有限与无限思想在高考数学解题中的应用-最新教育文档

有限与无限思想在高考数学解题中的应用

有限与无限思想方法就是把有限问题转化为无限问题，把无限问题转化为有限问题，并利用二者间的转化来解决问题。高考试题中运用有限与无限思想来解题的有很多，比如说极限、导数、数学归纳法等这些都是典型的有限与无限思想方法的应用。

下面结合高考例题谈谈有限与无限思想在高考数学解题中的具体应用。

一、在极限中的应用

近几年，高考对数列和函数极限的考查有所加重，题型主要以选择填空为主，难度在中等以下。数列极限主要以■型为主，或是在解答题中与数列问题相结合。函数极限主要考查四则运算和函数连续性的概念，或是与导数问题结合出现在解答题中。

例1：（2011年重庆卷理科3题）已知■(■+■)=2，则a=( )。

A.-6

B.2

C.3

D.6

分析：本题考察的是函数极限的概念及运算，已知当x→∞时函数的极限值求a，属于简单题。

例2：（2010年湖北卷理科7题）在半径为r的圆内做内接正六边形，再做内接正六边形的内接圆，又在此内接圆内做内接正六边形，如此无限继续下去。设Sn为前n个圆的面积之和，则■Sn=( )。A.2πr2 B.■πr2 C.4πr2 D.6πr2

分析：先求出这n个圆各自的半径rn=(■)n-1r，得到圆的面积Sn关于rn的表达式Sn=π[(■)n-1r]2，我们知道Sn是随着n的变化而变化的，n的变化是无限的。各个圆的面积Sn组成了一个无穷递缩等比数列，此题研究的是n无穷大时数列极限的问题，它将圆的面积之和转化为当n→∞时Sn的极限值，是有限与无限思想的典型应用。

极限研究的是数列和函数在无限过程中的变化趋势，从无限回归到有限或将有限化为无限是解决这类问题的指导思想。

二、在导数中的应用

导数是高考必考的知识，对导数的运算及其实际意义和几何意义的考查主要以选择填空为主，难度适中。解答题的难度一般在中等以上，主要考查导数在函数的极值、最值和单调性中的应用，常与不等式、三角函数、解析几何、平面向量等内容相结合。

例3：（2011年全国卷理科数学8题）曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形面积为（）。

A.■

B.■

C.■

D.1

分析：由导数的几何意义求出曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线斜率，得到切线方程，再由解析几何的知识求得三角形面积，这题属于中等题。求导实质上是取极限的过程，应用无限的思想来解决，这是导数解决问题的基本思想方法。

例4：（2011年天津卷理科数学19题）已知a>0，函数f(x)=lnx-ax2,x>0，（f(x)的图像连续不断）。

（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）当a=■时，证明：存在x0∈(2,+∞)，使f(x0)=f(■)；（Ⅲ）若存在均属于区间[1,3]的α,β，且β-α≥1，使f(α)=f(β)。证明：■≤a≤■。

分析：题中（Ⅰ）在a>0的条件下，由于a是不确定的，随着a的改变，f(x)所表示的函数也会跟着改变，此时求f(x)的单调区间，这是无限的问题。（Ⅱ）中给定a=■，这其中蕴含着一般中的特殊思想，体现着无限中的有限问题。（Ⅲ）中由于f(x)是x>0上的连续函数，故函数在闭区间[1,3]上一定有单调区间和极值，由此就可以利用函数的单调性证明不等式成立。

利用无限思想指导解决有限问题，同时在其他数学思想方法的运用过程中渗透有限与无限思想，是高考数学中经常出现的一类题型。

三、数学xx中的有限与无限

从这几年的高考试题可以看出，数列与数学归纳法的结合一直是高考的重点，主要是以解答题为主。不但要求能用数学归纳法证明结论，还加强了对不完全归纳法的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论。

例5：（2011年山东卷理科数学15题）设函数f(x)=■(x>0)观察：

f1(x)=f(x)=■，

f2(x)=f(f1(x))=■，

f3(x)=f(f2(x))=■，

f4(x)=f(f3(x))=■，

......

根据以上事实，由归纳推理可得，当n∈N+且n≥2时，fn(x)=f(fn-1(x))=。

分析：依据题目特征，不难发现，每个函数右边分式的分子都是x，分母中x的系数为2n-1，常数是2n，所以fn(x)=■。

本题属于归纳猜想题，考查学生观察和归纳猜想的能力，需要细心观察，整体把握函数间的变化规律，发现分母之间的相互关系，猜测出合乎题意的等式。（下转第128页）

（上接第16页）例6：（2010年全国卷Ⅰ22题）已知数列{an}中，an=1，an+1=c-■。

（Ⅰ）设c=■，bn=■，求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）求使不等式an分析：（Ⅰ）中对于题目所给的递推关系，当c=■时，数列{an}也就确定了，这体现了无限中的有限问题。第（Ⅱ）问可以先用数学归纳法证明c>2，再进行进一步的分类讨论确定c的范围；或者先由an总之，有限与无限思想方法的运用，为学生数学思维的发展提供了广阔的空间，在未来高考中的应用也会越来越广泛，所以在平时的学习中应该适当加强有限与无限思想方法的渗透。

注：本文系广西研究生教育创新计划资助项目（编号20101060 3R08）阶段性成果之一。