离散系统理论

t
(a) 连续信号
r(t) _ e(t) e*(t) A/D
t
(b) 离散信号
数字控制器 数字计算机 u*(t) D/A uh(t)
t
(c) 离散量化信号
被控对象 c(t)
测量元件 计算机控制系统典型原理图
离散控制系统的特点
1. 校正装置效果比连续式校正装置好，且由软件实 校正装置效果比连续式校正装置好， 现的控制规律易于改变，控制灵活。 现的控制规律易于改变，控制灵活。 2. 采样信号，特别是数字信号的传递能有效地抑制 采样信号， 噪声，从而提高系统抗干扰能力。 噪声，从而提高系统抗干扰能力。 3. 可用一台计算机分时控制若干个系统，提高设备 可用一台计算机分时控制若干个系统， 利用率。 利用率。 4. 可实现复杂控制规律，且可以在运行中实时改变 可实现复杂控制规律， 响应参数。 响应参数。
♣8.2.2 信号复现及零阶保持器 信号复现
8.2.1
将数字信号转换复原成连续信号的过程称信号复现。 将数字信号转换复原成连续信号的过程称信号复现。该装 置称为保持器或复现滤波器。 置称为保持器或复现滤波器。 零阶保持器 零阶保持器是最简单也是工程中使用最广泛的保持器。 零阶保持器是最简单也是工程中使用最广泛的保持器。零 阶保持器的输入输出特性可用下图描述。 阶保持器的输入输出特性可用下图描述。
8.3 Z变换与Z反变换 变换与Z
♣8.3.1 Z变换 变换 令z=eTs ,则
性质 8.3.2
*
动画演示
*
∞
8.1 8.2 8.4 8.5 8.6
∞ − nTs n= 0
Z变换的定义 1. Z变换的定义 E ( s ) = e *[e) =t∑ =(nT )e((nT nT ) 由上节已知 L( t ( )] e ∑ δ t − )e
∞
E ( Z ) = ∑ nT ⋅ z − n
z = z−1
n= 0
∞
1 z (| z |> 1) = −1 z −1 1− z
∑z
n=0
∞
−n
∑ ( − n ) z − n −1 =
n= 0
∞
−1 ( z − 1) 2
两边同乘(-Tz)，得单位斜坡信号的z变换 ，得单位斜坡信号的 变换 两边同乘
∑ nT ⋅ z
z 1 (| z |> 1) = −1 z −1 1− z
(3) 单位理想脉冲序列 e(t)=δT(t) 单位理想脉冲序列
E ( z ) = ∑ δ T ( nT ) z − n = 1 + z -1 + z - 2 + K =
n=0
(4) 单位斜坡信号 e(t)=t，则 ， 单位斜坡信号 斜坡 对比(2)中结果， 对比 中结果，有 中结果 两端对z求导数，得 两端对 求导数， 求导数
8.2 信号的采样与保持
♣ 8.2.1 采样过程与采样定理 8.2.2 8.1 8.3 8.4 8.5 8.6 采样过程 数学描述： 数学描述：把连续信号变换为脉冲序列的装置称为采 样器，又叫采样开关。采样过程可用下图表示。 样器，又叫采样开关。采样过程可用下图表示。
e(t) e(t) S t
∞
e*(t) e*(t) t
典型信号的Z 3. 典型信号的Z变换 (1) 单位脉冲函数 e(t)=δ(t) 单位脉冲函数 脉冲 (2) 单位阶跃函数 e(t)=1(t) 单位阶跃函数 阶跃
∞ n= 0
∞
E ( z ) = ∑ e( nT ) z − n = 1z 0 = 1
n= 0
∞
E ( z ) = ∑ 1( nT ) z − n = 1 + z -1 + z - 2 + K =
−1
参照(2)和 得 参照 和(5),得
z z E ( z ) = Z [1( t ) − e ] = − z − 1 z − e −T z (1 − e −T ) = ( z − 1)( z − e −T )
−t
4. Z变换的性质
8.3.1
8.3.2
(1) 线性定理 线性定理 为常数， 若 E1(z)=Z[e1(t)]，E2(z)=Z[e2(t)]，a为常数，则 ， ， 为常数 Z[e1(t)+e2(t)]= E1(z)+ E2(z)，Z[ae(t)]=a E(z) ， (2) 实数位移定理 实数位移定理 若 E(z)=Z[e(t)]， ， k −1 k 则 Z[e(t-kT)]=z-kE(z), Z[e(t+kT)]= z [ E ( z ) − ∑ e( nT ) z − n ] n= 0 例8.2 已知e(t)=1( -T),求Z变换 (z)。 已知 ( )=1(t- ),求 变换E( ) )=1( ), 变换 z 1 Z [1( t − T )] = z − 1 ⋅ z [1( t )] = z − 1 ⋅ = 解： z −1 z −1 (3) 复数位移定理 复数位移定理 已知e 的 变换为 变换为E(z) ，则有 已知 (t)的Z变换为 Z[e(t)⋅ e m at ]=E(z ⋅e ±aT) ⋅ 已知e( )= )=t 变换E( ) 例8.3 已知 (t)= ⋅e-at,求Z变换 (z)。 变换 已知单位斜坡信号的z变换为 解：已知单位斜坡信号的 变换为 Z [ t ] = 根据复数位移定理， 根据复数位移定理，有 Z [ t ⋅ e
n=0
−n
Tz , ( z > 1) = 2 ( z − 1)
(5) 指数函数 e(t)=e-at(a为实常数〕，则 指数函数 为实常数〕 为实常数
E(Z ) =
∑e
n=0
∞
− anT
⋅ z −n (*)
= 1 + e − aT ⋅ z − 1 + e − 2 aT ⋅ z − 2 + e − 3 aT ⋅ z − 3 + L
采样定理 ---设计控制系统必须严格遵守的一条准则。 设计控制系统必须严格遵守的一条准则。 设计控制系统必须严格遵守的一条准则 1. 问题的提出 连续信号e( )经过采样后，只能给出采样点上的数值， 连续信号 (t)经过采样后，只能给出采样点上的数值，不能知 道各采样时刻之间的数值。从时域上看，采样过程损失了e( ) 道各采样时刻之间的数值。从时域上看，采样过程损失了 (t)所含 的信息。 的信息。 怎样才能使采样信号e 大体上反映e(t)的变化规律呢 大体上反映 的变化规律呢？ 怎样才能使采样信号 *(t)大体上反映 的变化规律呢？
(e −e )⋅ z
2j
利用(*)、 利用 、(**)式，有 式
∞ 1 ∞ jωnT − n [∑ ( e = ⋅ z ) − ∑ (e − jωnT ⋅ z − n )] 2 j n= 0 n= 0
1 z z 1 z(e jωT − e − jωT ) E(z) = [ ]= [ 2 ] − jωT jωT − jωT − jωT 2j z−e 2 j z − z (e z−e )+1 +e z ⋅ sin ωT = 2 z − 2 z cos ωT + 1
E (z) =
∑ e ( nT ) z
n=0
∞
−n
=e(0)+e(T)z-1+e(2T)z-2+…
n=0
即为Z变换的定义式。 即为 变换的定义式。 变换的定义式 变换, 称E(z)为e*(t)的Z变换 记作 Z[e*(t)]=E(z), 或 Z[e(t)]=E(z) 为 的 变换 Z变换方法 2. Z变换方法 (1) 级数求和法 变换的定义式展开： 将Z变换的定义式展开： 变换的定义式展开 E(z)=e(0)+e(T)z-1+ e(2T)z-2+…+ e(nT)z-n+… 对于常用函数Z变换的级数形式 都可以写出其闭合形式。 变换的级数形式， 对于常用函数 变换的级数形式，都可以写出其闭合形式。 (2) 部分分式法 先求出已知连续时间函数e(t)的拉氏变换 的拉氏百度文库换E ； ① 先求出已知连续时间函数 的拉氏变换 (s)； 展开成部分分式之和的形式； ② 将E (s)展开成部分分式之和的形式； 展开成部分分式之和的形式 求拉氏反变换，再求Z变换 变换E(z)。 ③ 求拉氏反变换，再求 变换 。
1 jω t ( e − e − jω t ) 正弦信号 (6) 正弦信号 e(t)=sin ωt , 因为 sin ωt = ∞ 2j 1 jωnT 所以 − jωnT −n
E(z) = ∑
n= 0
这是一个公比为(e 这是一个公比为 -aT⋅z-1)的等比级数，当| e-aT ⋅z-1 |<1时，级数 的等比级数， 时 1 z 收敛,则 收敛 则可写成闭合形式 E ( Z ) = (**) = − aT −1 − aT 1− e z z−e
e*(t) e*(t) t
零阶保持器
eh(t) eh(t) t
零阶保持器的数学表达式为e(nT+△t)=e(nT)； 其脉冲响应 △ 零阶保持器的数学表达式为 ； 为gh(t)=1(t)-1(t-T)，传递函数为 ， 1 e −Ts 1 − e −Ts Gh ( s) = L[ gh (t )] = − = s s s
e*(t)=e(t)δT(t), 其中δ T ( t ) = ∑ δ ( t − nT ) 为理想单位脉冲序列。则： 为理想单位脉冲序列。 ∞ ∞ n= 0 * * − nTs * e ( t ) = ∑ e( nT )δ ( t − nT )对上式取拉氏变换 得 E ( s) = L[e (t )] = ∑ e(nT )e 对上式取拉氏变换,得 ∞ n= 0 n= 0 anT ∗ at,试写出 *(t)表达式。 解： ( t ) = e 例8.1 e(t)=e 试写出e 表达式。 试写出 表达式 ∑0 e ⋅ δ ( t − nT ) n= 物理意义： 物理意义：可看成是单位理 被输入信号e(t)进 想脉冲串δT (t) 被输入信号 进 行调制的过程，如右图所示。 行调制的过程，如右图所示。 在图中， 在图中，δT(t)为载波信 为调制信号； 号；e(t)为调制信号； e*(t) 为理想输出脉冲序列。 为理想输出脉冲序列。
r(t) _ e(t) e*(t) A/D 数字控制器 数字计算机 u*(t) D/A uh(t) 被控对象 c(t)
测量元件 计算机控制系统典型原理图
A/D：模数转换器，将连续的模拟信号转换为离散的数字信号。 ：模数转换器，将连续的模拟信号转换为离散的数字信号。 包括采样与量化两过程。 包括采样与量化两过程。 D/A：数模转换器，将离散的数字信号转换为连续的模拟信 数模转换器， 包括解码与复现两过程。 号。包括解码与复现两过程。
t (a)连续信号 连续信号
(b)离散信号 离散信号
t
2. 定性分析 如果连续信号 )变化缓慢（ 连续信号e( 如果连续信号 (t)变化缓慢（最大角频率ωmax较低〕，而采样 较低〕 角频率ωs比较高（即采样周期T=2π/ωs较小〕，则e*(t)基本上能反 较高（即采样周期T=2π 较小〕 基本上能反 T=2 的变化规律。 映e(t)的变化规律。 3. 采样定理（香农定理） 采样定理（香农定理） 如果采样器的输入信号最高角频率为ω 如果采样器的输入信号最高角频率为 max，则只有当采样频率 ωs≥2ωmax,才可能从采样信号中无失真地恢复出连续信号。 才可能从采样信号中无失真地恢复出连续信号。 才可能从采样信号中无失真地恢复出连续信号
第八章 离散系统理论
8.1 离散系统的基本概念 8.2 信号的采样与保持 8.3 Z变换与Z反变换 变换与Z 8.4 离散系统的数学模型 8.5 稳定性与稳态误差 8.6 离散系统的动态性能分析 本章作业
End
8.1 离散系统的基本概念
有关概念
8.2 8.3 8.4 8.5 8.6
1.离散信号：仅定义在离散时间上的信号称离散信号，离散信 .离散信号：仅定义在离散时间上的信号称离散信号， 号以脉冲或数码的形式呈现。 号以脉冲或数码的形式呈现。 2. 离散系统：系统中有一处或多处为离散信号的系统称离散系统。 离散系统：系统中有一处或多处为离散信号的系统称离散系统。 典型的计算机控制系统即为离散系统的一种。其原理图如下： 典型的计算机控制系统即为离散系统的一种。其原理图如下：
1 ( 7 ) 设E ( s ) = , e ∗ ( t )的z变换 : s( s + 1)
进行部分分式展开， 进行部分分式展开，有
1 1 1 E ( s) = = − s( s + 1) s s + 1 再取拉氏反变换
1 1 e( t ) = L [ − ] = 1( t ) − e − t s s+1