数学物理方程-第1章
数学物理方程第一章、第二章习题全解
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数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
2δρ ut ( x , 0 ) = k ( c - δ≤ x ≤ c + δ) 在这个小段外,初速度仍为零, 我们想得到的是 x = c 处受到冲 击的初速度 , 所 以 最后 还 要 令 δ→ 0。此 外 , 弦是 没 有 初 位 移的 , 即 u( x, 0) = 0 , 于是初始条件为
3. 有一均匀杆 , 只要杆中任一小段有纵向位移或速度 , 必导致 邻段的压缩或伸长, 这种伸缩传开去, 就有纵波沿着杆传播, 试推导 杆的纵振动方程。
解 如图 1 9 所示, 取杆
长方向为 x 轴正向, 垂直于杆长
方向的 各截 面 均 用 它 的 平 衡 位 置 x 标记 , 在时刻 t, 此截面相对
u( x, 0) = 0 0,
ut ( x , 0 ) = δkρ,
| x - c| >δ | x - c | ≤ δ (δ→ 0)
所以定解问题为
utt - a2 uxx = 0
u(0 , t) = u( l, t) = 0 u( x, 0) = 0 , ut ( x , 0 ) =
0, | x - c| > δ δkρ, | x - c | ≤ δ (δ→ 0 )
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数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
第一章 课后习题全解
1 .4 习题全解
1. 长为 l 的均匀杆 , 侧面绝缘 , 一端温度为零 , 另一端有恒定热
流 q进入 ( 即单位时间内通过单位截面积流入的热量为 q) , 杆的初始
温度分布是 x( l 2
x) ,试写出相应的定解问题。
解 见图 1 8, 该问题是一维热传导方程, 初始条件题中已给
u x
第一章 数学物理中的偏微分方程
M'
T'
u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x
ds
'
T
M
gds
x x dx x
T T '
其中： m
ds
u ( x dx, t ) u( x, t ) T gds ma x x
举例(多元函数)
2u 2u 2u 2 2 0 2 x y z u u u u 2 2 2 x y z t
2 2 2
拉普拉斯(Laplace)方程
热传导方程
u u u u 2 2 2 2 x y z t
2 2 2 2
波动方程
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物理模型与定解问题的导出
15
弦振动方程的导出
16
一长为L的柔软均匀细弦，拉紧后，当它 受到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微 小横振动。 假设这运动发生在同一平面内， 求弦上各点位移随时间变化规律。
弦上各点作往返运动的主要原因在于弦的张力 作用，弦在运动过程中各点的位移、加速度和张力 都在不断变化，但它们遵循物理的运动规律。由此 可以建立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。
2 vxvxx vy vyy v2
拟线性PDE
8.
9.
拟线性PDE
a( x, y)(vxx vyy ) ev (vx vy )
半线性PDE
10. 11.
ut ux sin u
半线性PDE 完全非线性PDE
ut ux
2
2
u2
12
1.2 三个典型的方程
数学物理方程
方程 uxx uyy A5ux B5uy C5u D5, 称为椭圆型方程的 标准形。
三、方程的化简
步骤：第一步：写出判别式 a122 a11a22 ，根据判别式判 断方程的类型；
第二步：根据方程（1）写如下方程
a11
(
dy dx
)
2
2a12
dy dx
a22
0
(2)
称为方程（1）的特征方
(2)当 0 时，特征线 (x, y) c. 令 (x, y), (x, y).
其中 (x, y)是与 (x, y)线性无关的任意函数，这样以, 为新变量方程(1)化为标准形 u Au Bu Cu D,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
(3)当 0 时，令 1 ( ), 1 ( ). 以 , 为新
程。方程（2）可分解为两个一次方程
dy a12 (3)
dx
a11
称为特征方程，其解为特征线。
设这两个特征线方程的特征线为 (x, y) c1, (x, y) c2.
令 (x, y), (x, y).
第三步(1)当 0 时，令 (x, y), (x, y). 以 , 为 新变量方程（1）化为标准形 u Au Bu Cu D, 其中A,B,C,D都是, 的已知函数。
(3)若在(x0, y0 ) 处 0, 称方程（1）在点 (x0, y0 ) 处为椭圆型方程。
例：波动方程 utt a2uxx f (x,t) a2 0 双曲型
热传导方程 ut a2uxx f (x,t) 0 抛物型
位势方程 uxx uyy f (x, y) 1
椭圆型
二、方程的标准形式
定义：方程
uxy A1ux B1uy C1u D1,
第1章 数学物理方程及定解问题
2
T
ρ
, f (x, t) =
F(x, t)
ρ
, 得 力 用 ,弦 动 程 外 作 下 振 方 为
一维非齐次波动方程
∂ 2 u( x , t ) ∂ 2 u( x , t ) − a2 = f ( x , t ). 2 2 ∂t ∂x
二维波动方程或膜振动方程
一块均匀的紧张的薄膜，离开静止水平位置作垂直 于水平位置的微小振动，其运动规律满足
2 ∂ 2u ∂ 2u 2∂ u = a 2 + 2 + f ( x, y , t ) 2 ∂t ∂y ∂x
在时刻t , 弦段[ x , x + ∆x ]的动量为 x + ∆x ∂u( x , t ) ∫x ρ ∂t dx;
x + ∆x x
在时刻t + ∆t , 弦段[ x , x + ∆x ]的动量为 x + ∆x ∂u( x , t + ∆t ) dx . ∫x ρ ∂t
∫
=∫
∂u( x , t + ∆ t ) ∂u( x , t ) − ρ dx . ∂t ∂t
第一节 波动方程及定解条件
1.一维波动方程或弦振动方程 一维波动方程或弦振动方程
物理模型
一长为 l 的柔软、均匀的细弦，拉紧以后，让它离 的柔软、均匀的细弦，拉紧以后， 开平衡位置在垂直于弦线的外力作用下作微小横振 求弦上个点的运动规律。 动，求弦上个点的运动规律。
张紧的、静止的弦是一直线，该直线是弦的 平衡位置，以此为 x 轴。振动总是传播到整 根弦，横振动就是弦中的质点离开平衡位置 的位移垂直于 x 轴， 可用 t 时刻弦上各质点 x 离开平衡位置的横向位移 u ( x, t ) 来描述弦的 状态， 某一时刻 u ( x, t ) 的分布代表弦的形状， 称为位形。由于弦中质点的位移不同导致弦 的形变，形变产生应力，为了便于应力的描 述，不妨假定所研究的弦为“柔软的”弦。
数学物理方程 第一章典型方程和定解条件
sin ' tan ' u(x dx,t)
x
则
T T'
u
M'
ds
T'
'
M
gds
T
x
x dx x
T
u(
x dx, x
t)
u ( x, x
t
)
gds
ma
T
u(x dx,t) x
u ( x, x
t)
gds
ma
m ds
其中：
a 2u(x,t) t 2
ds dx
T
u(x dx,t) x
微小： 振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。
u
M'
ds
T'
'
M
gds
T
x
x dx x
牛顿运动定律：
横向：T cos T 'cos ' 0
纵向：T sin T 'sin ' gds ma 其中： cos 1 2 4 1
2! 4!
cos ' 1
sin tan u(x,t)
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学与物理的关系
数理不分家
☆ 数学物理方程： 用数学方程来描述一定的物理现象
数学物理方程（简称数理方程）是指自然科学和工程技术的各门 分支学科中出现的一些偏微分方程(有时也包括积分方程、微分方程等)， 它们反映了物理量关于时间的导数和关于空间变量的导数 之间的制约关系。例如声学、流体力学、电磁学、量子力学等等 方面的基本方程都属于数学物理方程的研究对象。
• 如图，取杆长方向为x轴方向，垂直于杆长 方向的各截面均用平行位置x标记；在任一 时刻t，此截面相对于平衡位置的位移为u( x, t )
数理方程 - 01 - 数理方程绪论
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通解（一般解）
• 一般来讲，一阶偏微分方程的解依赖一个任意函数， 二阶方程依赖两个任意函数。 • 通解或一般解：m 阶偏微分方程的解如果包含有 m 个任意函数。 • 注意：这 m 个函数不能合并，如 f + g 其实就相当于 一个任意函数。
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例
• 求 tuxt 2ux 2 xt 的通解
M1
M2 d
O
x
x+x
x
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受力分析
3. 惯性力：
▫ 惯性会使物体有保持原有运动状态的倾向，若是以该 物体为参照物，看起来就仿佛有一股方向相反的力作 用在该物体上，故称之为惯性力：F = -ma。 每点的质量为 dm ( x)dx ，每点的加速度为 a utt ， 所有点求和得到积分，即惯性力为
2 ▫ 设 v ux ，则化为 vt v 2 x t
▫ 视 x 为参数，则为关于 v 的一阶常微分方程，
2 2 dt dt 2 2 3 t t ▫ 由求解公式可得 v e 2 xe dt G( x) t G ( x) xt 3
第一章----波动方程
总之：
无外力作用的一维弦振动方程：
2u t 2
a2
2u x2
0
外力作用下的弦振动方程：
(1.4)
2u t 2
a2
2u x2
f (x,t)
(1.5)
其中 a2 T , f F , f 称为非齐次项（自由项）。
注：弦振动方程也叫波动方程，因为它描述的是一种 振动或波动现象，后面将给出解释。
1973年布莱克（Black）和休尔斯（Scholes）建立了倒向 微分方程决定欧式期权的无套利价格：
f t
rS
f S
1 2S2
2
2 f S 2
rf
这里，对买入期权有 f (S,t) |tT max{ST X ,0} ；对卖出期权有
f (S,t) |tT max{X ST ,0} 。其中 r 为无风险利率， S 为股票价格，
一般步骤（从宇宙探星谈起）： 1、将物理问题归结为数学上的定解问题； 2、求解定解问题； 3、对求得的解给出物理解释。
四、偏微分方程的研究内容－适定性的概念
1、存在性 2、唯一性 3、稳定性
如果一个定解问题的解是存在的、 唯一的，而且是稳定的，则称该定 解问题是适定的。
五、微分方程的重要作用
可以说有了微积分，就有了微分方程 （微积分是17世纪为了解决物理、力学、 天体问题而产生的，而这些问题多为数学 物理方程）。
1 (tan )2 dx 1 2 dx dx
（2）弦上各点的张力是常数
由于弦做横振动，弦沿 x 轴无运动，所以合力为零
T1 cos1 T2 cos2 T1 T2 T
数学物理方程答案谷超豪
数学物理方程答案谷超豪【篇一：数学物理方程第二版答案(平时课后习题作业)】>第一章．波动方程1 方程的导出。
定解条件4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。
解：如图2，设弦长为l，弦的线密度为?，则x点处的张力t(x)为t(x)??g(l?x)且t(x)的方向总是沿着弦在x点处的切线方向。
仍以u(x,t)表示弦上各点在时刻t沿垂直于x轴方向的位移，取弦段(x,x??x),则弦段两端张力在u轴方向的投影分别为?g(l?x)sin?(x);?g(l?(x??x))sin?(x??x)其中?(x)表示t(x)方向与x轴的夹角又sin??tg??于是得运动方程?u ?x.?u?2u?u??x2?[l?(x??x)]∣x??x?g?[l?x]∣?g?xx?x?t利用微分中值定理，消去?x，再令?x?0得?2u??u?g[(l?x)]。
?x?x?t25. 验证u(x,y,t)?1t2?x2?y2在锥t?x?y0中都满足波动方程222?2u?2u?2u1222证：函数在锥0内对变量t?x?y??u(x,y,t)?222222?t?x?y?x?yx,y,t有二阶连续偏导数。
且232?u??(t2?x2?y2)?t??t35??u(t2?x2?y2)2?3(t2?x2?y2)2?t22?t?(t2?x2?y2)?32?(2t2?x2?y2)?u?(t2?x2?y2)?x?32?x?2u?x2?t?x?22352?2222?22?y?3t?x?yx??????52??u同理 ??t2?x2?y2?2?t2?x2?2y2?2?y所以即得所证。
2 达朗贝尔公式、波的传抪3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题） 2??2u2?u?2?a2t?x??ux?at?0??(x) ??(0)??(0)? ?u??(x).?x?at?0?5??t2?x2?y22t2?2x2?y2??2u?x2?2u?y2?t?x??225?y22??2t2?x?y22???t2.?2u解：u(x,t)=f(x-at)+g(x+at) 令 x-at=0 得 ?(x)=f（0）+g（2x）令x+at=0 得 ?(x)=f（2x）+g(0) 所以 f(x)=?()-g(0). g（x）=?()-f(0). 且 f（0）+g(0)=?(0)??(0). 所以 u(x,t)=?(x2x2x?atx?at)+?()-?(0). 22即为古尔沙问题的解。
数学物理方程 陈才生主编 课后习题答案 章
1.1 基本内容提要
1.1.1 用数学物理方程研究物理问题的步骤 (1) 导出或者写出定解问题,它包括方程和定解条件两部分; (2) 求解已经导出或者写出的定解问题; (3) 对求得的解讨论其适定性并且作适当的物理解释.
1.1.2 求解数学物理方程的方法 常见方法有行波法(又称D’Alembert解法)、分离变量法、积分变换法、Green函
q = −k∇u,
其中k 为热传导系数,负号表示热量的流向和温度梯度方向相反.写成分量的形式
qx = −kux, qy = −kuy, qz = −kuz.
(3) Newton冷却定律. 物体冷却时放出的热量−k∇u 与物体和外界的温度差 u 边 − u0 成正比, 其 中u0为周围介质的温度.
·2·
1 n
en2
t
sin nx
(n
1), 满足
ut = −uxx,
(x, t) ∈ R1 × (0, ∞),
u(x, 0) = 1 +
1 n
sin
nx,
x ∈ R1.
显然, 当n → +∞时supx∈R
un(x, 0) − 1
=
1 n
→
0.
但是, 当n → ∞时
sup
x∈R1 ,t>0
un(x, t) − 1
∂2u ∂t2
=
E ρx2
∂ ∂x
x2
∂u ∂x
.
(1.3.9)
解 均匀细圆锥杆做微小横振动,可应用Hooke定律,并且假设密度ρ是常数. 以u¯ 表 示 图1.1所 示[x, x + ∆x]小 段 的 质 心 位 移, 小 段 质 量 为ρS∆x, S是 细
数学物理方程：第1章 数学物理方程的定解问题
第1章 数学物理方程的定解问题§1.1 数学物理方程的一般概念本节讨论：①数学物理方程的基本概念，②三类基本方程的数学表示，③一些简单解法▲数学物理方程的任务与特点 数学物理方程（亦称数理方程）在数学上为二阶偏微分方程。
它的任务有两个方面：①寻找数学定解问题的求解方法，给出解的表达式和计算方法；②通过理论分析得出问题的通解或某些特解的一般性质。
数学物理方程有如下特点：①它紧密地、直接地联系物理学、力学与工程技术中的许多问题。
②它广泛地运用数学物理中许多的技术成果。
如：数学中的复变函数、积分变换、常微分方程、泛函分析、广义函数等等，物理学中的力学、电学、磁学、热力学、原子物理学、振动与波、空气动力学等等。
⒈ 一些基本概念数学物理方程是物理过程中的一些偏微分方程。
由于物理过程是十分复杂的，故它们的数学表达式也是十分广泛的。
本书不能将众多的数学物理方程一一讨论，仅讨论一些常用的二阶线性微分方程。
一般而言，二阶线性偏微分方程可写为2,11nn ij i i j i i j i u u Lu a b cu f x x x ==∂∂=++=∂∂∂∑∑ （1.1.1） 式中：自变量),,(1n x x x ⋅⋅⋅=，系数ij a 、i b 、c 为x 的函数或为常数，并且ji ij a a =。
由于式中关于未知函数u 的导数最高为二阶导数，故方程称为二阶微分方程；同样，由于x 为n 维向量，方程也称为n 维方程；由于方程中对u 的各阶偏导数为线性的，故称为线性方程，否则就称为非线性方程。
若系数ij a 、i b 、c 均为常数，则称为常系数方程，否则称为变系数方程；若0≡f ，则称为齐次方程，反之称为非齐次方程。
▲方程的数学形式 在所有的自变量i x 中，时间变量t 常常被使用，由于它的独特性，人们常常直接用t 表示而不置于i x 之中，关于t 的导数式为：22u u L u a b t t t∂∂=+∂∂ (1.1.2) 故上述方程可改写为：f Lu u L t += (1.1.3)上述方程习惯上也称为n 维方程。
数学物理方程数学物理第一章
偏分方程中所有最高阶 偏导数都是线性的，而 其系数
本课遇到一二阶线性偏微分方程的一般表达形式 一阶线性偏微分方程的一般表达形式
u u a( x, y ) b( x, y ) c( x, y )u f ( x, y ) x y
二阶线性偏微分方程的一般表达形式
2u 2u 2u A( x, y ) 2 2 B( x, y ) C ( x, y ) 2 x xy y u u D( x, y ) E ( x, y ) F ( x, y )u G ( x, y ) 0 x y
在数学物理方程中，我们特别强调通过分析过程推测可能得到 的结论！而对结论的严格论证则常给予略去。这种做法并不意 味着可以取消综合过程，而是意味着分析过程从方法到结论都 能给我们一些新的结论，而验证结论的正确性原则上没有什么 困难。
正因为分析过程的任务在于探求新结论，而结论的确实成立与 否还需另行证明，所以在分析过程的推理中，并不要求十分严 格，特别的不要由于某些定理的条件限制而束缚自己的思路， 这是本课程中应该注意的。
2
2u
二阶线性非齐次的
三阶非线性
2
3u x y
2
ln u 0
§2方程及定解问题的物理推导
2.1、弦振动方程 2.1.1、物理模型
设有长为 l一 根 拉 紧 的 均 匀 柔 软 弦 细， 两 端 被 固 定 在 O, A 两 点 ， 且 在 单 位 长 度受 上到 垂 直 于 OA向 上 的 力 F作 用 当 它 在 平 衡 位 置 附 近垂 作直 于 OA方 向 的 微 小 横 向 振 动
18世纪著名数学家、物理学家 达朗贝尔（1717-1783欧拉（1707-1783））
弦振动的研究先驱
第一章_波动方程
假定有垂直于x轴方向的外力存在，并设其线密度为F(x,t)，则 弦段(x, x+Δx)上的外力为：
x x
x
F ( x ,t) dx
它在时间段(t, t+Δt)内的冲量为：
t x
t t x x
F ( x , t ) dx dt
数学物理方程
第一章 波动方程
于是有：
2 2 u ( x , t ) u ( x , t ) [ 2 T F ( x , t )] dx dt 0 2 t x t x t t x x
数学物理方程
第一章 波动方程
回 答 下 列 方 程 是 线 性、 的非 线 性 的 ？ 齐 次 非次 齐？ 阶 数 ？
(1)
4u
4
x x y y u u ( 2)u xy 0 x x
2u
2
2
4u
2 2
4u
4
0
四阶线性齐次 一阶非线性，拟线性的 二阶线性齐次的 二阶线性非齐次的 三阶非线性
要在区域 ( 0 x l ,t 0 )上（见右上图）求上述定解问题的解，就是
要求这样的连续函数u(x, t) ，它在区域0<x<l,t>0中满足波动方程(2.1)；在x 轴上的区间[0,l]上满足初始条件(2.2)；并在边界x=0和x=l上满足边界条件 (2.3)和 (2.4)。 一般称形如(2.3)和(2.4)的边界条件为第一类边界条件，也叫狄利克雷 （Dirichlet）边界条件。
非均匀弦的强迫横振动方程
一维波动方程不仅可以描述弦的振动，还可以描述： 弹性杆的纵向振动 管道中气体小扰动的传播 ………等等 因此，一个方程反应的不止是一个物理现象， 而是一类问题。
数学物理方程(谷超豪)版
第 二 章 热 传 导 方 程§1 热传导方程及其定解问题的提1. 一均匀细杆直径为l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律dsdt u u k dQ )(11-= 又假设杆的密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k ，试导出此时温度u 满足的方程。
解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度),(t x u u =。
记杆的截面面积42l π为S 。
由假设，在任意时刻t 到t t ∆+内流入截面坐标为x 到x x ∆+一小段细杆的热量为t x s xu kt s xu kt s xukdQ xx x x ∆∆∂∂=∆∂∂-∆∂∂=∆+221 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。
由假设，在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+一小段中产生的热量为()()t x s u u lk t x l u u k dQ ∆∆--=∆∆--=111124π 又在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+这一小段内由于温度变化所需的热量为()()[]t x s tuc x s t x u t t x u c dQ t ∆∆∂∂=∆-∆+=ρρ,,3由热量守恒原理得：()t x s u u lk t x s x ukt x s t u c x t ∆∆--∆∆∂∂=∆∆∂∂11224ρ 消去t x s ∆∆，再令0→∆x ，0→∆t 得精确的关系：()11224u u l kxu k t u c --∂∂=∂∂ρ或 ()()11222112244u u l c k xu a u u l c k x u c k t u --∂∂=--∂∂=∂∂ρρρ 其中 ρc k a =22. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。
解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域 为Ω，则从时刻1t 到2t 流入此闭曲面的溶质，由dsdt nuDdM ∂∂-=，其中D 为扩散系数，得 ⎰⎰⎰∂∂=21t t sdsdt nuDM 浓度由u 变到2u 所需之溶质为()()[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ∂∂=∂∂=-=2121121,,,,,,t t tt dvdt t uC dtdv t u C dxdydz t z y x u t z y x u C M两者应该相等，由奥、高公式得：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ∂∂==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=21211t t t t dvdt t uC M dvdt z uD z y u D y x u D x M 其中C 叫做孔积系数=孔隙体积。
数学物理方程(谷超豪)课后答案
第一章．波动方程§1方程的导出。
定解条件1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明满足方程),(t x u ()⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂x u E x t u x t ρ其中为杆的密度，为杨氏模量。
ρE 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为与。
现在计算这段杆在时x +x x ∆刻的相对伸长。
在时刻这段杆两端的坐标分别为：t t ),();,(t x x u x x t x u x ∆++∆++其相对伸长等于),()],([)],([t x x u xxt x u x t x x u x x x ∆+=∆∆−+−∆++∆+θ令，取极限得在点的相对伸长为。
由虎克定律，张力等于0→∆x x x u ),(t x ),(t x T ),()(),(t x u x E t x T x =其中是在点的杨氏模量。
)(x E x 设杆的横截面面积为则作用在杆段两端的力分别为),(x S ),(x x x ∆+x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(∆+∆+).,(t x x ∆+于是得运动方程tt u x x s x ⋅∆⋅)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(−∆+∆+利用微分中值定理，消去，再令得x ∆0→∆x tt u x s x )()(ρx∂∂=x ESu ()若常量，则得=)(x s =22)(tu x ∂∂ρ)((x u x E x ∂∂∂∂即得所证。
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解：(1)杆的两端被固定在两点则相应的边界条件为l x x ==,0.0),(,0),0(==t l u t u (2)若为自由端，则杆在的张力|等于零，因此相应的边l x =l x =xux E t l T ∂∂=)(),(l x =界条件为|=0xu∂∂l x =同理，若为自由端，则相应的边界条件为∣0=x xu∂∂00==x (3)若端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移l x =由函数给出，则在端支承的伸长为。
1 偏微分方程定解问题
(5)微小横振动——绝对位移和相对位移都很小。
建立坐标系：确立未知函数 研究对象：u ( x, t ) ，弦上某点在 t 时刻的横向位移。
7
数学物理方程
第1章偏微分方程定解问题
微元分析法：取微元[x,x+dx]， t时刻 牛顿运动定律： F=ma
2 u ( x, t ) dx u0 T t , x dx T t , x G t , x; dx 2 t T x dx g t , x dxu0
17
数学物理方程 翻译：对微元应用物理定律 dt时间内温度升高所需热量
第1章偏微分方程定解问题
Q Q流入 Q放出 u Q cdxdydz dt t
2u 2u 2 u Q流入 Q左右 Q上下 Q前后 k（ 2 2 2 )dtdxdydz x y z u u Q左右 k dtdydz k dtdydz x (t , x, y , z ) x (t , x dx, y , z ) 2u z k 2 dtdxdydz (x+dx, x+dy, z+dz) x 2u Q前后 k 2 dtdxdydz y dz 2 y u dy Q上下 k 2 dtdxdydz z (x,y,z) dx
2 2u u 2 a f t, x 2 2 t x
ut 6uxux uxxx 0
(4)自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的 项称为自由项．
3
数学物理方程
第1章偏微分方程定解问题
2u 2 2 a u f (t , x) ☆波动方程： 2 t
2 T2 u u u T2 T1 张力沿切线： T T12 T22 T1 1 T1 T1 x x x 由(1)得: T1 T1 t （T 与 x 无关）
数学物理方程第一章 基础概念
ds = 1 + (
弧段 M ′ M 在 t 时刻，沿 u 方向运动的加速度近似为 以
∂ 2 u ( x, t ) ， x 为弧段 M ′ M 的质心。所 ∂t 2
− T sin α + T ′ sin α ′ − ρgdx = ρdx
即
∂ 2 u ( x, t ) ∂t 2
Q2 = ∫∫∫ cρ [u ( x, y, z , t1 ) − u ( x, y, z , t 2 )]dV
式中， c 为物体的比热， ρ 为物体的密度。 如果物体内部没有热源，则由热量守恒可得 Q1 = Q2 ，则
Ω
（1.2.3）
∫
t2 t1
⎡ ∂u ⎤ ⎢ ∫∫ k dS ⎥dt = ∫∫∫ cρ [u ( x, y, z , t1 ) − u ( x, y, z , t 2 )]dV ⎢∑ ∂n ⎥ Ω ⎦ ⎣
（1.2.4）
假设函数 u 关于 x, y, z 具有二阶连续导数，关于 t 具有一阶连续导数，则利用 Gauss 公 式有
t2 ⎡ ⎡ ∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂ ⎛ ∂u ⎞⎤ ⎤ Q1 = ∫ ⎢ ∫∫∫ ⎢ ⎜ k ⎟ + ⎜ ⎟ + ∂z ⎜ k ∂z ⎟⎥dV ⎥dt ⎜ k ∂y ⎟ t1 x x y ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎥ ⎢ ⎠ ⎝ ⎣Ω ⎣ ⎦
次方程，若 f ( x, t ) = 0 ，则称为齐次方程。式（1.1.3）称为非齐次一维波动方程。
1.1.2 定解条件 一般弦线的特定振动状态还依赖于初始时刻弦的状态和通过弦线两端所受外界的影响。 为了确定一个具体的弦振动的规律， 除了列出方程外， 还需要写出它满足的初始条件和边界 条件，我们称之为定解条件。 初始条件，即初始时刻 t = 0 时，弦上各点的位移和速度。
数理方程第一章-3讲解
a2
(
2u x2
2u y2
2u z2
)
u t
a2 k c
—— 三维热传导方程
本课程内容，只涉及线性边界条件，且仅包括以下三类。
深圳大学电子科学与技术学院
第一类边界条件：物理条件直接规定了 u 在边界上的值，如
u S
f1
第二类边界条件：物理条件并不直接规定了 u 在边界上的值，而是规定了u 的法向微商在边界上的值，如
深圳大学电子科学与技术学院
知识补充：
弹性模量是指当有力施加于物体或物质时，其弹性变 形（非永久变形）趋势的数学描述。物体的弹性模量 定义为弹性变形区的应力－应变曲线的斜率。杨氏模 量指的是受拉伸和压缩时的弹性模量。
杨氏模量(Young‘s modulus)是描述固体材料抵抗形变 能力的物理量。一条长度为L、截面积为S的金属丝在 力F作用下伸长L。F/S叫应力，其物理意义是金属丝 单位截面积所受到的力； L/L叫应变，其物理意义是 金属丝单位长度所对应的伸长量。
dx
x
不考虑垂直杆方向的形变，根据Hooke定律，应力与应变成正
比，即 P E u x
代入
P x
2u t 2
2u t2
a2
2u x2
0 xl , t0
其中
a2 E
深圳大学电子科学与技术学院
例6：一根均匀杆，原长为l，一端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长e而静 止。突然松手，任其纵向振动。写出定解问题。
（3）对于稳恒场，上述边界条件的两端均不含时间 t ; （4）边界条件的推导，步骤与泛定方程的推导大致相同，但微元只能在边界上选取。
x
x
S 2u d x
t2
Sdx dm（微元质量）
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给定一根两端固定的拉紧的均匀柔软的弦线，设其 长度为 l ，它在外力作用下在平衡位置附近作微小的横 振动，求弦上各点的运动规律。
基本假设：
1. 弦是均匀的，弦的截面直径与长度相比可以忽略。
弦可以视为一条曲线，线密度为常数。
2. 弦在某平面内作微小横振动。弦的位置始终在一直线段附近，
u(0, t)=0 ， u(l, t)=0，
这两个等式称为边界条件。此外，设弦在初始时刻t=0时的位置和速度为
u (x ,0 )(x ), u (x ,0 )(x ) ( 0 x l) t 这两个等式称为初始条件。边界条件和初始条件总称为定解条件。把微分方程 和定解条件结合起来，就得到了与实际问题相对应的定解问题。
解决问题的工具
数学物理方程
纯粹数学、分支
自然科学、技术科学
课 览程
概
一、波动方程 （双曲型）
1. 方程导出、定解条件 2. 初值问题求解 3. 初边值问题求解
二、热传导方程（抛物型）
三、调和方程 （椭圆型）
四、二阶方程的分类总结
五、一阶偏微分方程组
七、偏微分方程的数值解
第一章 波动方程
➢ 物理背景：波的传播和弹性体振动。 §1-1 一维波动方程的导出、定解条件
对于弦振动方程而言，与上述定解条件结合后，其定解问题可以描述为：
2u( x, t )
t 2
a2
2u( x, t ) x2
f
( x, t ),
1.19
t 0 : u (x), u (x),
（1）任取一弦段(x, x+Δx)，它的弧长为
xx
s
1(u)2dx
x
x
由基本假设2可知， ( u ) 2 与1相比可以忽略不计，所以 sx x
因此，可以认为弦在振动过程中并未伸长，即可认为张力大小与时间无关
T(x,t) T(x)
（2）由于弦只在x轴的垂直方向作横振动，所以水平方向的合力为零，即
T ( x x ) co 2 T s ( x ) co 1 0 s
段(x, x+Δx)上的外力为：
xx
F(x,t)dx
x
它在时间段(t, t+Δt)内的冲量为：
tt xx
F(x,t)dd x t
t
x
于是有： tt tx x x [ 2 u ( tx 2 ,
进一步由Δt， Δx 的任意性，有下面的弦振动方程（一维波动方程）：
t
x x x
t t
从而有
t t x x
[
tx
2 u (tx 2,t) T 2 u ( x x 2 ,t)]ddx t0
进一步由Δt， Δx 的任意性，有
2 u (tx 2,t)a22 u ( xx 2,t)0 , a2T/
假定有垂直于x轴方向的外力存在，并设其线密度为F(x,t)，则弦
2 u ( x ,t ) a 2 2 u ( x ,t ) f( x ,t ),a 2 T /,f( x ,t ) F ( x ,t ) /
t2
x 2
二维波动方程（如薄膜振动）
t2u 2 a2( x2u2 y2u2)f(x,y,t)
三维波动方程（如电磁波、声波的传播）
t2u 2a2( x 2u 2 y 2u 2 z 2u 2)f(x,y,z,t)
弦上各点在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小振动。
sintan, cos1
3. 弦是柔软的，它在形变时不抵抗弯曲。
弦上各质点的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长变形 与张力的关系服从虎克定律。
基本规律： 牛顿第二定律 F=m*a F∆t=m*a* ∆t 冲量定理 F∆t=m*(v1-v2)
用u(x, t)表示弦点在时刻t沿垂直于x轴的位移。
特点: 反映了有关的未知变量关于时间的导数和关于
空间变量的导数之间的制约关系。
范畴: 连续介质力学、电磁学、量子力学等方面的基
本方程都属于数学物理方程的范围。
“一切科学的理论，总是从实践中来，又回到实践中去，
接受检验，指导实践，同时在实践中丰富和发展自己。”
力学问题 弦线振动问题
流体运动、弹性体振动、 热传导、电磁作用、
数学物理方程
许和勇
友谊校区 翼型、叶栅国防科技重点实验室 中楼217室 Tel：15802935215
西北工业大学 2012年10月
数学物理方程
定义: 主要是指从物理学及其他各门自然科学、技术
科学中所产生的偏微分方程(有时也包括积分 方程、微分积分方程等), 例如 2u(tx2,t)a22u (xx2,t)0
原子核-电子作用、化学反应
偏微分方程 （基本规律）
偏微分方程 求解数学物理方程 （基本规律） 定解问题
预测自然现象变化 （气象预报等）
各种工程设计 （机械强度计算等）
数学物理方程
数学
偏微分方程理论
历史悠久
对象、 内容、 方法
纯粹数学
偏微分 方程理论
样 多杂 复
分支
新课题、新方法
自然现象 实际问题
泛函分析 复变函数 微分几何 计算数学
由基本假设2可知，co2sco1s1，所以 T(xx)T(x)
因此，弦的张力大小与空间变量x无关 ，可以把弦线的张力T(x)在x轴方向
的分量看成常数Ｔ。
（3）对于图中选取的弦段而言，张力在x轴垂直
方向上的合力为：
T (si2 n si1 )n T [ u (x x x ,t) u (x x ,t)]
在时间段(t, t+Δt)内该合力产生的冲量为：
t tT[u(x x,t)u(x,t)]dt
t
x
x
（4）另一方面，在在时间段(t, t+Δt)内弦段(x, x+Δx)的动量变化为：
x x[u(x,t t)u(x,t)]dx
x
t
t
（5）因此，根据冲量定理，得到：
t tT [ u ( x x ,t ) u ( x ,t ) ] d x t x[ u ( x ,t t ) u ( x ,t ) ] dx
2. 定解条件
弦振动方程描述的是弦作微小横振动时的位移函数u(x, t)所应满足的一 般性规律。仅仅利用它并不能完全确定一条弦的具体运动状况。这是因为 弦的运动还与其初始状态以及边界所处的状况有关系，因此对于具体的弦 振动问题而言，还需要结合实际问题附加某些特定条件。
在前面的推导中，弦的两端被固定在x=0和x=l两点，即