S6＝ 1－2 ＝63.
3 达标检测
(2)在 14 与78之间插入 n 个数，组成所有项的和为787的等比数列，求此数列的 项数.
解 设此数列的公比为q(易知q≠1)，
78＝14qn＋1， 则787＝114－－q78q，
故此数列共有5项.
第1课时 等比数列的前n项和公式
首项、公比与末项 公式二
a11－－aqnqq≠1， Sn＝__n_a_1_q_＝__1________
注意点：(1)用等比数列前 n 和公式求和，一定要对该数列的公比 q＝1 和 q≠1 进行分类讨论；(2)公式一中的 n 表示的是所求数列的项数；(例
1×1－2n＋1 如 1＋2＋22＋…＋2n＝ 1－2 )；(3)公式二中的 an 在求和时，表示
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课堂小结
1.知识清单： (1)等比数列前n项和公式的推导. (2)等比数列前n项和公式的基本运算. (3)等比数列前n项和公式的结构特点. 2.方法归纳：公式法、错位相减法. 3.常见误区：等比数列前n项和公式中项数的判断易出错.
解得q＝－12， 故此数列共有 5 项. n＝3，
反思感悟 求等比数列的前n项和，要确定首项、公比、项数或首项、 末项、公比，应注意公比q＝1是否成立.
二、等比数列中与前n项和有关的基本运算
例2 在等比数列{an}中. (1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
解 由题意知aa1111＋＋qq＋＝q320＝，155，
解得aq1＝＝55，
a1＝180， 或q＝－56.
从而
Sn＝14×5n＋1－54或
1 Sn＝
080×111－－56n.
(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝54 ，求S5；
a1＋a1q2＝10， 解 方法一 由题意知a1q3＋a1q5＝54， 从而 S5＝a111－－qq5＝321. 方法二 由(a1＋a3)q3＝a4＋a6， 得 q3＝18，从而 q＝12. 又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10， 所以a1＝8， 从而 S5＝a111－－qq5＝321.
延伸探究 1.若将本题改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，
等比数列的判定
由 a1>0，an＋1＝
，知 an>0.若 an＋1>an，则
<a ，
2an＋1
an＋1 n
1
1n
1
1n－1
即a －1×3 ＋1<a －1×3
＋1
1
1
对一切 n∈N*都成立，
1
化简得 －1>0，又 a1>0，故 0<a1<1.故 a1 的取值范围是(0，1)．
＝2an＋1－an＝2d，∴{2an}为
2an
an＋1
等比数列；若数列{an}为等比数列，设其公比为 q，则 lg an＋1－lg an＝lg
＝lg q，
an
∴{lg an}为等差数列．
3．(2020·课标全国Ⅱ，理)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若 ak＋1＋ak＋2＋…
＋ak＋10＝215－25，则 k＝(
(1)求证：{an＋1}为等比数列；
(2)求数列{Sn}的前 n 项和 Tn.
解析
(1)证明：当 n＝1 时，S1＝a1＝2a1－1，解得 a1＝1.
因为 Sn＝2an－n，① 所以 Sn－1＝2an－1－(n－1)，n≥2，②
①－②得 an＝2an－2an－1－1，整理得 an＝2an－1＋1，
an＋1
A．2
解析
B．3
C
)
C．4
D．5
an＋1
在等式 am＋n＝aman 中，令 m＝1，可得 an＋1＝ana1＝2an，∴ a ＝2，
n
∴数列{an}是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，则 an＝2×2n－1＝2n，
ak＋1·（1－210） 2k＋1·（1－210）
等比数列的通项与前n项和
等比数列的通项与前n项和等比数列是指从第二个数开始，每个数都是前一个数与一个固定比例的乘积。
通常用字母a表示首项，q表示公比，那么等比数列的通项公式可以表示为an=a1*q^(n-1)。
前n项和公式可以表示为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。
等比数列的通项与前n项和在数学中有着广泛的应用，下面将对其计算方法进行详细介绍。
一、等比数列的通项求解对于等比数列的通项公式an=a1*q^(n-1)，我们可以通过已知的首项a1和公比q，来求解任意项的值。
以求解第n项an为例，假设我们已知等比数列的首项a1和公比q，则可以利用公式an=a1*q^(n-1)进行计算。
其中，n为所求项的位置。
例如，如果首项a1=2，公比q=3，我们想要求解第5项的值an。
根据通项公式可得：a5 = a1*q^(5-1) = 2*3^(5-1) = 2*3^4 = 162因此，等比数列的第5项的值为162。
二、等比数列的前n项和求解等比数列的前n项和可由前n项的通项公式进行计算。
前n项和公式为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，其中a1为首项，q为公比。
以求解前5项和Sn为例，假设等比数列的首项a1=2，公比q=3，则可以利用公式Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)进行计算。
我们要求解的是前5项和，即n=5。
代入公式可以得到：S5 = a1*(1-q^5)/(1-q) = 2*(1-3^5)/(1-3) = 2*(-242)/(2) = -242因此，等比数列的前5项和为-242。
综上所述，等比数列的通项与前n项和可以通过相应的公式进行计算。
知道了等比数列的首项和公比，我们就能得到任意项的值以及前n 项的和。
求数列前n项和的七种方法
求数列前N 项和的七种方法1. 公式法等差数列前n 项和：特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论。
其他公式：1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n3、213)]1(21[+==∑=n n k S nk n[例1]已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式）＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 [例2]设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得)1(21+=n n S n ，)2)(1(211++=+n n S n （利用常用公式） ∴1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴当88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列.[例3]求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=……………………….②（设制错位） ①－②得n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4]求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ……………………………②（设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）∴1224-+-=n n n S练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1解：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1① ①两边同乘以x ，得xS n =x+5x 2+9x 3+······+(4n -3)x n ②①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+x 2+x 3+······+nx ）-（4n-3）x n当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n 当x ≠1时，S n =11-x [4x(1-xn)1-x +1-（4n-3）x n]3. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5]求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S ………….①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …②（反序）又因为1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴S ＝44.54. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例6]求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，…解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn +（分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例7]求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1( ∴∑=++=nk n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k k nk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得3211123nnnn k k k S k k k ====++∑∑∑（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++22(1)(1)(21)(1)222n n n n n n n ++++=++（分组求和）＝2)2()1(2++n n n练习：求数列∙∙∙+∙∙∙),21(,,813,412,211nn 的前n 项和。
等比数列及其前n项和
等比数列及其前n 项和1.等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0). 2.等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1(a 1≠0，q ≠0).3.等比中项如果在a 与b 中插入一个数G ，使得a ，G ，b 成等比数列，那么根据等比数列的定义，G a ＝b G ，G 2＝ab ，G ＝±ab ，称G 为a ，b 的等比中项. 4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N ＋).(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列.5.等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q .6.等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n . 概念方法微思考1.将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？提示 仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数. 2.任意两个实数都有等比中项吗？提示 不是.只有同号的两个非零实数才有等比中项.3.“b 2＝ac ”是“a ，b ，c ”成等比数列的什么条件？提示 必要不充分条件.因为b 2＝ac 时不一定有a ，b ，c 成等比数列，比如a ＝0，b ＝0，c ＝1.但a ，b ，c 成等比数列一定有b 2＝ac .题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N ＋，q 为常数)的数列{a n }为等比数列.( × )(2)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列.( × ) (3)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列.( × ) (4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( × )(5)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列.( × ) 题组二 教材改编2.已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝______.答案 12解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12.3.公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( ) A.8 B.9 C.10 D.11 答案 C解析 由题意得，2a 5a 6＝18，a 5a 6＝9，∴a 1a m ＝a 5a 6＝9，∴m ＝10.题组三 易错自纠4.若1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值为________.答案 －12解析 ∵1，a 1，a 2,4成等差数列， ∴3(a 2－a 1)＝4－1，∴a 2－a 1＝1.又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ，则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2>0，∴b 2＝2，∴a 1－a 2b 2＝－(a 2－a 1)b 2＝－12. 5.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.答案 －11解析 设等比数列{a n }的公比为q ， ∵8a 2＋a 5＝0，∴8a 1q ＋a 1q 4＝0. ∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，∴S 5S 2＝a 1(1－q 5)1－q ·1－q a 1(1－q 2)＝1－q 51－q 2＝1－(－2)51－4＝－11. 6.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB ，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8 GB.(1 GB ＝210 MB) 答案 39解析 由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{a n }，且a 1＝2，q ＝2，∴a n ＝2n ，则2n ＝8×210＝213，∴n ＝13. 即病毒共复制了13次. ∴所需时间为13×3＝39(秒).题型一 等比数列基本量的运算1.(2019·宿州模拟)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( )A.18B.12 C.1 D.2 答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 由题意知a 3a 5＝4(a 4－1)＝a 24， 则a 24－4a 4＋4＝0，解得a 4＝2， 又a 1＝14，所以q 3＝a 4a 1＝8，即q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12.2.(2018·全国Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a3.(1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m . 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n－1或a n ＝2n －1(n ∈N ＋).(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n3.由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解. 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1.由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.思维升华 (1)等比数列的通项公式与前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，q ，n ，S n ，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).(2)运用等比数列的前n 项和公式时，注意对q ＝1和q ≠1的分类讨论. 题型二 等比数列的判定与证明例1 已知数列{a n }满足对任意的正整数n ，均有a n ＋1＝5a n －2·3n ，且a 1＝8. (1)证明：数列{a n －3n }为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)记b n ＝a n3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)因为a n ＋1＝5a n －2·3n ，所以a n ＋1－3n ＋1＝5a n －2·3n －3n ＋1＝5(a n －3n )，又a 1＝8，所以a 1－3＝5≠0，所以数列{a n －3n }是首项为5、公比为5的等比数列. 所以a n －3n ＝5n ， 所以a n ＝3n ＋5n .(2)由(1)知，b n ＝a n 3n ＝3n ＋5n3n ＝1＋⎝⎛⎭⎫53n ， 则数列{b n }的前n 项和T n ＝1＋⎝⎛⎭⎫531＋1＋⎝⎛⎭⎫532＋…＋1＋⎝⎛⎭⎫53n ＝n ＋53⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫53n 1－53＝5n ＋12·3n ＋n －52.思维升华 判定一个数列为等比数列的常见方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 是不为零的常数)，则数列{a n }是等比数列；(2)等比中项法：若a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N ＋，a n ≠0)，则数列{a n }是等比数列； (3)通项公式法：若a n ＝Aq n (A ，q 是不为零的常数)，则数列{a n }是等比数列.跟踪训练1 (2018·黄山模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2， 有a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2. ∴a 2＝5， ∴b 1＝a 2－2a 1＝3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2(n ≥2)， ②①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2). ∵b n ＝a n ＋1－2a n ， ∴b n ＝2b n －1(n ≥2)，故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列. (2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34， 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列.∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14， 故a n ＝(3n －1)·2n －2.题型三 等比数列性质的应用例2 (1)已知数列{a n }是等比数列，若a 2＝1，a 5＝18，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n ∈N ＋)的最小值为( ) A.83 B.1 C.2 D.3 答案 C解析 由已知得数列{a n }的公比满足q 3＝a 5a 2＝18，解得q ＝12，∴a 1＝2，a 3＝12，故数列{a n a n ＋1}是以2为首项，公比为a 2a 3a 1a 2＝14的等比数列，∴a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1＝2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n1－14＝83⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n∈⎣⎡⎭⎫2，83，故选C.(2)设等比数列{a n}的前n项和为S n，S2＝－1，S4＝－5，则S6等于()A.－9B.－21C.－25D.－63答案 B解析因为S2＝－1≠0，所以q≠－1，由等比数列性质得S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，即－1×(S6＋5)＝(－5＋1)2，所以S6＝－21，故选B.思维升华等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形.(2)等比中项的变形.(3)前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.跟踪训练2(1)等比数列{a n}各项均为正数，a3a8＋a4a7＝18，则1＋2＋…＋10＝________.答案20解析由a3a8＋a4a7＝18，得a4a7＝9所以1＋2＋…＋10＝)a1a2 (10))a1a105＝)a4a75＝5＝2log3310＝20.(2)(2018·新乡模拟)已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S3S6＝89，则a n＋1a n－a n－1＝________(n≥2，且n∈N).答案－12解析很明显等比数列的公比q≠1，则由题意可得，S3S6＝a1()1－q31－qa1()1－q61－q＝11＋q3＝89，解得q ＝12，则a n ＋1a n －a n －1＝a n －1q 2a n －1q －a n －1＝q 2q －1＝1412－1＝－12.等差数列与等比数列关于等差(比)数列的基本运算在高考试题中频繁出现，其实质就是解方程或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件.例1 已知等差数列{a n }的首项和公差均不为0，且满足a 2，a 5，a 7成等比数列，则a 3＋a 6＋a 11a 1＋a 8＋a 10的值为( )A.1314B.1213C.1112D.13 答案 A解析 已知等差数列{a n }的首项和公差均不为0，且满足a 2，a 5，a 7成等比数列，∴a 25＝a 2a 7，∴(a 1＋4d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，∴10d 2＝－a 1d ，∵d ≠0，∴－10d ＝a 1，∴a 3＋a 6＋a 11a 1＋a 8＋a 10＝3a 1＋17d 3a 1＋16d ＝－30d ＋17d －30d ＋16d ＝1314.例2 已知{a n }为等比数列，数列{b n }满足b 1＝2，b 2＝5，且a n (b n ＋1－b n )＝a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为( ) A.3n ＋1 B.3n －1 C.3n 2＋n 2D.3n 2－n 2答案 C解析 ∵b 1＝2，b 2＝5，且a n (b n ＋1－b n )＝a n ＋1， ∴a 1(b 2－b 1)＝a 2，即a 2＝3a 1， 又数列{a n }为等比数列， ∴数列{a n }的公比为q ＝3， ∴b n ＋1－b n ＝a n ＋1a n＝3，∴数列{b n }是首项为2，公差为3的等差数列，∴数列{b n }的前n 项和为S n ＝2n ＋n (n －1)2×3＝3n 2＋n2.故选C.1.(2018·重庆巴蜀中学月考)已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3a 7＝16，则该数列的公比为( ) A.±2 B. 2 C.±2 D.2 答案 A解析 根据等比数列的性质可得a 3·a 7＝a 25＝a 21·q 8＝q 8＝16＝24，所以q 2＝2，即q ＝±2，故选A.2.已知递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6等于( )A.93B.189C.18916 D.378答案 B解析 设数列{a n }的公比为q ，由题意可知，q >1， 且2()a 2＋2＝a 1＋1＋a 3， 即2×()6＋2＝6q ＋1＋6q ，整理可得2q 2－5q ＋2＝0， 则q ＝2⎝⎛⎭⎫q ＝12舍去， 则a 1＝62＝3，∴数列{a n }的前6项和S 6＝3×()1－261－2＝189.3.(2018·马鞍山质检)等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为( )A.13B.－13C.19D.－19 答案 B解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋r ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32n －1－32n －3＝32n －3(32－1)＝8·32n －3＝8·32n －2·3－1＝83·9n －1， 所以3＋r ＝83，即r ＝－13，故选B.4.已知等比数列{a n }的公比为－2，且S n 为其前n 项和，则S 4S 2等于( )A.－5B.－3C.5D.3 答案 C解析 由题意可得，S 4S 2＝a 1[1－(－2)4]1－(－2)a 1[1－(－2)2]1－(－2)＝1＋(－2)2＝5. 5.(2019·郑州模拟)古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据问题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为( ) A.10 B.9 C.8 D.7 答案 C解析 设该女子第一天织布x 尺， 则x (1－25)1－2＝5，解得x ＝531，所以前n 天织布的尺数为531(2n －1)，由531(2n －1)≥30，得2n ≥187，解得n 的最小值为8. 6.若正项等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝22n (n ∈N ＋)，则a 6－a 5的值是( ) A. 2 B.－16 2 C.2 D.16 2答案 D解析 设正项等比数列{a n }的公比为q >0， ∵a n a n ＋1＝22n (n ∈N ＋)，∴a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝22(n ＋1)22n ＝4＝q 2，解得q ＝2，∴a 2n ×2＝22n，a n >0，解得a n ＝2122n -，则a 6－a 5＝1192222-＝162，故选D.7.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2 018，a 2＋a 4＝－2a 3，则S 2 019＝________. 答案 2 018解析 ∵a 2＋a 4＝－2a 3，∴a 2＋a 4＋2a 3＝0，a 2＋2a 2q ＋a 2q 2＝0， ∴q 2＋2q ＋1＝0，解得q ＝－1.∵a 1＝2 018，∴S 2 019＝a 1(1－q 2 019)1－q ＝2 018×[1－(－1)2 019]2＝2 018.8.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”.若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________.答案132解析 由题意，得正方形的边长构成以22为首项，以22为公比的等比数列，现已知共得到1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n －1＝1 023，∴n ＝10，∴最小正方形的边长为22×⎝⎛⎭⎫229＝132. 9.已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1＝12，且a 2a 8＝2a 5＋3，则a 9＝________.答案 18解析 ∵a 2a 8＝2a 5＋3，∴a 25＝2a 5＋3， 解得a 5＝3(舍负)，即a 1q 4＝3， 则q 4＝6，a 9＝a 1q 8＝12×36＝18.10.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3a 11＝2a 25，且S 4＋S 12＝λS 8，则λ＝________. 答案 83解析 ∵a 3a 11＝2a 25，∴a 27＝2a 25，∴q 4＝2，∵S 4＋S 12＝λS 8，∴a 1(1－q 4)1－q ＋a 1(1－q 12)1－q ＝λa 1(1－q 8)1－q ，1－q 4＋1－q 12＝λ(1－q 8)， 将q 4＝2代入计算可得λ＝83.11.(2018·全国Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由；(3)求{a n }的通项公式.解 (1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)na n ， 将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4.将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12.从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列.由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a n n， 即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列.(3)由(2)可得a n n＝2n －1， 所以a n ＝n ·2n －1. 12.已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N ＋. (1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 b 1＝a 2－a 1＝1.当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n 2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1， ∴{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列. (2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1， 当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝⎛⎭⎫－12＋…＋⎝⎛⎭⎫－12n －2 ＝1＋1－⎝⎛⎭⎫－12n －11－⎝⎛⎭⎫－12 ＝1＋23⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n －1 ＝53－23⎝⎛⎭⎫－12n －1.当n ＝1时，53－23×⎝⎛⎭⎫－121－1＝1＝a 1， ∴a n ＝53－23⎝⎛⎭⎫－12n －1(n ∈N ＋).13.等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，前n 项和为S n ，则当n ∈N ＋时，S n －1S n的最大值与最小值的比值为( )A.－125B.－107C.109D.125答案 B解析 ∵等比数列{a n }的首项为32，公比为－12， ∴a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1， ∴S n ＝32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1－⎝⎛⎭⎫－12＝1－⎝⎛⎭⎫－12n . ①当n 为奇数时，S n ＝1＋⎝⎛⎭⎫12n 随着n 的增大而减小，则1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤56； ②当n 为偶数时，S n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n 随着n 的增大而增大，则34＝S 2≤S n <1，故－712≤S n －1S n<0. ∴S n －1S n 的最大值与最小值的比值为56－712＝－107. 14.(2018·皖南八校联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋1－2，b n ＝log 2(a 2n ·2n a)，数列{b n }的前n 项和为T n ，则满足T n >1 024的最小n 的值为________.答案 9解析 由数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋1－2， 则当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2－2n ＋2＝2n ， a 1＝S 1＝2，满足上式，所以b n ＝log 2(a 2n ·2n a )＝log 2a 2n ＋log 22n a＝2n ＋2n ， 所以数列{b n }的前n 和为T n ＝n (2＋2n )2＋2(1－2n )1－2＝n (n ＋1)＋2n ＋1－2， 当n ＝9时，T 9＝9×10＋210－2＝1 112>1 024，当n ＝8时，T 8＝8×9＋29－2＝582<1 024，所以满足T n >1 024的最小n 的值为9.15.已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T n >1的n 的最小值为( )A.4B.5C.6D.7答案 C解析 ∵{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 2a 4＝a 3，∴a 23＝a 3，∴a 3＝1.又∵q >1，∴a 1<a 2<1，a n >1(n >3)，∴T n >T n －1(n ≥4，n ∈N ＋)，T 1<1，T 2＝a 1·a 2<1，T 3＝a 1·a 2·a 3＝a 1a 2＝T 2<1，T 4＝a 1a 2a 3a 4＝a 1<1，T 5＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝a 53＝1，T 6＝T 5·a 6＝a 6>1，故n 的最小值为6，故选C.16.在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“扩展”.将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2；….设第n 次“扩展”后得到的数列为1，x 1，x 2，…，x t ,2，并记a n ＝log 2(1·x 1·x 2·…·x t ·2)，其中t ＝2n －1，n ∈N ＋，求数列{a n }的通项公式.解 a n ＝log 2(1·x 1·x 2·…·x t ·2)，所以a n ＋1＝log 2[1·(1·x 1)·x 1·(x 1·x 2)·…·x t ·(x t ·2)·2]＝log 2(12·x 31·x 32·x 33·…·x 3t ·22)＝3a n －1， 所以a n ＋1－12＝3⎝⎛⎭⎫a n －12， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12是一个以32为首项，以3为公比的等比数列， 所以a n －12＝32×3n －1，所以a n ＝3n ＋12.。
等比数列前n项和公式的七种推导方法
等比数列前n项和公式的七种推导方法
等比数列前n项和是指一组等比数列a_0,a_1,a_2···a_n的前n项之和.它是由等比数列理论
中关于数列前n项和及其计算方法而定义的重要概念.关于等比数列前n项和公式可利用
以下七种方法推导出来.
首先，可以利用求和符号推导法来推导等比数列前n项和公式，即a_0+a_1+a_2+a_3+…+
a_n=(a_0+a_n)(1+q+q^2+…+q^(n-1)) ，其中q表示等比数列的公比。
其次，利用数论中的规律性推导法可推导出等比数列前n项和公式，即a_0+a_1+…+
a_n=(a_n-a_0+a_0)/(1-q) *(1-q^n) 。
再者，递推证明可以推导出等比数列前2项和公式，即a_0+a_1=(a_0+a_1)q 。
从而推导出
a_0+a_1+…+ a_n=a_n(1-q^(n+1))/(1-q).
此外，可以利用比较法、占位法、归纳法、变化法等其他的推导方法来证明等比数列前n 项和公式.
此外，特殊情况下，当q为1时，a_0+a_1+…+ a_n=a_0+a_1+…+ a_n=n*a_0(n+1)/2 ,当q
为-1时，a_0+a_1+…+ a_n=(-a_0+a_n)n/2。
最后，可使用其他技术，如雅可比自然迭代方法和高等数学技术推导法等可推导出等比数
列前n项和公式。
以上就是对于等比数列前n项和公式的七种推导方法的介绍，总结起来有求和符号推导法、数论规律性推导、递推证明与比较法、占位法、归纳法、变化法及雅可比自然迭代方法和
高等数学技术推导法等七种方法。