流体力学第八章

)
适用条件 不可压定常 二元边界层，物面曲率很小 对层流边界层和紊流边界层均适用
流体力学
动量积分方程的其它形式
d dU 2 Uδ ∗ = τ w ρ (U θ ) + ρ dx dx
或
τw dθ 1 dU ∗ + ( 2θ + δ ) = ρU 2 dx U dx
令 H = δ ∗ θ 形状因子
τw dθ θ dU + (2 + H ) = 2 dx U dx ρU
由 Da = Db
3 3 1.328 ρb U a aν = 1.328 ρa U b bν
Ua 3 a = Ub b
流体力学
顺流平板层流边界层－例题2
例：水流速度V∞，密度为 ρ ，动力粘性系数 μ， 例：水流速度V∞，密度为 ρ ，动力粘性系数 μ， 水流方向与三角形对称轴方向一致，设边界 水流方向与三角形对称轴方向一致，设边界 层为层流边界层，求平板两侧受到的阻力。 层为层流边界层，求平板两侧受到的阻力。
δ′
2
1
1 δ ′2
∂v ′ ∂v ′ ∂v ′ ∂p′ 1 ⎛ ∂ 2v′ ∂ 2v′ ⎞ ⎜ + + u′ + v′ =− ⎜ ∂ x ′ 2 + ∂y ′ 2 ⎟ ⎟ ∂y ′ ∂y′ Re l ⎝ ∂t ′ ∂x ′ ⎠
δ′
流体力学
1× δ ′
δ ′×1
δ′
2
δ′
1 δ′
普朗特边界层微分方程4
y U A
pAC
C
α
δ δ+ dδ
p
B x
τw
p+ dp
D x+ dx x
控制体 x 方向动量的净流出率
d dx
流体力学
(∫
δ
0
d ρ u dy dx − U dx
2
)
(∫
δ
0
ρ udy dx
)
边界层动量积分方程3
边界层动量积分方程
d dx
(∫
δ
0
d ρ u dy − U dx
2
)
(∫
δ
0
dp ρ udy = −τ w − δ dx
∗ 0 ∞
U
δ =∫
*
∞ 0
u (1 − )dy U
δ*
μ=0 u=U
边界层内由粘性影响减少的流量＝理想流 体流过物面时表面向外移动 δ* 减少的流量
δ =∫
*
δ
0
u (1 − )dy U
流体力学
边界层内的厚度4
动量损失厚度
y dy y
u = u(y)
U
U
θ
μ≠0
μ=0 u=U
边界层内由于粘性的影响，动量流量比 理想流体流经该区域时有所减少
边界层厚度
μ δ = 5.0 x ρV∞
CD = 1.328 Re L
平板阻力系数
流体力学
顺流平板层流边界层－例题1
例：矩形平板边长为a和b，若在静止流体中沿边 例：矩形平板边长为a和b，若在静止流体中沿边 a方向以Uaa拖动平板与沿边b方向以Ubb拖动平 a方向以U 拖动平板与沿边b方向以U 拖动平 板的阻力相等，求Uaa//Ubb，层流边界层。 板的阻力相等，求U U ，层流边界层。
τw dθ = dx ρ U 2
d δ u dx ∫0 V∞ ⎛ u ⎜1 − V∞ ⎝
y V∞ 前缘 δ(x) 层流 x
即
⎞ τw ⎟ dy = ρV∞2 ⎠
补充方程1－速度分布方程
u = f ( y)
流体力学
顺流平板层流边界层3
u = a + by + cy + dy
2 3
y V∞
无滑移边界条件 y = 0时，u = 0
b x dx l x
流体力学
顺流平板层流边界层9
3 D = 0.6464 μρV∞ l b
o
b x dx l x
阻力系数
1 D = C D ρV∞2 A 2
阻力等于阻力系数，来流动压和参考面积 的乘积
流体力学
顺流平板层流边界层10
C D = 1.293 1 Re L
层流边界层微分方程勃拉休斯精确解
y=0 u = 0, v = 0
τ = τw
边界层外界与势流衔接处条件
y=δ
流体力学
u=U
τ =0
∂u =0 ∂y
速度分布在边界上应满足的条件3
速度对 y 的各阶导数均为零
∂ nu =0 n ∂y
n = 1, 2, 3 L
由二元定常边界层 N-S 方程
∂u ∂u dU ∂ 2u u +v =U +ν 2 ∂x ∂y dx ∂y
∂ 2u = 2c = 0 2 ∂y
3V∞ V∞ , d=− 3 a=c=0 , b= 2δ 2δ
流体力学
顺流平板层流边界层5
3 ⎛ V∞ y ⎞ u= ⎜3y − 2 ⎟ 2δ ⎝ δ ⎠
补充方程2－壁面切应力方程
⎛ du ⎞ τw = μ ⎜ ⎟ ⎝ dy ⎠ y=0
3 V∞ τw = μ 2 δ
流体力学
速度梯度很小，可忽略粘性
边界层的概念2
边界层 粘性有旋
高 Re 数绕流
外部势流 理想无旋 尾流区 粘性有旋
边界层 高 Re 流动时，贴近固体壁面附近的速 度梯度很大，粘性影响不能忽略并且流 动有旋的薄层
流体力学
边界层内的厚度1
名义边界层厚度
y V∞ 前缘 δ(x) 边界层 x
δ (x)
外部流动区
边界层内
流体力学
v << u
∂u ∂x << ∂u ∂y
普朗特边界层微分方程2
引入无量纲量
t ~1 t′ = l V∞
x x′ = ~ 1 l v ~ δ′ v′ = V∞
δ y y′ = ~ δ ′ = l l
p p′ = ~1 2 ρV∞
u u′ = ~1 V∞
∂u′ ∂v ′ + =0 ∂x ′ ∂y ′
边界层内的流动状态1
V∞ 层流边界层 转捩区
紊流边界层 x
平板前缘开始
x ↑, δ ↑, Re ↑
层流边界层 转捩点 紊流边界层
流体力学
边界层内的流动状态2
边界层流动状态的判据
Re x = Ux
ν
Reδ =
Uδ
ν
其中，x 为物面上一点到前缘的距离
(Re x )cr = 3 × 105 ~ 3 × 106
1 p + ρU 2 = C 2
dU 1 dp − =U ρ dx dx
∂u ∂v + =0 ∂x ∂y ∂u ∂u ∂u ∂ 2u dU +u +v =U +ν 2 ∂t ∂x ∂y ∂y dx
曲率半径远大于边界层厚度时均适用
流体力学
边界层的主要特征
与物体特征长度比，边界层厚度很小 边界层沿流体流动方向逐渐增厚，其外 缘与流线不重合 边界层内沿壁面法线方向速度梯度很大 边界层内沿壁面法线方向各点压强相等 边界层内流动也有层流、紊流两种流态
顺流平板
流体力学
(Reδ )cr = 4 × 103
普朗特边界层微分方程1
不可压缩流体绕二维平板的层流流动
∂u ∂v =0 + ∂ x ∂y ⎛ ∂ 2u ∂ 2u ⎞ 1 ∂p ∂u ∂u ∂u +u +v =− +ν ⎜ 2 + 2 ⎟ ⎜ ∂x ρ ∂x ∂t ∂x ∂y ∂y ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ∂ 2v ∂ 2v ⎞ 1 ∂p ∂v ∂v ∂v +u +v =− +ν ⎜ 2 + 2 ⎟ ⎜ ∂x ρ ∂y ∂x ∂y ∂y ⎟ ∂t ⎝ ⎠
y = 0时，u = 0，v = 0
流体力学
∂2u U dU =− 2 ν dx ∂y
速度分布在边界上应满足的条件4
∂u ∂u dU ∂ 2u u +v =U +ν 2 ∂x ∂y dx ∂y
对 y 求导
∂u ⎛ ∂u ∂v ⎞ ∂ 2u ∂2u ∂ 3u ⎜ ∂x + ∂y ⎟ + u ∂x ∂y + v ∂y 2 = ν ∂y 3 ∂y ⎝ ⎠ ∂3u =0 3 ∂y
流体力学
顺流平板层流边界层6
1 2 140 μ δ = x+C 2 13 ρV∞
边界条件
x = 0时， δ = 0
μ x δ = 4.641 ρV∞
ρ xV∞ 由 Re x = μ
流体力学
δ = 4.641
x Re x
顺流平板层流边界层7
μ x δ = 4.641 ρV∞ δ = 4.641
x Re x
流体力学
概述2
边界层的概念 边界层动量积分方程及其求解
顺流平板边界层的计算
曲壁边界层分离 绕流物体的升力和阻力
流体力学
8.1 边界层的概念
高 Re 数绕流，Re >> 1 数绕流，Re
近壁区 薄层
∂u 速度梯度 很大 ∂y
V∞ 前缘 δ(x) 边界层 x y 外部流动区
粘性影响不能忽略，有旋 外部流动
从物面沿外法线到速度达到势流速度99% 处的距离 边界层厚度沿流动方向不断增大
流体力学
边界层内的厚度2
位移厚度
y dy y
u = u(y)
U
U
δ*
μ≠0
μ=0 u=U
边界层内由于粘性的影响，质量流量比 理想流体流经该区域时有所减少
流体力学
边界层内的厚度3
位移厚度 (排挤厚度)
ρUδ = ∫ ρ (U − u )dy
沿边 b 方向拖动
1 2 D = C D ρV∞ A × 2 2
Ub a
其中： V∞ = U b
Re l =
流体力学
A = ab
b
U bb
ν
1.328 1.328 CD = = U bb ν Re l
顺流平板层流边界层－例题1
1.328 Db = ρU b2ba = 1.328 ρa U b3bν U bb ν
普朗特边界层微分方程
V∞ y 外部流动区 边界层 x δ(x)
∂u ∂v + =0 ∂ x ∂y ∂u ∂u ∂u 1 ∂p ∂ 2u +u +v =− +ν 2 ∂t ∂x ∂y ∂y ρ ∂x ∂p =0 ∂y
前缘
边界层内压强沿 y (垂直来流)方向保持不变
流体力学
普朗特边界层微分方程5
外部势流压强可由伯努利方程求得
流体力学
8.3 边界层动量积分方程
对控制体的动量方程－近似计算方法
假设 定常不可压 二元边界层 物面曲率很小
B x y U A
C
δ
δ+ dδ
D x+ dx
x
CV所受外力之和＝净流出CV的动量流率
流体力学
边界层动量积分方程2
控制体在x方向所 受合力
dp Fx = −δ dx − τ w dx dx
层流边界层厚度与流体性质、来流速度 及距前缘的距离有关
δ ∝ x1 2
壁面切应力
流体力学
3 V∞ τw = μ 2 δ
顺流平板层流边界层8
τ w = 0.3232 μρV∞3
x
随着离平板前缘距离 x 的增大，壁面切应 力减小
壁面摩擦力
一 侧 表 面 所 D = τ bdx ∫0 w 受的摩擦力
l
o
y = 0时，u = 0，v = 0
流体力学
8.4 顺流平板层流边界层
问题
均匀来流
V∞ = C p∞ = C
V∞ 前缘 δ(x) 层流 x y
粘性、不可压、定常、二元 层流边界层，板长为L
边界层厚度
流体力学
τw dθ 1 dU ∗ + ( 2θ + δ ) = ρU 2 dx U dx
顺流平板层流边界层2
a=0
前缘
δ(x)
层流 x
边界层与势流衔接处， y = δ 时，u = V∞
V∞ = bδ + cδ 2 + dδ 3
du τ =μ =0 dy
y = δ 时，τ = 0
流体力学
顺流平板层流边界层4
b + 2cδ + 3dδ = 0
2
y V∞ 前缘 δ(x) 层流 x
固体壁面上 y = 0 时
∂2u U dU =− 2 ν dx ∂y dU 由 =0 dx
流体力学
∂v ′ ∂u′ =− ~1 ∂x ′ ∂y ′
普朗特边界层微分方程3
∂u′ ∂u′ ∂p′ ∂u′ 1 ⎛ ∂ 2 u′ ∂ 2 u′ ⎞ ⎜ + v′ =− + + u′ ⎜ ∂x ′ 2 + ∂y ′ 2 ⎟ ⎟ ∂x′ Re l ⎝ ∂t ′ ∂x ′ ∂y ′ ⎠ 1 1× 1 1 δ′× δ′
流体力学
边界层内的厚度5
动量损失厚度
U
(ρUθ )U = ∫0
θ =∫
∞wk.baidu.com0
∞
ρu(U − u ) dy
θ
μ=0 u=U
u⎛ u⎞ ⎜ 1 − ⎟ dy U⎝ U⎠
边界层内由于粘性影响而减少的动量流量＝ 理想流体以速度 U 流过面积为 θ 的动量流量
θ=∫
流体力学
δ
0
u⎛ u⎞ ⎜ 1 − ⎟ dy U⎝ U⎠
解：沿边 a 方向拖动
1 2 D = C D ρV∞ A × 2 2
Ua b a
其中： V∞ = U a A = ab
Re l =
流体力学
Uaa
ν
1.328 1.328 CD = = Uaa ν Re l
顺流平板层流边界层－例题1
1.328 2 3 Da = ρU a ab = 1.328 ρb U a aν Uaa ν
流体力学
速度分布在边界上应满足的条件1
应用动量积分方程解边界层问题
τw dθ 1 dU ∗ + ( 2θ + δ ) = ρU 2 dx U dx
方程未知数 u , δ , τw , 需补充关系式 边界层速度分布 壁面摩擦应力
流体力学
速度分布在边界上应满足的条件2
速度分布满足的主要条件 无滑移边界条件
第八章 粘性不可压缩流体绕物体 的流动
内流
在固壁限定的空间内流动
管流、通道流
外流
流体从物体外部流过
飞机在大气中飞行，潜艇在水中航行
流体力学
概述1
粘性、不可压、定常、绕流
边界层的概念、动量积分方程、曲壁边界 层的分离，绕流物体的升、阻力
基础知识
不可压缩流体积分形式控制方程组， 园管紊流速度的幂次分布规律，雷诺 数，理想流体圆柱绕流，逆压梯度