直线与圆相交
直线与圆的交点问题
直线与圆的交点问题在数学中，直线与圆的交点问题是一个常见而重要的几何问题。
本文将介绍直线与圆相交的基本原理和求解方法，以及一些相关的应用。
一、直线与圆相交的基本原理直线与圆相交时，可能存在三种情况：相离、相切和相交。
下面分别进行讨论。
1. 直线与圆相离的情况当直线与圆没有交点时，它们之间的距离大于圆的半径。
这种情况下，直线被称为圆的外切线。
直线与圆的相对位置可以通过直线的斜率和圆的半径来判断。
2. 直线与圆相切的情况当直线与圆有且仅有一个交点时，它们相切。
这种情况下，直线被称为圆的切线。
判断直线是否为圆的切线需要满足以下条件： - 直线的斜率等于圆心与切点所在直径的斜率的负倒数。
- 直线与圆心的距离等于圆的半径。
3. 直线与圆相交的情况当直线与圆有两个交点时，它们相交。
相交的情况下，直线与圆的交点可以通过联立直线方程和圆的方程求解得到。
二、求解直线与圆交点的方法要求解直线与圆的交点，可以通过以下几种方法：1. 代入法已知直线的方程和圆的方程，可以将直线方程中的变量代入到圆的方程中，得到一个关于圆心坐标的一元二次方程。
解这个方程可以得到圆的交点的坐标。
2. 几何法可以通过几何方法求解直线和圆的交点。
如已知直线的方程和圆心坐标，可以利用相似三角形、勾股定理等几何关系求解交点的坐标。
3. 参数方程法如果直线的方程和圆的方程为参数方程形式，可以将直线的参数代入到圆的参数方程中，得到一个关于圆心参数的方程。
解这个方程可以得到圆的交点的参数值，进而求得交点的坐标。
三、直线与圆交点问题的应用直线与圆的交点问题在几何学和数学建模中有着广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景：1. 计算机图形学在计算机图形学中，直线与圆的交点问题被广泛应用于图形的绘制、几何变换和碰撞检测等领域。
通过求解直线与圆的交点，可以确定图形的形状和位置，实现精确的图形渲染和模拟。
2. 机械工程在机械工程中，直线与圆的交点问题常用于机械零件的装配和运动分析。
直线与圆相交的公式
直线与圆相交的公式直线与圆相交的公式是数学中一个重要的概念，它在几何学和代数学中都有广泛的应用。
当直线与圆相交时，我们可以通过一些公式来描述它们之间的关系。
我们来看直线与圆相交的情况。
当一条直线与圆相交时，可能有三种不同的情况：直线与圆相交于两个不同的点、相切于一个点或者不相交。
对于直线与圆相交于两个不同的点的情况，我们可以用以下公式来描述它们之间的关系：设直线的方程为y = kx + b，圆的方程为(x - a)² + (y - c)² = r²。
其中，(a, c)表示圆心的坐标，r表示半径。
我们可以将直线的方程代入圆的方程中，得到一个关于x的二次方程。
解这个方程可以得到两个解，即直线与圆相交的两个点的横坐标。
将这两个横坐标代入直线的方程中，可以求得相应的纵坐标。
对于直线与圆相切于一个点的情况，我们可以用以下公式来描述它们之间的关系：设直线的方程为y = kx + b，圆的方程为(x - a)² + (y - c)² = r²。
其中，(a, c)表示圆心的坐标，r表示半径。
我们可以将直线的方程代入圆的方程中，得到一个关于x的二次方程。
解这个方程可以得到一个解，即直线与圆相切的点的横坐标。
将这个横坐标代入直线的方程中，可以求得相应的纵坐标。
对于直线与圆不相交的情况，我们可以用以下公式来描述它们之间的关系：设直线的方程为y = kx + b，圆的方程为(x - a)² + (y - c)² = r²。
其中，(a, c)表示圆心的坐标，r表示半径。
我们可以将直线的方程代入圆的方程中，得到一个关于x的二次方程。
解这个方程可以得到两个解，即直线与圆的交点的横坐标。
将这两个横坐标代入直线的方程中，可以求得相应的纵坐标。
我们可以通过一些公式来描述直线与圆相交的关系。
这些公式在几何学和代数学中有广泛的应用，可以帮助我们解决许多相关的问题。
解析几何中的直线与圆的位置关系
解析几何中的直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系是解析几何中的重要概念之一。
在空间几何中，直线和圆可以有多种相互位置的情况，包括相离、相切和相交。
本文将对直线与圆的不同位置关系进行解析和讨论。
一、直线和圆相离的情况当一条直线与一个圆没有任何交点时，我们称直线和圆相离。
此时，直线与圆之间的最短距离等于两者之间的半径差。
直线作为一个无限延伸的曲线，在与圆相离的情况下，可能与圆的外部或内部都不存在交点。
二、直线和圆相切的情况直线和圆相切意味着它们只有一个公共点，即相切点。
在这种情况下，直线与圆的切点即为它们的交点，且直线垂直于通过切点的半径。
直线与圆相切的情况分为两种，一种是直线与圆外切，另一种是直线与圆内切。
1. 直线与圆外切当一条直线与一个圆外切时，直线与圆相交于切点。
此时，直线与圆的半径垂直并且共线，且直线和圆之间的最短距离等于圆的半径。
直线从切点开始离开圆，没有任何交点。
外切情况下，直线与圆的位置关系可以通过切线与圆的关系来理解。
2. 直线与圆内切直线与圆内切意味着直线与圆只有一个公共点，并且直线在此切点处与圆的内部相切。
如外切情况一样，直线与圆内切时，直线与通过切点的半径垂直并且共线。
直线从切点开始进入圆内，没有任何其他交点。
三、直线和圆相交的情况直线和圆可能有两个交点或者无穷多个交点。
直线与圆相交的情况分为两种，一种是直线穿过圆内部，另一种是直线截取了圆的一部分。
1. 直线穿过圆内部当一条直线穿过一个圆的内部时，直线与圆的交点有两个。
此时直线与圆的位置关系是直线既与圆的内部相交，又与圆的外部相交。
直线穿过圆的内部时，直线与圆的交点处于圆的两侧。
2. 直线截取圆的一部分当一条直线截取了一个圆的一部分时，直线与圆的交点有两个。
此时直线与圆的位置关系是直线既与圆的内部相交，又与圆的外部相交。
直线截取圆的一部分时，直线的两个交点分别位于圆上，相交点将圆分成了两部分。
总结：直线和圆的位置关系在解析几何中是一个重要的概念。
24.2.2 直线和圆的位置关系——相交、相切、相离
直线和圆有两个 直线和圆有唯一
公共点时，叫做 公共点时，叫做 直线和圆相交． 直线和圆相切．
这条直线叫做 圆的割线，公 共点叫直线和 圆的交点．
这条直线叫做圆 的切线，这个点 叫做切点．
直线和圆没有公 共点时，叫做直 线和圆相离．
直线与圆的位置关系判定定理
设点O到直 线的距离 为d,⊙O的 半径为r
ห้องสมุดไป่ตู้
总结
(1)直线和圆的位置关系的应用过程实质是一种数 形结合思想的转化过程，它始终是“数”：圆心 到直线的距离与圆的半径大小，与“形”：直线 和圆的位置关系之间的相互转化． (2)圆心到直线的距离通常用勾股定理与面积相等 法求出．
巩固练习2:
1.已知直线l与半径为r的⊙O相交,且点O到直线l的距 离为6，则r的取值范围是( )
0 d r 直线与O相交
d r 直线与O相切 d r 直线与O相离
例1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠B＝30°,BC＝4cm,
以点C为圆心,2cm为半径作圆,则⊙C与AB的位置关系是
( B)
A.相离
B.相切
C.相交 D.相切或相交
例2.如图，四边形ABCD中,∠A＝∠B＝90°,E为AB上 一点,且DE、CE分别平分∠ADC和∠BCD,判断以AB为直 径的圆与CD有怎样的位置关系？试证明你的结论．
直线与圆的位置关系性质定理
设点O到直 线的距离 为d,⊙O的 半径为r
直线与O相交 0 d r
直线与O相切 d r 直线与O相离 d r
例3.在Rt△ABC中,AC＝3cm,BC＝4cm,∠ACB＝90°.若 以点C为圆心,r为半径的圆与直线AB不相离,求r的取值 范围．
直线与圆的相交关系教学方法总结
直线与圆的相交关系教学方法总结直线与圆的相交关系是中学数学中重要的一个概念，涵盖了直线和圆的相切、相交、内切、外切等多种情况。
正确而有条理地教授这一概念对于学生理解几何学原理和解题能力的培养至关重要。
本文将总结一种适合教学的方法来教授直线与圆的相交关系，帮助学生更好地理解和应用相关知识。
第一部分：引入知识点在教学开始之前，可以通过故事、实例或以生动的方法引入知识点。
例如，教师可以通过提问或展示一幅有意思的图片来引起学生的兴趣和好奇心。
这样可以激发学生对直线与圆的相交关系的学习兴趣，并为后续的教学做好铺垫。
第二部分：基础概念解释在引入知识点后，逐步引导学生理解直线与圆的基础概念。
首先，明确直线和圆的定义，并解释直线与圆相交的不同情况。
例如，直线可能与圆相切、相交或不相交。
通过图形示例和实际生活中的应用场景，帮助学生理解这些概念。
第三部分：具体情况分析接下来，逐一讲解每种直线与圆相交的具体情况，并探讨相应的性质与性质之间的联系。
例如，教师可以从最简单的情况开始，即直线与圆相切，介绍切线与半径的关系。
然后，引入直线与圆的两个交点的情况，讲解并比较弦和切线的性质。
在讲解过程中，可以使用适当的图形示意图和数学符号来帮助学生理解和记忆相关概念。
第四部分：案例分析和解题技巧为了加深学生对直线与圆相交关系的理解，可以提供一些具体的案例，引导学生通过观察图形、分析问题、运用相关定理和性质来解决问题。
在解题过程中，鼓励学生提出自己的解题思路，并与同伴一起交流和讨论。
同时，教师也可以向学生介绍一些解题技巧和公式，帮助他们在实际应用中灵活运用直线与圆的相交关系知识。
第五部分：扩展应用和拓展学习在教学的最后阶段，可以引导学生将所学的知识应用到更复杂的问题中。
例如，通过几何思想解决实际问题或与其他数学知识结合，如向量、三角函数等。
这样可以培养学生综合运用知识和解决实际问题的能力。
同时，鼓励学生进行探究性学习，发现并探索其他与直线与圆相交关系相关的数学原理或应用，并分享给同学们。
直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系一直线和圆的位置关系是几何学中的经典问题之一。
直线和圆的相交情况可以分为三种情况：相离、相切和相交。
在本文中，我们将探讨这些情况，并讨论在给定条件下如何确定直线和圆之间的位置关系。
相离的情况是指直线和圆不相交，也不相切。
换句话说，直线没有交叉或触及圆。
当直线与圆没有公共点时，它们被认为是相离的。
这种情况是最简单的情况，因为直线上的任意一点到圆的距离都大于圆的半径。
因此，如果给定一个直线和一个圆，并且它们的半径和位置都已知，我们可以通过计算直线上的任意一点到圆的距离，来确定它们是否相离。
接下来是相切的情况。
当直线与圆相切时，直线刚好触及圆的一个点。
在几何学中，相切的定义是两个图形仅有一个公共点。
对于直线和圆的情况而言，这个点就是直线与圆的切点。
在相切的情况下，直线的斜率与直线上的切点与圆心的连线的斜率相等。
因此，我们可以通过计算直线上两个点的斜率，并比较其与圆心的斜率是否相等，来确定它们是否相切。
最后是相交的情况。
当直线与圆相交时，它们有两个公共点。
如果给定一个直线和一个圆，并且它们的半径和位置都已知，我们可以通过解方程组来确定直线与圆的交点。
一种常见的方法是使用二次方程，通过将直线的方程和圆的方程联立，然后求解二次方程来计算交点的坐标。
如果二次方程有实数解，那么直线与圆相交；如果二次方程没有实数解，那么直线和圆不相交。
当直线与圆相交时，它们的交点具有很多有趣的性质。
例如，交点的坐标可以用来计算直线与圆的切线方程、直线与圆之间的夹角等。
另外，当直线与圆相交时，我们还可以根据交点和圆心的相对位置来判断交点的位置关系。
如果交点在圆心的左侧，那么直线与圆在交点处是外切的；如果交点在圆心的右侧，那么直线与圆在交点处是内切的。
总结起来，直线和圆的位置关系可以通过计算直线上的任意一点到圆的距离来判断它们是否相离；可以通过比较直线上两个点的斜率与圆心的斜率是否相等来判断它们是否相切；可以通过解方程组来计算直线和圆的交点，并根据交点和圆心的相对位置来判断交点的位置关系。
直线和圆的位置关系
d>r d=r d<r
1、已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d ： 已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d 13cm 2 直线与圆有____个公共点. ____个公共点 1)若 ,则直线与圆 1)若d=4.5cm ,则直线与圆 相交 , 直线与圆有____个公共点. 1 相切 2)若 ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点. 则直线与圆______ ____个公共点 2)若d=6.5cm ,则直线与圆______ 直线与圆有____个公共点. 相离 0 3)若 ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点. 则直线与圆______ ____个公共点 3)若d= 8 cm ,则直线与圆______ 直线与圆有____个公共点. 2、已知⊙O的半径为 、已知⊙ 的半径为 的半径为5cm, 圆心 与直线 的距离为 根据 圆心O与直线 的距离为d, 与直线AB的距离为 条件填写d的范围 的范围: 条件填写 的范围 1)若AB和⊙O相离 则 d > 5cm 若 和 相离, 相离 2)若AB和⊙O相切 则 d = 5cm 若 和 相切, 相切 3)若AB和⊙O相交 则 0cm≤ 若 和 相交,则 相交 ; ;
1、点和圆的位置关系有几种？ 、点和圆的位置关系有几种？
（1）d<r ） （2）d=r ） （3）d>r ）
点在圆内 点在圆上 点 在圆外
那么，直线和圆有什么位置关系呢？ 那么，直线和圆有什么位置关系呢？
直线和圆的位置关系 1、相交 、
直线和圆有两个公共点 时，叫做直线和圆相交 相交； 相交 这时直线叫做圆的割线 割线. 割线
线和圆有唯一公共点时， 叫做直线和圆相切 相切；这时 相切 直线叫做圆的切线 唯一 切线. 切线 的公共点叫做切点 切点. 切点
知识点五、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离
知识点五、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离重点：，直线和圆的位置关系的性质和判定难点：直线和圆三种位置关系的性质及判定。
当直线和圆相交时，d＜r；反过来，当d＜r时，直线和圆相交。
当直线和圆相切时，d＝r；反过来，当d＝r时，直线和圆相切。
当直线和圆相离时，d＞r；反过来，当d＞r时，直线和圆相离。
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径切线的判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这点的连线平分两条切线的夹角。
例1、在中，BC=6cm，∠B=30°，∠C=45°，以A为圆心，当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相切？相交？相离？解题思路：作AD⊥BC于D在中，∠B=30°∴在中，∠C=45°∴ CD=AD∵ BC=6cm ∴∴∴当时，⊙A与BC相切；当时，⊙A与BC相交；当时，⊙A与BC相离。
例2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=•∠A．（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．解题思路：（1）要说明CD是否是⊙O的切线，只要说明OC是否垂直于CD，垂足为C，•因为C点已在圆上．AD由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10 解：（1）CD 与⊙O 相切 理由：①C 点在⊙O 上（已知） ②∵AB 是直径∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90° ∵∠A=∠OCA 且∠DCB=∠A ∴∠OCA=∠DCB ∴∠OCD=90°综上：CD 是⊙O 的切线． （2）在Rt △OCD 中，∠D=30° ∴∠COD=60° ∴∠A=30° ∴∠BCD=30° ∴BC=BD=10 ∴AB=20，∴r=10答：（1）CD 是⊙O 的切线，（2）⊙O 的半径是10．练习：1.如图，AB 为⊙O 直径，BD 切⊙O 于B 点，弦AC 的延长线与BD 交于D•点，•若AB=10，AC=8，则DC 长为________．D2．如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 为⊙O 的切线，A 、B 为切点，弦AB 与PO 交于C ，⊙O 半径为1，PO=2，则PA_______，PB=________，PC=_______AC=______，BC=______∠AOB=________．3．如图，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，过点P 的任一直线交⊙O 于B 、C ，•连结AB 、AC ，连PO 交⊙O 于D 、E ．（1）求证：∠PAB=∠C ．（2）如果PA 2=PD ·PE ，那么当PA=2，PD=1时，求⊙O 的半径．_A_P答案： 1．A 2．B 3. （1）提示：作直径AF，连BF，如右图所示．（2）由已知PA2=PD·PE，可得⊙O的半径为32．。
直线与圆相交课件
（1）
（2）
（3）
判断直线与圆位置关系的方法?
1.判断直线与圆位置关系的方法
方法一：直线：Ax+By+C=0;圆：x2 + y2 +Dx+Ey+F=0
消元 一元二次方程
方法二：直线：Ax+By+C=0;圆: (x-a)2 + (y-b)2 =r2
d=
1、几何方法解题步骤： 把直线方程化为一般式, 圆的方程化为标准式， 求出圆心和半径
题型二.若直线与圆相交，求弦长问题：
圆的弦长的求法
几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边 设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为L，则 2＝r2－d2.
例2、已知过点M（-3，-3）的直线l被圆 x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4 5，求直线l的 方程。
利用几何性质，求弦心距,然后实例引入
这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的圆
的方程为:
x2 y2 9
轮船航线所在直线 l 的方程为：
4x 7 y 28 0
y 港口
问题归结为圆心为O的圆 与直线l有无公共点．
O
轮船 x
二.直线与圆的位置关系
想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？
平面几何中，直线与圆有三种位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点．
一.实例引入
一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的
台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的
范围是半径长为30km的圆形区域．已知港口位于台风
中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它
直线与圆交点圆系方程
直线与圆交点的圆系方程
过直线与圆相交点AB的圆系方程,为什么是x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（AX+BY+C）=0
用集合论来证明就可以了,x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（AX+BY+C）=0这个方程满足圆的一般方程,所以这个方程描述的是一个圆,而且所有同时满足x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0,AX+BY+C=0的点（即交点）一定满足x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（AX+BY+C）=0,因为0+λ*0=0,所以,它们的交点在这个方程确定的圆上（属于这个方程描述的集合）.但是,对于不满足x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0和AX+BY+C=0的点,也可以满足x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（AX+BY+C）=0,这些点就是这个圆上不是两个交点的其他点.我再举个例子,x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ（AX+BY+C）^2=0 ,这个方程描述的就是过直线和圆交点的椭圆（包括虚椭圆）.对于任意的若干个方程组,每个方程组含有若干个方程,它们的交集空间大都可以通过构造,含于满足条件特征空间之中.。
直线和圆的位置关系——相交、相切、相离
知2－讲
(1)如图（1），如果我们把太阳看作一个圆，把地平线看
作一条直线，太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种
位置关系？由此你能得出直线
和圆的位置关系吗？
感悟新知
知2－讲
（2）如图（2），在纸上画一条直线l，把钥匙环看作一个圆.在纸上 移动钥匙环，你能发现在移动钥匙环的过程中，它与直线l的公 共点个数的变化情况吗？
第2章 对称图形-圆
2.5
直线与圆的位置关系
第1课时 直线和圆的位置关系—— 相交、相切、相离
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
直线和圆的位置关系与圆的公共点个 数间的关系
直线与圆的位置关系的判定 直线与圆的位置关系的性质
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
本课是在研究点和圆的位置关系之后，进一步研究由 点组成的直线和圆的位置关系.
方法技巧练
解：∵a2＋b2＝12a＋8b－52， ∴a2－12a＋b2－8b＋52＝0. ∴(a－6)2＋(b－4)2＝0. ∴a－6＝0，b－4＝0.∴a＝6，b＝4. 又 ∵ a ， b ， c 为 正 整 数 且 是 △ABC 的 三 边 长 ， c 是 △ABC的最短边长，∴6－4<c≤4(c是正整数)． ∴c＝3或c＝4，即c的值是3或4.
方法技巧练
【点拨】根据a2＋b2＝12a＋8b－52，可以求得a，b的 值 ， 由 a ， b ， c 为 正 整 数 且 是 △ABC 的 三 边 长 ， c 是 △ABC的最短边长，即可求得c的值．
方法技巧练
解：将已知等式两边同时加上 2， 得 x2＋x12＋2＋2x＋1x＝2， 即x＋1x2＋2x＋1x＝2. 设 x＋1x＝y，则x＋1x2＋2x＋1x＝2 可化为 y2＋2y ＝2.配方，得 y2＋2y＋1＝2＋1，∴(y＋1)2＝3.
直线与圆、圆与圆的位置关系知识点及题型归纳
直线与圆、圆与圆的位置关系知识点及题型归纳知识点精讲一、 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交 二、 直线与圆的位置关系判断1. 几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心(,)a b 到直线0Ax By C ++=的距离，则d =则d r <⇔直线与圆相交，交于两点,P Q ，||PQ =d r =⇔直线与圆相切； d r >⇔直线与圆相离2. 代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由2220()()Ax By C x a y b r++=⎧⎨-+-=⎩ ，消元得到一元二次方程20px qx t ++=，20px qx t ++=判别式为∆，则： 则0∆>⇔直线与圆相交； 0∆=⇔直线与圆相切； 0∆<⇔直线与圆相离.三、 两圆位置关系的判断是用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：设两圆12,O O 的半径分别是,R r ，（不妨设R r >），且两圆的圆心距为d ，则： 则d R r <+⇔两圆相交； d R r =+⇔两圆外切； R r d R r -<<+⇔两圆相离 d R r =-⇔两圆内切；0d R r ≤<-⇔两圆内含（0d =时两圆为同心圆） 四、 关于圆的切线的几个重要结论（1） 过圆222x y r +=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为200x x y y r +=.（2） 过圆222()()x a y b r -+-=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=（3） 过圆220x y Dx Ey F ++++=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为0000022x x y y x x y y D E F ++++⋅+⋅+= （4） 求过圆222x y r +=外一点00(,)P x y 的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条；②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论.设切线方程为00()y y k x x -=-，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于k 的方程，求出k 值.若求出的k 值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的k 值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意.题型讲解题型1 直线与圆的相交关系 思路提示研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半径长2l、弦心距d 和半径r 之间形成的数量关系222()2l d r +=.例9.28 已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1(0)2x y πθθθ+=<<，设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k =___________. 分析 先求出圆心到直线的距离，在进行判断解析 因为圆心(0,0)到直线l 的距离为1，又因为圆O 4个点符合条件. 评注 若圆O 上到直线l 的距离等于2的点的个数为k ，则2k =；若3k =，则圆O 上到直线l 的距离等于1变式1已知圆O ：224x y +=，直线l ：1x ya b+=，设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数有两个，则2211a b +的取值范围___________. 例9.29 已知圆C ：228120x y y +-+=，直线l ：20ax y a ++=， （1） 当直线l 与圆C 相交时，求实数a 的取值范围;（2） 当直线l 与圆C 相交于,A B 两点，且AB =l 的方程.分析 根据点到直线距离等于半径来度量直线与圆相切问题；根据三长关系解决直线与圆相交问题. 解析 （1）圆C ：22(4)4x y +-=，故圆心为(0,4)C ，因为直线l 与圆C 相交，所以圆心为(0,4)C 到直线l 的距离2d =<，解得34a <-，故实数a 的取值范围是3(,)4-∞-（2）由题意，直线l 与圆C 相交于,A B 两点，且AB =224+=，化简可得2870a a ++=，即1a =-或7a =-，故所求直线的方程为20x y -+=或7140x y -+=.评注 在处理直线与圆的相交问题时经常用到三长关系，即半弦长，弦心距，半径长构成直角三角形的三边.变式1 对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是（ ） A ．相离 B. 相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心变式 2 过点(1,2)--的直线l 被圆222210x y x y +--+=截得的弦长为，则直线l 的斜率为__________.变式3 已知直线l 经过点(1,3)P -且与圆224x y +=相交，截得弦长为l 的方程.例9.30 过点(1,1)P 的直线l 与圆22:(2)(3)9C x y -+-=相交于,A B 两点，则||AB 的最小值为（ ）A.解析 设圆心(2,3)C 到直线l 的距离d ，由弦长公式||AB ==可知当距离最大d 时，弦长||AB 最小.又||d CP ≤==，当直线l CP ⊥时取等号，故max d =.所以max ||4AB ===.故选B评注 过圆内一定点的所有弦中，过此点的直径为最长弦，过此点且垂直于该直径的弦为最短弦. 变式1 过点(11,2)A 做圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有（ ） A. 16 条 B. 17条 C. 32条 D. 34条例9.31 已知圆的方程为22680x y x y +--=.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A. 解析 22680x y x y +--=可化为22(3)(4)25x y -+-=，故圆心坐标(3,4)，半径为5，点(3,5)在圆内，因为AC 最长，所以AC 为直径，即||10AC =，BD 最短，且BD 过点(3,5)，所以||BD ==，所以1||||2S AC BD == B变式1 如图所示，已知AC ,BD 为圆O ：224x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为M ，则四边形ABCD 的面积的最大值为__________.例9.32 （2012北京海淀高三期末理13改编）已知圆22:(1)2C x y -+=，过点(1,0)M -的直线l 交圆C 于,A B 两点，若0CA CB ⋅=（C 为圆心），则直线l 的方程为__________. 解析 设直线:(1)l y k x =+，即:l 0kx y k -+= 则圆心到直线l 的距离为d =又0CA CB ⋅=，故CA CB ⊥，即△ABC 是等腰三角形，2C π∠=.所以sin142d r π====即k =±，故直线l ：10x +=或10x ++= 变式 1 已知O 为平面直角坐标系的原点，过点(2,0)M -的直线l 与圆221x y +=交于,P Q 两点.若12OP OQ ⋅=-，求直线l 的方程.变式2 已知圆C ：22(1)(6)25x y ++-=上的两点,P Q 关于直线l :8y kx =+对称，且0OP OQ ⋅=（O 为坐标原点），求直线PQ 的方程题型2 直线与圆的相切关系 思路提示若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，切线的几何性质为：圆心和切点的连线垂直于切线. 例9.33 求经过点(1,7)-与圆2225x y +=相切的直线方程.分析 将点(1,7)-代入圆方程得221(7)5025+-=>，知点(1,7)-是圆外一点，故只需求切线的斜率或再求切线上另一点坐标.解析 解法一：依题意，直线的斜率存在，设所求切线斜率为k ，则所求直线方程为7(1)y k x +=-，整理成一般式为70kx y k ---=.由圆的切线的性质，5=，化简得3127120k k --=，解得43k =或34k =-. 故所求切线方程为：43250x y --=或34250x y ++=.解法二：依题意，直线的斜率存在，设所求切线方程为0025x x y y +=（00(,)x y 是切点），将坐标(1,7)-代入后得00725x y -=，由00002272525x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得0043x y =⎧⎨=-⎩或0034x y =-⎧⎨=-⎩. 故所求切线方程为：43250x y --=或34250x y ++=.评注 已知圆外一点，求圆的切线方程一般有三种方法：①设切点，用切线公式法；②设切线斜率，用判别式法：③设切线斜率，用圆心到切线距离等于圆半径.一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况.变式1 已知圆22:(1)(2)4C x y -+-=，求过点(1,5)P -的圆的切线方程.变式2 直线l (2)2y k x =-+与圆22:220C x y x y +--=相切，则的一个方向向量为（ ） A. (2,2)- B. (1,1) C. (3,2)- D. 1(1,)2例9.34 自点(3,3)A -发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆224470x y x y +--+=相切，求入射光线l 所在直线的方程.分析 利用对称性解决此类反射问题.根据光学特征，对称性的使用既可以使用点的对称，也可以使用圆的对称.解析 已知圆22(2)(2)1x y -+-=关于x 轴的对称圆'C 的方程为22(2)(2)1x y -++=，可设光线所在直线方程为3(3)y k x -=+，所以直线l 与圆'C 相切，圆心'(2,2)C -到直线l 的距离1d ==，解得43k =-或34k =-. 所以光线所在的直线l 方程为4330x y ++=或3430x y +-=.变式 1 自点(3,3)A -发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线'l 所在直线与圆224470x y x y +--+=相切，求反射光线'l 所在直线的方程.题型3 直线与圆的相离关系 思路提示关于直线与圆的相离问题的题目大多是最值问题，即直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点与圆心距离的最近和最远距离再加减半径长的问题.例9.35 （1）直线:1l y x =-的点到圆22:4240C x y x y ++-+=上的点的距离最小值是____________. （2）由直线1y x =+上的点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为（ ）分析 过直线1y x =+上任意一点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线PQ ，即可得到1||PQ O Q PQ ⊥==，那么，当切线长PQ 取最小值时，即1O P 取最小值.解析 （1）圆C 可化为22(2)(1)1x y ++-=，故圆心(2,1)C -到直线1y x =-的距离d ==1d r -=（3） 过1O 作1O H 垂直于直线1y x =+于点H ，过H 作HR 相切圆1O 与R ，连接1O R ，则切线长的最小值为||HR ，圆心(3,2)-到直线10x y -+=的距离d ==，||HR =，故选A.变式1 已知点P 是直线40(0)kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两切线，,A B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为（ ）A. 3B.2C. 变式 2 已知圆22:1O x y +=和定点(2,1)A ，由圆O 外一点(,)P a b 向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足||||PQ PA =.（1）求实数,a b 间满足的等量关系； （2）求线段PQ 长的最小值.题型4 圆与圆的位置关系 思路提示已知两圆半径分别为12,r r ，两圆的圆心距为d ，则： （1） 两圆外离12r r d ⇔+<； （2）两圆外切12r r d ⇔+=； （3）两圆相交1212||r r d r r ⇔-<<+； （4）两圆内切12||r r d ⇔-=； （5）两圆内含12||r r d ⇔->；两圆外切和内切较为重要，这两种位置关系常与椭圆和双曲线的定义综合考查.例9.36 圆221:20O x y +-=和圆222:40O x y y +-=的位置关系是（ ）A. 外离B. 相交C. 外切D. 内切 分析 判断圆心距与两圆半径的关系解析 由圆221:20O x y +-=得1(0,0)O ，1r圆222:40O x y y +-=得2(0,2)O ，22r =，121212||||2r r O O r r -<=<+，两圆相交，故选B.变式1 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是_________.变式2 在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线l ：24y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上， （1） 若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程；（2） 使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是_________.例9.37 已知两圆222610x y x y +---=和2210120x y x y m ++-+= （1）m 取何值时两圆外切.（2）m 取何值时两圆外切，此时公切线方程是什么？（3）求45m =时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长度.分析 把两圆的一般方程化为标准方程，求两圆的圆心距d ，判断d 与R r +，R r -的关系，再用圆的几何性质分别解决（2）（3）问. 解析 两圆的标准方程分别为22(1)(3)11x y -+-=，22(5)(6)61,(61)x y m m -+-=-<，圆心分别为(1,3),(5,6)M N（1） =25m =+（2） 小于两圆圆心距55=， 解得，两圆方程222610x y x y +---=与2210120x y x y m ++-+=，相减得861250x y +--+=代入，得43130x y +-+=.（3） 两圆的公共弦所在直线方程为2222(261)(101245)0x y x y x y x y +----+--+=，即43230x y +-=，所以公共弦长为=评注 应注意两圆位置关系由圆心距和两圆半径的和与差的大小关系来确定.变式1 若圆224x y +=与圆22260(0)x y ay a ++-=>，公共弦的长为a =___________.变式2 设两圆12,C C 都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆的圆心距离12||C C =（ ）A. 4B. 有效训练题1. 已知点(,)P a b 在圆C ：224x y +=内（异于圆心），则直线10ax by ++=与圆C 的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 2.已知a b ≠，且2sin cos 04a a πθθ+-=，2sin cos 04b b πθθ+-=，则连接2(,)a a ，2(,)b b 两点的直线与单位圆的位置关系是（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定3.设,m n R ∈，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（ ）A. 1⎡-⎣B. (),11⎡-∞⋃+∞⎣C. 2⎡-+⎣D. (),22⎡-∞-⋃++∞⎣4.若直线1x ya b+=经过点(cos ,sin )M αα，则（ ）A. 221a b +≤B. 221a b +≥ C.22111a b +≤ D. 22111a b +≥5.过点(1,1)P 的直线，将圆形区域22{(,)|4}x y x y +≤分两部分，使得这两部分的面积之差最大，该直线的方程为（ ）A. 20x y +-=B. 10y -=C. 0x y -=D. 340x y +-=6.若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 取值范围是（ ） A. []3,1-- B. []1,3- C. []3,1- D. (][),31,-∞-⋃+∞7. 设,m n R ∈，若直线10mx ny +-=与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于B ，且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△ABC 面积的最小值为___________8.过点(4,0)-作直线l 与圆2224200x y x y ++--=交于,A B 两点，如果||8AB =，则l 的方程为__________.9.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则的最大值是_______. 10.已知点(3,1)M ，直线40ax y -+=及圆22(1)(2)4x y -+-=. （1）求过点M 的圆的切线方程；（2）若直线40ax y -+=与圆相切，求a 的值（3）若直线40ax y -+=与圆相交于,A B 两点，且AB 弦的长为a 的值11.已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=（M 为圆心），直线的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，，过点P 作圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B . （1）若060APB ∠=，试求点的坐标；（2）若点P 的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于,C D 两点，当CD =CD 的方程；（3）求证：经过,,A P M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.12. 已知圆C 过点(1,1)P ，且与圆222:(2)(2)(0)M x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称. （1）求圆C 的方程；（2）设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ ⋅的最小值.（M 为圆M 的圆心）；（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于,A B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由.。
直线与圆相交求弦长
直线与圆相交求弦长
【典型例题】
1、直线m经过点P (5，5)且和圆C：x2 + y2 = 25 相交，截得弦长l为 4 5 , 求m的方程.
解：设圆心到直线m的距离为 d，由于圆的半径
r
=
5，弦长的一半
l 2
2
5,
所以由勾股定理，得：d
2
52 2 5
5,
所以设直线方程为y – 5 = k (x – 5) 即
故a 5或a 5,所以直线AB方程是
2 x 5 y 25 0 或 2 x 5 y 25 0 ;
直线与圆相交求弦长
【变形训练】
(2)连接MB，MQ，设 P(x,y),Q(a,0),由点M， P，Q在一直线上，得 2 y 2,(A)
a x
由 |M B|2|M P||M Q|,即 x2(y2)2 a241,(B ) 把（A）及（B）消去a，并注意到y<2 ，可得
x2(y7)21(y2). 4 16
2 k 1k2 1k2 1 0(1k2)11k21k22, 即k2＝3，故k＝± 3 . 答案：A
直线与圆相交求弦长
【变形训练】
2、如图，已知⊙M：x2+(y－2)2＝1，
Q是x轴上的动点，QA，QB分别切
⊙M于A，B两点，(1)如果| A B | 4 2
求直线MQ的方程；
的方程为
y + 3 = k (x + 3)， 即k x – y + 3k –3 = 0.
根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l的
距离 2 3k 3 因此 2 3k 3
d
.
5,
k2 1
k2 1
直线与圆的位置关系(2)
解：∵圆的圆心在直线 y＝2x 上，设圆的圆心为(m,2m)， 则因圆过点(3,2)，则半径 r＝ m－32＋2m－22. m－32＋2m－22.
|2m－2m＋5| ∵圆与直线 y＝2x＋5 相切．∴ ＝ 2 2 2 ＋－1 4 解得 m＝2 或5.
当 m＝2 时，圆心为(2,4)，半径 r＝ 4 4 8 当 m＝ 时，圆心为( ， )，半径 r＝ 5 5 5 故所求的圆的方程为：
2 2
直线 l: y=x+b, 求b的
取值范围,使
(1)圆上没有一个点到直线l的距离等于1； (2)圆上恰有一个点到直线l的距离等于1； (3)圆上恰有两个点到直线l的距离等于1； (4)圆上恰有三个点到直线l的距离等于1； (5)圆上恰有四个点到直线l的距离等于1。
数形结合问题
例8.若直线y=x+k与曲线 x 1 y 2 恰有一个公共点,则k的取值 范围是__________________.
当直线与圆相离时，d>r，∴b< 2 2 或b>2 2 .
【规律方法】
本题判定直线与圆的位置关系时，采
用了几何法，几何法判定直线与圆的位置关系的主要步骤
是：
①把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径r.
②利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离d.
③判断：当d>r时，直线与圆相离；
当d＝r时，直线与圆相切；
求弦长|AB|的值
解法一：（求出交点利用两点间距离公式） y B
y x 1 由 2 消去y 2 x y 4 得2 x 2 2 x 3 0 1 7 1 7 A , x2 2 2 1 7 1 7 y1 , y2 2 2 1 7 1 7 1 7 1 7 A( , ), B( , ) 2 2 2 2 | AB | 14 x1
过直线与圆交点的圆系方程推导
过直线与圆交点的圆系方程推导过直线与圆交点的圆系方程是一种常见的几何问题，也被称为交点圆系问题。
在这个问题中，我们需要找到一个圆的方程，这个圆经过给定直线与一个已知的圆相交的交点。
要推导过直线与圆交点的圆系方程，我们需要了解几何中的一些基本概念和定理。
首先，我们来讨论直线与圆的交点。
给定一条直线L和一个圆O。
我们知道，直线与圆的交点有三种情况：直线穿过圆、直线与圆相切以及直线与圆没有交点。
对于直线穿过圆和直线相切于圆的情况，我们可以找到一个圆经过直线与圆相交的两个交点。
我们将直线L的方程表示为Ax + By + C = 0，其中A、B和C是常数。
圆O的方程表示为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中（h，k）是圆心的坐标，r是半径。
接下来，我们假设过直线L与圆O交点的圆的方程表示为(x -h₁)² + (y - k₁)² = r₁²。
我们需要确定圆心坐标（h₁，k₁）以及半径r₁。
我们可以从圆心坐标入手。
假设过直线L与圆O的交点为点A和点B。
那么A和B必然同时满足直线L的方程和圆O的方程。
将直线L的方程代入圆O的方程中，我们可以得到两个与A和B有关的方程。
(AxA + BxA + C)² + (AyA + ByA)² = r²(AxB + BxB + C)² + (AyB + ByB)² = r²其中Ax和Ay是点A的坐标，Bx和By是点B的坐标。
通过解这两个方程得到的解，我们可以得到A和B的坐标。
然后，我们可以通过求解AB的中点坐标得到圆心坐标（h₁，k₁）。
现在，我们来看一下半径r₁的求解。
通过求解点A和点B到圆心的距离，我们可以得到两个方程：(r₁ - √((Ax - h₁)² + (Ay - k₁)²))² = 0(r₁ - √((Bx - h₁)² + (By - k₁)²))² = 0将这两个方程展开并消去开方符号，我们可以得到一个关于r₁的方程。
直线和圆的位置关系
答案：B.
高考链接
3.(2010天津文)已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的 交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程 为 . 考查目的：考查利用直线与圆相切的性质求圆的方程的方法. 答案.(x+1)2+y2=2
4.(2009四川理)已知直线3x+4y-25=0与圆x2+y2=1 ，则圆 上各点到直线距离的最小值为 . 考查目的：考查圆与直线的位置关系的判断，以及圆 上任意一点到一条直线距离最小值的求法. 考查目的：考查圆与直线的位置关系的判断，以及圆上任 意一点到一条直线距离最小值的求法. 答案：4.
直线和圆的位置关系
河北省唐山遵化市高级中学 雷艳霞
1、平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？ 在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？
（1）
（2）
（3）
想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？ 在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？ 平面几何中，直线与圆有三种位置关系： （1）直线和圆有两个公共点，直线与圆相交； （2）直线和圆只有一个公共点，直线与圆相切； （3）直线和圆没有公共点，直线与圆相离．
已知圆的圆心是O(0,0),半径是r=1,圆心到直线的距离
d
3 0 4 0 5 3 4
2 2
y
1 r
o
p
所以，此直线与圆相切
x
已知直线 3x 4 y 5 0 与圆 判断它们的位置关系。
x2 y 2 1 ，
3x 4 y 5 0 ① 建立方程组 2 2 x y 1 ②
| 3b b | d 2 2 | b | r=|3b|
r 2 d 2 ( 7 ) 2 b 1
直线与圆的位置关系
2．代数法（也叫公式法）：设直线与圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
解方程组 消y后得关于x的一元二次方程，从而求
得x1＋x2，x1x2，则弦长为|AB|＝ （此公式也叫做设而不求利用韦达定理求弦长公式 ）
(其中x1，x2为两交点的横坐标．k为直线斜率)．
2 2 x y 4 例1 、已知直线 y= x+1 与圆
(1)若点P(x0,y0)在圆C外,过点P的切线有两条.这时
可设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用圆心C到切线的
距离等于半径求k.若k仅有一值,则另一切线斜率不
存在,应填上.也可用判别式Δ=0求k的值.
(2)若点P(x0,y0)在圆C上,过点P的切线只有一条.利用 圆的切线的性质,求出切线的斜率.k切= 1 , 代入 kCP 点斜式方程可得. 也可以利用结论:①若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则过 该点的切线方程是x0x+y0y=r2.②若点P(x0,y0)在圆 (x-a) 2+(y-b) 2=r2上,则过该点的切线方程是(x0-a)(xa)+(y0-b)(y-b)=r2.
一.直线与圆的位置关系 想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？
平面几何中，直线与圆有三种位置关系：
（1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点．
（1）
（2）
（3）
二.直线与圆的位置关系 那么，如何用直线和圆的方程判断它们之间的位 置关系？ 判断直线与圆的位置关系有两种方法： 方法一：代数法，判断直线l与圆C的方程组成的 方程组是否有解．如果有解，直线l与圆C有公共 点．有两组实数解时，直线l与圆C相交；有一组实数 解时，直线l与圆C相切；无实数解时，直线l与圆C相 离． 方法二：几何法，判断圆C的圆心到直线l的距离 d与圆的半径r的关系．如果d< r ，直线l与圆C相交；如 果d= r ，直线l与圆C相切；如果d> r ，直线l与圆C相 离．
过直线与圆交点的圆系方程
过直线与圆交点的圆系方程过一条直线与一个圆相交，会得到两个交点。
这两个交点所构成的圆系，可以用方程来表示。
本文将讨论如何得到过直线与圆交点的圆系方程，并探讨其相关性质。
我们来考虑一个简单的情况，即直线与圆相交于两个不同的交点。
设直线的方程为y = mx + b，圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²。
我们可以将直线方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。
解这个二次方程，即可得到两个交点的x坐标。
将这两个x坐标代回直线方程，即可求出对应的y坐标。
这样就得到了两个交点的坐标，进而可以得到过这两个交点的圆的方程。
接着，我们来考虑一个稍微复杂一点的情况，即直线与圆相切的情况。
设直线的方程为y = mx + b，圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²。
我们知道，相切的直线与圆的切点具有相同的坐标。
因此，我们可以将直线方程代入圆的方程，并令其判别式为零。
解这个一元二次方程，即可得到切点的横坐标x。
将这个x坐标代回直线方程，即可求出对应的切点的纵坐标y。
这样就得到了切点的坐标，进而可以得到过切点的圆的方程。
我们来考虑一个更为特殊的情况，即直线与圆相离的情况。
设直线的方程为y = mx + b，圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²。
我们知道，相离的直线与圆之间不存在交点。
因此，我们可以将直线方程代入圆的方程，并令其判别式小于零。
解这个一元二次方程，即可得到没有交点的情况。
这意味着，不存在过直线与圆相离的圆。
通过上述讨论，我们得到了过直线与圆交点的圆系方程的一般形式。
对于相交的情况，方程将包含两个交点的坐标；对于相切的情况，方程将包含一个切点的坐标；对于相离的情况，方程将不存在。
这些方程可以用来描述直线与圆之间的几何关系，进一步研究它们的性质和应用。
除了求解过直线与圆交点的圆系方程，我们还可以研究一些相关的性质。
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题型六、数形结合问题
2 x 1 y • 7.若直线y=x+k与曲线 恰有一个公共点,
k 2或k (1,1] 则k的取值范围是________________.
小结：
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)利用点到直线的距离公式 表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
题型一、如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0， 判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标及弦长。 d r
5 5=r 10
代数法： 3x +y－6=0
x2 + y2 － 2y － 4=0 消去y得：x2-3x+2=0 =(-3)2-4×1×2=1>0
2 2
练习题： P128 1、2、3、
练习1:已知圆
x y 4,
2 2
直线 l: y=x+b, 求b的取值范围,使
(1)圆上没有一个点到直线l的距离等于1 (2)圆上恰有一个点到直线l的距离等于1
(3)圆上恰有两个点到直线l的距离等于1
(4)圆上恰有三个点到直线l的距离等于1 (5)圆上恰有四个点到直线l的距离等于1
作业：
课本P132 3、5、
几何法：
圆心C（0，1）到直线l的距离 d=
|3 0 1 6|
32 12
所以直线L与圆C相交
所以方程组有两解， 弦长= 10 2 2 ( 5)2 ( ) 10 2 直线l与圆C相交
比较：几何法比代数法运算量少，简便。
题型二.若直线与圆相交，求弦长问题：
圆的弦长的求法
几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边
港口
O
轮船
x
一.实例引入
这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的圆 的方程为:
x y 9
2 2
轮船航线所在直线 l 的方程为：
y 港口
4 x 7 y 28 0
问题归结为圆心为O的圆 与直线l有无公共点．
O
轮船
x
二.直线与圆的位置关系 想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？
一.实例引入 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的 台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的 范围是半径长为30km的圆形区域．已知港口位于台风 中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它 是否会受到台风的影响？
y
为解决这个问题，我们以台 风中心为原点 O，东西方向为 x 轴，建立如图所示的直角坐 标系，其中取 10km 为单位长 度．
平面几何中，直线与圆有三种位置关系：
（1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （2）
（3）
判断直线与圆位置关系的方法?
1.判断直线与圆位置关系的方法
方法一：直线：Ax+By+C=0;圆：x2 + y2 +Dx+Ey+F=0
消元
x 2 y 2 4 相交于A,B两点，求
弦长|AB|的值
解弦心距,半弦及半径构成的直角三角形） 设圆心O（0，0）到直线的距离为d，则 y
2 d 2 1 (1) 2 | AB | 2 r d 14
2 2
1
B r
A
d
O
x
练习：求直线3x+4y+2=0被圆 截得的弦长。
x y 2x 3 0
设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为L，则
2＝r2－d2.
例2、已知过点M（-3，-3）的直线l被圆 x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4 5，求直线l的 方程。
利用几何性质，求弦心距,然后用点到直线的距离求斜 率。
X+2y+9=0,或2x-y+3=0 详解见课本P127
M
y
. .
O
x
2．已知直线 y=x+1 与圆
一元二次方程
方法二：直线：Ax+By+C=0;圆: (x-a)2 + (y-b)2 =r2
d=
1、几何方法解题步骤： 把直线方程化为一般式, 圆的方程化为标准 式，求出圆心和半径 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 作判断: 当d>r时，直线与圆相离； 当d=r时，直线与圆相切; 当d<r时，直线与圆相交