幂函数教材分析

本教材内容的外部知识结构

幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数.学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历,幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成.因此,学习过程中,引入幂函数的概念之后,尝试放手让学生自己进行合作探究学习.

幂函数是新课标教材新增的内容，位于必修1第三章基本初等函数（Ⅰ）的第三节在过渡性教材中，曾将幂函数这一内容删掉了，新课标又把幂函数重新编入教材，而相比起人教版的旧教材，幂函数的地位和难度都有所下降，新教材将幂函数的位置放到了指数函数与对数函数之后，并且将幂函数研究的对象限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质.

一、 本教材内容的内部知识结构

1. 知识点

幂函数的概念

表示方法、图像、性质

2. 内部知识结构 (

!

二、 本教材内容的具体分析

1. 概念分析

,

一般地，形如y ＝x 的函数叫作幂函数，其中x 是自变量，是实常数即R 。 地位与作用：教材安排学习幂函数,除内容本身外,掌握研究函数的一般思想方法

是另一目的.学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆,因此在引出幂函数的概念之后,可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析.。

理解了幂函数的概念，就知道了幂函数的基本形式，有利于幂函

数的应用

存在性：幂函数在生活中计算股票增长、利息利率等方面有广泛的应用。 概念的类：可定义概念

幂函数

定义 图像

性质

定义域、值域

单调性、单调区间

奇偶性

练习B1

练习A3 练习B2

引例

练习A1

特殊点

概念的定义：函数是属概念，幂函数是种概念，形如y ＝x 是种差

2. 符号分析

形：x

音：x 的次幂

意：个自变量x 相乘，

为实数

3. ；

4.

性质分析

举例研究函数的性质

2

1x

y

x y =

=

3

12

x y

x y x y ===

-

列出函数的对应值表

x … -3 -2 -1 - 0 1 2 3 … y=x

… -3 -2 -1 { 0 1 2 3 … y=x 2

1 … — 0 1 … y=x

2 … 9 4 1 - 0 1 4 9 … y=x

3 …

-27

-8

-1 \ 0

1 8

27

… y=x -1

…

3

1- -2

1 -1

(

1

2

1 3

1 …

描点，画出函数图像

函数 性质

y=x 。

y=x 2

y=x 3

y=x 2

1

y=x -1

定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0} *

值域

R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}

奇偶性奇偶奇#

非奇非偶

奇

单调性在第Ⅰ象限

单调递增

在第Ⅰ象限

单调递增

在第Ⅰ象限

单调递增

在第Ⅰ象限

单调递增

在第Ⅰ象限

单调递减

特殊点(1,1)~

(1,1)

(1,1)(1,1)(1,1)

图象分布第Ⅰ、Ⅲ象

限

第Ⅰ、Ⅱ象

限

第Ⅰ、Ⅲ象

限

第Ⅰ象限

第Ⅰ、Ⅲ象

限

、

总结函数性质

（1）所有的幂函数在()+∞,0

都有定义，并且图像都通过点（1,1）；

（2）如果＞0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间[0,+ ∞）都是增函数（3）如果0

＜，则幂函数在区间（0,+ ∞）上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋近于原点时，图像在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋近于正无穷时，图像在x轴上方无限地逼近x轴

5.例题分析

例一. 比较下列两个代数式值的大小

1)（a+1）,

2)(2+a2)-2/3 ,2-2/3

解题思路：

比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：

~

（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；

（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；

（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．

解：考察幂函数y=，在第一象限内是单调增函数，a+1＞a，所以

（a+1）＞

考察幂函数y=x-2/3，在第一象限内是单调减函数，2+a2＞2，所以(2+a2)-2/3 ＜2-2/3

分析：（1）例题类型：比较大小（底数不同，幂相同）

（2）例题的目的与作用：通过例题加深对幂函数性质的理解，是对性质的一个具体应用。利用性质解答问题，实现知识的内化，知识向能力的

转化。

（3）解答例题所需数学水平：对幂函数的图像性质熟练掌握（这里主要是单调性）

$

（4）例题、习题和练习题搭配关系：习题B第三题

都是比较两个幂的值的大小，以此来达到熟练掌握幂函数单调性的

目的