线性系统理论多年考题和答案

2008级综合大题[]400102110010112x x u y x⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦=&1 能否通过状态反馈设计将系统特征值配置到平面任意位置？2 控规范分解求上述方程的不可简约形式？3 求方程的传递函数；4 验证系统是否渐近稳定、BIBO 稳定、李氏稳定；（各种稳定之间的关系和判定方法！）5 可能通过状态反馈将不可简约方程特征值配置到-2，-3？若能，确定K ，若不能，请说明理由；6 能否为系统不可简约方程设计全阶状态观测器，使其特征值为-4，-5； 7画出不可简约方程带有状态观测器的状态反馈系统结构图。

参考解答： 1.判断能控性：能控矩阵21416124,() 2.000M BABA B rank M ⎡⎤⎢⎥⎡⎤==-=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦系统不完全可控，不能任意配置极点。

2按可控规范型分解取M 的前两列，并加1与其线性无关列构成1140120001P -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求得1203311066001P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦进行变换[]1120831112,0,22260001A PAP B PB c cP --⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以系统不可简约实现为[]08112022x x u y x ⎧⎡⎤⎡⎤=+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎣⎦⎣⎦⎪=⎩&3.12(1)(1)2(1)()()(4)(2)(1)(4)(2)s s s G s c sI A B s s s s s --+-=-==-++-+4.det()(4)(2)(1)sI A s s s -=-++，系统有一极点4，位于复平面的右部，故不是渐近稳定。

12(1)()()(4)(2)s G s c sI A B s s --=-=-+，极点为4，-2，存在位于右半平面的极点，故系统不是BIBO 稳定。

系统发散，不是李氏稳定。

5.可以。

令11228,12Tk k k k A Bk k +⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则特征方程[]2112()det ()(2)28f s sI A Bk s k s k k =-+=-++--期望特征方程*2()(2)(3)56f s s s s s =++=++比较上两式求得：728Tk -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦6.可以。

设12l L l ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则11222821222l l A LC l l --⎡⎤-=⎢⎥--⎣⎦特征方程22121()(222)1628f s s l l s l l =+-++--期望特征方程*2()(4)(5)920f s s s s s =++=++比较得：103136L ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则：2043310733 A LC⎡⎤-⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦观测器方程为：204101333107013336x x u y⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦&7.框图2007级线性系统理论试题及答案一、简述：1．线性性质：一个系统对任何输入1u和2u及任何实数1α和2α，均有()()()11221122H u u H u H uαααα+=+，称其为线性的。

2．松弛性：t时刻松弛:输出(),ty∞唯一地由(),tu∞所激励时，称系统在t时刻松弛。

3．时不变：一个系统的特性不随时间而变化。

4．串联系统：系统只有1个输入，第一个子系统输出作为第二个子系统的输入，第二个子系统的输出作为总的输出。

5．状态转移矩阵：令()tψ是()x A t x=&的任一基本矩阵，对(),-∞∞中的t，t称()()()100,t t t t-Φ=ψψ是()x A t x=&的状态转移矩阵。

二、101021x x u ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭& [12]y x = 1．验证能控、能观；2．是否稳定、渐近稳定，分别为什么；3．假设初始状态未知，能否找到一个()0,u +∞使y e =；4．()000x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求()y t 的单位阶跃响应，()1000t u t t ≥⎧=⎨<⎩；5．能否配置状态反馈使()2,3--是新的极点？若能，找出K ，若不能，说明理由； 6．设计全维观测器，使极点为()4,5--，画出结构图。

解：1．[]11212rank BAB rank ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，可控， 12214C rank rank CA ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,可观； 2．系统为线性时不变的，故 稳定性与渐近稳定性等价。

令()det 0sI A -=，即()()120s s --=，所以特征值为11s =、22s =，不稳定，亦不渐近稳定；3．()()()00tA t At y t Ce x Ce Bud ττ-=+⎰[][]1022()020112121tt t t t x e e ud x e e τττ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰()2210202t t t t e x e x e e u =+++-令()y t e =，由于10x ，20x 未知，u 无解，找不到；4．由3得：()()22220002000t t tttte e t y e e e e u t ⎧+-≥=⋅+⋅++-=⎨<⎩5．设[]12K k k =，121212k k A BK k k +⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦令()122121det 56det 2s k k sI A BK s s ks k ---⎡⎤-+=++=⎡⎤⎢⎥⎣⎦---⎣⎦解得：112k =，220k =-， 因此[]1220K =-6． 设[]12TL l l =,11221222l l A LC l l --⎡⎤-=⎢⎥--⎣⎦令()1122212det 920det 22s l l sI A LC s s l s l -+⎡⎤--=++=⎡⎤⎢⎥⎣⎦-+⎣⎦解得：130l =-，221l =，因此[]3021TL =-. （结构图 略）三、确定参数a 、b 的范围，使系统能控能观：1．11002100031a x x u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦& []001y x = 2．00100101111x x u a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦& []01y b x = 3．使李氏稳定，74001100a x x ---⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦& 解：1．2014015139a a U BABA B -⎡⎤⎢⎥⎡⎤==-⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，令3rankU =，得1a ≠- 22001003C V CA CA CA ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,2rankV ≤，a 无解，所以 找不到合适的a 的范围使系统能控能观；2．20111112a a U BABA B a a a +⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥++⎣⎦，令3rankU =，得1a ≠2011120C b V CA b b b CA b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦，令23det 0V b b =+≠，得0b ≠且1b ≠- 所以，当1a ≠，0b ≠且1b ≠-时，系统可控可观； 3．()32det 47sI A s as s -=++- ()320123a s a s a s a +++ 要让()det sI A -根小于0，有两种做法：①根据经验：21030j a a a a a >⎧⎨>⎩⇒07047a a >⎧⎪->⎨⎪>-⎩⇒a 无解②劳斯判据：321147477s s a a sa s ---令第一列元素均大于零，a 无解，因此肯定有一个正根 所以，该系统找不到合适的a 使系统李氏稳定。

四、1．()222332421s s s G S s s s +⎡⎤⎢⎥++=⎢⎥+⎢⎥⎢⎥++⎣⎦，实现若当标准型；解：()()202011111250121G s s s s -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦110001010021x x u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦& 02105201y x u -⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦注：①A 为若当标准型，B 为[]001001TLM L，C 为每个λ对应的[]N 按从高到低幂数排列，E 为直接传递部分（常数）；②以上仅对单输入正确，多输入需分解N 为i i C B ⨯（满秩分解）。

2．按行展开，实现不可简约实现，大家看作业吧，这个题目看不清楚；3．002000012000125212001202x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦&，实现可控标准型。

（可控标准型当然必然可控了，我擦） 解：2221212120002400122101221052220012BABA B b b Ab Ab A b A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L13u =，31u =，重排得12111120020012012520012P b Ab A b b -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦求得1021111000.50000.25000.5P --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦取1P 的第三行（u1=3）为[]10.5000h =1P 的第四行为[]20.25000.5h =-计算1h 、1h A 、21h A 、2h ，得1122120.5000010000100.25000.5h h A P h A h ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 因此得122000010000101002P -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以12201000010********A P AP -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦,200001201B P B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 则可控标准型为：010000001000312612200001xx u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦&五、100011001A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，100101B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，100011C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 1．叙述并证明分离性原理；2．要用状态反馈将系统特征值配置到{}123---，并用降维观测器实现所需要的反馈。

解：1．组合系统：()ˆˆˆ,x Ax BKx Br xA LC BK x Ly Br y Cx =++⎧⎪⎨=-+++=⎪⎩&&即ˆˆx A BK x B r LC A LC BK x B x⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&& 作等价变换 0ˆPx I x x I I x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&%14243 新的动态方程为：00x A BK BK x B r x A LC x +-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&%%[]0x y C x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦%此系统闭环特征多项式与原系统相同，均为()()2det det det 0n n n A BKBK sI sI A BK sI A LC A LC ⎧+-⎫⎡⎤-=-+--⎡⎤⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎣⎦⎩⎭上式表明，状态反馈设计与估计器设计互不影响，分开进行；2．⑴设123456k k k K k k k ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1234564561111k k k A BK k k k k k k -+⎡⎤⎢⎥+=++⎢⎥⎢⎥+⎣⎦令()()()()det 123sI A BK s s s -+=+++⎡⎤⎣⎦解得（特解）12340k k k k ====，512k =-，65k =即0000125K ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦⑵取100011001C P R ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦,则1100011001P -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以1100011001A PAP --⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦,100201B PB ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦,1100010C CP -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ 所以111001A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,[]2100A =,211A = 11002B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,[]201B =,11001C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,200C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 令[]12L l l =，需观测的状态数为一阶，[]12Tu u u =，[]12Ty y y =()()()()22122121112212zA LA zB LB u A LA A LA L y ⎡⎤=-+-+-+-⎣⎦& ()()()2211221*********l z l u l u l l l y l y =--+-+--[]211210ˆI y y x P Q Q L I Ly z z -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 因为状态反馈极点为{}123---，令估计器极点为-4，取10l =，26l =估计器方程：224925zz u y =---&010ˆ105105x z y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦六、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原点平衡状态0e x =是否为大范围渐进稳定。