计算结构力学有限元方法_一维结构
有限元一维杆问题解法及程序
解：第一步——离散对于一维杆问题，我们先离散成单元，对每个单元作如下计算[][][][][]00,,,,00)(22,,,,2222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒=-∂∂∂∂-∂∂⇒=-∂∂=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓΓdx x N N u u K x u N N dx x N N u u dx u u N N N N u u x uN N u u dx ux dx xu x u x u u dx ux dx x u u dx x x u u j i x x j i j i j i x x ji j i j i j i x x ji j i j i xx x x x x x x x x j i jijij i j i j ij i jiδδδδδδδδδδδδ其中杆被平均离散为e 个单元（有限元不一定要均分），于是有node=e+1个结点，每个单元长度len=1/e,于是第n 个单元的左端点坐标len n x i )1(-=，右端点坐标nlen x j =；第二步——刚度矩阵线性插值有每个单元)()(j j ej j j ei x x e lenx x N x x e lenx x N -=-=-=-=⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=e e B e⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡--===⎰e e e e len B B dx B B K T e e T e e xx e j i 对于整体叠加⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=e e e e e K 00020 （K 为一个node×node 阶矩阵） 程序用for 循环给K 赋值K=zeros(node,node); K1=zeros(node,node); for n=1:(node-1);K1(n:n+1,n:n+1)=[e,-e;-e,e]; K=K1+K;K1=zeros(node,node);End第三步——力矩阵体积力由第一步公式[]02=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰Γdx x N N u u K x uN N j i x x j i j i j i其中第三项为体积力dxx N N F j i x x j i 21⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰用matlab 中int （）函数对积分进行计算并用for 函数进行循环且赋值，其中)()(j j ej j j ei x x e lenx x N x x e len x x N -=-=-=-=，nlenx lenn x j i =-=)1(程序如下Syms x; F1=zeros(1,node);F11=zeros(1,node); G=zeros(1,2); for n=1:e;B=[(xj(n)*x^2-x^3)/len,(x^3-xi(n)*x^2)/len]; G=int(B,x,xi(n),xj(n)); G=double(G);F11(1,n:n+1)=[G(1,1),G(1,2)]; F1=F11+F1;F11=zeros(1,node); End边界力由第一步中公式[]02=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰Γdx x N Nu u K x uN N j i x x j i j i j i 其中第一项ijx x j i x x j i j i xuN N xu N N x u N N F ==Γ∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2为边界力因为u （0）处约束力未知为C ，u （1）处边界条件11=∂∂=x xu各单元之间的边界力叠加的时候均抵消，所以边界力矩阵最终为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=102 C F第四步——解方程由上面我们可以得到方程02121=-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-F u u u K F n ,代入位移边界条件01=u先对方程进行置一处理，令F=F2-F1且的第一项置0，刚度矩阵变换成⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=e e K 00020001方程变换为Kd=F ， 求逆⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-n u u F K d 21第五步——作图用到两个作图函数plot 、ezplot 分别做原函数图和折线图 折线图程序如下x=0:len:1; y=zeros(1,node);for n=1:node;y(1,n)=X(1,n); endplot(x,y,'r');hold on; （hold on 可将两图画在一个坐标下）原函数图程序如下ezplot('(1/12)*x^4+2/3*x',[0,1]);附：程序clearformat longfirst_time=cputime;e=10; %单元数node=e+1; %结点数len=1/e; %单元长度xi=0:len:(1-len); %单元左端点坐标xj=len:len:1; %单元右端点坐标K=zeros(node,node); %刚度矩阵（由于是线性插值）K1=zeros(node,node);for n=1:(node-1);K1(n:n+1,n:n+1)=[e,-e;-e,e];K=K1+K;K1=zeros(node,node);endsyms x; %F1力矩阵F1=zeros(1,node);F11=zeros(1,node);G=zeros(1,2);for n=1:e;B=[(xj(n)*x^2-x^3)/len,(x^3-xi(n)*x^2)/len];G=int(B,x,xi(n),xj(n));G=double(G);F11(1,n:n+1)=[G(1,1),G(1,2)];F1=F11+F1;F11=zeros(1,node);endF2=zeros(1,node); %F2力矩阵F2(1,node)=1;K(2,1)=0; %刚度矩阵置一K(1,2)=0;K(1,1)=1;F=F2-F1; %求合力矩阵F(1,1)=0;X=F*inv(K); %求结点位移Xx=0:len:1; %画折线图y=zeros(1,node);for n=1:node;y(1,n)=X(1,n);endplot(x,y,'r');hold on;ezplot('(1/12)*x^4+2/3*x',[0,1]); %画原函数图以10个单元为例，图数据。
第4章有限元法基础——一维单元
i
X X j
j
X X k
k
X X m
m
（注：上图中T参数代表参数）
将节点的值代入上面方程中，产生四个方程：
i c1 c2 X i c3 X c4 X
2 i
2 j
2 k
3 i
3 j
j c1 c2 X j c3 X c4 X
k c1 c2 X k c3 X c4 X
3 k
2 3 m c1 c2 X m c3 X m c4 X m
c 求解 c1 ，c 2 ， 3 和 c 4 ，整理后得到由节点的值 （自由度）和形函数表示的单元温度分布：
(e) Si i S j j Sk k Sm m
(e)
i X j j X i X j Xi
Xj X
j i X j Xi
X
对 i 项和 j 项进行分组，我们得到：
(由节点的值和形函数表示单元的物理量)
(e)
X Xi ) j ( ) i ( X j Xi X j Xi
定义形函数 S i 和 S j :
(1) 线性形函数在相应的节点上值为1， 在相邻的节点上为0。
(2) 线性形函数的和为1。 (3) 线性形函数对于X的导数和为零。
例：图示为节点的位移和它们沿悬臂梁的分布位置。
求悬臂梁在（a）X=4cm和（b）X=8cm处的位移。
解（a）在X=4cm处的位移由单元(2)来表示：
X3 X X X2 Y S y 2 S y3 y2 y3 l l 54 42 Y 0.06 0.3 0.22(cm) 3 3
一维有限元法
ux =
xj − x le
u
O
x − xi ui + uj e l
ui ux uj xj x xi x
线性函数 注意：关键是 设位移函数， 在很短范围内 认为是直线。
3
返回
Ui
ui
E,A qe i le=l/3 j
Uj
uj
设单元位移函数ux为:
x u
ux= a + bx
(1-1)
式中 a，b为待定系数。 ux= ui ; x = xj ux= uj uj = a + bxj
KZ12 KZ22 KZ32 KZ42
KZ13 KZ23 KZ33 KZ43
1 2 3 4 ① ① KZ14 ⎤ ⎡k11 k12 0 0⎤1 ① ① ② ② KZ24 ⎥ ⎢k21 k22 + k22 k23 0⎥2 ⎥=⎢ ⎥ ② ② ③ ③ KZ34 ⎥ ⎢ 0 k32 k33 + k33 k34 ⎥ 3 ⎥ ⎢ ⎥ ③ ③ KZ44 ⎦ ⎣ 0 0 k43 k44 ⎦ 4
e
单元① 单元② 单元③
K
①
EA = e l
⎡ 1 − 1⎤ ⎡ k11 ⎢− 1 1 ⎥ = ⎢k ① ⎣ ⎦ ⎣ 21
①
1
K
②
EA ⎡ 1 − 1⎤ ⎡ k 22 = e ⎢ ⎥ = ⎢ k② l ⎣ − 1 1 ⎦ ⎣ 32
②
2
① k12 ⎤ 1 k① ⎥ 2 22 ⎦
2
(1-21)
k② ⎤ 2 23 (1-22) ② ⎥ k 33 ⎦ 3
ux= a +bx
ux = ui x j − u j xi x j − xi + u j − ui x j − xi x =
一维问题的有限元方法
(e) 1
x (e) x 1 ,N h h
（1-116）
二、局部和总体的插值函数
局部插值函数的特性为：
0
(e) N
1,
N 1
r
(e) N
1, ( zM ) NM (1-117)
(e) N
u
(1) 1
u
(1) 2
(1) 2
u1(2)
(1) 1
(2) u2 u1(3)
如果采用指标记号，就是：
z Z
( e) N
i
( e) Ni i
式中：(Ne) 叫做布尔矩阵，其特性是
，局部节点N与总体节点i相重合时
=
，不相重时
一、总体和局部的有限元 模式
• 用局部节点表示总体节点的公式为： e) ( e) Zi (N zN （1-113） 式中的 (Ne)是式（1-111）中 (Ne) 的转置。 (e) (e) 式（1-111）代入式（1-113）得：Zi N N Z j 由此 (Ne) (Ne) ij ，其中 ij 就是克劳耐士克 矩阵 ( e) e) ( e) 式（1-113）代入式（1-111）得： zN (Nei)(M z i M e) 同样： (Ne) (M MN 以单元1为例：
u1
1
u2
2
u3
3
u4
4
（b）总体插值函数和总体节点值
二、局部和总体的插值函数
如果采用二次插值函数，则 u (e) a1 a2 x a3 x2 为此，需要补充一个节点，一般取在单元中点，同 e) (e) 样有： u (e) (N uN ,( N 1,2,3)
x 其中： 1 1 3 x 2 h h x x 3 2 h h
有限元法基础ppt课件
有限单元法
一、数值模拟方法概述 二、有限单元法简介 三、有限单元法分析步骤 四、利用有限元软件进行工程分析
一、数值模拟方法概述
工程技术领域中的许多力学问题和场问题，如固 体力学中的位移场、应力场分析、电磁学中的电磁 分析、振动特性分析、热力学中的温度场分析，流 体力学中的流场分析等，都可以归结为在给定边界 条件下求解其控制方程的问题。
结构矩阵分析方法认为：整体结构可以看作是由有限 个力学小单元相互连接而组成的集合体，每个单元的 力学特征可以看作建筑物的砖瓦，装配在一起就能提 供整体结构的力学特性。
结构矩阵分析方法分析的结构本身都明显地由杆件组 成，杆件的特征可通过经典的位移法分析建立。
虽然矩阵位移法整个分析方法和步骤都与有限单元法 相似，也是用矩阵来表达、用计算机来求解，但是它 与目前广泛应用的有限单元法是有本质区别的。
❖ 国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和 物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是 由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司 和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。该系 统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最 强的有限元分析系统。
有限元法
既可以分析杆系结构，又分析非杆系的连续 体结构。
三、有限单元法简介
有限单元法的常用术语：
有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
定义
真实系统
有限元模型
自由度（DOFs－ degree of freedoms）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
ROTZ UZ
UX ROTX
目前在工程技术领域内常用的数值模拟方法有： 1、有限单元法FEM（ Finite Element Method） 2、边界元法BEM（Boundary Element Method ） 3、有限差分法FDM（ Finite Difference Method 4、离散单元法DEM（Discrete Element Method） 其中有限单元法是最具实用性和应用最广泛的。
计算结构力学有限元方法_三维结构和轴对称
三维问题的有限元方法
空间问题
单元的应变
根据弹性力学基本公式，有应变：
∂
一维问题 二维问题
εx
=
∂u ∂x
∂
ε
x
∂x
εy = 0γΒιβλιοθήκη xy∂∂y∂x
三维问题 ε x
0
0
∂ u
∂y
v
∂
∂x
ε
y
εz
γ yz
γ
zx
=
0 0
γ xy
∂ ∂z
r, s = 1,2,3,4
四面体单元
∫∫∫ K
e rs
=
V BrT DBsdV ,
r, s = 1,2,3,4
Ke r,s
=
E(1− µ) 36(1+ µ)(1− 2µ)Ve
brbs + A2 (crcs + dr ds )
×
A1bscr + A2csbr
A1bsdr + A2dsbr
A1
=
µ 1- µ
四面体单元的
Pi = [Pix Piy Piz ]T , i = 1,2,3,4
节点载荷
∫ Pe = N T ρdx
单元节点载荷的计算公式,其中N 应为四面体单元的形函数
∂
0 ∂ ∂y 0 ∂ ∂z 0 ∂
0
0
∂ ∂z ∂ ∂y
u
v
w
∂
∂x
0
统一形式：ε = ∇u
∂y ∂x
三维问题的有限元方法
单元的应力
根据弹性力学基本公式，有应力：σ = Dε 三维问题
1 −µ −µ 0
有限元等参数单元
有限元等参数单元有限元分析是一种工程数值分析方法，广泛用于结构力学、固体力学等领域。
在有限元分析中，将结构或物体离散为许多小单元，每个小单元称为参数单元。
本文将介绍有限元等参数单元的概念和应用。
在有限元分析中，参数单元是对结构或物体进行离散化的基本单元。
它是通过数学建模技术将连续域问题转化为离散模型的重要工具。
参数单元可以是一维、二维或三维的。
在一维情况下，常见的参数单元有杆单元和梁单元等。
在二维情况下，常见的参数单元有三角形单元和四边形单元等。
在三维情况下，常见的参数单元有四面体单元和六面体单元等。
在有限元分析中，参数单元的选择要根据具体问题的性质来确定。
一般来说，参数单元的几何形状应能较好地适应结构或物体的形状。
对于复杂结构或物体，可以使用不同形状的参数单元进行组合，以更好地描述结构的几何特征。
在参数单元中，需要定义材料性质、几何性质和加载条件等参数。
材料性质包括弹性模量、泊松比、密度等。
几何性质包括长度、面积、体积等。
加载条件包括外力、边界条件等。
这些参数可以通过实验测量或根据经验来确定。
在有限元分析中，参数单元的刚度、质量和荷载等可以通过这些参数来计算。
有限元分析的基本思想是，将结构或物体分解为多个参数单元，并将其转化为一个或多个代数方程组。
通过求解这个方程组，可以得到结构或物体的应力、应变、位移等信息。
有限元方法可以有效地分析复杂结构的性能和行为，并为工程设计和优化提供依据。
总之，有限元等参数单元是在有限元分析中对结构或物体进行离散化的基本单元。
它是将连续域问题转化为离散模型的重要工具。
参数单元的选择要根据具体问题的性质来确定，并通过定义材料性质、几何性质和加载条件等参数来描述结构的特征。
有限元分析是一种用于求解结构或物体应力、应变、位移等信息的数值分析方法，可以为工程设计和优化提供依据。
第7章有限元法基础——一维问题分析
对于单元（3）：
0 kA 1 1 0 0 0.701 1 1 0 K 0 hA 0.10 1 1 0 401 l 1 1 7 7 W ( C ) 7 47 0 0 0 ( 3) F (W ) hATf 401 301200
i
Xj
Xj
Xj
X
Xi
S cdX 0
i
j
对上面方程中的四项分别计算
Xj
d d d (a( dX (Si dX ))dX a dX Xi
Xj
X Xi
dSi d a a( dX dX )dX l ( i j ) Xi
X
Xi
X
j
j
bl bl Si (b )dX i j 3 6
求解：
T1 200 T 157.8 2 (C ) T3 37.1 T4 31.1
7.2 固体力学问题
对于线性一维杆单元，每个单元应变能为：
( e )
E 2 dV 2 V
对于由n个单元和m个节点组成的一般物体，其总势能应变能 和外力做功的差：
代入内壁边界条件：
0 0 0 T1 200 1 1 1 0.35 0.35 T 0 0 2 0 0.35 0.35 7 7 T3 0 0 0 7 47 T4 1200
3. 对单元建立方程。这是本章的主要部分。我们用迦辽金方法 和最小势能理论建立描述单元的公式。 4. 将单元组合，以表示整体问题，构造总体刚度或传导矩阵。
5. 应用边界条件和负荷。
一维问题的有限元方法
一维问题的有限元方法一、问题的离散化有限元方法是一种将连续问题离散化的数值计算方法。
在一维问题中，我们将连续的物理系统或结构离散化为一系列的单元，每个单元由节点连接。
离散化过程是为了将连续的物理问题转化为可以数值求解的形式。
二、单元划分与节点设置在离散化过程中，我们需要将连续的物理系统划分为一系列的单元。
每个单元由节点连接，节点是单元之间的连接点。
节点的设置需要考虑问题的特性和计算的精度要求。
三、插值函数与形函数插值函数用于描述节点之间的函数关系，形函数用于描述节点处的函数值。
插值函数和形函数的选择需要根据问题的特性和计算的精度要求来确定。
常用的插值函数有线性插值、二次插值等。
四、有限元方程的建立根据问题的特性和边界条件，我们可以建立有限元方程。
有限元方程是描述节点处的函数值和节点之间的函数关系的关系式。
在建立有限元方程时，需要考虑物理方程、边界条件等因素。
五、有限元方程的求解有限元方程的求解可以采用多种方法，如直接法、迭代法等。
直接法适用于小型问题，迭代法适用于大型问题。
在求解过程中，需要注意收敛性和误差分析。
六、收敛性与误差分析收敛性是指迭代法在迭代过程中是否能收敛到正确解，误差分析是指求解结果与真实解之间的误差大小和分布情况。
对于不收敛或误差较大的情况，需要进行相应的调整和处理。
七、边界条件的处理边界条件是描述物理系统在边界上的行为，对于有限元方法来说，需要正确处理边界条件。
常用的处理方法有强加边界条件、引入罚函数等。
八、自适应网格加密技术自适应网格加密技术是一种根据求解过程中的误差分布情况自动加密网格的方法。
该技术可以提高计算的精度和效率，适用于复杂问题和多物理场耦合问题。
九、多物理场耦合有限元方法多物理场耦合问题是指多个物理场之间相互作用的问题，如力学、流体、电磁等。
多物理场耦合有限元方法需要考虑多个物理场的相互作用和耦合效应，建立相应的有限元方程进行求解。
一维有限元分析1D Elements
Euler-Bernoulli 梁理论 Timoshenko 梁理论
EB
L3 3EI z
(1) 考虑矩形截面:
S EB
PL3 PL T 剪切变形s 3EI z GA k y
k y 1.2
h b
S 3EI z k y EB GAL2
弹性力学与有限元法 Elasticity & FEM 24 of 145 华南理工大学 土木工程系 马海涛 / 陈太聪
§2.2 杆单元
杆单元 热传导问题
§2.2 杆单元
基本物理量： 温度 基本物理量 温度、热流 热流 目的： 傅立叶传导方程 确定结构中温度分布
q AK
刚度矩阵的两列相加等于零向量（仅适用于该单元情况） － 刚体位移下作用于该单元上的力为零。
例如，当 u1 u2 1 时：
dT d dx
结构方程
k1 k 1 0 k1 k1 k2 k2 0 u1 F1 k2 u2 F2 k2 u3 F3
§2.2 杆单元
结构方程
k1 k 1 0 k1 k1 k2 k2 0 u1 F1 k2 u2 F2 k2 u3 F3
物理（本构）方程 物 本构 方程
F1 k F2 k
k u1 u k 2 AE L
弹性力学与有限元法
T dT 1 dx L q AK T1 L
dT T2 dx L
q AK
T2 L
F1 0 F2 0
平衡条件：
k11
k11 k31 0
基于有限元法的建筑结构力学分析研究
基于有限元法的建筑结构力学分析研究建筑结构力学是研究建筑物在外力作用下的力学性能和变形规律的学科，对于确保建筑物的安全和稳定性至关重要。
有限元法作为一种常用的数值计算方法，被广泛应用于建筑结构力学分析研究中。
本文将从有限元法的原理、应用以及未来发展等方面进行探讨。
一、有限元法的原理有限元法是一种将连续体划分为有限个单元，通过近似解析方法求解问题的数值计算方法。
在建筑结构力学分析中，有限元法可以将建筑结构划分为有限个单元，通过求解每个单元的位移和应力，得到整个结构的变形和应力分布情况。
有限元法的基本原理是将连续体分割成有限个单元，每个单元内的位移和应力通过一组代数方程来描述。
通过求解这组代数方程，可以得到每个单元内的位移和应力分布情况。
最终，通过将所有单元的位移和应力组合起来，可以得到整个结构的位移和应力分布情况。
二、有限元法的应用有限元法在建筑结构力学分析中有着广泛的应用。
首先，有限元法可以用于分析建筑结构的静力学性能。
通过将建筑结构划分为有限个单元，可以得到结构的位移和应力分布情况，进而判断结构的强度和稳定性。
其次，有限元法可以用于分析建筑结构的动力学性能。
建筑物在地震、风载等外力作用下会发生振动，有限元法可以模拟这些振动过程，从而评估结构的抗震性能和动力特性。
此外，有限元法还可以用于分析建筑结构的热力学性能。
在建筑物的设计中，需要考虑建筑物在不同温度下的热膨胀和热应力等问题，有限元法可以帮助工程师进行相应的分析和计算。
三、有限元法的未来发展随着计算机技术的不断发展和计算能力的提高，有限元法在建筑结构力学分析中的应用将进一步扩大和深化。
未来，有限元法有望在以下几个方面得到进一步发展。
首先，有限元法在建筑结构优化设计中的应用将得到加强。
通过有限元法对不同结构方案进行模拟和分析，可以找到最优的结构形式和材料使用方案，从而提高结构的性能和经济效益。
其次，有限元法在建筑结构损伤检测和健康监测中的应用将得到拓展。
有限元法基础-一维单元
最终解。
直接求解法的基本步骤
01
建立方程组
根据问题的物理模型和边界条件， 建立线性方程组。
解方程
对方程组的上三角或下三角矩阵进 行求解，得到所有节点的解。
03
02
消元法
通过消元法将方程组化为上三角或 下三角矩阵形式。
后处理
根据需要计算其他物理量或进行误 差分析等后处理工作。
对于复杂的边界条件和约束条件，可 以采用消元法逐步消除未知量，最终 得到唯一解。
06
一维单元的求解方法
求解方法的分类和选择
直接求解法
直接求解线性方程组，得到所有 节点的解。适用于节点数较少、
方程组规模较小的简单问题。
迭代求解法
通过迭代逐步逼近方程组的解，适 用于大规模复杂问题。常用的迭代 方法有Jacobi迭代法和GaussSeidel迭代法等。
02
一维单元的离散化
离散化的概念和步骤
离散化的概念：将连续的物理系统分割 成有限个小的、相互连接但不重叠的单 元，每个单元称为有限元。
3. 在每个单元上选择一个节点作为代表 ，并建立节点之间的相互关系。
2. 将几何形状划分为有限个单元，每个 单元具有确定的形状和尺寸。
离散化的步骤 1. 确定研究对象的几何形状和尺寸。
一维单元的划分方法
均匀划分
将一维物体均匀地划分为 若干个等长的单元，每个 单元长度相等。
非均匀划分
根据需要将一维物体划分 为长度不等或形状不同的 单元。
分段线性划分
将一维物体划分为若干个 线性变化的单元，每个单 元的长度和形状都是线性 的。
单元节点的选取与编号
节点选取
计算结构力学-有限元
x
sx= sx(x, y) sy= sy(x, y) txy= txy(x, y)
例如：挡土墙、重力坝
y
平面应变问题
2.2.2 基本量及基本方程的矩阵表示
1) 基本量
应力: 应变:
{s } [s x s y t xy ]T { } [ x y xy ]
{ f } [u v]T
[B]元素均为常数
常应变单元
{}=[B]{}e
代入
物理方程
得到
{s}=[S]{}e
应力矩阵：[S]=[D][B]
[S]= [Si Sj Sm ]，对平面应力问题：
bi E [ Si ] bi 2 2(1 ) A 1 ci 2
bi , ci为常数
uj m
vm
um x
• 单元结点位移向量: {}e=[ui vi uj vj um vm]T • 单元结点力向量: {F}e=[Ui Vi Uj Vj Um Vm]T
2.3.2 单元位移模式
1) 什么是位移模式（位移函数）
利用单元的结点位移将整个单元的位移分量
表示为坐标的函数。
y j
i
2) 三结点三角形单元的位移模式 设： u=1+2 x+3 y v=4+5 x+6 y
2.3.3 单元应变矩阵、应力矩阵
{f }=[N]{}e
代入
几何方程
得到
{}=[B]{}e
bi 0 1 应变矩阵：[B]= [Bi Bj Bm ], [ Bi ] 0 ci (i 1,2,3) 2A ci bi
bi=yjym ci= xj+xm
2.1.1 发展概况 • Courant——1943年应用三角形分片插值函数;
第7章有限元法基础——一维问题分析
对于单元（2）：
kA 1 1 0.07 1 1 1 0.35 0.35 W K 0.20 1 1 0.35 0.35 ( C ) l 1 1 0 ( 2) F (W ) 0
(e)
bl 2 1 6 1 2
直接公式法：单 元传导矩阵
(e)
cl 1 2 1
参数意义解释：
对于热传递问题：
直接公式法：单 元传导矩阵
K a 代表a系数表示的单元的传导率，
(e)
K b 代表b系数表示的单元的传导率。
(e)
F 是给定单元的负荷矩阵。
求解：
T1 200 T 157.8 2 (C ) T3 37.1 T4 31.1
7.2 固体力学问题
对于线性一维杆单元，每个单元应变能为：
( e )
E 2 dV 2 V
对于由n个单元和m个节点组成的一般物体，其总势能应变能 和外力做功的差：
dAS pdx
推导单元的传导矩阵和热负荷矩阵
对单元使用线性形函数近似
(e)
T
形函数为
Si
Xj X l
Ti Sj T j
T=c1+c2X
Si
X Xi Sj l
微分方程 的普遍形式
令
a kA
c hpTf
b hp T
书上用c1、 c2、c3，为避 免混淆，在此 用a、b、c。
直接公式法：单 元传导矩阵
(e)
bl 2 1 hpl 2 1 6 1 2 6 1 2
对于包含末端表面的最后单元，并考虑边界条件，
结构力学及有限元
法国米约大桥夜景
确定计算简图的原则： 半铰结点 1.能反映实际结构的主要力学特性; 2.分析计算尽可能简便 铰结点 简化内容:
1.杆件的简化: 2.结点的简化: 杆件 杆件的轴线 刚结点 铰结点 半铰结点(组合结点)
§2 . 杆件结构的计算简图
计算简图:
在结构分析当中用来代替实际结构的计算模型(图形)
确定计算简图的原则： 简化内容:
确定计算简图的原则： 简化内容:
1.能反映实际结构的主要力学特性; 2.分析计算尽可能简便 杆件 杆件的轴线 刚结点 铰结点 半铰结点(组合结点) 固定铰支座 可动较支座 固定端支座 滑动支座(定向支座) 空间结构 平面结构
1.杆件的简化: 2.结点的简化: 3.支座的简化: 4.体系的简化:
§2 . 杆件结构的计算简图
第二章
§1
结构的几何组成分析
. 几何组成分析 §1-1 . 基本概念
一.几何不变体系与几何可变体系
二.任务 研究结构的刚度,强度,稳定性的
计算原理和计算方法
三.内容 结构组成;内力,位移,临界力计算.
坐落在法国南部塔恩河谷的米约大桥2004年12月14日竣工，它是目 前世界上最高的大桥，桥面与地面最底处垂直距离达270米。而斜拉索 最高点离地有343米，比埃菲尔铁还要高出23米。尽管全长达2.46公里， 但只用7个桥墩支撑。
计算简图:
在结构分析当中用来代替实际结构的计算模型(图形)
确定计算简图的原则： 简化内容:
1.能反映实际结构的主要力学特性; 2.分析计算尽可能简便 杆件 杆件的轴线 刚结点 铰结点 半铰结点(组合结点) 固定铰支座 可动较支座 固定端支座 滑动支座(定向支座) 空间结构 平面结构 集中力、集中力偶、分布荷载
有限元分析3.一维单元
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10
3. 实例
（a）悬臂梁在X＝4cm处的温度由单元（2）来表示：
T
(2)
X3 X X X2 S T S T T2 T3 l l
(2) 2 2 (2) 3 3
54 42 T 41 34 36.3 C 3 3
x
1
(1) 2
2cm
(2)
3cm
2x 1 l
这里x是局部坐标，局部坐标与自然坐标的关系如图所示。
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29
通过将由 表示的x带入形函数的表达式能够 得到自然线性形函数。自然线性形函数具有线性 形函数相同的性质。
1 si (1 ) 2
1 s j (1 ) 2
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3.4.2 一维自然二次和三次形函数
• 在形函数的性质中,二 次形函数关于X的导数 之和不为零.
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19
3.3 一维四节点单元
在有限元公式中，二次插值提供了较为精确的结果。然 而，如果需要更高的精度，可以使用更高阶的插值函数，例 如三次多项式。这样可以使用三次函数表示给定变量的空间 变化。用三次函数代替二次函数，要求使用四个节点来定义 一个单元，这是因为至少要有四个节点才能确定一个三阶多 项式。单元被分成等长的三段。四个节点的取法如图所示。 应用三次近似考虑上例，典型单元的温度分布可以表示为：
u a1 a 2 x a 3 x
u 1 x
2
a 1 x2 a2 a 3
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15
• 如单元的温度分布可 以表示 为:
T
e
c1 c 2 X c 3 X
第五章 C0有限元
况下，其边界条件是 在x=0 时，u=u0；在x=L时，u=uL 它的静态解和动态解分别是： （1）静态解 (5.27)
弹性杆静力学控制方程中纵向位移 u(x)与时间 t 无关，则方程(5.26)改写为
∂ 2u =0 ∂x 2
其通解是
(5.28)
u = C1 x + C 2
其中C1,C2是积分常数。将边界条件（5.27）代入，解得
(5.17)
EA
∂u =N ∂x
(5.18)
它可在能量变分原理内自然得到满足。 （3）时端条件（在初始时刻(t=0)和终了时刻(t=tm)时的运动状态）
u = u t ( x),
∂u = v t ( x) ∂x
(5.19)
以上分析给出了 5.1.2 节力学分析得出完全相同的结果。 能量分析具有更为丰富的内涵。控制方程(5.16)的解函数 u(x,t)必须是在形位空间和 时间域内两阶导数存在，并满足全部边界条件（5.17）或(5.18)，包括时端条件（5.19） ，
⎧u i (t ) ⎫ {u e (t )} = ⎨ ⎬ ⎩u i +1 (t )⎭
弹性杆上任意点的位移可表示为
(5.36)
u ( x, t ) = [ N ( x)]{u e (t )} = u i + (u i +1 − u i )
则其应变为
x L
(5.37)
(5.29)
u = (1 −
x x ⎡ x )u 0 + u L = ⎢1 − L L ⎣ L
x ⎤ ⎧u 0 ⎫ ⎨ ⎬ L⎥ ⎦ ⎩u L ⎭
(5.30)
解(5.30)是弹性杆元素选取形函数的主要依据。 （2）动态解 弹性杆动力控制方程（5.26）的各种解法在第三章已作了全面的介绍。对这类齐次方 程的稳态振动解是谐振动，即
有限元算法简介
有限元法求解过程——一维阶梯杆结构的求解问题分析2一维杆阶梯结构一维问题，即1D （one dimension ）问题，是最简单的分析对象，下面以一个1D 阶梯杆结构为例，详细给出各种方法的求解过程，直观地引入有限元分析的基本思路，并以此逐步介绍有限元分析的过程。
3567阶梯杆结构的材料力学解答讨论⏹以上完全按照材料力学的方法，将对象进行分解来获得问题的解答，它所求解的基本力学变量是力（或应力），由于以上问题非常简单，而且是静定问题，所以可以直接求出；⏹若采用位移作为首先求解的基本变量，则可以使问题的求解变得更规范一些，下面就基于A、B、C 三个点的位移来进行以上问题的求解。
9I2 B11I2 BI2 B14(2-27)的物理含义就是内力与外力的平衡关系，由式(2-29)可知，内力表现为各个节点上的内力，并且可以通过节点位移(nodal displacement) u 、u C 来获取。
(2-29)(2-28)17(2-23)可知，这是一个基于节点A 、B 、C 描述的全结构的平衡方程，该方程的特点为：基本的力学参量为节点位移u A 、u B 、u C 和节点力P A 、P C 。
直接给出全结构的平衡方程，而不是像材料力学法那样，需要针对每一个杆件去进行递推。
在获得节点位移变量u A 、u B 、u C 后，其它力学参量（如应变和应力），都可以分别求出（见式(2-26)）。
I 2B19再将其分解为两个杆件之和，即写成：20写成：写成：2324有限元分析的基本流程解答：◆所谓基于单元的分析方法，就是将原整体结构按几何形状的变化性质划分节点并进行编号，然后将其分解为一个个小的构件（即：单元），基于节点位移，建立每一个单元的节点平衡关系（叫做单元刚度方程），对于杆单元来说就是式(2-38)；◆下一步就是将各个单元进行组合和集成，类似于式(2-31)，以得到该结构的整体平衡方程（也叫做整体刚度方程），按实际情况对方程中一些节点位移和节点力给定相应的值（叫做处理边界条件），就可以求解出所有的节点位移和支反力；◆最后，在得到所有的节点位移后，就可以计算每一个单元的其它力学参量（如应变、应力）。
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有限元法基本概念
有限元方法
有限元法的基本工作包括两大部分：
1. 单元分析：即探讨单元的力学特性。它包括选取单元的试 探函数、推导表征单元刚度或柔度特性的单元刚度，或者柔 度矩阵。
Ve
Se
∫ ∫ PVe
= Ve NTXdV，PSe
NTqdS 对应体力/面力的等价节点力
Se
令：Re = PVe + PSe + Pe
∑ ∑ = Π m 1UeT KeUe − m UeT Re
2 =e 1=e 1
由于整体序号和局部序号存在一一对应关系，将Ke和Re按结
构结点位移列阵的自由度数和排列顺序添零升阶，进行膨胀，
8
2
16
空间任意 六面体元
8
3
24
三角形环元
轴对称元
八节点 等参元
3
2
6
8
2
16
有限元通用方程
有限元方法
设作用某个单元各节点上的节点力和节点位移分别为：
Se = S1 S2 Sn T ； Ue U1 U2 Un T
构造单元的位移函数如下：
u = NUe
其中，u：单元内任一点的位移函数，Ue：单元的节点位移 列阵，N：形状函数。
Se
上式中，m：单元总数，X：作用在单元上的体力，q：作用
在单元上的分布面力，Se：单元的边界，Ve：单元的体积。 Pe：单元的节点外载荷列阵。
有限元方法
上式可以进一步写成：
∑ ∫ ∑ ∫ ∫ Π
m 1 UeT (
m
BT DBdv）⋅ Ue − UeT (
NTX
2 e 1= ve e 1
有限元方法
根据弹性力学基本公式，有：
∂
一维问题 二维问题
εx
=
∂u ∂x
∂
ε
x
∂x
εy = 0
γ
xy
∂
∂y
∂x
三维问题 ε x
0
0
∂ u
∂y
v
ε
y
ε
z
γ yz
γ zx
=
0 0
∂
∂x
γ xy
∂ ∂z
∂
0 ∂ ∂y 0 ∂ ∂z 0 ∂
可进一步得到：
∑ ∑ ∑ ∑ Π
m
1UT
K
e
U
m
−= UT Re
1 UT (
m
m
Ke )U − U= T ( Re )
1 UTKU - UT R
2 2 e 1=e 1 =e 1 =e 1
2
有限元方法
m
K = ∑Ke e=1
2. 整体分析：即研究整体系统方程组组成原理和求解方法。 将众多的单元集合成整个的全结构计算模型，列出最终代表 全结构平衡（或协调）的矩阵方程。在方程中未知数可以是 位移（称作“位移法”），应力（称作“力法”），或二者 兼有（称作“混合法”）。实际工程应用中，位移法研究更 为深入，应用也更为广泛，占据了绝对优势。
有限元方法的历史 发展初期
有限元方法
完备阶段
探索形式：工程直观出发
理论基础：剖分，插值理论， 方法收敛性等基础研究
建立了能满足不同结构分析的 几十种单元刚度矩阵 完善了多种节省内存、节省机 时的高效解法 解决了各类非线性分析的迭代 方法和结构重分析技术
大型程序分析系统 美国：NASTRAN，ADINA 德国：AS KA 中国：HAJIF Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ
单元 节点位移 单元位移自 节点数 自由度数 由度总数
8
3
24
板弯元
三角形板元 矩形板元
3
3
9
4
3
12
壳元
三角形壳元 矩形壳元
3
5
15
4
5
20
常用单元类型
有限元方法
单元节 节点位移 单元位移自 单元类别 单元名称 图形及局部坐标系
点数 自由度数 由度总数
平面任意 四边形单元
4
2
8
平面曲边 等参元
四边形单元
有限元方法的历史
有限元方法发展的主要年代图
有限元方法
有限元法基本概念
简单来讲，有限元方法就是将一个连续的结构物简化为由若干 离散的单元组合在一起，成为等效的组合体。然后分析离散化 的等效组合体。这样处理的好处有：
1. 所采用的单元都是一般工程技术人员十分熟悉的标准构件， 如杆、梁、平面应力板、受剪板等，力学性质简单明了，只 要用有限的参数即可描述。
有限元方法
常用单元类型
单元类别 单元名称
图形及局部坐标系
单元节 点数
节点位移 自由度数
单元位移自 由度总数
等轴力杆元
2
1
2
变轴力杆元 一维单元
平面梁元
空间 梁柱单元
平面三角元 二维单元
平面矩形元
3
1
3
2
2
4
2
6
12
3
2
6
4
2
8
常用单元类型
单元类别 单元名称 三维单元 长方体元
有限元方法
图形及 局部坐标系
∫ ∫ = Πe
1εT σdV= − UeT Se 1 UeT BT DBdV ⋅ Ue − UeSe
2 Ve
2
Ve
结构的总位能等于各离散单元的位能之和，即：
∑ ∑ ∫ ∑ ∫ ∫ Π=
m
Π=e
m1
m
εTσdv − (
uT Xdv +
uT qds +UeT Pe )
2 =e 1=e 1
Ve
=e 1 Ve
计算结构力学
有限元方法
有限元法基本原理
对于一个任意的弹性体，其任一点的位移分布非常复杂， 很难在整体区域内选取一个恰当的位移函数来描述其位移的复杂 变化。通过有限元离散化，我们可以把弹性体的整个区域分割成 许多细小的单元，则在每个单元的区域范围内，可以选取比较简 单的函数来近似描述单元的真实位移，再把各单元的位移分布连 起来，就可近似的表示整个域的位移分布。即 1、求解域离散为若干个子单元； 2、用每个单元内假设的近似函数分片表示全域内的未知量； （近似函数取节点上的数值及对应的插值函数来表示） 3、通过和原问题等效的变分原理或加权余量法，建立求解方程。
0
0
∂ ∂z ∂ ∂y
u
v
w
∂
∂x
0
∂y ∂x
ε = ∇u
有限元方法
ε = ∇NUe = BUe
B = ∇N 几何矩阵
单元的应力可以表示为：σ = Dε = DBUe D为弹性矩阵
单元的总位能为:
∫ ∫ = Πe
1εT σdV= − UeT Se 1 UeT BT DBdV ⋅ Ue − UeSe
2 Ve
2
Ve
由于单元处于平衡状态，根据最小位能原理，单元位能的一
阶变分为零，即 δΠe =0 。
∫ = Se BTDBdV ⋅ Ue ve
有限元方法
∫ Ke = BTDBdV 单元的刚度矩阵 Ve
上式给出了任一离散单元的刚度矩阵，简称其为“单刚”。
单元节点力与节点位移的关系为： Se = KeUe