放缩法典型例题
(完整版)放缩法典型例题
放缩法典型例题数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩例1．正数数列的前项的和，满足，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：解：（1）由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以（2），所以注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.(1) 求证：；(2)求证：解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得∴所以，，所以（2）因为，所以，所以；2．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：；（2）等比数列{a n}中，，前n项的和为A n，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{b n}前n项的和为B n，证明：B n＜．解：（1）当n为奇数时，a n≥a，于是，．当n为偶数时，a－1≥1，且a n≥a2，于是．（2）∵，，，∴公比．∴．．∴．3．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列满足：，．求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．4．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P n中，若1≤i＜j≤m时P i＞P（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列的逆序数为a n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数．j（1）求a4、a5，并写出a n的表达式；（2）令，证明，n=1,2,….（2）因为，所以.又因为，所以=.综上，.注：常用放缩的结论：（1）（2）．在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论、为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例3要证明的结论为等比数列求和结果的类型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论为差比数列求和结果的类型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论为裂项相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可．。
放缩法经典例题
放缩法经典例题1. 题目一题目描述某公司在经营过程中发现自己面临着资金不足的问题，需要解决这一问题以确保业务的正常运转。
公司决定借款来增加资金流动性，并选择了一家银行作为借款方。
现在，请你使用放缩法来解决以下问题：1. 如何确定公司的资金需求量？2. 如何确定借款方愿意借给公司的最大金额？3. 如何确定公司能够接受的最小借款金额？解题思路1. 确定公司的资金需求量：- 首先，分析公司的经营情况和日常运营成本，包括员工工资、材料采购、运输等方面。
- 然后，考虑公司的扩张计划、未来发展需求和不可预见的紧急支出等因素。
- 将这些因素综合考虑，计算出公司的资金需求量。
- 对于长期借款，还需考虑利息和还款期限等因素。
2. 确定借款方愿意借给公司的最大金额：- 银行作为借款方，会根据公司的财务状况、信用评级等因素来评估借款额度。
- 公司可以向银行提供财务报表、现金流量表、资产负债表等资料，以帮助银行评估风险和确定可借额度。
3. 确定公司能够接受的最小借款金额：- 公司需要评估借款额度的可承受能力，避免财务压力过大。
- 考虑公司的近期盈利情况、现金流情况以及未来发展计划等因素，确定公司能够接受的最小借款金额。
2. 题目二题目描述某国家在国内外市场上出售石油产品，并计划在未来几年内增加销售额。
但是，由于石油价格的波动性，公司决定使用放缩法来管理风险。
请你解决以下问题：1. 什么是放缩法，以及它如何应用于石油产品的销售计划？2. 放缩法的优势和局限性是什么？解题思路1. 放缩法的概念和应用：- 放缩法是一种风险管理策略，通过调整产能来适应市场需求变化，以降低风险和损失。
- 对于石油产品的销售计划，公司可以根据市场需求的变化情况，调整生产量和库存量，以确保销售额的稳定增长。
- 公司可以通过收集和分析市场信息、与客户保持紧密联系等手段，准确预测市场需求，并相应地调整产能和库存。
2. 放缩法的优势和局限性：- 优势：放缩法可以有效降低公司面临的风险和损失，并提高市场适应能力。
(完整版)放缩法典型例题
放缩法典型例题数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩例1．正数数列的前项的和，满足，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：解：（1）由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以（2），所以注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.(1) 求证：；(2)求证：解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得∴所以，，所以（2）因为，所以，所以；2．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：；（2）等比数列{a n}中，，前n项的和为A n，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{b n}前n项的和为B n，证明：B n＜．解：（1）当n为奇数时，a n≥a，于是，．当n为偶数时，a－1≥1，且a n≥a2，于是．（2）∵，，，∴公比．∴．．∴．3．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列满足：，．求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．4．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P n中，若1≤i＜j≤m时P i＞P（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列的逆序数为a n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数．j（1）求a4、a5，并写出a n的表达式；（2）令，证明，n=1,2,….（2）因为，所以.又因为，所以=.综上，.注：常用放缩的结论：（1）（2）．在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论、为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例3要证明的结论为等比数列求和结果的类型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论为差比数列求和结果的类型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论为裂项相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可．。
放缩法技巧及例题解析(高中数学)
{an } 满足条件 an1 an f n ）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来
a n 1 a1 a2 ... n (n N * ). 2 3 a2 a3 an1
当 n 3 时,
1 1 1 1 1 2 ,此时 an n n 1 n n 1 n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 a1 a2 an 4 3 4 n 4 2 3 3 4 n 1 n
1
1 (n 1) 2 an1 an
1 (n 1) 2 [1 an ] (n 1) 2
an (n 1)(n 1 ) n 1
这种证法还是比较自然 的, 也易让学生接受 .
.
an an 1 n 当 n 2 时， n 1
1 1 1 1 1 an an1 (n 1)(n 2) n 1 n 2
1 1 1 1 1 1 1 2 (n 1) n n 1 n(n 1) n n(n 1) n 1 n 2 2 1 2 2( n n 1) n 1 n n n n n n 1
a a a am , b bm b b
1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) 2 3 3 5 2n 1 2n 1 2 2(2n 1) 2
注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前 n 项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用 先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差 比数列，即指数列 求和． 例 2、已知 an 2n 1(n N * ). 求证：
高考数学复习---《放缩法》典型例题讲解
高考数学复习---《放缩法》典型例题讲解【典型例题】例1、（2022·全国·模拟预测）已知2022a =，2223b =，c a b =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c a b >> B ．b a c >> C ．a c b >> D ．a b c >>【答案】D【解析】分别对2022a =，2223b =，c a b =两边取对数，得20log 22a =，22log 23b =，log a c b =． ()22022lg 22lg 20lg 23lg 22lg 23log 22log 23lg 20lg 22lg 20lg 22a b −⋅−=−=−=⋅． 由基本不等式，得:()222222lg 20lg 23lg 460lg 484lg 22lg 20lg 23lg 222222⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅<=<== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()2lg 22lg 20lg 230−⋅>，即0a b −>，所以1a b >>．又log log 1a a c b a =<=，所以a b c >>. 故选：D ．例2、（2023·全国·高三专题练习）已知：0.42e a =，0.52b =，4log 5c =，则a 、b 、c 大小关系为（ ） A ．b a c >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】B【解析】令()e 1x f x x =−−，则()e 1xf x '=−，当0x >时，()0f x ¢>，所以函数()f x 在()0,∞+上递增， 所以()()0.4200f f >=， 即0.42e 0.421>+， 又21.42 2.01642=>， 所以0.420.5e 0.4212>+>， 所以a b >，又25252416⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以0.5524>， 54444441024log 54log 5log 4log 55625log 504444−−−===>， 所以0.5452log 54>>， 所以a b c >>. 故选：B.例3、（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知实数,,a b c 满足12330a b +⨯−=1=()()25log 3a c x x x =+−+∈R ，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．a c b >>【答案】D【解析】由12330a b +⨯−=得：2333a b ⨯=⨯，3312a b−∴=>，0a b ∴−>，即a b >；31b +c b >；由()()25log 3a c x x x =+−+∈R 得：()25log 3a c x x −=−+，221553222y x x x ⎛⎫=−+=−+≥ ⎪⎝⎭，()25555log 3log log 102x x ∴−+≥>=，即a c >；综上所述：a c b >>. 故选：D.例4、（2022·全国·高三专题练习）己知544567,117<<，设6711log 5,log 6,log 7a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为_______．（用“<”连接） 【答案】a b c <<【解析】由544567,117<<得 7115log 645log 7<<，即7114log 6log 75<<， b c ∴<，又267lg5lg 6lg5lg 7lg 6log 5log 6lg 6lg 7lg 6lg 7a b ⋅−−=−=−=⋅22lg5lg 7lg 62lg 6lg 7+⎛⎫− ⎪⎝⎭⋅<， lg5lg7lg35lg36+=<，lg5lg 7lg 62+∴<， 22lg5lg 7lg 62+⎛⎫∴ ⎪⎝⎭<，a b ∴<，综上：a b c <<． 故答案为：a b c <<．。
专题20 放缩法证明数列不等式(练习及答案)-高考数学二轮专题必考点专练
专题20：放缩法证明数列不等式题型一：先求和再证明不等式典型例题例1(2021·全国乙)设{a n}是首项为1的等比数列,数列{b n}满足b n=na n3.已知a1,3a2,9a3成等差数列．(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)记S n和T n别为{a n}和{b n}的前n项和．证明：T n<S n2．变式训练练1已知数列{a n}为等比数列，数列{b n}为等差数列，且b1=a1=1，b2=a1+a2，a3=2b3−6．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)设c n=1b n b n+2，数列{c n}的前n项和为T n，证明：15≤T n<13．练2已知数列{a n }的首项a 1=3，前n 项和为S n ，a n+1=2S n +3，n ∈N *． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =log 3a n ，求数列{b n a n}的前n 项和T n ，并证明：13≤T n <34．题型二：先放缩再求和证明不等式典型例题例2(2014·全国Ⅱ)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1． (1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32．变式训练练3已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q >0，n ∈N *．(1)若2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，求数列{a n }的通项公式； (2)设双曲线x 2－y 2a 2n ＝1的离心率为e n ，且e 2＝53，证明：e 1＋e 2＋…＋e n >4n －3n 3n －1．练4已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝32，2S n ＝(n ＋1)a n ＋1(n ≥2)．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1(a n ＋1)2(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n<710(n ∈N *)．专题训练1.数列{a n}中，a1＝12，a n+1=a n2a n2−a n+1(n∈N∗)．(1)求证：a n＋1<a n；(2)记数列{a n}的前n项和为S n，求证：S n<1．2.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a n+1a n=2S n,n∈N∗（1）求证：数列{S n2}是等差数列（2）记数列b n=2S n3,T n=1b1+1b2+⋯+1b n，证明：1√n+1<T n≤32−√n.3.已知数列{a n}满足a1=2,a n+1=2(1+1n )2a n,n∈N+（1）求证：数列{a nn2}是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）设c n=na n ，求证：c1+c2+⋯+c n<1724.4.已知数列{a n}的前n项和S n=na n−3n(n−1),n∈N∗，且a3=17.（1）求a1；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）设数列{b n}的前n项和T n，且满足b n=√nS n ，求证：T n<23√3n+2.5.已知数列{a n}满足a1=14,a n=a n−1(−1)n a n−1−2(n≥2,n∈N).（1）试判断数列{1a n+(−1)n}是否为等比数列，并说明理由；（2）设b n=a n sin(2n−1)π2，数列{b n}的前n项和为T n，求证：对任意的n∈N∗,T n<47.。
放缩法妙解不等式问题(学生版)
放缩法妙解不等式问题【典型例题】例1.已知函数f(x)=1ae x-1+x，其中a∈R且a≠0．(1)设a>0，过点A-1,-12作曲线C:y=f(x)的切线(斜率存在)，求切线的斜率；(2)证明：当a=1或0<a≤2e时，f(x)≥12ax(x≥-1)．例2.已知函数f(x)=(x2-2x+2)e x-12ax2(a∈R)．(1)当a=e时，求函数f(x)的单调区间；(2)证明：当a≤-2时，f(x)≥2．例3.已知函数f(x)=2ln x+sin x+1，函数g(x)=ax-1-b ln x(a，b∈R，ab≠0)．(1)讨论g(x)的单调性；(2)证明：当a=b=1时，g(x)≥0．(3)证明：f(x)<(x2+1)e sin x．例4.已知函数f(x)=ae x(a∈R)，g(x)=ln xx+1．(1)当a=1e时，求函数y=f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)当a≥1e时，证明：f(x)-g(x)≥0．例5.已知函数f(x)=e x-ax3．(1)若x∈(0,+∞)，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围；(2)证明：当a=23时，f(x)>0；(3)证明：当n∈N*时，1e +2e2+3e3+⋯+ne n<3．例6.已知函数f(x)=ae x，g(x)=ln(x-1)+1．(1)设G(x)=f(x)-g(x)，x=3是G(x)的极值点，求函数G(x)的单调区间；(2)证明：当a≥1e2时，f(x)≥g(x)．例7.已知函数f(x)=e x-1-x-ax2，其中e为自然对数的底数．(1)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(2)若x>0，证明：(e x-1)ln(x+1)>x2．【同步练习】1.已知函数f(x)=ln(x-a)x．(1)若a≤-1．证明f(x)在(0,+∞)上单调递减；(2)若x>0，证明：e x ln(x+1)>x2+ln(x+1)(其中e=2.71828⋯是自然对数的底数)2.已知函数f(x)=x2+x+e2x ln x，x∈(e,+∞)．(1)证明：当x∈(e,+∞)时，ln x>3x-ex+e；(2)若存在x0∈[n，n+1)(n∈N*)使得对任意的x∈(e,+∞)都有f(x)≥f(x0)成立．求n的值．(其中e=2.71828⋯是自然对数的底数)．3.已知函数f(x)=x ln x-ae x+a，其中a∈R．(1)若f(x)在定义域内是单调函数，求a的取值范围；(2)当a=1时，求证：对任意x∈(0,+∞)，恒有f(x)<cos x成立．4.已知函数f(x)=e-x13x3-2x+2sin x+1，g(x)=sin x+cos x+x2-2x．(1)求g(x)在点(0，g(0))处的切线方程；(2)证明：对任意的实数a≤1，g(x)≥af(x)在[0，+∞)上恒成立．5.已知函数f(x)=e x+cos x-2，f′(x)为f(x)的导数．(1)当x≥0时，求f′(x)的最小值；(2)当x>-π2时，xex+x cos x-ax2-2x≥0恒成立，求a的取值范围．6.已知函数f(x)=ae x-b ln x，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=1e -1x+1．(Ⅰ)求a，b；(Ⅱ)证明：f(x)>0．7.已知函数f(x)=ae x-b ln xx，在点(1，f(1))处的切线方程为y=(e-1)x+1．(1)求a，b；(2)证明：f(x)>1．8.已知函数f(x)=me x-ln x-1．(Ⅰ)当m=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(Ⅱ)当m≥1时，证明：f(x)>1．-1，a∈R．9.已知函数f(x)=ln x+ax(1)若函数f(x)的最小值为0，求a的值．(2)证明：e x+(ln x-1)sin x>0．。
证明不等式稿——放缩技巧(网上搜集)
放缩技巧一 直接放缩例题1已知数列a 1=3,a n *N ∈a 1+n =(a n -1)2+1,求证：a 1a 2∙…∙a n <2n2例题2数列{a n }满足S n =2n a n ，（n *N ∈），S n 是数列{a n }的前n 项和，a 2=1, (1)求S n ； （2）证明：23<(1+1a 21+n )n <2例题3已知数列{a n }满足a n 》0，且对一切的n *N ∈有∑=ni i 13a=S 2n,其中S n =∑=n i i 1a ，∑=ni i13a=a 31+a 32+…+a 3n(1) 求证：对一切的n *N ∈，都有a 21n +-a 1+n =2 S n ;(2)求数列{a n }的通项公式；（3）求证：∑+=11k 2n kak<3二 裂项放缩常见裂项公式：111)1(1+-=+n n n n)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n)211(21)2(1+-=+n n n n ])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n!)!1(!n n n n -+=⋅)!1(1!1)!1(+-=+n n n n in i n i n C C C 111----=n n n-+=++11n 1例题4已知数列{a n }满足a 0=21, a n =a 1n -+21na 21n -, n *N ∈，求证：21n ++n < a n <n例题5数列{a n }为等差数列，a n 为正整数，其前n 项和为S n ，数列{b n }为等比数列，且a 1=3， b 1=1， 数列{b n a }是公比为64的等比数列，b 2S 2=64, (1)求a n ,b n (2) 求证：+1S 1+2S 1…+n S 1<43,例题6在数列{a n },{b n }中，a 1=2，b 1=4，且a n ,b n ，a 1+n 成等差数列，b n ，a 1+n ，b 1n +成等比数列 （n *N ∈）（1）a 2, a 3, a 4及b 2, b 3, b 4,由此猜测{a n },{b n }的通项公式，并证明你的结论； （2）证明++++22111a 1b a b …+n n b a +1<125,例题7设函数f(x)=(1+n 1)n （n *N ∈且n ≥I, x N ∈）, (1)当x=6时，求(1+n1)x 的展开式中二项式系数最大的项； （2）对任意的实数x ，证明：)((),(2)2()2(''x f x f f x f >+是f(x)的导函数）； （3）是否存在a N ∈，使得an<k nk )11(1k ∑=+<(a+1)n 恒成立？若存在，证明你的结论，并求出a 的值；若不存在，说明理由。
导数放缩法例题
导数放缩法是一种在解决数学问题时常用的方法，其核心原理是利用切线进行放缩，可以看成一种局部线性化的思想。
以下是使用导数放缩法的一个例题：
例题：求函数f(x) = x^2 在区间[0, 2] 上的最大值和最小值。
解：首先，我们求出函数f(x) 的导数f'(x) = 2x。
然后，我们在区间[0, 2] 上找到所有使得f'(x) = 0 的点，即x = 0 和x = 2。
接下来，我们使用导数放缩法来估计函数在这些点之间的值。
我们选择一个点x = 1，它在0 和 2 之间，然后计算f(1) = 1。
然后，我们使用切线来估计函数在x = 1 附近的值。
切线的斜率是f'(1) = 2，切点是(1, 1)，所以切线方程是y = 2x - 1。
现在，我们可以使用切线来放缩函数在区间[0, 2] 上的值。
在区间[0, 1] 上，切线始终在函数下方，因此函数的最小值出现在x = 0，即f(0) = 0。
在区间[1, 2] 上，切线始终在函数上方，因此函数的最大值出现在x = 2，即f(2) = 4。
因此，函数f(x) = x^2 在区间[0, 2] 上的最小值是0，最大值是4。
以上是使用导数放缩法求解函数在给定区间上的最大值和最小值的一个例题。
通过求出函数的导数，找到使得导数为零的点，然后使用切线进行放缩，我们可以得到函数在给定区间上的最大值和最小值。
第14讲 放缩法证明不等式(解析版)2023年新高考数学导数压轴题专题突破(尖子生专用
f (x)max
f (e) lne e e
0；
设函数 g(x) x2 lnx ， g(x) 2x 1 2x2 1 ， xx
当 x (0, 2 ) 时， g(x) 0 ，当 x ( 2 ， ) 时， g(x) 0 ，
2
2
g(x)min
g(
2 ) 1 1 ln 1 1 1 ln2 2 22222
h(x) f (x) (3x 1)h(0) 0 ，即 f (x)3x 1 ．
（3）证明：方法一：当 a b 1 时， g(x) x 1 lnx ．
由（1）知， g(x)min g （1） 0 ， g(x) x 1 lnx 0 ，即 x 1 lnx ． 当 x 1 时， (x 1)2 0 ， (x 1)2 esin x 0 ，则 (x 1)2 esin x 1 ln[(x 1)2 esin x ] ，
令 g(x) 0 ，得 x b ，则 g(x) 在 (0, b ) 上单调递增，在 (b , ) 上单调递减；
a
a
a
（2）证明：设函数
h(x)
f
(x)
(3x
1)
，则
h( x)
2 x 1
cos x
3．
x 0
，
x
2 (0, 2] 1
，
cos
x [1
，1] ，
则 h(x)0 ，从而 h(x) 在 [0 ， ) 上单调递减，
x
x
令 g(x) ex e 1 lnx 1 ，
x
x
g(x)
(x
1)(e x x2
1)
(x
0)
，
所以 g(x) 在 (0,1) 上递减，在 (1, ) 上递增，
放缩法证明数列不等式经典例题
放缩法证明数列不等式 主要放缩技能： 1.211111111(1)(n 1)1n n n n n n n n-=<<=-++--2. ==>==<=4. =<5. 121122211(21)(21)(22)(21)(21)2121n n n n n n n n n n ---<==-------- 6. 11122(1)11(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n n n n n n +++++-==-+⋅+⋅⋅+⋅ 例1.设函数2*2()1x x n y n N x -+=∈+的最小值为n a ，最大值为n b，且n c =（1）求n c ；（2）证明：4444123111174n cc c c ++++< 例2.证明：1611780<++< 例3.已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n s ，且12n n n a s a +=，*n N ∈； （1）求证：数列{}2n s 是等差数列； （2）解关于数列n 的不等式：11()48n n n a s s n ++⋅+>-（3）记312311112,n n n n bs T b b b b ==++++，证明：312n T << 例4. 已知数列{}n a 满足：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列，且121n n n a a n ++=+； （1） 求n a；（22na ++<例5.在数列{}n a 中，已知1112,2n n n n a a a a a ++==-；（1）求n a ；（2）证明：112233(1)(1)(1)(1)3n n a a a a a a a a -+-+-++-<例6. 数列{}n a 满足：11122,1()22n n n nn a a a n a ++==++； （1）设2nn n b a =，求n b ；（2）记11(1)n n c n n a +=+，求证：12351162n c c c c ≤++++< 例7. 已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n s 满足：1,6(1)(2)n n n n s s a a >=++；（1）求n a ；（2）设数列{}n b 满足(21)1,n b n a -=并记123n n T b b b b =++++，求证：(3)231log n a n T ++>（函数的单调性，贝努力不等式，构造，数学归纳法） 例8. 已知正项数列{}n a 满足：111(1)1,1n n n n na n a a a a +++==+ ， 记2111222231111,[](2)n n b a b n a n a a a -==++++≥。
放缩法技巧及经典例题讲解
放缩法技巧及经典例题讲解 一．放缩技巧所谓放缩的技巧：即欲证A B ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使A C B ≤≤，由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”.常用的放缩技巧 （1）若0,,t a t a a t a >+>-< （2）<>11>n >=（3）21111111(1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n-=<<=->++-- （4）=<=<=（5）若,,a b m R +∈，则,a a a a mb b m b b+><+ （6）21111111112!3!!222n n -+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+（7）2221111111111(1)()()232231n n n+++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+--（因为211(1)n n n <-） （7）1111111112321111nn n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=<+++++++或11111111123222222n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+==+++ （8）1⋅⋅⋅+>⋅⋅⋅+== （9）)1(11)1(12-<<+k k k k k ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--≤！！（！k k k 1)11211（10） 12112-+<<++k k k k k【经典回放】例1、设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<.【解析】(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =； (Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n nS na n n n +=---, ()()()()321122111133n n S n a n n n -=------- 两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+--- 整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n+-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列, 所以()111na n n n=+-⨯=,所以2n a n =. (Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<； 当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-< 综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 例2：【经典例题】例1、设数列{}n a 满足12,311+-==+n a a a n n（1） 求{}n a 的通项公式； （2） 若11111,1,1++-=-=-==n n n n n n n c c d n a c c b c 求证：数列{}n n d b ⋅的前n 项和31<n S 分析：（1）此时我们不妨设)(2)1(1B An a B n A a n n ++=++++即BA An a a n n +-+=+21与已知条件式比较系数得.0,1=-=B A )(2)1(1n a n a n n -=--∴+又}{,211n a a n -∴=-是首项为2，公比为2的等比数列。
高中数学放缩法结论及例题
⑵ f (x) | x 4 | x 4 x 2 x+a
.当 x 1, 2时， x 4 x 2 x+a 4 x 2 x x+a 2 a x 2 a .
（4）
1 k2
1 k2 1
(k
1 1)( k
1)
1( 1 2 k 1
1 ) （程度小）； k 1
（5）绝对值不等式： a b ≤ a b ≤ a b ；
技巧积累:
(1)
1 n2
4 4n2
4n
4 2
1
2
1 2n
1
1 2n 1
(2) 1
1
2n
3 2n 1 3
(15)
k 2
1 1
k!(k 1)! (k 2)! (k 1) ! (k 2) !
(16) 1 n n 1(n 2)
n(n 1)
(17)
i2 1 j2 1
i2 j2
i j
1
i j
(i j)( i2 1 j2 1) i2 1 j2 1
证明 记 m = a b c d abd bca cdb dac
∵a, b, c, d 都是正数
∴m a b c d 1 abcd abca cdab dabc
m a b c d 2 ab ab cd d c
∴c>a>0，c>b>0，即 0<ac<1,0<cb<1，
放缩大全5篇
放缩大全5篇第一篇：放缩放缩法（证明数列型不等式）一、裂项放缩6n1115≤1+++Λ+2<例3.求证:(n+1)(2n+1)49n3n2例 4.已知an=4n-2n,Tn=,求证:T1+T2+T3+Λ+Tn<3.2a1+a2+Λ+an例5.已知x1=1,xn=⎧⎨二、函数放缩例111n(n=2k-1,k∈Z)++Λ+>2(n+1-1)(n∈N*),求证:x2⋅x3x4⋅x5x2nx2n+1⎩n-1(n=2k,k∈Z)ln2ln3ln4ln3nn5n+66.求证：+++Λ+n<3-(n∈N*)23436ln2αln3αlnnα2n2-n-1(n≥2)求证:(1)α≥2,α+α+Λ+α<2(n+1)23n 例7.已知a1=1,an+1=(1+112a<e)a+.证明.nnn2+n2n例8.已知函数f(x)=xlnx.若a>0,b>0,证明:f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)-f(b).第二篇：放缩法放缩法的定义所谓放缩法，要证明不等式A放缩法是不等式的证明里的一种方法，其他还有比较法，综合法，分析法，反证法，代换法，函数法，数学归纳法等。
编辑本段放缩法的主要理论依据（1）不等式的传递性；（2）等量加不等量为不等量；（3）同分子（母）异分母（子）的两个分式大小的比较。
放缩法是贯穿证明不等式始终的指导变形方向的一种思考方法。
编辑本段放缩法的常见技巧（1）舍掉（或加进）一些项。
（2）在分式中放大或缩小分子或分母。
（3）应用基本不等式放缩(例如均值不等式）。
（4）应用函数的单调性进行放缩。
（5）根据题目条件进行放缩。
编辑本段使用放缩法的注意事项（1）放缩的方向要一致。
（2）放与缩要适度。
（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）。
（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。
放缩法证明不等式例题
放缩法证明不等式一、放缩法原理为了证明不等式B A ≤，我们可以找一个或多个中间变量C 作比较，即若能判定B C ,C A ≤≤同时成立，那么B A ≤显然正确。
所谓“放”即把A 放大到C,再把C 放大到B ；反之，由B 缩小经过C 而变到A,则称为“缩”，统称为放缩法。
放缩是一种技巧性较强的不等变形，必须时刻注意放缩的跨度，做到“放不能过头，缩不能不及”。
二、常见的放缩法技巧１、基本不等式、柯西不等式、排序不等式放缩 2、糖水不等式放缩：)b a ,0m (ma mb a b >≥++≤. 3、添（减）项放缩4、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）5、逐项放大或缩小：)1n (n 1n 1)1n (n 12-<<+ 21n 2)1n (n n +<+<)12)(32(1)12(12--<-n n n )12)(12(1)12(12+->-n n n )22(21)12(12+<+n n n三、例题讲解例1：设a 、b 、c 是三角形的边长，求证cb a cb ac b a c b a -++-++-+≥3例2：设a 、b 、c ≥0，且3=++c b a ，求证abc c b a 23222+++≥29例3：已知*21().n n a n N =-∈求证：*122311...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈例４：函数f （x ）=xx 414+，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n +)(2121*1N n n ∈-+.例5：已知a n =n ，求证：∑nk=1 ka 2k＜3．例6： 已知数列{}n a ，，132a =，113(2,*)21n n n na a n n N a n --=≥∈+-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对一切正整数n ，不等式123!n a a a a n λ⋅⋅<⋅恒成立，试求正整数的最小值。
放缩法证明数列不等式经典例题
放缩法证明数列不等式经典例题放缩法证明数列不等式放缩法是一种证明数学不等式的方法，它利用一些基本的放缩技巧来推导出更复杂的不等式。
下面介绍几种常用的放缩技巧：1.$\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$证明：将右边的式子化简得到$\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{2n}-\frac{1}{2(n+1)}$，再将右边的两项合并得到$\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$。
2.$\frac{n}{n+1}<\sqrt{\frac{n}{n+1}}<\frac{n+1}{n}$证明：将右边的式子平方得到$\frac{n}{n+1}<\frac{n}{n+1}<\frac{(n+1)^2}{n(n+1)}$，再将中间的式子平方根得到$\frac{n}{n+1}<\sqrt{\frac{n}{n+1}}<\frac{n+1}{n}$。
3.$\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n(n-1)}-\frac{1}{(n+1)n}$证明：将右边的式子通分得到$\frac{1}{n(n-1)}-\frac{1}{(n+1)n}=\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{n(n-1)}$，再将右边的两项合并得到$\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n(n-1)}-\frac{1}{(n+1)n}$。
4.$\frac{2}{n(n-1)}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$证明：将右边的式子通分得到$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}=\frac{2}{n(n+1)}$，再将右边的式子倒数得到$\frac{2}{n(n-1)}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$。
数列求和中常见放缩方法和技巧含答案
数列求和中常见放缩方法和技巧一、放缩法常见公式： （1)()()111112-<<+n n n n n（2）()12122112--=-+<+=<++n n n n n n n n n （3）()()211++<+<n n n n n （4）122+>n n（二项式定理）（5）1+>x e x，1ln -<x x （常见不等式）常见不等式： 1、均值不等式； 2、三角不等式； 3、糖水不等式； 4、柯西不等式； 5、绝对值不等式；若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。
例4. 已知n ∈N*，求n 2n131211＜…++++。
2==<=，则()()()11122123221n n n++<+-+-++--1<<例5. 已知*N n ∈且)1n (n 3221a n +++⨯+⨯= ，求证：2)1(2)1(2+<<+n a n n n 对所有正整数n 都成立。
证明：因为n n n n =>+2)1(，所以2)1n (n n 21a n +=+++> ， 又2)1()1(+<+n n n n ， 所以2)1n (21n 225232)1n (n 232221a 2n +=++++=++++++< ，综合知结论成立。
例6、求证：2222111171234n ++++< 证明：21111(1)1n n n n n<=--- 222221111*********1()().1232231424n n n n ∴++++<++-++-=+-<- 此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。
nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111nn n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n例6. 已知函数1212)(+-=x x x f ，证明：对于*N n ∈且3≥n 都有1)(+>n n n f 。
典型例题：用放缩法证明不等式
用放缩法证实不等式所谓放缩法就是应用不等式的传递性,对比证标题标进行合情合理的放大和缩小的进程,在应用放缩法证题时要留意放和缩的“度”,不然就不克不及同向传递了,此法既可以单独用来证实不等式,也可所以其他办法证题时的一个主要步调.下面举例谈谈应用放缩法证题的罕有题型.一. “添舍”放缩经由过程对不等式的一边进行添项或减项以达到解标题标,这是通例思绪.例1. 设a ,b 为不相等的两正数,且a 3－b 3＝a 2－b 2,求证143＜＋＜a b . 证实：由题设得a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ,于是（a ＋b ）2＞a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ,又a ＋b＞0,得a ＋b ＞1,又ab ＜14（a ＋b ）2,而（a ＋b ）2＝a ＋b ＋ab ＜a ＋b ＋14（a ＋b ）2,即34（a ＋b ）2＜a ＋b ,所以a ＋b ＜43,故有1＜a ＋b ＜43. 例2. 已知a .b .c 不全为零,求证： 证实：因为a ab b a b b a b a b a b 22222234222++=+++=++（）＞（）≥,同理b bc c b c222+++＞,c ac a c a 222+++＞. 所以a ab b b bc c c ac a a b c 22222232++++++++++＞（） 二. 分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大,若分母变大则分式值变小,一个真分式,分子.分母同时加上统一个正数则分式值变大,应用这些性质,可达到证标题标.例3. 已知a .b .c 为三角形的三边,求证：12＜＋＋＜a b c b a c c a b+++.证实：因为a .b .c 为正数,所以a b c a a b c +++＞,b a c b a b c +++＞,c a b c a b c+++＞,所以a b c b a c c a ba abc b a b c c a b c +++＋＋＞＋＋＋＋＋＋＋＋＝1,又a ,b ,c 为三角形的边,故b +c ＞a ,则a b c +为真分数,则a b c a a b c +++＜2,同理b a c b a b c +++＜2,c a b c a b c+++＜2, 故a b c b a c c a ba abc b a b c c a b c +++++++++=＋＋＜＋＋2222. 分解得12＜＋＋＜a b c b a c c a b+++. 三. 裂项放缩若欲证不等式含有与天然数n 有关的n 项和,可采取数列中裂项乞降等办法来解题.例4. 已知n∈N*,求n 2n 131211＜…++++. 证实：因为,则11213+++ …＜（）（）…（）＜++-+-++--=-1122123221212n n n n n ,证毕.例5. 已知*N n ∈且)1n (n 3221a n +++⨯+⨯= ,求证：2)1(2)1(2+<<+n a n n n 对所有正整数n 都成立. 证实：因为n n n n =>+2)1(,所以2)1n (n n 21a n +=+++> , 又2)1()1(+<+n n n n , 所以2)1n (21n 225232)1n (n 232221a 2n +=++++=++++++< ,分解知结论成立.四. 公式放缩应用已知的公式或恒不等式,把欲证不等式变形后再放缩,可获简解.例6. 已知函数1212)(+-=x xx f ,证实：对于*N n ∈且3≥n 都有1)(+>n n n f . 证实：由题意知 )12)(1()12(212211)111()1221(112121)(+++-=+-+=+--+-=+-+-=+-n n n n n n n n n n n n n n n f ,又因为*N n ∈且3≥n ,所以只须证122+>n n ,又因为1n 21n 2)1n (n n 1C C C C C )11(2n n 1n n 2n 1n 0n n n +>+++-++=+++++=+=- 所以1)(+>n n n f . 例7. 已知2x 1)x (f +=,求证：当a b ≠时f a f b a b （）（）-<-. 证实：f a f b a b a b a b a b a b a b （）（）-=+-+=-+++=+-+++11111122222222 b a b a b a )b a (b a ba b a -=+-+<+-+<证毕.五. 换元放缩对于不等式的某个部分进行换元,可显露问题的本质,然后随机进行放缩,可达解标题标.例8. 已知c b a >>,求证0ac 1c b 1b a 1>-+-+-. 证实：因为c b a >>,所以可设t c a +=,)0u t (u c b >>+=,所以0u t >-则0tu u t t 1u 1t 1u 1u t 1a c 1c b 1b a 1>-=->-+-=-+-+-,即0ac 1c b 1b a 1>-+-+-. 例9. 已知a,b,c 为△ABC 的三条边,且有222c b a =+,当*N n ∈且3n ≥时,求证：n n n c b a <+.证实：因为a b c 222+=,可设a=csina,b=ccosa （a 为锐角）,因为01<<sina ,01<<cosa ,则当n ≥3时,sin sin n a a <2,cos cos n a a <2,所以a b c a a c a a c n n n n n n n +=+<+=(sin cos )(sin cos )22.六. 单调函数放缩依据标题特点,经由过程结构特别的单调函数,应用其单调性质进行放缩求解. 例10. 已知a,b∈R,求证b 1b a 1a b a 1b a +++≤+++. 证实：结构函数)0x (x 1x )x (f ≥+=,起首断定其单调性,设21x x 0<≤,因为0)x 1)(x 1(x x x 1x x 1x )x (f )x (f 2121221121<++-=+-+=-,所以()()21x f x f <,所以)x (f 在],0[+∞上是增函数,取b a x 1+=,b a x 2+=,显然知足21x x 0≤≤, 所以|)b ||a (|f )b a (f +≤+, 即|b |1|b ||a |1|a ||b ||a |1|b ||b ||a |1|a ||b ||a |1|b ||a ||b a |1|b a |+++≤+++++=+++≤+++.证毕.。
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放缩法典型例题
数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中,是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力.本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法,而求解途径一般有两条:一是先求和再放缩,二是先放缩再求和.
一．先求和后放缩
例1.正数数列的前项的和,满足，试求:
(1）数列的通项公式；
(2）设，数列的前项的和为,求证：
解：(１)由已知得,时,,作差
得:，所以,又因为为正数数列,所以,即是公差为２的等差数列,由，得，所以
(2)，所以
注:一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和,则采用先求和再放缩的方法来证明不等式.求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这
里所谓的差比数列,即指数列满足条件)求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和.
二.先放缩再求和
1.放缩后成等差数列，再求和
例2.已知各项均为正数的数列的前项和为,且.
(1) 求证:；
(2)求证:
解：（1)在条件中,令，得,，又由条件有,上述两式相减,注意到得
∴
所以,,
所以
(2）因为，所以,所以
;
2．放缩后成等比数列，再求和
例3.（１)设a，n∈Ｎ*,a≥２，证明:;
(2)等比数列｛ａｎ}中，，前n项的和为Ａn,且Ａ7,A９，A８成等差数列．设，
数列{ｂn}前ｎ项的和为Ｂn,证明:B n＜．
解:(1）当n为奇数时，aｎ≥ａ，于是，.
当ｎ为偶数时，a－1≥1，且a n≥a2,于是
．（2)∵，，，∴公比.
∴．.
∴.
３.放缩后为差比数列,再求和
例４．已知数列满足：,．求证：
证明：因为，所以与同号,又因为,所以，
即，即．所以数列为递增数列，所以，即,累加得:．
令，所以，两式相减得:
,所以，所以,
故得．
4.放缩后为裂项相消，再求和
例５．在m（m≥2）个不同数的排列Ｐ１P2…Pｎ中，若1≤i＜j≤m时P i>P(即前面某数大于后面某数）,则称Pｉ与Pｊ构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.
记排列的逆序数为a n,如排列21的逆序数,排列321的逆序数．j
(1)求a４、a５,并写出a n的表达式;
(２)令，证明,n=1,2,…．
(２）因为,
所以.
又因为,
所以
=.
综上，.
注：常用放缩的结论:（１)
（2）.
在解题时朝着什么方向进行放缩,是解题的关键,一般要看证明的结果是什么形式.如例２要证明的结论、为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数列,再求和即可；如例3要证明的结论为等比数列求和结果的类型,则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论为差比数列求和结果的类型，则把
通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论为裂项相消求和结果的类型,则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可.。