对称图形圆教师版

圆的前四小节专项训练（到圆内接四边形）1、（2020·杭州）如图，已知BC 是O 的直径，半径OA BC ⊥，点D 在劣弧AC 上（不与点A ，点C 重合），BD 与OA 交于点E ．设AED α∠=，AOD β∠=，则（ ） A ．3α＋β＝180°B ．2α＋β＝180°C ．3α－β＝90°D ．2α－β＝90°{答案}D{解析}本题考查了同圆的半径相等，三角形的内角和定理以及三角形的外角．因为OA ⊥BC ，所以∠AOB ＝90°．因为OB ＝OD ，所以∠B ＝∠D ．在△OBD 中，∠B ＋∠D ＋∠BOD ＝180°，即2∠D ＋90°＋β＝180°，所以2∠D ＋β＝90°．因为∠AED 是△ODE 的外角，所以∠D ＝∠AED －∠AOD ＝α－β，所以2（α－β）＋β＝90°，整理，得2α－β＝90°，因此本题选D ．2、（2020·常州）如图，AB 是⊙O 的弦，点C 是优弧AB 上的动点（C 不与A 、B 重合），CH ⊥AB ，垂足为H ，点M 是BC的中点．若⊙O 的半径是3，则MH 长的最大值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6{答案}A{解析}{解析}本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半，因为∠BHC ＝90°，M 为BC 的中点，所以MH ＝12BC ，而BC的最大值是直径，所以MH的最大值等于3．3、（2020·黔东南州）如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（）A．8 B．12 C．16 D．291{答案}C{解析}如图，连接OA，∵⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5，∴OD＝10，OM＝6．∵AB⊥CD，∴AM＝√OA2−OM2＝√102−62＝8，∴AB＝2AM＝16．4、（2020·武汉）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD 的中点，则AC的长是（）A B．C．D．{答案}D{解析}本题考查了圆的垂径定理，弧线圆心角关系，全等判定，中位线等定理，连接OD，交AC于点F，由D是弧AC的中点，易证出OD⊥AC，AF＝CF，又∵O是AB的中点，∴2OF＝BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，又∵E是BD的中点，∴易证出△EFD≌△ECB（AAS）∴DF＝BC，又∵半径为3，∴2OF＝DF＝BC＝2，在Rt△ABC中，F2426BC AB 2222＝－＝－＝AC ，因此本题选D ．5、（2020·凉山州）下列命题是真命题的是（ ）A ．顶点在圆上的角叫圆周角B ．三点确定一个圆C ．圆的切线垂直于半径D ．三角形的内心到三角形三边的距离相等{答案}D {解析}因为顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫圆周角，不在同一条直线上的三个点确定一个圆，圆的切线垂直于过切点的半径，所以A 、B 、C 选项皆为假命题，故选D ．6、（2020·淮安）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB ＝54°，则∠ABO 的度数是（ ）A ．54°B ．27°C ．36°D ．108°{答案} C{解析}本题考查了同弧所对的圆周角和圆心角的关系，由已知得∠AOB ＝2∠ACB ＝108°，再在等腰三角形AOB 中由三角形的内角和定理求出∠ABO 的度数． ∵∠ACB ＝54°，∴∠AOB ＝2∠ACB ＝108°， ∵OA ＝OB ，∴∠ABO ＝∠OAB ＝（180°－108°）÷2＝36°． 故选C ．7、（2020·福建）如图，四边形ABCD 内接于O ，=AB CD ，A 为BD 中点，60∠=︒BDC ，则∠ADB 等于（ ） A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒{答案}A{解析}本题考查了弧，弦，圆周角等的关系，∵=AB CD ，A 为BD 中点，∴AB AD CD ==，∵60∠=︒BDC ，∴优弧BAC 是240°，∴弧AB 是80°，∴ ADB ＝40°，因此本题选A ．8、（2020·绍兴）如图．点A ，B ，C ，D ，E 均在⊙O 上．∠BAC ＝15°，∠CED ＝30°，则∠BOD 的度数为（ ） A ．45° B ．60°C ．75°D ．90°{答案}D{解析}本题考查了圆周角、圆心角以及它们所对的弧的度数之间的关系．在同圆中，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心角的度数等于它所对的弧的度数，因为∠BAC ＝15°，∠CED ＝30°，所以弧BC 是30°，弧CD 是60°，则弧BD 是90°，故它所对的圆心角∠BOD 的度数是90°．因此本题选D ．9、（2020·青岛）如图，BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，弧AB ＝弧AD ，AC 交BD 于点G ．若 ∠COD ＝126°，则∠AGB 的度数为（ ） A ．99° B ．108° C ．110° D ．117°{答案}B{解析}本题考查了圆周角定理及其推论的应用，解答过程如下： ∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BAD ＝90°． ∵弧AB ＝弧AD ，∴∠ADB ＝∠ABD ＝45°． ∵∠COD ＝126°，∴∠CAD ＝21∠COD ＝21×126°＝63°． ∴∠AGB ＝∠ADB ＋∠CAD ＝45°＋63°＝108°．因此本题选B ．10、（2020·内江）如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，120AOC ∠=︒，点B 是AC 的中点，则D ∠的度数是（ ）A ． 30B ．40︒C ．50︒D ．60︒{答案} A {解析}本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB ＝12∠AOC ，再根据圆周角定理解答．连接OB ，∵点B 是AC 的中点，∴∠AOB ＝12∠AOC ＝60°， 由圆周角定理得，∠D ＝12∠AOB ＝30°，因此本题选A ． 11、（2020·临沂）如图，在O 中，AB 为直径，80AOC ∠=︒，点D 为弦AC 的中点，点E 为BC 上任意一点．则CED ∠的大小可能是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°{答案}C {解析}梳理题目中的已知条件，有直径，可以相应的有90°的圆周角；80AOC ∠=︒，则50OAC OCA ∠=∠=︒；同时点D 为弦AC 的中点，则可以考虑利用垂径定理；另外，题目中具体数值较少，CED ∠的具体值不容易求，那么我们可以根据已有条件探求它的取值范围，从而确定那个值在范围内． 解：连接AE ，作过OD 的直线分别交圆周于点M 、N ，连接CM ，如下图：∵80AOC ∠=︒∴40AEC ∠=︒∴40CED AEC AED ∠=∠-∠<︒；又∵点D 为弦AC 的中点∴1402COD AOC ∠=∠=︒∴1202CMN COD ∠=∠=︒∵CED ∠所对的弧大于CN ∴CED CMN ∠>∠，即：20CED ∠>︒ 综上：2040CED ︒<∠<︒ ，选C ．12、（2020湖州）如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，∠ABC ＝70°，则∠ADC 的度数是（ ） A ．70°B ．110°C ．130°D ．140°【分析】根据圆内接四边形的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠ABC ＝70°，∴∠ADC ＝180°﹣∠ABC ＝180°﹣70°＝110°，故选：B ．13、（2020·陕西）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A ＝50°，E 是边BC 的中点，连接OE 并延长，交⊙O 于点D ，连接BD ，则MN∠D 的大小（ ） A ．55°B ．65°C ．60°D ．75°{答案}B {解析} E 是弦BC 的中点，由垂径定理的逆定理可知OE ⊥BC ，连接OB 、OC ，由∠A ＝50°可知∠BOC ＝2∠A ＝100°，由等腰三角形的“三线合一”可知∠BOD ＝50°，在等腰△BOD 中，∠D ＝（180°－50°）÷2＝65°．第9题答图14、（2020·泰安）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ﹦BC ，∠BAC ﹦30°，AD 是直径，AD ﹦8，则AC 的长为（ ） A ．4B ．43C ．833D ．23{答案} B{解析}本题考查了等腰三角形的性质、直径所对的圆周角是直角以及锐角三角函数，因为△ABC 中，AB ﹦BC ，∠BAC ﹦30°，所以∠B ＝120°，因为四边形ABCD 内接于⊙O ，所以∠D ＝60°．因为AD 是⊙O 的直径，所以∠ACD ＝90°．因为sin ∠D ＝ACAD，所以AC ＝AD ·sin ∠D ＝8＝4 3 ，因此本题选B ．15、（2020·黄石）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ，若∠DCE ＝40°，则∠ACB的度数AD（第8题）为（ ） A ．140°B ．70°C ．110°D ．80°{答案}C{解析}先根据四边形的内角和为360°求∠AOB ＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，再由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠P 的度数，最后由四点共圆的性质得结论．如图，在优弧AB 上取一点P ，连接AP ，BP ，∵CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，∴∠ODC ＝∠OEC ＝90°，∵∠DCE ＝40°，∴∠AOB ＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，∴∠P ＝12∠AOB ＝70°，∵A 、C 、B 、P 四点共圆，∴∠P ＋∠ACB ＝180°，∴∠ACB ＝180°﹣70°＝110°，故选：C ．16、（2020·安徽）已知点A ，B ，C 在⊙O 上，则下列命题为真命题的是（ ） A ．若半径OB 平分弦AC ，则四边形OABC 是平行四边形AB ．若四边形OABC 是平行四边形，则∠ABC ＝120° C ．若∠ABC ＝120°，则弦AC 平分半径OBD ．若弦AC 平分半径OB ，则半径OB 平分弦AC {答案}B{解析}逐项分析如下：17、（2020·凉山州）如图，等边三角形ABC 和正方形ADEF 都内接于⊙O ，则AD ﹕AB ＝（ ）A ．BCD ﹕{答案}B {解析}如答图，连接OA 、OB 、OD ，则∠AOD ＝90°，∠AOB ＝120°．令OA ＝OB ＝OD ＝r ，则AD r ，AB ＝r ，从而AD ﹕AB ，故选B ．18、（2020·黔东南州）如图，AB 是半圆O 的直径，AC ＝AD ，OC ＝2，∠CAB ＝30°，则点O 到CD 的距 离OE 为 ．{答案}√2{解析}∵AC ＝AD ，∠A ＝30°，∴∠ACD ＝∠ADC ＝75°．∵AO ＝OC ，∴∠OCA ＝∠A ＝30°，∴∠OCD ＝45°，∴△OCE 是等腰直角三角形． 在等腰Rt △OCE 中，OC ＝2，∴OE ＝√2．19、（2020·青海）已知⊙O 的直径为10cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB ＝8cm ，CD ＝6cm ，则AB 与CD 之间的距离为______cm ． {答案}7或1{解析}过圆心O 作OM ⊥AB 于M ，交CD 于点N ，连结OB ，O D ．∵AB ∥CD ，∴MN ⊥C D ．由垂径定理可知MB ＝4，ND＝3．∴OM ＝3，ON ＝4．（1）当圆心O 在AB ，CD 之间时，如图#（1），MN ＝OM ＋ON ＝7；（2）当圆心O 在AB ，CD 同侧时，如图#（2），MN ＝ON －OM ＝1．⊥AB 于点C ，∴AC ＝152AB =，∴12OC ===． 20、（2020·聊城）如图，在⊙O 中，四边形OABC 为菱形，点D 在⌒AmC 上，则∠ADC 的度数是 ．{答案}60°{解析}利用圆周角定理、圆内接四边形的性质以及菱形的对角相等构建方程求解．在菱形OABC 中，∠B ＝∠O ，又∵∠O ＝2∠D ，∠D ＋∠B ＝180°，∴∠D ＋2∠D ＝180°，∴∠D ＝60°．21、（2020·遵义）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 于点D ，延长AD 交⊙O 于点E ，若BD ＝4， CD ＝1，则DE 的长是_________．{答案}{解析}本题考查圆的基本性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，利用特殊角作垂线构造全等三角形是解题的关键．如图，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，交AE 于点F ，连接BE ，则△AHF ≌△BH C ．∴AF ＝BC ＝5． ∵∠HAF ＝∠HBC ，∠HAF ＝∠EBC ，∴∠HBC ＝∠EB C ．∵AD ⊥BC 于点D ， ∴DE ＝DF ． ∵∠CAE ＝∠CBE ，∠ACB ＝∠AEB ，∴△ACD ∽△BE D ．∴CD AD DE BD =，即DE DE +=154．∴DE．22、（2020·绥化）如图5，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，点P 为DE 上一点（点P 与点D ，点E 不重合），连接PC 、PD ，DG ⊥PC ，垂足为G ，∠PDG 等于______度．-+52{答案}54{解析}连结CE ．正五边形的内角∠CDE ＝15×（5－2）×180°＝108°．∵DC ＝DE ，∴∠P ＝∠DEC ＝12×（180°－108°）＝36°．∵DG ⊥PC ，∴∠PDG ＝90°－∠P ＝54°．23、（2020·济宁）15．如图，在四边形ABCD 中，以AB 为直径的半圆O 经过点C ，D ．AC 与BD 相交于点E ，CD 2＝CE ·CA ，分别延长AB ，DC 相交于点P ，PB ＝BO ，CD ＝22．则BO 的长是_________．{答案}4{解析}：连结OC ，如图，∵CD 2＝CE •CA ，∴CD CACE DC=， 而∠ACD ＝∠DCE ，∴△CAD ∽△CDE ，∴∠CAD ＝∠CDE ， ∵∠CAD ＝∠CBD ，∴∠CDB ＝∠CBD ，∴BC ＝DC ； 设⊙O 的半径为r ， ∵CD ＝CB ，∴CD CB =，∴∠BOC ＝∠BAD ，∴OC ∥AD ，∴22PC PO rCD OA r===，∴PC ＝2CD ＝，∵∠PCB ＝∠PAD ，∠CPB ＝∠APD ， ∴△PCB ∽△PAD ，∴PC PBPA PD =，即3r =，∴r ＝4，∴OB ＝4．24、（2020·岳阳）如图，AB 为半圆O 的直径，M ，C 是半圆上的三等分点，AB ＝8，BD 与半圆O 相切于点B ，点P 为AM 上一动点（不与点A ，M 重合），直线PC 交BD 于点D ，BE ⊥OC 于点E ，延长BE 交PC于点F ，则下列结论正确的是________．（写出所有正确结论的序号） ①PD PB=；②BC 的长为π34； ③︒=∠45DBE；④PFB BCF ∆∆∽； ⑤CP CF ⋅为定值． {答案}②⑤{解析}∵M ，C 是半圆上的三等分点，∴∠BOC ＝︒=︒⨯6018031，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∠BPC ＝21∠BOC ＝︒=︒⨯306021，∵BD 与半圆O 相切于点B ，∴∠ABD ＝90°∵P 是AM 上一动点，∴∠PBA 角度不确定，∴∠PBD 不确定，∠D 也不确定，所以PB ＝PD 不成立，结论①错误；∵直径AB ＝8，∴半径为4，∴60441803BCππ⨯==，∴结论②正确；∵BE ⊥OC ，∴∠BEO ＝90°，∴∠OBE ＝180°－90°－60°＝30°，∴∠DBE ＝∠ABD －∠OBE ＝90°－30°＝60°，∴结论③错误；∵∠PFB ＝∠FCB ＋∠FBC ，所以∠PFB ＞∠FBC ，∴△BCF 和△PFB 不可能相似，∴结论④错误；∵OB ＝OC ，∠BOC ＝60°，∴△BOC 是等边三角形，∴∠CBO ＝60°，∵BE ⊥OC ，所以∠CBE ＝21∠CBO ＝30°，∴∠CBF ＝∠CPB ，又∵∠BCF ＝∠PCB ，∴△BCF ∽△PCB ，∴CPCB CB CF =，∴2CB CP CF =⋅，∵△OBC 是等边三角形，∴CB ＝OB ＝4，∴16=⋅CP CF ，为定值，∴结论⑤正确．综上，结论正确的是②⑤．25、（2020·衢州）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，AB ＝10，AC ＝6．连结OC ，弦AD 分别交OC ，BC 于点E ，F ，其中点E 是AD 的中点． （1）求证：∠CAD ＝∠CBA ； （2）求OE 的长．{解析}（1）证明圆中两个圆周角相等可以证明这两个角所对的弧相等，而两条弧相等最常用的方法是垂径定理；（2）由已知长度的线段和要求的线段分布在两个三角形中，考虑通过相似三角形来解决问题．{答案}解：（1）证明∵OC为半径，点E是AD的中点，∴AC CD=，∴∠CAD＝∠CB A．（2）解∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90˚．∵点E是AD的中点，∴OC⊥AD，∴∠AEC＝90˚，∴∠AEC＝∠ACB，又∵∠CAD＝∠CBA，∴△ACE∽△BAC，∴CE ACAC AB=，即6610CE=，∴CE＝3．6．又∵OC＝12AB＝5，∴OE＝OC－CE＝5－3．6＝1．4．26、（2020·南京）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；（2）AF＝EF．{解析}（1）由圆周角定理证明AB∥CF，结论DF∥BC即可证明结论；（2）连接AE ，结合内接四边形的性质、平行线的性质和圆周角的性质进行等量代换，推理∠AEF ＝∠EAF 即可． {答案}证明：（1）∵AC ＝BC ， ∴∠BAC ＝∠B ． ∵DF ∥BC ， ∴∠ADF ＝∠B ． 又∠BAC ＝∠CFD ， ∴∠ADF ＝∠CFD ， ∴BD ∥CF ． 又DF ∥BC ，∴四边形DBCF 是平行四边形． （2）如图，边接AE ．∵∠ADF ＝∠B ，∠ADF ＝∠AEF ， ∴∠AEF ＝∠B ．∵四边形AECF 是⊙O 的内接四边形， ∴∠ECF ＋∠EAF ＝180°， ∴∠EAF ＝∠B ， ∴∠AEF ＝∠EAF ， ∴AF ＝EF ．27、（2019·上海）已知：如图，AB 、AC 是⊙O 的两条弦，且AB ＝AC ，D 是AO 延长线上一点，联结BD 并延长交⊙O 于点E ，联结CD 并延长交⊙O 于点F ． （1）求证：BD ＝CD ；（2）如果AB 2＝AO •AD ，求证：四边形ABDC 是菱形．F{解析}（1）连接BC ，根据AB ＝AC ，OB ＝OA ＝OC ，即可得出AD 垂直平分BC ，根据线段垂直平分线性质求出即可； （2）根据相似三角形的判定和性质求出∠ABO ＝∠ADB ＝∠BAO ，求出BD ＝AB ，再根据菱形的判定推出即可． {答案}证明：（1）如图1，连接BC ，OB ，OC ，∵AB 、AC 是⊙O 的两条弦，且AB ＝AC ，∴A 在BC 的垂直平分线上，∵OB ＝OA ＝OC ，∴O 在BC 的垂直平分线上，∴AO 垂直平分BC ，∴BD ＝CD ； （2）如图2，连接OB ，∵AB 2＝AO •AD，∴AB ADAOAB =， 又∵∠BAO ＝∠DAB ，∴△ABO ∽△ADB ，∴∠OBA ＝∠ADB ， ∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠OAB ，∴∠OAB ＝∠BDA ，∴AB ＝BD ， ∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AB ＝AC ＝BD ＝CD ，∴四边形ABDC 是菱形．28、（2020·苏州）如图，已知90MON ∠=︒，OT 是MON ∠的平分线，A 是射线OM 上一点，8OA cm =．动点P 从点A 出发，以1/cm s 的速度沿AO 水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q 从点O 出发，也以1/cm s 的速度沿ON 竖直向上作匀速运动．连接PQ ，交OT 于点B ．经过O 、P 、Q 三点作圆，交OT 于点C ，连接PC 、QC ．设运动时间为()ts ，其中08t <<．（1）求OP OQ +的值；（2）是否存在实数t ，使得线段OB 的长度最大？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由． （3）求四边形OPCQ 的面积．{解析}（1）分别表示OP 与OQ ，再计算OP OQ +的值；（2）作BD OP ⊥，利用平行线分线段成比例建立方程求得OB 长度与时间t 的二次函数，根据函数性质求得时间t 及线段OB 的最大长度； （3）法一：利用POQ PCQS S ∆∆+求得四边形OPCQ 的面积；法二：连接AC ，由SAS 证明OQC APC ∆∆≌，利用OPCQ 的面积＝OQC OPC APC OPC OCA S S S S S ∆∆∆∆∆+=+=求解．{答案}解：（1）由题可得：8OP t =-，OQ t =．∴88()OP OQ t t cm +=-+=．（2）当4t=时，线段OB 的长度最大．如图①，过B 作BD OP ⊥，垂足为D ，则BDOQ ．∵OT 平分MON ∠，∴45BOD OBD ∠=∠=︒，∴BD OD =，OB =．设线段BD 的长为x ，则BD OD x ==，OB ==，8PD t x =--．∵BDOQ ，∴PD BD OP OQ =，∴88t x x t t --=-，288t t x -=．∴2284)8t t OB t -==-+．∴当4t =时，线段OB的长度最大，最大为．（3）解法一：∵90POQ ∠=︒，∴PQ 是圆的直径．∴90PCQ ∠=︒．∵45PQC POC ∠=∠=︒，∴PCQ ∆是等腰直角三角形．∴211122224PCQ S PC QC PQ PQ PQ ∆=⋅=⨯⋅=．在Rt POQ ∆中，22222(8)PQ OP OQ t t =+=-+．∴四边形OPCQ 的面积21124POQ PCQ S S S OP OQ PQ ∆∆=+=⋅+2211(8)(8)24t t t t ⎡⎤=-+-+⎣⎦221141641622t t t t =-++-=．∴四边形OPCQ 的面积为216cm ． 解法二：如图②，连接AC ．∵90POQ ∠=︒，∴PQ 是圆的直径．∴90PCQ ∠=︒．∵45PQC POC ∠=∠=︒，∴PCQ ∆是等腰直角三角形，PC QC =．∵四边形OPCQ 内接于圆，∴180OQC OPC ∠+∠=︒，又∵180APC OPC ∠+∠=︒，∴OQC APC ∠=∠．∵AP OQ t ==，∴()OQC APC SAS ∆∆≌．∴OCQ ACP ∠=∠，OC AC =．∵90QCO OCP PCQ ︒∠+∠=∠=，∴90OCA ACP OCP ︒∠=∠+∠=，∴OCA ∆是等腰直角三角形．∴四边形OPCQ 的面积221181644OQC OPC APC OPC OCA S S S S S S OA ∆∆∆∆∆=+=+===⨯=．∴四边形OPCQ 的面积为216cm ．。