机械优化设计习题参考答案 孙靖民 第四版第6章习题解答-1
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第六章习题解答
1．已知约束优化问题：
2)(0)()1()2()(min 21222112
221≤-+=≤-=⋅-+-=x x x g x x x g t
s x x x f
试从第k 次的迭代点[]T k x
21)
(-= 出发，沿由（-1 1）区间的随机数0.562和-0.254
所确定的方向进行搜索，完成一次迭代，获取一个新的迭代点)
1(+k x 。并作图画出目标函数
的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线。 [解] 1）确定本次迭代的随机方向：
[]T T
R
S 0.4120.9110.2540.5620.254
0.2540.5620.5622222-=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎣
⎡++=
2) 用公式：R k k S x x
α+=+)()
1( 计算新的迭代点。步长α取为搜索到约束边界
上的最大步长。到第二个约束边界上的步长可取为2，则：
176
.1)412.0(22822.0911.021221
2111
=-⨯+=+==⨯+-=+=++R k
k R k k S x x S x x
αα
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=+176.1822.01
k X
即： 该约束优化问题的目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线如下图所示。
2．已知约束优化问题：
)(0)(0
25)(124)(m in 2312222112
21≤-=≤-=≤-+=⋅--=x x g x x g x x x g t
s x x x f
试以[][][]T T T x x x 33
,14
,120
30
20
1===为复合形的初始顶点，用复合形法进行
两次迭代计算。
[解] 1）计算初始复合形顶点的目标函数值，并判断各顶点是否为可行点：
[][][]9
35
120101-=⇒==⇒=-=⇒=030302023314f x f x f x 经判断，各顶点均为可行点，其中，为最坏点。为最好点，0
203x x
2）计算去掉最坏点 0
2x 后的复合形的中心点：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡==∑≠=3325.22113
2
10
3312i i i c x L
x
3）计算反射点1
R x （取反射系数3.1=α）
20.69
3.30.551422.51.322.5)(110
2001-=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-+=R R c c R f x x x x x 值为可行点，其目标函数经判断α 4）去掉最坏点1
R
0301x x x x 和，，由02构成新的复合形，在新的复合形中 为最坏点为最好点，0
11R x x ，进行新的一轮迭代。
5）计算新的复合形中，去掉最坏点后的中心点得：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=
3.151.7753.30.5533211c x 6）计算新一轮迭代的反射点得：
，完成第二次迭代。
值为可行点，其目标函数经判断413.14 5.9451.4825123.151.7751.33.151.775)(1
2011
12-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-+=R R c c R f x x x x x α
3．设已知在二维空间中的点[]T x x x 21=，并已知该点的适时约束的梯度
[]T g 11--=∇，目标函数的梯度[]T f 15
.0-=∇，试用简化方法确定一个适用
的可行方向。 [解] 按公式6-32 计算适用的可行方向：)(k k k
x f P x f P d ∇∇-=/)(
k
x 点的目标函数梯度为：[]T k
x
f 15.0)(-=∇
k
x
点处起作用约束的梯度G 为一个J n ⋅ 阶的矩阵，题中：n=2，J=1：
[]T k x g G 11
)(1--=∇=
梯度投影矩阵P 为：
[
]
[][]⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=-⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡----⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=--5.05.05.05.001111111110011
1
T
T
G
G
G G I P
则：适用可行方向为：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=707.0707.010.50.50.50.50.510.50.50.50.50.5k
d
4．已知约束优化问题：
00)(3
4)(min 3322113)43(222121≤-=≤-=≤-=⋅-+-=
x g x g x g t
s x x x x x x f 试求在[]T k
x
1/21/4
=点的梯度投影方向。
[解] 按公式6-32 计算适用的可行方向：)(k k k
x f P x f P d ∇∇-=/)(
k
x 点的目标函数梯度为：[]T k
x
f 125
.0125
.0--=∇)(
k
x
点处起作用约束的梯度G 为一个J n ⋅ 阶的矩阵，题中：n=3，J=1：
[]T k x g G 00
1
)(1-=∇=
梯度投影矩阵P 为：
[]
[][]⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=-⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-=--10001000000100
10010011000100011
1
T
T G G
G G I P
则：适用可行方向为：
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=97.0243.00125.0100010.250.1251000100000.12500100k
d