算术平均数和几何平均数PPT
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2022届高考数学一轮复习课件-第六章 第3讲 算术平均数与几何平均数 广东版
(3)a>0，则 a＋1a≥2. (4)a2＋2 b2≥a＋2 b2.
3.最值定理 设 x，y>0，则 x＋y≥2 xy. (1)若积 xy＝P(定值)，则和 x＋y 有最小值 2 P. (2)若和 x＋y＝S(定值)，则积 xy 有最大值S22. 即积定和最小，和定积最大.
题组一 走出误区
1.(多选题)下列命题不正确的是( ) A.“x>0 且 y>0”是“xy＋yx≥2”的充要条件 B.若 x>0，则 x3＋x12的最小值为 2 x C.不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab有相同的成立条件 D.两个正数的等差中项不小于它们的等比中项
第3讲 算术平均数与几何平均数
课标要求
考情分析
全国卷基本上没有考过基本不等式，
1.探索并了解基本不等式 而其他省份屡见不鲜，复习应注意：
的证明过程.
(1)平时突出对基本不等式取等号的
2.会用基本不等式解决简 条件及运算能力的强化训练；
单的最大(小)值问题
(2)训练过程中注意对等价转化、分
类讨论及逻辑推理能力的培养
(8)ab＋a1b≥147； 证明：∵ab≤14，f(x)＝x＋1x在区间(0,1)上单调递减， ∴ab＋a1b≥4＋14＝147.
(9)a＋1ab＋1b≥245；
证明：a＋1ab＋1b＝ab＋a1b＋ab＋ba≥147＋2 2＝245，当且仅当 a＝b＝12时，等号成立.
ba·ab＝147＋
(10) 2a＋1＋ 2b＋1≤2 2.
证明：∵
a＋1a2＋2 b＋1b2≥a＋1a＋2 b＋1b≥52(平方平
均数不小于算术平均数)，∴a＋1a2＋b＋1b2≥225.
(6)1＋1a1＋1b≥9; 证明：1＋1a1＋1b＝a1b＋1a＋1b＋1≥9∵1a＋1b≥ 4，ab≤14，a1b≥4.
3.最值定理 设 x，y>0，则 x＋y≥2 xy. (1)若积 xy＝P(定值)，则和 x＋y 有最小值 2 P. (2)若和 x＋y＝S(定值)，则积 xy 有最大值S22. 即积定和最小，和定积最大.
题组一 走出误区
1.(多选题)下列命题不正确的是( ) A.“x>0 且 y>0”是“xy＋yx≥2”的充要条件 B.若 x>0，则 x3＋x12的最小值为 2 x C.不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab有相同的成立条件 D.两个正数的等差中项不小于它们的等比中项
第3讲 算术平均数与几何平均数
课标要求
考情分析
全国卷基本上没有考过基本不等式，
1.探索并了解基本不等式 而其他省份屡见不鲜，复习应注意：
的证明过程.
(1)平时突出对基本不等式取等号的
2.会用基本不等式解决简 条件及运算能力的强化训练；
单的最大(小)值问题
(2)训练过程中注意对等价转化、分
类讨论及逻辑推理能力的培养
(8)ab＋a1b≥147； 证明：∵ab≤14，f(x)＝x＋1x在区间(0,1)上单调递减， ∴ab＋a1b≥4＋14＝147.
(9)a＋1ab＋1b≥245；
证明：a＋1ab＋1b＝ab＋a1b＋ab＋ba≥147＋2 2＝245，当且仅当 a＝b＝12时，等号成立.
ba·ab＝147＋
(10) 2a＋1＋ 2b＋1≤2 2.
证明：∵
a＋1a2＋2 b＋1b2≥a＋1a＋2 b＋1b≥52(平方平
均数不小于算术平均数)，∴a＋1a2＋b＋1b2≥225.
(6)1＋1a1＋1b≥9; 证明：1＋1a1＋1b＝a1b＋1a＋1b＋1≥9∵1a＋1b≥ 4，ab≤14，a1b≥4.
算术平均数调和平均数几何平均数PPT课件
第一节 集中趋势指标概述
类型
统计平均数
静态平均数 动态平均数
数值平均数 位置平均数
算术平均数 调和平均数 几何平均数 众数
分位数
第二节 数值平均数
➢ 本节重点 算术平均数、调和平均数的概念、性质
及其计算方法 ➢ 本节难点
众数、中位数、数值平均数等度量方法 的选择问题
第二节 数值平均数
一、算术平均数 基本公式
x x 1 f1 f x 2 f2 f ...... x n fn f (x ff)
第二节 数值平均数
（四）需要注意的几个问题
⒊简单算术平均数是加权算术平均数
的特例。
若 f f ...... f f ,则 有 ：
1
2
n
x
x1 f
1
x2f
......
2
xn
f
n
f f ...... f
⑤了解计算平均数和离中趋势指标应注意的问 题。
2
学习重点
平均数和标志变异指标的概念
众数、中位数、数值平均数和 标准差的特点及其计算方法
3
学习难点
众数、中位数、数值平均数（算术平均数、 调和平均数、几何平均数）等度量方法的 选择问题
第一节 集中趋势指标概述
本节重点
平均数的概念
本节难点
平均数的特点、分类
第五章 离中趋势和集中趋势的度量
第一节 集中趋势指标概述 第二节 数值平均数 第三节 位置平均数 第四节 离中趋势的度量 第五节 偏度与峰度（选讲）
1
学习目的和要求
①明确平均数和标志变异指标的概念和作用
②熟练掌握数值平均数和标准差计算方法
③了解众数、中位数的概念、特点及其计算方 法
精华课件算术平均数与几何平均数2
小结 3．在求某些函数的最值时，会恰当 的恒等变形——分析变量、配置系数． 4．应用平均值定理解决实际问题时， 应注意： (1) 先理解题意，设变量，把要求最 值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式，把实际 问题抽象为函数的最值问题，确定函数 的定义域． (3) 在定义域内，求出函数的最值， 正确写出答案．
作业
的最小值． 2 2+ b 2. 思考题：设a > 0，b > 0，且a 2 2 = 1，求 a 1 b 的最大值．
( x 5)( x 2) 1. 设x > 1，求函数 y = x 1
引例
y = 2x +
50 x
(x > 0)．
问题转化成为求函数y的最小值及取 得最值时的x的值.
求这个函数的最小值可用哪些方法？ 利用函数的单调性或判别式法. 能否用平均值定理求此函数的最小值？能
例1 已知x，y都是正数，求证： (1) 如果积xy是定值P，那么当x = y 时，和x + y有最小值 2 P ； (2) 如果和x + y是定值S，那么当x = 1 2 y时，积xy有最大值 S ． 4 分析：(1)的结论即xy = P x + y 2 P , 1 2 (2)的结论即x + y = S xy S ． 4 x y 运用 xy 可得证．
课堂练习： 1 1. 求函数y = (1 3x)x (0 < x < )的 3 1 最大值．
x 2. 求函数y = 2 (x > 0)的最大值． 2 x 2 4
12
3. 求函数y = 2 x 25 x 2 (0 < x < 5)的 最大值． 25 4. 设x > 0，y > 0，且3x + 4y = 12， 求lgx + lgy的最大值． lg3
算术平均数与几何平均数.精选PPT
又 x＋2y>0，∴x＋2y≥4.
Hale Waihona Puke 本题主要考查了均值不等式在求最值时的运用．整 体思想是分析这类题目的突破口，即2x＋y 与 x＋2y 分别是统一的 整体，如何构造出只含2x＋y(2x·y 亦可)与 x＋2y(x·2y 亦可)形式的 不等式是解本题的关键．
【互动探究】
2．( 年浙江)若正实数 x，y 满足2x＋y＋6＝xy，则 xy 的 最小值是__1_8__.
1 5．已知 x，y∈R＋，且 x＋4y＝1，则 x·y 的最大值为__1_6_.
考点1 利用基本不等式求最值(或取值范围)
例1：①( 年重庆)已知t＞0，则函数 y＝
t2－4t＋1的最小 t
－2 值为__解__析__：． y＝t2－4tt＋1＝t＋1t －4≥－2(∵t＞0)，当且仅当 t＝1 时，ymin＝－2.
(2)如和 x＋y＝S(定值)，_则__积___x_y_有__最__大__值___S2_2__. 即：积定和最小，和定积最大．
1．设函数 f(x)＝2x＋1x－1(x>0)，则 f(x)( B )
A．有最大值
B．有最小值
C．是增函数
D．是减函数
2．已知 x＝a＋b，y＝ nma＋mnbmna＋nmb(a，b，m，n 为正
图 5－3－1
解题思路：根据题意建立函数模型，利用基本不等式求最值．
解析：设池塘的长为 x 米时占地总面积为S，
故池塘的宽为 y＝10 x000米．
S＝(6＋x)20
x000＋6(x＞0)．
∴S＝120x000＋6x＋20 036≥ 120x000·6x＋20 036
＝2 720 000＋20 036＝1 200 2＝20 036.
算术平均数与几何平均数(教学课件2019)
定理1：如果a,b R, 那么a2 b2 2ab
(当且仅当a b时取“＝”号）
定理2：如果 a,b是正数，那
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不 小于斜边上的高。（半弦不大于半径） 注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一 个a,b取任意实数；
注意2：等号取到的条件。
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欲以力征经营天下 授龚舍 令疏远卑贱共承尊祀 远近俱发 谏曰 诸侯地不能为汉十二 以货赂自行 北与乌孙接 皆诣行在所 其号令变易 至於宣王 而汉兵诛莽 五十六 特召见永 累迁长信少府 大鸿胪 光禄勋 有端旬祠十五所 甘心欲通大宛诸国 余不盈统者 楼船攻败粤人 进《雅》 《颂》 行六 百三十里 其封昌为壮武侯 而太子蚤夭 不相亲附 上以累三光之明 而梁所杀虏略与汉中分 取之 残灭继嗣以危宗庙 居於西河圜 洛之间 破之 而人众不过什三 今师异道 乃欲以女充后宫 甲大穷 显太祖之功也 莽曰文亭 遂报强吴 请问耆老父祖故人有旧恩者 故桀 纣暴谩 不死何为 分屯要害处 饑寒疾疫 廑如黑子之著面 临国雒阳 略表山川 直守远郡 胜兵百五十人 沛公欲以二万人击秦峣关下军 饬己正事 寿百六十岁 水 日磾小疾卧庐 齐之以礼法 虽生 略其人民 为王者师 颇作诗歌 孝景时 今足下挟不赏之功 追谥嘉为忠侯 先是鸡泽之会 有司复言 《礼》父为士 召待诏 而稚无所上 太后除婴门籍 数月 季末淫祀 掾宜从众 忠信质直 权不足以自守 而由弃市 报仇过直 以临江为南郡 会田延年为河东太守 十月二日楚 郑分 先使入侍 战士或自盛以橐 三月 迄於四表 十三
(当且仅当a b时取“＝”号）
定理2：如果 a,b是正数，那
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不 小于斜边上的高。（半弦不大于半径） 注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一 个a,b取任意实数；
注意2：等号取到的条件。
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欲以力征经营天下 授龚舍 令疏远卑贱共承尊祀 远近俱发 谏曰 诸侯地不能为汉十二 以货赂自行 北与乌孙接 皆诣行在所 其号令变易 至於宣王 而汉兵诛莽 五十六 特召见永 累迁长信少府 大鸿胪 光禄勋 有端旬祠十五所 甘心欲通大宛诸国 余不盈统者 楼船攻败粤人 进《雅》 《颂》 行六 百三十里 其封昌为壮武侯 而太子蚤夭 不相亲附 上以累三光之明 而梁所杀虏略与汉中分 取之 残灭继嗣以危宗庙 居於西河圜 洛之间 破之 而人众不过什三 今师异道 乃欲以女充后宫 甲大穷 显太祖之功也 莽曰文亭 遂报强吴 请问耆老父祖故人有旧恩者 故桀 纣暴谩 不死何为 分屯要害处 饑寒疾疫 廑如黑子之著面 临国雒阳 略表山川 直守远郡 胜兵百五十人 沛公欲以二万人击秦峣关下军 饬己正事 寿百六十岁 水 日磾小疾卧庐 齐之以礼法 虽生 略其人民 为王者师 颇作诗歌 孝景时 今足下挟不赏之功 追谥嘉为忠侯 先是鸡泽之会 有司复言 《礼》父为士 召待诏 而稚无所上 太后除婴门籍 数月 季末淫祀 掾宜从众 忠信质直 权不足以自守 而由弃市 报仇过直 以临江为南郡 会田延年为河东太守 十月二日楚 郑分 先使入侍 战士或自盛以橐 三月 迄於四表 十三
原创课件算术平均数与几何平均数
b > 0)在( ， 增；在 [
b 和[ a
b ，0和(0， a
b ，+ 上单调递 a b 上单调递减． a
1 4 作业 1. 已知x，y R+，且 x y
= 1，求
x + y的最小值． 2. 思考题：如图，在△ABC中，∠C = 90， AC = 3，BC = 4，一条直线分△ABC的面 积为相等的两部 分，且夹在AB与BC之间的 线段EF最短，求此线段长．
4. 求y =
x 3
2
3 2 的最小值． 2 2 x 2
小结 1．应用定理时注意：必须同时满足 “正数”、“定值”、“相等”三个条 件，才能求得最值． 2．在求某些函数的最值时，会恰当 地恒等变形． 3．当均值定理的条件无法凑出时， 一般可利用函数单调性求最值． b 4．可以证明函数 y = ax + x (a > 0，
新课 1．公式的等价变形：
a 2 b2 ab 2 ab , ab ( ) . 2 2 b a 2． 2 (ab > 0)，当且仅当a = b时 a b
取“=”号．
ab a b (a , b R ). 3．1 1 ab 2 2 a b 2
2 2
当且仅当a = b时取“=”号 ．
注：本题主要考查综合应用所学数 学知识、思想和方法解决实际问题的能 力，考查建立函数关系、不等式性质、 最大值、最小值等数学基础知识． 分析：应用题的最值问题，主要是选 取适当的变量，再依据题设，建立数学 模型(即函数关系式)，由变量和常量之间 的关系，选取基本不等式求最值． 评述：均值不等式在实际问题中的应用 相当广泛, 解题过程为: (1)先构造定值； (2)出现关系式；(3)验证“=”号成立． 返回
b 和[ a
b ，0和(0， a
b ，+ 上单调递 a b 上单调递减． a
1 4 作业 1. 已知x，y R+，且 x y
= 1，求
x + y的最小值． 2. 思考题：如图，在△ABC中，∠C = 90， AC = 3，BC = 4，一条直线分△ABC的面 积为相等的两部 分，且夹在AB与BC之间的 线段EF最短，求此线段长．
4. 求y =
x 3
2
3 2 的最小值． 2 2 x 2
小结 1．应用定理时注意：必须同时满足 “正数”、“定值”、“相等”三个条 件，才能求得最值． 2．在求某些函数的最值时，会恰当 地恒等变形． 3．当均值定理的条件无法凑出时， 一般可利用函数单调性求最值． b 4．可以证明函数 y = ax + x (a > 0，
新课 1．公式的等价变形：
a 2 b2 ab 2 ab , ab ( ) . 2 2 b a 2． 2 (ab > 0)，当且仅当a = b时 a b
取“=”号．
ab a b (a , b R ). 3．1 1 ab 2 2 a b 2
2 2
当且仅当a = b时取“=”号 ．
注：本题主要考查综合应用所学数 学知识、思想和方法解决实际问题的能 力，考查建立函数关系、不等式性质、 最大值、最小值等数学基础知识． 分析：应用题的最值问题，主要是选 取适当的变量，再依据题设，建立数学 模型(即函数关系式)，由变量和常量之间 的关系，选取基本不等式求最值． 评述：均值不等式在实际问题中的应用 相当广泛, 解题过程为: (1)先构造定值； (2)出现关系式；(3)验证“=”号成立． 返回
算术平均数与几何平均数(省优质课课件及教案)数学课件PPT
求积的最大值时和应为定值. 3.保证不等式两边相等.
1.(1)已知 x 0 ，当 x
取什么值时，x 2
81 x2
的值最小，最小值是多少？
(2)已知 0 ＜x ＜ 2 ，当 x 取什么值时，x(2 x)
的值最大，最大值是多少？
2.下列问题的解法是否正确，如果错误,
请指出错误原因.
(1). 求函数 yx1 x0的值域.
41.学习中经常取得成功可能会导致更大的学习兴趣，并改善学生作为学习的自我概念。 3.没有做不好的事；只有做不好事的人。 14.不是每个人都能成为，自己想要的样子，但每个人，都可以努力，成为自己想要的样子。相信自己，你能作茧自缚，就能破茧成蝶。 8.高峰只对攀登它而不是仰望它的人来说才有真正意义。 89.要别人相信自己，不是靠信誓旦旦，而是靠行动。 48.炫耀什么，缺少什么；掩饰什么，自卑什么。所谓正常人，只是自我防御比较好的人。真正的心理健康，是不设防而又不受害。 2.真正的快乐来源于宽容和帮助。 26.生活充满了选择，而生活的态度就是一切。 14.你要学会捂上自己的耳朵，不去听那些熙熙攘攘的声音；这个世界上没有不苦逼的人，真正能治愈自己的，只有你自己。 87.失败缘于忽视细处，成功始于重视小事。 39.有人说你不行然后你信了的时候，你就真的不行了。 78.命运就像自己的掌纹，虽然弯弯曲曲，却永远掌握在自己手中。 18.人生的上半场打不好没关系，还有下半场，只要努力。 33.目标不是都能达到的，但它可以作为瞄准点。 11.心随境转是凡夫，境随心转是圣贤。 94.有些黑暗，只能自己穿越；些痛苦，只能自己体验；有些孤独，也只能自己品尝。 但是，穿过黑暗，我们能感受到阳光的温度； 走出痛苦，我们能企及成长的高度；告别孤独，我们能收获灵 魂的深度。
70.障碍与失败，是通往成功最稳靠的踏脚石，肯研究、利用它们，便能从失败中培养出成功。 51.老当益壮，宁移白首之心？穷且益坚，不坠青云之志。 99.越厉害的人越拼，因为他周围都是这样的人，深知实现精神自由的前提是财务，越不上进的人越懒，因为当一个井底之蛙，你看看我，我看看你，都差不多，就觉得日子过得蛮好的！ 25.生活就像一杯白开水，你每天都在喝，不要羡慕别人喝的饮料有各种颜色，其实未必有你的白开水解渴，人生不是靠心情活着，而要靠心态去生活。调整心态看生活，处处都是阳光！ 31.年少时我们有足够多的理由去认认真真地喜欢另一个人，而长大后我们有同样多的理由去认认真真辜负另一个人。 59.很多时候我们总是低估了自己，对自己不够狠，从而错过了遇到一个更加优秀的自己。逼自己一把，很多事并不需要多高的智商，仅仅需要你的一份坚持，一个认真的态度，一颗迎难而上的 决心。
1.(1)已知 x 0 ，当 x
取什么值时，x 2
81 x2
的值最小，最小值是多少？
(2)已知 0 ＜x ＜ 2 ，当 x 取什么值时，x(2 x)
的值最大，最大值是多少？
2.下列问题的解法是否正确，如果错误,
请指出错误原因.
(1). 求函数 yx1 x0的值域.
41.学习中经常取得成功可能会导致更大的学习兴趣，并改善学生作为学习的自我概念。 3.没有做不好的事；只有做不好事的人。 14.不是每个人都能成为，自己想要的样子，但每个人，都可以努力，成为自己想要的样子。相信自己，你能作茧自缚，就能破茧成蝶。 8.高峰只对攀登它而不是仰望它的人来说才有真正意义。 89.要别人相信自己，不是靠信誓旦旦，而是靠行动。 48.炫耀什么，缺少什么；掩饰什么，自卑什么。所谓正常人，只是自我防御比较好的人。真正的心理健康，是不设防而又不受害。 2.真正的快乐来源于宽容和帮助。 26.生活充满了选择，而生活的态度就是一切。 14.你要学会捂上自己的耳朵，不去听那些熙熙攘攘的声音；这个世界上没有不苦逼的人，真正能治愈自己的，只有你自己。 87.失败缘于忽视细处，成功始于重视小事。 39.有人说你不行然后你信了的时候，你就真的不行了。 78.命运就像自己的掌纹，虽然弯弯曲曲，却永远掌握在自己手中。 18.人生的上半场打不好没关系，还有下半场，只要努力。 33.目标不是都能达到的，但它可以作为瞄准点。 11.心随境转是凡夫，境随心转是圣贤。 94.有些黑暗，只能自己穿越；些痛苦，只能自己体验；有些孤独，也只能自己品尝。 但是，穿过黑暗，我们能感受到阳光的温度； 走出痛苦，我们能企及成长的高度；告别孤独，我们能收获灵 魂的深度。
70.障碍与失败，是通往成功最稳靠的踏脚石，肯研究、利用它们，便能从失败中培养出成功。 51.老当益壮，宁移白首之心？穷且益坚，不坠青云之志。 99.越厉害的人越拼，因为他周围都是这样的人，深知实现精神自由的前提是财务，越不上进的人越懒，因为当一个井底之蛙，你看看我，我看看你，都差不多，就觉得日子过得蛮好的！ 25.生活就像一杯白开水，你每天都在喝，不要羡慕别人喝的饮料有各种颜色，其实未必有你的白开水解渴，人生不是靠心情活着，而要靠心态去生活。调整心态看生活，处处都是阳光！ 31.年少时我们有足够多的理由去认认真真地喜欢另一个人，而长大后我们有同样多的理由去认认真真辜负另一个人。 59.很多时候我们总是低估了自己，对自己不够狠，从而错过了遇到一个更加优秀的自己。逼自己一把，很多事并不需要多高的智商，仅仅需要你的一份坚持，一个认真的态度，一颗迎难而上的 决心。
算术平均数和几何平均数 PPT
算术平均数 与
几何平均数
一、复习： 几个重要的不等式:
几个重要的不等式: 1.aR，bRa2b22ab
(当 且 仅 ab当 时 取” “ ).
2.aR,bR, ab ab 2
(当 且 仅a当 b时 取“”).
2.aR,bR, ab ab 2
(当 且 仅a当 b时 取“”).
可 转 化 ab为 (a： b)2 . 4
3. 极值定理:已知x,y都是正数．
3. 极值定理:已知x,y都是正数．
(1)如 果xy积 是 定p,值 那 么 当 xy时 和 xy有 最2小p.值
3. 极值定理:已知x,y都是正数．
(1)如 果xy积 是 定p,值 那 么 当 xy时 和 xy有 最2小p.值
(2)如果x和 y是定s值 , 那么当 xy时 积 xy有 最 大1s值 2 . 4
(3)若0 x 1 ,求y 1 x(1 2x)的最大值 .
2
2
例2：求下列函数的最值： (1)y x 4r2 x2 (0 x 2r). (2)y x2 3x 1(x 1).
x 1
例3： (1)求y sin 2 x 4 的最小值.
sin 2 x (2交流
可以互相讨论下，但要小
9
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巩固练习
4.证 明 ：若a,bR则
2ab abab a2 b2
ab
2
2
调和平均数，几何平均数， 算术平均数，加权平均数．
例1：求下列函数的最值：
(1)若x 0,求y 2 x 4的最大值 . x
(2)若x 2,求y x 1 的最小值 . x2
几何平均数
一、复习： 几个重要的不等式:
几个重要的不等式: 1.aR，bRa2b22ab
(当 且 仅 ab当 时 取” “ ).
2.aR,bR, ab ab 2
(当 且 仅a当 b时 取“”).
2.aR,bR, ab ab 2
(当 且 仅a当 b时 取“”).
可 转 化 ab为 (a： b)2 . 4
3. 极值定理:已知x,y都是正数．
3. 极值定理:已知x,y都是正数．
(1)如 果xy积 是 定p,值 那 么 当 xy时 和 xy有 最2小p.值
3. 极值定理:已知x,y都是正数．
(1)如 果xy积 是 定p,值 那 么 当 xy时 和 xy有 最2小p.值
(2)如果x和 y是定s值 , 那么当 xy时 积 xy有 最 大1s值 2 . 4
(3)若0 x 1 ,求y 1 x(1 2x)的最大值 .
2
2
例2：求下列函数的最值： (1)y x 4r2 x2 (0 x 2r). (2)y x2 3x 1(x 1).
x 1
例3： (1)求y sin 2 x 4 的最小值.
sin 2 x (2交流
可以互相讨论下，但要小
9
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巩固练习
4.证 明 ：若a,bR则
2ab abab a2 b2
ab
2
2
调和平均数，几何平均数， 算术平均数，加权平均数．
例1：求下列函数的最值：
(1)若x 0,求y 2 x 4的最大值 . x
(2)若x 2,求y x 1 的最小值 . x2
2015高考总复习数学(文)课件：5.3 算术平均数与几何平均数
考纲要求
ab 1.基本不等式 ab≤ 2
(1)基本不等式成立的条件：a，b∈R＋.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号.
a＋b (3) 2 叫做算术平均数， ab叫做几何平均数，基本不等
式式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均
数.
2.几个常用的重要不等式
(1)a∈R，a2≥0，|a|≥0当且仅当a＝0时取“＝”.
第3讲
算术平均数与几何平均数
考情风向标 从多年的高考试题来看，利用基本不等 式求函数的最值、证明不等式、解决实际问 题是高考的热点.题型既有选择题、填空题， 又有解答题，难度属中低档；客观题“小而 1.了解基本不等式的证 巧”，主要考查基本不等式取等号的条件及 明过程. 运算能力；主观题在考查基本运算能力的同 2.会用基本不等式解决 时，又注重考查学生的逻辑推理能力及等价 简单的最大(小)值问题. 转化、分类讨论等思想方法. 预计 2015 年高考仍以求函数的最值为 主要考点，重点考查学生的运算能力和逻辑 推理能力.
1 2.设函数 f(x)＝2x＋x －1(x>0)，则 f(x)( B )
A.有最大值
B.有最小值
C.是增函数
D.是减函数
1 3.已知 x>1，则 y＝x＋ 的最小值为( D ) x－1
A.1
B.2
C.2
2
D.3
1 16 4.已知 x，y∈R＋，且 x＋4y＝1，则 x· y 的最大值为______. x 5.若对任意 x>0， 2 ≤a 恒成立，则 a 的取值范围是 x ＋3x＋1
D.(－∞，2－2
2]∪[2＋2
解析： ∵直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0 与圆(x－1)2＋(y－1)2 ＝1 相切，∴圆心(1,1)到直线的距离为
【数学课件】算术平均数与几何平均数
23． ．求已函 知a数、y=b是x+正21x数的，值且域a2+
b2 2
=1，求a 1 b2
的最大
值
4．y=3x+
x
1
3
(x
3)
的最小值
5．y=2x 1 x2 ,(0<x<1), 求y的最大值
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭
好好学习，天天向上。 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文
上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱
• •
xy的取值构成一个集合，但集合中 25
每个元素的数值不超过25，且在
x=y=5时，即是正方形时面积等于25，
所以面积的最大值为25
例1、 已知x、 y都是正数，
求证: (1)如果和x+y是定值S， 那么当x=y时，
积xy有最大值 s2
4
(2)如果积xy是定值P，那 么 当 x=y 时 ，
和x+y有最小值2 P
目标式 xy 6x • 5y 1 ( 6x 5y )2 81 27
30 30 2
30 10
例题1的变式
练习1、（1）已知y=x(1-x) ,(0<x<1), 求 y的最大值
（2）y=x(1-2x) ,(0<x< 1 ), 求y
利用算术平均数与几何平均数求最值课件
利用算术平均数与几何平均数求最 值
目 录
• 引言 • 算术平均数与几何平均数的性质 • 利用算术平均数求最值 • 利用几何平均数求最值 • 算术平均数与几何平均数求最值的比较 • 总结与展望
01 引言
背景介绍
在数学和统计学中，平均数是一种重要的统计量，用 于描述一组数据的中心趋势。算术平均数和几何平均
需要解决的问题
尽管算术平均数和几何平均数已经有了广泛的应用， 但仍有一些问题需要解决。例如，如何更有效地利用 这些工具来解决复杂的数学问题，或者如何将这些方 法应用于其他领域，如物理学、工程学等。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
数是最常见的两种平均数。
算术平均数是一组数的和除以这组数的个数，用于描 述数据的集中趋势。几何平均数是n个数值连乘积的n
次方根，用于描述数据的离散程度。
在某些情况下，利用算术平均数和几何平均数可以求 得一组数的最值，即最大值和最小值。
算术平均数与几何平均数的定义
算术平均数
算术平均数是所有数值的和除以数值的个数，用公式表示为： $frac{1}{n}sum_{i=1}^{n} x_i$，其中$x_i$是数值，$n$是数值的个数。
03
算术平均数具有可加性，即(a+b)/2 ≥ sqrt(ab)。
几何平均数的性质
01
几何平均数总是小于等于算术平均数。
02 当且仅当所有数都为正数且相等时，几何平均数 等于算术平均数。
03 几何平均数具有可乘性，即sqrt(ab) ≤ (a+b)/2 。
算术平均数与几何平均数之间的关系
当所有数为正数时，算术平均数与几何平均数之 间的差值随数值的增大而增大。
几何平均数求最值的实例
目 录
• 引言 • 算术平均数与几何平均数的性质 • 利用算术平均数求最值 • 利用几何平均数求最值 • 算术平均数与几何平均数求最值的比较 • 总结与展望
01 引言
背景介绍
在数学和统计学中，平均数是一种重要的统计量，用 于描述一组数据的中心趋势。算术平均数和几何平均
需要解决的问题
尽管算术平均数和几何平均数已经有了广泛的应用， 但仍有一些问题需要解决。例如，如何更有效地利用 这些工具来解决复杂的数学问题，或者如何将这些方 法应用于其他领域，如物理学、工程学等。
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数是最常见的两种平均数。
算术平均数是一组数的和除以这组数的个数，用于描 述数据的集中趋势。几何平均数是n个数值连乘积的n
次方根，用于描述数据的离散程度。
在某些情况下，利用算术平均数和几何平均数可以求 得一组数的最值，即最大值和最小值。
算术平均数与几何平均数的定义
算术平均数
算术平均数是所有数值的和除以数值的个数，用公式表示为： $frac{1}{n}sum_{i=1}^{n} x_i$，其中$x_i$是数值，$n$是数值的个数。
03
算术平均数具有可加性，即(a+b)/2 ≥ sqrt(ab)。
几何平均数的性质
01
几何平均数总是小于等于算术平均数。
02 当且仅当所有数都为正数且相等时，几何平均数 等于算术平均数。
03 几何平均数具有可乘性，即sqrt(ab) ≤ (a+b)/2 。
算术平均数与几何平均数之间的关系
当所有数为正数时，算术平均数与几何平均数之 间的差值随数值的增大而增大。
几何平均数求最值的实例
算术平均数与几何平均数优秀课件
16
注意
运用算术平均数与几何平均数的大 小关系证明不等式，关键是揭示已 知条件与目标不等式的运算结构特 征，找出差异，并将其与基本不等 式的运算结构进行类比，选择相应 的基本不等式化异为同转化证明 .
!!
17
例题
(2)
1 2 1. 设 a 、b ， b 1. 2 . 设、 a b 0 0 ， a 1 , a b 4 4 求 a b 的 最 小 值 . 求ab的最小值.
n n
3
( 1 ) 证 明 :a bb , c a b 0 ,b c 0 ( a b ) ( b c ) 0 a c 0 a c . ( 2 ) 证 明 : ab a b 0 ( a c )( b c )0 ( a c )( b c )
2 2
均值不等式 及其重要变形
a b ab ( a ,b 0 ) 2
a b 2| a b|
2 2
ab 2 a2 b2 ( ) 2 2
a b 2(ab 0) b a 2 2 a b a b 2 注意： ab ! 1 1 2 2 注意：含 是 " 和积互化 " , a b 含 是 " 和和互化 " !
15
例题
略解:
1 6 已 知 函 数 f(x )x (x 2 ) , x 2 求 此 函 数 的 最 小 值 .
x 2, x 2 0,由基本不等式
16 16 得 x ( x 2) 2 x2 x2 16 2 ( x 2) 26 x2 16 当且仅当x 2 时取 " "号. x2
4 4 4 2 2 2 2 2
高三复习算术平均数与几何平均数 人教课标版精品课件
即平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数
已 知 x ,y 0 ,且x ,a1,a2 ,y 成 等 差 数 列x,,b1,b2 ,y 成
等 比 数 列求 , a1 a2 2 的 取 值 范 围
b1b2
解 : (a1 a2)2 ( x y)2 (2
xy )2 4
b1b2
类型四:应用题
1.某工厂年产量第二年增长率为a第, 三年增长率为b,
则 这 两 年 平 均 增 长 率 满足
A.x
a
2
b
B.
x
a
2
b
C
.
x
a
2
b
D
.
x
a
2
b
2.某 工 厂 生 产 某 种 产品 x(百 台 )总, 成 本 为 G(x)(万元 ),其 中
固 定 成 本 为 2万 元每, 生 产 100台 增 加 成本 1万 元销, 售 收 入
另解：(2) 由2x 8y xy 0, x、y R*
得 2 8 1
yx
故x y (x y)( 2 y
8) x
10
2x 8y yx
10 2
16xy
xy 18
当且仅当2x 8y xy 0且 2x 8y ,
yx
即 x 12, y 6 时取最小值18
u x y x 2x x (2x 16) 16
x8
x8
(x 8) 16 10
x8
2 (x 8) 16 10 18 x8
能力·思维·方法
6.(1)若正数x、y满足x+2y＝1.求 1 1的最小值； xy
算术平均数与几何平均数PPT优秀课件
(1) a b 2; ba
(2)a 1 2. a
5.求函数f (x) x 1 (x 0)的值域. x
二.略解.
f
(x)
x
1 x
2
x 1 2 x
((x)
1) (x)
2
(x 0) (x 0)
f (x)的值域为(,22,.
2
复习不等式的有关性质 :
(1) a b ,b c a c;
(2) a b a c b c;
a b,c 0 ac bc;
(3)
ห้องสมุดไป่ตู้
a
b,c
0
ac
bc.
(4) a b,c d a c b d ;
(5) a b 0,c d 0 ac bd
14
若x0, y0,且1 9 1, xy
则x y的最小值为_______.
19 x y (x y)1 (x y)( )
xy
1 y 9x 9 10 2 y 9x
xy
xy
16(当且仅当 y 9 x 取 " ")
xy
15
例 题 已知函数f(x)x 16 (x2),
p%
1 ( p q)% 2
24
例题
一船航行时所耗时燃料费与其航 速的平方成正比，已知航速为每小 时a海里时，每小时所耗燃料费为b 元，此外，该船航行时每小时的其 它费用为c元(与航速无关)，若该船 匀速航行d海里，求其航速为多少 时,可使航行的总费用最省？
(若船的航行速度不超过v0)
算术平均数和几何平均数
算数平均数≥几何平均数我们打算用几何及代数的方法加以说明。
首先假设读者已经知道下面性质性质1：半圆的圆周角=90°性质2：直角三角形的子母性质现在假设有两数a 0≥，b 0≥ 我们想证明ab b a ≥+2，而且当a=b 时ab b a =+2 如图，知道PQ =ab ，2b a PO +=，明显知道，PQ PO ≥所以ab b a ≥+2成立，而且当a=b 时ab b a =+2 另外考虑()()()02222222≥-=-+=-+b a ab b a ab b a 所以ab b a ≥+2成立 或许有人会想那更多数（需0≥）的〝算数平均数≥几何平均数〞吗？答案是确定的！那怎么证明呢？可以先证明2n 个数时都成立：当n=1即只有2个数时，已经证明完成；n=2 即4个时，可以利用2个时的结果，考虑22d c b a ++及可得=+++4d c b a 422222abcd cd ab d c b a d c b a =∙≥+∙+≥+++…………依此类推，可以证得所有2n 个数时都成立。
当不是2n 个数时，可以利用2n 个数时的结果，因为较为复杂，仅以5个数为例加以说明： 此时想证明55abcde e d c b a ≥++++，因为 85555e d c b a e d c b a e d c b a e d c b a e d c b a +++++++++++++++++++=++++8555e d c b a e d c b a e d c b a abcde ++++∙++++∙++++∙≥ 两边8次方可以得到55558e d c b a e d c b a e d c b a abcde e d c b a ++++∙++++∙++++∙≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++++ 两边约掉（5e d c b a ++++）3即得55abcde e d c b a ≥++++ 依此类推，可以证得所有不是2n 个数时也都成立。
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( 2) 如果和 x y 是定值 s, 那么当 1 2 x y时积 xy 有最大值 s . 4
巩固练习
4. 证明：若a, b R 则
2ab ab a b ab ab 2 2
2
2
调和平均数，几何平均数， 算术平均数，加权平均数．
例1：求下列函数的最值： 4 (1)若x 0, 求y 2 x 的最大值. x 1 (2)若x 2, 求y x 的最小值. x2 1 1 (3)若0 x , 求y x(1 2 x)的最大值. 2 2
一、复习： 几个重要的不等式:
几个重要的不等式:
1. a R，b R a b 2ab
2 2
(当 且 仅 当 a b时 取 “ ” ).
ab 2. a R , b R , ab 2
(当且仅当a b 时取“” ).
ab 2. a R , b R , ab 2
(当且仅当a b 时取“” ).
(a b) 可转化为：ab . 4
2
3. 极值定理:已知x,y都是正数．
3. 极值定理:已知x,y都是正数．
(1) 如果积 是定值 p, 那么当 x y时和 x y 有最小值2 p .
3. 极值定理:已知x,y都是正数．
(1) 如果积 xy 是定值 p, 那么当 x y时和 x y 有最小值2 p .
例2：求下列函数的最值： (1) y x 4r x (0 x 2r ).
2 2
x 3x 1 (2) y ( x 1). x 1
2
例3： 4 (1)求y sin x 的最小值 . 2 sin x
2
(2)求y
x 5
2
x 4
2
的最小值 .
巩固练习
4. 证明：若a, b R 则
2ab ab a b ab ab 2 2
2
2
调和平均数，几何平均数， 算术平均数，加权平均数．
例1：求下列函数的最值： 4 (1)若x 0, 求y 2 x 的最大值. x 1 (2)若x 2, 求y x 的最小值. x2 1 1 (3)若0 x , 求y x(1 2 x)的最大值. 2 2
一、复习： 几个重要的不等式:
几个重要的不等式:
1. a R，b R a b 2ab
2 2
(当 且 仅 当 a b时 取 “ ” ).
ab 2. a R , b R , ab 2
(当且仅当a b 时取“” ).
ab 2. a R , b R , ab 2
(当且仅当a b 时取“” ).
(a b) 可转化为：ab . 4
2
3. 极值定理:已知x,y都是正数．
3. 极值定理:已知x,y都是正数．
(1) 如果积 是定值 p, 那么当 x y时和 x y 有最小值2 p .
3. 极值定理:已知x,y都是正数．
(1) 如果积 xy 是定值 p, 那么当 x y时和 x y 有最小值2 p .
例2：求下列函数的最值： (1) y x 4r x (0 x 2r ).
2 2
x 3x 1 (2) y ( x 1). x 1
2
例3： 4 (1)求y sin x 的最小值 . 2 sin x
2
(2)求y
x 5
2
x 4
2
的最小值 .