数学物理方程-第1章

2 u ( x ,t ) a 2 2 u ( x ,t ) f( x ,t ),a 2 T /,f( x ,t ) F ( x ,t ) /
t2
x 2
二维波动方程（如薄膜振动）
t2u 2 a2( x2u2 y2u2)f(x,y,t)
三维波动方程（如电磁波、声波的传播）
t2u 2a2( x 2u 2 y 2u 2 z 2u 2)f(x,y,z,t)
u(0, t)=0 ， u(l, t)=0，
这两个等式称为边界条件。此外，设弦在初始时刻t=0时的位置和速度为
u (x ,0 )(x ), u (x ,0 )(x ) ( 0 x l) t 这两个等式称为初始条件。边界条件和初始条件总称为定解条件。把微分方程 和定解条件结合起来，就得到了与实际问题相对应的定解问题。
特点: 反映了有关的未知变量关于时间的导数和关于
空间变量的导数之间的制约关系。
范畴: 连续介质力学、电磁学、量子力学等方面的基
本方程都属于数学物理方程的范围。
“一切科学的理论，总是从实践中来，又回到实践中去，
接受检验，指导实践，同时在实践中丰富和发展自己。”
力学问题 弦线振动问题
流体运动、弹性体振动、 热传导、电磁作用、
数学物理方程
许和勇
友谊校区 翼型、叶栅国防科技重点实验室 中楼217室 Tel：15802935215
西北工业大学 2012年10月
数学物理方程
定义: 主要是指从物理学及其他各门自然科学、技术
科学中所产生的偏微分方程(有时也包括积分 方程、微分积分方程等), 例如 2u(tx2,t)a22u (xx2,t)0
弦上各点在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小振动。
sintan, cos1
3. 弦是柔软的，它在形变时不抵抗弯曲。
弦上各质点的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长变形 与张力的关系服从虎克定律。
基本规律： 牛顿第二定律 F=m*a F∆t=m*a* ∆t 冲量定理 F∆t=m*(v1-v2)
用u(x, t)表示弦点在时刻t沿垂直于x轴的位移。
首先，考察下面的物理问题：
给定一根两端固定的拉紧的均匀柔软的弦线，设其 长度为 l ，它在外力作用下在平衡位置附近作微小的横 振动，求弦上各点的运动规律。
基本假设：
1. 弦是均匀的，弦的截面直径与长度相比可以忽略。
弦可以视为一条曲线，线密度为常数。
2. 弦在某平面内作微小横振动。弦的位置始终在一直线段附近，
解决问题的工具
数学物理方程
纯粹数学、分支
自然科学、技术科学
课 览程
概
一、波动方程 （双wk.baidu.com型）
1. 方程导出、定解条件 2. 初值问题求解 3. 初边值问题求解
二、热传导方程（抛物型）
三、调和方程 （椭圆型）
四、二阶方程的分类总结
五、一阶偏微分方程组
七、偏微分方程的数值解
第一章 波动方程
➢ 物理背景：波的传播和弹性体振动。 §1-1 一维波动方程的导出、定解条件
（1）任取一弦段(x, x+Δx)，它的弧长为
xx
s
1(u)2dx
x
x
由基本假设2可知， ( u ) 2 与1相比可以忽略不计，所以 sx x
因此，可以认为弦在振动过程中并未伸长，即可认为张力大小与时间无关
T(x,t) T(x)
（2）由于弦只在x轴的垂直方向作横振动，所以水平方向的合力为零，即
T ( x x ) co 2 T s ( x ) co 1 0 s
在时间段(t, t+Δt)内该合力产生的冲量为：
t tT[u(x x,t)u(x,t)]dt
t
x
x
（4）另一方面，在在时间段(t, t+Δt)内弦段(x, x+Δx)的动量变化为：
x x[u(x,t t)u(x,t)]dx
x
t
t
（5）因此，根据冲量定理，得到：
t tT [ u ( x x ,t ) u ( x ,t ) ] d x t x[ u ( x ,t t ) u ( x ,t ) ] dx
段(x, x+Δx)上的外力为：
xx
F(x,t)dx
x
它在时间段(t, t+Δt)内的冲量为：
tt xx
F(x,t)dd x t
t
x
于是有： tt tx x x [ 2 u ( tx 2 ,t) T 2 u ( x x 2 ,t) F (x ,t)d ] dx 0 t
进一步由Δt， Δx 的任意性，有下面的弦振动方程（一维波动方程）：
对于弦振动方程而言，与上述定解条件结合后，其定解问题可以描述为：
2u( x, t )
t 2
a2
2u( x, t ) x2
f
( x, t ),
1.19
t 0 : u (x), u (x),
2. 定解条件
弦振动方程描述的是弦作微小横振动时的位移函数u(x, t)所应满足的一 般性规律。仅仅利用它并不能完全确定一条弦的具体运动状况。这是因为 弦的运动还与其初始状态以及边界所处的状况有关系，因此对于具体的弦 振动问题而言，还需要结合实际问题附加某些特定条件。
在前面的推导中，弦的两端被固定在x=0和x=l两点，即
原子核-电子作用、化学反应
偏微分方程 （基本规律）
偏微分方程 求解数学物理方程 （基本规律） 定解问题
预测自然现象变化 （气象预报等）
各种工程设计 （机械强度计算等）
数学物理方程
数学
偏微分方程理论
历史悠久
对象、 内容、 方法
纯粹数学
偏微分 方程理论
样 多杂 复
分支
新课题、新方法
自然现象 实际问题
泛函分析 复变函数 微分几何 计算数学
由基本假设2可知，co2sco1s1，所以 T(xx)T(x)
因此，弦的张力大小与空间变量x无关 ，可以把弦线的张力T(x)在x轴方向
的分量看成常数Ｔ。
（3）对于图中选取的弦段而言，张力在x轴垂直
方向上的合力为：
T (si2 n si1 )n T [ u (x x x ,t) u (x x ,t)]
t
x x x
t t
从而有
t t x x
[
tx
2 u (tx 2,t) T 2 u ( x x 2 ,t)]ddx t0
进一步由Δt， Δx 的任意性，有
2 u (tx 2,t)a22 u ( xx 2,t)0 , a2T/
假定有垂直于x轴方向的外力存在，并设其线密度为F(x,t)，则弦