模块检测A

模块检测A

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(每小题5分，共50分)

1.已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( ) A. 5 B.2 C. 3

D.2

解析 结合图形，用a 表示出点M 的坐标，代入双曲线方程得出a ，b 的关系，进而求出离心率.不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°， ∴M 点的坐标为(2a ，3a ). ∵M 点在双曲线上， ∴4a 2a 2－3a 2

b 2＝1，a ＝b ， ∴

c ＝2a ，e ＝c

a ＝ 2.故选D. 答案 D

2.极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎨⎧x ＝－1－t ，

y ＝2＋3t (t 为参数)所表示的图形分别是

( ) A.圆、直线 B.直线、圆 C.圆、圆

D.直线、直线

解析 由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ， 所以x 2＋y 2＝x ， 即⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －122＋y 2＝1

4，

它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫

12，0为圆心，以12为半径的圆.由x ＝－1－t 得t ＝－1－x ，所以y ＝2

＋3t ＝2＋3(－1－x )＝－3x －1，表示直线. 答案 A

3.在同一坐标系中，将曲线y ＝3sin 2x 变为曲线y ′＝sin x ′的伸缩变换是( ) A.⎩

⎪⎨⎪

⎧x ＝2x ′y ′＝13y ′

B.⎩⎪⎨⎪

⎧x ′＝2x y ′＝13y C.⎩

⎨⎧x ＝2x ′y ′＝3y ′

D.⎩

⎨⎧x ′＝2x y ′＝3y 解析 设⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ＞0，

y ′＝μy ，μ＞0则μy ＝sin λx .

即y ＝1

μsin λx

比较y ＝3sin α与y ＝1μsin λx ，则有1

μ＝3，λ＝2.

∴μ＝1

3，λ＝2，∴⎩⎨⎧x ′＝2x y ′＝13y

.

答案 B

4.设点P 对应的复数为－3＋3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为( ) A.⎝ ⎛

⎭⎪⎫32，34π B.⎝ ⎛

⎭⎪⎫－32，54π C.⎝ ⎛

⎭⎪⎫3，54π

D.⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－3，34π 答案 A

5.在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点⎝ ⎛

⎭⎪⎫4，π6作曲线C 的切线，则

切线长为( ) A.4

B.7

C.2 2

D.23

解析 ρ＝4sin θ化为普通方程x 2＋(y －2)2＝4，点⎝ ⎛

⎭

⎪⎫4，π6化为直角坐标为(23，

2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理： 切线长＝（23）2＋（2－2）2－22＝2 2.

答案 C

6.柱坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，1对应的点的直角坐标是( ) A.(3，－1，1) B.(3，1，1) C.(1，3，1)

D.(－1，3，1)

解析 由直角坐标与柱坐标之间的变换公式 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，可得⎩⎪⎨⎪

⎧x ＝1，y ＝3，z ＝1. 答案 C

7.直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4

5t ，y ＝－9＋35t (t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝2cos θ，

y ＝2sin θ

(θ为参数)的位置关系是(

)

A.相离

B.相切

C.过圆心

D.相交不过圆心

解析 把直线与圆的参数方程化为普通方程分别为3x －4y －36＝0，x 2＋y 2＝4，得到圆的半径为2，圆心为(0，0)，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可判断出直线和圆的位置关系. 答案 A

8.把方程xy ＝1化为以t 为参数的参数方程是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 12y ＝t －1

2

B.⎩⎪⎨⎪

⎧x ＝sin t y ＝1sin t C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝1cos t

D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝1tan t

解析 xy ＝1，x 取非零实数，而A ，B ，C 中的x 的范围有各自的限制. 答案 D

9.已知双曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝4tan θ (θ为参数)，在下列直线的参数方程中： ①⎩

⎨⎧x ＝－3t ，

y ＝4t ； ②⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3

2t ，y ＝1－12t ；

③⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35t ，y ＝－45t ；④⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2

2t ，

y ＝1＋22t ；

⑤⎩⎨⎧x ＝3＋3t ，

y ＝－4－4t (以上方程中，t 为参数)，可以作为双曲线C 的渐近线方程的是( ) A.①⑤ B.①③⑤ C.①②④

D.②④⑤

解析 由双曲线的参数方程知，在双曲线中对应a ＝3，b ＝4且双曲线的焦点在x 轴上，因此渐近线方程是y ＝±4

3x .检验所给的直线的参数方程可知只有①③⑤符合条件. 答案 B

10.曲线⎩⎨⎧x ＝－2＋5t ，

y ＝1－2t (t 为参数)与坐标轴的交点是( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25、⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0

B.⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，15、⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 C.(0，－4)、(8，0)

D.⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，59、(8，0) 解析 当x ＝0时，t ＝25，而y ＝1－2t ，即y ＝15，得与y 轴的交点为⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，15；

当y ＝0时，t ＝12，而x ＝－2＋5t ，即x ＝12，得与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫

12，0.

答案 B

二、填空题(每小题5分，共25分)