2014中考数学总复习专题7动点问题

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【自主解答】 ( 1) ∵将△A O D 沿 A D 翻折, 使 O 点落在 A B 边上的 E 点处, ∴∠O A D = ∠E A D = 45°, D E= O D . ∴O A = O D . ∵O A = 2, ∴O D = 2. ∴D 点坐标是( 2, 0) , D E = O D = 2, ∴E 点坐标是(2, 2) . 故答案为: ( 2, 0) , (2, 2) .
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【解析】 ( 1) 在菱形 A B C D 中, ∵A C ⊥B D , ∴A D =
302 402 = 50.
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∴菱形 A B C D 的周长为 200. ( 2) 过点 M 作 M P ⊥A D , 垂足为点 P . ①当 0< t ≤40 时, ∵s i n ∠O A D =
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例2
(2013·漳州中考)如图, 在平面直角坐标系中, 矩形 O A B C 的边
O A = 2, O C = 6, 在 O C 上取点 D 将△A O D 沿 A D 翻折, 使 O 点落在 A B 边上的 E 点处, 将一个足够大的直角三角板的顶点 P 从 D 点出发沿线段 D A →A B 移动, 且 一直角边始终经过点 D , 另一直角边所在直线与直线 D E , B C 分别交于点 M , N. ( 1) 填空: D 点坐标是( , ) , E 点坐标是( , ) ;
2.
∵直线 O E 的解析式为:y= x, 依题意得 M N ∥O E , ∴设 M N 的解析式为 y= x+ b . 而 D E 的解析式为 x= 2, B C 的解析式为 x = 6, ∴M (2, 2+ b ), N (6, 6+ b ), CM =
4 2 (2 b) 2 , C N = 6+ b , M N= 4 2.
图4 ∴C Q = O P . ∴at - 4= t , a= 1+ . t的取值范围是 0< t ≤8.
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②当△O P M ~ △O B A 时( 如图 5) ,
t OM OP OM 则 OB OA ∴ 4 7 8 ,
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∴O M =
2 7 . 又∵Q B ∥O P , 7 t
QB BM ∴△B Q M ~ △O P M , ∴ OP OM ,
图5
12 at t ∴
4 7
2 7 7 2 7 , t 7
4 ≤8. t . t的取值范围是 6≤t
整理得 t - at = 2, ∴a= 1-
2 4 综上所述: a= 1+ t ( 0< t ≤8) 或 a= 1- t ( 6≤t ≤8) .
30
90 = 5
18.
NF 24 ∴O F = 12, ∴t an∠N O D = OF = 12 = 2
作∠N O D 的平分线交 N F 于点 G , 过点 G 作 G H ⊥O N 于点 H . ∴S△O N F = ∴ FG
1 2
O F ·N F = S△O G N + S△O F G = O F ·F G + O N ·G H = ( O F+ O N ) ·F G
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(2)存在点 M 使△C M N 为等腰三角形, 理由如下: 由翻折可知四边形 A O D E 为正方形, 过 M 作 M H ⊥B C 于 H . ∵∠P D M = ∠P M D = 45°, 则∠N M H = ∠M N H = 45°, N H = M H = 4, M N= 4
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1. (2013·龙岩中考)如图, 四边形 A B C D 是菱形, 对角线 A C 与 B D 交于点 O , 且 A C = 80, B D = 60. 动点 M 、N 分别以每秒 1 个单位的速度从点 A 、D 同时出发, 分别沿 A O D 和 D O A 运动, 当点 N 到达点 A 时, M、 N 同时停止运动. 设运动时间 为 t 秒. ( 1) 求菱形 A B C D 的周长; ( 2) 记△D M N 的面积为 S, 求 S 关于 t的 解析式, 并求 S 的最大值; ( 3) 当t = 30 秒时, 在线段 O D 的垂直平分线上是否存在点 P , 使得∠D P O = ∠D O N ? 若存在, 这样的点 P 有几个?并求出点 P 到线段 O D 的距离; 若不存在, 请说明理 由.
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专题七
动点问题
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所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点 , 它们在线段、射 线或弧线上运动的一类开放性题目. 解决这类问题的关键是动中求静, 灵活运 用有关数学知识解决问题. 动点问题特点 动点问题一直是中考热点, 近几年考查探究运动中的特殊性: 等腰三角形、 直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或 面积的最值.
2 2 2 1 ∴S△D M N = 2 D N ·M P = - 5 t+ 28t = - 5 (t - 35)2+ 490.
3 2 t , 0 < t ≤ 40 10 S ∴ 2 (t 35) 2 490, 40 < t ≤ 50 . 5
当 0< t ≤40 时, S 随 t的增大而增大, 当t = 40 时, 最大值为 480. 当 40< t ≤50 时, S 随 t的增大而减小, 当t = 40 时, 最大值为 480. 综上所述, S 的最大值为 480.
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【自主解答】 ( 1) 证明: ∵四边形 A B C D 是菱形, ∴N D ∥A M . ∴∠N D E = ∠M A E , ∠D N E = ∠A M E . 又∵点 E 是 AD 边的中点, ∴D E = A E . ∴△N D E ≌△M A E . ∴N D = M A . ∴四边形 A M D N 是平行四边形; ( 2) ①1; ②2
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专题考点 0 1 几何中的动点问题
问题背景是特殊图形, 考查问题也是特殊图形, 所以要把握好一般与特殊的 关系; 分析过程中, 特别要关注图形的特性( 特殊角、特殊图形的性质、图形的特 殊位置) .
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例1
(2 0 1 2 ·河南)如图, 在菱形 A B C D 中, A B = 2, ∠D A B = 60°, 点 E 是 AD
DK 15 2 ∴t an∠D P K = PK PK 1 5 .
∴P K =
15( 5 1) . 2
根据菱形的对称性可知, 在线段 O D 的下方存在与点 P 关于 O D 轴对称的点 P ' .
15( 5 1) ∴存在两个点 P 到 O D 的距离都是 . 2
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,
) , 对角线 O B 的长度是
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3) , O B=
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【解析】 ( 1) C( 2, 2
4
7
cm
3 t . 2
( 2) ①当 0< t < 4 时, 过点 Q 作 Q D ⊥x 轴于点 D ( 如图 1) , 则QD=
图1
1 ∴S= 2 O P ·Q D =
OF NF 12 24 24 OF ON 12 12 5 1 5 .
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∴t an∠G O F =
24 GF 1 5 2 OF 12 1 5
.
设 O D 中垂线与 O D 的交点为 K , 由对称性可知,
1 1 ∴∠D P K = 2 ∠D P O = 2 ∠D O N = ∠F O G ,
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专题考点 0 2 代数中的动点问题
代数中的动点问题常见的是函数与几何图形结合的一种灵活运用, 函数与 三角形、四边形结合考查动点问题的综合题更为常见. 解决这类问题首先要求 学生对函数、三角形、四边形、圆等知识点全面掌握.
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3 ( t 2
8) .
1 3· 2t
3 ( t 2
1 ∴S= S△O Q F - S△O P F = 2 t ·2
8) = -
3 2 3 . 4 t+ 3 t
图3
当t = 8 时, S 最大.
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( 3) ①当△O P M ~ △O A B 时( 如图 4) , 则 P Q ∥A B .
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分三种情况讨论: ①当 C M = C N 时,
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2 2 42+ ( 2+ b ) = ( 6+ b ) , 解得 b = - 2, 此时 M ( 2, 0) ;
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( 3) 存在 2 个点 P , 使得∠D P O = ∠D O N . 过点 N 作 N F ⊥O D 于点 F ,
40 120 则 N F = N D ·s i n∠O D A = 30× 50 = 5 = 24,
D F = N D ·cos∠O D A = 30× 50 =
边的中点. 点 M 是 A B 边上一动点( 不与点 A 重合) , 延长 M E 交射线 C D 于点 N , 连接 M D 、A N . ( 1) 求证: 四边形 A M D N 是平行四边形; ( 2) 填空: ①当 A M 的值为 ②当 A M 的值为 时, 四边形 A M D N 是矩形; 时, 四边形 A M D N 是菱形
3 2 t 4 .
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②当 4≤t < 8 时, 作 Q E ⊥x 轴于点 E ( 如图 2) , 则 Q E= 2
1 ∴S= 2 D P ·Q E =
3t .
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3.
图2 ③当 8≤t < 12 时, 延长 Q P 交 x 轴于点 F , 过点 P 作 P H ⊥A F 于点 H ( 如图 3) . 易证△P B Q 与△P A F 均为等边三角形, ∴O F = O A + A P = t , AP= t - 8. ∴P H =
( 2) 如图 1, 当点 P 在线段 D A 上移动时, 是否存在这样的点 M , 使△C M N 为等腰三 角形?若存在, 请求出 M 点坐标; 若不存在, 请说明理由;
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( 3) 如图 2, 当点 P 在线段 AB 上移动时, 设 P 点坐标为( x, 2) , 记△D B N 的面积为 S, 请直接写出 S 与 x 之间的函数关系式, 并求出 S 随 x 增大而减小时所对应的自变 量 x 的取值范围.
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2. (2012·漳州中考)如图, 在▱ O A B C 中, 点 A 在 x 轴上, ∠AO C = 60°, O C= 4 cm . O A = 8 cm . 动点 P 从点 O 出发, 以 1 cm /s 的速度沿线段 O A →A B 运动; 动点 Q 同时从点 O 出发, 以 a cm /s 的速度沿线段 O C →C B 运动, 其中一点先到 达终点 B 时, 另一点也随之停止运动. 设运动时间为 t秒. ( 1) 填空: 点 C 的坐标是( cm ; ( 2) 当 a= 1 时, 设△O PQ 的面积为 S, 求 S 与 t的函数关系式, 并直接写出当 t为何值时, S 的值最大? ( 3) 当点 P 在 O A 边上, 点 Q 在 C B 边上时, 线段 PQ 与对角线 O B 交于点 M . 若以 O 、M 、P 为顶点的三角形与△O A B 相似, 求 a 与 t的函数关系式, 并直接写出 t 的取值范围.
MP AO = AM AD
3 5,
3 ∴M P = 5 t .
3 1 2 ∴S= 2 ×D N ·M P = 10 t .
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②当 40< t ≤50 时, ∴M D = 70- t . ∵s i n ∠A D O =
MP AO MD AD
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,
4 ∴M P = 5 (70- t ).