图的矩阵表示(1)
(图论)图的基本概念--第一章
证明 设G＝<V，E>为任意一图，令
V1＝{v|v∈V∧d(v)为奇数} V2＝{v|v∈V∧d(v)为偶数} 则V1∪V2＝V，V1∩V2＝ ，由握手定理可知
2m d (v) d (v) d (v)
vV
vV1
vV2
由于2m和 d (v) ，所以 d (v) 为偶数，
举例
NG(v1) ＝ {v2，v5} NG(v1) ＝ {v1，v2，v5} IG(v1) ＝ {e1，e2，e3}
Г+D(d ) ＝ {c} Г-D(d ) ＝ {a，c} ND(d ) ＝ {a，c} ND(d ) ＝ {a，c，d}
简单图与多重图
定义1.3 在无向图中，关联一对顶点的无向边如果多于1条，则 称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。 在有向图中，关联一对顶点的有向边如果多于1条，并且这些 边的始点和终点相同(也就是它们的方向相同)，则称这些边 为平行边。 含平行边的图称为多重图。 既不含平行边也不含环的图称为简单图。
无向图和有向图
定义1 一个无向图是一个有序的二元组<V，E>,记作G，其中 （1）V≠称为顶点集，其元素称为顶点或结点。 （2）E称为边集，它是无序积V&V的多重子集，其元素称为无向 边，简称边。
定义2 一个有向图是一个有序的二元组<V，E>，记作D，其中 （1）V≠称为顶点集，其元素称为顶点或结点。 （2）E为边集，它是笛卡儿积V×V的多重子集，其元素称为有向 边，简称边。
vV2
vV1
但因V1中顶点度数为奇数， 所以|V1|必为偶数。
问题研究
问题：在一个部门的25个人中间，由于意见不同，是否可能每 个人恰好与其他5个人意见一致？
1-011特殊特性矩阵图
产品名称： 特性
过程Biblioteka 产品图号：特殊特性矩阵图
HTQPR0802-02-011 G0
编制人：
编制日期：
图示说明：◎表示半相关
●表示强相关
1、“关键”类特性标识符号： “G” ，关键特性（与安全法规有关）：合理预期的变差会显著影响顾客对产品的安全特性或政府法规的符合性（如：易燃性、乘员保 护、转向控制、制动等）、排放、噪声、无线电干扰等。2、“重要”类特性标识符号： “Z” ， 重要特性（与安全或法规无关）：合理预期的变差可能显著影响顾客 对产品的满意度（非安全/符合性），例如：配合、功能、安装或外观，或者加工、制造此产品的能力。
遥感数字图像处理复习资料(1-4章)
第一章概论1、按图像的明暗程度和空间坐标的连续性，可以分为数字图像和模拟图像。
数字图像：可用计算机存储和处理，空间坐标和灰度均不连续。
模拟图像：计算机无法直接处理，空间坐标和明暗程度连续变化。
2遥感数字图像中的像素值称为亮度值（灰度值/DN值），它的高低由传感器所探测到的地物电磁波的辐射强度决定。
2、遥感数字图像处理的主要内容包括以下三个方面：图像增强、图像校正、信息提取。
1）图像增强：用来改善图像的对比度，突出感兴趣的地物信息，提高图像大的目视解译效果，它包括灰度拉伸、平滑、锐化、滤波、变换（K—L/K—T）、彩色合成、代数运算、融合等。
图像显示：为了理解数字图像中的内容，或对处理结果进行对比。
图像拉伸：为了提高图像的对比度（亮度的最大值与最小值的比值），改善图像的显示效果。
2）图像校正（恢复/复原）：为了去除和压抑成像过程中由各种因素影响而导致的图像失真。
注意：图像校正包括辐射和几何校正，前者通过辐射定标和大气校正等处理将像素值由灰度级改变为辐照度或反射率，后者利用已有的参照系修改像素坐标，使得图像能够与地图匹配或多景图像之间可以相互匹配。
3）信息提取：从校正后的遥感数据中提取各种有用的地物信息。
包括图像分割、分类等。
图像分割：用于从背景中分割出感兴趣的地物目标。
分割的结果可作为监督分类的训练区。
图像分类：按照特定的分类系统对图像中像素的归属类别进行划分。
3、遥感数字图像处理系统：硬件系统（输入、存储、处理、显示、输出），软件系统。
4、数字图像处理的两种观点：离散方法（空间域）、连续方法（频率域）2.遥感图像的获取和存储1、遥感是遥感信息的获取、传输、处理以及分析判读和应用的过程。
遥感的实施依赖于遥感系统2、遥感系统是一个从地面到空中乃至整个空间，从信息收集、储存、传输、处理到分析、判读、应用的技术体系，主要包括遥感试验、信息获取（传感器、遥感平台）、信息传输、信息处理、信息应用等5个部分。
数据结构第七章-图
*
V0
V7
V6
V5
V4
V3
V2
V1
若图的存储结构为邻接表，则 访问邻接点的顺序不唯一， 深度优先序列不是唯一的
V0
V1
V3
V2
V7
V6
V5
V4
V0,V1,V3,V4,V7,V2,V5,V6,
※求图G以V0为起点的的深度优先序列（设存储结构为邻接矩阵）
void DFSAL(ALGraph G, int i) {/*从第v个顶点出发，递归地深度优先遍历图G*/ /* v是顶点的序号，假设G是用邻接表存储*/ EdgeNode *p; int w; visited[i] =1; Visit(i); /*访问第v个顶点*/ for (p=G.vertices[i].firstarc;p;p=p->nextarc) {w=p->adjvex; /*w是v的邻接顶点的序号*/ if (!visited[w]) DFSAL(G, w); /*若w尚未访问, 递归调用DFS*/ } }/*DFSAL*/
在邻接表存储结构上的广度优先搜索
*
Q
V0
V1
V2
V3
V4
V7
V5
V6
V1
V2
V3
V0
V4
V7
V5
V6
V0
V7
V6
V5
V4
V3
V2
V1
7.3 图的遍历
7
0
1
2
V0
V2
V3
V1
data
firstarc
0
1
^
^
adjvex
next
3
《数据结构》第八章习题参考答案 (1)
有向图的任意顶点的度=邻接表中顶点所对应边链表中结点个数+逆邻接表中顶点所对应边链表中结点个数；
4、课本P3928.3题
【解答】
n个顶点的无向连通图至少有n-1条边，n个பைடு நூலகம்点的无向强连通图至少有n(n-1)/2条边；n个顶点的有向连通图至少有n条边，n个顶点的有向强连通图至少有n(n-1)条边。
上面不正确的是（A）。
A．(1),(2),(3) B．(1) C．(1),(3) D．(2),(3)
5、下列说法不正确的是（C）。
A．图的遍历是从给定的源点出发每一个顶点仅被访问一次
B．遍历的基本算法有两种：深度遍历和广度遍历
C．图的深度遍历不适用于有向图
D．图的深度遍历是一个递归过程
三、填空题
1、判断一个无向图是一棵树的条件是_有n个顶点，n-1条边的无向连通图_。
注: 答案并不唯一
2、课本P3928.1题
【解答】
（1）不是强连通图
（2）简单路径如：D->B->C->F
（3）略
（4）邻接表见图，其他略
3、课本P3928.2题
【解答】
（1）邻接矩阵表示：无向图的边数为
矩阵中非零元素的个数/2;有向图的边数为矩阵中非零元素的个数。
邻接表表示时：无向图的边数为邻接表中边结点的个数/2；有向图的边数为邻接表中边结点的个数。
(2)(3)略
12、课本P3958.24题
【解答】
A->B : 10
A->B->D: 15
A->B->D->C : 17
A->B->D->E : 17
第2章 数字图象处基础(1-27)
Digital Image Processing
2.2 人的视觉特性
人的视觉模型
▓ ▓
点光源的表示函数
点源可以用 δ 函数表示，表示平面图像的二维 δ 函数 +∞ +∞ 为： ⎧ 1 y, ) x ∫ ∫−∞ δ (dxdy = −∞ ⎪ ⎪ ⎨ = = ⎧ ∞ y , x 0 0, ⎪δ ( y , ) = ⎨ x , 其他 ⎪ ⎩ 0 ⎩ 则任意一幅图像可表示为：
Digital Image Processing
2.2 人的视觉特性
人眼的构造与机理要点（续）
（ 3）视细胞： 视网膜上集中了大量视细胞，分为两类： 锥状细胞 ：明视细胞，在强光下检测亮度和颜色； 杆 (柱 )状细胞 ：暗视细胞，在弱光下检测亮度，无色彩感觉。 其中，每个锥状视细胞连接着一个视神经末梢，故分辨率高， 分辨细节、颜色；多个杆状视细胞连接着一个视神经末梢，故分辨 率低，仅分辨图的轮廓。 （4 ） 人眼成象过程：
2.4 数字图像表示形式和特点
▓ ▓
数字图像的矩阵表示 数字图像的矩阵 矩阵表示
O n
f (0,1) ⎡ f (0,0) ⎢ f (1,1) ⎢ f (1,0) , f (mn) = ⎢ ⋮ ⋮ ⎢ ⎣ f (M−1,0) f (M−1,1)
⋯ f (0, N−1) ⎤ ⎥ ⋯ f (1, N−1) ⎥ ⎥ ⋮ ⋮ ⎥ ⋯ f (M−1, N−1)⎦
Digital Image Processing
2.1 色度学基础
RGB模型：
在三维直角坐标系中，用相互垂直的三个坐标轴代表R、 G、B三个分量，并将R、G、B分别限定在[0,1]，则该单位正 方体就代表颜色空间，其中的一个点就代表一种颜色。如下图 方体就代表颜色空间，其中的一个点就代表一种颜色。 所示。 其中，r、g、b、c、m和y分别代表红色（red）、绿色 （green）、蓝色（blue）、青色（cyan）、品红（magenta） 和黄色（yellow）。
矩阵理论1
§4 线性变换的矩阵表示引言：数域P 上线性空间V 上的所有线性变换组成的集合—L (V )是数域P 的线性空间。
若V 是n 维线性空间，那么L (V )的维数是多少呢？L (V )与n n P ⨯之间具有什么关系？为此，我们先研究一下线性变换的矩阵表示。
一、线性变换在一组基下的矩阵表示：设n εεε,,,21 是数域P 上的n 维线性空间V 的一组基，A 是V 上的一个线性变换，对V ∈∀α，则有n n k k k εεεα+++= 2211 )()()(11n n A k A k A εεα++=∴又),1()(n i VA i =∈ε则有：)()()()(22112222112212211111*⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n n nn nn a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεε用矩阵形式表述（*）有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n n n a a a a a a a a a A A A 2122221112112121),,())(),(),((εεεεεε习惯上记上式左边为：),(21n A εεε，，则有：A A n n ),(),(2121εεεεεε，，，， =；这就有了下面的定义：1.Df 1.若A A n n ),(),(2121εεεεεε，，，， =则称A 为线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵，且可逆若V ∈α在n εεε,,,21 下的坐标为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n k k 1，那么)(αA 在基n εεε,,,21 下的坐标又如何呢？⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=n n n n k k A A A A k A k A 12111))(),(),(()()()(εεεεεα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n k k A k k A 121121),,,(),,(εεεεεε可见，)(αA 在基n εεε,,,21 下的坐标是由A 与α在n εεε,,,21 下的坐标来确定的。
信息技术重要知识点1
（三）信息技术基础（重点涉及计算）1.知识点1:十进制、二进制、八进制和十六进制表示以及相互转换关系（1）日常生活通常使用十进制表示数值，而在计算机中只使用二进制；但为了方便，也经常使用八进制和十六进制以及BCD码等价表示二进制数，所以就存在不同进制之间如何转换同一个数。
（2）十进制数转换成二进制数，整数部分采用“除2逆序取余法”，小数部分采取“乘2 顺序取整法”；八进制数转换成二进制数，1位八进制数对应等值的3位二进制数，高低次序不变；十六进制数转换成二进制数，1位十六进制数对应等值的4位二进制数。
（3）二进制数转换成十进制数就是累加每一位值与其对应的权值的乘积；二进制数转换成八进制数时，整数部分从低到高每3位对应1位八进制数，小数部分从高到低每3位对应1 位八进制，最后不足3位时补0凑满3位；二进制数转换成十六进制数时，整数部分从低到高每4位对应1位十六进制数，小数部分从高到低每4位对应1位十六进制，最后不足4 位时补0凑满4位。
原码、补码的相互转换以及各种类型可表示的数值范围。
（4）数值为正的数在计算机内采用原码表示（数值本身）；而一般负数在计算机内采用补码表示。
负数的补码=负数的原码按位取反（符号位除外）书，正数补码等于原码本身。
注： [x-y]补=[x]补-[y]补（5）8位二进位表示的不带符号整数（正整数）取值范围是0〜28-1；带符号整数（原码）取值范围为-27+1〜27-1；带符号整数（补码）取值范围是-27〜27-1。
【相关例题】20.十进制数100对应的二进制数、八进制数和十六进制数分别。
A.1100100 、 144Q 和 64HB.1100110B 、142Q 和 62HC.1011100B 、 144Q 和 66HD.100100B 、 142Q 和 60H22.在计算机中，数值为负的整数一般不采用“原码”表示，而是采用“补码”方式表示。
若某带符号整数的8位补码表示为1000 0001,则该整数为.A.129B.-1C.-127D.12723.所谓“变号操作”，是将一个整数变成绝对值相同但符号相反的另一个整数。
图练习与答案
1. 首先将如下图所示的无向图给出英存储结构的邻接链表表示，然后写出对其分别进行深度，广度优先遍历的结果。
答•深度优先遍历序列：125967384宽度优先遍历序列：123456789注：（1）邻接表不唯一，这里顶点的邻接点按升序排列（2） 在邻接表确泄后，深度优先和宽度优先遍历序列唯一 （3） 这里的遍历，均从顶点1开始 2. 给出图G ：画岀G 的邻接表表示图:3. 在什么情况下，Prim 算法与Kruskual 算法生成不同的MST?答.在有相同权值边时生成不同的MST,在这种情况下，用Prim 或Kruska 1也会生成不 同的应用丿 画出G 的深度优先生成树和广度优先生成树。
(1).HST4・已知一个无向图如下图所示，要求分别用Prim和Kruskal算法生成最小树(假设以①为起点，试画出构适过程)。
答.Prim算法构造最小生成树的步骤如24题所示，为节省篇幅，这里仅用Kruskal算法, 构造最小生成树过程如下：(下图也可选(2, 4)代替(3, 4), (5, 6〉代替⑴5))5.G=(V,E)是一个带有权的连通图，则：(1). ifi回答什么是G的最小生成树：(2). G为下图所示,请找出G的所有最小生成树。
答.(1)最小生成树的左义见上而26题(2)最小生成树有两棵。
邙艮于篇幅，下而的生成树只给岀顶点集合和边集合，边以三元组(Vi,Vj,W)形式)，其中 W代表权值。
V (G) ={1, 2, 3, 4, 5} E1(G) = {(4, 5, 2), (2, 5, 4), (2, 3, 5), (1, 2,7) }：E2(G)={(4, 5, 2), (2, 4, 4), (2, 3, 5), (b 2、7) }6.请看下边的无向加权图。
(1).写出它的邻接矩阵。
(2).按Prim算法求其最小生成树, 并给出构造最小生成树过程中辅助数组的各分量值。
辅助数组各分量值：7.已知世界六大城市为：（Pe）、纽约（N）、巴黎（Pa）.伦敦（L）、东京仃）.墨西哥（M）, 下表给泄了这六大城市之间的交通里程：世界六大城市交通里程表（单位:百公里）（1） .画岀这六大城市的交通网络图；（2） .画出该图的邻接表表示法；（3） .画岀该图按权值递增的顺序来构造的最小（代价）生成树.8.已知顶点1-6和输入边与权值的序列（如右图所示）：每行三个数表示一条边的两个端点和貝权值，共11行。
数据结构第七章课后习题答案 (1)
7_1对于图题7.1（P235）的无向图，给出：（1）表示该图的邻接矩阵。
（2）表示该图的邻接表。
（3）图中每个顶点的度。
解：（1）邻接矩阵：0111000100110010010101110111010100100110010001110（2）邻接表：1：2----3----4----NULL;2: 1----4----5----NULL;3: 1----4----6----NULL;4: 1----2----3----5----6----7----NULL;5: 2----4----7----NULL;6: 3----4----7----NULL;7: 4----5----6----NULL;（3）图中每个顶点的度分别为：3，3，3，6，3，3，3。
7_2对于图题7.1的无向图，给出：（1）从顶点1出发，按深度优先搜索法遍历图时所得到的顶点序（2）从顶点1出发，按广度优先法搜索法遍历图时所得到的顶点序列。
（1）DFS法：存储结构：本题采用邻接表作为图的存储结构，邻接表中的各个链表的结点形式由类型L_NODE规定，而各个链表的头指针存放在数组head中。
数组e中的元素e[0],e[1],…..,e[m-1]给出图中的m条边，e中结点形式由类型E_NODE规定。
visit[i]数组用来表示顶点i是否被访问过。
遍历前置visit各元素为0，若顶点i被访问过,则置visit[i]为1.算法分析：首先访问出发顶点v.接着，选择一个与v相邻接且未被访问过的的顶点w访问之，再从w 开始进行深度优先搜索。
每当到达一个其所有相邻接的顶点都被访问过的顶点，就从最后访问的顶点开始，依次退回到尚有邻接顶点未曾访问过的顶点u,并从u开始进行深度优先搜索。
这个过程进行到所有顶点都被访问过，或从任何一个已访问过的顶点出发，再也无法到达未曾访问过的顶点，则搜索过程就结束。
另一方面，先建立一个相应的具有n个顶点,m条边的无向图的邻接表。
数字图像处理复习资料(11春季)
数字图像处理课程复习大纲——————上大（11春季）已扩展第1章绪论要求：掌握《数字图像处理》理论及技术的基础性概念；掌握数字图像处理这门学科的基本理论及技术架构；熟悉其应用领域，硬件系统及设备1.1.数字图像及应用数字图像，各种电磁波谱及各种图像成像技术，以及图像处理在各种行业当中的应用，不同波段的图像，图像类型，图像应用领域1.信息是事物存在的一种形式，数据是信息的“符号”载体；2.图像：用各种观测系统①以不同的形式和手段观测世界②而获得的，可以直接或间接作用于人眼③并进而产生视知觉的实体④3.图像在计算机里的表示形式就是所谓的“数字图像”。
4.数字图像处理的应用主要有三方面的因素需要考虑：存储器的容量，计算速度，传输带宽。
5.图像的分类：按灰度分：二值图像和多灰度图像；按色彩分：单色图像和彩色图像；按运动分类：静态图像和动态图像；按时空分布分类：二维图像，三维图像和多维图像。
6.图像处理的基本内容：图像信息的获取，图像的存储，图像的传输，图像处理。
1.2.图像工程概述图像处理3层次，数字图像处理于其他学科的关系1.图像工程的三个层次：图像理解，图像分析，图像处理；2.图像：主要特点为由一系列的具有不同灰度值的像素所组成；图形：主要特点为由一组数学公式描述。
1.3.图像表示和显示图像与函数，像素，图像的矩阵表示，图像的解析表示，图像输出设备1.一幅图像一般可以用一个2-D函数f(x, y)来表示（计算机中为一个2-D数组）。
2.一幅图像可分解为许多个单元。
每个基本单元叫做图像元素，简称像素。
3.将一个区域分成3*3个单元以输出10种不同的灰度。
用“区域”来代替“像素”。
4.抖动技术：通过调节或变动图像的幅度值来改善量化过粗图像的显示质量。
1.4.数字图像存储格式存储器件，图像文件格式主题词：不同波段的图像，数字图像，数字图像处理系统，图像成像技术；3-D图像，彩色图像，多光谱图像，立体图像，序列图像，深度图像，纹理图像，投影重建图像，合成图像；图像处理，图像分析，图像理解；图像的矩阵表示，半调输出，抖动技术，BMP，GIF，TIFF，JPEG1.图像文件格式：一种是矢量形式，另一种是光栅形式。
数据结构(第二版) 模拟试题自测卷AB卷带答案1
5.在一个单链表HL中，若要删除由指针q所指向结点的后继结点，则执行________。
A．p=q->next; p->next=q->next;free(p);
B．p=q->next; q->next=p; free(p);
C．p=q->next; q->next=p->next; free(p);
试卷一
一、选择题（本题共30分,每题2分）
1.计算机识别、存储和加工处理的对象被统称为________。
A.数据B.数据元素C.数据结构D.数据类型
2.已知一栈的进栈序列为：1234，则下列哪个序列为不可能的出栈序列________。
A．1234B．4321 C．2143D．4123
3.链表不具有的特点是________。
（1）直接插入排序
（2）基数排序
5．对于下面所示的连通图，写出由Prim算法生成的最小生成树。（5分）
6.将下面的树转化为一棵二叉树,并写出对二叉树进行层序遍历的序列。（7分）
四、算法题（本题共20分）
1．完成中序遍历二叉树。
Typedef struct node
{
Char data;
Struct node *lchild;
3.数据的逻辑结构包括集合、________、________和图状结构四种类型。
4.图的两种遍历方式为：广度优先遍历和_______________。
5.线性表的链式存储结构中的结点包含________域和________域。
6.向一棵二叉搜索树中插入一个元素时，若元素的值小于根结点的值，则应把它插入到根结点的_______上。
1-1矩阵的基本概念
或
分别称为上三角矩阵或下三角矩阵.
m （5）元素全为零的矩阵称为零矩阵， n 零 矩阵记作 o m n 或 o .
注意 例如
不同阶数的零矩阵是不相等的.
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
0
0 .
(6)方阵
称为矩阵A的转置矩阵，记作 A 或 A
三、几种特殊矩阵
(1)行数与列数都等于n的矩阵A，称为n阶 方阵.也可记作 A n .
例如
13 2 2
6 2 2
2i 2 2
是一个3 阶方阵.
(2)只有一行的矩阵 A a 1 , a 2 , , a n , 称为行矩阵(或行向量).
2.两个矩阵A a ij 与 B 对应元素相等,即
a ij b ij i 1 , 2 , , m ; j 1 , 2 , , n ,
则称矩阵 A 与 B 相等,记作 A B .
例1
设
1 A 3 2 1 3 , 2 1 B y x 1 3 , z
称为A的共轭矩阵，记作 A [ a ij ] m n
四、同型矩阵与矩阵相等的概念
1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同 型矩阵. 1 2 14 3
例如
5 3 6 与 8 7 3 4 9
为同型矩阵.
bij 为同型矩阵,并且
a 12 a 22 am1 a1n a 2n a mn
主对角线 a 11
a 21 A 副对角线 a m 1
元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵.
1,1,1轴旋转的转动矩阵
1,1,1轴旋转的转动矩阵1.引言1.1 概述概述部分可以介绍本篇文章的主题和研究背景，以下是一种可能的写作方式：引言部分的概述旨在介绍本篇文章的主题以及相关的研究背景。
本文将探讨关于1,1,1轴旋转的转动矩阵的推导和定义。
转动矩阵是描述刚体在空间中旋转的重要工具，对于理解和分析物体在三维空间中的旋转运动具有重要意义。
在物理学和工程学领域，转动矩阵是描述物体三维旋转的数学工具，它能够以矩阵的形式表示，从而简化对旋转运动的描述和计算。
在实际应用中，转动矩阵在机器人学、飞行控制、计算机视觉等领域起着重要作用。
本文将特别关注1,1,1轴旋转的转动矩阵。
1,1,1轴旋转指的是绕过原点(0,0,0)的一个单位向量(1,1,1)进行旋转。
这种旋转在某些应用中有着特殊的意义和应用，例如在结构材料的弹性力学中。
在本文的2.1节，我们将首先介绍转动矩阵的定义，解释其基本概念和性质，为后续的推导提供必要的背景知识。
然后在2.2节，我们将详细推导1,1,1轴旋转的转动矩阵，并探讨其数学表达式和几何意义。
通过本文的研究，我们旨在提供关于1,1,1轴旋转的转动矩阵的深入理解，为相关领域的研究人员和工程师提供参考和指导。
深入研究转动矩阵的定义和推导将有助于我们对物体旋转运动的认识和应用，为实际问题的解决提供支持。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述：（1）引言：先对文章的主要内容进行概述，并说明文章的目的。
（2）正文：主要包括两个部分。
- 2.1 转动矩阵的定义：介绍转动矩阵的概念和基本性质，为后面的推导提供必要的背景知识。
- 2.2 1,1,1轴旋转的转动矩阵推导：详细推导得到1,1,1轴旋转的转动矩阵，并对其特性进行分析和讨论。
通过该推导，读者可以深入了解1,1,1轴旋转在三维空间中的变换规律。
（3）结论：对本文的主要内容进行总结，并得出结论。
同时，可以提出一些相关问题或者展望未来研究的方向。
通过以上的文章结构，读者可以逐步了解转动矩阵的定义、1,1,1轴旋转的转动矩阵的推导过程以及推导结果的意义和特性。
离散数学_第7章 图论 -1-2图的基本概念、路和回路
第9章 图论
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第9章 图论
第7章 图论
图论是一个重要的数学分支。数学家欧拉1736年发 表了关于图论的第一篇论文，解决了著名的哥尼斯堡七 桥问题。克希霍夫对电路网络的研究、凯来在有机化学 的计算中都应用了树和生成树的概念。随着科学技术的 发展，图论在运筹学、网络理论、信息论、控制论和计 算机科学等领域都得到广泛的应用。本章首先给出图、 简单图、完全图、子图、路和图的同构等概念，接着研 究了连通图性质和规律，给出了邻接矩阵、可达性矩阵、 连通矩阵和完全关联矩阵的定义。最后将介绍欧拉图与 哈密尔顿图、二部图、平面图和图的着色、树和根树。
v3
e7
a e6e3
e2
b e5
（本课程仅讨论无向图和有向图）
v4
c
9章 图论
【例7.1.1】无向图G=V(G),E(G),G
其中：V(G)=a,b,c,d
E(G)=e1,e2,e3,e4
G：G(e1)=(a,b) G(e2)=(b,c) G(e3)=(a,c) G(e4)=(a,a)
试画出G的图形。
即，deg(v)=deg－(v)+deg＋(v)，或简记为d(v)=d－(v)+d＋(v)
4）最大出度：+(G) =max deg＋(v) | vV
5）最小出度：+(G) = min deg＋(v) | vV
6）最大入度： (G) =max deg－(v) | vV
7）最小入度： (G) = min deg－(v) | vV
解：G的图形如图7.1.2所示。
图 7.1.2
由于在不引起混乱的情况下，图的边可以用有序对或无序 对直接表示。因此，图可以简单的表示为：
矩阵分析(1)
f ( ) 0 AX 0 X
由此可得定理：
0 是 f 的特征值 0 是 A 的特征值 是 f 的属于0 的特征向量 X是 A 的 属于0 的特征向量
因此，只要将 A 的全部特征值求出来，它们 就是线性变换 f 的全部特征值；只要将矩阵 A的 属于0 的全部特征向量求出来，分别以它们为坐 标的向量就是 f 的属于 0 的全部特征向量。
例 1 设 V 是数域 K上的3维线性空间，f 是 V 上 的一个线性变换，f 在V 的一个基 1,2 ,3 下的
矩阵是
2 2 2
A 2
1
4
2 4 1
求 f 的全部特征值与特征向量。
解： A 的特征多项式为
2 2 2 I A 2 1 4
y2
a21
a22
...
a2
n
x2
... ... ... ... ... ...
ym
am1
am2
...
amn
xn
线性映射与矩阵之间的一一对应关系
线性映射 f 在给定基下的矩阵表示 A 是唯一的，
反之，给定一个 m n 矩阵A (aij )mn ，那么存
下的坐标。
（3）求向量 , A( ) 在基 1, 2 , 3下的坐标。
对于有限维的线性空间 V ，线性变换 A 在不同 基下的矩阵表示有什么关系？对于线性空间 V 已 知两组基 {1,2 ,L ,n},{1, 2,L , n}，而且
[1, 2,L , n ] [1,2,L ,n ]P
1-3 常见特殊矩阵
把正定矩阵定义中的x 改成x 把正定矩阵定义中的 TAx>0改成 TAx<0，则称 改成 ，则称A 矩阵。 是负定 (negative definite)矩阵。记做 矩阵 记做A<0。 。 负定矩阵的特征值都是负数 负数。 负定矩阵的特征值都是负数。
× 如果对任意x∈ 设A∈SRn×n，如果对任意 ∈Rn有xTAx≥(≤)0，则 ∈ ， 称A为半正 负)定 (semi positive/negative definite) 为半正(负 定 矩阵，记做A≥(≤)0。 矩阵，记做 。
4. 正交矩阵
设Q∈Rn×n，如果 TQ=QQT=I，则称 为正交 ∈ × 如果Q ，则称Q为 (orthogonal)矩阵。 矩阵。 矩阵 正交矩阵一定可逆， 正交矩阵一定可逆，且Q-1=QT。 是正交矩阵， 设Q1,Q2是正交矩阵，则Q1-1, Q1Q2, diag(Q1,Q2)也 也 都是正交矩阵。 都是正交矩阵。 1. Givens变换： 变换： 变换 A = c s , c 2 + s 2 = 1, A = cosθ sinθ . − s c − sinθ cosθ 可以通过一系列的Givens变换把任意非零向量变 可以通过一系列的 变换把任意非零向量变 的倍数。 成e1的倍数。
1.3 常见特殊矩阵
1. 上三角矩阵 2. 初等变换矩阵 3. 对称矩阵 4. 正交矩阵 5. 内积空间
我们尽量采用如下记号： 我们尽量采用如下记号： 用大写英文字母表示矩阵， 用大写英文字母表示矩阵，如A,B,… 用小写英文字母加上下标表示矩阵的元素，如 用小写英文字母加上下标表示矩阵的元素， a11,b2n,… 用小写英文字母表示向量， 用小写英文字母表示向量，如x,y,z,… 用小写希腊字母表示标量， 用小写希腊字母表示标量，如α,β,λ,µ,…
第1章 矩阵的概念 运算 第1-2节
B 32
4 1 1 0 3 A 23 1 1 2 0 2 1 0 6 1 12 1 1 3 2 0 6
• 定义1.2 主对角线，主对角元
设A是n阶矩阵，元素ai i 称为A的第i主对角线元, 元素a11 , a22 ,, an n组成A的主对角线.
a11 a21 A a n1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
定义1.7
矩阵的乘法
设A(aik )是m s矩阵，B(bik )是s n矩阵，那么A和B的 乘积是一个m n矩阵C (cij )。其中
cij aik bkj ai1b1 j ai 2 b2 j ais bsj 记作C AB
k 1
s
第j列
第j列
c11 c1 j c1n a11 a12 a1s b11 b1 j b1n b21 b2 j b2 n 第i行 ai1 ai 2 ais ci1 cij cin 第i行 b b b s1 sj sn a c c c am1 amn mj mn m1 m1
线 性 代 数
主讲：匡锐 Email: kuangrui@
第一章 矩阵
• • • • 第一节 第二节 第三节 第四节 矩阵的概念 矩阵的运算 逆矩阵 分块矩阵
关于矩阵_1
• 矩阵这个词是由西尔维斯特(Sylvester,18141897)于1850年首先提出。他是犹太人，故 他在取得剑桥大学数学荣誉会考第二名的优 异成绩时，仍被禁止在剑桥大学任教。从 1841年起他接受过一些较低的教授职位，也 担任过书记官和律师。经过一些年的努力， 他终于成为霍布金斯大学的教授，并于1884 年70岁时重返英格兰成为牛津大学的教授。 他开创了美国纯数学研究，并创办了《美国 数学杂志》。在长达50多年的时间内，他是 矩阵论和行列式始终不渝的作者之一。