立体几何中的翻折问题PPT课件
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立体几何中的翻折问题
2020年10月2日
1
把一个平面图形按某种要求折起，转化 为空间图形，进而研究图形在位置关系和数 量关系上的变化，这就是翻折问题。
图形的展开与翻折问题就是一个由抽 象到直观,由直观到抽象的过程.在历年高考 中以图形的展开与折叠作为命题对象时常 出现,因此,关注图形的展开与折叠问题是非 常必要的.折叠问题2005年高考的热点,预测 明年高考也应是一个热点.
AC CD AC是异面直线AB与CD的公垂线段
在RtBAC中, AB 3, BC 4,AC 7
异面直线AB与CD的距离是 7.
A
A
D
B
C
2020年10月2日
ห้องสมุดไป่ตู้
B H C
D
8
变式训练:如图,已知ABCD是上下底边长分 别为2和6,高为3 的等腰梯形,将它沿对称轴 OO1折成直二面角. (1)证明:ACBO1; (2)求二面角O-AC-O1 的大小.
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
15
P (A、B)
A
D
E
B
C
2020年10月2日
D E
F
C 13
小结:
1.要解决好折叠和展开这类问题需要较强的空 间想象能力，并明确以下两点：
(1)．折叠前、后的平面图与立体图中各个元素 间大小和位置关系，哪些发生变化，哪些不变．
一般情况下，原图中的一部分仍在同一个半
平面内，与组成这部分图形的元素保持着原有的 数量及位置关系，抓住这些不变量和不变关系是 解决折叠问题的关键．
1. 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中， ①BM∥ED；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60° 角；④DM⊥BN 以上四个命题中正确的序号是 ( D ) (A)、①②③ (B)、②④ (C)、②③④ (D)、③④
N
M
E
F
2020年10月2日
D A
C
B
12
2.如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如 将△DAE和△CBE沿虚线DE和CE折起，使AE和BE 重合,记A与B重合后的点为P，则面PCD与面ECD 所成的二面角为___3_0_°_____.
P(B,C,D)
2020年10月2日
A
F
·M
E
4
小结：求解翻折问题的基本方法：
(1)先比较翻折前后的图形，弄清 哪些量和位置关系在翻折过程中不变， 哪些已发生变化，
(2)将不变的条件集中到立方体图 形中，将问题归结为一个条件与结论 明朗化的立几问题。
2020年10月2日
5
例2:在矩形ABCD中,AB=3,BC=4, 沿对角线BD对折成二面角A-BD-C,使 A在平面BCD上的射影落在BC上, (1)求异面直线AB和CD所成的角; (2)求AB和CD之间的距离.
2020年10月2日
2
例题分析: 例 1:已 知 :E,F是 正 方 形 ABCD的 边 BC和
CD的 中 点 ,分 别 沿 AE,EF,AF将 ABE,ECF,
AFD折 起 使 B,C,D三 点 重 合 于 P点 ,如 图 ,
(1)求证:AP EF;
(2)求 二 面 角 A-EF-P的 大 小 .
(2).根据不变量及有关定理、公式进行推理或计
算．
2.本节课主要培养学生的空间想象力,体现‘化
归’2020的年10数月2日学思想.
14
演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to download!
A
D
B
C
2020年10月2日
A
B H C
D
6
(1) 设A在平面BCD上的射影为H,则AH平 面BCD,AB在平面BCD的射影为BC
BCCD CDAB 故异面直线AB和CD所成的角为90.
A
D
B
C
2020年10月2日
A
B H C
D
7
(2)由(1)可知AB CD,又AB CD AB 平面
ACD AB AC AC在平面BCD的射影是BC,CD BC
ACBO1
(2) BO1 OC 3 3 3 0, BO1 OC , 由 (1)AC BO1, BO1 平 面 OAC ,
BO1 是平面 OAC 的一个法向量.
z
设 n (x, y, z) 是平面 O1AC的一个法向量 , O 1
由
n n
AC O1C
0 0
3 x y 0
y
3z 0
D O1 C
O1 Z
C
D
A
B
O
2020年10月2日
O
A X
BY
9
分析: (1) 建系,以O为坐标原点,OA、OB、OC所在直线为
X轴、Y轴、Z轴，则有A (3,0,0 ) , B (0,3,0) , C (0,1, 3 ),
O1(0,0, 3 ) 从而 A C ( 3 , 1 ,3 ) , B O 1 ( 0 , 3 ,3 ) , A C B O 1 0
D
O
A
取 z 3 , 得 2020年10月2日 n (1, 0, 3 )
x
C
By
10
设
二
面
角
O
-
A
C
-
O
的
1
大
小
为
,由
n
,
B
O1的
方
向
可知 =n,BO1 cos cosn,BO1 n BO1
n BO1
3 4
即二面角O-AC-0 的大小是arccos 3
1
4
2020年10月2日
11
强化练习:
P(B,C,D)
A
D
B
2020年10月2日
F
C E
A
F
E
3
分 析 : ( 1 ) A P E F A P 平 面 P E F A A P P P P F E
(2)设 E F 的 中 点 为 M,AE=AF,PE=PF AMP为 二 面 角 A-EF-P的 平 面 角
解 得 AMP=arctan22
2020年10月2日
1
把一个平面图形按某种要求折起，转化 为空间图形，进而研究图形在位置关系和数 量关系上的变化，这就是翻折问题。
图形的展开与翻折问题就是一个由抽 象到直观,由直观到抽象的过程.在历年高考 中以图形的展开与折叠作为命题对象时常 出现,因此,关注图形的展开与折叠问题是非 常必要的.折叠问题2005年高考的热点,预测 明年高考也应是一个热点.
AC CD AC是异面直线AB与CD的公垂线段
在RtBAC中, AB 3, BC 4,AC 7
异面直线AB与CD的距离是 7.
A
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ห้องสมุดไป่ตู้
B H C
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变式训练:如图,已知ABCD是上下底边长分 别为2和6,高为3 的等腰梯形,将它沿对称轴 OO1折成直二面角. (1)证明:ACBO1; (2)求二面角O-AC-O1 的大小.
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
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P (A、B)
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小结:
1.要解决好折叠和展开这类问题需要较强的空 间想象能力，并明确以下两点：
(1)．折叠前、后的平面图与立体图中各个元素 间大小和位置关系，哪些发生变化，哪些不变．
一般情况下，原图中的一部分仍在同一个半
平面内，与组成这部分图形的元素保持着原有的 数量及位置关系，抓住这些不变量和不变关系是 解决折叠问题的关键．
1. 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中， ①BM∥ED；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60° 角；④DM⊥BN 以上四个命题中正确的序号是 ( D ) (A)、①②③ (B)、②④ (C)、②③④ (D)、③④
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2.如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如 将△DAE和△CBE沿虚线DE和CE折起，使AE和BE 重合,记A与B重合后的点为P，则面PCD与面ECD 所成的二面角为___3_0_°_____.
P(B,C,D)
2020年10月2日
A
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·M
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小结：求解翻折问题的基本方法：
(1)先比较翻折前后的图形，弄清 哪些量和位置关系在翻折过程中不变， 哪些已发生变化，
(2)将不变的条件集中到立方体图 形中，将问题归结为一个条件与结论 明朗化的立几问题。
2020年10月2日
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例2:在矩形ABCD中,AB=3,BC=4, 沿对角线BD对折成二面角A-BD-C,使 A在平面BCD上的射影落在BC上, (1)求异面直线AB和CD所成的角; (2)求AB和CD之间的距离.
2020年10月2日
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例题分析: 例 1:已 知 :E,F是 正 方 形 ABCD的 边 BC和
CD的 中 点 ,分 别 沿 AE,EF,AF将 ABE,ECF,
AFD折 起 使 B,C,D三 点 重 合 于 P点 ,如 图 ,
(1)求证:AP EF;
(2)求 二 面 角 A-EF-P的 大 小 .
(2).根据不变量及有关定理、公式进行推理或计
算．
2.本节课主要培养学生的空间想象力,体现‘化
归’2020的年10数月2日学思想.
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演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to download!
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B
C
2020年10月2日
A
B H C
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(1) 设A在平面BCD上的射影为H,则AH平 面BCD,AB在平面BCD的射影为BC
BCCD CDAB 故异面直线AB和CD所成的角为90.
A
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2020年10月2日
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B H C
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(2)由(1)可知AB CD,又AB CD AB 平面
ACD AB AC AC在平面BCD的射影是BC,CD BC
ACBO1
(2) BO1 OC 3 3 3 0, BO1 OC , 由 (1)AC BO1, BO1 平 面 OAC ,
BO1 是平面 OAC 的一个法向量.
z
设 n (x, y, z) 是平面 O1AC的一个法向量 , O 1
由
n n
AC O1C
0 0
3 x y 0
y
3z 0
D O1 C
O1 Z
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分析: (1) 建系,以O为坐标原点,OA、OB、OC所在直线为
X轴、Y轴、Z轴，则有A (3,0,0 ) , B (0,3,0) , C (0,1, 3 ),
O1(0,0, 3 ) 从而 A C ( 3 , 1 ,3 ) , B O 1 ( 0 , 3 ,3 ) , A C B O 1 0
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取 z 3 , 得 2020年10月2日 n (1, 0, 3 )
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设
二
面
角
O
-
A
C
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O
的
1
大
小
为
,由
n
,
B
O1的
方
向
可知 =n,BO1 cos cosn,BO1 n BO1
n BO1
3 4
即二面角O-AC-0 的大小是arccos 3
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强化练习:
P(B,C,D)
A
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2020年10月2日
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分 析 : ( 1 ) A P E F A P 平 面 P E F A A P P P P F E
(2)设 E F 的 中 点 为 M,AE=AF,PE=PF AMP为 二 面 角 A-EF-P的 平 面 角
解 得 AMP=arctan22