江苏省高考数学 真题分类汇编 立体几何

O

D1A1

C1B1A

C

D B

七、立体几何

（一）填空题 1、（2009江苏卷8）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 .

【解析】 考查类比的方法。体积比为1：8

2、（2009江苏卷12）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； （2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；

（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； （4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。 上面命题中，真命题．．．

的序号 （写出所有真命题的序号）. 【解析】 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。真命题．．．的序号是(1)(2)

3、（2012江苏卷7）．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥D D BB A 11-的体积为 cm 3

.

【解析】如图所示，连结AC 交BD 于点O ，因为 平面D D BB ABCD 11⊥，又因为

BD AC ⊥，所以，D D BB AC 11平面⊥，所以四棱锥D D BB A 11-的高为AO ，根据题

意3cm AB AD ==，所以2

2

3=

AO ，又因为32cm BD =，12cm AA =，故矩形D D BB 11的面积为22cm ，从而四棱锥D D BB A 11-的体积

313226cm 32

V =⨯=.

D

A

B

C

1C 1D 1A

1B

【点评】本题重点考查空间几何体的体积公式的运用.本题综合性较强，结合空间中点线面的位置关系、平面与平面垂直的性质定理考查.重点找到四棱锥D D BB A 11-的高为AO ，这是解决该类问题的关键.在复习中，要对空间几何体的表面积和体积公式记准、记牢，并且会灵活运用.本题属于中档题，难度适中.

4、（2013江苏卷8）8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1

AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则

=21:V V 。

答案： 8．1:24

（二）解答题

1、(2008江苏卷16)在四面体ABCD 中，CB= CD, AD ⊥BD ，且E ,F 分别是AB,BD 的中点， 求证：（Ⅰ）直线EF ∥面ACD ；

（Ⅱ）面EFC ⊥面BCD ．

【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．

（Ⅰ）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ， ∵EF ⊄面ACD ，AD ⊂ 面ACD ，∴直线EF ∥面ACD ．

（Ⅱ）∵ AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴ EF ⊥BD.

∵CB=CD, F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD. 又EF I CF=F ，∴BD ⊥面EFC ．∵BD ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD ．

江西卷．解 ：（1）证明：依题设，EF 是ABC ∆的中位线，所以EF ∥BC ， 则EF ∥平面OBC ，所以EF ∥11B C 。

又H 是EF 的中点，所以AH ⊥EF ，则AH ⊥11B C 。 因为OA ⊥OB ，OA ⊥OC ， 所以OA ⊥面OBC ，则OA ⊥11B C ， 因此11B C ⊥面OAH 。

（2）作ON ⊥11A B 于N ，连1C N 。因为1OC ⊥平面11OA B ，

A B

C

1

A D E

F 1

B 1

C B 1

C 1

A 1

H

F

E C

B A O

z

N M

B C 1

A 1

H

F

E C

B

A

O

根据三垂线定理知，1C N ⊥11A B ，1ONC ∠就是二面角111O A B C --的平面角。

作EM ⊥1OB 于M ，则EM ∥OA ，则M 是OB 的中点，则1EM OM ==。 设1OB x =，由

111OB OA MB EM =得，3

12

x x =-，解得3x =， 在11Rt OA B ∆中，2

2

11113

52A B OA OB =+=，则，1

111

35OA OB ON A B ⋅==。 所以1

1tan 5OC ONC ON

∠==，故二面角111O A B C --为arctan 5。

解法二：（1）以直线OA OC OB 、、分别为x y 、、z 轴，建立空间直角坐标系，O xyz -则

11(2,0,0),(0,0,2),(0,2,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,,)22

A B C E F H

所以1111(1,,),(1,,),(0,2,2)2222

AH OH BC =-==-u u u r u u u r u u u

r

所以0,0AH BC OH BC ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r

所以BC ⊥平面OAH

由EF ∥BC 得11B C ∥BC ，故：11B C ⊥平面OAH (2)由已知13(,0,0),2

A 设1(0,0,)

B z

则111

(,0,1),(1,0,1)2

A E E

B z =-=--u u u r u u u r 由1A E u u u r 与1EB u u u r 共线得:存在R λ∈有11

A E E

B λ=u u u r u u u r 得

11

3(0,0,3)2

1(1)

z B z λ

λ⎧-=-⎪⇒=∴⎨⎪=-⎩ 同理:1(0,3,0)C 1111

33(,0,3),(,3,0)22

A B AC ∴=-=-u u u u r u u u u r 设1111(,,)n x y z =r

是平面111A B C 的一个法向量,

则3

3023302

x z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩令2x =得1y x == 1(2,1,1).n ∴=u r

又2(0,1,0)n =u u r 是平面11OA B 的一个法量 126

cos ,411n n ∴<>=

=

++u r u u r