空间正交分解定理

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

教

学

目

标

1.知识与技能 （1）．理解空间向量与有序数组之间的1-1对应关系 （2）．掌握投影定理、分向量及方向余弦的坐标表示

2.过程与方法 旧知引入，类比平面向量，升维到空间。通过分析、推导让学生掌握空间直角坐标系的概念，会确定点的坐标，掌握空间向量坐标运算的规律。

3.情感、态度与价值观 (1) 培养学生发现问题，善于独立思考，学会分析问题和创造性解决问题的思维品质；

(2) 培养学生类比能力、空间思维能力、运算能力。

（3）通过学生对问题的探究思考，广泛参与，提高学习质量。

教学重点 空间向量基本定理，坐标

教学难点 向量正交分解

教学方法 讲练结合、通过观察.类比.思考.交流和讨论等

教学过程： 备 注 活动一：创设情景、引入课题 （5分钟）

问题1：回忆上一节课学习过的内容：什么叫空间向量的夹角及范围？空间向量的数量

积的概念？表示？性质？运算律？

问题2：说说平面向量的基本定理？正交分解？

由平面向量的基本定理，对平面内的任意向量a ，均可分解为不共线的两个向量11a λ和

22a λ，使1122a a a λλ=+. 如果12a a ⊥时，这种分解就是平面向量的正交分解. 如果取

12,a a 为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量,i j ，则存在一对实数x 、y ，使

得a xi y j =+，即得到平面向量的坐标表示(,)a x y =.

今天我们将在前一节课的基础上，进一步学习空间向量的正交分解及其坐标表示并进行

一些简单的应用．

点题：今天我们学习“空间向量的正交分解及其坐标表示”

活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）

一、空间向量

类比：由平面向量的基本定理,推广到空间向量，结论会如何呢？

(1)空间向量的正交分解：对空间的任意向量a ，均可分解为不共面

的三个向量11a λ、22a λ、33a λ，使112233a a a a λλλ=++. 如果

123,,a a a 两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解.

问题3：（书本P93探究）在空间中，如果用任意三个不共面向量

,,a b c 代替两两垂直的向量123,,a a a ，你能得到类似的结论吗？

1、空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任

一向量p ，存在有序实数组{,,}x y z ，使得p xa yb zc =++. 把

{,,}a b c 叫做空间的一个基底（base ），,,a b c 都叫做基向量.

2. 单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，

且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i ,j ,k ｝

表示．

单位——三个基向量的长度都为1；正交——三个基向量互

相垂直．

选取空间一点O 和一个单位正交基底｛i ,j ,k ｝，以点O 为原点，分别以i ,j ,k 的方向为正方向建立三条坐标轴：x 轴、y 轴、z 轴，得到空间直角坐标系O -xyz ，

3. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a ，且设i 、j 、k 为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使a ＝1a i ＋2a j ＋3a k ．

活动三：合作学习、探究新知（18分钟）

例4：如图：M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，

Q 分别MN 的三等分点，用向量,,,OA OB OC →→→表示OP OQ →→和

解略：书本P94页

练习：书本P94：1、2、3 活动四：归纳整理、提高认识（2分钟）

1．什么叫空间向量的基本定理？

2．什么叫正交分解？如果坐标表示一点？

活动五：作业布置、提高巩固

1． 书面作业：书本P98：7、9、11