立体几何中的翻折问题PPT课件
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公开课课件～立体几何中的折叠问题
E
C
A
B F
EC A
B F
P
小结： 1.会看合问题，寻找不变量，常见的 不变量是：
（1）不变的垂直关系 （2）不变的长度关系 （3）不变的平行关系
作业：完成课时训练四十
为 AF，AD，BE，DE的中点，将 ABC 沿 DE，EF，DF 折成三棱锥后，
GH，IJ 所成的角为（ ）
A.
B.
C.
D .0
2
3
4
2.（2015年浙江省理科第8题）如图，已知ABC，D是AB的中点，
沿直线CD将ACD折成A'CD, 所成二面角A'-CD-B的平面角为，
则（ )
A.A'DB B.A'DB C.A'CB D.A'CB
考点一：不变的垂直关系
例1：如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，将ADE和BEC 沿DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，
（1）求证：PE 平面PDC； （2）二面角P-CD-E的大小
考点二：不变的长度关系
例2.将边长为a 的正方形ABCD沿对角线AC折起， 使得BD a,则三棱锥D ABC的体积是（ ）
A. a3
B. a3
C. 3 a3
D. 2 a3
6
12
12
12
考点三：不变的平行关系
例3：(2006辽宁卷高考）已知正方形ABCD，E，F分别是边AB，CD 的中点，将ADE沿DE折起，如图所示，求证：BF//平面ADE。
针对性练习
1.如图，在正三角形 ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J 分别
拓展思维
(2011 浙江 20) 如图, 在平面内直线 EF 与线段 AB 相交于 C 点,
向量法解立体几何中的探索性问题与翻折问题PPT课件
的射影垂直于AP，并证明你的结论。
D’
C’
A’
B’
D
A
第13页/共28页
C B
把一个平面图形按某种要求折起，转化为 空间图形，进而研究图形在位置关系和数量 关系上的变化，这就是翻折问题。
图形的展开与翻折问题就是一个由 抽象到直观,由直观到抽象的过程.在历年 高考中以图形的展开与折叠作为命题对 象时常出现,因此,关注图形的展开与折叠 问题是非常必要的.
一般情况下原图中的一部分仍在同一个半平面内与组成这部分图形的元素保持着原有的数量及位置关系抓住这些不变量和不变关系是解决折叠问题的关键
1、如图,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD 中,∠ABC=600,PA⊥面ABCD,PA=AC=a， PB=PD= 2a ,点E在PD上,且PE:ED=2:1,在棱PC 上是否存在一点F,使BF//平面AEC?证明你的 结论。
（1）不论P在侧棱上任何位置，是否总有
BD⊥CP？说明你的理由； （2）若CC’=AB，是否存在
D’ A’
这样的点P，使得异面直线
CP与AB所成的角比异面直 P D
线AC与B’P所成的角大？并 A 说明理由。
第7页/共28页
C’ B’
C B
解:建立空间直角坐标 系,A(0,0,0),P(O,O,Z),B(1,0,0),D(0,1,0)
EF
AP
平面PEF
AP AP
PF PE
(2)设EF的中点为M, AE=AF,PE=PF
AMP为二面角A-EF-P的平面角
解得 AMP=arctan2 2
P(B,C,D)
A
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F ·M E
小结：求解翻折问题的基本方法： (1)先比较翻折前后的图形，弄
D’
C’
A’
B’
D
A
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C B
把一个平面图形按某种要求折起，转化为 空间图形，进而研究图形在位置关系和数量 关系上的变化，这就是翻折问题。
图形的展开与翻折问题就是一个由 抽象到直观,由直观到抽象的过程.在历年 高考中以图形的展开与折叠作为命题对 象时常出现,因此,关注图形的展开与折叠 问题是非常必要的.
一般情况下原图中的一部分仍在同一个半平面内与组成这部分图形的元素保持着原有的数量及位置关系抓住这些不变量和不变关系是解决折叠问题的关键
1、如图,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD 中,∠ABC=600,PA⊥面ABCD,PA=AC=a， PB=PD= 2a ,点E在PD上,且PE:ED=2:1,在棱PC 上是否存在一点F,使BF//平面AEC?证明你的 结论。
（1）不论P在侧棱上任何位置，是否总有
BD⊥CP？说明你的理由； （2）若CC’=AB，是否存在
D’ A’
这样的点P，使得异面直线
CP与AB所成的角比异面直 P D
线AC与B’P所成的角大？并 A 说明理由。
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C’ B’
C B
解:建立空间直角坐标 系,A(0,0,0),P(O,O,Z),B(1,0,0),D(0,1,0)
EF
AP
平面PEF
AP AP
PF PE
(2)设EF的中点为M, AE=AF,PE=PF
AMP为二面角A-EF-P的平面角
解得 AMP=arctan2 2
P(B,C,D)
A
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F ·M E
小结：求解翻折问题的基本方法： (1)先比较翻折前后的图形，弄
高考研讨会资料——立体几何中的翻折问题(共14张PPT)
故答案：D
例 3.正四面体 ABCD，CD 在平面 α 内，点 E 是线段 AC 的中 点，在该四面体绕 CD 旋转的过程中，直线 BE 与平面 α 所成 角正弦值的范围
F θ
定 面 求 角
cos BEF cos q cos BEF
所以
cos BEF cos q
0 q BEF .
B． ������ < ������ < ������ D． ������ < ������ < ������
θ
β
α
定 边 求 角
AO tan a OD AO tan b OC AO tan q OE
又
OE EF BF CF OC OD ,
所以 即：
tan a tan b tan q a b q.
小结
角度（线线角、线面角、二面角） 求解翻折问题前必做的两件事 作出翻折前后两幅图 找出翻折中的不变量和不变关系 角 线（射影） 面
不变
动中寻静
定量关系
天道酬勤
由Байду номын сангаас可得：
33 所 以 0 sin q sin BEF . 6
例 4. （2018 年 11 月浙江省高中学业水平考试 18） 如图， 四边形 ABCD 为矩形， 沿 AC 将 D ADC 翻折成 D ADC .设二面角 D AB C 的平 面角为 q ， 直线 AD 与直线 BC 所成角为 q1 ， 直线 AD 与平面 ABC 所 成角为 q2 .当 q 为锐角时，有 A. q2 q1 q B. q2 q q1 C. q1 q2 q D. q q2 q1
综上q2 q q1.
故答案：B
例 3.正四面体 ABCD，CD 在平面 α 内，点 E 是线段 AC 的中 点，在该四面体绕 CD 旋转的过程中，直线 BE 与平面 α 所成 角正弦值的范围
F θ
定 面 求 角
cos BEF cos q cos BEF
所以
cos BEF cos q
0 q BEF .
B． ������ < ������ < ������ D． ������ < ������ < ������
θ
β
α
定 边 求 角
AO tan a OD AO tan b OC AO tan q OE
又
OE EF BF CF OC OD ,
所以 即：
tan a tan b tan q a b q.
小结
角度（线线角、线面角、二面角） 求解翻折问题前必做的两件事 作出翻折前后两幅图 找出翻折中的不变量和不变关系 角 线（射影） 面
不变
动中寻静
定量关系
天道酬勤
由Байду номын сангаас可得：
33 所 以 0 sin q sin BEF . 6
例 4. （2018 年 11 月浙江省高中学业水平考试 18） 如图， 四边形 ABCD 为矩形， 沿 AC 将 D ADC 翻折成 D ADC .设二面角 D AB C 的平 面角为 q ， 直线 AD 与直线 BC 所成角为 q1 ， 直线 AD 与平面 ABC 所 成角为 q2 .当 q 为锐角时，有 A. q2 q1 q B. q2 q q1 C. q1 q2 q D. q q2 q1
综上q2 q q1.
故答案：B
翻折上课课件
考题呈现 例1 已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折 叠，使得顶点B落在CD边上的P点处． （2）若图中的点P恰好是CD 边的中点，求∠OAB的度数；
考题呈现 例2 如图在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C使点C 落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E，F分别在 边AC，BC上） ，且△CEF与△ABC相似 ．
1.图形的翻折 部分在折叠前 和折叠后的形 状、大小不变， 是全等形； 【对应量相等】
2.图形的翻折 部分在折叠前 和折叠后关于 折痕成轴对称； 【轴对称图形 性质】
05
目标检测
目标检测
如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、 OC分别在x轴和y轴上，OC=3，OA=2 6 ，D是BC的中点， 将△OCD沿直线OD折叠后得到△OGD，延长OG交AB于 点E，连接DE，则点G的坐标为 ． 点击此处
2
0
1
8
几何图形的操作与变换 翻折
01
翻折即轴对称 翻折的对象一般有三角 形、长方形、正方形等 基本图形；考查问题有 求角度、线段的长度、 点的位置、图形的面积、 判断线段之间关系等．
专题概述
02
知识回顾
知识回顾
如图，将三角形纸片A BC折叠，使点B与点C重合， 然后展开纸片，记折痕为DE，连接DC，你有什么发现？ 翻折性质1：翻折前后的两个图形全等， 即对应边 相等，对应角相等．
添加文字
2
0
1
8
感谢聆听 敬请指导
（ ）当 AC =BC =2时， （ 21 ）当 AC =3 ，BC =4时， AD的长为 试求出 AD的长． ．
反思提升
翻折问题解题策略
3.充分挖掘图形的几何 性质，将其中的基本的 数量关系，用方程的形 式表达出来，并迅速求 解，这是解题时常用的 方法之一． 【勾股、相似、锐角三 角函数是常用的建立数 量关系的有效方法，将 形中问题量化】
立体几何中的折叠问题微专题ppt课件
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
把一个平面图形按某种要求折起，转化 为空间图形，进而研究图形在位置关系和数 量关系上的变化，这就是翻折问题。
图形的翻折问题在历年高考中时常出现， 浙江省近几年就出现了四次，因为它是一个由直 观到抽象的过程，所以每次的出现的题号都偏后， 同学们的答题情况也不太理想。
，沿直线 EF 将△AEF 翻
折成△A′ EF，使平面 A′ EF⊥平面 BEF。
（Ⅰ）求二面角
的余弦值；
（Ⅱ）点 M，N 分别在线段 FD，BC 上，若沿
直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折，使 C 与
重合，求线段 FM 的长。
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
你能不用求解看出它的范围吗？
考向二：通过翻折得到一个不确定的几何体， 研究其点线面的位置关系
策略：明确不变量、紧抓关键量
C B
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
课本中翻折：
如图：边长为2的正方形ABCD中， （1）点E、F分别是边BC和CD的中点，将△ABE， △AFD分别沿AE，AF折起，使两点重合于P点，
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
链接高考：
（09 浙江）17．如图，在长方形 ABCD 中，AB 2 ，BC 1，E 为 DC 的
把一个平面图形按某种要求折起，转化 为空间图形，进而研究图形在位置关系和数 量关系上的变化，这就是翻折问题。
图形的翻折问题在历年高考中时常出现， 浙江省近几年就出现了四次，因为它是一个由直 观到抽象的过程，所以每次的出现的题号都偏后， 同学们的答题情况也不太理想。
，沿直线 EF 将△AEF 翻
折成△A′ EF，使平面 A′ EF⊥平面 BEF。
（Ⅰ）求二面角
的余弦值；
（Ⅱ）点 M，N 分别在线段 FD，BC 上，若沿
直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折，使 C 与
重合，求线段 FM 的长。
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
你能不用求解看出它的范围吗？
考向二：通过翻折得到一个不确定的几何体， 研究其点线面的位置关系
策略：明确不变量、紧抓关键量
C B
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
课本中翻折：
如图：边长为2的正方形ABCD中， （1）点E、F分别是边BC和CD的中点，将△ABE， △AFD分别沿AE，AF折起，使两点重合于P点，
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
链接高考：
（09 浙江）17．如图，在长方形 ABCD 中，AB 2 ，BC 1，E 为 DC 的
高中数学精讲精练立体几何的翻折问题ppt课件
A. ( 6 , 3 )
B. ( 6 , 2 ]
, ] ( C. 3 2
, 2 ) D. ( 3 3
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定义法: 对于异面直线所成的角，如利用平 行线转化为平面角，把空间问题转化为平面问题
过 F 作 FH ∥ EB ， 交 AD 于 H .设菱形 ABCD 的边长为 1，
3）D在底面上的投影一定在射线DF上；
4) 点D '的轨迹是以H为圆心，DH ' 为半径的圆；
5）面AD'E绕AE翻折形成两个同底的圆锥.
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二、翻折问题题目呈现：
（一）翻折过程中的范围与最值问题
1、 （2016 联考试题）平面四边形 ABCD 中，AD=AB= 2 ，CD=CB= 现将△ABD 沿对角线 BD 翻折成 A ' BD ， 则在 A ' BD 5 ,且 AD AB ， 折起至转到平面 BCD 的过程中， 直线 A ' C 与平面 BCD 所成最大角的 正切值为_______
F M D
C
B N
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二、翻折问题题目呈现：
5.（16 届金华十校一模· 理 17）如图，在矩形 ABCD 中， 已知 AB=2， AD=4， 点 E、 F 分别在 AD、 BC 上， 且 AE=1， BF=3， 将四边形 AEFB 沿 EF 折起， 使点 B 在平面 CDEF 上的射影 H 在直线 DE 上. (Ⅰ)求证: CD⊥BE; (Ⅱ)求线段 BH 的长度； (Ⅲ)求直线 AF 与平面 EFCD 所成角的正弦值.
【答案】C
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8.（15 年上海高考题改编） 在 四 面 体 ABCD 中 ， 已 知 AD BC ， AD 6 ,
B. ( 6 , 2 ]
, ] ( C. 3 2
, 2 ) D. ( 3 3
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定义法: 对于异面直线所成的角，如利用平 行线转化为平面角，把空间问题转化为平面问题
过 F 作 FH ∥ EB ， 交 AD 于 H .设菱形 ABCD 的边长为 1，
3）D在底面上的投影一定在射线DF上；
4) 点D '的轨迹是以H为圆心，DH ' 为半径的圆；
5）面AD'E绕AE翻折形成两个同底的圆锥.
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二、翻折问题题目呈现：
（一）翻折过程中的范围与最值问题
1、 （2016 联考试题）平面四边形 ABCD 中，AD=AB= 2 ，CD=CB= 现将△ABD 沿对角线 BD 翻折成 A ' BD ， 则在 A ' BD 5 ,且 AD AB ， 折起至转到平面 BCD 的过程中， 直线 A ' C 与平面 BCD 所成最大角的 正切值为_______
F M D
C
B N
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二、翻折问题题目呈现：
5.（16 届金华十校一模· 理 17）如图，在矩形 ABCD 中， 已知 AB=2， AD=4， 点 E、 F 分别在 AD、 BC 上， 且 AE=1， BF=3， 将四边形 AEFB 沿 EF 折起， 使点 B 在平面 CDEF 上的射影 H 在直线 DE 上. (Ⅰ)求证: CD⊥BE; (Ⅱ)求线段 BH 的长度； (Ⅲ)求直线 AF 与平面 EFCD 所成角的正弦值.
【答案】C
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8.（15 年上海高考题改编） 在 四 面 体 ABCD 中 ， 已 知 AD BC ， AD 6 ,
2019高考研讨会资料——立体几何中的翻折问题(共14张PPT)
q1 q2
q
由题知： q1 q2 DE DE tan q , tan q2 EF AE AE EF
定 量 求 角
所以 tan q2 tan q, 即q2 q.
cos q1 cos q2 cos DAE AE EF EF cos q2 sin EAB AD AE AD EA EA cos q cos q1 即q q1 DF AD
综上q2 q q1. 故答案：B
练一练
平面四边形 ABCD 中， AD=AB=
2 ， CD=CB=
5 ,且
AD AB ，现将△ABD 沿对角线 BD 翻折成 A ' BD ，则在
A ' BD 折起至转到平面 BCD 的过程中，直线 A ' C 与平面
BCD 所成最大角的正切值为_______ .
立体几何中的 翻折问题
以浙江高考为例
年份
2016 2016
高考试题
考查内容
浙江· 理科· 14（填空压轴题） 翻折过程中体积最值 浙江· 文科· 14（填空压轴题） 翻折过程中线线角
2015
2012 2010 2010 2009 2005
浙江· 理科· 8（选择压轴题）
翻折过程中二面角
浙江· 理科· 10（选择压轴题） 翻折过程中对棱垂直 浙江· 理科· 20（解答题） 浙江· 文科· 20（解答题） 翻折过程中二面角及长度 翻折过程中线面角
33 所 以 0 sin q sin BEF . 6
例 4. （2018 年 11 月浙江省高中学业水平考试 18） 如图， 四边形 ABCD 为矩形， 沿 AC 将 D ADC 翻折成 D ADC .设二面角 D AB C 的平 面角为 q ， 直线 AD 与直线 BC 所成角为 q1 ， 直线 AD 与平面 ABC 所 成角为 q2 .当 q 为锐角时，有 A. q2 q1 q B. q2 q q1 C. q1 q2 q D. q q2 q1
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2020年10月2日
2
例题分析: 例 1:已 知 :E,F是 正 方 形 ABCD的 边 BC和
CD的 中 点 ,分 别 沿 AE,EF,AF将 ABE,ECF,
AFD折 起 使 B,C,D三 点 重 合 于 P点 ,如 图 ,
(1)求证:AP EF;
(2)求 二 面 角 A-EF-P的 大 小 .
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
15
A
D
B
C
2020年10月2日
A
B H C
D
6
(1) 设A在平面BCD上的射影为H,则AH平 面BCD,AB在平面BCD的射影为BC
BCCD CDAB 故异面直线AB和CD所成的角为90.
A
D
B
C
2020年10月2日
A
B,又AB CD AB 平面
ACD AB AC AC在平面BCD的射影是BC,CD BC
D O1 C
O1 Z
C
D
A
B
O
2020年10月2日
O
A X
BY
9
分析: (1) 建系,以O为坐标原点,OA、OB、OC所在直线为
X轴、Y轴、Z轴，则有A (3,0,0 ) , B (0,3,0) , C (0,1, 3 ),
O1(0,0, 3 ) 从而 A C ( 3 , 1 ,3 ) , B O 1 ( 0 , 3 ,3 ) , A C B O 1 0
(2).根据不变量及有关定理、公式进行推理或计
算．
2.本节课主要培养学生的空间想象力,体现‘化
归’2020的年10数月2日学思想.
14
演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to download!
D
O
A
取 z 3 , 得 2020年10月2日 n (1, 0, 3 )
x
C
By
10
设
二
面
角
O
-
A
C
-
O
的
1
大
小
为
,由
n
,
B
O1的
方
向
可知 =n,BO1 cos cosn,BO1 n BO1
n BO1
3 4
即二面角O-AC-0 的大小是arccos 3
1
4
2020年10月2日
11
强化练习:
P(B,C,D)
A
D
B
2020年10月2日
F
C E
A
F
E
3
分 析 : ( 1 ) A P E F A P 平 面 P E F A A P P P P F E
(2)设 E F 的 中 点 为 M,AE=AF,PE=PF AMP为 二 面 角 A-EF-P的 平 面 角
解 得 AMP=arctan22
立体几何中的翻折问题
2020年10月2日
1
把一个平面图形按某种要求折起，转化 为空间图形，进而研究图形在位置关系和数 量关系上的变化，这就是翻折问题。
图形的展开与翻折问题就是一个由抽 象到直观,由直观到抽象的过程.在历年高考 中以图形的展开与折叠作为命题对象时常 出现,因此,关注图形的展开与折叠问题是非 常必要的.折叠问题2005年高考的热点,预测 明年高考也应是一个热点.
P (A、B)
A
D
E
B
C
2020年10月2日
D E
F
C 13
小结:
1.要解决好折叠和展开这类问题需要较强的空 间想象能力，并明确以下两点：
(1)．折叠前、后的平面图与立体图中各个元素 间大小和位置关系，哪些发生变化，哪些不变．
一般情况下，原图中的一部分仍在同一个半
平面内，与组成这部分图形的元素保持着原有的 数量及位置关系，抓住这些不变量和不变关系是 解决折叠问题的关键．
P(B,C,D)
2020年10月2日
A
F
·M
E
4
小结：求解翻折问题的基本方法：
(1)先比较翻折前后的图形，弄清 哪些量和位置关系在翻折过程中不变， 哪些已发生变化，
(2)将不变的条件集中到立方体图 形中，将问题归结为一个条件与结论 明朗化的立几问题。
2020年10月2日
5
例2:在矩形ABCD中,AB=3,BC=4, 沿对角线BD对折成二面角A-BD-C,使 A在平面BCD上的射影落在BC上, (1)求异面直线AB和CD所成的角; (2)求AB和CD之间的距离.
1. 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中， ①BM∥ED；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60° 角；④DM⊥BN 以上四个命题中正确的序号是 ( D ) (A)、①②③ (B)、②④ (C)、②③④ (D)、③④
N
M
E
F
2020年10月2日
D A
C
B
12
2.如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如 将△DAE和△CBE沿虚线DE和CE折起，使AE和BE 重合,记A与B重合后的点为P，则面PCD与面ECD 所成的二面角为___3_0_°_____.
ACBO1
(2) BO1 OC 3 3 3 0, BO1 OC , 由 (1)AC BO1, BO1 平 面 OAC ,
BO1 是平面 OAC 的一个法向量.
z
设 n (x, y, z) 是平面 O1AC的一个法向量 , O 1
由
n n
AC O1C
0 0
3 x y 0
y
3z 0
AC CD AC是异面直线AB与CD的公垂线段
在RtBAC中, AB 3, BC 4,AC 7
异面直线AB与CD的距离是 7.
A
A
D
B
C
2020年10月2日
B H C
D
8
变式训练:如图,已知ABCD是上下底边长分 别为2和6,高为3 的等腰梯形,将它沿对称轴 OO1折成直二面角. (1)证明:ACBO1; (2)求二面角O-AC-O1 的大小.