利用指幂对函数单调性进行大小比较(易)
专题04比较大小(解析版)
《比较大小》专项突破高考定位比较大小题型每年必考，而且以多种形式出现，可以囊括高中各部分知识，综合性极强，该题型很好的考察了学生的综合素养。
考点解析（1）特殊值法（2）单调性法（3)基本不等式法（4）放缩法（5）图像法（6）作差法（7）作商法（8）构造法（9）反证法题型解析类型一、特殊值法例1-1．已知111,,,a b a M a N a P b a b <<===，则,,M N P 的大小关系正确的为（） A ．N M P << B ．P M N <<C ．M P N <<D ．P N M <<【答案】B【分析】根据指数函数与幂函数的单调性即可求解.【详解】 解：111a b <<，01b a ∴<<<，∴指数函数x y a =在R 上单调递减，b a a a ∴>，即N M >，又幂函数a y x =在()0,∞+上单调递增，a a ab ∴>，即M P >，N M P ∴>>，故选：B.例1-2．设02x π<<，记lnsin a x =，sin b x =，sin x c e =，则比较a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a << 【答案】A【分析】 根据02x π<<，得到()sin 0,1b x =∈，再利用对数函数和指数函数的性质判断.【详解】 因为02x π<<，所以()sin 0,1b x =∈，lnsin 0a x =<，sin 1x c e =>，所以a b c <<，故选：A例1-3．已知()()2221,2,2,2,2x x xx a b c ∈===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c a b >> 【答案】B【分析】根据指数函数的单调性，将问题转化为比较当()1,2x ∈时2,2,2x x x 的大小，利用特值法即可求得结果.【详解】因为()2222x x b ==，函数2x y =是单调增函数，所以比较a ，b ，c 的大小，只需比较当()1,2x ∈时2,2,2x x x 的大小即可.用特殊值法，取 1.5x =，容易知3222.25,23,22x x x ===，再对其均平方得()()()2222232.25 5.0625,29,228x x x =====， 显然()()()22232229228 2.25 5.0625x x x =>==>==， 所以222x x x >>，所以b c a >>故选：B.【点睛】本题考查利用指数函数的单调性比较指数式的大小关系，属基础题.本题解题的关键在于将问题转化为比较当()1,2x ∈时2,2,2x x x 的大小，再通过特殊值法即可得答案.例1-4．设0x y >>，1x y +=，若1ya x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1log xyb xy ⎛⎫ ⎪⎝⎭=，1log yc x =，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】C【分析】利用0x y >>，1x y +=可知01y x <<<，结合不等式性质知11x >，01xy <<，1111xy y x >>>，再利用指数函数、对数函数的性质直接求解．【详解】 0x y >>，1x y +=，01y x ∴<<<利用不等式性质可知11x>，01xy <<，1111xy y x >>>， ∴011()()1y a x x=>=，1()log 10xy b xy ==-<，111log 1log log 1y y y c x y =>>=-， ∴实数a ，b ，c 的大小关系为b c a <<．故选：C.【点睛】方法点睛：本题考查指数对数的大小判断，判断方法：解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1，考查学生的转化能力，属于基础题.类型二、单调性法例2-1．设233344443,,332a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >> 【答案】C【分析】 根据指数函数43⎛⎫= ⎪⎝⎭x y 与幂函数34y x =的单调性判断,,a b c 的大小关系. 【详解】 因为函数43⎛⎫= ⎪⎝⎭x y 在R 上是增函数，所以23344433<⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a b <，又因为函数34y x =在(0,)+∞上是增函数，所以33444332⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以b c <，故a b c <<.故选：C练．已知 4.10.90.1445,,554a b c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则这三个数的大小关系为（ ） A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >> 【答案】B【分析】 利用指数函数的单调性即可比较大小.【详解】0.90.94554b -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为54xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递增﹐则1b c >>， 又 4.1044155a ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故b c a >>.故选：B.练．设3log πa =，32log 2b =，1ln e 4c =，则a ，b ，c 大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >> 【答案】B【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断可得；【详解】解：因为1ln ln10e<=，所以1ln 0e 0441<<=，即01c <<，又2333332log 2log 2log 4log log 31π==>>=，即1b a >>，所以b a c >>；故选：B类型三、简单同构法（同底、同指、同真、同分母、同分子等）例3-1．已知43a =，3log 4b =，0.13c -=，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >> 【答案】A【分析】 首先根据题意得到4333log 3log 4>，从而得到a b >，又根据3log 41b =>，100.313c -<==，从而得到b c >，即可得到答案.【详解】 因为4334log 33a ==， 344333=3=81464⎛⎫>= ⎪⎝⎭， 所以4333log 3log 4>，即a b >.又因为33log 4log 31b =>=，100.313c -<==，即b c >，所以a b c >>.故选：A练．已知2516log 3,log 9,0.3a a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a【答案】D【分析】 利用对数运算、指数运算化简,b c ，结合对数函数的性质比较三者的大小关系.【详解】22444log 3log 3log 41b ==<=，所以01a b <<<，5555325log log log 5253log 32231010100.30.3110333a c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫====>=> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以cb a >>.故选：D例3-2．已知ln 22a =，ln33b =，ln 55c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】D【分析】运用比差法分别比较,a b 与,a c ，进而可得结果.【详解】 因为ln 2ln 33ln 22ln 3ln8ln 902366a b ---=-==<，所以a b <； 又ln 2ln 55ln 22ln 5ln 32ln 250251010a c ---=-==>，所以a c >， 所以c ab <<.故选：D.练．已知12019ln 20202020a =+，12020ln 20212021b =+，12021ln 20222022c =+，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】A【分析】根据三个数的形式，构造函数，利用导数判断函数的单调性，最后根据单调性进行比较大小即可.【详解】构造函数()ln 1f x x x =+-，()111x f x x x -'=-=，当01x <<时，()0f x '>， ()f x 单调递增，所以111202*********f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b c >>. 故选：A练．已知ln 22a =，1b e =，ln 33c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a << 【答案】C【分析】结合导数求()ln x f x x=的单调性，可判断,b a b c >>，令a c -，结合对数的运算性质可判断出c a >，从而可选出正确答案.【详解】解：设()ln x f x x =，则()21ln x f x x-'=，当0x e <<时，()0f x '>； 当x e >时，()0f x '<，则()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，则当x e =时，()max ln 1e f x e e ==，即,b a b c >>； ln 2ln 33ln 22ln 3ln8ln 902366a c ---=-==<，则c a >，所以bc a >>， 故选：C ．【点睛】思路点睛：比较几个数的大小关系时，常用的思路是：1、求出函数的单调性，结合增减性进行判断；2、利用作差法，判断两数与零的关系；3、利用作商法，判断两数与1的关系.练．已知7log 22a =，7log 33b =，7log 66c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．b c a >> 【答案】B【分析】先把a 、b 、c 化为“同构”形式，利用函数的单调性判断大小.【详解】∵log log m a a m b b =， ∵777log lo 6g 23g 2826lo a ===， 777log 3lo 6g 2g 3936lo b ===7log 66c = 因为7log y x =为增函数，所以777log 6log 8log 9<<，所以b a c >>.故选：B【点睛】指、对数比较大小：（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.练．已知e a =，33log e b =，5ln 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c a b <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】D【分析】 设()ln x f x x =，e x ≥，利用导数判断函数的单调性，利用函数的单调性比较函数值的大小； 【详解】解：设()ln x f x x=，e x ≥，则()2ln 10(ln )x f x x -'=≥恒成立，∵函数()f x 在[e )+∞，上单调递增，又(e)a f =，333log e (3)ln 3b f ===，5(5)ln 5c f ==，∵e 35<<，()()()e 35f f f ∴<<，∵a b c <<，故选：D . 例3-3．已知0a b c d <<<<，若c a a c =，则d b 与b d 的大小关系为（ ）A ．d b b d <B ．d b b d =C ．d b b d >D ．不确定【分析】由c a a c =得ln ln a c a c =，构造新函数ln x y x =，利用导数讨论ln x y x =的单调性，从而判断出ln ln ln b c d b c d >>，即可 得到d bb d >.【详解】因为c a a c =，所以ln ln c a a c =，即ln ln aca c =， 设ln x y x =，则21ln x y x -'=，令21ln xy x -'==0，得x e =，当(0,)x e ∈时，0y '>，ln xy x =单调递增，当(,)x e ∈+∞时，0y '<，ln xy x =单调递减； 因为ln ln aca c =，0abcd <<<<，所以ae c <<， 所以ln ln ln b cdb c d >>，即d b b d >.故选：C.【点睛】指、对数比较大小：（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.练．若e a =π，3e b =，3c π=，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．b a c << B ．a b c << C ．c a b <<D ．b c a << 【答案】A首先利用指数函数和幂函数的单调性得到b c <和a b >，再构造函数，利用导数得到函数的单调性得到a c <，即可得到答案.【详解】因为3x y =在R 上为增函数，所以33e π<，即b c <.因为e y x =在(0,)+∞为增函数，所以3e e π>，即a b >. 设ln ()x f x x=， 21ln ()x f x x -'=，令()0f x '=，x e =. (0,)x e ∈，()0f x '>，()f x 为增函数，(,)x e ∈+∞，()0f x '<，()f x 为减函数.则()(3)f f π<，即ln ln 33ππ<，因此3ln ln3ππ<， 即3ln ln 3ππ<，33ππ<.又33e πππ<<，所以a c <.所以b a c <<.故选：A【点睛】本题主要考查指数和幂的比较大小，利用导数得到函数的单调性来比较大小为解决本题的关键，属于中档题.练．已知5ln 4a π=，4ln5b π=，45ln c π=，则a ，b ，c 的大小关系是A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a b c <<【答案】C令ln ()()x f x x e x=≥，利用导数研究函数的单调性即可得出a ，b ，c 的大小关系. 【详解】 解：令ln ()()x f x x e x =≥，21ln ()x f x x -'=， 可得函数()f x 在(),e +∞上单调递减，ln 4ln 5,5ln 44ln 5,45a b ππππ∴>∴>∴>， 同理可得：44ln ln 4,4ln ln 4,4,5ln 5ln 4,4c a ππππππππ>∴>∴>∴>∴>， ∵b a c <<.故选：C.【点睛】 本题考查了利用导数研究函数的单调性、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.类型四、中间量例4-1．若0.80.2a =，0.20.8b =，0.31.1c =，lg0.2d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（ ） A ．c b a d >>>B ．c a b d >>>C ．b c a d >>>D ．a c b d >>>【答案】A【分析】由指数函数、幂函数以及对数函数的单调性比较大小即可.【详解】由指数函数的单调性知：0.20.80.20.2>，0.301.1 1.11>=由幂函数的单调性知：0.20.20.80.2>，所以0.20.20.810.80.20.20c b a >>=>>=>，又由对数函数的单调性可知：lg 0.2lg10d =<=综上有：c b a d >>>.故选：A例4-2．已知1253a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 5b =，3log 7c =，则a ，b ，c 的大小顺序是（ ） A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．b c a >> 【答案】D【分析】 由11225335-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22log 5log 4>，333log 3log 7log 9<<判断.【详解】 因为112253135a -⎛⎫⎛⎫==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22log 5log 42b =>=，3331log 3log 7log 92c =<=<=，所以b c a >>故选：D练．已知a =b =2log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b c a >>【答案】C【分析】根据指数运算与对数的性质，求得2a >，2b <，12c <<，再结合22log log 3b c ==，利用对数函数的单调性，即可求解.【详解】根据指数运算与对数运算的性质，可得122a =>=，2b =<，2log 3(1,2)c =∈，设22log log 3b c =，因为函数2log y x =为增函数，由于8523>，所以b c >，所以a b c >>.故选：C.练．已知0.352,ln 2,2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．c a b >> 【答案】B【分析】根据指数式与对数式互化公式，结合指数函数和对数函数的性质进行判断即可.【详解】由51log 2log log 522a a a =⇒==<，由112b >>>，0.312c =>，所以c b a >>， 故选：B类型五、放缩法例5-1．若1(,1)x e -∈，ln a x =，ln 1()2x b =，ln 2x c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．b c a >>【答案】D【分析】 先利用ln y x =的单调性求出a 值范围；再利用2x y =的单调性比较b 和c 的大小而得解.【详解】因1(,1)x e -∈，且函数ln y x =是增函数，于是10a -<<；函数2x y =是增函数，1ln 0ln 1x x -<<<-<，而ln ln 1()22x x -=，则ln 11()22x <<，ln 1212x <<，即1122c b <<<<， 综上得：b c a >>故选：D练．设02x π<<，记lnsin a x =，sin b x =，sin x c e =，则比较a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a << 【答案】A【分析】 根据02x π<<，得到()sin 0,1b x =∈，再利用对数函数和指数函数的性质判断.【详解】 因为02x π<<，所以()sin 0,1b x =∈，lnsin 0a x =<，sin 1x c e =>，所以a b c <<，故选：A练．已知sin3a =，3log sin 3b =，sin33c =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【分析】利用指数函数、对数函数以及三角函数值即可得出选项.【详解】 因为32ππ<<，所以()sin30,1a =∈，33log sin 3log 10b =<=，sin30331c =>=，所以c a b >>.故选：C练．已知0.32=a ， 1.12.3b =，3log 6c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】C【分析】根据指数函数，对数函数的单调性来判断数值大小.【详解】由对数及指数的单调性知：0.30.522 1.414a =<=， 1.12.3 2.3b =>，332log 6log 1.5c >=>，所以a ，b ，c 的大小关系为a c b <<.故选：C.类型六、比较法例6-1作差法．设2log 3a =，32log 2b =，32log 2c =-，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ）A ．b c a <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】A【分析】 先通过变形3339log 9log 2log 2c =-=，而332log 2log 4b ==，故可判断,b c 大小，再作差利用基本不等式有23log 3log 2220a c -=+->=即可得解.【详解】 由33333392log 2log 9log 2log log 42log 22c b =-=-=>==，23log 3log 222220a c -=+->>-=，所以a c >，所以a c b >>，故选：A.【点睛】本题考查了对数函数的比较大小，对数函数的比较大小是高考中重点考查对象，考查了利用中间量以及作差法比较大小，考查了变形转化以及对数的运算能力，比较大小有以下几种方法：（1）利用函数单调性比较大小；（2）中间量法比较大小；（3）作差法、作商法比较大小.例6-2作商法．已知0.75a =，52log 2=b ，21log 32=c ，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c b a <<【答案】A【分析】 根据对数的运算法则及性质比较,b c 与a 的大小，利用作商法比较,b c 的大小.【详解】 由30.754a ==, 因为3444(5)1254256=<=，故3454<，所以3455log 5log 4a b =<=，因为3444(2)89=<=，故342<所以3422log 2log a c =<= 因为58165>，故85165>，因为5832<，故8532<， 所以8555558225222log 24log 2log 16log 511log 3log 3log 3log 22b c ===>=， 所以b c >，故a c b <<，故选：A【点睛】关键点点睛：根据对数的运算性质将a 写成对数345log 5，342log 2，利用函数的单调性比较真数大小即可，利用作商及放缩的方法可得,b c 的大小，属于较难题目. 练．已知1ln 23a =，24log 25b =，25log 26c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b c a >> 【答案】D【分析】 先由题，易知1ln 231a =<，而2425log 251,?log 261b c =>=>，再将b ，c 作商，利用对数的运算以及基本不等式，求得比值与1作比较即可得出答案.【详解】 因为1ln 02<，故1ln 231a =< 2425log 251,?log 261b c =>=>2225252525252524log 26log 26log 241log 26log 24()[log (251)(251)]1log 2524c b +==⋅<=+⋅-< 所以c b < ，即b c a >>故选D【点睛】本题考查了对数的运算以及基本不等式的综合，解题的关键是在于运算的技巧以及性质，属于中档偏上题型.类型七、图像法例7-1．若()122211log ,0,222a b c a b b c -⎛⎫⎛⎫==>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】B【分析】 分别画出函数1221(),log ,2x y y x y x ===的图象，由图象交点坐标，即可判断得出,,a b c 的大小关系.【详解】分别画出函数1221(),log ,2x y y x y x ===的图象，如图所示， 由图象，可得c b a <<.故选：B.练．若44log x x -=，144log y y =，44log 0z z -+=，则实数x ，y ，z 的大小关系为（ ） A ．x y z <<B ．z y x <<C ．z x y <<D ．y z x <<【答案】D【分析】 利用指数与对数函数的单调性，确定各方程根的范围，进而比较它们的大小.【详解】对于44log x x -=，由()4x f x -=与4()log g x x =有交点，()f x 过一、二象限，()g x 过一、四象限，∵()f x 与()g x 的交点必在第一象限且()f x 单调递减、()g x 单调递增，而1(1)(1)04f g =>=，11(2)(2)162f g =<=，可得()1,2x ∈，对于144log y y =，由()4y m y =与14()log n y y =有交点，()m y 过一、二象限，()n y 过一、四象限，∵()m y 与()n y 的交点必在第一象限且()m y 单调递增、()n y 单调递减，而(0)1m =，0lim ()y n y +→→+∞，111()2()222m n =>=，可得10,2y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 对于44log 0z z -+=，显然有12z =， ∵x ，y ，z 的大小关系为y z x <<，故选：D.例7-2．已知,,(0,)a b c ∈+∞，且ln 1a a =-，ln 1b b =，e 1c c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】C【分析】由题意可得ln 1a a =-，1ln b b =，1e c c =.依次作出e x y =，ln y x =，1y x =-，1y x =在(0,)+∞上的图像，然后根据函数图像可求得答案【详解】ln 1a a =-，1ln b b =，1e c c =.依次作出e x y =，ln y x =，1y x =-，1y x =在(0,)+∞上的图像，如图所示.由图像可知01c <<，1a =，1b >，所以c a b <<.故选：C.练．正实数a ，b ，c 满足22a a -+=，33b b +=，4log 4c c +=，则实数a ，b ，c 之间的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】A【分析】将22a a -+=，33b b +=，4log 4c c +=，转化为函数13x y =+，122x y =+，4log y x =与4y x =-的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解.【详解】4log 4c c +=4log 4c c ⇒=-，即c 为函数4log y x =与4y x =-的图象交点的横坐标，33b b +=134b b ⇒+=-，即b 为函数13x y =+与4y x =-的图象交点的横坐标，22a a -+=1242a a ⇒+=-，即a 为函数122x y =+与4y x =-的图象交点的横坐标， 在同一坐标系中画出图象，如图所示：由图象可知：b a c <<.故选：A.练．已知5630x y ==，log x z y =，则x ，y ，z 的大小关系为（ ）A ．x y z <<B ．z y x <<C ．y x z <<D ．z x y <<【答案】B【分析】首先对5630x y ==取对数，可比较x ，y 的大小关系，利用对数的运算判断,x y 与1的大小关系，即可利用单调性判断z 的范围，进而可得出x ，y ，z 的大小关系.【详解】对5630x y ==两边同时取常用对数可得lg 5lg 6lg 30x y ==, 所以lg 30lg 5x =，lg 30lg 6y =， 因为lg y x =在()0,∞+单调递增，所以0lg5lg6<<，所以lg30lg30lg5lg 6>，即x y >， 又因为5lg30lg5lg 61log 61lg5lg5x +===+>， 6lg30lg5lg 61log 51lg 6lg 6y +===+>， 所以0log log 1x x z y x <=<=，所以z y x <<.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是取对数判断x ，y 的大小关系，判断x 与1的关系利用单调性得出z 的范围.类型八、方程中隐含条件例8-1．已知正数x ，y ，z 满足ln z x y ye zx ==，则x ，y ，z 的大小关系为（ ） A ．x y z >>B ．y x z >>C ．x z y >>D ．以上均不对【答案】A【分析】将z 看成常数，然后根据题意表示出,x y ，再作差比较出大小即可【详解】解：由ln z x y ye zx ==，得ln x y zx =，则ln z y =，得z y e =， 所以z ze e zx ⋅=，所以2ze x z =，令()(0)z f z e z z =->，则()10z f z e -'=>，所以函数()f z 在(0,)+∞上单调递增，所以0()(0)01f z f e >=-=，所以z e z >，即y z > 所以22()0z z z z z z e e ze e e z x y e z z z---=-==>， 所以x y >，综上x y z >>，故选：A练．设正实数a ，b ，c ，满足2ln 2a c e b b ce ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】B【分析】通过构造函数()(0)x f x xe x =>，利用导数判断函数的单调性，并判断c 的范围，通过变形得c b e =，得,b c 的大小关系，再直接解方程求a 的范围，最后三个数比较大小.【详解】设()(0)x f x xe x =>，0x >时，()()10x f x x e '=+>恒成立，()f x 在(0,)+∞单调递增，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x e ⎫∈⎪⎝⎭，2<，所以1,12c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ln ln ln b c b b b e ce =⋅=，故ln b c =，即)c b e e =∈，而ln 2122a =<，所以a c b <<． 故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数()(0)x f x xe x =>，并且根据指对互化ln ln ln b b b b e =⋅，这样根据单调性可得ln b c =.练．设x ，y ，z 为正实数，且235log log log 1x y z ==>，则2x ，3y ，5z 的大小关系是（ ） A ．532z y x << B ．235x y z << C ．325y x z << D ．235x y z == 【答案】B【分析】,,x y z 为正实数，且235log log log 1x y z k ===>，可得：22,33,55k k k x y z =>=>=>,然后变形，构造函数，利用幂函数的单调性即可得出．【详解】,,x y z 为正实数，且235log log log 1x y z k ===>，可得22,33,55k k k x y z =>=>=>． ∵11121,31,51235k k k x y z ---=>=>=>， 令()1k f x x -=，又()f x 在()0+∞，上单调递增， ∵()()()532f f f >>，即532z y x >>， 故选：B ．【点睛】 关键点睛：本题的关键是指数式与对数式的互化、构造幂函数并运用其的单调性． 例8-2．已知a 、b 、c 均为不等于1的正实数，且ln ln a c b =，ln ln c b a =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．c a b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】A【分析】分析可知，ln a 、ln b 、ln c 同号，分a 、b 、()0,1c ∈和a 、b 、()1,c ∈+∞两种情况讨论，结合对数函数的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】ln ln a c b =，ln ln c b a =，且a 、b 、c 均为不等于1的正实数， 则ln a 与ln b 同号，ln c 与ln a 同号，从而ln a 、ln b 、ln c 同号.∵若a 、b 、()0,1c ∈，则ln a 、ln b 、ln c 均为负数，ln ln ln a c b b =>，可得a b >，ln ln ln c b a a =>，可得c a >，此时c a b >>；∵若a 、b 、()1,c ∈+∞，则ln a 、ln b 、ln c 均为正数，ln ln ln a c b b =>，可得a b >，ln ln ln c b a a =>，可得c a >，此时c a b >>.综上所述，c a b >>.故选：A.【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.练．已知大于1的三个实数,,a b c 满足2(lg )2lg lg lg lg 0a a b b c -+=，则,,a b c 的大小关系不可能是（ ）A ．a b c ==B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >> 【答案】D【分析】令()22lg lg lg f x x x b b c =-+，则lg a 为()f x 的零点，根据判别式可得b c ≥，就b c =和b c >分类讨论后可得,,a b c 的大小关系.【详解】令()22lg lg lg f x x x b b c =-+，则lg a 为()f x 的零点且该函数图象的对称轴为lg x b =，故24lg 4lg lg 0b b c ∆=-≥，因为1,1b c >>，故lg 0,lg 0b c >>，所以lg lg b c ≥即b c ≥.又()()()()22lg lg lg lg lg lg lg ,lg lg lg lg lg lg lg f b b c b b c b f c c b c c c b =-=-=-=-，若b c =，则()()lg lg 0f b f c ==，故lg lg lg a b c ==即b c =.若b c >，则()()lg 0,lg 0f b f c <<，所以lg lg a c <或者lg lg b a <，即a c b <<或a b c >>.故选：D.【点睛】本题考查二次函数的零点，注意先根据方程的形式构建二次函数，再利用零点存在定理来讨论，注意合理分类，本题为中档题.例8-3．已知22,32a b a b +=+=，则lg b a 与lg a b 的大小关系是（ ）A ．lg lg b a a b <B ．lg lg b a a b =C ．lg lg b a a b >D ．不确定【答案】C【分析】 令()()2,3x x f x x g x x =+=+，结合题意可知01b a <<<，进而有b b a a b b >>，再利用对数函数的单调性和运算性质即可求解【详解】令()()2,3x x f x x g x x =+=+，则当0x >时，()()g x f x >，当0x <时，()()g x f x <；由22,32a b a b +=+=，得()()2,2f a g b ==考虑到()()2f a g b ==得01b a <<<，b b a a b b ∴>>由b a a b >，得()()lg lg b aab >， 即lg lg b a a b >故选：C练．设实数a ，b 满足51118a b a +=，7915a b b +=，则a ，b 的大小关系为（ ） A ．a b <B ．a b =C ．a b >D ．无法比较 【答案】A【分析】从选项A 或C 出发，分析其对立面，推理导出矛盾结果或成立的结果即可得解.【详解】假设a b ≥，则1111a b ≥，77a b ≥，由51118a b a +=得51151118()()11818a a a a a +≥⇒+≥， 因函数511()()()1818x x f x =+在R 上单调递减，又51116(1)1181818f =+=<，则()1(1)f a f ≥>，所以1a <；由7915a b a +=得797915()()11515b b b b b +≤⇒+≤， 因函数79()()()1515x x g x =+在R 上单调递减，又7916(1)1151515g =+=>，则()1(1)g b g ≤<，所以1b >；即有1a b <<与假设a b ≥矛盾，所以a b <，故选：A【点睛】思路点睛：应用反证法解决问题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．巩固训练（精选以一敌百）1．（多选）（2022·全国·高三期中）已知a ，b 为正数，且1a b -=，则（ ） A ．221a b +<B ．331a b ->C ．222log log 2-<a bD ．211b b a+> 【答案】BD【详解】由于1a b -=，取1,2b a ==，代入四个选项对于A ：221a b +<，左边2251a b +=>故A 错误；对于C ，222log log 2a b -=，故C 错误2．（多选）（2022·江苏·南京市第一中学高三期中）已知实数,,x y z 满足ln 1y z x z e ⋅=⋅=.则下列关系式中可能成立的是（ ）A ．x y z >>B ．x z y >>C ．z x y >>D ．z y x >> 【答案】ABC 设1ln y x e k z ===，0k >，则k x e =，ln y k =，1z k=，画出函数图象，如图所示：当1k x =时，z x y >>；当2k x =时，x z y >>；当3k x =时，x y z >>； 故选：ABC。
利用指幂对函数单调性比较大小解答题
1.已知幂函数()()223*kk f x x k N --∈＝的图象关于y 轴对称，且在区间()0+∞，上是减函数， (1)求函数()f x 的解析式；(2)若>a k ，比较()0.7lna 与()0.6lna 的大小． 【解答】解(1)幂函数()()223*kk f x x k N --∈＝ 的图象关于y 轴对称，2*23013,12k k k k N k ∴--<∴-<<∈∴=，，,；且幂函数()()223*kk f x x k N --∈＝在区间()0+∞，为减函数， ()41k f x x -∴=∴=, ；(2)由(1)知，1a >．①当1a e <<时，()()0.70.601lna lna lna <<∴<,；②当a e =时，()()0.70.61,lna lna lna =∴=； ③当a e >时，()()0.70.61,lna lna lna >∴>．2.设a>0，a≠1，t>0，比较12a log t 与12a t log +的大小，并证明你的结论． 【解答】解：当t>0时，由基本不等式可得12t +≥1t =时取“=”号 ∴1t =时，111222aa a t t log log log log t ++∴==， 1t ≠时，12t t +>， 当01a <<时，a y log x =是单调减函数，∴111222aa a t t log log log log t ++<<; 当1a >时，a y log x =是单调增函数，∴111222aa a t t log log log log t ++>∴>. 3.比较()231log x +与()3x -的大小.答案：解答：要使()231log x +与()3x -有意义，则310330x x x +>∴>->⎧⎨⎩，，()()()22331331log x log x x log x -∴+--=+-()2222313123(3)x log x log x log x +=+--=-（），当2)131(3x x +->，即()2313x x +>-时， 即18x <<时，())()()223130,313log x x log x x +-->∴+>-；当2)131(3x x +-<时，即()2313x x +<-时， 即1x <(舍去)或8x >， ∴当8x >时，()()()()223130,313log x x log x x +--<∴+<-.4.当34a >且1a ≠时，判断()1a log a +与(1)a log a +的大小，并给出证明. 答案：当1a >时，()(1)1a a log a log a ++>； 当314a <<时，()(1)1a a log a log a ++<. 解答：当1a >时，()(1)1a a log a log a ++>； 当314a <<时，()(1)1a a log a log a ++<. 证明如下：()()()()()()22111111a a lg a lg a lg a lgalog a log a lga lg a lgalg a +++-+--==++，(1)当1a >时，()()0101lga lg a lg a lga >+>+>,，．∴()()11101a a a a log a log a log a log a +++->∴+>（）（）,； (2)当314a <<时，()()()()221111a a lg a lg a log a log a lgalg a ++-+-=+()()()()()()()()()211111lg a lga lg a a lg a lga lg a lga lgalg a lgalg a +-++-++=++=，()()231010104a lga lg a lg a a lg <<∴<+>+>=，，,，()()()()2101lg a lga lg aa lgalg a +-+∴<+，()(1)1a a log a log a +∴+<.5.函数()y f x =定义在R 上，对于任意实数m n ,，恒有()()()f m n f m f n +=⋅ ， 且当0x >时，()01f x <<． (1)求证：()01f =；(2)当0x <时，比较()f x 与1的大小. 答案： 解答：(1)∵任意实数m n ,，恒有()()()f m n f m f n +=⋅, 令()()()1,0,110m n f f f ==∴=,∵x>0时，()()()01,011,01f x f f <<∴<<∴=; (2)当0x <时，0x ->， 则()()()()()()()01,01,01()11,f x f f x f x f x f x f x <-<=-=∴∈∴>=-，； 6.求不等式()2120,1x x a a a a -+>≠>中x 的取值范围．答案：当1a >时，{}3|x x >； 当01a <<时，{}3|x x < 解答：()2120,1x x a a a a -+>≠>当1a >时，212,3x x x ->+∴>； 当01a <<时，212,3x x x -<+∴<， 故不等式()2120,1x x aa a a -+>≠>的解集：当1a >时，{}3|x x >，当01a <<时，{}3|x x <.7.若()210,13alog a a <>≠，求实数a 的取值范围． 答案：()0123⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞，，解答：213aa log log a <= ， 当1a >时，函数是一个增函数，不等式成立， 当01a <<时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有23a <， 综上可知a 的取值是()0123⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞，，. 8.若311,210x a lgx b lgx c lg x ⎛⎫∈=== ⎪⎝⎭，,,，试比较a b c ,,的大小． 答案：b a c << 解答：111010x a lgx ⎛⎫∈∴-<=< ⎪⎝⎭，，，()()320110,a b lgx lgx lgx c a lg x lgx lgx lgx lgx -=-=->-=-=-+>,32 lg x lg x lg x b a c ∴<<∴<<,.9.设()32f x x x=-. (1)指出函数的定义域，证明()f x 为奇函数；(2)判断函数()f x 在()0+∞，上的单调性并用定义证明； (3)试比较()f π与()27f log 的大小关系．答案：解答： (1)()32f x x x=-的定义域为()()00-∞+∞，，， ()()()()3322,f x x x f x f x x x ⎛⎫-=--=--=-∴ ⎪-⎝⎭为奇函数； (2)函数()f x 在()0+∞，上是增函数，证明如下， 任取()120x x ∈+∞,，，且12x x <，则()()()12121212123332(22)()f x f x x x x x x x x x -=---=-+， ()()()1212121230(20)x x x x f x f x x x <∴-+∴<<<，, ， 故()f x 在()0+∞，上是增函数； (3)()()220737log f f log ππ<<<∴>；.10.设x y z R +∈,,，且346x y z ==． (1)求证：1112z x y-=； (2)比较34,6x y z ,的大小． 答案：(1)见证明； (2)346x y z << 解答：(1)证明：∵x y z R +∈,,，且1346x y z ==>，346lgk lgk lgk x y z lg lg lg ∴===,,, 1163214222lg lg lg lg lg z x lgk lgk lgk y lgk lgk∴-=-===,, 1112z x y=∴-；(2)34634346lgk lgk lgk x y z lg lg lg ====== ，1.0336921346k lgk x y z >∴=>=>>∴<<，，，.11.设()()12313a a y log x y log x =+=-,，其中0a >且1a ≠． (1)若12y y =，求x 的值； (2)若12y y >，求x 的取值范围．(1)16x =-； (2)当01a <<时，1136x -<-<； 当a>1时，106x -<<. 解答：(1)()()12,1313313,6a a y y log x log x x x x =+=-∴+=-∴∴=-，，经检验31030x x +>->， ，所以，16x =-是所求的值；(2)当01a <<时，∵12y y >，即()()313a a log x log x +>-，3102031311,36x x x x x⎧⎪+>->-<-+<∴∴<-⎨⎪⎩；当1a >时，∵()()12313a a y y log x log x ∴+>->,， 31012006313x x x x x +>->-<+>⎧⎪∴<⎨⎪⎩-,， 综上，当01a <<时，1136x -<-<；当a>1时，106x -<<. 12.设函数()()21x ax bx a b R ϕ=++∈,.(1)若()10ϕ-=，且对任意实数x 均有()0x ϕ≥成立，求实数a b ,的值；(2)在(1)的条件下，令()()4f x x x ϕ=-，若()g x 与()f x 在()1+∞，上有相同的单调性，()()12312412111x x x mx m x x m x mx <<=+-=-+,,且3411x x >>,，试比较：()()34||g x g x -与()()12||g x g x -的大小． 答案：(1)12a b ==,； (2)①()01m ∈，时，()()()()3412||g x g x g x g x -<-；②0m ≤时，()()()()3412||||g x g x g x g x -≥-； ③1m ≥时，()()()()3412||||g x g x g x g x -≥-(1)10101a b b a ϕ-=∴-+=∴=+（），,，又对任意实数x 均有()0x ϕ≥成立∴0a >且240b ac -≤恒成立，即()210a -≤恒成立，12a b ∴==,；(2)()()()241f x x x x ϕ=-=-在()1+∞， 上单调递增． ∴()g x 在()1+∞，上单调递增． ①()()()()312111322201111m x mx m x mx m x x x mx m x x ∈=+->+-=<+-=，,∴()312x x x ∈,同理可得()412x x x ∈，，由()g x 得单调性可知，()()()()()3412,g x g x g x g x ∈（,从而有 ()()()()3412||g x g x g x g x -<- ；②0m ≤时，()()3122211x mx m x mx m x =+-≥+-()()241211111x x m x mx m x mx x ==-+≤-+=，于是由3411x x >>,及()g x 得单调性可知()()()()()()()()41233412||||g x g x g x g x g x g x g x g x ≤<≤∴-≥-；③1m ≥时，同理可得3142x x x x ≤≥,， 进而可得()()()()3412||||g x g x g x g x -≥- ．13.已知010x a <<>,且1a ≠，试比较()||1a log x +与()||1a log x -的大小，写出判断过程．答案：()()1|1|a a log x log x ->+ 解答：∵已知0111011x x x <<∴+><-<，，．当1a >时，()()()()()2111|11|a a a a a log x log x log x log x log x --+=---+=--，20111011x x x <-<<+∴<-<,，()()()()22101|0|11a a a a log x log x log x log x ∴-<∴-->∴->+，，．当01a <<时，由01x <<，则有()()1010a a log x log x ->+<，，()()()()()2111|110|a a a a a log x log x log x log x log x ∴--+=-++=->，∴()()1|1|a a log x log x ->+．综上可得，当0a >且1a ≠时，总有()()1|1|a a log x log x ->+．14.已知a b R ∈+,，函数()()11x x x xa b f x x R a b+++∈+=. (1)判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论；(2)比较22a b a b++的大小．答案： 解答：(1)函数()()11x x x xa b f x x R a b+++∈+=递增函数，证明如下： 设x y <，则0x y -<，()()()()()()x y x y y y xxyya b a b a b f x f y abab----++=- ，①当a b =时，()f x 为常数函数，此时不单调． ②若a b >，则()()00x yx y x y x y a b ab a b f x f y ----<<->-∴<,,,，此时函数()()11x x x xa b f x x R a b+++∈+=递增函数． ③当a b <，则00x y x y x y x y a b a b a b -----<>->,,，所以()()f x f y <，此时函数()()11x x x x a b f x x R a b +++∈+=递增函数.(2)2222a b a b a b a b++-=++ 123322311322222212a b a b a b a b a b a b a b--+⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝=+⎭--=+，因为幂函数3122x x , 在()0+∞，上单调递增，具有相同的单调性． 所以当a b =时，22a b a b ++=当a b ≠时，22a b a b++> .15.已知()()()()()1101a a f x log x g x log x a a =+=->≠,,． (1)求函数()()f x g x -的定义域；(2)判断函数()()f x g x -的奇偶性，并予以证明； (3)求使()()0f x g x ->的x 的取值范围． 答案：(1)()11-,； (2)奇函数；(3)当 1a >时，01x <<； 当01a <<时，10x -<<. 解答：(1)由于()()()()()1101a a f x log x g x log x a a =+=->≠,,， 故()()()()1111a a axf xg x log x log x log x+-=+--=- ， 1011,10x x x ⎧+>->∴⎨<-⎩<，故函数的定义域为()11-,． (2)令()()()h x f x g x =-，可得()()1111a a x xh x log log h x x x-+-==-=-+-， 故函数()()()h x f x g x =-为奇函数． (3)由()()0f x g x ->可得101a xlog x+>-， 当1a >时，有11 011xx x+∴><<-，； 当01a <<时，有 101101,101111x x x x x x x +⎧<⎪+⎪-<<∴∴-<<⎨+-⎪<⎪-⎩, ， 综上可得，当 1a >时，01x <<； 当01a <<时，10x -<<． 16.已知1m a b >==,,a b 的大小关系，a _____b .答案：< 解答:10m >>><,,,1a m b a b +===∴<=．17.已知1m >，试比较()0.9lgm 与()0.8lgm 的大小．答案：即10m >时，()()0.90.8lgm lgm >；10m =时，()()0.90.8lgm lgm =；110m <<时，()()0.90.8lgm lgm <．解答：()()()0.90.10.8lgm lgm lgm =， 当1lgm >，即10m >时，()0.10.111lgm >> ，∴()()0.90.8lgm lgm >．当1lgm =，即10m =时，()()0.90.8lgm lgm =；当01lgm <<，即110m <<时，()()0.90.8lgm lgm <．18.已知函数()1211xf x log x +-＝.若1a b >>，试比较()f a 与()f b 的大小. 答案：()()f a f b > 解答：函数()1211xf x log x +-＝的定义域为()()11-∞-+∞，，， 再判断函数的单调性，()112212111x f x log log x x +=⎡⎤⎢⎥⎣=+--⎦因为函数21u x x =-（） 在区间()()1,1-∞-+∞，，都是减函数， 所以()f x 在区间()1-∞-，和()1+∞，都是增函数，∵1a b >>，根据()f x 在()f x 上是增函数得， ∴()()f a f b >.19.已知函数()()22401a f x x x a g x log x a a =-+=>≠,（,）．(1)若函数()f x 在[12]m -,上不具有单调性，求实数m 的取值范围； (2)若()()11f g =． (i)求实数a 的值； (ii)设()()123122x t f x t g x t ==,,=，当()01x ∈，时，试比较123t t t ,,的大小．答案：(1)1()2+∞，； (2)(i)2；(ii)213t t t <<. 解答：(1)∵抛物线224y x x a =-+开口向上，对称轴为1x =，∴函数()f x 在(]1-∞，单调递减，在[1)+∞，单调递增， ∵函数()f x 在[12]m -,上不单调， ∴21m >，得12m >，∴实数m 的取值范围1()2+∞，； (2)(i)()()11202f g a a =∴-+=∴=，，， (ii)()221223()121122x t f x x x x t g x log x t =-+=-===,（）,＝， ∴当()01x ∈，时，()()()12321301012t t t t t t ∈∈-∞∈∴<<,,，,，,. 20.已知函数()()101x f x aa a -=>≠,.(1)若函数()y f x =的图象经过()34P ，点，求a 的值； (2)比较1(0)10f lg 与()2.1f -大小，并写出比较过程． 答案：(1)2；(2)当1a >时，)1(( 2.1)100f lgf >-当01a <<时，)1(( 2.1)100f lg f <-. 解答：(1)∵函数()y f x =的图象经过()2344P a ∴=,,．又0a >，所以2a =． (2)当1a >时，)1(( 2.1)100f lg f >-；当01a <<时，)1(( 2.1)100f lg f <-； 证明：由于()3 3.11()2( 2.1)100f lgf a f a --=-=-=,， 当1a >时，xy a =在R 上为增函数， ∵3 3.13 3.1a a --->-∴>， ，即)1(( 2.1)100f lgf >- 当01a <<时，xy a =在R 上为减函数， ∵3 3.13 3.1a a --->-∴<,，故有)1(( 2.1)100f lg f <-. 21.已知函数()3f x x x x R =+∈,．(1)判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论；(2)若a b R ∈,，且0a b +>，试比较()()f a f b +与0的大小． 答案：(1)增函数；(2)()()0f a f b +>.解答：(1)函数()3f x x x x R =+∈,是增函数，证明如下：任取12,x x R ∈，且12x x <，因为()()()()332212121212112210f x f x x x x x x x x x x x -=-+-=-+++<所以函数()3f x x x x R =+∈,是增函数．(2)由0a b +>，得a b >-，由(1)知()()f a f b >， 因为()f x 的定义域为R ，定义域关于坐标原点对称， 又()()()()()333f x x x x x x xf x -=-+-=--=-+=-，所以函数()f x 为奇函数． 于是有()()f b f b -=-，所以()()f a f b >-，从而()()0f a f b +> ． 22.已知函数()()()10xxf x ln a ba b =->>>．(1)判断函数()f x 在其定义域内的单调性(2)若函数()f x 在区间()1+∞，内恒为正，试比较a b -与1的大小关系． 答案：(1)增函数； (2)1a b -≥ 解答:(1)要使函数有意义，则1)10(01x xa aa b x a b b b-∴>>>>>∴>,,,, ()0x f x ∴>∴,的定义域为()0+∞，．设21010x x a b >>>>>,，21122122110xxx xxxxxxxa ab b b b a b a b ∴>>∴->-∴->->,,，，22111x x a b ax bx ∴->-，∵函数y lgx =在定义域上是增函数，()()()()21210,f x f x f x f x ∴∴>-> ， ∴()f x 在()0+∞，是增函数． (2)由(1)知，函数()f x 在()0+∞，是增函数， ∴()f x 在()1+∞，是增函数， 即有()()1f x f >，要使()0f x >恒成立，必须函数的最小值()10f ≥，即()011lg a b lg a b -≥=∴-≥,． 23.已知函数()21px f x x q +=+ 是奇函数，且()522f =.(1)求实数p q ,的值；(2)判断()f x 在[1)+∞，上的单调性，并证明你的结论； (3)若对任意的1t ≥，试比较()21f t t -+与()22f t t -的大小．答案： (1)1,0； (2)增函数；(3)()()2212f t t f t t -+≤-. 解答：(1)∵()f x 是奇函数，∴()()f x f x -=-，()2211,0p x px q x q x q-++-∴=-++∴=，()54152,1222p f p +=∴=∴=,；(2)∵()1f x x x=+，任取12[1)x x ∈+∞,，，且12x x <， ()()()()()121211212122121211111x x x x f x f x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭---=+-+-- 1212121210110,x x x x x x x x <<≤+∞∴-∴-><>，，()()()()121212121,x x x x fx f x x x --∴∴<∴()f x 在[1)+∞，上为增函数； (3)∵211y t t =-+的对称轴12t =， ∴211y t t =-+在[1)+∞，上单调递增，∴11111y ≥-+= ， 又∵222y t t =-的对称轴为12t =， 222112248()y t t t =-=--在[1)+∞，上单调递增， 2211y ∴≥-= ，又()222212121101()(),y y t t t t t t y y ∴----+≥=-≥∴≥=, ，又()f x 在[1)+∞，上的单调递增， ()()()()222112f y f y f t t f t t ∴≥∴-+≤-,.24.已知函数()3f x x x =+．(1)指出()f x 在定义域R 上的奇偶性与单调性(只要求写出结论，无须证明)；(2)已知实数a b c ,,满足000a b b c c a +>+>+>,,，试判断()()()f a f b f c ++与0的大小，并加以证明． 答案：(1)奇函数，增函数； (2)()()()0f a f b f c ++> 解答:(1)∵函数()3f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称又∵()()()()()33f x x x x x f x -=-+-=-+=-，∴()f x 为奇函数，又∵3y x =在R 上单调递增，y x =在R 上单调递增，∴()3f x x x =+在定义域R 上也为增函数．(2)由0a b +>，得a b >-，故()()()f a f b f b >-=-， 于是()()0f a f b +>．同理，()()()()00f b f c f c f a +>+>,．故()()()()()()0f a f b f b f c f c f a +++++> ， 即有()()()0f a f b f c ++>． 25.已知函数()()10f x x x x->=. (1)试判断函数()f x 的单调性，并用单调性的定义证明； (2)设m R ∈，试比较()223f m m -++与()5f m +的大小．答案：(1)增函数；(2)()()2235f m m f m -++<+.解答：(1)()f x 为单调增函数，证明：设120x x >>， 则()()()12121221211111f x f x x x x x x x x x --⎛-+=-+⎫= ⎪⎝⎭，()()1212121210,01> 0,0x x x x f x f x x x ∴->+∴->>>，， ∴()f x 为单调增函数； (2)解：222314455m m m m -++=--+≤+≥（）,，()2235,m m m f x ∴-++<+为单调增函数；()()2235f m m f m ∴-++<+.34.已知指数函数()()01xf x a a a =>≠,图象过点831⎛⎫⎪⎝⎭，. (1)求()f x 的解析式；(2)利用第(1)的结论，比较0.1a -与0.2a -的大小． 答案：(1)()1()2xf x =；(2)0.10.2a a --<. 解答：(1)函数()()01xf x a a a =>≠,图象过点831⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()311,821()2x a a f x ==∴∴=∴, ； (2)由(1)知()()1122x a f x =,=在R 上是减函数．0.10.20.10.2a a --->-∴<,. 26.指数函数()1xy a =-与)1(x y a =具有不同的单调性，比较13()1m a =-与3()1n a=的大小.答案： m n > 解答：因为指数函数()1xy a =-与)1(xy a=具有不同的单调性，所以11101a a ⎧-><<⎪⎨⎪⎩ 或10111a a <-<⎧>⎪⎨⎪⎩ ， ()131333112,1()()1211()28a m a n a ∴>=->-==<<，，m n ∴>.27．已知函数()21xf x a -=(0a >且1a ≠).(1)若函数()f x 的图象经过点)4P ,求a 的值; (2) 判断并证明函数()f x 的奇偶性;(3)比较2()f -与()2.1f -的大小,并说明理由. 答案： (1)2；(2)偶函数；(3)当1a >时,()()2 2.1f f -<-; 当01a <<时,()()2 2.1.f f ->-解答：(1)∵函数()f x 的图象经过点)4P ,24, 2.f a a ∴==∴=(2)函数()f x 为偶函数.∵函数()f x 的定义域为R,且()()22()11x x f x a af x ----===,∴函数()f x 为偶函数.(3)∵21y x =-在(),0-∞上单调递减, ∴当1a >时,()f x 在(),0-∞上单调递减,()()2 2.1f f ∴-<-;当01a <<时,f(x)在(),0-∞上单调递增, ∴()()2 2.1.f f ->-28．函数()(,xf x k a k a =⋅为常数，0a >且1)a ≠的图象经过点()0,1A 和()3,8B ，()()()11f xg x f x -=+.(1)求函数()f x 的解析式； (2)试判断()g x 的奇偶性；(3)记()()()(()2ln 2,ln ln 2,ln ,ln 2a g b g c g d g ====，试比较,,,a b c d 的大小，并将,,,a b c d 按从大到小顺序排列. 答案：(1)()2xf x =；(2)奇函数；(3)a d c b >>>. 解答：(1)由题知0318k a k a ⎧⋅=⎨⋅=⎩，解得12k a ==,，所以()2xf x =. (2)由(1)知，()2121x x g x -=+，所以()()2121x x g x g x ----==-+，显然()g x 的定义域为R ，所以()g x 是定义在R 上的奇函数.(3)因为()21212121x x xg x -==-++，所以()g x 是定义在R 上的增函数，又1ln2ln 12e =<<=，所以210ln2ln 2ln22<<<，()ln ln 20<， 所以()21ln2ln 2ln2ln ln 22>>>，于是，故a d c b >>>.29．已知定义在R 上的奇函数()f x ,在()0,1x ∈时, ()2 41xxf x =+且()()11f f -=. (1)求()f x 上,1[]1x ∈-上的解析式; (2)当()0,1x ∈时,比较()f x 与12的大小. 答案：(1)()()(){}2,1,0412,0,1410,1,0,1xxxxx f x x x ⎧-∈-⎪+⎪⎪=∈⎨+⎪∈-⎪⎪⎩; (2)()12f x <.解答：(1)∵()f x 是R 上的奇函数且()0,1x ∈时,()2 41xxf x =+, ∴当,0()1x ∈-时,()22414(1)x xx xf x f x --=-==-++-. 又由于()f x 为奇函数,()()00(),00f f f ∴=-∴=-, 又()()()()(11,11(),110)f f f f f f =-=-∴=-=- .综上所述,当,1[]1x ∈－时,()()(){}2,1,0412,0,1410,1,0,1xxxx x f x x x ⎧-∈-⎪+⎪⎪=∈⎨+⎪∈-⎪⎪⎩; (2)当()0,1x ∈时,()2 41xxf x =+, ()()()()2211212241 2412241241xxxxx x xf x --⋅--=-==+++-， ()20,1(21)0,410x x x ∈∴->+>， ()()110,22f x f x ∴-<∴<. 30．比较下列各组数的大小： (1)0.2456-⎛⎫⎪⎝⎭与1456-⎛⎫⎪⎝⎭；(2)π1π-⎛⎫ ⎪⎝⎭与1； (3)(0.8)-2与1254-⎛⎫ ⎪⎝⎭. 答案： (1)10.2445566--⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; (2)π11π-⎛⎫> ⎪⎝⎭(3)12250.84--⎛⎫> ⎪⎝⎭.解答：(1)考察函数56xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ∵5016<<，∴函数56xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()-∞∞,+上是减函数. 又10.244->-，∴10.2445566--⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (2)考察函数1πxy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵101π<<，∴函数1πxy ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝在()-∞∞,+上是减函数.又－π<0，∴π111ππ-⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=. (3)先考察函数0.8x y ＝.00.81<<，∴函数0.8xy ＝在()-∞∞,+上是减函数. 又20-<，∴200.80.81>=－.再考察函数54xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ∵514>，∴函数54xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()-∞∞,+上是增函数. 又102-<，∴1255144-⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=. 综上可知，12250.84--⎛⎫> ⎪⎝⎭.31．已知01,b 1,1a ab <<>>，试比较11log log b log b ba ab 、、的大小. 答案：11log b log log b ba ba <<解答：因为01,b 1a <<>,所以log b 0a <,1log 1b b =-,1log 0ba >; 又因为b 1a >，01a <<，所以1b 1a>>; 所以11log b log 1?log b a aa a <=-=； 所以11log b log log b ba b a <<.32．已知函数()2f x ax bx c =++(0a >且0bc ≠).(1)若()()()0111f f f ==-=,试求()f x 的解析式;(2)令()2g x ax b =+,若()10g =,又()f x 的图像在x 轴上截得的弦的长度为l ,且02l <≤,试比较b 、c 的大小.答案：(1)()21f x x x =+-或()21f x x x =--；(2)0c b >>. 解答：(1)由已知()()()0111f f f ==-=,有()()22a b c a b c a b c a b c ++=-+⇒++=-+,得()40b a c +=．∵0bc ≠,∴0b ≠,∴0a c +=,由0a >知,0c <； ∵1c =,∴1c =-，则1,1a b ==±； ∴()21f x x x =+-或()21f x x x =--．(2)()2g x ax b =+,由()10g =且0a >,知20,0a b b +=<且0a >, 设方程()0f x =的两根为12,x x ,则12122,b c x x x x a a+=-==,∴12x x -== 由已知1202x x <-≤,∴01ca≤<；又∵0,0a bc >≠,∴0c >； 又0b <,∴0c b >>．33．设()f x 是定义在R 上的奇函数,且对任意a 、b ∈R ,当0a b +≠时,都有()()0f a f b a b+>+.(1)若a b >,试比较()f a 与()f b 的大小关系; (2)若()()923290x xxf f k -⋅+⋅->对任意[)0,x ∞∈+恒成立,求实数k 的取值范围.答案：(1)()()f a f b >； (2).1k <. 解答：(1)因为a b >,所以0a b ->,由题意得:()()0f a f b a b+->-；所以()()0f a f b +->；又()f x 是定义在R 上的奇函数,()()f b f b ∴-=-，()()0f a f b ∴->； 即()()f a f b >.(2)由(1)知()f x 为R 上的单调递增函数,()()923290x x x f f k -⋅+⋅->对任意[)0,x ∞∈+恒成立, ()()92329x x x f f k ∴-⋅>-⋅-，即()()92329x x x f f k -⋅>-⋅, 923293923x x x x x k k ∴-⋅>-⋅∴<⋅-⋅，对任意[)0,x ∞∈+恒成立,即k 小于函数[)3923,0,xxu x ∞=⋅-⋅∈+的最小值.令3x t =,则[]1,t ∞∈+；即22113923323133xxu t t t ⎛⎫=⋅-⋅=-=--≥ ⎪⎝⎭； 1k ∴<.34．已知函数()211,0f x x a x a a ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭(1)当12a =时,解不等式()0f x ≤; (2)比较1a a与的大小;(3)解关于x 的不等式()0f x ≤. 答案：(1)1{|2}2x x ≤≤; (2)当01a <<时,有1a a >；当1a >时,有1a a <；当1a =时,1a a=; (3)当01a <<时,1{|}x a x a ≤≤;当1a >时,1{|}x x a a≤≤;当1a =时,{}1x ∈.解答： (1)当12a =时,有不等式()23102f x x x =-+≤, ∴()1202x x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭, ∴不等式的解集为：1{|2}2x x ≤≤; (2)∵()()111a a a a a+--=且0a > ∴当01a <<时,有1a a> 当1a >时,有1a a < 当1a =时,1a a=;(3)∵不等式()()10f x x x a a ⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭当01a <<时,有1a a >,∴不等式的解集为1{|}x a x a ≤≤; 当1a >时,有1a a <,∴不等式的解集为1{|}x x a a≤≤;当1a =时,不等式的解集为{}1x ∈. 35．比较下列各题中两个幂的值的大小: (1)352.1,35π;(2)13(-,13( 1.4)--;(3)452()3-,453()4.答案： (1)33552.1π<；(2)1133(( 1.4)-->-；(3)4455((23))34-<.解答：(1) ∵35y x =为R 上的增函数,又33552.1, 2.1ππ∴<<.(2) ∵13y x-=在(),0-∞上为减函数,且 1.40<-<,∴1133(( 1.4)-->-.(3)∵45y x =为R 上的偶函数,∴4455((22))33-=,又函数45y x =在[)0,+∞上为增函数,且2334<,∴4455()3(23)4<,即4455((23))34-<.36．已知函数()2()f x x a x =+∈R .(1)对任意的12,x x ∈R ,比较()()1212f x f x +⎡⎤⎣⎦与12()2x x f +的大小; (2)若10,11a x -≤≤-≤≤,求证:()11f x -≤≤. 答案： (1)()()12121)22(x x f x f x f ⎡⎤+≥⎣⎦+； (2)见证明. 解答：(1)对任意的12,x x ∈R ,有()()1212122()x x f x f x f ⎡⎤+-⎣⎦+ 222121222(2)x x a x x a +++=--22121224x x x x +-=()212104x x =-≥,所以()()12121)22(x x f x f x f ⎡⎤+≥⎣⎦+. (2)由于()2,11,10f x x a x a =+-≤≤-≤≤, 则当0x =时,()1min f x a =≥-; 当1x =±时,()1 1.max f x a =+≤ 综上可知,()11f x -≤≤. 37．比较下列各组数的大小：(1)3log 2.5与3 log 3.7. (2)0.2 log 2与0.2 log 4.1. (3)3log 0.24与0.2 log 0.24. (4) log 3a 与 log 3.1a . 答案：(1)332.5 3.7log log <； (2)0.20.22 4.1log log > ； (3)30.20.240.24log log <； (4)当1a >时，3 3.1a a log log <； 当01a <<时，3 3.1a a log log > 解答：(1)因为()3f x log x =为增函数，且2.5 3.7<，所以332.5 3.7log log <. (2)因为()0.2f x log x =为减函数，且2 4.1<，所以0.20.22 4.1log log >(3)因为330.2410log log <=，0.20.20.2410log log >＝ ，所以30.20.240.24log log <. (4)当1a > 时，因为()a f x log x =为增函数，且3 3.1<，所以3 3.1a a log log <； 当01a <<时，同理可得，3 3.1a a log log > 38．比较()3.412b -与()3.5112()2b b -<且0b ≠)的大小，答案：当0b <时， 3.43.5()(121)2b b -<-；当102b <<时，102b <<.(1)当11b ->，即0b <时，()12xy b =- 递增. 所以 3.43.5()(121)2b b -<-.(2)当0121b <<－，即102b <<时，()12xy b =-递减， 所以 3.43.5()(121)2b b ->- .综上所述，当0b <时， 3.43.5()(121)2b b -<-；当102b <<时，102b <<. 39．已知()()1log 32log 2x x f x g x =+=，，试比较()f x 与()g x 的大小. 答案：当01x <<或43x >时，()() f x g x >; 当403x <<时，()() f x g x <; 当43x =时，()() f x g x =. 解答：()() log 3log 4x x f x x g x ==，，所以()()3 log 4x x f x g x -=； 当01x <<时，3log 04xx>，所以()()f xg x >; 当403x <<时，3log 04xx<，所以()() f x g x <; 当43x =时，3log 04xx=，所以()() f x g x =; 当43x >时，3log 04xx>，所以()() f x g x >; 综上所述：当01x <<或43x >时，()() f x g x >; 当403x <<时，()() f x g x <; 当43x =时，()() f x g x =. 40．已知()(0xf x a a =>,且)1,a ≠当12x x ≠时,比较(12()2x x f +与()()122f x f x +的大小. 答案：()()1212()22f x f x x x f ++<()12122,()2x x xx x f x a f a ++=∴=,()()121211()22x x f x f x a a ⎡⎤+⎣⎦+=. ∵0a >,且121,a x x ≠≠, ∴10x a >,20x a >,且12x x a a ≠,∴121221()2x x x x a a a ++>=,即()()1212()22f x f x x x f ++<. 41.设二次函数()2f x x ax a =++,方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<.(1)求实数a 的取值范围; (2)试比较()()()010f f f -与116的大小,并说明理由. 答案：(1)(0,3-； (2)()()()101016f f f -<. 解答：(1)令()()()21g x f x x x a x a =-=+-+,则由题意可得()()0,101,210,00,a g g ∆>⎧⎪-⎪<<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，0,11,3a 3a a a ⎧>⎪∴-<<⎨⎪<->+⎩或，03a ∴<<- 故所求实数a的取值范围是(0,3-).(2)()()()()()2010012f f f g g a -==,令()22h a a =.∵当0a >时()h a 单调增加,∴当03a <<-时,()20323((217(h a h <<-=-=-116=<,即()()()101016f f f -<.42．()()21x xa f x a a a -=--,其中0a >,且1a ≠. (1)判断函数()f x 在(),-∞+∞上的单调性,并加以证明;(2)判断()22f -与()()11,33f f --与()22f -的大小关系,由此归纳出一个更一般的结论,并加以证明. 答案：(1)增函数；(2)()()()()2211,3322f f f f ->-->-. 解答：(1)当01a <<时，201aa <-,x x a a --为减函数，根据复合函数的性质可得()f x 在(),-∞+∞上是增函数； 当1a >时，201aa >-，x x a a --为增函数，根据复合函数的性质可得()f x 在(),-∞+∞上是增函数；综上，0a >,且1a ≠时，()f x 在(),-∞+∞上是增函数. (2)()()()()2211,3322f f f f ->-->- . 一般的结论:()()()*(11.)f n n f n n n N +-+>-∈证明如下:上述不等式等价于()()11f n f n +-> ,即21111n n na a a+++>+, 化简得1()(110)n n aa +-->,在0a >,且1a ≠的条件下,()1()110n n aa +-->显然成立,故()()()*1()1f n n f n n n N +-+>-∈成立.43. 已知()log (01),a f x x a a =>≠,若120,0,x x >>判断121[()()]2f x f x +与12()2x x f +的大小，并加以证明． 答案：①当1a >时，12121[()()]()22x x f x f x f ++≤； ②当01a <<时，12121[()()]()22x x f x f x f ++≥． 解答： 由题可得121212()()log log log ()a a a f x f x x x x x +=+=，因为120,0x x >>，所以21212()2x x x x +≤(当且仅当12x x =时取“=”号)． ①当1a >时，21212log ()log ()2a a x x x x +≤， 12121211(log log )log ()log ()222a a a a x x x x x x +∴+=≤， 即12121[()()]()22x x f x f x f ++≤(当且仅当12x x =时取“=”号)． ②当01a <<时，21212log ()log ()2a a x x x x +≥ ， 12121211(log log )log ()log ()222a a a a x x x x x x +∴+=≥ 即12121[()()]()22x x f x f x f ++≥(当且仅当12x x =时取“=”号)． 44.已知3201,log (1),log (1),a a a a x a y a >≠=+=+,试比较,x y 的大小.答案：.x y >解答：322(1)(1)(1)a a a a +-+=-，∴当1a >时，10a -> ，∴3211,log a a a y x +>+=在(0,)+∞上递增，∴.x y >当01a <<时，10a -<，∴3211,log (0,)a a a y x +<+=+∞因在上递减，∴.x y > 综上知：.x y >45.不等式223221x x k x x ++≥++ ，对任意实数x 都成立，满足条件自然数k 最大值为a ，若已知0mn m n >≠,，试比较()22134alog m mn n ++与()2126alog m mn +的大小．答案：()()222113426aalog m mn n log m mn ++<+解答：不等式223221x x k x x ++≥++ 对于任意的实数x 均成立，等价于()()23220k x k x k -+-+-≤ 对于任意的实数x 均成立． 当3k =时，101x x +≤∴≤-,，不满足题意；当3k ≠时，()()230243(20)k m k k ⎧⎨<-<----⎩， 解得3k <，∵满足条件自然数k 最大值为a ，30a mn m n ∴=>≠,,，()222222342620m mn n m mn m mn n m n ∴++--=-+=->， 2223426m mn n m mn ∴++>+，∵对数函数13y log x =为减函数，()()222113426aalog m mn n log m mn ∴++<+.46.定义在R 上的函数()f x 满足()()4f x f x +=，当26x ≤≤时，()||1()2x m f x n -=+，且()831f = ． (1)求m n ,的值；(2)比较2()2f log m 与2()f log n 的大小． 答案： (1)4，30；(2)22()()2f log m f log n >. 解答：(1)∵()()4f x f x +=，故函数的一个周期为4． 当26x ≤≤时，()()())26(12x m nf x f f -+∴=＝，，26112642))2((m n m nm m m -+-+∴=∴-=-∴=，，，()()4418431302()f f n n -+∴=＝＝＝，；(2)由(1)的计算知，当26x ≤≤时，()4()1302x f x -+＝ 图象的对称轴为4x =， 且在4x =处()f x 取最大值．又()()()22234()()305f log m f f f log f =<<,，由函数解析式可知()()22352()()f f f log m f log n =∴>，.47.函数()(x f x k a k a =⋅，为常数，01a a ≠＞,)的图象经过点1(0)A ，和8(3)B ,，()()()11f xg x f x -=+. (1)求函数()f x 的解析式；(2)试判断()g x 的奇偶性；(3)记()()()(()2222a g ln b g ln ln c g d g ln ====、、， ，试比较a b c d ，，， 的大小，并将a b c d ，，，从大到小顺序排列.答案：(1)()2x f x =；(2)奇函数；(3)a d c b >>>.解答：(1)代入1(0)A ，和8(3)B ,中得 031128k a k a k a ⎧⋅=∴==⎨⋅=⎩，,， 即有()2x f x = ；(2)∵()()()21212121x x x x g x g x g x ----=∴-==-++，， 又()210x x R g x +≠∈∴,，是定义在R 上的奇函数．(3)∵()21212121x x x g x -==-++， ∴g(x)是定义在R 上的增函数，21122122222ln e ln lne ln ln ln ln <<∴<<<<，，， ()()220222ln ln ln ln ln ln <∴>>>，,()()()()2(222g ln g ln g g ln ln ∴>>>， a d c b >>>.48.若()2f x x x b =-+，且()22()()21f log a b log f a a ⎡⎤⎣=⎦=≠,．。
幂、指、对数的大小比较-高考数学复习
B.a<c<b
C.b<a<c
D.c<b<a
lg5
lg7
lg5lg9-lg2 7
解析 因为 log75-log97=lg7 − lg9 = lg7lg9 ,lg 7lg 9>0,
lg5+lg9 2 lg45 2 lg49 2
又因为 lg 5lg 9<( 2 ) =( 2 ) <( 2 ) =lg27,所以 log75-log97<0,即
1
3
例 5(1)(2024·山西晋中模拟)设 a=2 ,b= ,c=3 ,则( A )
A.a<c<b
B.a<b<c
C.b<a<c
D.c<b<a
1
1
1
解析 依题意 ln a=2ln 2,ln b=eln e,ln c=3ln 3,
1
1
1
因此只需比较 ln 2, ln e, ln 3 的大小.
2
e
3ln==源自32 ∈(5,6),n=b所以 n>m>p,故选 C.
5 2 25
5
=( ) = =6.25,p=logab=log2
2
4
2
a
∈(1,2),
(2)(2024·云南昆明模拟)已知实数a,b,c满足ln(ln b)=a=ln c,则a,b,c的大小关
系为( C )
A.a>b>c
B.c>b>a
C.b>c>a
为( C )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<b<a
D.b<c<a
高考数学复习----《指、对、幂形数的大小比较问题》方法技巧与总结和真题练习
高考数学复习----《指、对、幂形数的大小比较问题》方法技巧与总结和真题练习方法技巧与总结（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a ，b ，c 的大小．（2）指、对、幂大小比较的常用方法：①底数相同，指数不同时，如1x a 和2x a ，利用指数函数x y a =的单调性；②指数相同，底数不同，如1a x 和2ax 利用幂函数a y x =单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如1log a x 和2log a x 利用指数函数log a x 单调性比较大小； ④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．（3）转化为两函数图像交点的横坐标（4）特殊值法（5）估算法（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法 真题练习1．（2022·天津·统考高考真题）已知0.72a =，0.713b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 3c =，则（ ） A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >> 【答案】C 【解析】因为0.70.7221120log 1log 33⎛⎫>>=> ⎪⎝⎭，故a b c >>. 故答案为：C. 2．（2022·全国·统考高考真题）已知910,1011,89m m m a b ==−=−，则（ ） A ．0a b >>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >>【答案】A【解析】［方法一］：（指对数函数性质）由910m=可得9lg10log 101lg9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =−>−=. 又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >， 所以8log 989890m b =−<−=.综上，0a b >>.［方法二］：【最优解】（构造函数）由910m =，可得9log 10(1,1.5)m =∈．根据,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =−−> ，则1()1m f x mx −'=−，令()0f x '=，解得110m x m −= ，由9log 10(1,1.5)m =∈ 知0(0,1)x ∈ .()f x 在 (1,)+∞ 上单调递增，所以(10)(8)f f > ，即 a b > ，又因为9log 10(9)9100f =−= ，所以0a b >> .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =−−>，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．3．（2022·全国·统考高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===−，，则（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c<a<bD ．a c b <<【答案】C 【解析】方法一：构造法设()ln(1)(1)f x x x x =+−>−，因为1()111x f x x x'=−=−++， 当(1,0)x ∈−时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+−在(0,)+∞单调递减，在(1,0)−上单调递增， 所以1()(0)09f f <=，所以101ln 099−<，故110ln ln 0.999>=−，即b c >， 所以1()(0)010f f −<=，所以91ln +01010<，故1109e 10−<，所以11011e 109<， 故a b <，设()e ln(1)(01)x g x x x x =+−<<，则()()21e 11()+1e 11x xx g x x x x −+'=+=−−, 令2()e (1)+1x h x x =−，2()e (21)x h x x x '=+−，当01x <时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =−单调递减，11x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =−单调递增，又(0)0h =，所以当01x <<时，()0h x <，所以当01x <<时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+−单调递增，所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>−，所以a c >故选：C.方法二：比较法0.10.1a e = ， 0.110.1b =− ， ln(10.1)c =−− ， ①ln ln 0.1ln(10.1)a b −=+− ， 令 ()ln(1),(0,0.1],f x x x x =+−∈则 1()1011x f x x x −'=−=<−− ， 故 ()f x 在(0,0.1] 上单调递减， 可得 (0.1)(0)0f f <=，即 ln ln 0a b −< ，所以 a b < ； ② 0.10.1ln(10.1)a c e −=+− ，令 ()ln(1),(0,0.1],x g x xe x x =+−∈则 ()()()1111'11x x xx x e g x xe e x x +−−=+−=−− ， 令 ()(1)(1)1x k x x x e =+−− ，所以 2()(12)0x k x x x e '=−−> ，所以 ()k x 在(0,0.1] 上单调递增，可得 ()(0)0k x k >> ，即 ()0g x '> ， 所以 ()g x 在(0,0.1] 上单调递增，可得 (0.1)(0)0g g >= ，即 0a c −> ，所以 .a c >故 .c a b <<4．（2021·天津·统考高考真题）设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．c<a<bC ．b<c<aD ．a c b <<【答案】D【解析】22log 0.3log 10<=，<0a ∴， 122225log 0.4log 0.4log log 212=−=>=，1b ∴>， 0.3000.40.41<<=，01c ∴<<，a cb ∴<<.故选：D.5．（2022·全国·统考高考真题）已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（ ） A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】A【解析】[方法一]：构造函数 因为当π0,,tan 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭故14tan 14c b =>，故1c b >，所以c b >； 设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+−∈+∞， ()sin 0f x x x '=−+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，故1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以131cos 0432−>， 所以b a >，所以c b a >>，故选A[方法二]：不等式放缩 因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭， 取18x =得：2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=−>−= ⎪⎝⎭，故b a > 1114sin cos 444ϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin ϕϕ==当114sin cos 44+=142πϕ+=，及124πϕ=−此时1sin cos 4ϕ=1cos sin 4ϕ==故1cos 4=11sin 4sin 44<=<，故b c < 所以b a >，所以c b a >>，故选A[方法三]：泰勒展开设0.25x =，则2310.251322a ==−，2410.250.25cos 1424!b =≈−+， 241sin 10.250.2544sin 1143!5!4c ==≈−+，计算得c b a >>，故选A. [方法四]：构造函数 因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1c b >，所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+−∈+∞，()sin 0f x x x '=−+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432−>，所以b a >,所以c b a >>， 故选：A ．[方法五]：【最优解】不等式放缩 因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1c b >，所以c b >；因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，取18x =得2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=−>−= ⎪⎝⎭，故b a >，所以c b a >>． 故选：A ．【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭放缩，即可得出大小关系，属于最优解．。
玩转指对幂比较大小(十一大题型)(解析版)
玩转指对幂比较大小目录01方法技巧与总结02题型归纳总结题型一：直接利用单调性题型二：引入媒介值题型三：含变量问题题型四：构造函数题型五：数形结合题型六：特殊值法、估算法题型七：放缩法题型八：不定方程题型九：泰勒展开题型十：同构法题型十一：帕德逼近估算法03过关测试(1)利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小．(2)指、对、幂大小比较的常用方法：①底数相同，指数不同时，如a x1和a x2，利用指数函数y=a x的单调性；②指数相同，底数不同，如x a1和x a2利用幂函数y=x a单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如log a x1和log a x2利用指数函数log a x单调性比较大小；④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．(3)转化为两函数图象交点的横坐标(4)特殊值法(5)估算法(6)放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法(7)常见函数的麦克劳林展开式：①e x=1+x+x22!+⋯+x nn!+eθx(n+1)!x n+1②sin x=x-x33!+x55!-⋯+(-1)n x2n+1(2n+1)!+o(x2n+2)③cos x=1-x22!+x44!-x66!+⋯+(-1)n x2n(2n)!+o(x2n)④ln(1+x)=x-x22+x33-⋯+(-1)n x n+1n+1+o(x n+1)⑤11-x=1+x+x2+⋯+x n+o(x n)⑥(1+x)n=1+nx+n(n-1)2!x2+o(x2)题型一：直接利用单调性1记a=30.2,b=0.3-0.2,c=log0.20.3，则()A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.b>a>c 【答案】D【解析】因为b=0.3-0.2=1030.2，幂函数y=x0.2在0,+∞上单调递增，又103>3，所以1030.2>30.2>30=1，所以b>a>1，又对数函数y=log0.2x在0,+∞上单调递减，所以c=log0.20.3<log0.20.2=1，故b>a>1>c.故选：D.2(2024·全国·模拟预测)已知a=30.6，b=log25，c=log323，则实数a，b，c的大小关系是() A.b>a>c B.a>b>c C.b>c>a D.a>c>b【答案】A【解析】由y=3x在R上单调递增，可得30.6>30.5=3>32，又30.65=27<25=32，则32<a=30.6<2．由y=log2x在0,+∞上单调递增，可得b=log25>log24=2．由y=log3x在0,+∞上单调递增，可得c=log323<log333=3 2．所以b>a>c，故选：A．3设a =4712，b =3534，c =ln1.6，则()A.c <a <bB.b <a <cC.c <a <bD.c <b <a【答案】D 【解析】因为47124=472=1649=20006125，35 34 4=35 3=27125=13236125，所以47 12 4>35 34 4，则47 12>3534，即a >b ，因为e 0.6 5=e 35 5=e 3>2.53=15.625，1.65=85 5=327683125<11，所以e 0.6 5>1.65，所以e 0.6>1.6，则ln e 0.6>ln1.6，即ln1.6<0.6，又b =35 34>35 1=35，所以b >c ，所以a >b >c .故选：D4(2024·宁夏银川·三模)已知a =0.20.5，b =cos2，c =lg15，则()A.a <b <cB.c <a <bC.b <c <aD.b <a <c【答案】D【解析】由题知a =0.20.5，b =cos2，c =lg15，因为f x =lg x 在定义域内单调递增，所以f 15 >f 10 ，即c =lg15>lg10=1，因为g x =0.2x 在定义域内单调递减，所以g 12<g 0 ，即0<a =0.20.5<0.20=1，因为h x =cos x 在0,π 上单调递减，所以h 2 <h π2 ，即b =cos2<cos π2=0，综上：b <0<a <1<c .故选：D题型二：引入媒介值1(2024·甘肃兰州·二模)故a =57-57，b =7535，c =log 3145，则a ，b ，c 的大小顺序是()A.b <a <cB.c <a <bC.b <c <aD.c <b <a【答案】D【解析】a =57 -57=7557>b =7535>1=log 3155>c =log 3145，所以c <b <a ，故选：D2(2024·高三·广西·开学考试)已知a =sin π6，b =20.1，c =log 23，则()A.b >c >a B.b >a >cC.a >c >bD.a >b >c【答案】A 【解析】a =sinπ6=12，因为20<20.1<21，所以1<b <2，因为log22<log 23<log 22，所以12<c <1，所以b>c>a，故选：A.3(2024·全国·模拟预测)已知a=log0.30.6，b=0.50.6，c=2cos222.5°-1，那么a，b，c的大小关系为()A.b<c<aB.a<b<cC.a<c<bD.b<a<c【答案】B【解析】因为0.62>0.3，所以0.6>0.312，则a=log0.30.6<log0.30.312=12，即0<a<12，0.5<b=0.50.6<0.50.5=22，即12<b=22，c=2cos222.5°-1=cos45°=22，故a<b<c 故选：B4(2024·江西上饶·模拟预测)设13a=2,b=log1213,c=12-13，则有()A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c 【答案】B【解析】由13a=2，得a=log132<log131=0，b=log1213=log23>log222=32，c=213<212<32，而c>0，所以a<c<b.故选：B题型三：含变量问题1(2024·陕西西安·统考一模)设a>b>0,a+b=1且x=-1ab,y=log1ba,z=log1a+1bab，则x,y,z的大小关系是()A.x<z<yB.z<y<xC.y<z<xD.x<y<z 【答案】A【解析】由a>b>0,a+b=1，可得0<b<12<a<1，则z=log1a +1bab=log a+babab=log1abab=-1因为0<b<1，所以log b a<log b b=1，则y=log1ba=-log b a>-log b b=-1，因为x=-1ab<-1，所以x<z<y．故选：A．2(多选题)若0<a<b<1，则()A.a b<b aB.ab+1<a+bC.a1-b<b1-aD.log a(1+b)>log b(1+a)【答案】AC【解析】A选项中，因为0<a<1，故y=a x在R上单调递减，故a b<a a，因为y=x a在0,+∞上单调递增，故a a<b a，综上，a b<a a<b a，A正确；B选项中，由于a+b-ab-1=(a-1)(1-b)<0，而已知0<a<b<1，所以B不正确；C 选项中，a 1-b <b 1-a ⇔(1-b )ln a <(1-a )ln b ⇔ln a 1-a <ln b1-b，设f (x )=ln x 1-x (0<x <1)，则f(x )=1x -1+ln x (1-x )2(0<x <1)，设g (x )=ln x +1x -1(0<x <1)，则g (x )=x -1x2<0⇒g (x )>g (1)=0⇒f (x )>0，所以f (x )在0,1 上递增，这样f (a )<f (b )，故C 正确；D 选项中，取a =19，b =13，则log a (1+b )=log 1943=log 13233，log b (1+a )=log 13109，又233=639>109>1，故log a (1+b )=log 1943<log b (1+a )=log 13109，所以D 错误.故选：AC .3(多选题)(2024·海南海口·模拟预测)已知x ，y ，z 都为正数，且2x =3y=6z ，则()A.xy >4z 2B.1x +1y <1zC.x +y >4zD.x +y <5z【答案】ACD【解析】令2x =3y=6z =k >1，则x =log 2k ，y =log 3k ，z =log 6k ，所以1x +1y =log k 2+log k 3=log k 6=1z ，B 错误；z =xy x +y <xy 2xy =xy 2(注意x ≠y >0等号不成立)，故4z 2<xy ，A 正确；z =xy x +y <(x +y )24(x +y )=x +y 4(注意x ≠y >0等号不成立)，则4z <x +y ，C 正确，由x +y -5z =log 2k +log 3k -5log 6k ，令f (x )=log 2x +log 3x -5log 6x 且x ∈(1,+∞)，则f(x )=1x 1ln2+1ln3-5ln6 =1x ⋅(ln6)2-5ln2ln3ln2ln3ln6，由(ln6)2-5ln2ln3=(ln2+ln3)2-5ln2ln3=ln 32 2-ln2ln3<(ln e )2-ln2ln3=14-ln2ln3，因为ln3>ln e =1，故14-ln2ln3<14-ln2=ln 4e2<0，综上，f (x )<0，即f (x )在x ∈(1,+∞)上单调递减，所以f (x )<f (1)=0，故log 2x +log 3x <5log 6x 恒成立，即x +y <5z ，D 正确.故选：ACD4(多选题)(2024·山西·模拟预测)已知当x >0时，11+x <ln 1+1x <1x，则()A.109<e 19<98 B.ln9<1+12+⋯+19<ln10C.10e9<9!D.C 09902+C 19912+⋯+C 99992<e【答案】ACD 【解析】因为11+x <ln 1+1x <1x ，令x =8，11+8=19<ln 1+18 =ln 98，则e 19<98，令x =9，ln 1+19 =ln 109<19，则109<e 19，A 正确；因为ln 1+1x =ln x +1x <1x ，则ln 21<1，ln 32<12，⋯，ln 109<19，以上各式相加有ln10<1+12+⋯+19，B 错误；由ln 1+1x =ln x +1x <1x得，x ln (x +1)-x ln x -1<0，即x ln (x +1)-(x -1)ln x -1<ln x ，于是ln2-1<ln1，2ln3-ln2-1<ln2，3ln4-2ln3-1<ln3，⋯，9ln10-8ln9-1<ln9，以上各式相加有9ln10-9<ln9!，即e ln109-9=109e9=10e 9<9!，C 正确；由ln 1+1x <1x 得，1+1x x <e ，因此C 0990+C 1991+⋯+C 9999=1+19 9<e ，设k ,n ∈N *,k ≤n ，C kn n k =n (n -1)(n -2)⋯(n -k +1)n k ⋅k !≤1，则C k n n k 2≤C knnk ，所以C 0990 2+C 19912+⋯+C 99992<C 0990+C 1991+⋯+C 9999<e ，D 正确．故选：ACD5(多选题)(2024·湖北·模拟预测)已知正实数a ，b ，c 满足c b <b a <1<log c a ，则一定有()A.a <1B.a <bC.b <cD.c <a【答案】AB【解析】由正实数a ，b ，c ，以及c b <1，b a <1可得c ,b ∈0,1 ，又log c a >1=log c c ，所以a <c <1．所以a b <c b ，又c b <b a ，所以a b <b a ，即b ln a <a ln b ，等价于ln a a <ln bb，构造函数f x =ln xx，x >0f x =1-ln xx 2，当x ∈0,1 时，f x =1-ln xx 2>0故f x =ln xx在0,1 上递增，从而a <b ．又取b =c 时，原式为b b <b a <1<log b a 同样成立，故CD 不正确，故选：AB题型四：构造函数1设a =log 32，b =log 43，c =23，d =log 53，则()A.a <b <c <dB.a <c <d <bC.a <d <c <bD.c <a <b <d【答案】B【解析】构造函数f x =ln xx，f x 的定义域为0,+∞ ，f x =1-ln xx2，令f x >0可得：x ∈0,e ，令f x <0可得：x ∈e ,+∞ ，所以f x 在0,e 上单调递增，在e ,+∞ 上单调递减．故f3 >f4 =f2 ，即ln33>ln44=ln22，变形可得ln2ln3<23，即log32<23，所以a<c；又3ln3=ln27>ln25=2ln5，所以23<log53，又因为log53<log43，所以c<d<b，综上，a<c<d<b，故选：B．2(2024·湖北武汉·二模)设a=15,b=2ln sin110+cos110,c=65ln65，则a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b 【答案】B【解析】由已知可得b=2ln sin 110+cos110=ln sin110+cos1102=ln1+sin15，设f(x)=x-sin x，x∈(0,1)，则f (x)=1-cos x>0，所以f(x)=x-sin x在(0,1)上单调递增，所以f15>f(0)=0，即15>sin15，所以b=ln1+sin15<ln1+15，设g(x)=x-ln(x+1)，x∈(0,1)，则g (x)=1-1x+1=xx+1>0，所以g(x)=x-ln(x+1)在(0,1)上单调递增，所以g15>g(0)=0，即15>ln1+15>ln1+sin15，综上a>b，设h(x)=x-65ln(x+1)，x∈(0,1)，则h (x)=1-65x+5=5x-1x+1，当x∈0,1 5时，h (x)<0，当x∈15,1时，h (x)>0，所以h(x)=x-65ln(x+1)在0,15上单调递减，在15,1上单调递增，所以h15<h(0)=0，即15<65ln1+15=65ln65，所以a<c，所以b<a<c 故选：B.3设a=4105,b=ln1.04,c=e0.04-1，则下列关系正确的是()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a 【答案】D【解析】设f x =e x-x+1,g x =ln x-x-1，则f x =e x-1,g x =1-x x，易知x>0⇒f x >0,1>x>0⇒g x >0，且x<0⇒f x 0,x1⇒g x <0，所以f x 在-∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增；g x 在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，即f x ≥f0 =0⇒e x-1≥x，在x=0时取得等号，且g x ≤g1 =0⇒ln x≤x-1，在x=1时取得等号，则ln 1x≤1x-1x>0⇒ln x≥1-1x，在x=1时取得等号，所以e 0.04-1>0.04=1.04-1>ln1.04>1-11.04=4104>4105，即c >b >a .故选：D4(2024·全国·模拟预测)已知a =5050，b =4951，c =5149，则()A.b <c <aB.c <a <bC.b <a <cD.a <b <c【答案】B【解析】因为a =5050，b =4951，所以ln a =50ln50，ln b =51ln49，令f (x )=ln x x +1x >e 2 ，则f(x )=1+1x -ln x x +12，令g x =1+1x -ln x x >e 2 ，则g x =-x +1x2<0恒成立，所以g x 在e 2,+∞ 上单调递减，则g x <g e 2 =1+1e2-2<0，所以f (x )<0在e 2,+∞ 上恒成立，则f (x )上单调递减，又e 2<49<50，所以f 50 <f 49 ，即ln5051<ln4950，即50ln50<51ln49，所以ln a <ln b ，则a <b ；因为c =5149，所以ln c =49ln51，而ln a =50ln50，令h (x )=ln x x -1x >e 2 ，则h(x )=1-1x -ln x x -12，令φx =1-1x -ln x x >e 2 ，则φ x =1-xx 2<0恒成立，所以φx 在e 2,+∞ 上单调递减，则φx <φe 2 =1-1e2-2<0，所以h (x )<0在e 2,+∞ 上恒成立，则h (x )上单调递减，又e 2<50<51，所以h 51 <h 50 ，即ln5150<ln5049，即49ln51<50ln50，所以ln c <ln a ，则c <a ；综上，c <a <b .故选：B ．5已知a =log 2986-log 2985,b =1-cos 1986,c =1985，则()A.b >a >cB.b >c >aC.a >c >bD.c >b >a【答案】C【解析】设g x =log 2x +1 -x ,x ∈0,1 ，则g x =1x +1 ln2-1，当x ∈0,1ln2-1 时，g x >0，g x 单调递增；当x ∈1ln2-1,1 时，g x <0，g x 单调递增；又g 0 =g 1 =0，所以g x =log 2x +1 -x >0,x ∈0,1 ，所以a =log 2986-log 2985=log 21+1985 >1985=c ；0<b =1-cos 1986<1，0<1986<c =1985<1，设f x =1-cos x -x ，0<x <1，f x =sin x -1<0，所以函数f x 在区间0,1 上单调递减，所以f x =1-cos x -x <f 0 =0，所以1-cos x <x ，又0<1986<1，所以1-cos 1986<1986<1985，则b <c ，综上，a >c >b .故选：C .题型五：数形结合1(2024·高三·海南·期末)若a =ln1.1,b =1e 0.9,c =0.1，则()A.a <b <cB.c <b <aC.a <c <bD.c <a <b【答案】C【解析】设f x =ln x -x -1 ，f x =1x-1，当x ∈1,2 时，f x <0，f x 单减，故f 1.1 =ln1.1- 1.1-1 <f 1 =0，即ln1.1<0.1；设g x =e x -x +1 ，g x =e x -1，当x ∈-1,0 时，g x <0，所以g -0.9 >g 0 ，即e -0.9--0.9+1 >e 0-0+1 =0，即e -0.9>0.1；c =0.112>0.11=0.1，故a 最小，b =1e0.9,c =110=110，e 0.910<39=19683，10 10=105=100000，因为19683<100000，所以e 0.9 10<39<10 10，所以e 0.9<10，1e0.9>110，所以b >c >a 故选：C2(2024·陕西商洛·模拟预测)设a =sin0.2,b =0.16,c =12ln 32，则()A.a >c >bB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b【答案】D【解析】设f x =sin x -x -x 2 ,x ∈0,0.2 ,f x =cos x -1+2x ，设g x =f x ,g x =-sin x +2>0，所以g x ≥g 0 =0，所以函数f x 在0,0.2 上单调递增，所以f 0.2 =sin0.2-0.2-0.22 =sin0.2-0.16>f 0 =0，即a >b .根据已知得c =12ln 32=12ln 1.20.8=12ln 1+0.21-0.2，可设h x =12ln 1+x -ln 1-x -sin x ,x ∈ 0,0.2 ，则h x =1211+x +11-x -cos x =11-x 2-cos x >0，所以函数h x 在0,0.2 上单调递增，所以h 0.2 >h 0 =0，即c >a .综上，c >a >b .故选：D .3已知a =0.80.5+0.80.7+0.80.9，b =0.60.8+0.70.8+0.80.8，c =e -815+e-1235+e -15，则()A.a >b >cB.a >c >bC.c >a >bD.b >c >a【答案】A【解析】设f x =0.8x ，画出f x 的图象，故f x 为下凸函数，当x 1≠x 2时f x 1 +f x 2 2>f x 1+x22，所以0.80.5+0.80.9>2×0.80.7，a =0.80.5+0.80.7+0.80.9>3×0.80.7.设g x =x 0.8x >0 ，画出g x 图象，故g x 为上凸函数，当x 1≠x 2时g x 1 +g x 2 2<g x 1+x22，所以b =0.60.8+0.70.8+0.80.8<3×0.70.8，同一坐标系内画出f x =0.8x 和r x =0.7x 的图象，又y =0.7x 在R 上单调递减，故0.80.7>0.70.7>0.70.8，所以a >b .设h x =ln x -1+1x 0<x <1 ，则h x =1x -1x 2<0，h x 在0,1 上单调递减，所以0<x <1时h x >h 1 =0，所以ln x >1-1x ，0.8ln0.6>451-53 =-815，所以0.60.8>e-815，同理可得0.70.8>e-1235，0.80.8>e -15，相加得0.60.8+0.70.8+0.80.8>e -815+e-1235+e -15，b >c ，所以a >b >c .故选：A4(2024·四川广安·二模)已知a，b，c均为正数，a=1+4a-2a，b2=4+b2-3b，4-c2c=log4c+3，则a，b，c的大小关系为()A.b<c<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c 【答案】B【解析】a=1+4a-2a可变形为：a-4a=1-2a，b2=4+b2-3b可变形为：b-4b=2-3b，4-c2c=log4c+3可变形为：c-4c=-log4c+3，令f x =x-4x，g x =1-2x，h x =2-3x，q x =-log4x+3，且x>0，可知a,b,c分别为函数f x 与g x ，h x ，q x 的交点横坐标，当x>0时，f x 单调递增且f1 =-3，f2 =0，g x ，h x ，q x 这三个函数全部单调递减，且g1 =h1 =q1 =-1>-3，g2 =-3<0，h2 =-7< 0，q2 =-log45<-1<0，由零点存在性定理可知：a,b,c∈1,2，所以只需判断g x ，h x ，q x 这三个函数的单调性，在x∈1,2范围内下降速度快的，交点横坐标小，下降速度慢的交点横坐标大，由图象可知，q x =-log4x+3下降速度最慢，所以c最大，g x =-2x ln2，h x =-3x ln3，x>0时，g x >h x ，所以交点a>b，故选：B5(2024·黑龙江哈尔滨·三模)已知2a=log12a，12b=log12b，则下面正确的是()A.a>bB.a<14C.b>22D.a-b<12【答案】D【解析】令f x =2x-log12x=2x+log2x，由2a=log12a，故f a =0，由y=2x与y=log2x在0,+∞上单调递增，故f x 在0,+∞上单调递增，又f14=214+log214=214-2<0，f12 =212+log212=2-1>0，故a∈14,12，故B错误；令g x =12x-log12x=12x+log2x，由函数y=12x的图象及y=-log2x的图象可得g x 在0,+∞上只有一个零点，由12b=log12b ，故g b =0，又g 22 =12 22+log 222=12 22-12>12 1-12=0，g 12 =12 12+log 212=12 12-1<12 0-1=0，故b ∈12,22，故C 错误；有a <b ，故A 错误；a -b <22-14=22-14<3-14=12，故D 正确.故选：D .6雅各布·伯努利(Jakob Bernoulli ，1654-1705年)是伯努利家族代表人物之一，瑞士数学家，他酷爱数学，常常忘情地沉溺于数学之中．伯努利不等式就是由伯努利提出的在分析不等式中一种常见的不等式．伯努利不等式的一种形式为：∀x >-1，n ∈N *，则(1+x )n ≥1+nx ．伯努利不等式是数学中的一种重要不等式，它的应用非常广泛，尤其在概率论、统计学等领域中有着重要的作用．已知a =log 22024-log 22023，b =1-cos 12024，c =12023，则()A.b >a >cB.a >c >bC.b >c >aD.c >b >a【答案】B【解析】a =log 22024-log 22023=log 220242023，c =12023=20242023-1，令f x =log 2x ,g x =x -1，两函数图象如图所示，因为f x 、g x 均单调递增，且f 1 =g 1 ,f 2 =g 2 ，结合图象可知当x ∈1,2 时，f x >g x ，即log 2x >x -1，故log 220242023>20242023-1，故a >c ；如图，单位圆A 中，BD ⊥AC 于D ，设∠BAC =θ，0<θ<π2，则BC的长度l =θ，AD =cos θ，CD =1-cos θ，则由图易得，l >BC >CD ，即θ>1-cos θ，所以12023>12024>1-cos 12024，故c >b ；综上，a >c >b .故选：B .7(2024·高三·江苏苏州·期中)设a =15cos 15，b =sin 15，c =e -45，则a ，b ，c 的大小关系为( )．A.b <a <c B.a <c <b C.b <c <a D.a <b <c【答案】D【解析】设∠AOB =α∈0,π2，作出单位圆，与x 轴交于A 点，则A 1,0 ，过点A 作AC 垂直于x 轴，交射线OB 于点C ，连接AB ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，由三角函数定义可知AC =tan α，BD =sin α，AB=α，设扇形OAB 的面积为S 1，则S △OAC >S 1>S △ABO ，即12tan α>12α>12sin α，故tan α>α>sin α，因为15∈0,π2 ，所以tan 15>15>sin 15，又cos 15>0，由tan 15>15得sin 15>15cos 15，即b >a ，令f x =e x -x -1，x <0，则f x =e x -1，当x <0时，f x =e x -1<0，故f x 在-∞,0 上单调递减，所以f -45 >f 0 =0，所以e -45>15，故c >b ，综上，a <b <c .故选：D8(2024·江西南昌·三模)若12a=log2a，12 b=b2，c12=2-c，则正数a,b,c大小关系是()A.c<a<bB.c<b<aC.a<c<bD.a<b<c 【答案】B【解析】由12a=log2a，则a为y=12 x与y=log2x交点的横坐标，由12b=b2，则b为y=12 x与y=x2交点的横坐标，由c 12=2-c，即c12=12c，则c为y=12 x与y=x12交点的横坐标，作出y=12x，y=log2x，y=x2，y=x12的图象如下所示，由图可知，c<b<a.故选：B题型六：特殊值法、估算法1若都不为零的实数a,b满足a>b，则()A.1a <1bB.ba+ab>2 C.e a-b>1 D.ln a>ln b【答案】C【解析】取a=1,b=-1，满足a>b，但1a>1b，A错误；当a=1,b=-1，满足a>b，但ba+ab=-2<2，B错误；因为a>b，所以a-b>0，所以e a-b>1，C正确；当a<0或b<0时，ln a,ln b无意义，故D错误．故选：C2已知a=2x，b=ln x，c=x3，若x∈0,1，则a、b、c的大小关系是()A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b 【答案】B【解析】取x=12，则a=212>1，b=ln12<0，c=123<1，所以a>c>b．故选：B．3已知a=3，b=214，c=log2e，则a，b，c的大小关系为()A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a 【答案】B【解析】由a4=9，b4=2，可知a>b>1，又由e2<8，从而e<22=232，可得c=log2e<32<a，因为b4-654=2-1296625<0，所以1<b<65；因为e5-26>2.75-64>0，从而e5>26，即e>26 5，由对数函数单调性可知，c=log2e>log2265=65，综上所述，a>c>b．故选：B．4(2024·陕西安康·模拟预测)若a,b,c满足2a>2b,log3c<0，则()A.1b-ac>0 B.a c>b c C.ac>bc D.a+c>bc 【答案】C【解析】由2a>2b,log3c<0，得a>b,0<c<1，所以b-a<0，所以1b-ac<0，所以A错误；令a=-1,b=-2,c=12，此时ac与b c无意义，所以B错误；因为a>b,0<c<1，所以由不等式的性质可得ac>bc，所以C正确；令a=-2,b=-3,c=12，则a+c=-32=bc，所以D错误.故选：C.题型七：放缩法1(2024·全国·模拟预测)已知a=e π10，b=1+sin9π10，c=1.16，则a，b，c的大小关系为()A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a 【答案】C【解析】令f x =e x-x-1x≥0，则f x =e x-1≥0恒成立，所以f x 在0,+∞单调递增，所以当x>0时，f x >f0 =0，即e x>x+1x>0；令g x =x-sin x x≥0，则g x =1-cos x≥0恒成立，所以g x 在0,+∞单调递增，所以当x>0时，g x >g0 =0，即sin x<x(x>0)；由诱导公式得b=1+sin 9π10=1+sinπ10，所以b=1+sin π10<1+π10<eπ10，因此a>b；因为a=e π10<e410=e0.4，c=1.16= 1.1150.4，故只需比较e与1.115的大小，由二项式定理得，1.115=(1+0.1)15>1+C115×(0.1)1+C215×(0.1)2>3>e，所以c>a．综上，c>a>b.故选：C2(2024·全国·模拟预测)已知a =13log 512，b =sin π10，c =1734，则()A.a <b <c B.c <b <aC.b <c <aD.a <c <b【答案】B 【解析】因为a =13log 512=16log 5144>16log 5125=12，b =sin π10<sin π6=12，所以b <a ．因为b =sin π10>sin π10cos π10=12sin π5>12sin π6=14，c =1734=1343 14<1256 14=14，所以c <b ．综上可知，c <b <a ．故选：B ．3(2024·全国·模拟预测)已知a =lg2,b =lg5，则下列不等式中不成立的是()A.0<ab <1 B.2a -b >12C.a +b >2D.1a +1b>4【答案】C【解析】因为a =lg2,b =lg5，所以a +b =lg2+lg5=lg10=1，对于A ，易得0<a <1,0<b <1，所以0<ab <1，故A 成立.对于B ，因为a -b =lg 25>lg 110=-1，所以2a -b >2-1=12，故B 成立.对于C ，(a +b )2=1+2ab ≤1+a +b =2，当且仅当a =b =12时，等号成立，显然等号不成立，所以a +b <2，故C 不成立.对于D ，因为a +b =1且a ≠b ，所以1a +1b =(a +b )1a +1b =2+b a +ab >2+2b a ⋅a b=4，故D 成立.故选：C .4(2024·江西宜春·模拟预测)若a =e -310，b =0.3e 0.3，c =1310ln1.3，则()A.a >b >c B.a >c >b C.b >a >cD.c >b >a【答案】A【解析】显然a =e -310>0，b =0.3e 0.3>0，因为b a=0.3e 0.3e-310=0.3e 0.6<0.3e <0.9<1，所以a >b ；又因为b =0.3e 0.3=e 0.3ln e 0.3，c =1310ln1.3=1.3ln1.3，令g x =e x -x -1，x >0．则g x =e x -1>0，可知g (x )在0,+∞ 上单调递增，则g 0.3 >g 0 =0，可得e 0.3>1+0.3=1.3>1e，令f (x )=x ln x ，x >1e ，则f x =ln x +1>0在1e ,+∞ 内恒成立，可知f (x )在1e ,+∞ 内单调递增，则f e 0.3 >f 1.3 ，即e 0.3ln e 0.3>1.3ln1.3，所以b >c ；综上所述：a >b >c ．故选：A ．5(2024·内蒙古呼和浩特·二模)设a =log 615，b =log 820，c =log 20122024，则a 、b 、c 的大小关系为()A.a <b <cB.a <c <bC.b <a <cD.c <b <a【答案】D【解析】a =log 615=log 6156×6=log 652+1，b =log 820=log 8208×8 =log 852+1，c =log 20122024=log 201220242012×2012 =log 2012506503+1，因为log 652>log 852，所以a >b ，因为log 852>log 82=13，log 2012506503<log 201210=log 2012100013<log 2012201213=13，所以b >c ，所以c <b <a .故选：D .6下列大小关系正确的是()A.2ln2<ln2 B.22.2>2.22C.3.32>23.3D.3.34<43.3【答案】C【解析】对于A ，由于2>1,0<ln2<1，所以2>ln2>0,2 2>ln2 2，故2ln2>ln2，故A 错误；对于BCD ，设f x =ln x x ，则f x =1-ln xx 2，当x >e 时，f x <0，此时f x 单调递减，当0<x <e 时，f x >0，此时f x 单调递增，因此f 2.2 >f 2 ,f 3.3 >f 4 ，即ln2.22.2>ln22⇒2ln2.2>2.2ln2⇒22.2<2.22，故B 错误；ln3.33.3>ln44⇒4ln3.3>3.3ln4⇒2ln3.3>3.3ln2⇒3.32>23.3，故C 正确；ln3.33.3>ln44⇒4ln3.3>3.3ln4⇒3.34>43.3，故D 错误.故选：C题型八：不定方程1已知a 、b 、c 是正实数，且e 2a -2e a +b +e b +c =0，则a 、b 、c 的大小关系不可能为()A.a =b =cB.a >b >cC.b >c >aD.b >a >c【答案】D【解析】因为e2a-2e a+b+e b+c=0，a、b、c是正实数，所以e2a-e a+b+e b+c-e a+b=e a e a-e b+e b e c-e a=0，因为a,b,c>0，所以e a>1,e b>1,e c>1，对于A，若a=b=c，则e a-e b=e c-e a=0，满足题意；对于B，若a>b>c，则e a-e b>0,e c-e a<0，满足题意；对于C，若b>c>a，则e a-e b<0,e c-e a>0，满足题意；对于D，若b>a>c，则e a-e b<0,e c-e a<0，不满足题意．故选：D．2设实数a，b满足1001a+1010b=2023a，1014a+1016b=2024b，则a，b的大小关系为() A.a>b B.a=b C.a<b D.无法比较【答案】C【解析】假设a≥b，则1010a≥1010b，1014a≥1014b，由1001a+1010b=2023a得1001a+1010a≥2023a⇒10012023a+10102023a≥1，因函数f(x)=10012023x+10102023x在R上单调递减，又f(1)=10012023+10102023=20112023<1，则f(a)≥1>f(1)，所以a<1；由1014a+1016b=2024b得1014b+1016b≤2024b⇒10142024b+10162024b≤1，因函数g(x)=10142024x+10162024x在R上单调递减，又g(1)=10142024+10162024=20302024>1，则g(b)≤1<g(1)，所以b>1；即有a<1<b与假设a≥b矛盾，所以a<b，故选：C3已知实数a、b，满足a=log23+log64，3a+4a=5b，则关于a、b下列判断正确的是() A.a<b<2 B.b<a<2 C.2<a<b D.2<b<a【答案】D【解析】先比较a与2的大小，因为log23>1，所以(log23)2>log23，所以a-2=log23+log64-2=log23+21+log23-2=(log23)2-log231+log23>0，即a>2，故排除A，B，再比较b与2的大小，易得，当b=2时，由3a+4a=5b，得a=2与a>2矛盾，舍去，故a>2，则有3a+4a=5b，得b>2，令f(x)=3x+4x-5x，x>2，令t=x-2，则x=t+2，故g(t)=9×3t+16×4t-25×5t<25⋅4t-25⋅5t<0，故3a+4a=5b<5a，从而2<b<a．故选：D．4已知实数a，b满足a=log34+log129，5a+12a=13b，则下列判断正确的是() A.a>b>2 B.b>a>2 C.2>b>a D.a>2>b 【答案】A【解析】∵a=log34+log129=log34+log39log312=log34+21+log34，故a-2=log34+21+log34-2=(log34)2-log341+log34，∵log34>log33=1，∴(log34)2>log34，故a-2>0，即a>2，∵5a+12a=13b，且a>2，∴13b>52+122=132，∴b>2，令g(x)=5x+12x-13x(x>2)，则g(x)=52⋅5x-2+122⋅12x-2-132⋅13x-2<(52+122)⋅12x-2-169⋅13x-2<0，故13b=5a+12a<13a，即a>b，故a>b>2，故选：A．5若a<4且4a=a4，b<5且5b=b5，c<6且6c=c6，则()A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b 【答案】B【解析】令f(x)=ln xx(x>0)，则f′(x)=1-ln xx2．由f′(x)>0得：0<x<e．∴函数f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减．∵4a=a4，5b=b5，6c=c6，∴a ln4=4ln a，b ln5=5ln b，c ln6=6ln c，∴f(4)=ln44=ln aa=f(a)，f(5)=ln55=ln bb=f(b)，f(6)=ln66=ln cc=f(c)．∵6>5>4>e，∴f(6)<f(5)<f(4)，∴f(c)<f(b)<f(a)，又∵c<6，b<5，a<4，∴c，a，b都小于e，∴c<b<a．故选：B．题型九：泰勒展开1已知a=3132,b=cos14,c=4sin14，则()【答案】A【解析】设x=0.25，则a=3132=1-0.2522，b=cos14≈1-0.2522+0.2544!，c=4sin14=sin1414≈1-0.2523!+0.2545!，计算得c>b>a，故选A．2设a=e0.2-1,b=ln1.2,c=15，则a,b,c的大小关系为．(从小到大顺序排)【答案】b<c<a【解析】a=e0.2-1>1+0.2-1=0.2=c，由函数切线放缩ln(1+x)<x得b=ln1+0.2<0.2=c，因此a>c>b．故答案为：b <c <a3设a =0.1e 0.1,b =19,c =-ln0.9，则()A.a <b <cB.c <b <aC.c <a <bD.a <c <b【答案】C【解析】a =0.1e 0.1≈0.11+0.1+(0.01)22=0.1105，b =19≈0.1111c =-ln0.9=ln 109=ln 1+19 ≈19-1922=0.1049∴c <a <b 故选C4a =2ln1.01,b =ln1.02,c = 1.04-1，则()A.a <b <c B.b <c <aC.c <a <bD.a <c <b【答案】B【解析】a =2ln1.01=2ln (1+0.01)≈20.01-(0.01)22+(0.01)33=0.0199，b =ln (1+0.02)≈0.02-(0.02)22=0.0198，c = 1.04-1=(1+0.04)12-1≈1+12×0.04+12-12 (0.04)22-1=0.02-0.00002=0.0198∴b <c <a ，故选B5(2024·全国·模拟预测)已知a =0.99，b =0.9999，c =sin9则()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.b >c >a【答案】C【解析】由已知，a =0.99=1-110 10-1，b =0.9999=1-1100 100-1，设f x =1-x 1x-1=eln 1-x 1x-1=e1x -1 ln 1-x，x ∈0,1 ，则fx =e 1x -1 ln 1-x ⋅1x -1ln 1-x，其中1x -1ln 1-x =-1x 2ln 1-x +1x -1 ⋅-11-x =-ln 1-x +x x2，令g x =ln 1-x +x ，则g x =-11-x +1=xx -1，当x ∈0,1 时，g x <0，∴g x 在0,1 上单调递减，g x <g 0 =0，∴当x ∈0,1 时，1x -1 ln 1-x>0，f x >0，f x 在0,1 上单调递增，∴f 110 >f 1100 ，即1-110 10-1>1-1100 100-1，∴有a >b .对于c 与a ，c =sin9=sin 3π-9 >sin 9.42-9 >sin0.4，将sin0.4泰勒展开，得sin0.4>0.4-0.433!>0.3893，a =1-0.1 9<C 09-0.1 0+C 19-0.1 1+C 29-0.1 2+C 39-0.1 3+C 49-0.1 4=1-0.9+0.36-0.084+0.0126=0.3886<0.3893<c ，∴a <c .综上所述，a ，b ，c 的大小关系为c >a >b .故选：C .题型十：同构法1(多选题)(2024·全国·模拟预测)已知实数a ，b 满足log 3a +log b 3=log 3b +log a 4，则下列关系式中可能正确的是()A.∃a ,b ∈(0,+∞)，使|a -b |>1B.∃a ,b ∈(0,+∞)，使ab =1C.∀a ,b ∈(1,+∞)，有b <a <b 2D.∀a ,b ∈(0,1)，有b <a <b【答案】ABC【解析】由log 3a +log b 3=log 3b +log a 4得log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a ，令f (x )=log 3x -1log 3x ，则f (x )分别在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，令g (x )=log 3x -1log 4x，则g (x )分别在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，当x ∈(0,1)时，f x 的值域为R ，当x ∈(2,+∞)时，g (x )的值域为log 32-2,+∞ ，所以存在b ∈(0,1),a ∈(2,+∞)，使得f (b )=g (a )；同理可得，存在b ∈(2,+∞),a ∈(0,1)，使得f (b )=g (a )，因此∃a ,b ∈(0,+∞)，使|a -b |>1，故选项A 正确．令ab =1，则方程log 3a +log b 3=log 3b +log a 4可化为log b 3+log b 4=2log 3b ，由换底公式可得(ln b )2=ln3×ln122>0，显然关于b 的方程在(0,+∞)上有解，所以∃a ,b ∈(0,+∞)，使ab =1，故选项B 正确．当a ,b ∈(1,+∞)时，因为log 3b -1log 3b =log 3a -1log 4a <log 3a -1log 3a ，所以f (b )<f (a )．又f x 在(1,+∞)上单调递增，所以b <a ．因为log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a >log 4a -1log 4a ，令h (x )=x -1x，则h (x )在(0,+∞)上单调递增．因为h log 3b >h log 4a ，所以log 3b >log 4a ，从而log 3b >log 4a =log 2a >log 3a ，所以b >a ．综上所述，b <a <b 2，故选项C 正确．当a ,b ∈(0,1)时，因为log 3b -1log 3b =log 3a -1log 4a >log 3a -1log 3a ，所以f (b )>f (a )．又f x 在(0,1)上单调递增，所以b >a ．因为log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a <log 4a -1log 4a ．令h (x )=x -1x，则h (x )在(0,+∞)上单调递增，因为h log 3b <h log 4a ，所以log 3b <log 4a ，从而log 3b <log 4a =log 2a <log 3a ，所以b <a ．综上所述，b 2<a <b ，故选项D 错误．故选：ABC ．2(多选题)已知a>0，b>0且满足ab-2b+b ln ab=e，则下列结论一定正确的是() A.ab>e B.ab<e C.ab>e2 D.ab<e2【答案】AD【解析】等式ab-2b+b ln ab=e，等号两边同除以b，可得a-2+ln ab=e b，所以a+ln a=eb-ln b+2，所以a+ln a=eb+1-ln b+1，所以a+ln a=eb+ln eb+1，构造函数a+ln a=eb+ln eb+1，则f a =f eb+1，显然，函数f x =x+ln x在定义域0,+∞内是增函数，所以a>eb，即ab>e．而ab-e=b2-ln ab，而ab>e，故2-ln ab>0，故ab<e2，故D正确.故选：AD．3(2024·高三·浙江·开学考试)已知a>1,b>0，若a+log2a=b+log2b，则()A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2【答案】D【解析】当a=4时，a+log2a=b+log2b=4⇒b+log2b-4=0，函数g x =x+log2x-4是正实数集的上的增函数，因为g2 g4 =-1×2<0，因此b∈2,4⇒2b∈4,8，显然a<2b，因此选项A不正确；当a=16时，a+log2a=b+log2b=8⇒b+log2b-8=0，函数h x =x+log2x-8是正实数集的上的增函数，因为h4 g8 =-2×3<0，因此b∈4,8⇒2b∈8,16，显然a>2b，因此选项B不正确；因为a>1，所以log2a>0由a+log2a=a+2log2a>a+log2a⇒b+log2b>a+log2a，构造函数f x =x+log2x x>0，显然该函数单调递增，由b+log2b>a+log2a⇒f b >f a⇒b>a⇒b2>a，因此选项C不正确，选项D正确，故选：D4(2024·重庆·模拟预测)已知正实数a,b满足2a=8b+log2ba,则()A.a=bB.a<3bC. a=3bD.a>3b 【答案】B【解析】由2a=8b+log2ba可得2a-23b=log2b-log2a=log2(3b)-log2a-log23,因log23>1，则有2a-23b<log2(3b)-log2a,即2a+log2a<23b+log2(3b),(*)设f(x)=2x+log2x，则(*)即f a <f3b，因f(x)在(0,+∞)上为增函数，故可得：a<3b.。
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（1）定义域：R （2）值域：（0， +）
（3）单调性：当01时，指数函数在定义域上是减函数 当1时，指数函数在定义域上是增函数
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• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
指数对数比较大小六方法
“六法”比较指数幂大小对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．1．转化法例1 比较12(3-+与231)的大小．解：∵2231)1)-+==，∴11222(31)]1---+==．又∵011<<，∴函数1)x y =在定义域R 上是减函数．2311)<，即2132(31)-+<． 评注：在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．２．图象法例2 比较0.7a 与0.8a的大小．解：设函数0.7x y =与0.8x y =，则这两个函数的图象关系如图．当x a =，且0a >时，0.80.7a a >；当x a =，且0a <时，0.80.7a a <；当0x a ==时，0.80.7a a =．评注：对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．3．媒介法例3 比较124.1-，345.6，1313⎛⎫- ⎪⎝⎭的大小． 解：∵1313004215.6 5.61 4.1 4.103-⎛⎫>==>>>- ⎪⎝⎭，∴13134215.6 4.13-⎛⎫>>- ⎪⎝⎭． 评注：当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．４．作商法例４ 比较a b a b 与b aa b （0a b >>）的大小． 解：∵a b a b a b a b b a a b a b a a a a b b a b b b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又∵0a b >>，∴1a b>，0a b ->． ∴1a b a b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，即1a b b a a b a b>．∴a b b a a b a b >． 评注：当底数与指数都不同，中间量又不好找时，可采用作商比较法，即对两值作商，根据其值与1的大小关系，从而确定所比值的大小．当然一般情况下，这两个值最好都是正数．5．作差法例5 设0m n >>，0a >，且1a ≠，试比较m m a a-+与n n a a -+的大小． 解：()()m m n n m m n n a a a a a a a a ----+-+=+--()()m n m n a a a a --=-+-(1)(1)(1)()n m n m m n m n n m a a a a a a a -----=-+-=--．（1）当1a >时，∵0m n ->，∴10m n a-->． 又∵1n a >，1m a-<，从而0n m a a -->． ∴(1)()0m n n m a a a ---->．∴m m n n a a a a --+>+．（2）当01a <<时，∵1m n a-<，即10m n a --<． 又∵0m n >>，∴1n a <，1m a->，故0n m a a -<． ∴(1)()0m n n m a a a ---->．∴m m n n a a a a --+>+．综上所述，m m n n a a a a --+>+．评注：作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法，即对两值作差，看其值是正还是负，从而确定所比值的大小．6．分类讨论法例6 比较221x a +与22x a +（0a >，且1a ≠）的大小．分析：解答此题既要讨论幂指数221x +与22x +的大小关系，又要讨论底数a 与１的大小关系．解：（１）令22212x x +>+，得1x >，或1x <-．①当1a >时，由22212x x +>+，从而有22212x x a a ++>；②当01a <<时，22212x x aa ++<． （2）令22212x x +=+，得1x =±，22212x x aa ++=． （3）令22212x x +<+，得11x -<<．①当1a >时，由22212x x +<+，从而有22212x x a a ++<；②当01a <<时，22212x x a a ++>．评注：分类讨论是一种重要的数学方法，运用分类讨论法时，首先要确定分类的标准，涉及到指数函数问题时，通常将底数与1的大小关系作为分类标准．。
巧用函数的单调性比较大小
数理化解题研究2021年第01期总第494期巧用函数的单调性比较大小张岭芝(江苏省无锡市青山高级中学214036)摘 要：函数的单调性是函数的核心性质，利用单调性比较函数值大小是每一位高一新生必须掌握的基本功,这也为今后进一步学习函数的性质打下扎实的基础.本文通过举例分析了如何运用函数的单调性比较三类函数值的大小，总结出函数值比较大小的口诀,提高学生利用函数性质研究函数值大小的能力.关键词：基本初等函数；函数的单调性；比较大小中图分类号：G632 文献标识码:A 文章编号：1008 -0333(2021)01 -0062 -02利用幂函数、指数函数、对数函数等基本初等函数比 较两个或多个函数值的大小是高一代数的一个热点,也是一个重点，有没有象乘法口诀“三五十五”那样朗朗上 口且通俗易懂的方法来比较函数值的大小呢？有！笔者经过多年的教学，总结出“大大大，大小小，小大小，小小 大”这四句口诀.一、同底数幕的大小比较同底数幂的大小比较是利用指数函数y _ a %(a >0且 a Hl),当a >1时，在R 上单调递增，当0< a < 1时，在R上单调递减这个性质来进行比较的.例1比较下列两组数的大小：⑴33与3； (2) [ 3 ｝与(打解析分别考查指数函数y _3%与y _ ( 1 )%,根据各自在 R 上的单调性, 得, 1 1 丄 丄(1)因为 3〉1,〒 > —，所以 3 3 > 3 n .3n⑵因为0<1 <】，3 >；,所以(3) <(10-上述(1)的解题过程中的三个不等号可以概括为“大 大大”，即底数3>1,指数1 > 1，由于y _3%在R 上单调3 n递增，所以31 >3n .同理“大小小”也成立，比如,23 <21 \上述(2)的解题过程中的三个不等号可以概括为“小 大小”，即底数1 <1,指数1 > n ，由于y _ (10在R 上单调递减，所以(3 j <] 3 T •同理“小小大”也成立，比使用熟练以后，可以不考虑顺序.比如,已知a 3 > a n(a >0),根据“大大大”的“运算”口诀,a 3 > a ",£〉丄,3 n知a >1；再如，已知(20210" > (20210，根据“小大小”口 、十 2020 1 (2020 丫 (2020 j ：血诀，2021 <1，(2021j >(2021丿，知 m < :.二、同底数对数的大小比较同底数对数的大小比较是利用对数函数y _ log a % ( a>0,a Hl)当a >1时，在R *上单调递增，当0< a < 1时,在R *上单调递减这个性质来进行比较的.由于对数函数是相应指数函数的反函数，因而两个对数的大小比较和利用指数函数单调性比较完全一样，口诀的意义和使用方法也一样.例2比较下列各组数的大小：(1 ) lo g ：020 +与lo g ：020占 (2) lo g 3 +与lo g 3 丄3 n 3 e (3) lo g i /2+与 lo g i /2~~ (4)lo g i /2 +与 lo g i /2 丄3 n3 e解析(1)根据“大(底数2020 > 1)大(2 > 1 )大”3 n“运算 ” 口诀,得lo g ：020 + > lo g ：020 丄；3 n(2) 根据“大(底数3 >1)小(1 < 1 )小”“运算”口3e诀，得 l og 3 y < lo g 3 + ；(3) 根据“小(底数：<i)大(3〉；)小”“运算”口收稿日期：2020 -10 -05作者简介：张岭芝(1964. 5 -)，江苏省阜宁人，本科，中学高级教师，从事中学数学教学研究.—62—2021年第01期总第494期数理化解题研究诀，得lo g[/2+<lo g1/2丄；3n(4)根据“小(底数2<1)小([<1)大”“运算”口23e诀,得lo g[/2+>lo g1使用熟练以后,同样可以不考虑顺序.比如，已知 log^73>log%J5(%>0),根据“小大小”,3<J5,log%J3 >log%J5(%>0)运算口诀，知0<%<1；再如,已知log-™m>log-™n(m,^>0),根据“小大小”口诀,0<202；<1,唤雳m>呃2n，知0<m<n三、同指数幕的大小比较同指数幕的比较的是通过幕函数y-%a当a>0时,在R*上单调递增,当a<0时，在R*上单调递减这个性质来进行比较的•例3比较下列两组数的大小.（1）n3与33（2）n—3与3—2解析分别考查指数函数y-%3与y-%—3,根据其在R*上单调性，可得,1丄丄（1）因为3>0,n>3,所以n3>3n•“减大小（减函数+自变量大n函数值小）”当然是成立的.如果这样一改,三句口诀就变成九句了，为了简约又朗朗上口，还是“大大大,大小小,小大小,小小大”这四句口诀比较好,实践证明用这四句口诀比较两个函数值的大小特别顺,效果特别好.四、应用举例练习1若0<%<1,%>y>1,试比较%%,%y,%%,y%大小.解析由“大大大”知,％">y%>1%-1(此处用幂函数单调性比较)，由“小大小”知，％%<%y<%0-1(此处用指数幂函数单调性比较)•所以%%>y%>%y>%%•练习2若%2>b>%>1,试用“>”连接log%b,log b%, log%%,log b%•解析由%2>b>%>1,得0<-%<1,b>%>>1.b%由“大大大”知,log%b>log%%-1,1-log b b>log b%> lo g b%>lo g b1-0•由“大小小”知，log%%<log%1-0.（2）因为-3<0,n>3,所以n—3<3—3.上述（1）的解题过程中的三个不等号可以概括为“大大大”,即指数3>0,底数n>3，由于y-%3在R*上单调递增，所以n3>3n.同理可得“大小小”也成立，比如,23 <33.上述（2）的解题过程中的三个不等号可以概括为“小大小”，即指数-3<0,底数n>3,由于y-%-;在R*上所以lo g%b>lo g b%>lo g b万>lo g%千.事实上，这种情况可以推广到更一般初等函数.例4比较下列两组数的大小：⑴：5与ln20202020(2)2ln2与3ln3解析（1）考查函数y-",由于yA-（ln%）-%%2一竺，当%>e时,ln%>1,所以yA<0,所以函数y二皿%2%单调递减，所以n—3<3—3.同理“小小大”也成立，比如，]3}>（1j•使用熟练以后，也可以不考虑顺序，此处不再赘述.注意：四句口诀中“大”的个数不是3就是1,相应的“小”的个数不是0就是2!事实上，口诀“大大大”本应该是下面的三句:增大大（增函数+自变量大二函数值大），大增大（自变量大+增函数n函数值大）,大大增（自变量大+函数值大=增函数，注:此处仅研究单调函数）,就是说，“大大大”中的一个“大”应该是“增”，只不过用“增”字，口诀就变成三句了.同理对于另外三句:“大小小,小大小,小小大”,把其中的一个“大”改为“增”，或者一个“小”改为“减”，比如在（e，+¥）上单调递减根据“小小大”口诀，得5>2020•（2）考查函数y-%ln%，由于yA-1+ln%,当%>丄时，e ln%>-1,所以yA>0,所以函数y-%ln%在]十,+上单调递增,根据“大小小”口诀，得2ln2<3ln3•口诀“大大大，大小小,小大小,小小大”没有多少科技含量，也没有什么噱头,就是一个实用工具而已，学生如果能记住并用好就是作者最大的心愿•参考文献：[1]单墫等.普通高中课程标准实验教科书・数学（必修1）[M].南京：江苏教育出版社，2010.[责任编辑：李璟]—63—。
指数式和对数式比较大小
指数式和对数式比较大小五法方法一：利用函数单调性同底的指数式和对数式以及同指数的指数式的大小,可以利用函数的单调性来比较. 核心解读：1.比较形如m a 与n a 的大小,利用指数函数x y a =的单调性.2.比较形如log a m 与log a n 的大小,利用对数函数log a y x =的单调性.3.比较形如m a 与m b 的大小,利用幂函数m y x =的单调性.例1：比较下列各组数的大小（1）0.30.3,30.3（2）2log 0.8,2log 8.8（3）0.30.3,0.33[解]（1）利用函数0.3xy =的单调性. 因为函数0.3x y =在R 上单调递减,0.3<3,所以0.30.3>30.3.（2）利用函数2log y x =的单调性.因为函数2log y x =在(0,)+∞单调递增,0.8<8.8,所以2log 0.8<2log 8.8.（3）利用函数0.3y x=的单调性. 因为函数0.3y x =在(0,)+∞单调递增,0.3<3,所以0.30.3<0.33.方法二：中间桥梁法既不同底又不同指的指数式、对数式比较大小,不能直接利用函数的单调性来比较,可利用特殊数值作为中间桥梁,进而可比较大小.（1）比较形如m a 与n b 的大小,一般找一个“中间值c ”,若m a c <且m c b <,则m n a b <；若m a c >且n c b >,则m n a b >.常用到的特殊值有0和1.(0log 1a =，1log a a =，01a =)（2）比较形如m a 与n b 的大小,一般可以取一个介于两值中间且与题目中两数都能比较大小的一个中间值,即n a 或者m b ,进而利用中间值解决问题.例2：比较下列各组数的大小（1）0.41.9, 2.40.9（2）124()5,139()10[解]（1）取中间值1.因为0.401.91.91>=,2.400.90.91<=,所以0.4 2.41.90.9>.（2）取中间值129()10. 利用函数910x y =（）的单调性比较139()10和129()10的大小,易知139()10>129()10.利用函数12y x =单调性比较124()5和129()10的大小,易知124()5<129()10.所以139()10>124()5. （补充:对于指数相同底数不同的两指数式比较大小,也可以通过做比与1比较大小的方法比较两数的大小.）方法三：特值代入法对于在给定的区间上比较指数式和对数式的大小的问题,可在这个区间上取满足条件的特殊值,代入后通过计算化简或避免复杂的变形与讨论,是问题简捷获解.例3：（2008年全国卷理4文5）若1(,1)x e -∈,ln a x =,2ln b x =,3ln c x =,则（）.A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.b<a<c[解]在区间1(,1)e -上取12x e -=,通过计算知：121ln 2a e -==-,122ln 1b e -==-,313211ln ()28c e -==-=-,故b<a<c,选C. 方法四：估值计算法估值计算是指通过估值、合理猜想等手段,准确、迅速地选出答案.例4：（2007年全国卷理4文4）下列四个数中最大的是（）.A.2(ln 2)B.ln(ln 2)C.ln 2D.ln 2[解]因为lg 20.3010ln 20.7lg 0.4343e =≈≈, 所以2(ln 2)0.49≈,ln(ln 2)ln 0.70≈<,1ln 2ln 20.352=≈,故四个数中最大的是ln 2,选D.[点评]本题按普通比较法求解,可以预见运算量不小,恐怕很难心算而得到结果,但通过估值,合情推理,几乎一望而答,这就是估算法的魅力.方法五：数形结合法画出指数函数、对数函数和幂函数的图像,利用直观的图像往往能得到更简捷的解法. 例5：（2009年全国卷理7）设3log a π=,2log 3b =,3log 2c =,则（）.A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a[解]在同一直角坐标系内画出对数函数3log y x =和2log y x =的图像,如下图所示：由图像观察得a>b>c ,故选A.[点评]本题也可以利用比较法求解.因为322log 2log 2log 3<<所以b>c,因为2233log 3log 21log 3log π<==<,所以 a>b,所以a>b.但图像法解决问题比较直观、明了、容易比较出大小.。
指数函数、对数函数、幂函数、三角函数比较大小问题
指、对、幂、及三角值比较大小的方法总结基础知识储备1直接利用函数基本单调性比较大小例1.已知a =log 23，b =log 46利用指数对数单调性比较大小；当底数一样或者可以化成一样，直接利用单调性比较即可，c =log 89，则a 、b 、c 的大小顺序为()A.a <b <cB.a <c <bC.c <b <aD.b <c <a先利用对数运算法则进行化简，再用函数单调性比较大小.【解答】b =log 46=log 26，又c =log 89=log 239，∵3>6>39，y =log 2x 单调递增，∴c <b <a .课堂练兵1．下列选项正确的是()A.log 25.3<log 24.7 B.log 0.27<log 0.29C.log 3π>log π3D.log a 3.1<log a 5.2(a >0且a ≠1)2．已知a =log 23，b =ln2，c =log 2π，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >b >cB.c >a >bC.a >c >bD.c >b >a3.已知1a=ln3，b =log 35-log 32，c =2ln 3，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >c >bB.b >c >aC.c >a >bD.c >b >a4.已知x =90.91，y =log 20.1，z =log 20.2，则()A.x >y >zB.x >z >yC.z >x >yD.z >y >x比较与0,1的大小关系，此类题目一般会放在单选题靠前位置，比如0<0.20.3<0.20=1， 0=log 0.21<log 0.20.3<log 0.20.2=2比较与0,1的大小关系1例2.若a =23 12，b =ln 12，c =0.6-0.2，则a ，b ，c 的大小关系为()A.c >b >aB.c >a >bC.b >a >cD.a >c >b分别根据y =23x、y =ln x 、y =0.6x 的单调性，比较a ，b ，c 与0、1的大小，即可.【解答】y =23 x 在-∞,+∞ 上是减函数，0<a =23 12<23=1；y =ln x 在0,+∞ 上是增函数，b =ln 12<ln1=0；y =0.6x 在-∞,+∞ 上是减函数，c =0.6-0.2>0.60=1，故c >a >b 例3.已知a =log 132,b =log 23,c =2-0.3，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.b >c >a利用函数的单调性判断出a <0，b >1，0<c <1，即可得到正确答案.【解答】∵y =log 13x 为减函数，∴a =log 132<log 131=0，即a <0；∵y =log 2x 为增函数，∴b =log 23>log 22=1，即b >1；∵y =2x 为增函数，∴0<c =2-0.3<20=1，即0<c <1；∴b >c >a .例3.已知a=20.7，b=130.7，c=log213，则()A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.【解答】∵20.7>13 0.7>0=log21>log213，∴a>b>c.课堂练兵1.若a=100.1，b=lg0.8，c=log53.5，则()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b2.已知a=lg0.2,b=log56,c=ln2，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a3.已知a=20.6，b=e-0.6，c=log20.6，则a，b，c的大小关系为()A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b取中间值，比如遇到两个数都在0到1之间，我们可以比较它们与(0,1)之间的某个数进行大小比较，常用的中间值是13取中间值比较大小2例4.已知a=log323，b=log23，c=913，则()A.c>a>bB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a 利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.【解答】∵a=log323<log31=0，1=log22<b=log23<log24=2，c=913>813=2，∴c>b>a.例5.已知a=log52，b=log83，c=12，则下列判断正确的是()A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c 利用对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系，由此可得出结论.【解答】a=log52<log55=12=log822<log83=b，即a<c<b.例6.已知a=log62，b=log0.50.2，c=0.60.3，则a，b，c的大小关系为()A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b 根据指数函数、对数函数的性质计算可得.【解答】log0.50.2=log2-15-1=log25>log24=2，即b>2，0=log61<log62<log66=12，即0<a<12，1=0.60>0.60.3>0.50.3>0.51=12，即12<c<1，∴b>c>a；课堂练兵1.已知a=log34，b=log45，c=32，则有()A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.c>a>b2.设a=0.61，b=lg90.6，c=log328，则有()A.b<a<cB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a3．已知a =2log 54，b =12log 37，c =2log 45，则a ，b ，c 的大小关系是()A.b <c <aB.b <a <cC.c <a <bD.a <b <c当真数一样我们考虑用换底公式，换为底数一样，再比较分母，如a =ln2和b =log 324利用换底公式比较大小，a =ln2=1log 2e，b =log 32=1log 23，∵log 23>log 2e ，∴a >b 例7.设x ，y ，z 为正数，且3x =4y =5z ，则()A.x <y <zB.y <x <zC.y <z <xD.z <y <x令3x =4y =5z =k >1，用k 表示出x ，y ，z ，再借助对数函数的性质即可比较大小.【解答】因x ，y ，z 为正数，令3x =4y =5z =k ，则k >1，因此有：x =log 3k =1log k 3，y =log 4k =1log k 4，z =log 5k =1log k 5，又函数f (t )=log k t 在(0,+∞)上单调递增，而1<3<4<5，则0<log k 3<log k 4<log k 5，于是得1log k 3>1log k 4>1log k 5，所以z <y <x .例8.设a =log 32，b =ln2，c =512，则a ､b ､c 三个数的大小关系是()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.c >b >a根据对数函数与指数函数性质，结合中间值0、1比较即可．【解答】∵0<ln2<ln e =1，ln3>1，∴log 32=ln2ln3<ln2，∴a <b <1，∵c =512>50=1，∴c >b >a例9.设a =log 32，b =ln2，c =512，则a ､b ､c 三个数的大小关系是()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.c >b >a根据对数函数与指数函数性质，结合中间值0、1比较即可．【解答】∵0<ln2<ln e =1，ln3>1，∴log 32=ln2ln3<ln2，∴a <b <1，∵c =512>50=1，∴c >b >a 课堂练兵1.设a =log 0.14，b =log 504，则()A.2ab <2a +b <ab B.2ab <a +b <4ab C.ab <a +b <2abD.2ab <a +b <ab2.设a =log 2π，b =log 6π，则()A.a -b <0<ab B.ab <0<a -b C.0<ab <a -bD.0<a -b <ab 3.设0.2a =0.3，2b =0.3，则()A.a +b <ab <0 B.ab <a +b <0C.a +b <0<abD.ab <0<a +b 4．已知正数x ，y ，z 满足3x =4y =6z ，则下列说法中正确的是()A.1x +12y =1zB.3x >4y >6zC.xy >2z 2D.x +y >32+2z 去常数再比大小当底数和真数出现了倍数关系时，需要将对数进行分离常数再比较．这是对数值所独有的技巧，类似于分式型的分离常数，借助此法可以把较复杂的数值，转化为某一单调区间，或者某种具有单调性的形式，以利于比较大小 例如：log a ma =log a m +1；log a ma n =log a m +n 5分离常数再比较大小．例10.已知a =log 63，b =log 84，c =log 105，则()．A.b <a <cB.c <b <aC.a <c <bD.a <b <c结合对数的运算公式以及对数函数的单调性进行转化求解即可．【解答】由题意得：a =log 63=log 662=1-log 62=1-1log 26，b =log 84=log 882=1-log 82=1-1log 28，a =log 105=log 10102=1-log 102=1-1log 210，∵函数y =log 2x 在(0,+∞)上单调递增，∴log 26<log 28<log 210，则1log 26>1log 28>1log 210，所以a <b <c 课堂练兵1．设a =log 36，b =log 510，c =log 714，则()A.c >b >aB.b >c >aC.a >c >bD.a >b >c例11.a 6利用均值不等式比较大小=73，b =log 420，c =log 32+log 36，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a >b >cB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b根据对数函数的性质结合基本不等式分析比较即可【解答】a =73=1+43，b =log 420=log 44+log 45=1+log 45，c =log 32+log 36=1+log 34，∵43=log 3343=log 3381>log 3364=log 34，∴a >c ，∵log 45log 34=lg5lg4⋅lg3lg4<lg3+lg52 2(lg4)2=lg152 2(lg4)2<lg162 2(lg4)2=2lg422(lg4)2=1，log 45>1,log 34>1，∴log 45<log 34，所以c >b ，综上a >c >b ,故选B 例12.若a =lg2⋅lg5，b =ln22，c =ln33，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a <b <cB.b <c <aC.b <a <cD.a <c <b由基本不等式可判断a <14，由对数的性质可得b >14，再作差可判断c ,b 大小.【解答】a =lg2⋅lg5<lg2+lg5 24=14,b =2ln24=ln44>14c -b =ln33-ln22=2ln3-3ln26=ln 986>0， 则c >b .所以a <b <c .课堂练兵1.已知9m =10,a =10m -11,b =8m -9，则()B.a >b >0C.b >a >0D.b >0>ab =20.6，c =-log 0.26，则实数a ，b ，c 的大小关系为()B.a >b >cC.b >a >cD.b >c >a乘倍数后再进行大小比较，比如a =log 23和b =log 34，则3a =3log 23=log 227∈4,5 A.a >0>b2.已知a =log 25，A.a >c >b 7乘倍数比较大小， 3b =3log 34=log 364∈3,4 ，∴3a >3b ，∴a >b例13.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则()A.a <b <cB.b <a <cC.b <c <aD.c <a <b题意可得a 、b 、c ∈0,1 ，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由b =log 85，得8b =5，结合55<84可得出b <45，由c =log 138，得13c =8，结合134<85，可得出c >45，综合可得出a 、b 、c 的大小关系【解答】由题意可知a 、b 、c ∈0,1 ，a b =log 53log 85=lg3lg5⋅lg8lg5<1lg52⋅lg3+lg82 2=lg3+lg82lg52=lg24lg252<1，∴a <b ；由b =log 85，得8b =5，由55<84，得85b <84，∴5b <4，可得b <45；由c =log 138，得13c =8，由134<85，得134<135c ，∴5c >4，可得c >45.综上所述，a <b <c .课堂练兵1.已知a =log 23，b =log 34，c =log 45，则实数a ，b ，c 的大小关系为()A.a <b <cB.a >b >cC.b >a >cD.b >c >a8初等型双元变量构造函数比大小构造简单函数，利用函数的单调性比较大小例14.设a >0，b >0，则下列叙述正确的是()A.若ln a -2b >ln b -2a ，则a >b B.若ln a -2b >ln b -2a ，则a <b C.若ln a -2a >ln b -2b ，则a >b D.若ln a -2a >ln b -2b ，则a <b构造函数，利用函数的单调性分析判断即可【解答】∵y =ln x 和y =2x 在(0,+∞)上均为增函数，∴f (x )=ln x +2x 在(0,+∞)上为增函数，∴f (a )>f (b )时，得a >b >0，反之也成立，即ln a +2a >ln b +2b 时，a >b >0，反之也成立，∴ln a -2b >ln b -2a 时，a >b >0，反之也成立例15.若2x -e -x <2y -e -y ，则()A.ln y -x +1 <0B.ln y -x +1 >0C.ln x -y >0D.ln x -y <0先构造函数f x =2x -e -x ，通过观察导函数得到f x 单调性，从而得到x <y ，故可通过函数单调性判断出ln y -x +1 >ln1=0，而x -y 的可能值在[1,+∞)⋃0,1 ，故CD 均错误.【解答】令f x =2x -e -x ，则f x =2x ln2+e -x >0恒成立，故f x =2x -e -x 单调递增，由2x -e -x <2y -e -y 可得：x <y ，故ln y -x +1 >ln1=0，A 错误，B 正确；x -y 的可能值在[1,+∞)⋃0,1 ，故不能确定ln x -y 与0的大小关系，CD 错误.课堂练兵1.若a >b >1，且a x -a y >b -x -b -y ，则()A.ln x -y +1 >0B.ln x -y +1 <0C.ln x -y >0D.ln x -y <02.已知正实数x ，y 满足log 2x +log 12y <12 x -12 y，则()A.1x <1yB.x 3<y 3C.ln y -x +1 >0D.2x -y <12例16.设a ≠0，若x =a 为函数f x 9利用导数研究函数的单调性比较大小=a x -a 2x -b 的极大值点，则()A.a <b B.a >bC.ab <a 2D.ab >a 2【解答】若a =b ，则f x =a x -a 3为单调函数，无极值点，不符合题意，故a ≠b .∴f x 有x =a 和x =b 两个不同零点，且在x =a 左右附近是不变号，在x =b 左右附近是变号的.依题意，x =a 为函数f (x )=a (x -a )2(x -b )的极大值点，∴在x =a 左右附近都是小于零的.当a <0时，由x >b ，f x ≤0，画出f x 的图象如下图所示：由图可知b <a ，a <0，故ab >a 2.当a >0时，由x >b 时，f x >0，画出f x 的图象如下图所示：由图可知b >a ，a >0，故ab >a 2.故选：D .课堂练兵1．(多选题)已知正数x ，y ，z 满足x ln y =ye z =zx ，则x ，y ，z 的大小关系为()A.x >y >z B.y >x >z C.x >z >y D.以上均不对2．设a =2021ln2019，b =2020ln2020，c =2019ln2021，则()A.a >b >cB.c >b >aC.a >c >bD.b >a >c一般情况下，作差或者做商，可处理底数不一样的的对数比较大小10差比法与商比法作差或者做商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见解题技巧和方法例17.已知实数a ､b ､c 满足a =613,b =log 23+log 64,5b +12b =13c ，则a ､b ､c 的关系是()A.b >a >cB.c >b >aC.b >c >aD.c >a >b利用幂函数的性质知a <2，利用对数的运算性质及差比法可得b -2>0，再构造13c -13b ，根据指数的性质判断其符号，即可知b ,c 的大小.【解答】a =613<813=2；b =log 23+log 64=log 23+21+log 23，b -2=log 23⋅log 23-1 1+log 23>0，b >2；13c =5b +12b >52+122=132，c >2；13c -13b =5b +12b -13b =52⋅5b -2+122⋅12b -2-132⋅13b -2<52⋅12b -2+122⋅12b -2-132⋅13b -2=12b -2(52+122)-132⋅13b -2=132(12b -2-13b -2)<0，∴b >c ，综上，b >c >a .课堂练兵1.已知a =0.8-0.4，b =log 53，c =log 85，则()A.a <b <cB.b <c <aC.c <b <aD.a <c <b2.已知a =5log 23.4,b =5log 43.6,c =15log 30.3，则()A.a >b >cB.b >a >cC.a >c >bD.c >a >b 3.已知3a =6b =10，则2，ab ，a +b 的大小关系是()A.ab <a +b <2B.ab <2<a +bC.2<a +b <abD.2<ab <a +bf x 11构造函数：ln x /x 型函数 =ln xx出现的比较大小问题:①f x =ln x x 在区间(0，e )上单调递增，在区间(e ，+∞)单调递减；当x =e 时，取得最大值1e;②注意：f 2 =ln22=2ln24=f 4 例18.设a =4-ln4e2，b =1e ，c =ln22，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a <c <bB.c <a <bC.a <b <cD.b <a <c设f x =ln x x ，利用导数判断单调性，利用对数化简a =f e 22 ，b =f e ，c =f 2 =f 4 ，再根据单调性即可比较a ，b ，c 的大小关系.【解答】设f x =ln x x ，则f x =1x⋅x -ln xx 2=1-ln x x 2，当x ∈1,e ，f x >0，f x 单调递增，当x ∈e ,+∞ ，f x <0，f x 单调递减，因为a =4-ln4e 2=2ln e 2-ln2 e 2=ln e 22e 22=f e 22 ，b =1e =ln e e =f e ，c =ln22=f 2 ，所以b =f e 最大， 又因为c =f 2 =f 4 ，e <e 22<4，所以a =f e 22 >f 4 =c ，所以b >a >c课堂练兵1.已知a =3ln2π，b =2ln3π，c =3ln π2，则下列选项正确的是()A.a >b >c B.c >a >b C.c >b >aD.b >c >a2.以下四个数中，最大的是()A.ln 33 B.1e C.ln ππD.15ln15303.下列命题为真命题的个数是()①ln3<3ln2；②ln π<πe；③215<15；④3e ln2<42B.2D.4A.1C.312放缩①对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数，指数和幂函数结合来放缩。
指对幂函数知识点总结
指对幂函数知识点总结在数学的学习中，指对幂函数是非常重要的一部分内容。
理解和掌握它们的性质、图像以及运算规律，对于解决数学问题、提高数学素养有着至关重要的作用。
接下来，让我们一起深入地了解一下指对幂函数的相关知识。
一、指数函数指数函数的一般形式为＄y ＝ a^x$ （＄a ＞ 0$ 且＄a ≠ 1$）。
（一）性质1、定义域：＄R$ ，即实数集。
2、值域：＄（0, ＋＼infty)＄，函数值恒大于零。
3、单调性：当＄a ＞ 1$ 时，函数在＄R$ 上单调递增；当＄0 ＜a ＜ 1$ 时，函数在＄R$ 上单调递减。
（二）图像特点1、当＄a ＞ 1$ 时，图像经过点＄（0, 1)＄，且在＄R$ 上呈上升趋势，从左至右逐渐上升。
2、当＄0 ＜ a ＜ 1$ 时，图像同样经过点＄（0, 1)＄，但在＄R$ 上呈下降趋势，从左至右逐渐下降。
（三）指数运算规则1、＄a^m × a^n ＝ a^｛m ＋ n}＄2、＄＼frac{a^m}｛a^n} ＝ a^｛m n}＄3、＄（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＄4、＄a^0 ＝ 1$ （＄a ≠ 0$）二、对数函数对数函数的一般形式为＄y ＝＼log_a x$ （＄a ＞ 0$ 且＄a ≠ 1$）。
（一）性质1、定义域：＄（0, ＋＼infty)＄，真数必须大于零。
2、值域：＄R$ ，即实数集。
3、单调性：当＄a ＞ 1$ 时，函数在＄（0, ＋＼infty)＄上单调递增；当＄0 ＜ a ＜ 1$ 时，函数在＄（0, ＋＼infty)＄上单调递减。
（二）图像特点1、当＄a ＞ 1$ 时，图像经过点＄（1, 0)＄，且在＄（0, ＋＼infty)＄上呈上升趋势。
2、当＄0 ＜ a ＜ 1$ 时，图像经过点＄（1, 0)＄，在＄（0, ＋＼infty)＄上呈下降趋势。
（三）对数运算规则1、＄＼log_a （MN) ＝＼log_a M ＋＼log_a N$2、＄＼log_a ＼frac{M}｛N} ＝＼log_a M ＼log_a N$3、＄＼log_a M^n ＝ n ＼log_a M$4、＄＼log_a a ＝ 1$5、＄＼log_a 1 ＝ 0$（四）指对数的互化当＄a ＞ 0$ 且＄a ≠ 1$ 时，＄a^y ＝ x$ 等价于＄y ＝＼log_a x$ 。
专题培优课2 指对幂式大小比较问题
(1)(2022·北京海淀二模)已知 x>y>0, 则( )
A．1x
1 >y
C．cos x>cos y
B．12
x
1 >2
y
D．ln (x＋1)>ln (y＋1)
(2)设 a＝log32，b＝log53，c＝23 ，则(
)
A．a<c<b
B．a<b<c
C．b<c<a
D．c<a<b
(1)D (2)A 解析：(1)取 x＝2，y＝1，利用排除法，逐一排除即可的结果．
是( )
A．(sin α)cos α>(sin α)cos β
B．logsin αcos α>logsin αcos β C．(cos α)sin α>(cos β)sin β
D．(cos αsin β)<(sin α)cos β
C 解析：∵0<α<β<π4 ，则 0<sin α<cos α<1， 且 cos α>cos β，sin α<sin β. 构造函数 y＝(sin α)x，因为函数 y＝(sin α)x 在 R 上单调递减，故(sin α)cos α<(sin α)cos β，A 错误；构造函数 y＝logsin αx，因为函数 y＝logsin αx 在(0，＋∞)上单调递 减，故 logsin αcos α<logsin αcos β，B 错误；
构造函数 y＝(cos α)x 及函数 y＝xsin β，因为函数 y＝(cos α)x 在 R 上单调递减，
函数 y＝xsin β 在(0，＋∞)上单调递增，(cos α)sin α>(cos α)sin β>(cos β)sin β，C 正确；(cos
函数大小比较
㈠ 与幂函数αx y =有关的大小比拟⑴ 两个幂函数的指数相同(底数为负数时须先化为正数)，利用幂函数的单调性判定大小；⑵ 两个幂函数的指数不同，能化为同指数的，利用幂函数的单调性判定大小，不能化为同指数的，利用中间数0来比拟大小；幂函数αx y =的性质：⑴ 在),0(∞上，0>α时是增函数，0<α时是减函数：⑵ 1>x 时，指数大的图象在上方，10<<x 时，指数大的图象在下方；⑶ 0>α时，图象过〔0，0〕，〔1，1〕，0<α时，图象过〔1，1〕。
㈡ 与指数函数x a y =有关的大小比拟⑴ 两个指数函数的底数相同指数不同时，利用指数函数的单调性判定大小；⑵ 两个指数函数的底数不同指数相同时，可根据图象与底数的关系进行比拟；⑶ 两个指数函数的底数和指数都不同时，可引进第3个数(如0，1)分别与之比拟，通过常数传递比拟大小。
指数函数的性质：⑴ 1>a 时，x a y =是增函数，10<<a 时，x a y =为减函数；⑵ 1>a 时，a 越大图象上升越快，10<<a 时，a 越小图象下降越快；⑶ x a y =的图象过〔0，1〕点，R x y ∈∞∈),,0(。
㈢ 与对数函数x y a log =有关的大小比拟⑴ 两个对数函数的底数相同真数不同时，利用对数函数的单调性判定大小；⑵ 两个指数函数的底数不同真数相同时，可按图象与底数的关系进行比拟，或用换底变成同底函数进行比拟； ⑶ 两个对数函数的底数和真数都不同时，可引进第3个数(如0，1)分别与之比拟，通过常数传递比拟大小。
⑷ 解与对数有关的不等式，通常借助对数函数的单调性，由外向里逐步化简，最终变形为整式不等等式求解。
对数函数的性质：⑴ 1>a 时，x y a log =是增函数，10<<a 时，x y a log =为减函数；⑵ 1>a 时，010,01<⇒<<>⇒>y x y x ，10<<a 时，010,01>⇒<<<⇒>y x y x ； ⑶ x y a log =的图象过〔1，0〕点，),0(,∞∈∈x R y 。
十大方法玩转指对幂比较大小(解析版)
“十大方法”，玩转指对幂比较大小目录一、重难点题型方法方法一：单调性法方法二：“媒介值”法方法三：作差法方法四：作商法方法五：构造函数法方法六：乘方法方法七：对数法方法八：零点法方法九：特殊值法方法十：放缩法二、针对性巩固练习重难点题型方法方法一：单调性法【典例分析】例1.(2023·全国·高三专题练习)设a=30.9，b=90.5，c=13-12，则( )．A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.b>c>a 【答案】C【分析】将三个指数幂化成同底指数幂，利用指数函数的单调性即可得解.【详解】因为a=30.8，b=90.5=(32)0.5=31，c=13-12=3-1 -12=312=30.5，又函数y=3x在R上单调递增，1>0.8>0.5，所以31>30.8>30.5所以b>a>c，故选：C例2.(2022秋·四川广安·高一统考期末)a=0.20.3，b=0.20.4，c=log0.20.1，则( )A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>a>b 【答案】D【分析】利用指数函数和对数函数的单调性来比较大小即可.【详解】根据函数y=0.2x在R上单调递减得1=0.20>a=0.20.3>0.20.4=b>0，根据函数y=log0.2x在0,+∞上单调递减得c=log0.20.1>log0.20.2=1，故c>a>b.故选：D.【方法技巧总结】1.指、对、幂大小比较的常用方法：①底数相同，指数不同时，如a x 1和a x 2，利用指数函数y =a x 的单调性；②指数相同，底数不同，如x a 1和x a 2利用幂函数y =x a单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如log a x 1和log a x 2利用指数函数log a x 单调性比较大小；2.除了指对幂函数，其他函数(比如三角函数，对勾函数等)也都可以利用单调性比较大小。
微专题17 指对运算及指对幂比较大小(解析版)
微专题17指对运算及指对幂比较大小【方法技巧与总结】知识点一、指对幂比较大小（1）单调性法（2）中间量法（3）分类讨论法（4）比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若0A B A B ->⇔>；0A B A B -<⇔<；0A B A B -=⇔=；②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1A B >，或1AB<即可．【题型归纳目录】题型一：指对数互化题型二：换底公式的应用题型三：利用指对幂函数的单调性比较题型四：利用中间值比较题型五：利用换底公式转化后比较题型六：利用两图像交点转化后比较题型七：含变量指对幂大小比较【典型例题】题型一：指对数互化例1．（河北省沧州市部分学校2022届高三上学期10月联考数学试题）设92a =，83b =，则log ()a ab =（）A ．281log 39+B ．381log 29+C ．281log 39-D ．381log 29-【答案】A【解析】98228log ()log log 1log 1og 33l 9a a a ab a b =+=+=+．故选：A例2．（2022·江苏省灌南高级中学高一阶段练习）已知()328,0log ,0x x f x x ax x ⎧+≤=⎨+>⎩，若()()08f f a =，则实数a 等于（）A ．2B ．2-C ．3D ．3-【答案】B【解析】因为()328,0log ,0x x f x x ax x ⎧+≤=⎨+>⎩，则()09f =，所以，()()()09298f f f a a ==+=，解得2a =-.故选：B.例3．（2022·上海市杨浦高级中学高一期中）化简29log 3x 的结果为（）A ．x B ．1xC ．xD ．1||x 【答案】C 【解析】223329loglog log 333x x xx ===，故选：C变式1．（2022·全国·高一单元测试）若2log 31x =，则33x x -+=（）A ．52B ．36C ．103D ．32【答案】A 【解析】由题得321log 2log 3x ==，所以331log log 22153333222xx-+=+=+=．故选：A ．变式2．（2022·全国·100y =，则lg lg x y ⋅的最大值是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D100y =等号两边同时取对数，得)lglg1002y ==，即1lg lg 24x y +=，令()lg R t y t =∈，则lg 84x t =-，所以()()22lg lg 84484144x y t t t t t ⋅=-=-+=--+≤，即lg lg x y ⋅的最大值是4（此时1t =，对应410,10y x ==）.故选：D变式3．（2022·全国·高一单元测试）已知53a =，32b =，则5log 10ab -=（）A ．1B ．2C ．5D ．4【答案】A【解析】∵53a =，32b =，∴5log 3a =，3log 2b =，5553log 10log 10log 3log 2ab -=-⨯=5555555log 2log 10log 3log 10log 2log 51log 3-⨯=-==．故选：A变式4．（2022·上海市建平中学高一期中）若正数a 满足lg24a =，则=a ___________．【答案】100【解析】因为正数a 满足lg24a =，所以lg 2lg lg 4a =，即lg 2lg 2lg 2a ⨯=，所以lg 2a =，解得210100a ==.故答案为：100.变式5．（2022·全国·高一课时练习）()()532log log log 0x =，则12x -=___________.【解析】因()()532log log log 0x =，则()32log log 1x =，即2log 3x =，解得328x ==，所以11228x--=.故答案为：4题型二：换底公式的应用例4．（2022·全国·高一单元测试）化简4839(2log 3log 3)(log 2log 2)=++____________【答案】2【解析】原式2233111(2log 3log 3)(log 2log 2)232=⨯++2343log 3log 2232=⨯=.故答案为：2.例5．（2022·上海·高一单元测试）已知182,1.52x y ==，则12x y-=______;【答案】3【解析】由题设，1832log 2,log 2x y ==，则2221832121234log 182log log (18)3log 2log 229x y -=-=-=⨯=.故答案为：3例6．（2022·上海·高一单元测试）已知1a b >>，若5log log ,2b aa b b a a b +==，则2+a b =___________.【答案】8【解析】由5log log 2a b b a +=，且log log 1a b b a ⋅=所以log ,log a b b a 是方程25102x x -+=的两根，解得log 2b a =或1log 2b a =，又1a b >>，所以log 2b a =，即2a b =，又b a a b =从而22b a b b a b =⇒=，且2a b =，则2b =，4a =．所以28a b +=.故答案为：8.变式6．（2022·江苏·南通一中高一阶段练习）已知23a b m ==且112a b+=，则m 等于（）AB ．6C ．12D ．36【答案】A【解析】由23a b m ==得2log a m =，3log b m =，11log 2log 3log 62m m m a b+=+==，26m =，m =，故选：A ．变式7．（2022·全国·高一课时练习）若23691log 3log log 62m ⨯⨯=，则实数m 的值为（）A ．4B ．6C ．9D ．12【答案】A【解析】∵2369lg 3lg lg 6log 3log log 6lg 2lg 36lg 9m m ⨯⨯=⨯⨯2lg 3lg lg 6lg 11log lg 22lg 62lg 34lg 242m m m =⨯⨯===,∴2log 2m =，∴4m =．故选：A ．变式8．（2022·全国·高一课时练习）已知lg 2a =，lg 3b =，则36log 5=（）A ．221a b a +-B ．12a a b -+C ．22a a b-+D ．122a a b-+【答案】D【解析】因为lg 2a =，lg 3b =，所以()36lg51lg 21log 5lg362lg 2lg322aa b--===++．故选：D.变式9．（2022·湖南·长沙麓山国际实验学校高一开学考试）已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d =，则下列等式一定成立的是（）A ．d ac =B ．a cd=C ．c ab=D ．d a c=+【答案】B【解析】5log ,lg b a b c ==，两式相除得55log ,log 10lg b a ab c c==，又5510,log 10d d =∴=，所以ad cd a c=⇒=.故选：B.变式10．（2022·全国·高一单元测试）已知2log 3a =，则下列能化简为12aa+的是（）A ．8log 3B ．18l og 3C ．18l og 6D ．12log 3【答案】B【解析】对于A ，382211log 3log 3log 333a ===，A 错误；对于B ，222182222log 3log 3log 3log 3log 18log 22log 312log 312aa====+++，B 正确；对于C ，2222182222log 6log 2log 31log 31log 6log 18log 22log 312log 312aa +++====+++，C 错误；对于D ，222122222log 3log 3log 3log 3log 122log 2log 32log 32aa====+++，D 错误.故选：B.变式11．（2022·贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习）已知35a b =且211a b+=，则a 的值为（）A ．3log 15B ．5log 15C ．3log 45D ．5log 45【答案】C【解析】令350a b k ==>，则35log ,log a k b k ==，351111log 3,log 5log log k k a k b k ====，又211a b+=，∴2log 3log 5log 451k k k +==，即45k =，∴3log 45a =.故选：C.变式12．（2022·江苏·高一）已知2243xy==，则3y xxy-的值为（）A ．1B ．0C ．1-D ．2【答案】C【解析】因为2243x y ==，所以224log 3,log 3x y ==，由换底公式和对数的运算性质可得33333322433131813log 2log 24log 8log 24log log 1log 3log 3243y x xy x y -=-=-=-=-===-.故选：C题型三：利用指对幂函数的单调性比较例7．（2022·湖南省衡南县衡云中学高一开学考试）已知0.130.12,0.3,0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a c b<<【答案】C【解析】∵0.3x y =是减函数，30.10>>，所以30.10.30.31<<，又0.121>，∴b c a <<．故选：C ．例8．（2022·山东·青岛二中高一期中）下列大小关系不正确的是（）A ．()()42532.5 2.5->-B ．()132220.45--⎛⎫< ⎪⎝⎭C ．11221332--⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ． 1.60.22.52->【答案】C【解析】A 选项：()()44552.5 2.5-=，()()22332.5 2.5-=，因为2.51>，4253>又因为指数函数 2.5x y =在R 上单调递增，所以()()42532.5 2.5>，即()()42532.5 2.5->-，故A 正确；B 选项：()332220.45--⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为2015<<，1322->-；又因为指数函数25xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以()132220.45--⎛⎫< ⎪⎝⎭，故B 正确；C 选项：因为12113-⎛⎫> ⎪⎝⎭，12312-⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以11221332--⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；D 选项：因为 1.62.51>，0.221-<，所 1.60.22.52->，故D 正确；故选:C.例9．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）下列各组不等式正确的是（）A ．0.7 3.12.30.8>B ． 2.5 2.90.70.7-->C ．0.30.61.9 1.9>D ．0.90.32.7 2.7<【答案】A【解析】对于A,由于0.702.3 2.31>=， 3.10.8100.8<=，故0.7 3.12.30.8>,故正确，对于B,由于0.7x y =为单调递减函数，所以 2.5 2.90.70.7--<，故错误，对于C ，由于 1.9x y =为单调递增函数，所以0.30.61.9 1.9<，故错误，对于D ，由于 2.7x y =为单调递增函数，所以0.90.32.7 2.7>，故错误,故选：A变式13．（2022·全国·高一课时练习）已知432a =，254b =，1325c =，236d =，则（）A ．b a d c <<<B ．b c a d <<<C ．c d b a <<<D ．b a c d<<<【答案】D【解析】由题得4133216a ==，2155416b ==，1325c =，2133636d ==，因为函数13y x =在R 上单调递增，所以a c d <<．又因为指数函数16x y =在R 上单调递增，所以b a <．故选:D ．题型四：利用中间值比较例10．（2022·浙江·杭十四中高一期末）设实数3log 5a =，151log 3b =，124c -=，则（）A ．b c a >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b a c>>【答案】C【解析】因为3331log log 5lo 392g =<<=，即12a <<，又155511log log log 3log 5123==<=，即112b <<，12142c -==，所以a b c >>；故选：C例11．（2022·全国·高一专题练习）已知0.30.80.81.6, 1.6,0.7a b c ===，则（）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．b c a >>D ．a b c>>【答案】A【解析】 1.6x y =是增函数，故0.30.81.6 1.6a b =<=，而0.30.81.610.7c >>=，故c a b <<.故选：A.例12．（2022·新疆喀什·高一期末）已知12312113,log log 23-===a b c ，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】C【解析】因为1200313-<<=，所以01a <<，因为331log log 102<=，所以0b <，因为112211log log 132>=，即1c >，所以c a b >>.故选：C变式14．（2022·全国·益阳平高学校高一期末）已知0.21.5a =，0.20.8log 1.20.8b c ==，，则（）A ．a c b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．c a b>>【答案】A【解析】因为0.20.20.81.51,log 1.20,0.8(0,1),a b c =>=<=∈，所以a c b>>故选：A变式15．（2022·陕西安康·高一期中）设253a =，325b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，32log 5c =，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a>>【答案】A【解析】结合指数函数性质和对数函数性质可知205331a =>=，30220155b ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，332log log 105c =<=，∴a b c >>，故选：A.变式16．（2022·河南焦作·高一期中）设163a =，162b -=，1ln 2c =，则（）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b<<【答案】A【解析】由题得106331a =>=，106221b -=<=，且0b >，1ln ln102c =<=，所以c b a <<．故选：A变式17．（2022·广东·深圳科学高中高一期中）已知0.13.2a =，2log 0.3b =，3log 2c =，则（）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．a c b>>【答案】D【解析】因为0.13.2a =，所以1a >；因为2log 0.3b =，所以0b <；因为3log 2c =，所以01c <<；所以a c b >>故选：D.变式18．（2022·云南玉溪·高一期末）已知e 0.4a =，3log 4b =，43log 4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b <<B ．c a b<<C ．c b a<<D ．b c a<<【答案】B 【解析】由e 033443log log 100.40.4log 3log 414c a b =<=<==<==<，所以c a b <<.故选：B变式19．（2022·湖北·测试·编辑教研五高一阶段练习）已知1312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1253b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，235log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c b a<<C ．c a b<<D ．b a c<<【答案】C【解析】1311122a ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，10255133b ⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22335log log 102c =<=，10b a c ∴>>>>.故选：C.题型五：利用换底公式转化后比较例13．（2022·江苏省响水中学高一阶段练习）已知正数,,x y z ，满足346x y z ==，则下列说法不正确的是（）A ．1112x y z+=B ．346x y z>>C．3(2x y z+>D ．22xy z >【答案】B【解析】设3461x y z m ===>，则346log ,log ,log x m y m z m ===∴111log 3,log 4,log 6m m m x y z===对A ：1111log 3log 4log 3log 2log 622m m m m m x y z+=+=+==，A 正确；对B ：由题意可得：1131log 333m x x ==，同理可得：114,6log 4log 646m m y z ==∵log 3log 44log 33log 4log 81log 640341212m m m m m m ---==>log 4log 63log 42log 6log 64log 360461212m m m m m m ---==>∴log 3log 4log 60346m m m >>>，则346x y z <<，B 错误；对C：∵3466log log lg 6lg 6lg 2lg 3log log lg 3lg 4lg 3l 313222g 2x y x y z z m z m m m +>+=+=+=++⨯>∴3(2x y z +>，C 正确；对D ：()324266lg 2lg 3log log lg 6lg 6lg 3lg 2lo 1222lg 2lg 3g log lg 3lg lg 3242lg m m xy z m m +⎛⎫⨯=⨯==+=+> ⎪⨯⎝⎭∴22xy z >，D 正确；故选：B.例14．（2022·湖北黄石·高一期中）若实数a ，b 满足23log 3log 2a =+，345a a b +=，则（）．A ．2a b <<B ．2b a >>C ．2a b >>D ．2b a <<【答案】C【解析】因为2log 30>，所以23221log 3log 2log 32log 3a =+=+>,即2a >，故345a a b +=，即222534345b a a =+>+=，故2b >，令()345,(2)x x x g x x =+->，则222222()334455,(2)x x x g x x ---=⋅+⋅-⋅>，故22222222222()334455(34)455x x x x x g x -----=⋅+⋅-⋅<+⋅-⋅2225(45)0x x --=-<，即有()3450,(2)x x x g x x =+-<>，所以3504a a a -<+，即345a a a +<，即55b a <，故b a <，故2a b >>，故选：C.例15．（2022·天津·南开中学高一期中）已知32a =，ln 2b =，0.32c =，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．c a b>>【答案】B【解析】由32a =可得，3ln 2log 2ln 3a ==，因为ln 31ln 20>>>，所以ln 2ln 21ln 3<<，又因为0.30221c =>=，所以c b a >>.故选：B.变式20．（2022·全国·高一课前预习）已知43a =，3log 4b =，4log 5c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b>>【答案】A【解析】4133334log 3log 813a ===，3133log 4log 64b ==，因为>8164，所以11338164>，所以113333log 81log 64>，即a b >，由3log 4b =，4log 5c =，443444413log 51log 5l log og 53log 4log 3log b c -=--⋅=-=，因为4444log 30,log 50,log 3log 5>>≠，则()()222444441113log 53log log log l 515214og 44⋅<+=<⨯=，所以4413l o 0l g og 5-⋅>，即0b c ->，所以b c >，所以a b c >>.故选：A.变式21．（2022·云南省下关第一中学高一期中）已知5log 2a =，7log 2b =，112c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c<<C ．c b a<<D ．c a b<<【答案】A【解析】5ln 2log 2ln 5a ==，7ln 2log 2ln 7b ==，0ln 2ln 5ln 7<<<，01b a ∴<<<，11212c -⎛⎫==> ⎪⎝⎭，则b a c <<故选：A题型六：利用两图像交点转化后比较例16．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()ln f x x =，()lg g x x =，3()log h x x =，直线(0)y a a =<与这三个函数的交点的横坐标分别是123,,x x x ，则123,,x x x 的大小关系是（）.A ．231x x x <<B ．132x x x <<C ．123x x x <<D ．321x x x <<【答案】A【解析】由1ln x a =得11aax e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭，由2lg x a =得211010aa x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，由33log x a =得3133aax -⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为函数(0)y x αα=>在(0,)x ∈+∞上单调递增，所以111310aaae ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即231x x x <<故选：A.例17．（2022·安徽宣城·高一期末）设a ，b ，c 均为正数，且122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a c b <<B ．c a b<<C ．a b c<<D ．b a c<<【答案】C【解析】在同一坐标系中分别画出2,xy =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =，12log y x =的图象，2x y =与12log y x =的交点的横坐标为a ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =的图象的交点的横坐标为b ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图象的交点的横坐标为c ，从图象可以看出a b c <<．故选：C例18．（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室高一期末）已知方程220x x +=、2log 20x x +=、320x x +=的根分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为（）．A ．a b c >>B ．b c a>>C ．c a b>>D ．b a c>>【答案】B【解析】由3()0h x x x =+=得0x =，0c ∴=，由方程220x x +=得22x x =-的根为a ，由方程2log 20x x +=得2log 2x x =-的根为b .在同一平面直角坐标系中画出2x y =、2log y x =、2y x =-的图象，由图象知，0a <，0b >，a c b ∴<<.故选：B变式22．（2022·天津·静海一中高一阶段练习）已知函数32()22,()log 2,()2x f x x g x x x h x x x =++=++=++的零点分别是,,a b c ，则,,a b c 的大小顺序为（）A ．b c a >>B ．c a b>>C ．b a c>>D ．a b c>>【答案】A【解析】函数()22x f x x =++的零点a 为2x y =与2y x =--的图像的交点的横坐标；函数2()log 2g x x x =++的零点b 为2log y x =与2y x =--的图像的交点的横坐标；函数3()2f x x x =++的零点c 为3y x =与2y x =--的图像的交点的横坐标；在同一个直角坐标系中作出2x y =，2log y x =，3y x =，2y x =--的图像，如图示：根据图像可知:2a <-,01b <<,1c =-.b c a ∴>>故选:A变式23．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）已知3113311log , 3log , log 33m kn m n k ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,m n k 的大小关系是（）A ．m n k >>B ．m n k<<C ．n m k<<D ．n k m<<【答案】D【解析】画出13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log y x =，3x y =，13log y x =的图像，如图所示：根据图像知：n k m <<.故选：D.变式24．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）已知()12log f x x =，()2log g x x =，()lg h x x =，若()()()f a g b h c ==，则,,a b c 的大小关系可能是（）A ．a b c <<B ．a b c==C ．a b c>>D ．b a c>>【答案】ABC【解析】分别作出三个函数的图象，如图：当()()()0f a g b h c ===时，有1a b c ===，故B 有可能；当()()()0f a g b h c ==>时，如图中x 轴上方的虚线所表示，此时有01a b c <<<<，故A 有可能；当()()()0f a g b h c ==<时，如图中x 轴下方的虚线所表示，此时有01c b a <<<<，故C 有可能；除此三种情况，()()()f a g b h c ==时，没有其它情况，故D 不可能，故选：ABC题型七：含变量指对幂大小比较例19．（2022·全国·高一课时练习）已知0<a <b <1，设m =b ln a ，n =a ln b ，ln ln()ln ap b=，则m ，n ，p 的大小关系为（）A ．m <n <p B ．n <m <pC ．p <m <nD ．p <n <m【答案】A【解析】因0<a <b <1，则1b a>，且ln a ＜ln b ＜0，即有ln 1ln a b >，因此，ln ln()0ln ab >，即p >0，又m <0，n <0，则ln ln 1ln ln m b a b an a b a b==⋅>，于是得m <n <0，所以m <n <p .故选：A例20．（2022·全国·高一课时练习）已知三个实数a ，a b a =，aa c a =，其中01a <<，则这三个数的大小关系是（）A ．a c b <<B ．a b c<<C ．b a c<<D ．c a b<<【答案】A【解析】∵01a <<，∴由指数函数的性质，有101a a a a <<=，∴1a a a >>．再由指数函数的性质得aa a a a a <<，即a cb <<．故选：A例21．（2022·河南开封·高一期中）若01a b <<<，a x b =，b y b =，b z a =，则x ，y ，z 的大小关系为（）A ．y z x <<B ．y x z<<C ．x z y<<D ．z y x<<【答案】D【解析】由01a b <<<指数函数()x f x b =是R 上的减函数，0()()(0)1f b f a f ∴<<<=，即01b a b b <<<，幂函数()b g x x =，在()0,∞+上是增函数，0(0)()()(1)1g g a g b g ∴=<<<=，即01b b a b <<<，01b b a a b b ∴<<<<，故z y x <<．故选：D ．变式25．（2022·江苏南京·高一期末）已知01x <<，若22log ,2,x a x b c x ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a<<【答案】B【解析】当01x <<时，22log 0,2,101x x x ><<<，故a c b <<，故选：B.变式26．（2022·全国·高一课时练习）设函数())f n n =-，()ln(g n n =-，则()f n 与()g n 的大小关系是（）A ．()()f n g n >B ．()()f ng n <C ．()()f ng n ≥D ．()()f ng n ≤【答案】Bn 和n ()()f n g n ≠.令1n =，())1)ln10f n n =-=-<=，()ln(ln10g n n =-==.所以()()f n g n <.故选：B变式27．（2022·全国·高一单元测试）设x ，y ，z 为正实数,且235log log log 0x y z ==>,则,,235x y z的大小关系不可能是（）A ．235x y z <<B ．235x y z ==C ．532z y x <<D ．325y x z <<【答案】D【解析】令235t=log log log 0x y z ==>，则2t x =，3t y =，5t z =，所以1112,3,5235t t t x y z---===，当t=1时，B 正确；当t>1时，A 正确；当0<t<1时，C 正确；故选D.变式28．（2022·全国·高一专题练习）已知235log log log 1x y z ==>，则2x，3y ，5z 的大小排序为（）A ．235x y z<<B ．325y x z <<C ．523z x y <<D ．532z y x<<【答案】D【解析】方法一：设235log log log 1x y z k ===>.则122k x -=，133ky -=，155k z-=，又10k -<，所以111235k k k --->>，可得532z y x<<.方法二：由235log log log 1x y z ==>.得2351log 1log 1log 0x y z -=-=-<，即235235log log log 0x y z==<，可得532z y x<<.故选：D变式29．（2022·江苏·高一专题练习）若()01x ∈，，则下列结论正确的是（）A ．122lg x x x >>B ．122lg x x x >>C ．122lg x x x>>D ．12lg 2x x x >>【答案】A 【解析】()01x ∈，，lg lg10x ∴<=，1201x <<，0221x >=，122lg xx x ∴>>，故选：A ．变式30．（2022·四川·成都铁路中学高一阶段练习）已知log 3>log 3>0b a ，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a b>B ．1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．2log ()0a b ->D ．21a b -<【答案】B【解析】log 3>log 3>0b a ，由换底公式，有330<log <log b a ，解得1a b >>，∴11a b<，A 选项错误；函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，∴1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 选项正确；0a b ->，但>1a b -不一定成立，不能得到2log ()0a b ->，C 选项错误；02>2=1a b -，D 选项错误.故选：B变式31．（2022·四川凉山·高一期末（理））非零实数a ，b 满足a b >，则下列结论正确的是（）A ．11a b<B ．2b a a b+>C ．22ac bc >D ．e 1a b ->【答案】D【解析】对于A ，当2,1a b ==-，满足：非零实数a ，b 且a b >，而111>12a b=-=，故A 不正确；对于B ，当2,1a b ==-，满足：非零实数a ，b 且a b >，而152222b a a b +=--=-<，故B 不正确；对于C ，当0c =时，22ac bc =，故C 不正确；对于D ，因为非零实数a ，b 满足a b >，所以0a b ->，所以e 1a b ->，故D 正确，故选：D.【过关测试】一、单选题1．（2022·天津南开·高一期末）三个数220.81log 1.41a b ==，，0.312c =之间的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b c a<<【答案】A【解析】由题意220.810.80.640.5a =>=>，即112a <<，21log 1.41log 2b =<=，即102b <<，0.310221c =>=，综上：c a b >>故选：A2．（2022·天津·高一期末）设0.40.40.4log 0.5,0.3,0.5a b c --===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．b c a >>B ．c b a >>C ．b a c>>D ．c a b>>【答案】A【解析】因为0.4log y x =在()0,+∞上单调递减，所以0.40.40.4log 1log 0.5log 0.4<<，即01a <<，因为0.4y x =在()0,+∞上单调递增，又11100.3,0.523--==，即110.30.51-->>，所以()()0.40.4110.40.0.513-->>，即0.40.410.30.5-->>，故1b c >>，所以b c a >>.故选：A.3．（2022·陕西汉中·高一期末）已知0.60.622e log 0.6a b c -===，，，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】C【解析】由于0.60.602022e e >2log 0.6lo <0<g 1a b c -====<=1,0=1，，故a b c >>，故选：C4．（2022·全国·高一课时练习）正实数,,a b c 满足422,33,log 4ab a bc c -+=+=+=，则实数,,a b c 之间的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c<<C ．a c d<<D ．b c a<<【答案】A【解析】22a a -+=，即220a a -+-=，即22a a -=-，2x y -=与2y x =-的图象在()0,∞+只有一个交点，则220x x -+-=在()0,∞+只有一个根a ，令()22xf x x -=+-，()21222204f -=+-=>，()11112202f -=+-=-<，()()120f f <，则12a <<；33b b +=，即330b b +-=，即33b b =-，由3xy =与3y x =-的图象在()0,∞+只有一个交点，则330x x +-=在()0,∞+只有一个根b ，令()33xg x x =+-，()113310g =+-=>，12115330222g ⎛⎫=+--< ⎪⎝⎭，()1102g g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故112b <<；4log 4c c +=，即4log 4c c =-，即4log 40c c +-=，由4log y x =与4y x =-的图象在()0,∞+只有一个交点，则4log 40x x +-=在()0,∞+只有一个根c ，令()4log 4h x x x =+-，()444log 4410h =+-=>，()4433log 34log 310h =+-=-<，()()340h h <，则34c <<；b a c∴<<故选：A.5．（2022·云南·昭通市第一中学高一阶段练习）已知函数()113x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，设51(log )6a f =，1()2b f =，32(2)c f =，则a b c ，，的大小关系为（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c b a<<D ．c a b<<【答案】A【解析】可知()f x 在(,1)-∞上单调递增，(1,)+∞上单调递减，且图像关于1x =对称5511log log 165<=-，而32223<<故选：A6．（2022·全国·高一课时练习）已知三个函数112()21,()e 1,()log (1)1x x f x x g x h x x x --=+-=-=-+-的零点依次为,,a b c ，则,,a b c 的大小关系（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】D【解析】∵函数1()21x f x x -=+-为增函数，又11(0)210,(1)102f f -=-=-<=>，∴()0,1a ∈，由1()e 10x g x -=-=，得1x =，即1b =，∵2()log (1)1h x x x =-+-在()1,+∞单调递增，又223331(log (1)10,(2)log (21)21102222h h =-+-=-<=-+-=>，∴322c <<，∴c b a >>.故选：D.7．（2022·湖北省红安县第一中学高一阶段练习）已知x ，y ，z 都是大于1的正数，且x y z ==，令32,,a x b y c z ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．b a c>>【答案】D【解析】由==，令k ===；x，y ，z 均大于1；0k ∴>；∴2222,3,6kkkx y z ===；∴2232,3,6kkk a b c ===；∴,3,k k k a b c ===，3>>(0)ky x k =>是单调增函数，b ac ∴>>，8．（2022·新疆·乌市一中高一期末）设a ＝2019202220212022⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝2021202220192022⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝2019202220192022⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a>>【答案】B 【解析】因为20192022y x=在(0,)+∞上单调递增，20192022xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减所以201922020192022212022202202120192022202201920222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫>> ⎪⎝⎭，故a c b >>.故选：B9．（2022·河南开封·高一期末）已知实数31log 10a =，0.82b =，c =a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b<<【答案】A【解析】解析：由题31log 010<，0.8122<<，01<<，即有a c b <<.故选：A.10．（2022·全国·池州市第一中学高一开学考试）若202112022a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120212022b =，20221log 2021c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b c a<<C ．c b a<<D ．c a b<<【答案】D【解析】∵2021011120222022⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭0＜＜，所以()202110,12022⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，102021202220221>=，所以1202120221>；202220221log log 102021<=，∴c a b <<．故选：D ．11．（2022·江西·高一期末）已知0.116a =，0.350.5b -=，4log 3.9c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．c a b<<【答案】B【解析】因为0.10.40.350.3516220.5>1a b -==>==，4log 3.91c =<，所以c b a <<，故选:B.12．（2022·江西景德镇·高一期末）已知123a =，9log 2b =，2log c =a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a >b >cB ．c >b >aC ．b >a >cD ．a c b>>【答案】D【解析】由题意可得：102331a =>=，99log 291log b =<=，22log log 21c =<=故有：,a b a c >>921log 232log b ==，221log 32c =故14b c=，又01,01b c <<<<又221log log 2=112c <<则有：2114044c b c c c c--=-=<故有：b c <综上可得：b c a <<故选：D 二、填空题13．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学高一期中）若2322ln(ln1.01),ln ln ,ln 23a b c π⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为____________．【答案】c b a >>【解析】因为22ln ln 33ln 2ln ln l 3n b πππ⎛⎫=⎛ ⎪⎫== ⎪⎝⎭⎭⎝，132ln 22ln 23c ==，所以构造函数()2ln f x x =，由对数函数的性质知，()f x 在()0,∞+上单调递增，所以只需比较ln1.01，ln3π，132的大小，由于1.013 3.03π⨯=<，故1.013π>所以13ln3ln1.0112π<<<所以132ln ln 322ln(ln1.01)2ln 2ln 23a b cπ⎛⎫< =⎪⎭=⎝<==故答案为：a b c<<14．（2022·全国·高一课时练习）已知222,log ,log (log ),(log ),a a a a a x a M x N x P x <<===则M 、N 、P 的大小顺序是_____.【答案】M P N>>【解析】由2a x a <<，即2a a <，可得01a <<，所以201a x a <<<<，故1log 2a x <<，所以log (log )0a a N x =<，22(log )log log (log 2)0a a a a P M x x x x -=-=-<且1P >，综上，M P N >>.故答案为：M P N >>15．（2022·全国·高一）11222111323⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，的大小关系是________．【答案】11222111332⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】指数函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，由123>，知1221133⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；幂函数12y x =是增函数，11221111,()()2323>∴>.所以11222111332⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：11222111332⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭16．（2022·福建师大附中高一期末）正实数a ，b ，c 满足a +2-a =2，b +3b =3，c +4log c =4，则实数a ，b ，c 之间的大小关系为_________.【答案】b a c <<【解析】由220a a -=->⇒02a <<⇒1214a -<<⇒722(1,4a a -=-∈，由330b b =->⇒03b <<，又330b b =->⇒01b <<，当01c <<时，4log 40c c =-<，显然不成立；当1c =时，4log 0413c =≠-=，不成立；当1c >时，4log 40c c =->⇒14c <<⇒40log 1c <<⇒34c <<；综上，b a c <<.故答案为：b a c <<三、解答题17．（2022·湖南·高一课时练习）比较a ，b ，c 的大小：(1)已知12x <<，()22log a x =，22log b x =，()22log log c x =；(2)已知3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =．【解析】(1)∵12x <<，2220log 1log log 21x ∴=<<=，即()2log 0,1x ∈，()222log log log 10c x ∴=<=，()()21222log log log a x x x =<=，∴0＜2log a x <，∴2222log 2log log b x x x a ==>>，∴c ＜0＜a ＜b ，c a b ∴<<；(2)()333log 6log 321log 2a ==⨯=+，()555log 10log 521log 2b ==⨯=+，()777log 14log 721log 2c ==⨯=+，又0lg3lg5lg7<<<，lg2lg2lg2lg3lg5lg7∴>>，357log 2log 2log 2∴>>，3571log 21log 21log 2∴+>+>+，即a ＞b ＞c ﹒。
重难点2-2 指对幂比较大小6大题型(原卷版)
重难点2-2 指对幂比较大小6大题型函数“比大小”是非常经典的题型，难度不以，方法无常，很受命题者的青睐。
高考命题中，常常在选择题或填空题中出现这类型的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序。
这类问题的解法往往可以从代数和几何来那个方面加以探寻，即利用函数的性质与图象解答。
比较大小的常见方法1、单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较；2、作差法、作商法：（1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；（2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法；3、中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小；4、估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间；（2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值；5、构造函数，运用函数的单调性比较：构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律（1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小；（2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小。
6、放缩法：（1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数； （2）指数和幂函数结合来放缩；（3）利用均值不等式的不等关系进行放缩；（4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。
【题型1 利用单调性比较大小】【例1】（2022秋·福建宁德·高三统考期中）设00.30.0..355,,0.30.30.50.5,a b c d ====，则,,,a b c d 的大小关系为（ ）A ．b d a c >>>B ．b a d c >>>C ．c a d b >>>D ．c d a b >>>【变式1-1】（2022秋·四川眉山·高三校考阶段练习）若0.5.43200.4,0.5,log 4a b c ===，则a b c ，，的大小关系是（ ）A ． a b c <<B ． b<c<aC ． c b a <<D ． c<a<b【变式1-2】（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知实数,,a b c 满足235e e e 2235a b c===，则（ ）A ．a b c >>B ．a b c <<C ．b a c >>D ．c a b >>【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知0.50.60.3,0.3a b ==，122()5c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a【变式1-4】（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知()2cos f x x x =--，若34e a f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4ln 5b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，14c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b <<【变式1-5】（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列大小关系中正确的是（ ）A ． 1.52.793> B ．43773477⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．13211log log 32< D ．0.2 2.11.70.9>【题型2 作差作商法比较大小】【例2】（2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知13e a =，ln 2b =，3log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．c b a >>【变式2-1】（2022秋·陕西咸阳·高三校考阶段练习）若sin 4a =，5log 3b =，lg 6c =，0.01e d =，则（ ）．A ．a b c d <<<B ．a c b d <<<C ．b c d a <<<D ．a d b c <<<【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）已知54m =，89n =，0.90.8p =，则正数m ，n ，p 的大小关系为（ ）A ．p m n >>B ．m n p >>C ．m p n >>D ．p n m >>【变式2-3】（2022·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知4log 5a =，54b =，5log 6c =，则a 、b 、c 这三个数的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．c<a<bD ．b<c<a【变式2-4】（2022秋·四川内江·高三校考阶段练习）已知0.2653,log 7,log 6a b c ===，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >>【题型3 中间值/估值法比较大小】【例3】（2023·全国·模拟预测）已知40.5=a ，5log 0.4b =，0.5log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b a c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．a b c >>【变式3-1】（2022秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知log a =0.42b =，1313c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．b<c<a【变式3-2】（2023秋·福建泉州·高三校考阶段练习）已知a =()34log ln b π=，1.713c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．<<c a b D ．<<b c a【变式3-3】（2022秋·河南郑州·高三安阳一中校联考阶段练习）设0.22a =，0.50.5b =，0.5log 0.2c =，则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【变式3-4】（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）已知a =eb =， 2.52c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）（参考数据：ln20.693≈）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【变式3-5】（2022·全国·高三专题练习）已知0.25ln 4a =，ln 0.254b =，0.250.25c =，则（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．b a c >>【变式3-6】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知2log a x =，2x b =，3x c =，其中()1,2x ∈，则下列结论正确的是（ ）A ．log b a c >B ．b c a b >C ．b c a b <D ．log log a b b c <【题型4 含变量比较大小】【例4】（2022秋·河南·高三上蔡第一高级中学阶段练习）已知()()sin cos tan 1,,,2,2422x x x x a b c ππ--⎛⎫⎛⎫∈=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b >>【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）设π02θ<<，sin 2a θ=，sin 2b θ=，2log sin c θ=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c<a<b【变式4-2】（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知())20222022lnx x f x x -=--，当π02x <<，cos a x =，lncos b x =，cos e x c =，试比较()f a ，f b ，()f c 的大小关系（ ） A ．()()()f a f c f b << B ．()()()f b f c f a << C ．()()()f c f a f b << D ．()()()f b f a f c <<【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且222sin 2sin 1ex x a +=，cos cos 1e x x b +=，sin sin 1e xx c +=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b<c<a C ．a c b << D ．c<a<b【题型5 构造函数比较大小】【例5】（2023·广西桂林·统考一模）已知a 、b 、()1,c ∈+∞，2e ln 39a a =，3e ln 28b b =，22e c c -=，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c a b >>【变式5-1】（2022秋·广东广州·高三校考期中）函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时()()0f x xf x '+>（其中()f x '是()f x 的导函数），若0.30.33(3)a f =⋅，log 3(log 3)b f ππ=⋅，11ln (ln )99c f =⋅，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【变式5-2】（2022秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知2220a =，2121b =，2022c =，则（ ）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>【变式5-3】（2022·全国·高三专题练习）已知0.40.7e ,eln1.4,0.98a b c ===，则,,a b c的大小关系是（ ）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b >>【变式5-4】（2022秋·广东河源·高三河源市河源中学阶段练习）设621121010a =+⨯，0.01e 1b =-，ln1.02c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c a b << B ．b c a << C ．a b c << D ．b a c <<【变式5-5】（2022·全国·高三专题）设11111111,e 1,ln 101010a b c ==-=，则a ，b ，c 大小关系是_______．【题型6 数形结合法比较大小】【例6】（2022·全国·高三专题练习）已知()()2022()y x m x n m n =--+<，且,()αβαβ<是方程0y =的两根，则,,,m n αβ的大小关系是（ ）A ．m n αβ<<<B ．m n αβ<<<C ．m n αβ<<<D ．m n αβ<<<【变式6-1】（2023秋·陕西西安·高三统考期末）已知3log 2a =，4log 3b =，5log 4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c<<b aB ．a b c <<C ．b a c <<D ．c b a <<【变式6-2】（2022秋·江苏扬州·高三期末）已知正实数a ，b ，c 满足2e e e e c a a c --+=+，28log 3log 6b =+，2log 2c c +=，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【变式6-3】（2023·全国·高三专题）已知e ππee ,π,a b c ===，则这三个数的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<（建议用时：60分钟）1．（2022·全国·高三专题练习）2log 3，8log 12，lg15的大小关系为（ ） A ．28log 3log 12lg15<< B ．82log 12lg15log 3<< C ．28log 3log 12lg15>> D ．82log 12log 3lg15<<2．（2022·四川资阳·统考二模）设 1.02a =，0025.e b =，0.92sin0.06c =+，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b<c<aD ．c<a<b3．（2022·全国·高三专题练习）已知35log 2,log 2,3a a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a << 4．（2022·全国·高三专题练习）设2log 3a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c 5．（2022·全国·高三专题练习）已知0.60.5a =，0.50.6b =，6log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b<c<a 6．（2022·全国·高三）已知定义在R 上的函数()(5712,log 3,ln ,log 22xf x x a f b f c f⎛⎫⎛⎫=⋅===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．c b a >> 7．（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知1210a =，1111b =，1012c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．a b c >>8．（2022秋·山东·高三校联考阶段练习）若0.1e ,ln 0.9a b c ===-，则,,a b c 的大小关系为（ ）．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >> 9．（2022·四川南充·统考一模）设定义R 在上的函数()y f x =，满足任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，且(]0,4x ∈时，()()'>xf x f x ，则()2021f ，()22022f ，()32023f 的大小关系是（ ） A ．()()()20222202320231f f f << B ．()()()20222023202123f f f << C ．()()()20232032222021f f f << D ．()()()20232022202132f f f << 10．（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）若2322ln(ln1.01),ln ln ,ln 2π3a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b<c<a11．（2022秋·江苏徐州·高三学业考试）设30.20.2,3,2a b c ===，则a ，b ，c的大小关系是（ ）A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <c <bD ．b <a <c12．（2022秋·江苏常州·高三统考阶段练习）已知0.90.50.9log 2log 0.50.5x y z ===，，，则x y z ，，的大小关系是（ ）A ．z y x >>B ．x z y >>C ．y x z >>D ．y z x >> 13．（2022秋·广东·高三校联考阶段练习）已知实数2log 3a =，cos 4b π=，3log 2c =，则这三个数的大小关系正确的是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b >>14．（2022秋·天津东丽·高三校考阶段练习）设 1.1 1.13log 8,2,0.8a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<15．（2022·陕西渭南·统考一模）已知a =ln πb =，sin136c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<16．（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）已知12223,log 3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a b c >> 17．（2022·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知 1.21.1a =， 1.11.2b =，1.2log 1.1c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c b a >>18．（2022秋·四川成都·高三校考期中）已知函数()e e 2x xf x --=，且11ln a f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1e b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，e c f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．b a c <<19．（2022·四川宜宾·统考模拟预测）已知252.5a =，5775b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133c = ，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b<c<a20．（2022秋·天津河东·高三天津市第七中学校考期中）若2ln 64a =，ln2ln3b =，()2ln 24πc =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b a c >>。
高考数学复习考点题型专题讲解1 幂指对三角函数值比较大小
高考数学复习考点题型专题讲解 第1讲 幂指对三角函数值比较大小【题型一】临界值比较：0、1临界 【典例分析】 设0.2515log 4,log 4,0.5a b c -===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】B 【分析】根据对数函数的单调性和对数的运算可得到01a <<，10b -<<；根据指数函数的单调性得到1c >，从而可得出答案. 【详解】因为5550log 1log 4log 51=<<=，所以01a <<；因为11555log 4log 4log 4b -===-，所以10b -<<； 又0.200.50.51c -=>=，所以b a c <<.故选：B. 【变式演练】 1.已知120212022202212022,log 2021,log 2021a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．a >c >b【答案】A【分析】利用指数函数及对数函数的性质即得.【详解】∵102021202221022a >==，2022202220220log 1log 2021log 20221b =<=<=，202220221log log 102021c =<=， ∴a b c >>.故选：A.2.若0.3220.32,log 0.3,0.3,log 2a b c d ====，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（） A ．a <b <c <d B ．d <b <c <a C ．b <d <c <a D ．d <c <b <a【答案】C 【分析】根据指数函数、对数函数的性质计算可得； 解：0.30221>=，2000.30.31<<=，即1a >，01c <<；因为2221142log log 0.3log <<，所以12222log log 0.3g 2lo 2--<<，即221log 0.3<<--，即21b -<<-，又.2031log 2log 0.3=，所以0.311log 22-<<-，即112d -<<-，即a c d b >>>，故选：C3.9.01.17.01.1,9.0log ,8.0log ===c b a 的大小关系是（）A. c a b >>B. a b c >>C. b c a >>D.c b a >> 【答案】A试题分析：0.70.70.70log 1log 0.8log 0.71=<<=，而1.11.1l o g 0.9l o g 10<=，对于0.901.1 1.11>=所以c a b >>，故选A【题型二】临界值比较：选取适当的常数临界值（难点） 【典例分析】已知3422,log e a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．b a c >> D ．b c a >>【答案】B 【分析】首先求出4a 、4b ，即可判断a b >，再利用作差法判断4432b ⎛>⎫⎪⎝⎭，即可得到32b >，再判断32c <，即可得解； 【详解】解：由342a b ==，所以449,8==a b ，可知a b >，又由44381478021616⎛⎫-=-=> ⎪⎝⎭b ，有32b >，又由28e <，有322e <=，可得23log 2<e ，即32c <，故有a b c >>.故选：B【变式演练】1.已知6ln a π=，3ln 2b π=，4ln1.5c π=，则a b c 、、大小关系为（） A ．c b a << B ．c a b << C ．b a c << D ．b c a <<【答案】A 【分析】根据幂函数()0y x αα=>在()0,∞+上是增函数，对数函数ln y x =在()0,∞+上是增函数可得答案. 【详解】66ln ln a ππ==，33ln 2ln 2b ππ==，44ln1.5ln1.5c ππ==，因为3428 1.5 5.0625ππππ=>=，所以3ln 24ln1.5b c ππ=>=，即b c >，因为6666π=>=，66683.26635222222ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，66>，所以632ππ>，所以6ln 3ln 2a b ππ=>=，即a b >，所以c b a <<.故选：A. 2.已知0.350.11log 2,,0.7log 0.7a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A 【分析】利用10,,0.712，等中间值区分各个数值的大小． 【详解】∵55l o g 1l o g2g 5<<，∴ 102a <<，∵ 0.70.11=l o g 0.1l o g 0.7b =，0.70.7log 0.1log 0.7>， ∴ 1b >，10.300.70.70.7<<，故0.71c <<，所以a c b <<．故选：A ． 3.若0.60.590.5,0.6,log 3a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（） A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a << D ．b c a <<【答案】B 【分析】根据指数函数和幂函数的单调性分别比较0.60.50.5,0.5和0.50.50.5,0.6的大小，即可比较,a b ，再根据91log 32c ==，即可得出答案. 【详解】解：因为函数0.5x y =是减函数，所以0.60.50.50.50.5<<，又函数0.5y x =在()0,∞+上是增函数，所以0.50.50.50.6<，所以0.60.50.50.6<，即12a b <<，91log 32c ==，所以c a b <<.故选：B.【题型三】差比法与商比法 【典例分析】已知实数a b c ､､满足13266,log 3log 4,51213b b c a b ==++=，则a b c ､､的关系是（） A ．b a c >> B ．c b a >> C ．b c a >> D ．c a b >>【答案】C 【分析】利用幂函数的性质知2a <，利用对数的运算性质及作差法可得20b ->，再构造1313c b -，根据指数的性质判断其符号，即可知,b c 的大小. 【详解】1133682a =<=；()2226222log 3log 312log 3log 4log 3201log 31log 3b b ⋅-=+=+-=>++，，2b >；2221351251213c b b =+>+=，2c >；222222222222131351213551212131351212121313c b b b b b b b b b b -------=+-=⋅+⋅-⋅<⋅+⋅-⋅2222222212(512)131313(1213)0b b b b ----=+-⋅=-<，∴b c >，综上，b c a >>.故选：C【变式演练】1.已知0.40.8a -=，5log 3b =，8log 5c =，则（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．a c b <<【答案】B 【分析】应用作商法，由对数的运算性质、基本不等式可得222ln 3ln8(ln 3ln8)ln 54ln 5b c ⋅+=<可知b 、c 的大小，再结合指对数的性质可知a 、c 的大小. 【详解】25228log 3ln 3ln 8(ln 3ln 8)1log 5ln 54ln 5b c ⋅+==<=<，即b c <， ∵0.410.8c a -<<=，∴综上，b c a <<.故选：B2.已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则 （ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>【答案】C【详解】因为310log 35c =，又24log 3.41,log 3.61><，231010lg3.4lg3lg 2lglg 6.8lg3-lg 2lg3lg 2lg 10lg 6.8lg3lg 233log 3.4log =03lg 2lg3lg 2lg3lg 2lg3----==>（），所以23410log 3.4log 1log 3.6,3>>>324log 0.3log 3.4log 3.61555⎛⎫>> ⎪⎝⎭，即a c b >>3.已知3610a b ==，则2，ab ，a b +的大小关系是（） A ．2ab a b <+< B ．2ab a b <<+ C ．2a b ab <+< D ．2ab a b <<+【答案】D 【分析】先将指数式化为对数式，再根据对数函数单调性以及运算法则比较大小，确定选项. 【详解】33log 1029log a =>=，6log 101b =>，∴2ab >；又11lg3lg6lg181a b ab a b+=+=+=>∴ a b ab +>，∴2a b ab +>>.故选：D. 【题型四】利用对数运算分离常数比大小 【典例分析】已知m ＝log 4ππ，n ＝log 4e e ，p ＝e 13-，则m ，n ，p 的大小关系是（其中e 为自然对数的底数）（ ） A ．p ＜n ＜m B ．m ＜n ＜p C ．n ＜m ＜p D ．n ＜p ＜m【答案】C 【分析】根据已知条件，应用对数函数的单调性、对数的换底公式，可比较m ，n ，12的大小关系，再由指数的性质有p ＝e 1312->，即知m ，n ，p 的大小关系.【详解】由题意得，m ＝log 4ππlg lg lg 41lg 4lg 4lg lg 4lg πππππ===-++，4lg lg lg 4log 1lg 4lg 4lg lg 4lg e e e n e e e e====-++， ∵lg4＞lgπ＞lg e ＞0，则lg4+lg4＞lg4+lgπ＞lg4+lg e ，∴lg 4lg 4lg 4111lg 4lg 4lg 4lg lg 4lg eπ->->-+++，∴12n m <<，而p ＝e 1312-=>，∴n ＜m ＜p ．故选：C ．【变式演练】1.2log 3､8log 12､lg15的大小关系为（） A ．28log 3log 12lg15<< B ．82log 12lg15log 3<< C ．28log 3log 12lg15>> D ．82log 12log 3lg15<< 【答案】C 【分析】应用对数的运算性质可得2321log 31log 2=+、8321log 121log 8=+、321lg151log 10=+，进而比较大小关系. 【详解】22232331log 3log (2)1log 122log 2=⋅=+=+，88832331log 12log (8)1log 122log 8=⋅=+=+，32331lg15lg(10)1lg 122log 10=⋅=+=+，∵3332220log 2log 8log 10<<<， ∴28log 3log 12lg15>>，故选：C. 2.已知b 0,b 1a a >>=，若()21,log ,2a b x y a b z a b ==+=+，则()log 3x x ，()log 3y y ，()log 3z z 的大小关系为（）A ．()()()log 3log 3log 3x y z x y z >>B ．()()()log 3log 3log 3y x z y x z >>C ．()()()log 3log 3log 3x z y x z y >>D ．()()()log 3log 3log 3y z x y z x >>【答案】D 【分析】先化简33333log (3)111log (3)1,log (3)1,log (3)1log log log log x y z x x y z x x y z ==+=+=+，再根据,,x y z 的大小关系，利用对数函数的单调性即可得到其大小关系． 【详解】 因为33333log (3)111log (3)1,log (3)1,log (3)1log log log log x y z x x y z x x y z==+=+=+， 函数31log y x =在(0,1)和(1,)+∞上均单调递减，又b 0,b 1a a >>=，所以1,0 1.a b ><<而21,log (),2a b x y a b z a b==+=+, 所以0x <1,1,22y z <>>，即,y x z x >>，可知log (3)x x 最小．由于222221log ()log ,2log 2log 4a ay a b a z a a⎛⎫=+=+=== ⎪⎝⎭，所以比较真数1a a +与4a 的大小关系.当1a >时，14aa a+<，所以1z y >>, 即331111log log y z+>+. 综上,log (3)log (3)log (3)y z x y z x >>．故选：D ．3.已知3log 15a =，4log 40b =，23c =，则（） A ．a c b ＞＞ B ．c a b ＞＞ C ．b a c ＞＞ D ．a b c ＞＞【答案】C 【分析】把c 用对数表示，根据式子结构，转化为比较10323log 5log 4log 2、、的大小，分别与1和32比较即可. 【详解】3333log 15=log 3log 5=1log 5a =++，4444log 40=log 4log 10=1log 10b =++，由23c =得，223log 31log 2c ==+. 因为353,104,22>><，所以323log 51log 2>>，423log 101log 2>>，即,a c b c ＞＞. 下面比较a 、b 的大小关系：32333log 5log 32<=（其中323 5.2≈），324443l og 10l o g 8=l o g 4=2>，所以34log 5log 10< 所以b a ＞所以b a c ＞＞.故选：C.【题型五】构造函数：lnx/x 型函数 【典例分析】 设24ln 4e a -=，1e b =，ln 22c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a c b << B ．c a b << C ．a b c << D ．b a c <<【答案】B 【分析】设()ln xf x x =，利用导数判断单调性，利用对数化简2e 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()e b f =，()()24c f f ==，再根据单调性即可比较a ，b ，c 的大小关系.【详解】设()ln x f x x =，则()221ln 1ln ⋅--'==x xx x f x x x， 当()1,e x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增，当()e,x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减，因为()222222e ln 2ln e ln 24ln 4e 2e e e 22a f -⎛⎫-==== ⎪⎝⎭，()1ln e e e eb f ===，()ln 222c f ==，所以()e b f =最大，又因为()()24c f f ==，2e e 42<<，所以()2e 42a f f c ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭，所以b a c >>，故选：B.【变式演练】1.已知a=3ln2π，b=2ln3π，c=3lnπ2，则下列选项正确的是（ ） A ． cB ．cC ．cD ． c【答案】D 对 同除 ，转化为之间的比较，构造函数 =，利用导数研究函数的单调性，得到答案. 【详解】===， ， ， 的大小比较可以转化为的大小比较． 设 =ln，则 =ln，当 = 时， = ，当 时， ，当时，在 上单调递减， 3lnlnln=ln， ，故选：D ．2.以下四个数中，最大的是（ ）A ．B ．1eC ．ln ππD 【答案】B 【详解】由题意，令()ln x f x x=，则()21xf x x-'=，所以e x >时，()0f x '<，∴()f x 在(,)e +∞上递减，又由315e π<<<，∴()()()3(15)f e f f f π>>>，则111113315ln ln3ln ln ln15ee πππ>>>>>，即1ln e ππ>>>，故选：B ． 3.下列命题为真命题的个数是ln3 3ln ； lnπ； ； 3 ln A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 本题首先可以构造函数 =，然后通过导数计算出函数 =的单调性以及最值，然后通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数 =的单调性即可比较出大小。
专题12 构造函数比较大小-备战2022年高考数学(理)母题题源解密(全国乙卷)(解析版)
专题12 构造函数比较大小【母题来源】2021年高考乙卷【母题题文】设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =-．则（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】B【试题解析】()()2222ln1.01ln1.01ln 10.01ln 120.010.01ln1.02a b ===+=+⨯+>=,所以b a <;下面比较c 与,a b 的大小关系.记()()2ln 11f x x =+,则()00f =,()2121x f x x -='=+ 由于()()2214122x x x x x x +-+=-=-所以当0<x <2时，()21410x x +-+>,()1x >+,()0f x '>,所以()f x 在[]0,2上单调递增，所以()()0.0100f f >=,即2ln1.011>,即a c >;令()()ln 121g x x =+,则()00g=,()212212x g x x -==+', 由于()2214124x x x +-+=-，在x >0时,()214120x x +-+<,所以()0g x '<,即函数()g x 在[0,+∞)上单调递减，所以()()0.0100gg <=,即ln1.021,即b <c ; 综上，b c a<<, 故选：B.【命题意图】高考对本部分内容的考查主要是指数式、对数式的互化以及构造函数比较大小，以能力为主，重点考查函数的单调性．主要体现在以下几个方面： （1）掌对数的四则运算.（2）将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小. （3）考查导数的概念、导数公式、求导法则、导数的应用，考查数学式子的变形能力、运算求解能力、化归与转化思想及分析问题与解决问题的能力． 【命题方向】从全国看，高考在逐年加大对导数问题的考查力度，问题的难度、深度与广度在不断加大，对本部分的要求一般有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题. 【得分要点】（1）运用对数式的运算公式比较a 、b 的大小 （2）将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数 （3）利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小 比较大小常用方法： 模板一：利用函数单调性同底的指数式和对数式以及同指数的指数式的大小，可以利用函数的单调性来比较，即 （1）比较形如m a 与n a 的大小，利用指数函数xy a =的单调性；（2）比较形如log a m 与log a n 的大小，利用对数函数log a y x =的单调性； （3）比较形如m a 与mb 的大小，利用幂函数my x =的单调性. 模板二：中间桥梁法既不同底又不同指的指数式、对数式比较大小，不能直接利用函数的单调性来比较，可利用特殊数值作为中间桥梁，进而可比较大小.（1）比较形如m a 与n b 的大小，一般找一个“中间值c ”，若m a c <且n c b <，则m na b <；若m a c >且n c b >，则m na b >.常用到的特殊值有0和1.(00log 1,1log ,1a a a a ===)（2）比较形如m a 与n b 的大小，一般可以取一个介于两值中间且与题目中两数都能比较大小的一个中间值，即n a 或者m b ，进而利用中间值解決问题.一、单选题1．（2021·辽宁锦州市·高三一模）已知实数a ，b ，c 满足ln a b ca b ce e e ==-且1a >，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．b a c >>【答案】A 【分析】首先由1a >得出1,0b c ><，排除两个选项，然后引入函数()ln f x x x =-，利用导数得单调性，引入函数设()x xh x e=，由导数得单调性，然后比较,a b 的大小得出结论． 【详解】解：∵实数a ，b ，c 满足ln a b ca b ce e e ==-，1a >， ∵1b >，0c <，则排除B ，C 选项， 令()lnf x x x =-， 所以()1x f x x-'=， ∵()f x 在01x <<上单调递减，在1x <上单调递增， ∵()()11f x f ≥=，即ln x x <，∵ln b b b be e <， ∵a b a b e e<，设()x x h x e =，()10x xh x e -'=<，()h x 在1x >上单调递减，则()()h a h b <，∵a b >，排除D 选项. 故选：A.关键点点睛：本题考查实数的大小比较，解题方法利用指数函数、对数函数的性质，构造新函数，由导数研究单调性，结合中间值b be，比较,a b 大小． 2．（2020·黑龙江高二期末（理））已知3,ln 3ln a b ππ==，c ＝e （e 为自然对数的底数），则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞c B ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞a ＞c【答案】D 【分析】 构造函数()(0)ln xf x x x=>，利用导数判断函数单调性，即可求解. 【详解】 设()(0)ln xf x x x=>， 则2ln 1()(ln )x f x x -'=令()0f x '=解得x e =当0x e <<时，()0,()f x f x '<单调递减， 当(,)x e ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增， 又因为3e π<<， 所以3ln ln 3ln e e e ππ=<<，即b ＞a ＞c 故选：D 【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，由单调性判断函数值的大小，属于中档题.3．（2020·哈师大阿城学院附中高二期中（文））已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数都有2()()x f x e f x -=，当0x <时，()()0f x f x +'>，若()2ln2a f =，(1)f b e -=，11(ln )44c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】B()()x g x e f x =，利用导数研究()g x 的奇偶性、单调性，利用奇偶性、单调性比较大小.【详解】令()()x g x e f x =，因为0x <时，()()0f x f x +'>，所以当0x <时，''()(()())0xg x e f x f x =+>，又2()()x f x e f x -=， 所以()()()()x x g x e f x e f x g x --=-==，所以()g x 为偶函数，所以()g x 在(,0)-∞上单 调递增，在(0,)+∞上单调递减，又()2ln2(ln2)a f g ==，(1)(1)(1)f b g g e-==-=， 111(ln )(ln )(ln 4)444c f g g ===，所以a b c >>. 故选：B 【点睛】本题主要考查构造函数比较大小的问题，涉及到函数的单调性、奇偶性，考查学生逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.4．（2020·宁夏银川市·银川一中高三二模）已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数x都有()()2x f x e f x -=，当0x <时，()()0f x f x +'>，若()2ln2a f =，()1f b e-=，11ln 44c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a c b << B ．a b c >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】B 【分析】构造函数()()xg x e f x =，结合已知可判断函数的奇偶性及单调性，然后即可求解不等式．【详解】令()()xg x e f x =，∵当0x <时，()()0f x f x +'>， 则()()()0,0xg x e f x f x x '=+'>⎤⎣⎦<⎡， 所以当0x <时，函数()g x 单调递增；因为对于任意的实数x 都有()()()()2=x x x f x e e f x e f x f x --=⇔-， 所以()()()()()2xx x x g x ef x e f x e f x eg x ---=-=⋅=⋅= 即()g x 为偶函数，所以当0x >时，函数()g x 单调递减， 又()()()ln22ln2ln2ln2a f ef g ===，()()()()11111f b e f g g e--==-=-=，()()1ln 41111ln ln ln ln 4ln 44444c f e f g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又ln 41ln 2>>，所以()()()ln 41ln 2g g g <<，即a b c >>． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查导数在函数单调性中的应用，解题的关键是构造函数g （x ）并判断出单调性及奇偶性．5．（2021·全国高二期末）设ln ,5ln5a b c ππ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】C 【分析】 令()ln xf x x=，利用导数可得()f x 在(),e +∞单调递减，即可比较大小. 【详解】 令()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=， 当x e >时，()0f x '<，即()f x 在(),e +∞单调递减，()()()ln 2ln 4ln ln 5ln 4,,5245a fb fc f πππ========， ()()()45f f f π∴>>，即b a c >>.故选：C. 【点睛】关键点睛：解决本题得关键是构造函数()ln xf x x=，根据导数求出单调性，利用单调性比较.6．（2021·江西抚州市·临川一中高三其他模拟（理））已知ln 55a =，1b e=，ln 44c =，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ） A ．a c b << B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】A 【分析】 构造函数()ln xf x x=，根据单调性比较大小即可. 【详解】令()ln xf x x=，则()ln 555a f ==，()ln e b f e e ==，()ln 444c f ==，而()21ln 'xf x x -=且0x >，即()0,x e ∈时()f x 单调增，(),x e ∈+∞时()f x 单调减， ∵45e <<，则a c b <<. 故选：A.7．（2020·四川成都市·树德中学高二期中（理））下列三个数：33ln 22a =-，lnb ππ=-，ln 33c =-，大小顺序正确的是（ ） A ．a c b >> B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >>【答案】A 【分析】构造函数()ln f x x x =-，对其求导，判断单调性，进而可得出结果. 【详解】构造函数()ln f x x x =-， 因为1()10f x x'=-<对一切(1,)x ∈+∞恒成立， 所以函数()ln f x x x =-在(1,)x ∈+∞上是减函数，从而有3(3)()2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭， 即a c b >>. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查根据函数单调性比较大小，涉及导数的方法判断函数单调性，属于常考题型.8．（2021·全国高三专题练习）已知a 、b 满足0a b e <<<，则ln +ba a a 与ln +ab b b的大小关系为（ ） A ．ln ln +>+a ba ba b a b B ．ln ln +=+a ba b a b a bC ．ln ln +<+a ba b a b a bD ．不能确定【答案】C 【分析】构造函数()ln x f x x =，利用导数分析出函数()f x 在区间()0,e 上单调性，可比较出ln a a 与ln bb的大小关系，再利用对数函数的单调性可得出b a 与a b 的大小关系，进而可得出ln +b a a a 与ln +ab b b的大小关系.【详解】 令()ln x f x x =，其中0x e <<，则()21ln xf x x-'=，当0x e <<时，()0f x '>. 所以，函数()f x 在区间()0,e 上单调递增，0a b e <<<，()()f a f b ∴<，即ln ln a ba b<，即ln ln b a a b <，即ln ln b a a b <，可得b a a b <， 所以，ln ln +<+a ba ba b a b. 故选：C. 【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在的区间； （2）利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.9．（2020·全国高三其他模拟（理））给出以下不等关系：ln 2>；ln 2<；∵3eln 2>∵15>，e 为自然对数的底数，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】 引入函数()f x=由导数确定函数的单调性，然后由()(2)f e f >，()(4)f e f <，22(8)()f f e e <=，(15)(16)f f >分别判断各选项，得出结论．【详解】 构造函数()f x=0x >，则()11ln 2f x x ⎫'=-⎪⎭，由()0f x '>可得11ln 02x ->，解得20e x <<；由()0f x '<可得11ln 02x -<，解得2e x >.所以函数()f x 在()20,e 上为增函数，在()2e ,+∞上为减函数.对于∵，由2e e 2>>，可得()()e 2f f >ln 2<=⇔>，，所以∵正确； 对于∵，由2e 4e <<可得()()e 4f f <ln 2<⇔<，所以∵正确；对于∵，由()()2max 2ee f x f ==可得()28ef <23ln 2e <⇔<，所以∵错误；对于∵，由2e 1516<<可得()()1516f f >，ln 2ln152>=⇔>，也即15>所以∵错误. 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查比较大小，解题关键是引入新函数()f x=，利用导数确定单调性后，由函数单调性得出函数值大小．10．（2020·黑龙江哈尔滨市·高三月考（理））已知0.2log 0.3a =， 1.1log 0.3b =，0.11.1c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c a b << D ．b c a <<【答案】B 【分析】分别利用对数函数指数函数的单调性和0,1比较大小即可得解. 【详解】由0.20.20.2log 1log 0.3log 0.2<<，可得01a <<， 由 1.1 1.1log 0.3log 10b =<=，0.101.111.1c >==， 可得：b a c <<. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小，属于基础题.11．（2021·石嘴山市第三中学高三其他模拟（文））已知322a =，232b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．a c b >> D ．b c a >>【答案】A 【分析】根据指对数的性质，比较指数式、对数式的大小. 【详解】2322330log 122942c b a ⎛⎫<=<<== ⎪⎝=<=⎭∵a b c >>. 故选：A.12．（2020·浙江衢州市·高一期末）已知202112020a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120202021b =，12020log2021c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】C 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与0、1的大小关系，由此可得出a 、b 、c 三个数的大小关系. 【详解】00221111*********a <⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，102020120212021b >==，1120202020log 2021log 10c =<=， 因此，c a b <<.故选：C. 13．（2020·广东佛山市·佛山一中高一月考）已知()()1log 2n a n +=+，()()2log 3n b n +=+()n N *∈，0.51log 0.52c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >> 【答案】A【分析】 化简()()21log 1n n a+=+，利用作商法及基本不等式判断大小关系即可. 【详解】 解：1n ≥，∴1a >，1b >， ∴()()21log 1n n a+=+， ∴()()()()()()()()22222log 1log 3log 1log 32n n n n n n b n n a +++++++⎡⎤=+⋅+<⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ()22222(2)log (2)1log (43)122n n n n n ++⎡⎤+-⎡⎤++==<⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ∴b a <.0.510.51log 0.52log 0.511c =<=，∴a b c >>.故选：A.【点睛】本题考查对数的运算及基本不等式的应用，属于中档题.解决该类比较大小的题的相应方法如下： ()1特殊值法：代入特殊值直接比较大小；()2数形结合法：画出大致图象判断大小；()3作差法：两者做差判断正负；()4作商法：两者相除判断与1的大小.14．（2020·浙江高一期末）已知2log 3a =，2log b e =，ln 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为． A ．c a b >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a b c >>【答案】D【分析】根据指数函数的的单调性判断可得；【详解】解：因为函数2log y x =，ln y x =在定义域上单调递增，又32e >>，所以222log 3log log 21e >>=，所以1a b >>，ln ln 2e >，所以1c <所以a b c >>故选：D。
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考点：利用指幂对函数单调性进行大小比较 难度：1 一、选择题1、设3log 6a =，0.2log 3b =，100.5c =，则（ ） A ．c b a >> B ．b c a >> C ．a c b >> D ．a b c >> 答案： C 解答：3log 61a =>，0.2log 30b =<，1000.51c <=<，∴a c b >>，故选：C ．2、已知0.5log 0.9a =，0.5log 0.8b =，0.90.5c -=，则（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．c b a << D ．c a b << 答案： B 解答：0.50.50.5log 0.9log 0.8log 0.51<<=，0.900.50.51->=，a b c ∴<<．故选：B ．3、已知 1.22a =，-0.81()2b =，52log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a << B ．c a b << C ．b a c << D ．b c a <<A 解答：由于函数2xy =在R 上是增函数， 1.22a =，0.80.81()22b -==，1.20.80>>，∴021a b >>=．再由5552log 2log 4log 51c ==<=， 可得a b c >>，故选A ． 4、下列各式正确的是（ ） A ．231.7 1.7>B ．0.231.70.9>C ．0.30.3log 1.8log 2.7<D ．lg3.4lg 2.9< 答案： B 解答：考查函数 1.7xy =，是定义域上的增函数，23<，∴231.7 1.7<，∴A 错误；0.21.71>，300.91<<，∴0.231.70.9>，∴B 正确；考查函数0.3log y x =，是定义域上的减函数， 1.8 2.7<，∴0.30.3log 1.8log 2.7>，∴C错误；考查函数lg y x =，是定义域上的增函数， 3.4 2.9>，∴lg3.4lg 2.9>，∴D 错误；综上，正确的是B ；故选：B ． 5、设4log 3a =，0.43b =，31log 4c =，则（ ） A ．b a c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．a b c >>A 解答：40log 31a <=<，0.431b =>，31log 04c =<， ∴b a c >>．故选：A ．6、已知 5.20.8a =， 5.50.8b =，0.15.2c =，则这三个数的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．a b c << C.c a b << D ．c b a << 答案： A 解答：指数函数0.8x y =在R 上为单调减函数，∴ 5.5 5.20.80.81<<， ∴1b a <<，0.105.2 5.21c =>=，∴b a c <<，故选：A ． 7、三个数0.32，20.3，0.3log 2的大小顺序是（ ）A ．20.30.30.3log 22<<B ．20.30.30.32log 2<<C ．0.320.3log 220.3<<D ．20.30.3log 20.32<<答案： D 解答：0.321>，200.31<<，0.3log 20<，∴20.30.3log 20.32<<，故选：D ．8、已知1ln 3a =，132b =，21()3c =，那么（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．c a b << 答案： C 解答：1ln 03a =<，1321b =>，210()13c <=<，∴a c b <<，故选：C ．9、设0.31.6a =，21log 9b =， 1.60.8c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．b c a << D ．c a b << 答案： C 解答：0.31.61a =>，21log 09b =<， 1.60.8(0,1)c =∈． 可得b c a <<．故选：C ．10、已知3ln 4a =，lg35b =，123c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a << 答案： B 解答：3lnln104a =<=，lg30551b =>=，1020331-<<=， ∴ac b <<，故选：B ．11、下列式子中成立的是（ ） A ．76log 6log 7< B ． 3.4 3.51.01 1.01> C ．0.30.33.5 3.4< D ．0.40.4log 4log 6< 答案： A解答：A ． 76log 61log 7<<，因此正确；B ．∵函数 1.01xy =在R 上单调递增，∴ 3.4 3.51.01 1.01<，因此不正确； C ．∵函数y x α=在（0，+∞）上单调递增，∴0.30.33.5 3.4>，因此不正确； D ．∵函数0.4log y x =在（0，+∞）上单调递减，∴0.40.4log 4log 6>，因此不正确． 12、若8log ,3log ,1.0log 222===c b a ,则c b a ,,的大小关系为( ) A ．b a c << B ．c b a << C ．a b c << D. b c a << 答案： B解答：由于函数2()log f x x =是增函数，因为0.138<<，所以(0.1)(3)(8)f f f << 即c b a <<。
故选B 13、若0.34121(),log 3,log 52a b c -===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A.b a c <<B. a b c <<C.b a c <<D. b c a << 答案： B解答：40log 31b <=<,所以c b a <<.14、设2lg ,(lg ),a e b e c ===则 ( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >> 答案： B解答：c b >>. ）.答案： D解答：D.16、已知 1.22a =，0.81()2b -=， 52log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a << 答案：解答：0.8 1.25log 41222c b a =<<=<<=，所以选A.17、设0.4431log 3,3,log 4a b c ===，则（ ） A ．b a c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．a b c >> 答案： A 解答：0.4341log 0log 3134c a b =<<=<<=，故选A. 18、设0.3 1.6211.6,log ,0.89a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）.A.a b c <<B.b a c <<C.b c a <<D.c a b << 答案： C 解答：1.60.321log 00.81 1.69b c a =<<=<<=，选C.19、设0.133(),log 22a b c ===，则,,a b c 的大小是（ ） A.a b c >> B.a c b >> C.b a c >>. D.b c a >> 答案：解答：0.1330log 21()2b c a =<<=<<=，所以选B. 二、填空题1、已知0.50.4a -=，0.50.5b =，0.2log 2c =，将a ，b ，c 这三个数按从小到大的顺序排列 ．（用“<”连接） 答案：c b a <<解答：0.5y x =在(0,)+∞单调递增，∴0.50.500.50.4-<<， ∴0b a <<，0.2log 20c =<∴c b a <<2、已知0.7log 0.9a =，11log 0.9b =，0.91.1c =，则这三个数从小到大排列为 ．（用“<”连接） 答案：b ac <<解答：0.70.70log 0.9log 0.71a <=<=，11log 0.90b =<，0.91.11c =>．∴b a c <<，故答案为：b a c <<．3、已知 2.12a =， 1.92b =， 2.10.3c =，则a ，b ，c 大小关系为 ． 答案：a b c >>解答：2.1 1.9221>>， 2.10.31c =<，即a b c >>， 故答案为：a b c >>．4、设0.6log 0.8a =， 1.2log 0.9b =，0.81.1c =，则a ，b ，c 由小到大的顺序是 ． 答案：b ac <<解答：0.6log y x =是减函数，∴0.60.60.61log 0.6log 0.8log 10a =>=>=；1.2log y x =是增函数，∴ 1.2 1.2log 0.9log 10b =<=；1.1x y =是增函数，∴0.801.1 1.11c =>>，∴b a c <<．故答案为：b a c <<．5、已知2log 5a =，23b =，3log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为 ．答案：a b c >>解答：23b =，∴2log 3b =，∴22log 5log 31>>，即1a b >>，3log 21<，∴1c <．∴a ，b ，c 的大小关系为a b c >>．故答案为：a b c >>．6、设20.3a =，0.32b =，2log 5c =，2log 0.3d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系是 ．（从小到大排列） 答案：d a b c <<<解答：2000.30.31a <=<=，00.32122b =<=<，22log 5log 42c =>=， 22log 0.3log 10d =<=，∴d a b c <<<．故答案为：d a b c <<<．7、比较大小：2log 7 30.5．（填>、<或=） 答案：>解答：22log 7log 21>=，300.50.51<=，∴32log 70.5>．故答案为：>．8、已知0.80.820.7,log 0.8, 1.1a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 ．（从小到大排列）答案：b ac <<解答：0.80.82log 0.800.71 1.1b a c =<<=<<=，所以b a c <<.9、0.32,3,ln(ln 2) a b c ===设则,,a b c 的大小关系是 ．（从小到大排列）答案：c a b <<解答：0.3ln(ln2)01 22c a b =<<<=<<=.10、设11221212log 2,(),()33a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 ．答案：a b c <<解答：11221212log 20()()33a b c =<<=<=. 11、已知11331212,log 4,()3a b c ==-=，则,,a b c 的大小关系是 ． 答案： c a b <<解答：11331210()122log 43c a b <=<<=<==-. 12、已知13212113,log ,log 33a b c -===，则,,a b c 的大小关系是 ． 答案： b a c <<解答：1321211log 031log 33b ac -=<<=<<=. 13、已知1253log 10,,2x y e z ===，则,,x y z 的大小关系是 ． 答案： x z y <<解答;125553log 101log 21log 2x z y e ==+<+==<=. 14、设0.522,log 3,log 0.5a b c π===，则,,a b c 的大小关系是 ．答案：a b c >>解答：0.5221log 30log 0.5a b c π=>>=>>=.15、设133log 2,ln 2,5a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 ．答案： a b c <<解答：133ln 2log 2ln 215ln3a b c ==<=<<=.16、设0.13592,ln ,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 ． 答案： c b a <<解答：0.135921ln0log 210a b c =>>=>>=. 17、三个数0.522112,(),log 22a b c ===的大小关系是 ． 答案：c b a <<解答：20.5211log 0()1222c b a =<<=<<=. 18、已知 1.20.8212,(),log 32a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 ． 答案：a cb >>解答：1.20.822122log 4log 31()2a cb =>=>=>>=. 19、已知0.9 1.7 1.51.7,0.9,0.9a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 ． 答案： b c a <<解答：1.7 1.50.900.90.91 1.7b c a <=<=<<=.20、设20.20.20.3,2,log 4a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 ．答案：c a b <<解答：20.20.2log 400.312c a b =<<=<<=.21、设0.012log 3,ln 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 ． 答案： c a b <<解答：0.012ln 0log 132c a b =<<=<<=. 22、已知1lg 323ln ,5,34a b c -===，则,,a b c 的大小关系是 ． 答案：a cb <<解答：100lg 323ln ln10331554a cb -=<=<=<==<= 23、设1a >，则0.20.2log ,0.2,a a a 的大小关系为 ．答案：0.20.2log 0.2a a a <<解答：因为1a >，所以0.20.2log 00.21a a a <<<<.24、三个数13222,3,log 5-中最大的数是 ． 答案：2log 5解答：132221232log 4log 58-=<=<=<. 25、比较大小：2log 5 35()4（填,<>或=）.答案： >解答：3225125()2log 4log 5464=<=< 26、设0.70.80.55,log 8,0.7a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 ．答案：b c a <<解答：0.80.70.5log 800.715b c a =<<=<<=.27、设20.30.3,2,2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 ．答案： a b c <<解答：20.30.31222a b c =<<=<==.28、设0.20.20.6,log 3,ln a b c π===，则,,a b c 从小到大排列后位于中间位置的是 ．答案：a解答：0.20.2log 300.61ln b a c π=<<=<<=，所以中间位置的是a .29、已知33442232(),(),log 323a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 ． 答案：c a b <<解答：33442223log 0()1()332c a b =<<=<<=. 三、解答题1、已知点在幂函数()f x 的图像上，点1(2,)4-在幂函数()g x 的图像上， 当x 为何值时，有()(),()(),()()f x g x f x g x f x g x >=<.答案： (,1)(1,)x ∈-∞-+∞时，()()f x g x >；1x =±时，()()f x g x =； (1,1)x ∈-时，()()f x g x <.解答：设()f x x α=，则22αα=⇒=，所以2()f x x =， 同理得2()g x x -=，令221x x x -=⇒=±，再由幂函数的性质知 若()()1f x g x x >⇒<-或1x >，()()11f x g x x <⇒-<<.。