正项级数及其审敛法

2、
讨
论
级
数
n 1
1 1
an bn
(a
0,b
0 )的
敛
散
性.
3、
讨论级数
n1 an
1
bn
(a,b
0)的敛散性.
小结
判别正项级数 an 敛散性步骤：
n1
否 原级数发散.
ln im an 是否为零
是 或无法求
1. 按定义 2. 利用性质
3. 基本定理 4. 比较审敛法 5. 比值审敛法 6. 根值审敛法 7. 积分审敛法
(3) n14n3n.
解
sin 1
(1 ) lim n
n 1
1,
而 1发散,
n1n
∴ 原级数发散.
n
1
(2)
lim
n
n2
n 1
1
ln im n2
n2 n1
1,
n2
而
1
n1n2
收
敛,
∴ 原级数收敛.
1
(3)
lim
n
4n
1
3n
4n
lim
n
1
1 3
n
4
1,
而
1
n14n
收
敛,
∴原级数收敛.
n1nn
收敛 .
注 ： 当 a n 中 含 有 n ! ,n 次 幂 ， 关 于 n 的 连 乘 积 或 者 指 数 出 现 n , 常 用 比 值 审 敛 法 .
1
例 8 判别级数 n1 (2n 1) 2n 的敛散性.
解
Qliman1lim (2n1)2n
a n n
n (2n3)(2n2)
1,
n 1
n 1
(2) 若级数
a n 发散 , 则级数
n 1
b n 也发散 .
n 1
比较判别法的关键是找出基本级数.
当级数一般项较复杂时, 不容易比较, 可用下列比较 判别法的极限形式.
2、比较审敛法2 (比较审敛法的极限形式)
设an和bn均为正项 , 级数
n1
n1
若极 lim 限 anl有确定 ,则意 有义 n bn
比值审敛法的优点: 不必找基本级数.
例 7 判别下列级数的收敛性:
1
(1)
;
n1 n!
n!
(2) n1 10n ;
n!
(3) n1 nn ;
解
(1)liman1 n an
1
ln i m(n11)! n!
lim n n
1
1
0,
1 收敛.
n1 n!
(2)ln i m aa nn 1ln i m (n 1 n 0 11)!1n!n 0
证 “ ”若 a n 收敛 , 则 sn收,敛 故有界.
n1
“
” an0,∴部分和数列{ sn }单调递增,
又已知{ sn }有界, 故 { sn }收敛 , 从而 a n 也收敛.
n1
二、正项级数比较审敛法
1、比较审敛法 1（一般形式）
设an和bn均为正项 , 级数
n1
n1
且自a 某 nb n(项 nk,k 起 1 , )有 ,
比值审敛法
lim
n
a
a
n
n
1
根值审敛法
lim n
n
an
1 不定
用其他判别 法
比较审敛法 部分和极限 积分判别法
1
1
收敛
发散
练习：
1、 判 定 下 列 级 数 的 敛 散 性 ：
1
(1) n1 n n n
( n !) 2
(2)
n 1
2n2
a n
(3) n1 n s (a 0, s 0)
(2) 当 1 时, 级数发散 ；
(3) 当 1 时, 级数敛散性需另行判定.
当一般nn项 ,an等 ln 中 i m nan 含 易有 求 级的 数 常用根. 值审敛法
例:1)判定级 n 1n1n数 的敛散 . 性
2)判 定 级 数 n1n的 敛 散 性 .
n1 3n
3)判 定 级 数 n 1n4 3n的 敛 散 性 .
n1
nco 2ns
例 10 判 别 级 数
n1
3 2n
的 收 敛 性 .
解
ncos2 2n
n
3
n 2n
,
n1
lim
n
2 n1 n
2n
1 1, 2
级数n12nn 收敛 ,
∴ 原级数收敛 .
注：多种审敛法可结合应用。
说明:
(1)若 lim an11或 lim an1不存 ,比在 值审.敛
n an
1 nn
1
3
n2
,
而
级 数1 3
收
敛 ,
n n1 2
级n 数 1n 1( n1 n)收.敛
推论 (比较审敛法1) 设 a n , b n 是两个正项级数,
n 1
n 1
且存在 NN,对一切 nN,有 an k bn (常数 k > 0 ),
(1) 若级数 b n 收敛 , 则级数
a n 也收敛 ;
n 时有：
1
1
1
1
1
1) n p ( p 0) sin n p tan n p arctan n p ln(1 n p )
1 (1 cos 2
1
p
)
e
1 np
1
n2
2)
1 np
(
p
0)
nk A nkp B
( A,
B为常数，k
0)
思考题 设正项级数un收敛, 能否推得un2
n1
n1
重要基本级数 几何级数, p - 级数, 调和级数.
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在 NN,对一切 nN,
1
(1)
an
, n
则 an 发散;
n 1
1
(2)
an
np
(p1), 则
an 收敛 .
n 1
例3 判别级数n1n1( n1 n)的敛散性.
证明
1(n1n ) 1
n
n (n1n )
例已 知 任 意 项 级 数an, cn,都 收 敛 ， 且 有 anbncn n1 n1
试 证 ：bn,也 收 敛 .(提 示 ： 0bnancn-an) n1
四、根值审敛法 (柯西判别法)
设an为正项级 , 数
n1
若极 ln i m na 限 n有确,定 则意 有义
(1) 当 0 1 时, 级数收敛 ；
n1
( 2 )设 s n ( n )且 anbn,
则nsn n 不是有界数列, bn发散.
n1
例 1 证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明 1 1 , n(n1) n1
而级 数 1 1发,散
n1n1 n2n
级数
1
发散 .
n1 n(n1)
比较审敛法的不便: 须有基本级数.
2)当 p1时 ,若 n 1xn,则有1 np
1 xp
,
n1p
n1 n1npdx
n n1
1 xp
dx
sn12 1 p3 1 pn 1p
21
n1
11xpd xn 1xpd x
n
11
1 xp
dx1p11(1n1p1)
1
1 p1
即{sn}有界 , 则p级数收.敛
p级n 数 1n 1p
当 p1时 , 收敛 当 p1时 , 发散
n1n!
(2)n110n;
(3)n1nn;
三、比值审敛法 (D’Alembert判别法)
设an为正项级 , 数
n1
若极 lim a 限 n1有确定 ,则意 有义
n an (1) 当 0 1 时, 级数收敛 ；
(2) 当 1 时, 级数发散 ；
(3) 当 1 时, 级数敛散性需另行判定.
例 判 定 级 数
1 的 敛 散 性 .
n2nlnn
六、利用级数收敛的必要条件可以求数列极限
如 果 级 数 n1an收 敛 ,则ln i m an0.
例：求数列的极限
n!
1)
lim
n
nn
,
2) lim (11)n2 n n
判别正项级数敛散性的方法与步骤
必要条件
lim
n
a
n
0
满足
不满足 发 散
第二节 正项级数及其审敛法
一、正项级数概念 二、正项级数比较审敛法 三、达朗贝尔比值审敛法 四、柯西根值审敛法
一、正项级数概念
1、定义: 若an0,则称级 an数 为正项级数.
n1
正项级数部分和数列 { sn } 为单调增加数列.
2、正项级数收敛的充要条件: (基本定理)
正项级数收敛 部分和数列 { sn } 有界.
五、正项级数的柯西积分审敛法
对正项级数an ,若有定义[1在 ,)上的连续
n1
单减函数 f(x)使得 f(n)an (n1,2,)
则级数
an
与反常积分 f 1
(x)dx同敛散 .
n1
思 路 ： 构 造 一 个 单 调 递 减 函 数 f(x)， 使 得 f(n)an
则 an与 1f(x)dx同 敛 散 . n1
例 2 讨论 P-级数
1
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
的收敛性.( p
0)
解
设p1,
1 np
1, n
则P级数发. 散
y
设p1,由图可知
1
np
n dx x n1 p
11 1 sn12p3pnp
y
1 xp
(p1)
112d xpxnn1d xpx
o 1 234
x
1
n dx 1 xp
1p11(1n1p1) 1
收敛?反之是否成立?
解 由 正 项 级 数 un收 敛 ， 可 以 推 得 un2收 敛 ,
n1
n1
lim
n
un2 un
ln imun
0
由比较审敛法2知 u n 2
n1
收敛.
反之不成立.
例如：
1
n1 n 2
收敛,
1 n 1 n 发散.
例7 判别下列级数的收敛性:
1
n!
n!
(1) ;
n an
(2) 条件是充分不必要.的
即 若 n ： 1 a n收 ,未 敛 ln 必 i a a m n n 1 有 1.
(3)当an中含n!有 ,n次幂 ,关于 n的连乘 , 积 或指数 n,出 常现 用比值 . 审敛法
(4) 凡涉及抽象证 ,一明 般题 不可用比值 , 审敛 常用比较审敛法 证或 明 . 定义
lim
n
n 1 10
n! 发 散.
n1 10 n
例 7 判别下列级数的收敛性:
1
(1)
;
n1 n!
n!
(2) n1 10n ;
n!
(3) n1 nn ;
解 (3) ln i m a a nn 1ln i m (n (n 11 )n )1!n n n ! lnim(nnn1)n
1 e
故级数 n!
由bn 收敛可推出an 收敛.
Biblioteka Baidun1
n1
(2) 当an 为bn 的同阶或低阶无穷, 小时
由bn 发散可推出an 发散.
n1
n1
(3)当an～bn时,两个级数有相性 同 . 的敛散
例 5 判 别 级 数 n 1 1co k n (sk0)的 敛 散 性 .
解
当 n 时 ,1cok~ sk1
2
n 22
knn122 2
,
而
k2
n1 2
n12
收敛 ,
n 11cokns收敛 .
例 6判 别 级 数 n 1l n 1n 1 k 的 敛 散 性 .
解 当 n 时 ,ln 1n 1k~n1k ,
当 k 1 时 ,原级 ,当 数 k 1 时 收 ,原敛 级 . 数
在估计an关于
1 n
的阶的时候，以下的等价无穷小是有用的：
(1)若 bn收 敛 ,则 an也 收 敛 .
n 1
n 1
(2)若 an发 散 ,则 bn也 发 散 .
n 1
n 1
证明 (1) 设n bn Qanbn,(n1,2,L) n1
且 s n a 1 a 2 a n b 1 b 2 b n
n
,
即部分和数列有界 an收敛.
练习题
一、 填空题: 1、 p 级 数 当 _______时 收 敛 ,当 _______时 发 散 ；
2、 若 正 项 级 数 un 的 后 项 与 前 项 之 比 值 的 极 限 n1
等于 , 则 当 _ _ _ _ _ _ _ _ 时 级 数 收 敛 ；_ _ _ _ _ _ _ _ 时 级 数 发 散 ； ___________时 级 数 可 能 收 敛 也 可 能 发 散 .
(2) n1n2n1;
(3) n14n3n.
解
(1)Qlimnsin1 1
n
n
∴ 原级数发散.
(2)Qlni mn2
n2 1 n1
∴ 原级数收敛.
3、比较审敛法3 (比阶审敛法)
设an和bn均为正项 , 级数
n1
n1
通项 an和bn均为 n时的无.穷小
(1) 当an 为bn 的同阶或高阶无穷, 小时
比值审敛法失效, 改用比较审敛法
1
1
Q (2n1)2n
4n2
,
而级数 1
n1n2
收敛 ,
故级 n 1数 2n(21n1)收.敛
例9 讨论级数 nxn1(x0)的敛散性.
n1
解
lim an1 n an
ln im(nnx1n)x1 n
x
当 0x1时 , 级数收敛；
当x1时, 级数发散；
当x1时, 级数n发散.
(1) 当 0 l 时, 两个级数有相同的敛散性 ；
(2) 当 l 0 时, 由 bn收敛可 an收 推;敛 出
n1
n1
(3) 当 l 时, 由 bn发散可 an发 推.散 出
n1
n1
例 4 判 定 下 列 级 数 的 敛 散 性 :
1
1
1
(1) sin; n1 n
(2) n1n2n1;
1 p1
即sn有界, 则P级数收. 敛
P级数 当 当pp 11时 时,,
收敛 发散
重要基本级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.
例 2 讨论 p-级数
1
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
的收敛性.( p
0)
解
1)当 p1时 ,
1 np
1, n
p级数 n 1n1p发散 .
而级数 1发散 , n1n
推论(比较审敛法 2)：
设 级 数
n 1
an为 正 项 级 数 ，(1)若
lim
n
nan
l
0
(或
lim
n
n
a
n
), 则 级 数
n 1
an发散.
(2)若p
1， 使 得
lim
n
n
pan存
在，
则级数 an收敛. n 1
例 4 判 定 下 列 级 数 的 敛 散 性 :
1
1
1
(1) sin; n1 n