流体力学第八章
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流体力学第八章-39页PPT精品文档
vtx x vx 2v2 y 2vz2 2vzyvyz v tx2(vzyvyz)fx 1 p x x(v 2 2)
§ 8.3 理想流体的运动微分方程
二、兰姆运动微分方程式(续)
兰姆运动微 分方程式
vtx
fz
1
p z
v2 ()
z 2
x
(
pF
v2 2
)
2(vz y
vy z
)
y
(
pF
v2 2
)
2(vx z
fy
p
f
z
(x,
fx y,
z)
y
o
x
z
§8.3 理想流体的运动微分方程
一、欧拉运动微分方程式(续)
x轴方向的受力
左面中心受力： (pp dx)dydz
x 2
右面中心受力： (pp dx)dydz
x 2
质量力：
fx
p p dx x 2
fy p
fz fx
p p dx x 2
不可压缩流体的定 常或非定常流动：
vvxvyvz 0 x y z
§8.1 微分形式的连续方程
二、其它形式的连续方程（续）
二维可压缩流体 的定常流动：
x(vx)y(vy)0
二维不可压缩流 体的定常或非定 常流动：
vx vy 0 x y
§8.2 流体微团运动的分解 有旋流动和无旋流动
2 z x
v M y v y v y yy 1 2 ( v y z v z y )z 1 2 ( v x y v y x )x 1 2 ( v y z v z y )z 1 2 ( v x y v y x )x
§ 8.3 理想流体的运动微分方程
二、兰姆运动微分方程式(续)
兰姆运动微 分方程式
vtx
fz
1
p z
v2 ()
z 2
x
(
pF
v2 2
)
2(vz y
vy z
)
y
(
pF
v2 2
)
2(vx z
fy
p
f
z
(x,
fx y,
z)
y
o
x
z
§8.3 理想流体的运动微分方程
一、欧拉运动微分方程式(续)
x轴方向的受力
左面中心受力： (pp dx)dydz
x 2
右面中心受力： (pp dx)dydz
x 2
质量力：
fx
p p dx x 2
fy p
fz fx
p p dx x 2
不可压缩流体的定 常或非定常流动：
vvxvyvz 0 x y z
§8.1 微分形式的连续方程
二、其它形式的连续方程（续）
二维可压缩流体 的定常流动：
x(vx)y(vy)0
二维不可压缩流 体的定常或非定 常流动：
vx vy 0 x y
§8.2 流体微团运动的分解 有旋流动和无旋流动
2 z x
v M y v y v y yy 1 2 ( v y z v z y )z 1 2 ( v x y v y x )x 1 2 ( v y z v z y )z 1 2 ( v x y v y x )x
流体力学第8章中文版课件
Chapter 8: External flows
14
8.3 绕淹没体的流动
分离前的湍流边 界层 分离前的层流 边界层
2013-11-25
Chapter 8: External flows
15
8.3 绕淹没体的流动
2013-11-25
Chapter 8: External flows
16
8.3 绕淹没体的流动
W FD
sphere volume CD V 2 A
4 3 1 S water R CD V 2R 2 3 2
1 2
8RS water V 3C D
2013-11-25
1/ 2
8 0.15 1.02 9800 3 1.20 CD
Re
VD
129 0.3 2.42 10 6 1.6 10 5
V 129 m/s
2013-11-25 Chapter 8: External flows 20
8.3 绕淹没体的流动
求解：(b) 对于球在水中的下落情况，则必须考虑施加在球体上的与阻力FD 同方向的浮力 B 的作用：
如果物体形状上有一 个突然的变化，分离 点将出现在形状突然 变化点或其附近。 另外，分离后流 体在某一个位臵 上又会重新附着 在物体上。
2013-11-25
Chapter 8: External flows
10
8.2 分离
在分离点的上游，壁面附 在分离点的下游，壁面附 近的 x方向上的速度分量 近的 x方向上的速度分量在 负 x 方向，因此在正 x 方向，因此 壁面上 壁面上的 的 u/y一定是负的。 u/y是正的。
流体力学 第八章 绕流运动
第八章绕流运动一、应用背景1、问题的广泛存在性：在自然界和工程实际中，存在着大量的流体绕物体的流动问题（绕流问题），如：飞机在空气中的飞行、河水流过桥墩、大型建筑物周围的空气流动、植物护岸（消浪，船行波），粉尘颗粒在空气中的飞扬和沉降，水处理中固体颗粒污染物在水中的运动。
（一种：流体运动；另外一种：物体运动），我们研究，将坐标系固结于物体上，将物体看成静止的，讨论流体相对于物体的运动。
2、问题的复杂性上一章的内容中可以看出，流体力学的问题可以归结为求解在一定边界条件和初始条件下偏微分方程组的求解。
但描述液体运动的方程式非常复杂的：一方面，是方程的非线性性质，造成方程求解的困难；另一方面，复杂的边界条件和初始条件都给求解流体力学造成了很多麻烦。
迄今为止，只有很少数的问题得到了解决。
平面泊萧叶流动，圆管coutte流动等等。
而我们所要解决的绕流问题正是有着非常复杂的边界条件。
3、问题的简化及其合理性流体力学对此的简化则是，简化原方程，建立研究理想液体的势流理论。
实际液体满足势流运动的条件：粘性不占主导地位，或者粘性还没有开始起作用。
正例：远离边界层的流体绕流运动、地下水运动、波浪运动、物体落入静止水体中，水的运动规律研究。
反例：研究阻力规律、能量损失、内能转换等等。
圆柱绕流（经典之一）半无限长平板绕流（经典之二）分成两个区域：一个区域是远离边界的地方，此区域剪切作用不明显，而且流体惯性力的影响远远大于粘性力的影响（理想液体）（引导n-s方程）；另一个是靠近边界的地方（附面层，粘性底层），此区域有很强烈的剪切作用，粘性力的影响超强，据现代流体力学的研究表明，此区域是产生湍流的重要区域，有强烈的剪切涡结构，但此区域只有非常薄的厚度。
此区域对绕流物体的阻力、能量耗损、扩散、传热传质都产生重要影响。
4、本章的主要研究内容（1） 外部：理想液体，（简化方法，求解方式）、（2） 内部：附面层理论，（简化方法，求解方式，求解内容，现象描述） （3） 两者的衔接。
流体力学第八章教材
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设p2- p1是一个有限的压强量。为了分析方便起见，假定把 这个有限的压强增量看作是无数个无限小压强增量dp的总 和。于是，可认为在活塞右侧形成的压缩波是一系列微弱 扰动波连接而成的。每一个微弱扰动波压强增加dp。当活 塞开始运动时，第一个微弱扰动波以声速c1传到未被扰动的 静止气体中去，紧跟着第二个微弱扰动波以声速c2传到已被 第一个微弱扰动波扰动过的气体中去。 在t=0～△t时段，活塞速度增至△V，气体被扰动产生音波 ：
激波的厚度非常小，激波不连续变化是在与气体分子平均 自由行程同一数量级（在空气中约3×10-4mm左右）内完成的。 例如，在标准大气压、M=2的超音速气流中的激波厚度约为 2.5×10-5cm。在这个非常小的厚度内，气体的压强﹑密度﹑温 度等发生急剧变化，内部结构很复杂，人们通常忽略其厚度， 认为波面是一个间断面，激波前后的参数发生突跃性的变化。
当出口压强Pb小于入口压强P0时，管内产生流动： 1）设计工况，压强和马赫数沿曲线4变化，出口为超音速； 2）如果气流在喉部到达临界状态后又减速，压强和马赫数沿曲 线3变化，出口为亚音速； 3）Pb的值不是太小时，压强和马赫数沿曲线2变化，整个管内 都是亚声速流动，这时缩放管实际上是文丘里管； 4）非设计工况，如果出口压强大于P4而小于P3，则管内某一截 面产生激波，压强和马赫数沿曲线5变化，气流经过激波后变 成亚音速，在扩张管内进一步减速。
1
1 p0 2 RT0 1 0 1
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§ 8.1 膨胀波
当超音速气流中出现微弱压力 扰动时，这个微弱扰动可以传播到 流场的一部分区域，扰动区和未扰 动区的分界面是马赫线（马赫波）。 如果扰动源是一个低压源，则气流受扰动后压强将下降， 速度将增大，这种马赫波称为膨胀波—降压增速波；反之， 如果扰动源是一个高压源，则气流受扰动后压强将增加，速 度将减小，这种马赫波称为压缩波—增压减速波。 由于通过马赫波时气流参数值变化不大，因此气流通过 马赫波的流动仍可作为等熵流动过程。
8流体力学-第八章 气体一维定常流动
M数很小，说明单位质量气体的动能相对于内能而言很小， 速度的变化不会引起气体温度的显著变化 ，对不可压流体来 说，不仅可以认为密度是常值而且温度T也是常值。
流动参数增加为四个：p、ρ、T、和u，
已经有了三个基本方程，它们是：状态方程、连续方程和理想 流的动量方程（即欧拉方程）。
2021/3/31
19
规
律
26
总结
临界流速达到当地声速cf ,cr kpcr / cr
喷管 dcf>0
Ma<1 dA<0 渐缩
Ma=1 dA=0 临界截面
Ma>1 dA>0 渐扩
Ma<1→Ma>1 dA<0→dA>0 缩放（拉伐尔）
dc f d cf
Ma<1
dc f d cf
dc f d cf
dc f d cf
(c)
在的垂直平面的下游半空间(成为扰动
B
2 3
区)内传播，永远不可能传播到上游半
4
空间(成为寂静区)。
u+c0=2c0 →
3c
2021/3/31
22
2
4
二、亚、超声速流场中小扰动的传播特性
气流A超马声赫锥速流动 Ma>1
vc
vc
由的图扰可动o 见波，不2由 仅c 于 不3c能u>向c0上，游相传对播气，流反传而播被
2）对于气体等可压流，流速的变化取决于截面和密度的综合 变化。超音速时比体积的增加要大于流速的增大，因此，只 有增大通流面积才能保证通过一定不变的质量流量。
一、声速和马赫数
小扰动在弹性介质中的传播速度为声速，气体经历小扰动而压 缩及恢复过程并无能量损耗，作定熵过程处理，对理想气体：
流体力学：第八章 理想不可压缩流体平面流动
dq u ac v cb
因为：ac dy，cb dx，所以
dq udy vdx dy dx d
y x
积分， q
2 d
1
2
1
在论证流函数存在及说明其特性时，仅用了平面 流动的条件，故以上结论对任何平面流动都适用， 不论势流和涡流。
一、无旋流动（有势流动） 旋转角速度为零，通常称为势流。
x
1 ( w 2 y
v ) z
0,
或 w y
v z
y
1 ( u 2 z
w ) 0, x
或 u z
w x
z
1 2
( v x
u ) y
0,
或 v u x y
流体质点本身是否发生旋转，与流体微团 本身运动时的轨迹形状无关。
由数学分析知，上式是使udx vdy wdz为某一函数的
Cylinder with Circulation
引言
平面势流理论在流体力学中占有非常重要的地位 Why? Example
本章将简要地介绍平面势流的基本理论，分析绕流 不同形状的物体势流长的压力分布，以及流体对被绕 流物体的作用力。
§8–1 无旋流动和有旋流动
根据流体微团是否存在旋转，将流动分为两大类型： 无旋流动和有旋流动。 Two examples
涡线
涡线的表达式：
dx dy dz
x y z 通过微元断面的涡线组成涡束，涡束的表面称为涡管。 涡束断面面积和2倍旋转角速度的乘积称为涡通量，以 I表示，则微元涡通量为：
dI 2dA dA
2
速度环量：在流场中取一封闭曲线，流速沿该曲线的
积分称为沿 流线L的速度环量，用 表示：
全微分的必要充分条件。
因为：ac dy，cb dx，所以
dq udy vdx dy dx d
y x
积分， q
2 d
1
2
1
在论证流函数存在及说明其特性时，仅用了平面 流动的条件，故以上结论对任何平面流动都适用， 不论势流和涡流。
一、无旋流动（有势流动） 旋转角速度为零，通常称为势流。
x
1 ( w 2 y
v ) z
0,
或 w y
v z
y
1 ( u 2 z
w ) 0, x
或 u z
w x
z
1 2
( v x
u ) y
0,
或 v u x y
流体质点本身是否发生旋转，与流体微团 本身运动时的轨迹形状无关。
由数学分析知，上式是使udx vdy wdz为某一函数的
Cylinder with Circulation
引言
平面势流理论在流体力学中占有非常重要的地位 Why? Example
本章将简要地介绍平面势流的基本理论，分析绕流 不同形状的物体势流长的压力分布，以及流体对被绕 流物体的作用力。
§8–1 无旋流动和有旋流动
根据流体微团是否存在旋转，将流动分为两大类型： 无旋流动和有旋流动。 Two examples
涡线
涡线的表达式：
dx dy dz
x y z 通过微元断面的涡线组成涡束，涡束的表面称为涡管。 涡束断面面积和2倍旋转角速度的乘积称为涡通量，以 I表示，则微元涡通量为：
dI 2dA dA
2
速度环量：在流场中取一封闭曲线，流速沿该曲线的
积分称为沿 流线L的速度环量，用 表示：
全微分的必要充分条件。
物理 第八章流体力学基础知识
在图8-6中，增加管道中流体的流速就可以使截面小的A处压强降低，当此处的压强远小 于大气压时，于是容器D中的流体因受大气压的作用被压入A处而被水平管中的流体带走，这 种作用称为抽吸作用.流体的抽吸作用是常见的物理现象，生产和生活中常见的喷雾器等都 是根据抽吸作用的原理制成的.
三、液体容器上小孔流速的计算
一、液体内部的压强
在液体内部同一点各个方向的压强都相等，而且深度增加，压强也增加.若液体的密度是 ρ，则在液体内部深度h处液体产生的压强是
如果液体表面处的压强是P0，则深度h处的总压强(绝对压强)是
二、帕斯卡定律
密闭容器里的液体，能把它在一处受到的压强，大 小不变地向液体内部各个方向传递，这一压强传递规律 称为帕斯卡定律.
物理 第八章流体力学基础知识
第八章 流体力学基础知识
流体力学是研究流体(液体和气体)的力 学运动规律及其应用的学科.它主要研究流体 本身的静止状态和运动状态，以及流体和固 体界壁间有相对运动时的相互作用和流动的 规律.在生活、环保、科学技术及工程中具有 重要的应用价值.
第一节 液体内部的压强 帕斯卡定律
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
思考与练习（8.5）
第五节 伯努利方程的简单应用
一、静止液体内的压强
在本章第一节中讨论的流体静压强公式是在流体各处的流速为零时求得的，它是伯努 利方程的一个特例.当v1=v2=0时，由伯努利方程得
所以
二、水平流管中压强和流速的关系
理想流体在粗细不匀并处于同一水平管道内稳定流 动时，在截面大的地方流速小，压强大；在截面小的地 方流速大，压强小.
第二节 理想流体 稳流
一、理想流体
在某些问题中，流体的压缩性和粘滞性是影响运动的次要因素，只有流动性才是决定运 动的主要因素，为了突出流体的这一主要特性，引入了理想流体这一模型.所谓理想流体就是 绝对不可压缩，完全没有粘滞性的流体.
流体力学讲义 第八章 管道不可压缩流体恒定流
第八章管道不可压缩流体恒定流有压管流是日常生活中最常见的输水方式，本章主要介绍了有压管流的水力特点，计算问题以及简单管道与串联、并联和管网的水力计算原理与应用。
概述一、概念有压管流（penstock）：管道中流体在压力差作用下的流动称为有压管流。
有压恒定管流：管流的所有运动要素均不随时间变化的有压管流。
有压非恒定管流：管流的运动要素随时间变化的有压管流。
观看录像二、分类1.有压管道根据布置的不同，可分为：简单管路：是指管径、流速、流量沿程不变，且无分支的单线管道。
复杂管路：是指由两根以上管道所组成的管路系统。
2.按局部水头损失和流速水头之和在总水头损失中所占的比重，管道可分为长管：指管道中以沿程水头损失为主，局部水头损失和流速水头所占比重小于（5%-10%）的沿程水头损失，从而可予以忽略的管道。
短管：局部水头损失和流速水头不能忽略的、需要同时计算的管道。
三、有压管道水力计算的主要问题1.验算管道的输水能力：在给定作用水头、管线布置和断面尺寸的情况下，确定输送的流量。
2.确定水头：已知管线布置和必需输送的流量，确定相应的水头。
3.绘制测压管水头线和总水头线：确定了流量、作用水头和断面尺寸（或管线）后，计算沿管线各断面的压强、总比能，即绘制沿管线的测压管水头线和总水头线。
第一节简单管道的水力计算一、基本公式1.淹没出流图8-1中，列断面１－１与２－２的能量方程(4-15)，图8-1令：且w1>>w, w2>>w，则有（8-1）说明：简单管道在淹没出流的情况下，其作用水头H0完全被消耗于克服管道由于沿程阻力、局部阻力所作负功所产生的水头损失上。
即：管道中的流速与流量为：（8-2）（8-3）式中：——管系流量系数，，它反映了沿程阻力和局部阻力对管道输水能力的影响。
H0——作用水头，指上、下游水位差加上游行进流速的流速水头。
——局部阻力系数，包含出口损失。
问题：图示两根完全相同的长管道，只是安装高度不同，两管道的流量关系为：A.Q1<Q2；B.Q1>Q2；C.Q1=Q2；D.不定。
流体力学 第8章
b 2h 1 m
R A
2
（8-5）
水力半径
8.2 明渠均匀流
8.2.3 明渠均匀流的基本公式
均匀流动水头损失计算公式——谢才公式
v C RJ
上式为均匀流的通用公式，既适用于有压管道均匀流， 也适用于明渠均匀流。 对明渠均匀流有 流量
v C Ri
Q Av AC Ri K i
(bhc )3 b 2 hc3 g b
得
hc 3
Q 2
gb
2
3
q 2
g
(8 - 22)
Q 式中，q 称为单宽流量。 b
8.4 明渠流动状态
临界流时的流速是临界流速（vc），由式（8-21）得
Ac vc g Bc
上式与微波速度式相同。
将渠道中的水深 h与临界水深hc相比较，同样可以判 别明渠水流的流动状态，即
8.1 概
述
1 2 i sin l
通常以水平距离lx代替流程长度l，以铅垂断面作为过 流断面，以铅垂深度h作为过流断面的水深，则
1 2 i tan lx
8.1 概
底坡的分类
述
正坡或顺坡：
底线高程沿程降低，i＞0
平底坡： 底线高程沿程不变，i=0 反底坡或逆坡：
下游：h → hc ＜ h0，J＞ i， i－J＜0；h→ hc ，Fr
dh 2 →1，1－Fr →0，所以 ds ，水面线与C-C线正交，水
8.6.2 水面曲线分析 实际水深等于正常水深 h=h0时，J=i，分子i－J=0； 实际水深等于临界水深 h=hc时，Fr=1，分母 1－Fr2=0； 分析水面曲线的变化，需 借助h0线（N-N线）和hc线（CC线）将流动空间分区进行。
第八章不可压缩粘性流体内部流动-流体力学
二、流态与沿程阻力损失的关系
hf的变化规律 hf = kVm
(a)-(b)段，层流，m=1 hf = kV
( d)-(e)段，紊流，m=2 hf = kV2
(b)-(d)段，层流向 紊流过渡
hf = kV1.75~2
三、流态判别标准
雷诺数计算
Re vd vd
上临界Rec′: 与实验条件和初始状态有关。上临界 Rec′可高达13800。(不稳定）
1.紊流结构 层流底层厚度
32.8 d Re
2.混合长度和切应力
（1）粘性切应力
粘性
du dy
普朗特混合长度理论
（2）附加切应力
附加
l 2 ( du )2
dy
紊流切应力
τ= τ粘性+ τ附加 （层流底层τ附加=0）
3.速度分布
层流边层内
du
dy
积分 u 0 y
z2
)
Q(v2
v1 )
g
v2
A2
(v2
v1 )
( z1
p1
)
(
z
2
p2
)
v22 g
v 2 v1 g
代入伯努利方程
hr
v2 2 g
v2v1 g
v12 v2 2 2g
(v1 v2 )2 2g
（包达公式)
hr的另一形式
v1
v2
A2 A1
, 或v2
v1
进一步分析时均流速与脉动速度
《流体力学导论》第八章+对流与扩散-2016.1.7
边界条件
(1) 如果壁面温度恒定，温度扰动量 如果壁面热流量恒定，温度扰动量 梯度 (2) 固壁上的竖直方向速度扰动量 (3) 扰动量的附加速度边界条件 固壁面（no-slip) ： 在 由连续性方程得 自由面（stress-free)：在 由连续性方程得 因 有 因 在 在 在
1. 热对流
1.2 Rayleigh-Bé nard 对流
2. 扩散与对流
2.2 描述扩散运动的基本方程
2）分子扩散方程（费克第二定律）
分析分子扩散应满足的控制方程，以一维情况为例，流体静止。 取控制体如图，由质量守恒定律，可得：
(Cx 1) q dt q 1 dt (q x ) 1 dt t x
整理得：
C q 0 t x
或
将费克第一定律代入，可得：
C 2C Dm t x 2
q 2q Dm t x 2
2 2 2 C C C C 2 对三维情况： Dm D C m 2 2 2 t y z x
上述方程称之为分子扩散方程（Diffusion Equations）。
β 流体的浓度扩散系数
2. 扩散与对流
2.3 双扩散对流
基本控制方程
Boussinesq 近似
κT 流体的分子热扩散系数，
κS 流体的分子浓度扩散系数
κT ≠ κS （i）二元组分流体，其中一组分分布受非稳态扰动 （ii）二元组分体流体分别有不同的扩散系数
2. 扩散与对流
2.3 双扩散对流
线性稳定问题 （Linear stability problem): 基本控制方程无量纲化
整理可得：
(Cu1 ) C 2C Dm 2 t x1 x1
(1) 如果壁面温度恒定，温度扰动量 如果壁面热流量恒定，温度扰动量 梯度 (2) 固壁上的竖直方向速度扰动量 (3) 扰动量的附加速度边界条件 固壁面（no-slip) ： 在 由连续性方程得 自由面（stress-free)：在 由连续性方程得 因 有 因 在 在 在
1. 热对流
1.2 Rayleigh-Bé nard 对流
2. 扩散与对流
2.2 描述扩散运动的基本方程
2）分子扩散方程（费克第二定律）
分析分子扩散应满足的控制方程，以一维情况为例，流体静止。 取控制体如图，由质量守恒定律，可得：
(Cx 1) q dt q 1 dt (q x ) 1 dt t x
整理得：
C q 0 t x
或
将费克第一定律代入，可得：
C 2C Dm t x 2
q 2q Dm t x 2
2 2 2 C C C C 2 对三维情况： Dm D C m 2 2 2 t y z x
上述方程称之为分子扩散方程（Diffusion Equations）。
β 流体的浓度扩散系数
2. 扩散与对流
2.3 双扩散对流
基本控制方程
Boussinesq 近似
κT 流体的分子热扩散系数，
κS 流体的分子浓度扩散系数
κT ≠ κS （i）二元组分流体，其中一组分分布受非稳态扰动 （ii）二元组分体流体分别有不同的扩散系数
2. 扩散与对流
2.3 双扩散对流
线性稳定问题 （Linear stability problem): 基本控制方程无量纲化
整理可得：
(Cu1 ) C 2C Dm 2 t x1 x1
流体力学第八章(湍流)
湍流运动极不规则和不稳定，并且每一点的物理量随 时间、空间激烈变化，显然，很难用传统的方法来对湍 流运动加以研究。
但湍流的杂乱无章及随机性可以用概率论及数理统计 的方法加以研究。
也就是说，湍流一方面具有随机性，而另一方面其统 计平均值却符合一定的统计规律。
三、平均值运算法则
①时间平均值：
考虑一维流体运动，对于物理量 A(x, t) ，对于任意空间
点 x ，以某一瞬时 t 为中心，在时间间隔 T 内求平均，
即：
A时
x,
t
1 T
tT
A 2
tT
x, t
dt
2
其中，T 为平均周期，它的选取一般要求大于脉动周期
，而小于流体的特征时间尺度。
②空间平均值：
对于任意时间 t ，以某一空间点 x 为中心，对一定 的空间尺度求平均，即：
A空x, t
Af AdA
而由于物理量量的值通常总是发生一定的有限范围之
内的，故通常采用下式来计算有限范围 A1 ~ A1 内
系统平均值：
A系x, t
A1 Af AdA
A1
以上就是处理湍流运动将经常用到的平均值的定义， 尤其是时间平均用得最多。
定义平均值后，可以将湍流运动表示为： 湍流运动 = 平均运动+脉动运动
为了平均化运算的方便，进行适当变换，可得：
u (uu) (uv) (uw) 1 p 2u u( u v w )
t x y
z
x
x y z
u (uu) (uv) (uw) 1 p 2u
t x y
z
x
将任意物理量表示为： A A A
速度分量为：
u u u;v v v; w w w; p p p
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边界层内
流体力学
v << u
∂u ∂x << ∂u ∂y
普朗特边界层微分方程2
引入无量纲量
t ~1 t′ = l V∞
x x′ = ~ 1 l v ~ δ′ v′ = V∞
δ y y′ = ~ δ ′ = l l
p p′ = ~1 2 ρV∞
u u′ = ~1 V∞
∂u′ ∂v ′ + =0 ∂x ′ ∂y ′
流体力学
顺流平板层流边界层6
1 2 140 μ δ = x+C 2 13 ρV∞
边界条件
x = 0时， δ = 0
μ x δ = 4.641 ρV∞
ρ xV∞ 由 Re x = μ
流体力学
δ = 4.641
x Re x
顺流平板层流边界层7
μ x δ = 4.641 ρV∞ δ = 4.641
x Re x
∗ 0 ∞
U
δ =∫
*
∞ 0
u (1 − )dy U
δ*
μ=0 u=U
边界层内由粘性影响减少的流量＝理想流 体流过物面时表面向外移动 δ* 减少的流量
δ =∫
*
δ
0
u (1 − )dy U
流体力学
边界层内的厚度4
动量损失厚度
y dy y
u = u(y)
U
U
θ
μ≠0
μ=0 u=U
边界层内由于粘性的影响，动量流量比 理想流体流经该区域时有所减少
流体力学
8.3 边界层动量积分方程
对控制体的动量方程－近似计算方法
假设 定常不可压 二元边界层 物面曲率很小
B x y U A
C
δ
δ+ dδ
D x+ dx
x
CV所受外力之和＝净流出CV的动量流率
流体力学
边界层动量积分方程2
控制体在x方向所 受合力
dp Fx = −δ dx − τ w dx dx
δ′
2
1
1 δ ′2
∂v ′ ∂v ′ ∂v ′ ∂p′ 1 ⎛ ∂ 2v′ ∂ 2v′ ⎞ ⎜ + + u′ + v′ =− ⎜ ∂ x ′ 2 + ∂y ′ 2 ⎟ ⎟ ∂y ′ ∂y′ Re l ⎝ ∂t ′ ∂x ′ ⎠
δ′
流体力学
1× δ ′
δ ′×1
δ′
2
δ′
1 δ′
普朗特边界层微分方程4
1 p + ρU 2 = C 2
dU 1 dp − =U ρ dx dx
∂u ∂v + =0 ∂x ∂y ∂u ∂u ∂u ∂ 2u dU +u +v =U +ν 2 ∂t ∂x ∂y ∂y dx
曲率半径远大于边界层厚度时均适用
流体力学
边界层的主要特征
与物体特征长度比，边界层厚度很小 边界层沿流体流动方向逐渐增厚，其外 缘与流线不重合 边界层内沿壁面法线方向速度梯度很大 边界层内沿壁面法线方向各点压强相等 边界层内流动也有层流、紊流两种流态
y U A
pAC
C
α
δ δ+ dδ
p
B x
τw
p+ dp
D x+ dx x
控制体 x 方向动量的净流出率
d dx
流体力学
(∫
δ
0
d ρ u dy dx − U dx
2
)
(∫
δ
0
ρ udy dx
)
边界层动量积分方程3
边界层动量积分方程
d dx
(∫
δ
0
d ρ u dy − U dx
2
)
(∫
δ
0
dp ρ udy = −τ w − δ dx
流体力学
速度分布在边界上应满足的条件1
应用动量积分方程解边界层问题
τw dθ 1 dU ∗ + ( 2θ + δ ) = ρU 2 dx U dx
方程未知数 u , δ , τw , 需补充关系式 边界层速度分布 壁面摩擦应力
流体力学
速度分布在边界上应满足的条件2
速度分布满足的主要条件 无滑移边界条件
y = 0时，u = 0，v = 0
流体力学
8.4 顺流平板层流边界层
问题
均匀来流
V∞ = C p∞ = C
V∞ 前缘 δ(x) 层流 x y
粘性、不可压、定常、二元 层流边界层，板长为L
边界层厚度
流体力学
τw dθ 1 dU ∗ + ( 2θ + δ ) = ρU 2 dx U dx
顺流平板层流边界层2
边界层厚度
μ δ = 5.0 x ρV∞
CD = 1.328 Re L
平板阻力系数
流体力学
顺流平板层流边界层－例题1
例：矩形平板边长为a和b，若在静止流体中沿边 例：矩形平板边长为a和b，若在静止流体中沿边 a方向以Uaa拖动平板与沿边b方向以Ubb拖动平 a方向以U 拖动平板与沿边b方向以U 拖动平 板的阻力相等，求Uaa//Ubb，层流边界层。 板的阻力相等，求U U ，层流边界层。
流体力学
概述2
边界层的概念 边界层动量积分方程及其求解
顺流平板边界层的计算
曲壁边界层分离 绕流物体的升力和阻力
流体力学
8.1 边界层的概念
高 Re 数绕流，Re >> 1 数绕流，Re
近壁区 薄层
∂u 速度梯度 很大 ∂y
V∞ 前缘 δ(x) 边界层 x y 外部流动区
粘性影响不能忽略，有旋 外部流动
由 Da = Db
3 3 1.328 ρb U a aν = 1.328 ρa U b bν
Ua 3 a = Ub b
流体力学
顺流平板层流边界层－例题2
例：水流速度V∞，密度为 ρ ，动力粘性系数 μ， 例：水流速度V∞，密度为 ρ ，动力粘性系数 μ， 水流方向与三角形对称轴方向一致，设边界 水流方向与三角形对称轴方向一致，设边界 层为层流边界层，求平板两侧受到的阻力。 层为层流边界层，求平板两侧受到的阻力。
解：沿边 a 方向拖动
1 2 D = C D ρV∞ A × 2 2
Ua b a
其中： V∞ = U a A = ab
Re l =
流体力学
Uaa
ν
1.328 1.328 CD = = Uaa ν Re l
顺流平板层流边界层－例题1
1.328 2 3 Da = ρU a ab = 1.328 ρb U a aν Uaa ν
流体力学
∂v ′ ∂u′ =− ~1 ∂x ′ ∂y ′
普朗特边界层微分方程3
∂u′ ∂u′ ∂p′ ∂u′ 1 ⎛ ∂ 2 u′ ∂ 2 u′ ⎞ ⎜ + v′ =− + + u′ ⎜ ∂x ′ 2 + ∂y ′ 2 ⎟ ⎟ ∂x′ Re l ⎝ ∂t ′ ∂x ′ ∂y ′ ⎠ 1 1× 1 1 δ′× δ′
普朗特边界层微分方程
V∞ y 外部流动区 边界层 x δ(x)
∂u ∂v + =0 ∂ x ∂y ∂u ∂u ∂u 1 ∂p ∂ 2u +u +v =− +ν 2 ∂t ∂x ∂y ∂y ρ ∂x ∂p =0 ∂y
前缘
边界层内压强沿 y (垂直来流)方向保持不变
流体力学
普朗特边界层微分方程5
外部势流压强可由伯努利方程求得
y=0 u = 0, v = 0
τ = τw
边界层外界与势流衔接处条件
y=δ
流体力学
u=U
τ =0
∂u =0 ∂y
速度分布在边界上应满足的条件3
速度对 y 的各阶导数均为零
∂ nu =0 n ∂y
n = 1, 2, 3 L
由二元定常边界层 N-S 方程
∂u ∂u dU ∂ 2u u +v =U +ν 2 ∂x ∂y dx ∂y
从物面沿外法线到速度达到势流速度99% 处的距离 边界层厚度沿流动方向不断增大
流体力学
边界层内的厚度2
位移厚度
y dy y
u = u(y)
U
U
δ*
μ≠0
μ=0 u=U
边界层内由于粘性的影响，质量流量比 理想流体流经该区域时有所减少
流体力学
边界层内的厚度3
位移厚度 (排挤厚度)
ρUδ = ∫ ρ (U − u )dy
y = 0时，u = 0，v = 0
流体力学
∂2u U dU =− 2 ν dx ∂y
速度分布在边界上应满足的条件4
∂u ∂u dU ∂ 2u u +v =U +ν 2 ∂x ∂y dx ∂y
对 y 求导
∂u ⎛ ∂u ∂v ⎞ ∂ 2u ∂2u ∂ 3u ⎜ ∂x + ∂y ⎟ + u ∂x ∂y + v ∂y 2 = ν ∂y 3 ∂y ⎝ ⎠ ∂3u =0 3 ∂y
第八章 粘性不可压缩流体绕物体 的流动
内流
在固壁限定的空间内流动
管流、通道流
外流
流体从物体外部流过
飞机在大气中飞行，潜艇在水中航行
流体力学
概述1
粘性、不可压、定常、绕流
边界层的概念、动量积分方程、曲壁边界 层的分离，绕流物体的升、阻力
基础知识
不可压缩流体积分形式控制方程组， 园管紊流速度的幂次分布规律，雷诺 数，理想流体圆柱绕流，逆压梯度
a=0
前缘
δ(x)
层流 x
边界层与势流衔接处， y = δ 时，u = V∞
V∞ = bδ + cδ 2 + dδ 3